Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số định lý lagrange

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỊNH LÝ LAGRANGE A... Giải phương trình 3x.[r]

Biên soạn: Qu¸ch Duy TuÊn_0914342498(k25D) CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỊNH LÝ LAGRANGE A ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Định lý Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có f / (x) > (hoặc f / (x) < ) khoảng (a; b) thì phương trình f(x) = có không quá nghiệm khoảng đó Ví dụ Giải phương trình log2 x = Điều kiện: x > Xét hàm số f(x) = log2 x - x Giải , D = ( 0; +¥ ) ta có: x + > 0, "x > x ln x Suy phương trình f(x) = có không quá nghiệm (0; +¥) Mặt khác f(2) = Vậy phương trình có nghiệm x = f / (x) = Định lý Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có f // (x) > (hoặc f // (x) < ) khoảng (a; b) thì phương trình f(x) = có không quá nghiệm khoảng đó Ví dụ Giải phương trình 2x + 3x = 3x + Giải Xét hàm số f(x) = + - 3x - 2, D =  ta có : f / (x) = 2x ln + 3x ln - , f // (x) = 2x (ln 2)2 + 3x (ln 3)2 > "x Î  Suy phương trình f(x) = có không quá nghiệm Mà f(0) = 0, f(1) = Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = x x Chú ý: i) Hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng (a; b), g(x) liên tục và nghịch biến khoảng (a; b) đồng thời f(c) = g(c) (với c thuộc (a; b)) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x = c ii) Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu (a; b) thì f(u) = f(v) Û u = v Î (a; b) Ví dụ Phương trình log x = - x có nghiệm x = Lop12.net Ví dụ Giải phương trình 3x +1 - 32x = -x + 2x - (1) Giải Đặt u = x + 1, v = 2x , ta có : (1) Û 3u - 3v = v - u Û 3u + u = 3v + v (2) Xét hàm số f(t) = 3t + t Þ f / (t) = 3t ln + > "t Î  Þ (2) Û f(u) = f(v) Û u = v Û v - u = Û -x + 2x - = Û x = Vậy (1) có nghiệm x = Chú ý: Nếu f(x) đơn điệu trên hai khoảng rời thì không áp dụng f(u) = f(v) Û u = v 1 Chẳng hạn: f(t) = t - và x - = y - Þ x = y ¹ là sai t x y B GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ – ĐỊNH LÝ LAGRANGE I GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) có MXĐ D và X là tập hợp D ìïf(x) ³ m "x Î X i) Số m gọi là giá trị nhỏ f(x) trên X ïí , ký hiệu: m = f(x) x ÎX ïïf(x ) = m, x Î X ïî ì ïf(x) £ M "x Î X ii) Số M gọi là giá trị lớn f(x) trên X ïí , ký hiệu: M = max f(x) x ÎX ï f(x ) = M, x Î X 0 ï ï î Phương pháp giải toán 2.1 Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Để tìm giá trị lớn (max) và giá trị nhỏ (min) f(x) trên đoạn [a; b] ta thực các bước sau: Bước Giải phương trình f / (x) = (tìm điểm dừng) Giả sử có n nghiệm x1; x2; …; xn thuộc đoạn [a; b] (ta loại các nghiệm nằm ngoài đoạn [a; b]) Bước Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b) Bước Giá trị lớn nhất, nhỏ các giá trị đã tính trên là các giá trị tương ứng cần tìm Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f(x) = Giải Ta có: f(x) = x - 4x + liên tục trên đoạn [-2; 3] x-2 f(x)/ = = Û x = Î [ -2; ] x - 4x + f(-2) = 17, f ( ) = 1, f(3) = 2 Lop12.net x - 4x + trên đoạn [-2; 3] Vậy f(x) = Û x = 2, max f(x) = x Î[ -2;3 ] x Î[ -2;3 ] 17 Û x = -2 Chú ý: i) Để cho gọn ta dùng ký hiệu fmin , fmax thay cho f(x), max f(x) x Î[ -2;3 ] x Î[ -2;3 ] ii) Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b] thì ta phải tìm MXĐ hàm số trước làm bước iii) Có thể đổi biến số t = t(x) và viết y = f(x) = g(t(x)) Gọi T là miền giá trị hàm t(x) (thường gọi là điều kiện t x) thì f(x) = g(t) , max f(x) = max g(t) x ÎX tÎT x ÎX tÎT Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x - 3x + Giải Hàm số y = x - 3x + x + liên trên đoạn [-1; 1] 4 Đặt t = x Þ t Î [0; 1] "x Î [ -1; ] , ta có: y = t3 - 3t2 + t + liên tục trên đoạn [0; 1] 4 Þ y/ = 3t2 - 6t + = Û t = Ú t = (loại) 2 1 y(0) = , y = , y(1) = 4 Vậy y = Û t = Û x = , y max = Û t = Û x = ± 4 2 x + trên đoạn [-1; 1] 4 () Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f(x) = -x + 5x + Giải Ta có điều kiện: -x + 5x + ³ Û -1 £ x £ Þ D = [-1; 6] Hàm số f(x) = -x + 5x + liên tục trên D -2x + 5 f(x)/ = = Û x = Î D 2 -x + 5x + f(-1) = f ( ) = 0, f = 2 Vậy fmin = Û x = -1 Ú x = , fmax = Û x = 2 () Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = Giải t+1 Đặt t = sin x Þ y = , t Î [-1; 1] t + t+1 -t2 - 2t y/ = Þ y/ = Û t = Î [-1; 1] (t + t + 1)2 Lop12.net sin x + sin x + sin x + y(-1) = 0, y ( ) = 1, f ( ) = p + k2p, k Î  = Û sin x = Û x = kp, k Î  Vậy y = Û sin x = -1 Û x = - y max Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x - 3x + trên đoạn [–3; 2] Giải Hàm số y = x - 3x + liên tục trên đoạn [ -3; ] Đặt f(x) = x - 3x + liên tục trên đoạn [ -3; ] f / (x) = 3x - = Û x = ±1 Î [-3; 2] f(-3) = -16, f(-1) = 4, f(1) = 0, f(2) = Þ -16 £ f(x) £ "x Î [-3; 2] Þ £ f(x) £ 16 "x Î [-3; 2] Þ £ y £ 16 "x Î [-3; 2] Vậy y max = 16, y = 2.2 Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) trên  Cho hàm số y = f(x) liên tục trên D = (a; b) D =  ta thực các bước sau: Bước Giải phương trình f / (x) = (tìm điểm dừng) Giả sử có n nghiệm x1; x2; …; xn thuộc D (ta loại các nghiệm không thuộc D) Bước Tính lim+ f(x) = L1 , f(x1), f(x2), …, f(xn), lim- f(x) = L2 x®b x®a Bước + Nếu { f(x1 ), f(x ), , f(x n )} < { L1 , L2 } thì fmin = { f(x1 ), f(x ), , f(x n )} (1) + Nếu max { f(x1 ), f(x ), , f(x n )} > max { L1 , L2 } thì fmax = max { f(x1 ), f(x ), , f(x n )} (2) + Nếu không thỏa (1) (hoặc (2)) thì hàm số không đạt (hoặc max) Chú ý: i) Có thể lập bảng biến thiên hàm số f(x) thay cho bước ii) Nếu hàm số không có điểm dừng (điểm dừng khác điểm tới hạn) thì không đạt min, max Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có) hàm số f(x) = Giải Hàm số f(x) liên tục trên R Ta có: x +1 x2 + 1- x Þ f / (x) = Û x = 2 (x + 1) x + 1 x 1+ x lim f(x) = lim Þ lim f(x) = ±1 x®¥ x®¥ x ® ±¥ x 1+ x f / (x) = ( ) Lop12.net Bảng biến thiên Vậy hàm số không đạt và max f(x) = Û x = xÎR Nhận xét: x - m x + + = có nghiệm thực Û -1 < m £ Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có) hàm số f(x) = x - x - 2x + Giải Hàm số f(x) liên tục trên  Ta có: x -1 f / (x) = = Û x - 2x + = x - x - 2x + ìï x ³ Û ïí (vô nghiệm) ïï x - 2x + = (x - 1)2 î Vậy hàm số không đạt và max (vì không có điểm dừng) Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = Ta có x +2 ³ Þ y/ = Giải x + -1 > Þ D =  2>1Þ x2 x + -1x2 + = ( x2 + - ) x x + -1 2- x2 + x2 + ( x2 + - ) x2 + = Û x = ± Þ y ( ± ) = ± , x Þ lim y = ±1 Giới hạn lim y = lim x ®¥ x ®¥ x ®±¥ æ ö÷ x ççç + ÷÷ x ø è x Vậy ymax = 2, ymin = - y/ = Û Nhận xét: m x + = x + m có nghiệm thực Û - £ m £ Ví dụ Tìm m để phương trình x + Xét hàm số y = x + 2x + = m có nghiệm Giải 2x + liên tục trên  Ta có: Lop12.net y/ = + 2x =0Û 2x + æ ö÷ y ççç , ÷÷ = è ø lim y = lim x ®-¥ x ®-¥ = lim x ®-¥ ( 2x + = -2x ìï -2x ³ Û ïí Û x= ïï 2x + = 4x î lim y = +¥, x ® +¥ 2x + + x )( 2x + - x ) æ -x ççç è 2x + - x x+ x2 + x = lim = +¥ ö÷ x ®-¥ æ ö÷ 1 + + ÷÷ - ççç + + ÷÷ x x ø è ø 2 Þy³ "x Î  2 Vậy với m ³ thì phương trình có nghiệm Þ y = Chú ý: Có thể dùng bất đẳng thức để tìm min, max hàm số II ĐỊNH LÝ LAGRANGE Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] (a < b) và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn số c khoảng (a; b) cho f(b) - f(a) = (b - a)f / (c) Ví dụ 10 Chứng tỏ phương trình 4x + 3x + 2x - = có nghiệm khoảng (0; 1) Giải Xét hàm số f(x) = x + x + x - 3x liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1) Áp dụng định lý Lagrange, ta có : f(1) - f(0) $c Î (0;1) : f / (c) = = Þ 4c3 + 3c2 + 2c - = 1-0 Vậy phương trình có nghiệm x = c (0; 1) Ví dụ 11 Chứng tỏ phương trình ax + bx + c = có nghiệm khoảng (0; 1), đó a b c + + = và m > m +2 m +1 m Giải a) Khi m = thì ta có bài toán quen thuộc ax bx Xét hàm số F(x) = + + cx liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1) Áp dụng định lý Lagrange, ta có : F(1) - F(0) a b $c Î (0; 1) : F/ (c) = = + + c = Þ ax + bx + c = có nghiệm x = c 1-0 Lop12.net b) Khi m > thì ta cần giải tương tự với số mũ tương ứng ax m +2 bx m +1 cx m + + Xét hàm số F(x) = liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1) m +2 m +1 m Áp dụng định lý Lagrange, ta có : F(1) - F(0) a b c $a Î (0; 1) : F/ (a) = Û x m -1(ax + bx + c) = + + =0 1-0 m +2 m +1 m Þ ax + bx + c = có nghiệm x = a Ví dụ 12 Chứng minh với a, b thì sin b - sin a £ b - a Giải Dễ thấy với a = b ta có đẳng thức xảy Giả sử a < b , áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f(x) = sin x trên [a; b] ta có $c Î (a; b) : sin b - sin a = (b - a)cos c Þ sin b - sin a = b - a cos c £ b - a Vậy sin b - sin a £ b - a với a, b ( ) b-a b b-a < ln < b a a Giải Xét hàm số f(x) = ln x liên tục trên [a; b] và có f / (x) = trên (a; b) x Áp dụng định lý Lagrange, ta có : b-a b b-a (1) $c Î (a; b) : ln b - ln a = Þ ln = c a c 1 b-a b-a b-a < < Mặt khác < a < b Þ < < Þ (2) b c a b c a b-a b b-a Vậy từ (1) và (2) ta có < ln < b a a Ví dụ 13 Chứng minh < a < b thì ( ) ( ) ( ) x +1 < ln < với x > x +1 x x Giải Xét hàm số f(t) = ln t liên tục trên [x; x + 1] và có f / (t) = trên (x; x + 1) t Áp dụng định lý Lagrange, ta có : (x + 1) - x x +1 $c Î (x; x + 1) : ln(x + 1) - ln x = Þ ln = c x c 1 Mặt khác < x < c < x + Þ < < x +1 c x x +1 Vậy < ln < x +1 x x Ví dụ 14 Chứng minh ( ( Lop12.net ) ) b-a b-a p £ tgb - tga £ với < a < b < 2 cos a cos b Giải Xét hàm số f(x) = tgx liên tục trên [a; b] và có f / (x) = trên (a; b) cos2 x Áp dụng định lý Lagrange, ta có : b-a $c Î (a; b) : tgb - tga = cos2 c p Mặt khác < a < c < b < Þ < cos b < cos c < cos a b-a b-a b-a Þ < cos2 b < cos2 c < cos2 a Þ < < cos2 a cos2 c cos2 b b-a b-a £ tgb - tga £ Vậy cos a cos2 b Ví dụ 15 Chứng minh Lop12.net