vÒ mét c¸ch t×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña biÓu thøc chøa hai biÕn sè §ç B¸ Chñ – Th¸i B×nh tÆng www.mathvn.com Có nhiều phương pháp để tìm giá trị lớn nhất GTLN , giá trị nhỏ nhất [r]
(1)vÒ mét c¸ch t×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña biÓu thøc chøa hai biÕn sè §ç B¸ Chñ – Th¸i B×nh tÆng www.mathvn.com Có nhiều phương pháp để tìm giá trị lớn (GTLN) , giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức có từ biến số trở lên Bài viết này chúng tôi xin trao đổi phương pháp tìm cực trị biểu thức hai biến số nhờ miền giá trị , đó hai biến bị ràng buộc điều kiện cho trước Bài toán : Cho các số thực x , y thoả mãn điều kiện : G(x ; y) = ( G(x;y) ≥ G(x;y) ≤ ) Tìm GTLN , GTNN ( có ) biểu thức P = F(x ; y) Cách giải : Gọi T là miền giá trị P Khi đó m là giá trị T và hệ sau có nghiệm (x ; y): ⎧ G ( x; y ) = ⎧ G ( x; y ) ≥ ⎧ G ( x; y ) ≤ ( ⎨ ⎨ ) ⎨ ⎩ F ( x; y ) = m ⎩ F ( x; y ) = m ⎩ F ( x; y ) = m Sau đó tìm các giá trị tham số m để các hệ trên có nghiệm Từ đó suy miền giá trị T P , suy GTLN , GTNN ( có ) P Sau đây là các bài toán minh hoạ Bài toán : Cho hai số thực x , y thoả mãn điều kiện : x ( x − 1) + y ( ) y − = xy Tìm GTLN , GTNN biểu thức F = x + y + xy Lời giải : Gọi T1 là miền giá trị F Ta có m ∈ T1 ⇔ hệ sau có nghiệm: ( ) ⎧ x ( x − 1) + y y − = xy ⎪ ⎨ ⎪⎩ x + y + xy = m ⎧⎪ S = x + y Đặt : ⎨ Ta có ∃x, y ⇔ ∃S, P : S ≥ P ⎪⎩ P = xy ⎧ S − S − 3P = ⎧ S + S = 3m ⇔⎨ Hệ trên ⇔ ⎨ ⎩ S+P=m ⎩ P = m−S 4( S − S ) Ta có : S ≥ P ⇔ S ≥ ⇔ S − 4S ≤ ⇔ ≤ S ≤ Từ đó hệ PT đầu có nghiệm ⇔ f ( S ) = S + S = 3m có nghiệm ≤ S ≤ Vì hàm bậc hai f(S) đồng biến trên [ 0;4] nên PT f(S) = 3m có nghiệm ≤ S ≤ ⇔ f (0) ≤ 3m ≤ f (4) ⇔ ≤ 3m ≤ 24 ⇔ ≤ m ≤ Do đó T1 = [ ;8] Vậy minF = , maxF = Bài toán : Cho các số thực x, y thoả mãn : x - xy + y ≤ Tìm GTLN , GTNN biểu thức Q = x + xy - 2y Lời giải : Gọi T2 là miền giá trị Q Ta có m ∈ T2 ⇔ hệ sau có nghiệm: ⎧x - xy + y ≤ ⎨ 2 ⎩ x + xy - 2y = m (1) (2) Lop12.net (2) ⎧⎪ x ≤ Nếu y = thì hệ (1),(2) ⇔ ⎨ , suy trường hợp này hệ có nghiệm (x ; 0) ⇔ ≤ m ≤ ⎪⎩ x = m ⎧ y (t − t + 1) ≤ (3) Nếu y ≠ thì đặt x = ty ta có hệ : ⎨ 2 ⎩ y (t + t − 2) = m (4) m(t − t + 1) m 2 ≤3 Từ (4) ta phải có m (t + t − 2) > và thay y = vào (3) t +t−2 t +t −2 ⎧m(t + t − 2) > ⎪ Trường hợp này hệ (1),(2) có nghiệm ⇔ HÖ ⎨ m(t − t + 1) có nghiệm ≤ ⎪ ⎩ t +t −2 ⎡ ⎧m > ⎢⎪ ⎢ ⎨ f (t ) ≤ cã nghiÖm t ∈ (−∞ ; −2) ∪ (1; +∞ ) ⎢ ⎪⎩ t2 − t + m ( I ) ( với f (t ) = , t ∈ R \ {−2;1} ) ⇔⎢ t + t − m < ⎧ ⎢⎪ ⎢⎨ cã nghiÖm t ∈ (−2;1) ⎢ ⎪ f (t ) ≥ m ⎣⎩ 2t − t + 3± Ta có : f ′(t ) = , f ′(t ) = ⇔ t = (t + t − ) Bảng biến thiên hàm f(t) 3− 3+ t −∞ -2 +∞ 2 f’(t) + + 0 + 1− +∞ +∞ f(t) −∞ −∞ 1+ Từ bảng biến thiên ta có ⎡⎧ m > ⎢⎪ ⎢ ⎨1 + 2 ≤ ⎢ ⎪⎩ (I) ⇔⎢ ⎢⎧ m < ⎢ ⎪⎨ ⎢ ⎪1 − ≥ ⎢⎣ ⎩ m ⎡ < m ≤ −1 + ⇔⎢ ⎢⎣ −1 − ≤ m < m Kết hợp các trường hợp trên ta : −1 − ≤ m ≤ −1 + Do đó T3 = ⎡ −1 − ; − + ⎤ Vậy minQ = −1 − , maxQ = −1 + ⎣ ⎦ ( Bài này các bạn có thể tham khảo hướng dẫn giải đề số - THTT tháng 6/2007 ) Bài toán : Cho hai số thực x, y thoả mãn : x + 16 y + x + 8y ≤ 3(1 − xy ) Lop12.net (3) Tìm GTNN biểu thức K = x ( x + 1) + y ( y + 1) Lời giải : Gọi T3 là miền giá trị K Ta có m ∈ T3 ⇔ hệ sau có nghiệm: ⎧9 x + 16 y + x + 8y ≤ 3(1 − xy ) ⎨ x ( x + 1) + y( y + 1) = m ⎩ ⎧(3 x + y )2 + 2(3 x + y ) − ≤ (5) ⎧ −3 ≤ x + y ≤ ⎪ ⎪ Hệ trên ⇔ ⎨ 2 1 2 ⇔⎨ x y m + + + = + ( ) ( ) ⎪ ⎪⎩( x + ) + ( y + ) = m + (6) 2 ⎩ Dễ thấy : m ≤ − thì hệ vô nghiệm Với m > − , xét mặt phẳng toạ độ Oxy ta có : tập hợp nghiệm (5) là miền mặt phẳng (H) hai đường thẳng song song d1 : x + y + = và d2 : x + y − = có chứa biên là hai 1 đường thẳng d1 và d2 , còn tập hợp nghiệm (6) là đường tròn (C) có tâm I( − ; − ) , bán kính 2 R = m+ Trường hợp này hệ (5),(6) có nghiệm ⇔ (C) và (H) có điểm chung ⇔ 1 49 ≤ m+ ⇔ m≥− ( thoả mãn m > − ) 10 100 49 ⎡ 49 ⎞ Do đó T3 = ⎢ − ( không tồn maxK) ; +∞ ⎟ Vậy K = − 100 ⎣ 100 ⎠ (Bạn đọc tự vẽ hình minh hoạ) Bài toán : Cho các số thực x, y thoả mãn : ( ) 2cos x + 2cos y +3 + 2cos x + cos y + − 4cos x + cos y ≥ Tìm GTLN , GTNN biểu thức : M = cos x + cos y Lời giải : Gọi T4 là miền giá trị M Ta có m ∈ T4 ⇔ hệ sau có nghiệm: d ( I ; d1 ) ≤ R ⇔ ⎪⎧( 2) 2cos x + 2cos y + + 2cos x + cos y + − 4cos x + cos y ≥ (*) ⎨ cos x + cos y = m ⎪⎩ Hệ(*) ⇔ ⎧ ⎧ ⎧(2cos x + cos y ) − (2 + 2)2cos x + cos y + ≤ x y cos cos ≤ + ≤ ≤ 2cos x + cos y ≤ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⎨ m m 2 + + 2 2 m + cos x + cos y = ⎪ ⎪cos x + cos y = ⎪cos x + cos y = 2 ⎩ ⎪⎩ ⎪⎩ v ⎧ (7) ⎪ 1≤ u + v ≤ ⎪ B (8) Đặt u = cos x ; v = cos y ta có hệ : ⎨ u ≤ , v ≤ 1C ⎪ m+2 ⎪ u + v2 = (9) A ⎩ Hệ (*) có nghiệm ⇔ hệ (7),(8),(9) có nghiệm D Dễ thấy , với m ≤ −2 hệ (7),(8),(9) vô nghiệm 1 O u Với m > - , xét mặt phẳng toạ độ Ouv đó tập hợp nghiệm (7) và (8) là hình Lop12.net (4) thang cân ABCD ( gồm các điểm hình thang và các điểm trên cạnh hình thang) , còn tập hợp nghiệm (9) là đường tròn ( T ) có m+2 tâm O(0 ; 0) , bán kính R = ( hình vẽ ) Từ đó , hệ (7),(8),(9) có nghiệm ⇔ đường tròn ( T ) có điểm chung với hình thang ABCD m+2 ≤ ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ ( thoả mãn m > - 2) ⇔ d (O; CD ) ≤ R ≤ OB ⇔ 2 2 (Ở đây đường thẳng CD: u + v − = , đường thẳng AB: 2u + 2v − = và các tam giác OCD , OAB cân O) 1⎤ ⎡ Do đó T4 = ⎢ −1; ⎥ Vậy minM = -1 , maxM = 2⎦ ⎣ Bài toán : (Tuyển sinh đại học khối A năm 2006 ) Cho hai số thực thay đổi x ≠ , y ≠ thoả mãn : (x + y)xy = x + y − xy Tìm giá trị lớn biểu thức A = 1 + 3 x y Lời giải : Gọi T5 là tập giá trị A Ta có m ∈ T5 ⇔ hệ sau có nghiệm x ≠ , y ≠ : ⎧(x + y)xy = x + y − xy ⎧(x + y)xy = x + y − xy ⎧(x + y)xy = x + y − xy ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ (x + y)(x + y − xy) ⇔ ⎨ xy(x + y) ⎨1 =m =m ⎪ x + y3 = m ⎪ ⎪ (xy)3 ⎩ ⎩ ⎩ (xy) ⎧(x + y)xy = (x + y)2 − 3xy ⎪ ⇔⎨ x+y (V) ( ) = m ⎪ xy ⎩ ⎧SP = S2 − 3P ⎧S = x + y ⎪ (VI) Đặt ⎨ ( S ≥ P ) , ta có hệ : ⎨ S ⎩P = xy ⎪( ) = m ⎩ P Hệ (V) có nghiệm x ≠ , y ≠ ⇔ hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả mãn S ≥ 4P S Do SP = x + y − xy = (x − y) + y > với x ≠ , y ≠ ⇒ > với x ≠ , y ≠ P Từ đó : • Nếu m ≤ thì hệ (V) vô nghiệm S S • Nếu m > thì từ phương trình ( ) = m ⇒ = m ⇒ S = m.P thay vào phương trình P P 2 đầu hệ (VI) : mP = mP − 3P ⇔ (m − m )P = ( vì SP > nên P ≠ ) Để có P từ phương trình này thì m − m ≠ ⇔ m ≠ ( m > ) và ta 3 , đó S = Trường hợp này hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả P= m ( m − 1) m −1 mãn S ≥ 4P và : Lop12.net (5) ( )2 ≥ m −1 12 4( m − 1) ⇔ 3≥ ⇔ m ≥ 4( m − 1) ⇔ m ≤ m ( m − 1) m ( m − 1) ⇔ < m ≤ 16 (m ≠ 1) Tóm lại các giá trị m để hệ (V) có nghiệm x ≠ , y ≠ là : < m ≤ 16 , m ≠ Do đó : T5 = ( 0;16] \ {1} Vậy : maxA = 16 ( chú ý không tồn minA ) Bài toán : ( HSG quốc gia - Bảng A + B năm 2005 ) Cho hai số thực x, y thoả mãn : x − x + = y + − y Hãy tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức K = x + y Lời giải : ĐKXĐ : x ≥ −1, y ≥ −2 Gọi T6 là tập giá trị K Ta có m ∈ T6 ⇔ hệ sau có nghiệm: ⎪⎧ x − x + = y + − y ⎪⎧3( x + + y + 2) = m ⇔⎨ ⎨ x+y=m ⎩⎪ ⎩⎪ x + y = m (VII) Đặt u = x +1 và v = y + thì u, v ≥ và hệ (VII) trở thành : m ⎧ u + v = ⎪⎪ ⎧3(u + v) = m ⇔ ⇔ u , v là hai nghiệm phương trình : ⎨ ⎨ 2 + = + u v m m ⎩ ⎪uv = ( − m − 3) ⎪⎩ m m2 t2 − t + ( − m − 3) = ⇔ 18t − 6mt + m − 9m − 27 = (10) Từ đó , hệ (VII) có nghiệm ( x ; y ) cho x ≥ −1, y ≥ −2 và (10) có hai nghiệm không âm và điều kiện là : ⎧ ⎪ Δ′t = −9(m − 18m − 54) ≥ ⎪ ⎡ + 21 ⎤ m + 21 ⎪ ⇔ ≤ m ≤ + 15 Do đó T6 = ⎢ ;9 + 15 ⎥ ⎨St = ≥ 2 ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ m − 9m − 27 ≥0 ⎪ Pt = 18 ⎩ + 21 , maxK = + 15 Bình luận : Ưu phương pháp trên là quy bài toán tìm GTLN , GTNN bài toán tìm tham số để hệ có nghiệm , vì không cần rõ giá trị biến số để biểu thức đạt GTLN , GTNN Nếu dùng các bất đẳng thức để đánh giá thì thiết phải rõ các giá trị biến số để đó biểu thức đạt GTLN , GTNN Các bạn có thể mở rộng phương pháp này cho biểu thức có nhiều hai biến số Cuối cùng mời các bạn vận dụng phương pháp trên để làm các bài tập sau : Bài : Cho hai số thực x , y thoả mãn : x + y = 2( x + y ) + Vậy : minK = Tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức P = x ( x − 2) + y( y − 2) Bài : Cho hai số thực x , y thoả mãn : x ( x + 1) + y ( y + 1) ≤ Lop12.net (6) Tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức Q = 2007 x + 2008 y + 2009 Bài : Cho các số thực x, y thoả mãn : 4x - 3xy + 3y ≤ Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức F = x + xy - 2y Bài : Cho các số thực không âm x , y thoả mãn : x + y = Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức Q = x + + y + Bài : Cho các số thực x, y thoả mãn : cos x + cos y = Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức L = cos x + cos y Bài : (Đại học khối B năm 2008 ) : Cho hai số thực x , y thay đổi và thoả mãn hệ thức 2(x + 6xy) + 2xy + 2y Bài : ( Cao đẳng kinh tế kỹ thuật năm 2008 ) Cho hai số x , y thoả mãn x + y = Tìm GTLN , GTNN biểu thức P = 2(x + y ) − 3xy x + y = Tìm GTLN và GTNN biểu thức P = Bài : Cho các số dương x , y thoả mãn : xy + x + y = Tìm GTLN biểu thức 3x 3y xy P= + + − x − y ( Đ/s : maxP = 3/2) y +1 x +1 x + y Hết Lop12.net (7)