- Để tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số Fx trên miền D ta có thể sử dụng đạo hàm và kết hợp với việc so sánh giá trị cực đại, cực tiểu với các giá trị đặc biệt ta gọ[r]
(1)GIÁ TR Ị LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ - Chuyên đề này trình bày cho các bạn các phương pháp tìm giá trị lớn hàm số như: dung đạo hàm để tìm GTLN, GTNN ; dùng phương pháp chiều biến thiên hàm số, pp miền giá trị… - Các bạn nắm vững các pp thường gặp để tìm GTLN, GTNN cách dùng hàm số II KIẾN THỨC CƠ BẢN Lý thuyết a Định nghĩa: Giả sử F(x) là hàm số xác định trên miền D Số M gọi là giá trị lớn F(x) trên miền D nó thỏa mãn điều kiện sau: 1/ F(x) ≤ M 2/ Tồn x0 ∈ M cho F(x0) = M Khi đó ta sử dụng ký hiệu: M = max F(x) Số m gọi là giá trị nhỏ F(x) trên miền D nó thỏa mãn điều kiện sau: 1/ F(x) ≥ M 2/ Tồn x0 ∈ M cho F(x0) = m Khi đó ta sử dụng ký hiệu: m = F(x) Chú ý: Trang http://kinhhoa.violet.vn Lop12.net (2) - Định nghĩa có phần và ko xem nhẹ phần nào Nói vì các bạn học sinh thường bỏ qua phần thứ định nghĩa Nói rõ hơn:Từ F(x)≤ M ∀ x ∈ M thì chưa thể suy M = max F(x) Xét VD sau: Cho F(x,y,z) = y+z x+y y x+z x z + + + + + x z y y+z y+x x+z Trên miền D = { x>0, y > 0, z > 0} Nếu bạn làm: y+z x + ≥2 x y+z y x+z + ≥2 x+z y x+y z + ≥2 z y+x Từ đó F(x,y,z) ≥ Với ∀ x>0, y > 0, z > Vì thế: Max F(x,y,z) = với x,y,z ∈ D Chúng tôi nói bạn đã sai Vì sao? Đơn giản bạn hãy thử lấy x = y = z =1 Khi đó F(1,1,1) = 7,5 > Lý sai là từ phần định nghĩa đã suy kết luận - Các bạn cần phân biệt khái niệm: + “giá trị lớn F(x) trên miền D” với “cực đại hàm số” + “giá trị nhỏ F(x) trên miền D” với “cực tiểu hàm số” Nói chung các khái niệm này khác Trang Lop12.net (3) Xét VD sau: Cho hàm số F(x) = x3 – 3x2 trên miền D = {-2 ≤ x ≤ 4} Ta có: F’(x) = 3x2 – 6x Lập bảng biến thiên sau: x -2 F’(x) F(x) + -20 0 - + -4 12 Ta thấy hàm số có cực đại (0,0) => giá trị cực đại = Hàm số có cực tiểu (2,-4) => giá trị cực tiểu= -4 Trong đó dề thấy: Max F(x) = 12 Min F(x) = -20 x ∈D x ∈D Trong VD này: + Giá trị lớn F(x) trên miền > giá trị cực đại hàm số + Giá trị nhỏ F(x) trên miền < giá trị cực tiểu hàm số Như ta có thể nói rằng: Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số trên miền D mang tính toàn cục; còn giá trị cực đại, giá trị cực tiểu hàm số mang tính địa phương Dân gian có câu: “ Xứ mù thằng chột làm vua” Có thể lấy câu ví von này làm VD chứng minh cho tính địa phương giá trị cực đại b Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số: - Đạo hàm là công cụ để tìm cực đại, cực tiểu hàm số Trang Lop12.net (4) - Để tìm Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số F(x) trên miền D ta có thể sử dụng đạo hàm và kết hợp với việc so sánh giá trị cực đại, cực tiểu với các giá trị đặc biệt (ta gọi đó là các giá trị tới hạn) - Giá trị tới hạn này thường là giá trị đầu mút các đoạn (mà trên đó cần tìm Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số) là giá trị hàm số các điểm mà không tồn đạo hàm - Lược đồ chung phương pháp sử dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số F(x) trên miền D cho trước sau: + Tìm đạo hàm F’(x) và từ đó tìm cực đại, cực tiểu F(x) (dĩ nhiên ta quan tâm tới cực đại, cực tiểu thuộc miền D) + So sánh giá trị cực đại, cực tiểu với các giá trị tới hạn trên miền D + Từ đó suy kết luận cần tìm Các bài toán đơn tìm GTLN và GTNN hàm số: Ví dụ 1: Cho x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ Tìm Giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức: P = 32x + 3y Từ x + y = => y = – x Thay vào P ta có: P = 32x + 31-x = 32x + 3x Do x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = => ≤ x ≤ => ≤ 3x ≤ Đặt t = 3x, đó ta đưa bài toán về: Tìm giá trị mã, hàm số: F(t) = t2 + với ≤ t ≤ t Trang Lop12.net (5) Ta có: F’(t) = 2t - = t2 2t − t2 Lập bảng xét dấu với chú ý: ≤ t ≤ : t F’(t) F(t) 3 33 + 10 Từ đó suy ra: Min F(t) = F( 3 ) = 3 với ≤ t ≤ Max F(t) = max {f(1), f(3)} = max {4,10} = 10 với ≤ t ≤ Vậy Max P = Max F(t) = 10 1≤t≤3 Min P = Min F(t) = 1≤t≤3 Giá trị lớn P đạt t = <=> 33 3x = <=> x = 1, y = Giá trị nhỏ P đạt t= 3 <=> 3x = 3 Trang Lop12.net (6) Suy ra: 3 = log3 3 x= log3 y=1- log3 3 Nhận xét: Người ta hay dung phương pháp đổi biến quá trình tìm giá trị max, hàm số để đưa bài toán có cấu trúc đơn giản Chỉ lưu ý điều: Khi đã đổi biến thì phải đổi miền xác định bài toán Như VD trên miền xác định cũ là: ≤ x ≤ Khi chuyển sang biến t (do t= 3x) miền xác định là: ≤ t ≤ Ví dụ 2: Cho hàm số: y= Sin 2x + x2 + Cos 4x + x2 + 1, Với x ∈ R Tìm giá trị max, hàm số trên R áp dụng công thức Cos2u= – 2sin2u, ta có thể đưa hàm số F(x) dạng: 2x 2x F(x) = -2Sin + x + Sin + + x2 Đặt t = Sin 2x + x2 , Với x ∈ R ta có: -1 ≤ 2x 1+ x ≤ -Sin1 ≤ t ≤ Sin1 π π 2 (Do [-1,1] ∈ [- , ] nên ta có điều trên) Bài toán đưa tìm giá trị max, hàm số: Trang Lop12.net (7) F(t) = -2t2 + t + với -Sin1 ≤ t ≤ Sin1 Ta có: F’(t) = -4t + Lập bảng biến thiên: t -Sin1 Sin1 F'(t) /// /// F(t) /// /// (bạn có biết vì ta có – Sin1 < 1/4 < Sin1 không?) Từ đó suy ra: Max F(t) = F(1/4) = 17/8 t ≤ Sin1 Min F(t) t ≤ Sin1 = Min {F(Sin1); F(-Sin1)} = Min {-2Sin21 – Sin1 + 2; -2Sin21 + Sin1 + } = -2Sin21 – Sin1 + Tóm lại: Max F(x) = Max F(t) = x ∈ R t ≤ Sin1 Min F(x) = Min F(t) F(1/4) = 17/8 = Min {F(Sin1); F(-Sin1)} Trang Lop12.net (8) x ∈ R = -2Sin21 – Sin1 + t ≤ Sin1 Giá trị nhỏ F(x) đạt t = - Sin1 = Sin(-1) Tức là: <=> Sin 2x + x2 2x 1+ x = Sin (-1) = -1 (Chú ý: -1 ≤ <=> (x+1)2 = <=> x = 2x + x2 ≤ 1) Giá trị lớn F(x) đạt nào, các bạn tự tính Bài toán giá trị lơn nhất, giá trị nhỏ chứa tham số: - Trong các bài toán này, giá trị max, hàm số F(x) trên miền D phụ thuộc vào tham số m Khi m biến thiên, nói chung các giá trị này thay đổi Cần nhấn mạnh phương pháp dùng đạo hàm tỏ có hiệu lực rõ rệt với loại bài toán này - Có loại bài toán chinhs thường gặp: + Tìm giá trị max, hàm số F(x) trên miền D theo tham số m + Xét bài toán khác sau đã tìm xong giá trị max, Chúng ta hãy xét các VD sau: Ví dụ 3: Cho hàm số : y = Sin4x + Cos4x + m SinxCosx, Với x ∈ R Tìm giá trị max, hàm số và biện luận theo m? Trang Lop12.net (9) Ta có y = – m Sin22x + Sin2x 2 Đặt t = Sin2x Bài toán quy về: Tìm giá trị max, hàm số : F(t) = - t2 + F'(t) = -t + m t +1 với -1 ≤ t ≤ m Xét các khả sau: 1) Nếu m ≥ (khi đó t m ≥ 1) Ta có bảng biến thiên sau: -1 F'(t) m + F(t) /// /// Ta có: Max F(t) = F(1) = m +1 F(-1) = −m + t≤1 Min F(t) = t≤1 2) Nếu m ≤ -2 (khi đó m ≤ 1) Ta có bảng biến thiên sau: Trang Lop12.net (10) t m F'(t) -1 /// F(t) - /// Ta có: Max F(t) = F(-1) = −m + F(1) = m +1 t≤1 Min F(t) = t≤1 3) Nếu -2 < m < (Khi đó -1 < t m -1 F'(t) m < 1) Ta có bảng biến thiên sau: + - F(t) Max F(t) = t≤1 /// /// F( m )= m2 + 8 Trang 10 Lop12.net (11) = Min{f(-1); f(1)} Min F(t) t≤1 = Min{ −m + m + ; } 2 ⎧⎪1 − m ⎪⎪ ⎪ = ⎪⎨ ⎪⎪1 + m ⎪⎪ ⎪⎩ Nếu ≤ m ≤ Nếu -2 ≤ m ≤ Tóm lại ta đến kết sau: Max y = x ∈ R Min y x ∈ R ⎪⎧⎪1 − m ⎪⎪ = ⎪⎨ ⎪⎪1 + m ⎪⎪ ⎪⎩ 1+ m Nếu ≤ m + m2 Nếu -2 < m < 1− m Nếu -2 ≤ m Nếu ≤ m Nếu m < Chú ý: Có thể viết đáp số gọn hơn: VD Min y = 1+ m Ví dụ 4: Cho hàm số F(x) = 4x2 – 4ax + a2 – 2a, Xét -2 ≤ x ≤ Tìm a để: Min F(x): = 2? -2 ≤ x ≤ Ta có: F'(x) = 8x – 4a =>F'(x) = x = a Trang 11 Lop12.net (12) Xét các khả sau: 1) Nếu a > (tức x F'(x) -2 a > 0) Ta có bảng biến thiên sau: a - /// F(x) /// Min F(x) = F(0) = a2 – 2a Vì thế: -2 ≤ x ≤ Min F(x) = <=> <=> a2 – 2a = ⎡a = + ⎢ ⎢ ⎢⎣a = − Vì a> nên lấy giá trị: a = 1+ 2) Nếu a < -4 (Tức x a F'(x) F(x) Vì thế: a < -2) Ta có bảng biến thiên sau: -2 /// + /// /// /// Min F(x) = F(-2) = a2 – 6a + 16 Trang 12 Lop12.net (13) -2 ≤ x ≤ Min F(x) = <=> a2 – 6a + 16 = <=> a2 – 6a + 14 = ∆ = – 14 = -5 < PT vô nghiệm 3) Nếu -4 ≤ a ≤ (Tức -2 ≤ x F'(x) // a ≤ 0) Ta có bảng biến thiên sau: a -2 - 0 + /// F(x) // /// Vì thế: Min F(x) = F( ) = – 2a a -2 ≤ x ≤ Min F(x) = <=> –2a = <=> a = -1 Giá trị a = -1 thỏa mãn điều kiện -4 ≤ a ≤ nên chấp nhận Tóm lại các giá trị cần tìm tham số a là: a = -1 và a = 1+ 3 Phương pháp miền giá trị hàm số Trang 13 Lop12.net (14) Xét bài toán tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số f(x) …? Một miền D cho…? Gọi ⎧ f ( x) = y0 ⎩x ∈ D yo là giá trị tùy ý f(x) trên D, thì hệ sau đây (của x) ⎨ (1) (2) có nghiệm Tùy dạng hệ (1) (2) mà ta có các điều kiện có nghiệm tương ứng Trong nhiều trường hợp, điều kiện (sau biến đổi) đưa dạng α ≤ y0 ≤ β (3) Vì yo là giá trị bất kì f(x), nên từ (3) ta có Min f ( x) = α ; Max f ( x) = β Như sử dụng phương pháp x∈D x∈D này để tìm giá trị lớn hàm số, thực chất ta đã qui việc tìm điều kiện để phương trình (thường làm có thêm điều kiện phụ) có nghiệm Xét các thí dụ sau: Thí dụ Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số f ( x) = 2sin x + cosx+1 , v?i x ∈ R s inx-2cosx+3 Bài giải: Để ý − ≤ s inx-2cosx+3 ≤ + 5, ∀x , nên f(x) xác định xác định trên toàn R Gọi yo là giá trị tùy ý f(x), ta có phương trình sau (của x) y0 = 2sin x + cosx+1 (1) có nghiệm s inx-2cosx+3 Dễ thấy (1) <=> 2sinx + cosx + = yo sinx - 2yo cosx + yo <=> (2 - yo)sinx + (1 + yo)cosx = yo - (2) Vì (2) có nghiệm, nên ta có (2 − y0 ) + (1 + y0 ) ≥ (3 y0 − 1) ⇔ y0 − y0 − ≤ ⇔ y0 − y0 − ≤ ⇔ − ≤ y0 ≤ 2(3) Từ (3) suy Min f ( x) = − ; Max f ( x) = x∈R x∈R Chú ý Nếu thay yo = vào (2) ta có 5cosx = <=> cosx = <=> x = 2kπ Vậy Maxf(x) đạt x = 2kπ , k ∈ Z (Xét tương tự cho Min(fx) Thí dụ Trang 14 Lop12.net (15) Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số: f ( x) = x + x + 23 , x∈R x + x + 10 Bài giải: Gọi yo là giá trị tùy ý hàm số, thì phương trình sau (của x) y0 = x + x + 23 (1) có x + x + 10 nghiệm Dễ thấy (1) ⇔ ( y0 − 2) x + (2 y0 − 7) x + 10 y0 − 23 = 0(2) Xét khả năng: + Nếu yo = 2, thì (2) <=> -3x – = => phương trình này …? có nghiệm + Nếu y0 ≠ , thì (2) có nghiệm ⇔ Δ ≥ ⇔ y0 − 16 y0 + 15 ≤ ⇔ Tóm lại (2) có nghiệm ⇔ ≤ y0 ≤ 2 ≤ y0 ≤ 2 x∈R Vì yo là giá trị tùy ý f(x), nên Min f ( x) = ; Max f ( x) = x∈R Thí dụ 3: Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức P = x + y , với x, y thỏa mãn { } ( x, y ) ∈ D = ( x − y + 1) + x y − x − y = Bài giải: Gọi to là giá trị tùy ý P, ( x, y ) ∈ D Vậy hệ sau đây (của x,y) ⎧⎪ x + y = t0 (1) có nghiệm Hệ (1),(2) tương đương với hệ sau: ⎨ 2 2 2 ⎪⎩( x − y + 1) + x y − x − y = 0(2) 2 2 (3) ⎪⎧ x + y = t0 ⎪⎧ x + y = t0 ⇔⎨ ⎨ 2 ⎪⎩( x + y ) − 3( x + y ) + + x = ⎪⎩t0 − 3t0 + + x = (4) Trang 15 Lop12.net (16) Để (4) (của x) có nghiệm ta cần có t02 − 3t0 + ≤ ⇔ Với điều kiện (5) Gọi là x nghiệm 3− 3+ ≤ t0 ≤ (5) 2 (4), và thay vào (3) ta có: x + y = 4t0 ⇔ −t02 + 3t0 − + y = 4t0 ⇔ y = t02 + t0 + 1(*) (*) chắn có nghiệm vì t02 + t0 + >0 Vậy (5) là điều kiện cần và đủ để hệ (3), (4) có nghiệm Từ đó suy Min P = ( x , y )∈D 3− 3+ ; Max P = 2 ( x , y )∈D Thí dụ { } Tìm giá trị lớn và nhỏ P = x − xy − y , trên miền D = ( x, y ) : x + xy + y ≤ Bài giải: Gọi { } { D2 = {( x, y ) : x + xy + y ≤ 3, y ≠ 0} } D1 = ( x, y ) : x + xy + y ≤ 3, y = = ( x, y ) : x ≤ 3, y = Ta có ⎧ ⎫ Max P=Max ⎨ Max P, Max P ⎬ , (1) ( x , y )∈D ⎩( x, y )∈D1 ( x, y )∈D2 ⎭ ⎧ ⎫ Min P=Min ⎨ Min P, Min P ⎬ (2) ( x , y )∈D ⎩( x, y )∈D2 ( x, y )∈D2 ⎭ Từ ( x, y ) ∈ D1 thì P = x , đó M ax P=3; M in P=0 ( x , y )∈ D1 ( x , y )∈ D1 (3) ⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎜ y ⎟ −⎜ y ⎟−3 2 x − xy − y t −t −3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Xét biểu thức S = = = 2 x + xy + y t + t +1 ⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎜ y ⎟ + ⎜ y ⎟ +1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Gọi α là giá trị tùy ý S, tức là phương trình (ẩn t) t2 − t − t + t +1 =α (4) có nghiệm Dễ thấy (4) ⇔ (α − 1)t + (α + 1)t + α + = (5) Trang 16 Lop12.net (17) + Nếu α = thì (5) có nghiệm t = -2 + Nếu α ≠ thì (5) có nghiệm Δ ≥ ⇔ (α + 1) − 4(α − 1)(α + 3) ≥ ⇔ −3α − 6α − 11 ≥ ⇔ 3α + 6α − 13 ≤ ⇔ −3 − −3 + ≤ α ≤ (6) 3 (α ≠1) Thử lại (5) có nghiệm ⇔ Ta có P = ( x + xy + y ) −3 − −3 + ≤α ≤ 3 x − xy − y 2 x + xy + y = ( x + xy + y ) S Do ( x + xy + y ) ≤ ( x, y ) ∈ D2 ⇒ −3 − ≤ P ≤ −3 + ∀ ( x, y ) ∈ D2 ⎧ x − xy − y −3 + = ⎪ Rõ ràng hệ phương trình ⎨ x + xy + y có nghiệm ⎪ 2 ⎩ x + xy + y = Như Max P = −3 + (7) Tương tự ( x , y )∈D2 Min P = −3 − ( x , y )∈D2 (8) Từ (1), (2), (3), (7), (8) suy Max P = −3 + 3; Min P = −3 − ( x , y )∈D2 ( x, y )∈D2 Phương pháp chiều biến thiên Phương pháp này kết hợp việc sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đồng biến và nghịch biến hàm số, với việc so sánh các giá trị đặc biệt hàm số (các điểm cực trị, các điểm tới hạn) Xét các thí dụ minh họa sau: Thí dụ Tìm giá trị nhỏ P = x+ y+ z+ 1 + + x y z trên miền 3⎫ ⎧ D = ⎨( x, y, z) : x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z ≤ ⎬ 2⎭ ⎩ Bài giải: Theo bất đẳng thức CoSi, ta có: Trang 17 Lop12.net (18) ⎛1 1⎞ ( x + y + z) ⎜ + + ⎟ ≥ ⎝x y z⎠ 1 ⇒ + + ≥ x y z x+ y+z (1) ⇒ P≥ x+ y+ z+ x+ y+z t Đặt t = x + y + z ⇒ 0<t ≤ Xét hàm số f (t ) = t + , < t ≤ ; f '(t ) = − Ta có bảng biến thiên sau: t -3 f ’(t) t2 f (t) Vậy Min f(t)=f ⎛⎜ ⎞⎟ = 15 Từ (1) suy P ≥ 0<t ≤ x+ y+ z = MinP = 15 3 ⎝2⎠ 15 (2) Mặt khác với x = y = z = (khi đó 2 thỏa mãn điều kiện x + y + z ≤ ), ta có P= 15 Từ đó kết hợp với (2) suy ⎛ 1⎞ Chú ý: Nếu viết P = ⎛⎜ x + ⎞⎟ + ⎜ y + ⎟ + ⎛⎜ z + ⎞⎟ ≥ 6(*) Tuy nhiên dấu (*) ⎝ x⎠ ⎝ y⎠ ⎝ z⎠ có <=> x = y = z = Nhưng x + y + z = > Vậy không có dấu (*)! Thí dụ Tìm giá trị lớn và nhỏ P = x y với ( x, y ) ∈ D = { x, y ≥ 0, x + y = 1} + y +1 x +1 Bài giải: Đưa P dạng P = x2 + x + y + y ( x + y)2 − xy + ( x + y) = xy + x + y + ( x + y) + + xy Do x + y + 1, nên với ( x, y ) ∈ D , ta có : P = − xy + xy (1) Trang 18 Lop12.net (19) Đặt t = xy, đó ≤ xy ≤ Xét hàm số f (t ) = Ta có f '(t ) = ( x + y )2 ⇒0≤t ≤ 4 − 2t với ≤ t ≤ 2+t −6 (2 + t ) , nên có bảng biến thiên (các em tự vẽ hình) dẫn đến kết luận: Vậy Max P = 1; Min P = ( x , y )∈D ( x , y )∈D Chú ý: ⎧ xy = x = 0, y = ⎪ Max P đạt ⇔ t = ⇔ ⎨ x + y = ⇔ ⎡⎢ ⎣ x = 1, y = ⎪ x, y ≥ ⎩ Min P đặt ⇔ t = ⇔ x = y = Thí dụ Tìm giá trị lớn và nhỏ f ( x) = x6 + 4(1 − x )3 x ∈ [ −1,1] Bài giải x2 = t , Đặt ≤ t ≤1 thì Ta có x + 4(1 − x )3 = t + 4(1 − t )3 = t + 4(1 − 3t + 3t − t ) = −3t + 12t − 12t + Vậy Max f ( x) = Max F (t ); Min f ( x) = Min F (t ) −1≤ x≤ 0≤t ≤1 −1≤ x≤1 Ở đây F (t ) = −3t + 12t − 12t + với 0≤t ≤1 ≤ t ≤1 Ta có F '(t ) = −9t + 24t − 12 và có bảng xét dấu sau: t 0 F‘(t) F(t) Trang 19 Lop12.net (20) Vậy Max f ( x) = 4; Min f ( x) = −1≤ x≤1 −1≤ x≤1 III CỦNG CỐ KIẾN THỨC Bài Tỉm giá trị lớn và nhỏ P = 32 x + y , ( x, y ) ∈ D = { x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1} Bài giải: Khi ( x, y ) ∈ D ⇒ y = − x , đây ≤ x ≤ , và P = 32 x + 31− x = 32 x + x Đặt t = , thì ≤ t ≤ (do ≤ x ≤ ), và P = t + Xét hàm số f (t ) = Ta có f '(t ) = t 3x t3 + = t t t3 + với ≤ t ≤ t 2t − t2 Lập bảng xét dấu sau: 3 f ’(t) f (t) 33 Max P = Max f (t ) = Max { f (1), f (3)} = Max {4, 0} = 10 ( x , y )∈D Từ đó suy 1≤t ≤3 ⎛ 3⎞ Min P = Min f (t ) = f ⎜⎜ ⎟⎟ = 33 ( x , y )∈D 1≤t ≤3 ⎝ 2⎠ Bài Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số: f ( x) = + s inx + + cosx , x ∈ R Trang 20 Lop12.net (21)