Bài toán bất đẳng thức, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

Tài liệu thông tin đến quý độc giả một số bài toán bất đẳng thức, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức với cơ sở lý luận và một số bài tập vận dụng. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung.

Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC-GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC I Cơ sở lý luận Một số bất đẳng thức thường sử dụng 1.1 Cho a, b  Khi ta có a  b  ab Đẳng thức xảy a  b Bất đẳng thức viết dạng khác tương đương a  b a b 2 ;  a  b   4ab ; a  b  2ab ; a  b2     ab   1.2 Cho a, b, c  Khi ta có a  b  c  3 abc Đẳng thức xảy a  b  c Bất đẳng thức có số ứng dụng để chứng minh số bất đẳng thức khác phổ biến sau: a  b  c 2 2 a b  b c  c2 a  abc  a  b  c  a  b2  c2  ab  bc  ca a  b2  c   a  b  c   3 ab  bc  ca   ab  bc  ca   3abc  a  b  c   a  b3  c    a  b  c  2  a  b  c  ab  bc  ca    a  b  b  c  c  a  a b c 2 a  b  c   a  b  c   1 1   9 a b c 1.4 Một số đẳng thức đáng nhớ  x  y  y  z    y  z  z  x    z  x  x  y    x  y  z   x  y  y  z  z  x   xyz   x  y  z  xy  yz  zx  x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx  x  y  z   x  y  z   3 x  y  y  z  z  x   xy  yz  zx 1.5 Tuy nhiên biểu thức làm ta nhớ đến bất đẳng thức phụ: 1 , với ab a b 1 ab 1 , với a, b  ab    2  a  b  ab   (1  a)(1  b)   ab , a, b  II Bất đẳng thức đối xứng hai biến Phương pháp giải Dồn biến t  xy t  x  y ; Tìm điều kiện biến t Sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số biến t ; tìm GTLN; GTNN Chú ý: Đối với toán bất đẳng thức đối xứng hai biến cần ý đến đánh giá thường sử dụng sau: 1) x  y  xy ; x; y Dấu "  " xảy x  y ; x  y x2 y2  x  y     2) x  y  ; x; y Dấu "  " xảy x  y ; 1 11 2 2 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước 3) xy  x  y 4)  x  y  GV Nguyễn Hữu Hiếu ; x; y Dấu "  " xảy x  y ;  xy ; x; y Dấu "  " xảy x  y   Cho số thực x, y thỏa điều kiện x  y  xy  Tìm giá trị lớn giá trị Bài nhỏ biểu thức P  x4  y4 xy  Lời giải   Đặt t  xy Ta có: xy    x  y   xy  4 xy  xy     Và xy    x  y   xy  xy  xy  x Suy : P  Do đó: P '  2  y2   2x2 y2 2 xy   t  t   2t  1 1 ĐK:   t  7t  2t    2t  1  1  5 1  3 , P '   t  0, t  1( L) P     P      x  0; y   Kết luận MaxP     y  0; x    P    15 2 x y MinP  15 Bài Cho x, y  thỏa mãn x  y  xy  Tìm GTLN, GTNN biểu thức: x2 y2   y 1 x 1 x  y  Nhận xét Trong toán ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương xuất ẩn phụ Cụ thể sau: x2 y2 ( x  y)3  3xy( x  y)  ( x  y)  xy Ta có: P      y 1 x 1 x  y  xy  ( x  y )  ( x  y)  P Đặt: t  x  y  xy   t Khi đó: P  f (t )  t  t  t   4 t 3 Bài Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  3xy Lời giải   Ta có P   x  y  x  y  xy  3xy   x  y 8  xy   3xy t2  Suy  t2   t2  t3 P  t 8      t  12t  12  2 2   Đặt x  y  t Do x  y  nên xy  Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước  GV Nguyễn Hữu Hiếu  Do  x  y   xy nên t  t   4  t  t  t  12t  12 với t   4;4 2 t  4   4;4 ' ' Ta có f  t    t  3t  12; f  t     t    4;4 f  4   28; f    26; f    Kết luận MaxP  26  t   x  y  1; MinP  28  t  4  x  y  2 Xét f  t    Bài Cho x, y số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện x  y  xy  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: S  x y  xy Lời giải Ta có S  xy ( x  y )  S  ( xy )2 ( x  y  xy )  ( xy )2 (1  3xy ) Đặt t  xy 2 x  y  xy   ( x  y )   xy   t  1 x  y  xy    3xy  ( x  y )2   t  t   1  S  f (t )  t (1  3t ), t   1;  f '(t )  2t  9t    t   3  2 1 f ( 1)  4, f (0)  f    0, f  3 S   x  1, y  2  S   2  S      243 S  2  x  1, y  1 Kết luận MaxS   x  1, y  1; MinS  2  x  1, y  1 x3 y Bài Cho số thực dương x, y thỏa mãn     2 Tìm giá trị lớn xy y x x y 16 biểu thức P  x y  x  y2  Lời giải Từ giả thiết ta có : 3xy   x  y  2  2x2 y2  xy xy 1   2t  3t  3t    t   ;2  t 2  16 16 P  x2 y2   x2 y2   t2  x  y 2 xy  t 1 20 1  , t   ;2 ta có Max f  t   Xét hàm số f  t   t  t 2 x y  t 1 2  1  ;2 Đặt t  xy, t  ta có 3t   2t    Kết luận Max f  t   1   ;2 20 t 2 x y  Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu Bài Cho số thực dương x, y thỏa mãn x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức  x 1  y 1 2 P  4  4   x y   x   y  Lời giải Từ giả thiết toán ta có  x  y  x  y  xy  x  y  x  y   x y2 x  y    Mặt khác x, y  nên  x  y  xy  x  y Vậy ta có  x  y    Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt ta chứng minh a  b3   a  b  Ta có 3  x 1  x 1 y 1 x  y  y 1 2 P  4  4     x  y   x   x   y   y 3   x  y 2   x  y    x  y       x  y      t  3t   t Đặt t  x  y, t  2;3 , ta có f  t   P    ; t   2;3   3t  Kết luận Min f  t   64   t   x  y  2;3 Bài Cho x  y  xy  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức M  x4  y  x2 y Lời giải 2  1 1  x  y  xy  xy  xy  xy   xy   ( x  y )  xy   xy   Ta có: x  y  xy    Mặt khác, từ x  y  xy   x  y   xy nên M  ( x  y )  3x y  2 x y  xy  Đặt t  xy  M  2t  2t   1  Vậy cần tìm Min Max tam thức bậc hai: f (t )  2t  2t  đoạn  ;1 3    x      x  y  xy    y    1  Ta có: MinM  f ( )  Đạt   1   xy     x         y     Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu  3  x  y  xy   x    Ta có: MaxM  f ( )  Đạt khi:   1 2 xy    3  y   2 Bài Cho x, y số thực thỏa mãn x  y  xy  Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ biểu thức F  x  y  x y  xy BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu   thức P  x  y  3xy Bài 10 Cho x  0, y  x  y  xy  Tìm GTLN A   3x 3y   ( x2  y2 ) y 1 x 1  Bài 11 Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y   x  y  Tìm GTNN  1  1 biểu thức P   x     y   y  x  Bài 12 (B-2009) Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn  x  y   xy  Tìm giá trị nhỏ     biểu thức A  x  y  x y  x  y  Bài 13 (D-2009) Cho số thực không âm x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị    lớn biểu thức S  x  y y  3x  25xy Bài 14 (D-2012) Cho số thực x, y thỏa mãn  x     y    xy  32 Tìm giá trị nhỏ 2 3 biểu thức A  x  y  3 xy  1 x  y   Bài 15 (A-2013) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  c  b  c   4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  32a  b  3c   32b3  a  3c   a  b2 c Bài 16 Cho x, y  thỏa mãn x y  xy  x  y  3xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức Px y 2 1  xy   xy 3 Bài 17 Cho x, y hai số thực thỏa mãn x  y  xy  Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A  5xy  y Bài 18 Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn x  y   Tìm giá trị nhỏ biểu xy xy x 1 y 1   2x  y  x  y2  Bài 19 Cho số thực x, y  thỏa mãn x  y   3xy Tìm giá trị lớn biểu thức 3x 3y 1 P   2 y  x  1 x  y  1 x y thức P  Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu Bài 20 Cho số thực dương a, b thỏa mãn ab  a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 4a 4b   2ab   3ab b 1 a 1  Bài 21 Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x    1  1  y     Tìm giá trị  y x  nhỏ biểu thức P  xy   x   y 2 Bài 22 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  1  1 P  1  x      1  y  1   y x   Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu II Một số toán cần dùng bất đẳng thức phụ Bổ đề: Cho a, b  ta ln có: 1 1) , với ab a b 1 ab 1 2) , với ab    2  a  b  ab (Đề thi HSG 12 Bình Phước 2014) Cho số thực dương a, b thỏa a Bài 1 trị nhỏ biểu thức: Q a b 3 a2 b2 a b 2ab Tìm giá b Nhận xét Trong toán với giả thiết a b 2ab biểu thức nhẹ nhàng, biểu diễn theo tổng tích Do ẩn phụ tốn phụ thuộc hồn tồn vào biểu thức 1 lại Tuy nhiên biểu thức làm ta nhớ đến bất đẳng thức phụ: a b 1 , với ab 2 a b 1 ab Từ giả thiết ta có: 2ab a b ab biểu thức theo tích a b Ta có 3 Q a b2 a b ab Đặt t Bài ab , ta có Q ab ab t3 f (t ) Đến ta dự đoán ẩn phụ a b ab 3 4ab 4 3t 1 Tìm GTNN T : ab Cho a, b ab a 1 32 b 2a(1 a b a) 2b(1 b) Giải +) Ta có: a b ab ab , Thật vậy: Quy đồng, chuyển vế, bđt tương đương với Lại có: 2 ab ab.1 +) Ta có: a(1 a) b(1 Suy ra: 2a(1 a) 2b(1 b) a b) a) ab a b Suy ra: b b) 1 a 2ab (Đúng) b ab ab 2 ab 32 ab 12 2b(1 ab 2 ab 2a(1 ab 2a(1 12 a) 2b(1 32 b) ab 16 ab T +) Đặt t ab 16 ab ab T t2 16 t f (t ) Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước f '(t ) Xét M (t 8t 3)2 (t (t 3)2 3) t t(t 3) t (t GV Nguyễn Hữu Hiếu 3)2 (t 3)2 (t 3) t (t t(t 3) t 3) t t t t2 t t t 6t t 3t (t Suy f '(t ) t f (t ) đồng biến t Từ đó: MinT f (1) t a b t 3) 3t (Đúng t ) t Bài Cho số thực x, y  thỏa mãn x  y   Tìm giá trị nhỏ biểu thức xy 1  xy    2x  y  x2  y Theo BĐT AM-GM ta có: x4  y   x y   x  y   x y   x3 y  xy   Do đó: xy P   xy  1  x y  xy  3   xy  Ta ln có bất đẳng thức phụ sau: 1   ,  x, y   x  y  xy 1    x  y  xy   xy   x  y   xy  x  y    x  y  xy  x y  y x   3xy Thật ta có: (Điều x y  y x   3 x3 y  3xy ) 1  xy  xy     Vậy P  (theo AM-GM) 2 1 2x 1 y  x  y  xy  xy  2t Đặt t  xy, t  (0;1] Xét f (t )   , t  (0;1]  t  2t Ta có: f '(t )  2 2  t     2t   0, t  (0;1]  f (t ) nghịch biến (0;1] nên P  f (t )  f (1)   x2 y  y x  x  y 1 Vậy P    xy   Bài Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x y trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: S x x 2 y y 2014 2015 2012 Tìm giá 2xy x x y y 1 Nhận xét Phép đặt ẩn phụ cho toán là: t  x  y  Vấn đề đặt với giả thiết phức tạp chặn ẩn phụ t Quan sát vế phải giả thiết ta thầy dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta thu tổng x  y từ ta có bất đẳng thức chứa ẩn x  y Giải bất phương trình ta thu giới hạn x  y , từ thu điều kiện cho ẩn phụ t Thật vậy: Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TỐN VD-VDC Trang Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước x y x y 2014 GV Nguyễn Hữu Hiếu 22 2012 32 x y 2014 2012 13 x y 2012 2012  x  y  2012  13  x  y  2012    x  y  2012   13  x  y  2012     x  y  2012  13  2012  x  y  2015  2013  x  y   2016 Do t   2013; 2016    IV Bất đẳng thức đối xứng ba biến Phương pháp giải Dồn biến t  x  y  z ; t  xy  yz  zx; t  x  y  z ; t  xyz ; Tìm điều kiện chặt biến t Sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số biến t ; tìm GTLN; GTNN hàm số Chú ý: Đối với toán bất đẳng thức đối xứng ba biến cần ý đến đánh giá, phân tích thường sử dụng sau: 1) x  y  z  xy  yz  zx ; x; y; z Dấu "  " xảy x  y  z ;  x  y  z x2 y2 z2  x  y  z      2) x  y  z  ; x; y; z Dấu "  " xảy 1 111 x  y  z ; 2 2  x  y  z xyz  ; x; y; z Dấu "  " xảy x  y  z ; 27 4)  x  y  y  z    y  z  z  x    z  x  x  y    x  y  z   xy  yz  zx ; 3) 5) 6) 7)  x  y  y  z  z  x   xyz   x  y  z  xy  yz  zx  ; x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx  ; x  y  z   x  y  z   3 x  y  y  z  z  x  Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a 121 P a b c 14(ab bc ca ) Nhận xét Trong tốn cần a (a Ta có ab bc Do A Đặt t a2 c)2 b ca a2 b2 (a b2 c2 ) b2 b2 c c2 a2 b b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức vào P làm xuất ẩn phụ Thật vậy: 2(ab bc ca ) 121 c2 7(1 (a c2 Ta có f (t ) t b2 c )) 121 7(1 t ) Bài Cho số thực dương x, y, z thoả mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức P  xy  yz  zx  x yz Phân tích tìm lời giải Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu  Đây toán bất đẳng thức đối xứng ba biến Do dự đốn dấu đẳng thức xảy biến x  y  z  Quan sát giả thiết yêu cầu toán ta dự đoán ẩn phụ t  x  y  z Từ giả thiết cần lưu ý đánh giá để đưa t  x  y  z Ta có x y z 2  x  y  z  ; xy  yz  zx  x  y  z  Chú ý Bài tốn tìm giá trị lớn biểu thức nên đánh giá P theo chiều "  " Ta có lời giải chi tiết cho toán sau: Lời giải Ta có  x  y  z    xy  yz  zx    x  y  z  t2   x2  y2  z2    t  2 t 3 5 t3   , f '  t   t    0, t  Khi đó, ta có: P  f  t   t t t 14 Vậy ta có: P  f  t   f  3  Dấu “=” xảy x  y  z  14 Kết luận max P  x  y  z  2 Bài Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn giá 3 trị nhỏ biểu thức: P   xy  yz  zx   x yz Đặt t  x  y  z , ta có:  xy  yz  zx  Phân tích tìm lời giải  Đây toán bất đẳng thức đối xứng ba biến Do dự đốn dấu đẳng thức xảy biến nhau; từ giả thiết ta dự đoán dấu "  " xảy x  y  z  Quan sát giả thiết yêu cầu toán ta dự đoán ẩn phụ t  x  y  z Từ giả thiết cần lưu ý đánh giá: x y z 2  x  y  z  ; xy  yz  zx  x  y  z t   x  y  z   x  y  z   xy  yz  zx   x  y  z   Chú ý Bài tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức nên đánh giá biến t ta cần chặn hai phía Ta có lời giải chi tiết cho toán sau: Lời giải 2   t   Ta có   Đặt x  y  z  t  1 1 4 x  y  z   x  y  z    t   nên P  t     2 t 2 3 2  ;2  Xét hàm số f  t   t   xác định  t   xy  yz  zx  Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 10 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu Lời giải Ta có P  x z 1 1   z  y 1   Trước hết ta chứng minh BĐT (*) ; với a, b  0, ab  2  ab 1 a 1 b 1     2  Ta có 2  1 a 1 b   a2  b2 1 2     a  b   ab  1  với a, b  0, ab  Mặt khác 2  a  b  ab Suy Bất đẳng thức (*) Đẳng thức xảy a  b  Áp dụng Bất đẳng thức (*) ta có: P  z z 1 1 x x t 2 z   Đạt t  ,  t  , P  x 1 t t 1 1 t t 2 1 t ' ;  t  , f ' (t )  Xét hàm số f (t )  , f (t )   t  t 1 t  t  1  y 1   x   t  f '(t )  f (t ) y z   x y Kết luận MaxP    x  y  4z t   z   x Bài Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn: 5(a  b2  c2 )  6(ab  bc  ca ) Tìm giá trị lớn biểu thức: M  2(a  b  c)  (a  b2 ) Phân tích tìm lời giải  Đây tốn bất đẳng thức khơng đối xứng ba biến a, b, c lại đối xứng với hai biến a, b nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy a  b  Yêu cầu tốn tìm giá trị lớn biểu thức nên ta phải đánh giá biểu thức P theo   chiều "  " Do biểu thức a  b2 đánh giá theo chiều "  " Lời giải Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 24 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu (a  b)2  5c  5(a  b2 )  5c  6(ab  bc  ca )  (a  b)2  6c(a  b) a  b  5c  6c(a  b)  (a  b)    c  a  b  a  b  c  2(a  b) 1 Khi : M  2(a  b  c)  (a  b2 )  2(a  b  c)  (a  b)  4(a  b)  (a  b) 2 Đặt t  a  b  t  M  2t  t 4 Xét hàm số: f (t )  2t  t với t  , có f '(t )   2t  f '(t )   t  Ta có Lập bảng biến thiên : t f’(t)    f(t)  3 , t  , dấu "  " t   M  , a, b, c  2 c  a  b   a  b   Kết luận: M max   a  b 2 a  b  c   Bài 10 Cho x, y số thực dương, tìm giá trị lớn biểu thức x 2x P  ( x  1)( x  y ) ( x  y )  ( xy  1)( x  y ) Từ BBT suy f (t )  Lời giải P x x4  x2 y2  x2  y Đặt z  y ta có P  x  2x  ( xy  x  y  1)( x  y )  y x2  y2     x  x  y  z  ( x  1)( y  1)( z  1) 2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x  y  z    y ( x  1)( y  1)(1  ) x 1 2  x  y    z  1   x  y  z  1 2  x  y  z  3 ( x  1)( y  1)( z  1)      54 54 Suy P  Đặt t  x  y  z   ta có : P    x  y  z   x  y  z  3 t  t  3 54 162 1;  ta có : f '(t )     ; f '(t )   t  1; t  4 t t  2 t t  2 Lập bảng biến thiên ta có Maxf (t )  f (4)  t1;  Xét hàm f (t )  Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 25 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Kết luận MaxP  GV Nguyễn Hữu Hiếu x  y  Bài 11 Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn xy yz x3 y  y z3 biểu thức P     z2  x2 24 x z Phân tích tìm lời giải  Đây tốn bất đẳng thức khơng đối xứng ba biến, nhiên đối xứng với hai biến x, y nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy x  y  Đây tốn tìm giá trị lớn nên ta nghĩ đến đánh giá bất đẳng thức theo chiều "  " Lưu phân thức cuối đồng bậc nên ta đồng bậc hóa hai phân thức đầu bậc cách thay số từ giải thiết hai phân thức đầu đánh giá theo chiều "  " phân thức thứ ba đánh giá theo chiều "  " Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có xy yz xy yz    2 1 z 1 x  z  x2    z2  y2   x2  y    x2  z2  xy  z  x  z  y  yz  x  y  x  z   x2 y2 y2 z2        z  x z  y x  y x  z  1 y2 y2   y2 y2   1       4 z  y x  y   yz xy  1 y y  1 y y   1         2z 2x   z x  3 3 Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt , ta có x y  y z  ( xy  yz ) nên 3 3 3 x y y z ( xy  yz ) 1 y y      3 3 z x 4z x 4 z x  1 y y   y y  Suy P           z x  96  z x  1 y y Đặt t   , t  P   t  t  96 z x 1 Xét hàm số f (t )   t  t  với t  96 Ta có f '(t )   t  ; f '(t )   t  2, t  32 Suy bảng biến thiên t + – Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 26 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Dựa vào bảng biến thiên ta có P  xyz GV Nguyễn Hữu Hiếu , dấu đẳng thức xảy t  hay 12 , đạt x  y  z  12 Bài 12 Cho x, y,z ba số thực dương thỏa mãn x  y  z  x  y   3xyz Tìm giá trị nhỏ Kết luận MaxP  biểu thức P  x y 2z   yz zx x y Phân tích tìm lời giải  Đây toán bất đẳng thức không đối xứng ba biến, nhiên đối xứng với hai biến x, y nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy x  y  Đây tốn tìm giá trị nhỏ nên ta nghĩ đến đánh giá bất đẳng thức theo chiều "  " Lưu phân thức thứ ba khác biệt so với hai phân thức đầu nên ta nghĩ đến đánh giá hai phân thức đầu theo phân thức cuối Lưu ý đến bất đẳng thức Cauchy  Schwarzt dạng cộng mẫu số Ta có lời giải chi tiết cho toán sau: Lời giải Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức Cauchy  Schwarzt ta có x  y 3z  3z  xy   x  y  z  x  y  z Ta có x  y  x  y 2  x  y  z x y x  y  z 2 2z 2 x y x  y x  y 2z 2z P    2 xy  z  x  y  x  y  x  y  x y  zx  y 2 2 x  y 2z 2z    2z x  y  2z x  y x y 1 x y Dấu “=” xảy x  y; z  x  y  t; t  ta có Xét hàm số f  t   1 t f ' t      0, t  , f  t  hàm đồng biến t  Vậy  t  1 8 Min f  t   f    t  hay MinP  x  y; z  x  y 3  BÀI TẬP RÈN LUYỆN a  b Bài 13 Cho ba số thực a, b, c  1;2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  c   ab  bc  ca  Bài 14 Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh a b 2c    b  c c  a a  b  c Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 27 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu Bài 15 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  xy  3 x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z  23  xz 2 23 y2 Bài 16 Cho a, b, c ba số duơng Tìm giá trị lớn biểu thức P ab  a  2c  b  2c   16 a  b2  c  Bài 17 Cho a, b, c ba số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1  ab  7c  ca a  b  c Bài 18 Cho x, y, z  thỏa mãn x  y  z   y  1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  xy  yz  x  y  z 1 Bài 19 Cho a, b, c ba số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  2b2  5c   ab  bc  ca  1 Bài 20 Cho a, b, c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   a  ab  abc abc Bài 21 Cho a  b; a  c & a, b, c  1;4 Tìm giá trị lớn biểu thức a b c P   2a  3b b  c c  a HD: Khảo sát biến c, b, a x y   Bài 22 Cho x, y, z  : x  y  z  Tìm Max P  x  yz y  zx z  2 Bài 23 Cho a, b, c dương thỏa a  b  c  2ab  3 a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu 2014 2014  thức P   a  b   c  ac b2 2 Bài 24 Cho a, b, c dương thỏa a  b  c  2ab   a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu 40 40  thức P  a  b2  2c  b  c 1 a3 x y z3  Bài 25 Cho x; y; z  thoả mãn xy  1; z  Tìm Min P    y  x   xy  1 P HD: P  ( x  y )2  xy  x  y xy  y  x2 z  y x  2z2 Bài 26 Cho x, y, z  Tìm Min P     2x  2y 1 2z  x  y  z   Bài 27 Cho số thực dương x, y, z thoả điều kiện x  y   z  Tìm giá trị lớn biểu thức P  y  x  z   x  y  z2  2 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 28 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu Bài 28 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c   a  b  c   2ab Tìm giá trị nhỏ 2   biểu thức Q  a  b  c  48  3  b  c   a  10 Bài 29 Cho số thực x, y, z 1;3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T 25 y 12x z 2012 xy yz zx Bài 30 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab biểu thức P a b b c c a 4a b 2bc 3ca Tìm giá trị nhỏ c Bài 31 Cho số thực a, b  (0; 1) thỏa mãn (a3  b3 )(a  b)  ab(a 1)(b  1)  Tìm giá trị lớn 1 biểu thức sau F =   ab  (a  b)2 2 1 a 1 b Bài 32 Cho số thực dương x , y thỏa mãn x y xy Tìm giá trị lớn xy biểu thức P 2 2xy x y Bài 33 Cho a, b, c thỏa mãn a P b a2 b2 2 c 5bc c a b c a 5ca Tìm giá trị nhỏ biểu thức b Bài 34 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a biểu thức P a abc 2b b P a b thoả mãn điều kiện b c 2c c c a2 b2 a a2 b b2 a Tìm giá trị nhỏ a 3a a b b b 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2c c2 b a c a c b a2 b3 a b a c Đặt x a c c c b2 a c Bài 37 Cho ba số thực dương a, b, c Tìm Min P HD: P 2a c c ;1 Tìm GTNN P Bài 35 Cho số thực dương a, b Bài 36 Cho a, b, c b b ca c b a b ;y a c ;z b ca b a a c c xyz ca c a Khi Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TỐN VD-VDC Trang 29 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước x P y y x y xy 5z x 5z z z x z z x xy xy z z GV Nguyễn Hữu Hiếu y y z 5z xy x 5z y z z z z z 5z z 5z z z 2 1 z z z z z Bài 38 Ví dụ (Đề dự bị kỳ thi THPT Quốc gia 2015, sử dụng cho 29 thí sinh gặp cố Đà lạt) 1  Cho số thực a, b thỏa mãn a, b   ;1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2  P  a5b  ab5   3(a  b) a  b2 Nhận xét Trong toán phép đặt ẩn phụ phù hợp t  a  b 1  a 1 2 1   Vì a, b   ;1     a  b  Do điều kiện ẩn phụ t t  1;2 2  1  b 1  2  3t Bằng số đánh giá ta thu P  f (t )   t  1 t  t   t  1 Công việc lại khảo sát hàm số f (t )   3t , t  1;2  t  1 t  t   t  1 Bài 39 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 5(x Tìm giá trị lớn biểu thức P Phân tích tốn:  Chiều đánh giá toán là: P  Xác định ẩn phụ: x y z y x y z z) 19x(y z) 19x y z z )2 2(y Mặt khác ta có (y 28yz x y z2) z y (x 2(y z ) (y z )2 z Do ta có ẩn phụ cho tốn là: t y Trình bày lời giải chi tiết: Theo giả thiết ta có: 5(x y z ) 9(xy 2yz zx ) 5(x y 5(x z 2) z )3 9(xy 2yz zx ) f (t ) Bí mật tốn đánh giá P 2 y2 z )2 19x(y z) 2(y z) 9(xy x 2(y y2 z2 (y y zx ) z 10(xy y z yz 27(y z )3 zx ) 7(y 2yz z) z) z )2 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TỐN VD-VDC Trang 30 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Vì P Đặt t y 2(y (y z z) z )2 P 2(y z) t 27t y z (6t x Vậy P GV Nguyễn Hữu Hiếu 16 ; dấu đạt y y y z 27(y 1)2 (2t 27t 1) z) x y z 2(y z z 1 16 z )3 16 12 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 31 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu BẤT ĐẲNG THỨC-LÊ HỒNH PHỊ Bài Cho số thực x, y thỏa mãn  x  y   xy  Tìm giá trị nhỏ A   x  y  x y    x  y   Hướng dẫn giải Kết hợp  x  y   xy  với  x  y   4xy suy ra:  x  y   x  y   x  y  A  3 x4  y  x2 y    x2  y   3 x  y    x4  y    x2  y    2 2 3   x2  y    x2  y    x2  y     A x  y    x  y   Đặt t  x  y , ta có  x y 2 Xét f  t    x  y  2  1  t  , A  t  2t  2 9 t  2t  1; f '  t   t   với t  2 1  f  t   f    Do A  dấu = xảy x  y  1  16   16 t ;    Vậy giá trị nhỏ A Bài 16 Cho x  y tùy ý Tìm GTLN, GTNN M x  xy  y  x  x  12 y  Hướng dẫn giải Xét y  M  Xét y  thì:   12 y 1 xy x  12 y  x x M   x2  y .12 y 3  12 y  x2   Đặt t  2 1 12 y  t 1 , t  M  f t    x2 3t  4 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TỐN VD-VDC Trang 32 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Ta có f '  t    t  1 t t  4  t GV Nguyễn Hữu Hiếu , f 't    t  BBT x  f' + f + 1/18 Do đó:  M  Vậy max M  Bài 1 Kết hợp  M  18 18 x  y , M  y  18 Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện: x3  y3  z   3xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  3z Hướng dẫn giải Từ giả thiết x3  y  z   3xyz   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   2 3   x  y  z    x2  y  z    x  y  z    2 2  t2 Đặt t  x  y  z Khi t  x  y  z   3t Xét hàm f  t   2 t2   0;  3t t  2 4 Ta có f '  t   t   , f ' t    t  2 3t 3t Lập BBT f  t   f t 0;   2  3 , đạt t  Ta có P  x  y  z  Dấu đẳng thức xảy x  2, y  z  Vậy P  , đạt x  2, y  z  Bài Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x  y  x   y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  x  y   x  1 y  1   x  y Hướng dẫn giải Điều kiện x  y  Suy x  y  Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 33 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước   GV Nguyễn Hữu Hiếu  Áp dụng bất đẳng thức  au  bv   a  b u  v ta có:  x  y   x 1  y     x   y    x  y   Suy  x  y  Đặt t  x  y t  0;3 P   x  y    x  y     x  y    t  2t   t  2 Xét hàm f  t   t  2t   t   0;3 f '  t   2t   ; f ''  t    4t  4t   với t  0;3 Suy f '  t  đồng biến  0;3 Do f '  t   f '    với t  0;3 Suy f  t  đồng biến  0;3 Vậy max P  max f  t   f  3  25 , đạt t   x  2, y  0;3 P  f  t   f    18 , đạt t   x  1, y  0;3 Bài Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn: x  y  y  x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x  y   12  x  y   12 xy  12  xy Hướng dẫn giải Ta có  a  b    ab  a  b2 với a, b Áp dụng: x2   y y   x2 x 2 y  ,y 2 x  2 Suy  x  y  y  x  Do dấu đẳng thức xảy nên x   y y   x Suy x, y  x  y    Đặt t  x  y Khi  t  x  y    Đặt t  x  y Khi t  x  y  2 2 Mặt khác t   x  y   x  y  Suy t  2 Do t   2;2  Ta có xy     x  y   x2  y   t2 1 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TỐN VD-VDC Trang 34 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu Suy P   x  y   12  x  y   12 xy  12  xy  t2  t2   x  y   12  x  y   12   1  12  1 2   t  6t  12t  t2 1 t2 Xét hàm f  t   t  6t  12t    2;2 Ta có: t f '  t   3t  12t  12  t    1 2   , với t   2;2  nên f  t  đồng biến  2;2 Vậy max f  t   f    ; f  t   f  2;2    2;2      14  12 Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài P ab  a  2c  b  2c   16  a  b2  c 2 Hướng dẫn giải Ta có:  a  b  c  Suy ra: 1 2 1  a    b  c   1  a  b  c  2 1  a  b2  c2  1 a  b  c Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: ab  a  2c  b  2c    a  b a  2c  b  2c 2 1  a  b  a  b  4c   3 a  b  a  b  4c  12 a  b  c 3  a  b    a  b  4c     12 Suy nên P  ab  a  2c  b  2c  27 a  b  c   a  b  c 32 1 a  b  c Đặt t  a  b  c t  P  27 32  t2 t 1 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 35 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Xét hàm f  t   GV Nguyễn Hữu Hiếu 54 32 27 32  0;   , f '  t      2 t t t 1  t  1 f '  t     t  3 16t  21t     t  Lập BBT f  t   f  3  5  0;  Do P  5 , dấu đẳng thức xảy a  b  c  Vậy giá trị nhỏ P −5, đạt a  b  c  Bài   Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện: a  b2  c  ab  bc  ca  12 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P  a  b2  c2  ab  bc  ca abc Hướng dẫn giải Từ giả thiết a, b, c không âm thỏa mãn:  a  b2  c   ab  bc  ca  12 ta có a  b  c  24   a  b2  c    Và 12  a  b2  c  a  b2  c  12  3 a  b2  c   a  b2  c  a  b2  c  2 Suy a  b  c  3;4   Đặt t  24  a  b2  c t   2;3 Do P  a  b2  c2 24   a  b  c 2   12   a  b  c  24  t   24  t  24  12 5  12    3t  t    t 5 t  Xét hàm f  t   3t  t  f '  t   6t   24  2;3 t 24 24     t  1   5t    với t   2;3 t t   nên f đồng biến đoạn  2;3 Do max f  t   f  3  32;min f  t   f    22 nên  P  2;3 2;3 Vậy max P  , đạt a  b  c  Min P  , đạt a  2, b  c  hoán vị Bài Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 36 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước  x  y  z   3xyz Tìm giá trị lớn biểu thức: P GV Nguyễn Hữu Hiếu 1    x  yz  y  zx  z  xy Hướng dẫn giải Ta có: 3xyz   x  y  z   4.3 xyz nên xyz  Và:  x  yz  2 x  yz  2 x yz  2 xyz yz  4 yz Suy 1 1 11        x  yz 4 yz  yz  1 1  1           yz   yz  Tương tự: 1  1     ,      x  yz  zx   x  yz  xy  1 1  1 3         xy yz zx   4  Do P   Vậy max P  Bài , x  y  z  Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  c  b  c   4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 32a3  b  3c   32b3  a  3c   a  b2 c  a  b   1  1   c  c  Ta có  a  c  b  c   4c   Đặt x  a b ; y   x  1 y  1  c c  S  P   P   S Do   x 3  y   2 P  32      x  y  y    x     x y  2  8    x y  y 3 x 3  S  3S    S    S  3S  P  S S  8   8    2  3S  P    3S    S    3 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 37 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu  S  5S   S S  S 1   8  8     2    2S  12    S  1  3 S ,S  2 0, S  2 P '   S  1  Dấu “=” xảy chẳng hạn x  y  Vậy P  P     Bài 10 Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn    giá trị nhỏ biểu thức S  x3  y y  3x  25xy Hướng dẫn S  16 x y  12  x3  y   xy  25xy  16 x y  12  x  y   3xy  x  y   34 xy  16 x y  xy  12   Đặt t  xy , ta S  16t  2t  12  x  y  xy    1  t  0;   4  1   Xét hàm f  t   16t  2t  12 đoạn  0;  Kết max S  25 191 , S  16 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 38 ... y  xy  Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ biểu thức F  x  y  x y  xy BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu   thức P  x ... tốn bất đẳng thức khơng đối xứng ba biến Quan sát biểu thức P dự đoán ẩn phụ t  a  b  c  Chú ý Bài toán tìm giá trị nhỏ biểu thức nên đánh giá P theo chiều "  " Từ suy cần đánh giá biểu thức. .. giải  Đây toán bất đẳng thức đối xứng ba biến Do dự đốn dấu đẳng thức xảy biến Quan sát biểu thức P ta dự đoán ẩn phụ t  a  b  c  Chú ý Bài tốn tìm giá trị lớn biểu thức nên đánh giá P theo