Sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số pot

http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A). Phương Pháp:   Với phương trình có dạng : )()( mgxf = Chúng ta thực hiện các bước sau ñây: Bước 1: Xem ñó là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của )(xf và )(mg .Do ñó số nghiệm của phương trình là số giao ñiểm của 2 hàm số Bước 2: Xét hàm số )(xfy = • Tìm tập xác ñịnh D • Tính ñạo hàm ' y , rồi giải phương trình 0' = y • Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 3: Kết luận: • Phương trình có nghiệm )(max)()(min xfmgxf ≤ ≤ ⇔ • Phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ dựa vào bảng biến thiên xem )(mg cắt )(xf tại k ñiểm .Suy ra giá trị cần tìm • Phương trình vô nghiệm ⇔ hai hàm số không cắt nhau   Với bất phương trình có dạng : )()( mgxf ≤ Chúng ta thực hiện các bước sau ñây: Bước 1: Xét hàm số )(xfy = • Tìm tập xác ñịnh D • Tính ñạo hàm ' y , rồi giải phương trình 0' = y • Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 2: Kết luận: • Bất phương trình có nghiệm D ∈ )(min mgy ≤ ⇔ • Bất phương trình nghiệm ñúng Dx ∈ ∀ )(max mgy ≤ ⇔ Chú ý : Nếu )()( mgxf ≥ thì: • Bất phương trình có nghiệm D ∈ )(min mgy ≥ ⇔ • Bất phương trình nghiệm ñúng Dx ∈ ∀ )(max mgy ≥ ⇔ Chú ý chung : Nếu có ñặt ẩn phụ )( xht = . Từ ñiều kiện của x chuyển thành ñiều kiện của t .Có 3 hướng ñể tìm ñiều kiện : • Sử dụng BðT Cô si cho các số không âm • Sử dụng bất ñẳng thức Bunhiacopxki • Sử dụng ñạo hàm ñể tim min và max ( lúc ñó t sẽ thuộc min và max ) B).Bài Tập Ứng Dụng : Loại 1: Bài toán tìm m ñối với phương trình Bài 1.Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm : a) mxxxx =+−−++ 11 22 b) )45(12 xxmxxx −+−=++ c) mxxxx ++−=−+ 99 2 d) mxx =−+ 4 2 1 http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến e) 0113 4 4 =−++− xmxx f) 4 2 4 2 422)422( −=+−−+− xxxxm g) 03)cot(tancottan 22 =++++ xxmxx Bài làm : a) mxxxx =+−−++ 11 22 Xét hàm số 11 22 +−−++= xxxxy • Miền xác ñịnh : R D = • ðạo hàm : 12 12 12 12 ' 22 +− − − ++ + = xx x xx x y 1)12(1)12(0' 22 +−+=++−⇔= xxxxxxy    +−+=++− >+− ⇔ )1()12()1()12( 0)12)(12( 2222 xxxxxx xx ⇔ vô nghiệm Mà 01)0(' > = y nên hàm số ñồng biến trên R • Giới hạn : 1 11 2 lim)11(limlim 22 22 = +−+++ =+−−++= +∞→+∞→+∞→ xxxx x xxxxy xxx 1 11 2 limlim 22 −= +−+++ = −∞→−∞→ xxxx x y xx • Bảng biến thiên : Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 11 < < − m b) )45(12 xxmxxx −+−=++ ðiều kiện : 40 04 05 012 0 ≤≤⇔        ≥− ≥− ≥+ ≥ x x x x x (*) Viết phương trình về dạng : mxxxxx =−−−++ )45)(12( (1) Xét hàm số : )45)(12( xxxxxy −−−++= • Miền xác ñịnh : [ ] 4,0=D x ∞ − ∞ + ' y + y 1 -1 http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến • Nhận xét rằng : - Hàm )12()( ++= xxxxh là hàm ñồng biến trên D - Hàm xxxg −−−= 45)( có : Dx xx xx xg ∈∀> −− −−− = 0 452 45 )(' .Suy ra ñồng biến )().( xgxhy = ⇒ là hàm ñồng biến trên D Vậy phương trình (1) có nghiệm khi : )4()0( fmf ≤ ≤ 12)25(12 ≤≤−⇔ m c) mxxxx ++−=−+ 99 2 ðiều kiện : 90 09 0 ≤≤⇔    ≥− ≥ x x x Biến ñổi phương trình : mxxxx ++−=−+ 9)9(29 2 mxxxx =+−+−−⇔ 9299 22 Xét hàm số xxxxy 9299 22 +−++−= • Miền xác ñịnh : [ ] 9,0=D • ðạo hàm : xx x xy 9 )92( 92' 2 +− + − −−= 0 9 1 1)92(0' 2 =       +− +−⇔= xx xy 2 9 =⇔ x • Bảng biến thiên : Vậy phương trình có nghiệm khi : 9 4 9 ≤≤− m d) mxx =−+ 4 2 1 ðiều kiện : 0 ≥ x Xét hàm số : xxy −+= 4 2 1 • Miền xác ñịnh : [ ) +∞= ,0D x 0 2 9 9 'y – 0 + y 9 9 4 9 − http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến • ðạo hàm : x x x y 2 1 )1(2 ' 4 32 − + = 4 32 )1(0' +=⇔= xxxy 326 )1( +=⇔ xx 1 22 +=⇔ xx (vô nghiệm) Suy ra )(' xy không ñổi dấu trên D , mà 0 2 1 82 1 )1(' 4 <−=y Do ñó Dxxy ∈∀< 0)(' ⇔ hàm số ñồng biến • Giới hạn: 0 )1)(1( 1 lim)1(limlim 2 4 2 4 2 = ++++ =−+= +∞→+∞→+∞→ xxxx xxy xxx • Bảng biến thiên: Vậy phương trình có nghiệm khi : 10 ≤ < m e) 0113 4 4 =−++− xmxx Biến ñổi phương trinh : xmxx −=+− 113 4 4    −=+− ≥− ⇔ 44 )1(13 01 xmxx x    =+−− ≤ ⇔ mxxx x 13)1( 1 44 Xét hàm số xxxy 13)1( 44 +−−= • Miền xác ñịnh : ( ] 1,∞−=D • ðạo hàm : 91212134)1(4' 233 ++−=+−−−= xxxxy 0912120' 2 =++−⇔= xxy      −= = ⇔ )( 2 1 )( 2 3 nx lx • Giới hạn : [ ] +∞=+−−= −∞→−∞→ xxxy xx 13)1(limlim 44 • Bảng biến thiên: x 0 ∞ + 'y – y 1 0 http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến Vậy ñể phương trình có nghiệm khi : 2 3 −≥m f) 4 2 4 2 422)422( −=+−−+− xxxxm ðiều kiện : 2 ≥ x Khi 2 = x : VPVT VP VT ≠⇔    = −= 0 2 (loại) Khi :2 > x Chia 2 vế cho 4 2 4−x ta ñược : 2 2 2 2 2 2 44 = − + −         + + − x x x x m (*) ðặt 4 2 2 − + = x x t Tìm ñiều kiện cho t Cách 1: Xét hàm số 2 2 2 )( 4 >∀ − + = x x x xf ðạo hàm : ( ) 0 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 )(' 4 3 2 4 3 ' <       − + − − =       − +       − + = x x x x x x x xf Suy ra hàm số )(xf nghịch biến 2 > ∀ x 1)(lim)( >⇔>⇔ +∞→ txfxf x Cách 2: Ta có 2 > x . Mà 4 2 2 − + = x x t 2 2 4 − + =⇔ x x t 1 )1(2 2)2( 4 4 4 − + =⇔ +=−⇔ t t x xxt Do ñó:    > −< ⇔    −< > ⇔>−⇔ > − ⇔> − + 1 1 1 1 01 0 1 4 2 1 )1(2 2 2 4 44 4 t t t t t tt t x ∞ − 2 1 − 1 ' y — 0 + y ∞ + 12 2 3 − http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến Mặc khác 10 > ⇒ > tt Lúc ñó : (*) )()( 12 2 22 1 2 tfmg t tt mt t m =⇔ + + =⇔=−       +⇒ Xét hàm số 1 2 2 )( 2 + + = t tt tf • Miền xác ñịnh : ( ) +∞= ,1D • ðạo hàm : ( ) ⇒> + ++ = 0 12 222 )(' 2 2 t tt tf hàm số ñồng biến • Giới hạn : +∞= +∞→ )(lim tf t • Bảng biến thiên: Vậy ñể phương trình có nghiệm : 11)( > ⇔ > mmg g) 03)cot(tancottan 22 =++++ xxmxx ðặt x x t cot tan + = 2cottan 222 ++=⇒ xxt Tìm ñiều kiện cho t : 2cot.tan2cottancottan ≥⇔≥+=+= txxxxxxt (vì )1cot.tan = xx Lúc ñó : )()( 1 01 2 2 tfmg t t mmtt =⇔ + =−⇔=++ Xét hàm số t t tf 1 )( 2 + = • Miền xác ñịnh: ),2()2,( +∞ ∨ − −∞ = D • ðạo hàm : Dx t t tf ∈∀> − = 0 1 )(' 2 2 • Giới hạn : ±∞= + = ±∞→±∞→ t t tf tt 1 lim)(lim 2 • Bảng biến thiên : x 1 ∞ + ' y + y ∞ + 1 x ∞ − 2 − 2 ∞ + ' y + + y 2 5 − ∞ + ∞ − 2 5 http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến Vậy ñể phương trình có nghiệm:      > −< 2 5 2 5 m m Bài 2.Tìm m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm phân biệt a) mxxxx =−+−++ 626222 44 b) 6164164 4 3434 =++−+++− mxxxmxxx Bài làm : a) mxxxx =−+−++ 626222 44 (1) ðiều kiện : 60 06 02 ≤≤⇔    ≥− ≥ x x x Xét hàm số xxxxy −+−++= 626222 44 • Miền xác ñịnh: [ ] 6,0=D • ðạo hàm x x x x y − − − −+= 6 1 )6(2 1 2 1 )2(2 1 ' 4 3 4 3 0 6 1 2 1 )6(2 1 )2(2 1 0' 4 3 4 3 = − −+ − −⇔= xx xx y 0 6 1 2 1 )6(2 1 6 1 2 1 2 1 6 1 2 1 44 4 44 =         − ++         − + − +         − −⇔ xxxxxxxx 44 6 1 2 1 xx − =⇔ xx − = ⇔ 62 2 = ⇔ x • Bảng biến thiên: ðể (1) có hai nghiệm phân biệt: )44(3)66(2 4 4 +<≤+ m x 0 2 6 ' y + 0 — y )44(3 4 + )66(2 4 + 1212 4 + http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến b) 6164164 4 3434 =++−+++− mxxxmxxx ðặt )0(164 4 34 ≥++−= tmxxxt Lúc ñó : 066 22 =−+⇔=+ tttt     −= = ⇔ )(3 )(2 lt nt Với mxxxmxxxt −=+−⇔=++−⇔= 16164161642 3434 (*) Xét hàm số : xxxxf 164)( 34 +−= • Miền xác ñịnh: R D = • ðạo hàm : 1684)(' 23 +−= xxxf 016840)(' 23 =+−⇔= xxxf    = −= ⇔ 2 1 x x • Giới hạn +∞=+−= +∞→+∞→ )164(lim)(lim 34 xxxxf xx +∞=+−= −∞→−∞→ )164(lim)(lim 34 xxxxf xx • Bảng biến thiên: Vậy ñể có hai nghiệm khi : 271116 < ⇔ − > − mm 3.Tìm m ñể phương trình xmx cos1 2 =+ có ñúng 1 nghiệm thuộc ) 2 ,0( π Bài làm: Biến ñổi phương trình: 1cos 2 −= xmx (1) Nhận xét: (1) có nghiệm khi 0 ≤ m ( vì 0 > m lúc ñó 0,0 <> VPVT ) Lúc ñó (1) m x x x x m −=       ⇔ − =⇔ 2 2 2 2 4 2 sin2 1cos x ∞ − -1 2 ∞ + ' y — 0 + 0 + y ∞ + ∞ + 16 -11 http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến m x x 2 2 2 sin 2 2 −=       ⇔ (2) ðặt 2 x t = . Vì       ∈⇒       ∈ 4 ,0 2 ,0 ππ tx (2) m t t m t t 2 sin 2 sin 2 2 2 −=       ⇔−=⇔ Xét hàm số: t t tf sin )( = • Miền xác ñịnh       = 4 ,0 π D • ðạo hàm Dt t ttt t ttt tf ∈∀< − = − = 0 )tan.(cossincos. )(' 22 ( vì tttDt < > ⇒ ∈ tan,0cos ) Do ñó hàm )(tf nghịch biến • Giới hạn : 1 sin lim)(lim 00 =       = →→ t t tf tt • Bảng biến thiên: Vậy ñể phương trình có ñúng một nghiệm : 22 2 2 4 2 1 12 8 1 sin8 1)( 22 πππ π −<<−⇔<−<⇔<       <⇔<< mm t t tf 4.Tìm m ñể phương trình mxxm +=+ 2 2 có ba nghiệm phân biệt Bài làm: Biến ñổi phương trình: xxm =−+ )12( 2 12 2 −+ =⇔ x x m (vì 22 2 ≥+x ) Xét hàm số 12 )( 2 −+ = x x xf • Miền xác ñịnh : R D = t 0 4 π )(' tf – )(tf 1 π 22 http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến • ðạo hàm : 222 2 )12(2 22 )(' −++ +− = xx x xf 220)(' 2 =+⇔= xxf 2±=⇔ x • Giới hạn 1 1 )12( lim 12 lim)(lim 2 2 2 =         + ++ =         −+ = +∞→+∞→+∞→ x xx x x xf xxx 1 1 )12( lim 12 lim)(lim 2 2 2 −=         + ++ =         −+ = −∞→−∞→−∞→ x xx x x xf xxx • Bảng biến thiên: Vậy ñể phương trình có 3 nghiệm phân biệt: 22 <<− m Loại 2: Bài toán tìm m ñối với bất phương trình Bài 1: Tìm m ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x a) 1256 2 >++− mxxx b) 0139. ≥+− xx m c) 04. 4 ≥+− mxxm Bài làm : a) Xét hàm số : mxxxxfy 256)( 2 ++−==      <<−++−= ≥∨≤+−+= = )51(5)3(2)( )51(5)3(2)( )( 2 2 2 1 xxmxxf xxxmxxf xf ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x { } 1)3(),5(),1(min1)(min 111 >−⇔>⇔ mfffxf 51 056 10 1 2 1 1)3( 1)5( 1)1( 2 1 1 1 <<⇔                   <+− > > ⇔ >− > > ⇔ m mm m m mf f f Vậy với 51 < < m bất phương trình có nghiệm ñúng với mọi x x ∞ − 2− 2 ∞ + 'y — 0 + 0 — y 1 − 2 2− 1 [...]... ñi u ki n c a t: • Xét hàm s f ( x) = log 2 ( x 2 − 2 x + 5) ∀x ∈ (1,3) • ð o hàm: f ' ( x) = 2x − 2 > ln 2.( x 2 − 2 x + 5) ∀x ∈ (1,3) Hàm s ñ ng bi n nên ta có f (1) < f ( x) < f (3) ⇔ 2 < t < 3 Nh n xét s nghi m c a x thông qua t • Ta có x 2 − 2 x + 5 = 2 t ⇔ ( x − 1) 2 = 2 t − 4 Suy ra ng v i m i giá tr t ∈ (2,3) thì ta luôn có m t giá tr x ∈ (1,3) Lúc ñó (2) suy ra: t − Xét hàm s m = 5 ⇔ t 2 − 5t... 0 ⇔ hàm s ñ ng bi n (**) T (*) ⇔ x = y Thay vào (1): 3x 2 − 5 x + m = 0 ð h có hai nghi m v i tung ñ trái d u ⇔ phương trình (**) có 2 nghi m trái d u ⇔ P < 0 ⇔ m < 0 3 x − 3 y = ( y − x)( xy + m) Bài 5: Tìm m ñ h có nghi m:  2 2  x + y = m  (1) ( 2) Bài làm: Thay (2) vào (1) ta có : 3 x − 3 y = ( y − x)( xy + x 2 + y 2 ) ⇔ 3x − 3 y = y 3 − x3 ⇔ 3x + x3 = 3 y + y 3 ⇔ f ( x) = f ( y ) Xét hàm s... c a (*) cho 3 ta có: 2 2   3 sin 2 x Xét hàm s + 31−sin 3sin 2 2 x x 2 ≥m⇔  3 2 y=  3 sin 2 x sin 2 x 1 + 3.  9 1 + 3.  9 sin 2 x ≥m sin 2 x là hàm ngh ch bi n 1 1 2 1 2 Lúc ñó : 0 ≤ sin x ≤ 1 ⇔   + 3.  ≤         9 3 3 ⇔1≤ y ≤ 4 ð (1) có nghi m max y ≥ m ⇔ m ≤ 4 sin 2 x 2 c) x 2 − 4 x + 3 + 2mx − 6 > 0 Xét hàm s (1) 1 + 3.  9 sin 2 x 0 1 2 ≤... tho (1) và x ≥ 4 ⇔ f (t ) ≤ m tho mãn v i m i 2 ≤ t ≤ 3 ⇔ min f (t ) ≤ m ⇔ m ≥ 5 Bài 4: Tìm m ñ h có hai nghi m v i tung ñ trái d u: http://ebook.here.vn Thư vi n sách tr c tuy n  x 2 + 2 xy − 5 x + m = 0    x − y = sin x − sin y  (1) ( 2) Bài làm: Bi n ñ i (2) v d ng: x − sin x = y − sin y ⇔ f ( x) = f ( y ) (*) Xét hàm s f (t ) = t − sin t • Mi n xác ñ nh D = R 1 − cos t (t > 0)  • ð o hàm f... xy = 2 (2)  Bài làm: 2 − y ≥ 0 T (2) suy ra:  x = y 2 − 4 y + 4   y  y2 − 4y + 4 4y − 4 − y+m=0⇔ m= ⇔ g ( m) = f ( y ) Lúc ñó (1) có : y y 4y − 4 Xét hàm s f ( y ) = y • Mi n xác ñ nh D = (− ∞,2] \ {0} • ð o hàm f ' ( y ) = • Gi i h n 4 > 0 Hàm s ñ ng bi n trên D y2 http://ebook.here.vn Thư vi n sách tr c tuy n lim f ( y ) = 4 y → −∞ lim f ( y ) = −∞ y →0 + lim f ( y ) = +∞ y →0 − • B ng bi n... (1) ta có : 3 x − 3 y = ( y − x)( xy + x 2 + y 2 ) ⇔ 3x − 3 y = y 3 − x3 ⇔ 3x + x3 = 3 y + y 3 ⇔ f ( x) = f ( y ) Xét hàm s f (t ) = 3t + t 3 • Mi n xác ñ nh D = R • ð o hàm f ' ( x) = ln 3.3t + 3t 2 > 0 Hàm s ñ ng bi n Do ñó x = y Thay vào phương trình (2) ta có: x 2 + x 2 = m ⇔ 2x 2 = m ⇔ x 2 = m 2 ð h có nghi m: m ≥ 0 C).Bài t p t luy n: Bài 1: Tìm m ñ b t phương trình (m + 2) x − m ≥ x + 1 có nghi... ki n : − x 2 − 2 x + 3 > 0 ⇔ −3 < x < 1 Nh n xét : ñ bài yêu c u tho mãn x ∈ (− 2,0 ) Do ñó ta xét giao c a hai t p h p trên : x ∈ (− 2,0 ) Xét hàm s : f ( x) = log 4 (− x 2 − 2 x + 3) • Mi n xác ñ nh D = (− 2,0) '  ln(− x 2 − 2 x + 3)  − 2x − 2  = • ð o hàm f ' ( x) =    2 ln 2.(− x 2 − 2 x + 3) ln 4   f ' ( x ) = 0 ⇔ x = −1 • B ng bi n thiên: x f ' ( x) −2 −1 + f (x) 0 0 — 1 log 4 3 log 4... — 1 4 −∞ 0 ð b t phương trình nghi m ñúng v i m i x ⇔ g (m) ≥ max f (t ) ⇔m≥ 1 4 c) Bi n ñ i b t phương trình có d ng : m( x 4 + 1) ≥ 4 x 4x ⇔ g ( m) ≥ f ( x ) x +1 ⇔m≥ Xét hàm s f ( x) = 4 4x x +1 4 • Mi n xác ñ nh D = R • ð o hàm f ' ( x) = 4 − 12 x 4 (x 4 ) +1 2 f ' ( x) = 0 ⇔ x = ± 1 4 3 • Gi i h n : xlim f ( x) = 0 → ±∞ • B ng bi n thiên: x y' − −∞ — 1 4 1 4 3 0 + 0 +∞ 3 — http://ebook.here.vn... 6 > 0 Bài làm : a) mx − x − 3 ≤ m + 1 ði u ki n : x ≥ 3 ð t t = x − 3 (t ≥ 0) 2 2 2 Lúc ñó : m(t 2 + 3) − t ≤ m + 1 ⇔ m(t 2 + 2) ≤ t + 1 ⇔ m ≤ ⇔ g (m) ≤ f (t ) Xét hàm s : f (t ) = t +1 t2 + 2 t +1 t2 + 2 • Mi n xác ñ nh D = [0,+∞ ) • ð o hàm f ' (t ) = − t 2 − 2t + 2 (t 2 ) +1 2 f ' (t ) = 0 ⇔ x = −1 ± 3 t +1 =0 • Gi i h n : tlim f (t ) = tlim 2 → +∞ → +∞ t + 2 • B ng bi n thiên : x y' + y +∞ −1+ 3... ( 2) Bài làm: x ≥ 0 y ≥ 0 ði u ki n:  ð t t = x Lúc ñó (1): y = 3 − t ⇔ y = (t 2 − 6t + 9) ði u ki n c a t: 2 ≤ t ≤ 3 Khi ñó (2) ⇔ t 2 + 5 + t 2 − 6t + 12 ≤ m Xét hàm s f (t ) = t 2 + 5 + t 2 − 6t + 12 • Mi n xác ñ nh D = [2,3] • ð o hàm : f ' (t ) = t t +5 2 f ' (t ) = 0 ⇔ + t −3 t − 6t + 12 t 3−t = 2 2 t +5 t − 6t + 12 2 ⇔ t t 2 − 6t + 12 = (3 − t ) t 2 + 5 ⇔ t 4 − 6t 3 + 12t 2 = t 4 − 6t 3 + 14t . http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A). Phương Pháp:   Với phương trình có dạng : )()( mgxf = . trình hoành ñộ giao ñiểm của )(xf và )(mg .Do ñó số nghiệm của phương trình là số giao ñiểm của 2 hàm số Bước 2: Xét hàm số )(xfy = • Tìm tập xác ñịnh D • Tính ñạo hàm ' y , rồi giải. kiện của x chuyển thành ñiều kiện của t .Có 3 hướng ñể tìm ñiều kiện : • Sử dụng BðT Cô si cho các số không âm • Sử dụng bất ñẳng thức Bunhiacopxki • Sử dụng ñạo hàm ñể tim min và