Bất đẳng thức BĐT là một công cụ để giải nhiều dạng toán khác nhau, đặc biệt là giải phương trình và hệ phương trình.. Trong phạm vi bài viết này chúng tôi xin giới thiệu cách vận dụng B[r]
(1)Chuyên đề VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giáo viên: Vũ Hồng Lượng Đơn vị công tác: Trường THCS Yên Dương – Tam Đảo - Vĩnh Phúc A Mục đích chuyên đề Bất đẳng thức (BĐT) là công cụ để giải nhiều dạng toán khác nhau, đặc biệt là giải phương trình và hệ phương trình Trong phạm vi bài viết này chúng tôi xin giới thiệu cách vận dụng BĐT để giải phương trình (PT) và hệ phương trình (HPT) B Đối tượng bồi dưỡng - Số tiết dạy - Tài liệu tham khảo - Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp - Số tiết dạy cho học sinh: 08 tiết - Tài liệu tham khảo: + Nâng cao và phát triển toán - Vũ Hữu Bình + Bài tập nâng cao và số chuyên đề toán - Bùi Văn Tuyên… C Nội dung kiến thức BĐT Cauchy - Dạng a, b 0; ta có a b 2 ab Dấu " " a b - Dạng tổng quát a1 , a2 , , an 0 ; ta có a1 a2 an n n a1a2 an Dấu " " a1 a2 an BĐT Bunyacovsky - Dạng 2 a, b, x, y R , ta có ax+by a b " " x y2 x y a b Dấu - Dạng tổng quát a1 , a2 , , an ; x1 , x2 , , xn R , ta có a1x1 a2 x2 an xn a12 a2 an Dấu " " x x2 xn x x1 x2 n a1 a2 an D Bài tập vận dụng Dạng Sử dụng BĐT để tạo tính đối nghịch hai vế phương trình (2) Phương pháp Dùng BĐT để đánh giá hai vế (vế trái (VT) và vế phải (VP)) PT, giả sử thu VP A VT A VP A VP A VP A VP VT VT A VT A Khi đó VT A * Thí dụ Giải phương trình x x x 10 x 27 Lời giải ĐK x 6 Xét VT 2 x 4 x Áp dụng BĐT Cauchy, ta có Suy VT 4 hay VT 2 (1) x x x x 2 VP x 10 x 27 x 2 Dấu xảy và x 5 Lại có Dấu xảy và x 5 Từ (1) và (2) đối chiếu với ĐK, suy PT có nghiệm x 5 * Thí dụ Giải phương trình Lời giải Ta có x x x x x x 14 VP x x x x 14 x x x 14 14 x 8 (2) (3) Dấu xảy và x 2 VT 8 x 8 Mặt khác (4) Dấu xảy và x 2 Từ (3) và (4) suy PT đã cho có nghiệm x 2 4 * Thí dụ Giải phương trình x x x 3 Lời giải ĐK x 1 Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: x2 1 x 1 x 1 x 1 x (5) x 1 x (6) x x x x 1 (7) 4 Cộng theo vế (5), (6), (7) thu x x x 1 x x Lại theo BĐT Cauchy ta có (1 x ) x 2 ; (1 x) 1 x x x 2 2 x 2x x x 1 2 Suy (9) x x (8) (3) Từ (8) và (9) suy x x 3 Dấu xảy và x 3 Vậy PT có nghiệm x 3 Dạng Sử dụng BĐT Cauchy để đưa BPT có nghiệm * Thí dụ Giải phương trình x 11x 21 3 x (10) 11 47 x 11x 21 2.x 0 2 Lời giải Ta có nên x hay x Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta 3 x 3 2.2 x 1 2 x 1 x (11) 2 x 12 x 18 0 x 3 0 x 3 Từ (10) Và (11) suy x 11x 21 x Hay x Thử lại ta là nghiệm PT (10) Dạng Sử dụng điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm để giải phương trình a, Đối với hệ phương trình hai ẩn x x y 0 (12) (13) * Thí dụ Giải hệ phương trình x y x y 0 Lời giải Nếu y 0 thì từ PT (13) ta có x 0 Thay vào PT (12) ta 0 vô lí Vậy y 0 , đó coi PT (12) là PT bậc hai ẩn x , PT này có nghiệm và ' y 0 y (14) Tương tự coi PT (13) là PT bậc hai ẩn x , PT này có nghiệm và ' 1 y 0 y 1 Kết hợp với (14) suy y Thay vào PT (12) ta x 1 x; y 1; 1 Các giá trị này thỏa mãn PT (13) Vậy HPT đã cho có nghiệm b, Đối với hệ phương trình ba ẩn x y z 2 * Thí dụ Giải hệ phương trình 4 x y xy z 4 x y 2 z 4z z2 xy z Lời giải Coi là tham số Viết HPT trên có dạng sau Khi đó x, y là nghiệm PT bậc hai ẩn X X z z 2 X 2 0 (14) PT (14) có nghiệm và z z 2 2 0 z 0 z 2 x y 0 Với z 2 , ta có xy 0 x; y; z 0; 0; Suy x y 0 Vậy hệ có nghiệm (4) Dạng Sử dụng BĐT để tạo thứ tự vòng quanh 2x2 x 1 y3 y y 1 4z4 x * Thí dụ Giải hệ phương trình z z z x2 0, x Lời giải Vì x nên xảy hai trường hợp sau: x; y; z 0; 0; 1, Với y 0 , đó x z 0 Vậy là nghiệm HPT 2x2 x 2 2, Với y , suy z và x Dễ thấy x 2 x nên x hay y x y3 y 4 2 Theo BĐT Cauchy ta có y y 3 y y 3 y Suy y y hay z y Từ PT thứ ba hệ suy x z Vậy x y z x , điều này xảy x y z x; y; z 1;1;1 Thay vào PT đầu ta x y z 1 Dễ thử thỏa mãn HPT đã cho Vậy hệ có hai nghiệm x; y; z là 1;1;1 ; 0; 0;0 Dạng Sử dụng BĐT Bunyacovsky x y z 6 * Thí dụ Giải hệ phương trình x y z 9 Lời giải ĐK x, y, z Áp dụng BĐT Bunyacovsky ta có x y z Suy 1 x y z 1 36 x y z 6 Dấu xảy và x y z 3 , thỏa mãn PT x; y; z 3;3;3 thứ hai HPT Vậy HPT có nghiệm Dạng Dự đoán nghiệm và chứng minh đó là nghiệm * Thí dụ Giải phương trình Lời giải ĐK x 2 Nhận thấy là x2 + Nếu thì VT Suy + Nếu x thì 10 4 2 x 3 x x là nghiệm PT Ta chứng minh nghiệm này 10 2; 2 2 x 3 x 10 2; 2 2 x 3 x (5) Suy VT Vậy PT có nghiệm x Bài tập áp dụng Giải các PT và HPT sau: x 10 x x 12 x 40 (ĐS x 6 ) x x 3 x x (ĐS x 2 ) 3 x x 1 (ĐS x 0,5 ) x 1 y y 1 x xy x y y x xy 2 x y x y 0 2 x x y 0 x; y 2; (ĐS ) x; y 1; 1 (ĐS ) x2 y x 1 y2 z y 2z2 x z (ĐS x y z 9 x y z 6 x; y; z 2; 2; (ĐS ) x; y; z 1;1;1 ; 0;0;0 ) Rất mong nhận ý kiến đóng góp các bạn đọc! (6)