giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH 36/73 NGUY ỄN HOÀNG TRUNG TÂM GIA SƯ Đ ỈNH CAO CH ẤT LƯỢNG SĐT: 01234332133-0978421673 CHUYÊN Đ Ề HÀM SỐ 12 LUY ỆN THI T ỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Hueá, thaùng 7/2012 * GTLN Và GTNN của hàm số * Ti ệm cận của đồ thị hàm số * KSHS hàm b ậc ba, trùng phương, hửu tỉ TRUNG TÂM GIA SƯ Đ ỈNH CAO CHẤT L ƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HU Ế Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Tr ần Đình Cư 1 M ỤC LỤC Bài 3. Giá t ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - D ạng 1: Tìm GTLN, GTNN c ủa hàm số bằng đỉnh nghĩa - D ạng 2: Đ ặt ẩn phụ tìm GTLL và GTNN - D ạng 3: Ứng dụng giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình - D ạng 4: Ch ứng minh bất đẳng th ức, tìm GTLN và GTNN trên một miền Bài 4. Ti ệm cận của đồ thị hàm số - D ạng 1: Tìm tiêm c ận ngang và tiệm cận đứng bằng định nghĩa - D ạng 2: M ột số bài toán liên quan đến tiệm cận. Tìm m thỏa điều kiện K cho trư ớc Chủ đề: Tiệm cận xiên (Thảo luận) - D ạng 3: Các bài toán liên quan đ ến tiệm cận hàm phân thức Bài 5. Kh ảo sát hàm số V ấn đề 1: Hàm trùng phương - D ạng 1: Kh ảo sát và vẽ đồ thị hàm số - D ạng 2: M ột số bài toán liên quan đên hàm trùng phương V ấn đề 2: Hàm b ậc ba - D ạng 1: Kh ảo sát và vẽ đồ thị hàm số - D ạng 2: M ột số bài toán liên quan đên hàm b ậc ba V ấn đề 3: Hàm phân th ức hữu tỉ - D ạng 1: Kh ảo sát và vẽ đồ thị hàm số - D ạng 2: M ột số bài toán liên quan đên hàm phân thức hữu tỉ www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ Đ ỈNH CAO CHẤT L ƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HU Ế Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Tr ần Đình Cư 2 BÀI 3. GIÁ TR Ị LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A. KI ẾN THỨC CẦN NẮM 1. Đ ịnh nghĩa: Gi ả s ử hàm số f xác đ ịnh trên miền D (D  R). a)              0 0 ( ) , max ( ) : ( ) D f x M x D M f x x D f x M b)              0 0 ( ) , min ( ) : ( ) D f x m x D m f x x D f x m 2. Tính ch ất: a) N ếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì   [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f x f b f x f a . b) N ếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì   [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f x f a f x f b . TRUNG TÂM GIA SƯ Đ ỈNH CAO CHẤT L ƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HU Ế Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Tr ần Đình Cư 3 B. PHƯƠNG PHÁP GI ẢI BÀI TẬP Cách 1: Thư ờng dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.  Tính f  (x).  Xét d ấu f  (x) và l ập bảng biến thiên.  D ựa vào bảng biến thiên đ ể kết luận. Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].  Tính f  (x).  Gi ải ph ương trình f  (x) = 0 tìm đư ợc các nghiệm x 1 , x 2 , …, x n trên [a; b] (n ếu có).  Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ).  So sánh các giá tr ị vừa tính và kết luận.     1 2 [ ; ] max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n a b M f x f a f b f x f x f x     1 2 [ ; ] min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n a b m f x f a f b f x f x f x BÀI T ẬP MẪU: Bài 1. Tìm GTLL và GTNN (n ếu có) của các hàm số sau:    3 1 ) 3 x a y x trên đo ạn [0;2] b)      2 2 3 1 1 x x y x x D ẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ Đ ỈNH CAO CHẤT L ƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HU Ế Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Tr ần Đình Cư 4 Hư ớng dẫn: b) B ảng biến thiên x  0 2  'y - 0 + 0 + y 3 11 3 D ựa vào bảng biến thiên, học sinh có thể dễ dàng xác đinh GTLL,GTNN Bài 2. Tìm GTLL và GTNN (n ếu có) của các hàm số sau: a)    2 4 3y x x b)   4 2 2y x x c)    4 2 2 2y x x Hư ớng dẫn: b) Hàm s ố xác định trên  B ảng biến thiên: x  -1 0 1 'y - 0 + 0 - 0 + y  0  D ựa vào bảng biến thiên: Hàm đ ạt gía trị nhỏ nhất tại  1x ,    1Min y . Hàm không có giá tr ị lớn nhất Bài 3. Tìm giá tr ị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: 1 3  -1 -1 TRUNG TÂM GIA SƯ Đ ỈNH CAO CHẤT L ƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HU Ế Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Tr ần Đình Cư 5     2 2x y x trên   0; Hư ớng dẫn: Hàm xác đ ịnh trên tập   0;              2 0; ' 0 2 x y x Bảng biến thiên x  0 2  'y - + y   8 D ựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại      0; 2, 8x Min y Hàm không có giá tr ị lớn nhất Bài 4. Tìm giá tr ị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của     2 5 6y x x trên đo ạn [ -1;6] Hư ớng dẫn: Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x=-1; x=6 và đạt giá trị lớn nhất tại 5 2 x  Bài 5. Tìm giá tr ị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:      2 6 4y x x trên đo ạn [0;3] Hư ớng dẫn: Hàm đ ạt giá trị lớn nhất tại x=3, nhỏ nh ất tại x=0 Bài 6. (Đ ề thi TS ĐH 2003 khối B) . Tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số    2 4y x x Hư ớng dẫn: Cách 1: T ập xác định    2;2D ;  www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ Đ ỈNH CAO CHẤT L ƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HU Ế Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Tr ần Đình Cư 6          2 2 1 ; 0 4 4 x y y x x x          2 2 0 2 4 x x x x          max 2 2 min 2 y y Cách 2: Đặt            2sin , ; 2 2 x u u                 2 sin cos 2 2sin 2;2 2 4 y u u u ;   max 2 2 ; min 2y y Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số    2 1 1 x y x trên đoạn [-1;2] Hư ớng dẫn: Hàm đ ạt giá trị nhỏ nhất tại x= -1 và đ ạt giá tr ị lớn nhất tại  1x Bài 8. Tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số    3 2 3 1y x x trên đo ạn [ -2;1] Hư ớng dẫn: Hàm đ ã cho xác định trên      2;1 Đ ặt           3 2 ( ) 3 1, 2;1g x x x x ,               0 '( ) 0 2 2;1 x g x x Do đó:              2;1 2;1 ( ) 1; ( ) 19Max g x Min g x Ta có:                    2;1 ( ) 19;1 ( ) 0;19x g x g x         1 1 (0). ( 1) 0 0;1 : ( ) 0g g x g x . V ậy             2;1 2;1 ( ) 19; ( ) 0Max f x Min f x BÀI T ẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Tìm GTLN, GTNN c ủa các hàm số sau: a)      2 2 1 1 x x y x x b)   3 4 4 3y x x c)      4 2 3 1 ( 0) x x y x x x TRUNG TÂM GIA SƯ Đ ỈNH CAO CHẤT L ƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HU Ế Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Tr ần Đình Cư 7 d)    2 2y x x e)     2 1 2 2 x y x x f)     2 2 2 4 5 1 x x y x g)    2 1 ( 0)y x x x Bài 2. Tìm GTLN, GTNN c ủa các hàm số sau: a)     3 2 2 3 12 1y x x x trên [–1; 5] b)   3 3y x x trên [–2; 3] c)    4 2 2 3y x x trên [–3; 2] d)    4 2 2 5y x x trên [–2; 2] e)    3 1 3 x y x trên [0; 2] f)    1 1 x y x trên [0; 4] g)     2 4 7 7 2 x x y x trên [0; 2] h)      2 2 1 1 x x y x x trên [0; 1] Bài 3. Tìm GTLN, GTNN c ủa các hàm số sau: a)   2 100y x trên [–6; 8] b)    2 4y x x c)   2 2y x x Bài 4. Tìm giá tr ị lớn nhất và gí trị nhỏ nhất của hàm số     3 2 72 90y x x x trên đo ạn [ -5;5] Hư ớng d ẫn: Hàm s ố đã cho xác định trên      5;5 Đặt 3 2 ( ) 72 90, 5;5g x x x x x           Ta có :                      6 5;5 '( ) 0 4 5;5 x g x x V ới      (4) 86; ( 5) 400; (5) 70g g g Do đó:         86 ( ) 400 0 ( ) 400 0 ( ) 400g x g x f x V ậy         5;5 ax ( ) 400 5M f x khi x www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ Đ ỈNH CAO CHẤT L ƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HU Ế Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Tr ần Đình Cư 8 Bài 6. Tìm giá tr ị lớn nhất, nh ỏ nhất của hàm số   sin2y x x trên đo ạn          ; 2 Hư ớng dẫn:        5 '( ) 0 ; ; 6 6 6 f x x V ậy:                              ; ; 2 2 5 3 5 ( ) ; ( ) 6 2 6 2 2 Max f x khi x Min f x khi x TRUNG TÂM GIA SƯ Đ ỈNH CAO CHẤT L ƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HU Ế Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Tr ần Đình Cư 9 Khi đ ặt ẩn phụ, cần chú ý một số điều sau:  N ếu đ ặt 2 t x thì 0t  và gi ả sử     1;1 0;1x t     N ếu   sin 1;1 cos t x t t x       N ếu   2 2 sin 0;1 os t x t t c x     BÀI T ẬP ÁP DỤNG: Bài 1. (Đ ề dự bị TSĐH 2003 khối B) Tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất của      3 6 2 4 1y x x trên đo ạn   1;1 . Hư ớng dẫn: Đ ặt     2 0;1u x . Ta có           3 3 3 2 4 1 3 12 12 4y u u u u u                    2 2 3 9 24 12 0 2 0;1 u y u u u T ừ đó ta được   4 max 4;min 9 y y Bài 2. Tìm giá tr ị lớn nhất và gí trị nhỏ nhất của hàm số     6 4 2 9 1 3 4 4 y x x x trên đoạn [-1;1] Hư ớng dẫn: Đặt               2 0;1 , 1;1t x t x ta có:     3 2 9 1 ( ) 3 4 4 f t t t t liên t ục trên đoạn [0;1] D ẠNG 2: SỬ D ỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TÌM GTLL VÀ GTNN www.VNMATH.com [...]... 0;1 4 4   Max f (t )  Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  sin 4 x  cos2 x  2 Hướng dẫn: Hàm đã cho xác định trên  y  sin 4 x  cos2 x  2  sin 4 x  sin 2 x  3 Đặt t  sin 2 x , t   0;1 Xét hàm f (t )  t 2  t  3, t   0,1     Vậy Max f ( x )  3; Min f ( x )   0;1    0;1   11 4 Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  s inx  1 sin x  s inx ... thức, tìm GTLL và GTNN của hàm số trên một miền (Phần nâng cao-bồi dưỡng học sinh giỏi -Trích tài liệu của Trần Phương và tham khảo phần tài liệu Sĩ Tùng) Phương Pháp: 1 Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số  Chứng minh một bất đẳng thức  Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành đẳng thức 2 Xét bài tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên... k , k    1;1    1;1   2 2 Bài 5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  4sin x  4cos x Hướng dẫn: Cách 1: Chun đề LTĐH 10 Biên soạn:Trần Đình Cư www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG SĐT:0978421673 -TP HUẾ 2 2 2 2 4 2 y  4sin x  4cos x  4sin x  41sin x  4sin x  2 Đặt t  4sin x , t   0;4  , xét hàm số y    4sin 2 x t2  4 , t  1;4    t Từ... là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:  f ( x )  y0   x  D  (1) (2) Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng Thơng thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m  y0  M (3) Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được: min f ( x )  m; max f ( x )  M D D BÀI TẬP MẪU: Bài 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x... giá trị của hàm số + Nếu u  1, thì u thuộc tập giá trị hàm số  phương trình (*) có nghiệm t   = (3u  1)(3  u)  0  1  u  1  3 3 Vậy tập giá trị của u là  1 ,3  Min u  1 ; Max u = 3 3  3   x  y Min S = 1  Min u  1  t = 1   2  x  y  1 2 3  x  xy  y  3  x  3, y   3 x  y Max S = 9  Maxu = 3  t = 1   2  2  x   3, y  3  x  xy  y  3  Bài 5 Tìm giá trị. .. Với x = 0, y =  3 5 3 5 , thì Min( x 2  y 2 )  2 2 Với x = 0, y =  3 5 3 5 , thì Max( x 2  y 2 )  2 2 Bài 5 Cho x2 + xy + y2 = 3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: S = x2  xy + y2 Giải Xét y = 0  x2 = 3  S = 3 là 1 giá trị của hàm số Xét y  0, khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây S x 2  xy  y 2  x / y   ( x / y )  1 t 2  t  1 x u  2   2  u với t  2 2... SĐT:0978421673 -TP HUẾ B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP: DẠNG 1: TÌM TIỆM CẬN NGANG VÀ ĐỨNG CỦ A ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1 Tìm các đường tiệm cận của các hàm số sau: a) y  2x  1 ; x2 b) y  3  4x ; x 1 c) y  x ; 1  2x d )y  4 x6 Hướng d ẫn: a) Hàm số đã cho xác định trêm  \ {0} Ta có: lim f ( x )  1  y=-1 là tiệm cận ngang của đồ thò hàm số khi x   x  lim... x   x  lim f ( x )  1  y  1 là tiệm cận ngang của đồ thò hàm số khi x   x  lim f ( x )  , lim f ( x )    x  0 là tiệm cận đứng của đồ thò hàm số khi  x  0 x 0 x  0 và x  0  f (x) lim  0  Hàm không có tiệm cận xiên khi x   x  x  Các câu khác làm tương tự Bài 2 Tìm các đường tiệm cận ngang và đứng của các hàm số sau: 2 x 2  5x  1 a) y  2 ; x  2x  4 x2  2x ... số xác đònh trên  \{0} lim f ( x )  1  y  1 là tiệm cận ngang của đồ thò hàm số khi x   x  lim f ( x )  1  y  1 là tiệm cận ngang của đồ thò hàm số khi x   x  lim f ( x )  ; lim f ( x )    x  0 là tiệm cận đứng của đồ thò hàm số khi x  0  x  0 x 0 và x  0 lim x   f (x) x2  1  lim  0  hàm số không có tiệm cận xiên khi x   x  x x2 Chun đề LTĐH 34 Biên... trên thiết diện EIJKLN với các điểm E, I, J, K, L, N là trung điểm các cạnh hình lập phương Gọi O là hình chiếu của O lên EIJKLN thì O là tâm của hình lập phương và cũng là tâm của lục giác đều EIJKLN Ta có O M là hình chiếu của OM lên EIJKLN Do OM2 = x 2  y 2  z2 nên OM lớn nhất  OM lớn nhất  M trùng với 1 trong 6 đỉnh E, I, J, K, L, N Từ đó suy ra:   cos  x  y  z   cos  5  4 x 2  y . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số    2 1 1 x y x trên đoạn [-1;2] Hư ớng dẫn: Hàm đ ạt giá trị nhỏ nhất tại x= -1 và đ ạt giá tr ị lớn nhất tại  1x Bài 8. Tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ. y Hàm không có giá tr ị lớn nhất Bài 4. Tìm giá tr ị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của     2 5 6y x x trên đo ạn [ -1;6] Hư ớng dẫn: Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x=-1; x=6 và đạt giá trị lớn. giá trị lớn nhất tại 5 2 x  Bài 5. Tìm giá tr ị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:      2 6 4y x x trên đo ạn [0;3] Hư ớng dẫn: Hàm đ ạt giá trị lớn nhất tại x=3, nhỏ nh ất tại