Đang tải... (xem toàn văn)
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA HAI BIẾN SỐ Đinh Văn Trung Tú & K0 Bài viết này xin trao đổi về một phương pháp tìm giá trị lớn nhất GTLN, giá trị nhỏ nhất GTNN của biể[r]
(1)TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA HAI BIẾN SỐ Đinh Văn Trung Tú & K0 Bài viết này xin trao đổi phương pháp tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức chứa hai biến số nhờ tập giá trị, đó hai biến bị ràng buộc điều kiện cho trước Bài toán tổng quát: Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện: G(x; y) = Tìm GTLN , GTNN (nếu có) biểu thức P = F(x ; y) Phương pháp giải : Gọi T là tập giá trị P Khi đó, m là giá trị T và hệ sau có nghiệm (x; y): G x; y F x; y m Sau đó tìm các giá trị tham số m để hệ trên có nghiệm Từ đó suy tập giá trị T P, suy GTLN , GTNN (nếu có) P Sau đây là các bài toán minh hoạ x S 2S m P S S x1 3 y Bài toán 1: Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện: x y xy Tìm GTLN, GTNN biểu thức F = Lời giải: Gọi T là tập giá trị F Ta có m T Hệ sau có nghiệm: y xy x x y y xy x y xy m (I) S x y P xy Đặt: thì x, y S, P: S2 ≥ 4P s S 3P 0 S P m Hệ (I) trở thành: S2 S S 2S 3m 0 P m S (II) Ta có: S2 ≥ 4P S2 ≥ S2 – 4S ≤ ≤ S ≤ Từ đó, hệ (I) có nghiệm Hệ (II) có nghiệm (S; P) thoả mãn S2 ≥ 4P Phương trình S2 – 2S – 3m = có nghiệm S: ≤ S ≤ 4, điều này xảy và khi: 's 1 3m 0 S1 3m 4 S1 3m 4 m 1 3m 5 ≤ m ≤ Do đó: T1 = [0; 8] (2) Vậy: minF = 0, maxF = Bài toán 2: Cho các số thực x, y thoả mãn: x2 - xy + y2 = Tìm GTLN, GTNN biểu thức: G = x2 + xy - 2y2 Lời giải: Gọi T là tập giá trị G Ta có m T Hệ sau có nghiệm: 2 x xy y 2 x xy 2y m (III) x 3 x x m m 3 Nếu y = thì hệ (III) trở thành: Nếu y ≠ thì đặt x = ty ta có hệ: 2 y (t t 1) 3 2 y (t t 2) m y t t 1 3(t t 2) m t t y t t 1 (m 3)t (m 3)t m 0 Hệ (III) có nghiệm Hệ (IV) có nghiệm y ≠ Phương trình: (m - 3)t2 – (m + 3)t + m + = (2) có nghiệm Nếu m = thì (2) có nghiệm t = Nếu m ≠ thì (2) có nghiệm ∆t = - 3m2 – 6m + 81 m (m ≠ ) Kết hợp các trường hợp trên ta các giá trị m để hệ (III) có nghiệm là: m Do đó: T2 = [ ; ] Vậy: minG = ; maxG = Bài toán 3: (Tuyển sinh đại học khối A năm 2006 ) Cho hai số thực thay đổi x ≠ 0; y ≠ thoả mãn: ( x+ y ) xy=x 2+ y − xy 1 + Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x3 y3 Lời giải: Gọi T là tập giá trị A Ta có m T Hệ sau có nghiệm x ≠ 0; y ≠ 0: ¿ ¿ 2 ( x+ y ) xy=x + y − xy ( x+ y ) xy=x + y − xy 1 ( x + y ) ( x 2+ y − xy ) + =m =m x3 y3 ( xy ) ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ ( x+ y ) xy=x 2+ y − xy ( x+ y ) xy=( x+ y )2 − xy ( x+ y )2 xy x+ y =m (V) =m xy ( xy )3 ¿{ ¿{ ¿ ¿ ( ) (IV) (3) ¿ SP=S2 −3 P S (S2 ≥ 4P), ta có hệ: (VI) =m P ¿{ ¿ Hệ (V) có nghiệm x ≠ 0; y ≠ Hệ (VI) có nghiệm (S; P) thoả mãn S2 ≥ 4P S 2 >0 với x ≠ 0; y ≠ Vì SP=x + y − xy= x − y + y > với x ≠ 0; y ≠ P Từ đó: Nếu m ≤ thì hệ (V) vô nghiệm S S = √ m S= √ m P thay vào phương =m ⇒ Nếu m > thì từ phương trình P P trình đầu hệ (VI) được: √ m P2=mP2 −3 P ( m− √ m ) P=3 (vì SP > nên P ≠ 0) Để có P từ phương trình này thì m− √ m≠ m≠ 1❑❑ ( m>0 ) và ta được: 3 P= , đó S= Trường hợp này hệ (VI) có nghiệm (S; P) thoả mãn S2 ( ) √ m √ m− √ m−1 ≥ 4P và khi: 2 ( √m −1 ) 12 ≥ ⇔ 3≥ ⇔ √ m≥ ( √ m−1 ) ⇔ √ m ≤ √ m−1 √ m ( √ m −1 ) √ m ( √ m− ) 0<m ≤16 ❑❑ ( m≠ ) Tóm lại, các giá trị m để hệ (V) có nghiệm x ≠ 0; y ≠ là: 0<m ≤16 ❑❑ ( m≠ ) Do đó: T3 = (0; 16] \ {1} Vậy: max A = 16 (chú ý không tồn A min) Bài toán 4: ( HSG quốc gia - Bảng A + B năm 2005 ) Cho hai số thực x, y thoả mãn: x − √ x +1=3 √ y +2− y Hãy tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức K = x + y Lời giải : ĐKXĐ: x -1, y -2 Gọi T là tập giá trị K Ta có m T Hệ sau có nghiệm: ¿ ¿ x − √ x +1=3 √ y +2− y ( √ x +1+ √ y +2 )=m (VII) x + y=m x + y =m ¿{ ¿{ ¿ ¿ Đặt u = √ x+1 và v = √ y+ thì u, v > và hệ (VII) trở thành: ¿ m ¿ u+ v= 3 ( u+ v )=m 2 m u +v =m+3 uv = − m− ¿{ ¿ ¿{ ¿ m m u, v là nghiệm phương trình: t − t + − m− =0 18 t −6 mt +m2 − m− 27=0 (3) ¿ S=x + y Đặt P=xy ¿{ ¿ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4) Từ đó, hệ (VII) có nghiệm (x; y) cho x -1, y -2 và (3) có hai nghiệm không âm và điều kiện là: ¿ Δ❑t =−9 ( m2 −18 m− 54 ) ≥ m St = ≥0 9+3 √ 21 ≤m ≤ 9+ √ 15 2 m − m− 27 P t= ≥0 18 ¿{{ ¿ 9+3 √ 21 ; 9+ √ 15 Do đó, T4 = 9+3 √21 Vậy K = , max K = 9+3 √ 15 Bình luận: Ưu phương pháp trên là quy bài toán tìm GTLN, GTNN bài toán tìm tham số để hệ có nghiệm, vì không cần rõ giá trị biến số để biểu thức đạt GTLN, GTNN Nếu dùng các bất đẳng thức để đánh giá thì thiết phải rõ các giá trị biến số để đó biểu thức đạt GTLN, GTNN Các bạn có thể mở rộng phương pháp này cho biểu thức có nhiều hai biến số [ ] *Cuối cùng là các bài tập minh hoạ phương pháp trên : Bài 1: Cho hai số thực x, y thoả mãn: x2 + y2 = 2(x + y) + Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = √3 x ( x − )+ √3 y ( y −2 ) Bài 2: Cho các số thực x, y thoả mãn: 4x2 - 3xy + 3y2 = Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức F = x2 + xy - 2y2 Bài 3: Cho các số thực không âm x, y thoả mãn: √ x+ √ y=4 Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức Q = √ x+1+ √ y +9 Bài 4: Cho các số dương x, y thoả mãn: xy + x + y = 3x y 2 + −x −y Tìm GTLN biểu thức G = y +1 x +1 Bài 5: (Cao đẳng kinh tế kỹ thuật năm 2008) Cho hai số x, y thoả mãn: x2 + y2 = Tìm GTLN , GTNN biểu thức P = 2(x3 + y3) -3 xy Bài 6: (Đại học Khối B năm 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức: x2 + y2 = ( x 2+ xy ) Tìm GTLN, GTNN biểu thức P = 1+2 xy+2 y (5)