A.Lời nói đầu :Bài toán tìm giá trị lớn nhất GTLN , giá trị nhỏ nhất GTNN của hàm số trên một đoạn là một bài toán thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp THPT trong các năm vừa qua .Như
Trang 1
TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
TỔ TOÁN
Giáo Viên : Trần Phú Vinh
Năm Học : 2009-2010
Trang 2A.Lời nói đầu :
Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên
một đoạn là một bài toán thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp THPT trong các
năm vừa qua Nhưng phần lớn học sinh không giải được bài toán này với các lý
do sau : Các em không nắm được phương pháp giải , tính đạo hàm sai, tìm nghiệm của đạo hàm sai , tính các giá trị sai, không biết loại hoặc nhận nghiệm , kết luận GTLN-GTNN sai vv…vv Vì các lý do trên nên tôi quyết định chọn chuyên đề này để nêu ra các loại hàm số thường cho trong bài tìm GTLN-GTNN của hàm số trên một đoạn để nhầm giúp học sinh hạn chế những sai sót trên
B Nội Dung.: Giả sử tìm GTLN-GTNN của hàm số y= f x( ) trên đoạn [ ]a b;
Quy Tắc :
1.Tìm các điểm x x1; ; ;2 x n trên khoảng ( )a b; , tại đó /( )
f x bằng không hoặc
( )
/
f x không xác
định
2.Tính : f a( ) ( ) ( ); f x1 ; f x2 ; ; f x( ) ( )n ; f b
3 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
Khi đó ( )
[ ] ;
max
a b
M = f x
[ ] ;
min
a b
m= f x
Chú ý: Để học sinh dể nhớ, ta có thể tóm tắt quy tắc trên thành phương pháp tìm GTLN-GTNN của hàm số y= f x( ) trên đoạn [ ]a b;
như sau :
1 Tính đạo hàm /( )
f x
2 Giải phương trình : f/( )x =0, tìm các nghiệm x x1; ; ;2 x n∈(a b; ) (nếu
có)
3 Tính các giá trị : f a( ) ( ) ( ); f x1 ; f x2 ; ; f x( ) ( )n ; f b
4 Kết luận : ( )
;
a b
m x =M =m f a f x f x f x
Trang 3( )
;
a b
x = =m f a f x f x f x
C.Các loại hàm số thường gặp: Ta thường gặp các loại hàm số cho trong bài tìm GTLN-GTNN của hàm số y= f x( ) trên đoạn [ ]a b; sau :
1) Hàm đa thức :
1.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a y= f x = x − x + trên đoạn [−1;1]
b y= f x = − x + x + trên đoạn [ ]0; 2
( ) 1 3 2
3
c y= f x = − x + −x x+
trên đoạn [−1;0]
Giải
5 Ta có : f/( )x =6x2−12x
2
x
f x = ⇔ x − x = ⇔ == ( x= 2 loại )
Tính : f (− =−1) 7; f ( )0 =1; f ( )1 −3
Trang 1
Vậy : ( )
[ 1;1 ]
−
=
; ( )
[ 1;1 ]
−
= −
6 Ta có : f/( )x = −8x3+8x
1
x
f x = ⇔ − x + x = ⇔ ==± ( x= −1 loại )
Tính : f ( )0 =3; f ( )1 =6; f ( )2 =−13
Vậy : ( )
[ 0;2 ]
; ( )
[ 0;2 ]
7 Ta có : f/( )x = − +x2 2x−2
f /( ) x = ⇔ − + 0 x2 2 x − = 2 0 (vô nghiệm)
Tính : ( 1) 11; ( )0 1
3
Vậy :
( )
[ 1;0 ]
3
f x
−
=
; ( )
[ 1;0 ]
min f x 1
−
=
1.2)Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( ) 1 3 2
)
3
a y= f x = x −x
trên đoạn [ ]1;3
Trang 4( ) 1 4 2 1
)
b y= f x = − x + +x
trên đoạn [ ]0; 2
c y= f x = x − x − x+ trên đoạn −2;52
( ) 3 2
d y= f x = −x x + trên đoạn [−1; 4]
( ) 4 2
e y= f x =x − x + trên đoạn [−1;3]
( ) 4 2
g y= f x =x − +x trên đoạn 0;12
2) Hàm phân thức :
2.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( ) 2 1
)
1
x
a y f x
x
+
− trên đoạn [ ]2; 4
( ) 2 1
)
2
x
b y f x
x
+
− trên đoạn
1
;1 2
−
2
c y f x x
x
= = − + −
+ trên đoạn [−1; 2] ( ) 2 2 3
)
2
d y f x
x
+ −
+ trên đoạn [ ]0;3
Giải
8 Ta có :
( ) ( )
/
2
3
1
x
= > ∀ ≠
−
Trang 2 Tính : f ( )2 = −5; f ( )4 −3
Vậy : ( )
[ ] 2;4
; ( )
[ ] 2;4
9 Ta có :
( )
/
2
5
2
x
=− < ∀ ≠
−
Tính : 1 0; ( )1 3
2
Vậy :
( )
1;1 2
−
=
;
( )
1;1 2
3
minf x
−
= −
10.Ta có :
/
2
4 1
2
f x
x
= − +
+
Trang 5
( )
( )
4 2
4
2
x x
f x
x
=
=−
( x= −4 loại )
Tính : f ( )− =−1 2; f ( )0 =−1; f ( )2 =−2
Vậy : ( )
[ 1;2 ]
−
= −
; ( )
[ 1;2 ]
2
minf x
−
= −
11.Ta có :
( ) (2 )
/
2
2
f x
x
− +
= +
f / ( ) x = ⇔ 0 x2 − 4 x + = 7 0
(Vô nghiệm ) Tính : ( )0 3; ( )3 12
Vậy :
( )
[ ] 0;3
5
f x =
;
( )
[ ] 0;3
2
f x =−
2.2)Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
)
2
x
a y f x
x
− +
+ trên đoạn
1
; 4 2
( ) 1
)
2
b y f x
x
− trên đoạn [ ]0;1
2
c y f x x
x
= = + +
− trên đoạn [ ]3;6
( ) 2 3
)
1
x x
d y f x
x
+
− trên đoạn [ ]0;3
( ) 2
)
x
e y f x
x
− trên đoạn [ ]1;3
Trang 3
( ) 1 2
)
x
g y f x
x
−
− trên đoạn [−2;1]
3) Hàm phân thức :
3.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
a y= f x = − x trên đoạn [−1;1]
b y= f x = x x− trên đoạn 12;3
c y= f x = +x −x
Giải
Trang 6a) Ta có : /( ) 2 5
4
5 4
x
=− < ∀ ∈ −∞ ÷
Tính : f (− =1) 3; f ( )1 =1
Vậy : ( )
[ 1;1 ]
−
=
; ( )
[ 1;1 ]
−
=
12. Ta có : /( )
2
2 4
x
f x
x x
−
=
−
f /( ) x = ⇔ − = = ⇔ = 0 2 x 0 0 x 2
Vậy :
( ) 1
;3 2
=
;
( ) 1
;3 2
7 min
2
f x
=
c) MXĐ : D= −[ 2; 2] Ta xét hàm số trên MXĐ của nó.
Ta có : /( )
2
1 4
x
f x
x
= −
−
2 2
4
x x
x
f x
x
=
=−
Tính : f ( )2 =2; f ( )− = −2 2; f ( )2 =2 2; f (− 2) =0
Vậy : ( )
[ 2;2 ]
−
=
; ( )
[ 2;2 ]
−
= −
3.2) Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a y= f x = − x trên đoạn [−1;1]
( ) ( ) 2
b y= f x = −x x + trên đoạn [ ]0;3
c y= f x = + −x
1
x
d y f x
x
+
+ trên đoạn [−1; 2]
Trang 4
( ) ( ) 2
e y= f x = −x x + trên đoạn [ ]0; 2
4) Hàm số mũ, hàm số lôgarit:
4.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
a y= f x = xl
trên đoạn [−1; 2]
Trang 7( ) 2
b y= f x = −x l
trên đoạn [−1;0] ( ) ln
c y f x
x
trên đoạn
2
1;
l
d y= f x =x − − x trên đoạn [−1;0]
Giải
a) Ta có : f/( )x =2lx+2xlx
f /( ) x = ⇔ = − 0 x 1
Tính : ( ) 2 ( ) 2
l
Vậy : ( )
[ ]
2 1;1
−
= l
; ( )
[ 1;1 ]
2
min f x
−
= −
l
b) Ta có : f/( )x = −1 2l2x
2
x
Tính :
f − =− − f − =− − f =−
l
Vậy :
( )
[ 1;0 ]
1
2
1 2
f x
−
;
( )
[ 1;0 ]
1
f x
−
=− −
l
c) Ta có : /( )
2
1 ln x
f x
x
−
=
f /( ) x = ⇔ − 0 1 ln x = ⇔ = 0 x l
2
Vậy :
( )
2
1;
=
;
( )
2
1;
=
l
d) Ta có : /( ) 1
2
1 2
f x x
x
= +
−
( )
1 2
2
1 2
x x
x
=
=−
( x= 1 loại )
Trang 5
Trang 8Tính : ( 2) 4 ln 5; 1 1 ln 2; ( )0 0
f − = − f − = − f =
Vậy : ( )
[ 2;0 ]
max f x 4 ln 5
−
= −
; ( )
[ 2;0 ]
1
4
f x
−
= −
4.2) Bài tập tương tự : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( ) 2
a y= f x =xl
trên đoạn [−2;1] ( )
b y= f x = −x l trên đoạn [−1; 2]
( ) ln2
c y f x
x
trên đoạn
3
1;
l ( )
d y= f x = x x trên đoạn [ ]1;l
( )
)
x x
e y f x
e
+
l
l trên đoạn [ln 2;ln 4] ( ) 2
g y= f x =x x trên đoạn [ ]1;l
( )
h y= f x =xl−
trên đoạn [−1; 2]
5) Hàm số lượng giác:
5.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
a y= f x = x x− trên đoạn −π π2 2;
( )
b y= f x = +x x trên đoạn 0;π2
( ) 2
c y= f x = x− x+
Giải
a) Ta có : f/( )x =2 os2x 1c −
( )
6
x
f x
π π
=
=−
= ⇔
( Do x 2 2;
π π
∈ −
)
Tính :
f −π=π f −π=− +π f π = −π f π =π
Vậy :
( )
;
2 2
max
2
f x
π π
π
−
=
;
( )
;
2 2
min
2
f x
π π
π
= −
b) Ta có : f/( )x = −1 2sinx
Trang 9/( ) 0
4
f x = ⇔ = x π
( Do x 0;2
π
∈
)
Trang 6
Vậy :
( ) 0;
2
4
f x
π
π
= +
;
( ) 0;
2
π
=
c) MXĐ : D R=
Ta có : f x( ) = −cos2x−2co xs +3
Đặt : t=sin2x ; t∈ −[ 1;1 ;] ∀ ∈x R
Ta xét hàm số : g t( ) = − − +t2 2t 3 trên đoạn [−1;1]
Ta có : g t/( ) = − −2t 2
g t/( ) = ⇔ = − 0 t 1
Tính : g (− = 1) 4;g ( )1 = 0
Vậy :
[ 1;1 ]
R
−
;
[ 1;1 ]
R
−
5.2) Bài tập tương tự : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
a y= f x = x− x trên đoạn 0;32π
( )
b y= f x = x+ trên đoạn 0;π2
c y= f x = x+ x− x+
( )
d y= f x = x x− trên đoạn −π π6 2;
( ) sinx
)
2 cos
e y f x
x
+ trên đoạn [ ]0;π ( )
g y= f x = x− trên đoạn [ ]0;π
D.Kết Luận:
Kính thưa quý thầy cô và các em học sinh , trên đây tôi đã nêu các loại hàm số thường gặp trong bài toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
một đoạn
Do thời gian thực hiện chuyên đề có hạn, nên chắc chắn nhông tránh những thiếu sót , mong quý thầy cô trong tổ nhiệt tình đóng góp để chuyên đề này
Trang 10hoàn chỉnh hơn , nhầm giúp các em học sinh ôn tập tốt hơn Xin chân thành cám ơn nhiều ! èèè
Trà Cú Ngày 08
tháng12năm 2009
Giáo hiên thực hiện
Trần Phú Vinh
Trang 6