BAT DANG THUC CUC TRI

Đó có thể là do các bạn áp dụng nhiều bất đẳng thức khác nhau và làm cho dấu “=” không xảy ra, hoặc cũng có thể là dấu “=” trong bất đẳng thức của các bạn lại không xảy ra với giả thiết [r]

Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái THCS vµ THPT Chuyên đề BấT ĐẳNG THứC I Một số bất đẳng thức Bất đẳng thức AM - GM (Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân)  Nội dung bất đẳng thức:  n  , n 2  Ta có bất đẳng thức sau: Cho n sè thùc kh«ng ©m a1, a2, a3,…, an n a1  a2   an n  a1a2 an n hay - D¹ng cã dÊu c¨n: a i i 1 n n n   n i 1 n i a n n n  n  n a  a   a i 1  a1a2 an n n i 1 - D¹ng kh«ng chøa dÊu c¨n: hay DÊu “=” x¶y vµ chØ a1 a2  an Bất đẳng thức trên là dạng tổng quát với n số thực dơng, cho n nhận các giá trị đặc biệt, ta nhận đợc bất đẳng thức quen thuộc sau đây: a1  a2  a1a2 - Khi n = 2: (DÊu “=” x¶y vµ chØ a1 a2 ) a1  a2  a3  a1a2 a3 - Khi n = 3: (DÊu “=” x¶y vµ chØ a1 a2 a3 ) Mét sè hÖ qu¶ quan träng: (1) Tổng số dơng với số nghịch đảo nó không nhỏ a b a  2  2 a ( a  ) hay b a ( ab  ) (DÊu “=” x¶y vµ chØ a = hay a = b) a 2 a , a Ta chứng minh đợc bất đẳng thức tổng quát hơn: 1 a  2 a   a a Nh vËy, a > ta cã cßn a < ta cã a b  a  b  (2) 2 2ab a Chó ý: Víi b = ta cã: a  b2  c2   a  b  c , a, b DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b  a  1 1  2 2a DÊu “=” x¶y vµ chØ a = ab  bc  ca , a, b, c DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c n n2   n 1 n i 1      ai  0, i 1, n an a1  a2   an hay i 1 (3) a1 a2 , DÊu “=” x¶y vµ chØ a1 a2  an Yêu cầu: Chứng minh các bất đẳng thức hệ trên, coi nh bài tập  x  y  VÝ dô Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x2 + y2 = Chøng tá r»ng: x  y  x  y  Gi¶i Ta thÊy 2   x  y  2  x  y  2 – DÊu “=” x¶y vµ chØ VÝ dô Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng bÊt k× Chøng minh: a b2 c2 a b c      b2 c2 a2 b c a x  y  (1) Giải Bất đẳng thức (1) tơng đơng với: 2 a  b   c  a b c   1    1    1      3 b  c  a  b c a (2) Theo bất đẳng thức AM – GM và bất đẳng thức x 0, x ta thấy bất đẳng thức (2) đúng, bất đẳng thức (1) đúng – Ví dụ Chứng minh các bất đẳng thức sau: a  b  c abc  a  b  c  , a, b, c a)  1 1 a8  b8  c8 a 3b3c     , a, b, c 0  a b c b) Gi¶i áp dụng hệ (2) bất đẳng thức AM – GM ta có: a) 2 2 a  b  c  a    b    c  a 2b  b 2c  c a  ab    bc    ca  ab.bc  ab.ca  bc.ca abc  a  b  c  DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c b) 2 2 a8  b8  c8  a    b    c  a 4b  b 4c  c 4a  a 2b    b 2c    c a  2 a 2b b c  a 2b c a  b 2c c a  ab 2c    a 2bc    abc  2  1 1 ab c.a bc  ab 2c.abc  a 2bc.abc a 3b3c      a b c DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c – a b  1 x y VÝ dô Cho a, b lµ hai sè d¬ng cho tríc vµ x, y lµ c¸c biÕn d¬ng tháa m·n ®iÒu kiÖn T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÕt thøc (x + y) a b  ay bx  a b x  y  x  y     a  b     a  b  ab   1 y  x y  x Gi¶i V× x y nªn a b  x  y 1  x a  ab       y b  ab  ay  bx  x y DÊu “=” x¶y vµ chØ  VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña (x + y) b»ng  a b   x a  ab   y b  ab – a b  VÝ dô T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c hµm sè sau ®©y: y  f  x  x   x  x   0; 2 a) víi 1  x   ;3 y  f  x   x  1   x  2  b) víi y  f  x  x   x   0;6 trªn ®o¹n y  f  x   x3  a  x  a  0, x   0; a  d) víi c) Gi¶i  x 0  x   0; 2 a) §Ó ý thÊy víi ta có   x 0 , điều này làm ta nghĩ đến bất đẳng thức AM – GM áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số không âm x và (2 – x) ta đợc:  x   0; 2  x    x   x 1 y  f  x   x   x     1 x   x    DÊu “=” x¶y vµ chØ  max f  x  1  x 1 KÕt luËn: 0x2 b) Tơng tự ta áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dơng (2x – 1) và (3 – x):  1  x     x    1 25 2    y  f  x   x  1   x  2  x     x  2   2         1   x   ;3    x 7   x  3  x  DÊu “=” x¶y vµ chØ 25 max f  x    x  x 3 VËy 1  x  2  x    ? Bạn đọc hãy quan sát lại đề bài và hãy thử áp  Chó ý: T¹i ta l¹i ph¶i ph©n tÝch dụng trực tiếp bất đẳng thức AM – GM mà bỏ qua cần bớc phân tích kia! x   0;6 c) Víi ta có x và – x không âm Nh vậy: x x       x  x x y  f  x   x   x  4     x  4  2  32 2      x   0; 6   x 4 x  6  x DÊu “=” x¶y vµ chØ  max f  x  32  x 4 VËy 0x6 x x x     a  x    27  x x x y  f  x  27     a  x  27  3 a   3 256     d) Mét c¸ch t¬ng tù, ta cã: x  a   0; a  DÊu “=” x¶y vµ chØ 27 a  x a 256 – KÕt luËn: VÝ dô T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c hµm sè sau: x  16 x  16 y  f  x   0;   8x a) kho¶ng max f  x   x a y  f  x  b) x4 1 x  1 x  16 x3  56 x  80 x  356 x2  2x  c) x y  f  x   x  víi mäi x > d) y  f  x   x x  trªn kho¶ng  0;1 e) y  f  x  Gi¶i y  f  x  a) x  16 x  16  x  x     2   3 8x x  x , víi mäi x > x    x  x 4   DÊu “=” x¶y vµ chØ  x f  x  3  x 4 VËy 0 x b) áp dụng hệ bất đẳng thức AM – GM ta đợc: x  x  1  y  f  x    x 1  x 1  x x4 1 2 2 2  1 2  2  1 DÊu “=” x¶y vµ chØ x 1  x 1 f  x    x 1 x Do đó c) Đem tử thức chia cho mẫu thức ta đợc: Nên theo bất đẳng thức AM – GM ta có x DÊu “=” x¶y vµ chØ  x  f  x  64   x  x 1 VËy y  f  x  4  x  x    y  f  x  64, x   256 x  2x   x   x  5 64  x  x  8    x 1 2  x  x y  f  x         2 x  1 2 x 2  d) Ta cã: f  x    x 3 DÊu “=” x¶y vµ chØ x = Nªn 1 x e) Hàm số xác định y  f  x  x   0;1 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: 1 x x 1 x 2x  x 2x         2  1 x x 1 x 1 x x 1 x  x   0;1  x   0;1   x 21 1  x 2x    x  x      1 x DÊu “=” x¶y vµ chØ  x f  x   x 3 VËy 1 x – Ví dụ (Bất đẳng thức Nesbitt cho số) a b c    b c c a a b Cho c¸c sè d¬ng a, b, c Chøng minh: (1) Gi¶i Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức Nesbit Sau đây xin đợc giới thiệu tới bạn đọc số c¸ch nh sau:  x, y , z    C¸ch 1: §Æt b  c x, c  a  y, a  b z yz x zx y xy z a , b , c 2 Khi đó yz x zx y x y z 1 x y y z x z            x y z 2 y x z y z x Ta cã: Theo bất đẳng thức AM – GM thì biểu thức ngoặc không nhỏ 6, ta có bất đẳng thức (1) DÊu “=” x¶y vµ chØ x  y z  a b c VT   a   b   c  (1)    1    1    1   b c   c  a   a b   C¸ch 2: 1    2 a  b  c     9  b c c a a b  1      b  c    c  a    a  b      (2)  9  b c c a a b  Bất đẳng thức (2) đúng, theo hệ (3) bất đẳng thức AM – GM Ngoài còn nhiều cách chứng minh bất đẳng thức Nesbitt mà không cần dùng bất đẳng thức AM – GM Ví dụ: Biến đổi tơng đơng: 1  b 1  c 1  a (1)           0  b c   c a   a b  a  b a  c b  c b  a c  a c  b    0 2 b  c 2 c  a 2 a  b  1 1          a  b      b  c     c  a    0  2  b c c a   c  a a b   a b b  c    a  b  b  c  c  a   0  b  c  c  a 2 c  a  a  b  a  b  b  c 2 Vµ cßn rÊt nhiÒu c¸c c¸ch chøng minh kh¸c n÷a – VÝ dô (§Ò thi TS líp 10 trêng §HSP H¶i Phßng n¨m häc 2003 – 2004) Cho sè d¬ng x, y, z tháa m·n x + y + z = Chøng minh r»ng:   14 xy  yz  zx x  y  z (1) 2 3 x  y  z  2 x  y  z    2 xy  yz  zx x  y2  z2 Gi¶i Ta cã: xy  yz  zx x  y  z  x2  y  z   x  y  z   xy  yz  zx   xy  yz  zx     2   4   14 xy  yz  zx x  y2  z2 xy  yz  zx x  y2  z2 – VÝ dô (§Ò thi häc sinh giái líp 9thµnh phè Yªn B¸i n¨m häc 2011 – 2012) f  x  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè sau: Giải TXĐ (tập xác định) hàm số:  3x  x2   1;1 f  x   3x  x2    x     x     x    x   x2 1 x 1 x 4 Với giá trị x thuộc tập xác định, ta có:  x    1;1 3  x  f  x  4  x   x   x   – DÊu “=” x¶y vµ chØ  VËy  1 x 1 VÝ dô 10 (§Ò thi häc sinh giái líp tØnh Yªn B¸i n¨m häc 2011 – 2012) Cho x, y, z lµ ba sè d¬ng tháa m·n xyz = Chøng minh r»ng: x2 y2 z2    y 1 z 1 x 1 (1) Giải Nhận thấy dấu “=” xảy x = y = z = 1, nên ta áp dụng bất đẳng thức AM – GM nh sau: x  y  1 x2 y 1  2 x y 1 4  y  1 Lập hai bất đẳng thức tơng tự cộng lại, ta có: x y z x  y  z  3  x  y  z  3.3 xyz 3   x  y  z       y 1 z 1 x 1 4 4 DÊu “=” x¶y vµ chØ x = y = z = – 2 a 2b  1 VÝ dô 11 Cho a, b lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n  a  b a) (§Ò thi TS líp 10 chuyªn thµnh phè Hå ChÝ Minh n¨m häc 2009 – 2010) ab  Chøng minh r»ng: b) (§Ò thi Violympic cÊp quèc gia dµnh cho líp n¨m häc 2011 – 2012) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = a2b3 2b a 1 b 1    a 1 a 1 a 2b Do đó: Gi¶i Tõ gi¶ thiÕt ta cã:  b 1 b 1  b  1 b  ab  b  b   b      2b 2  a)   a, b   b 1  b  a b   1 b a  2b DÊu “=” x¶y vµ chØ  2  1 b  a 2b3   b  b   b   2b  b)  1 b 1 b    b  1 b 1 b   b    2 27       a, b  a 1   1 b   b   b  1 b   a  2b DÊu “=” x¶y vµ chØ 1 b – KÕt luËn: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M b»ng 27 vµ chØ a 1 vµ VÝ dô 12 (§Ò thi häc sinh giái líp tØnh Yªn B¸i n¨m häc 2011 – 2012) 1 1 S     1.2012 2.2011 2012.1 k  2012  k  1 Cho , 4024  k  , k 2012  So s¸nh S vµ 2013 1  k  2012  k  1 k   2012  k  1 2013 Gi¶i XÐt 2013 k  DÊu “=” x¶y vµ chØ (tr¸i víi gi¶ thiÕt)  k  2012  k  1 2013 Nªn Cho k lần lợt nhận các giá trị từ đến 2012 cộng tơng ứng vế 4024 với vế 2012 bất đẳng thức lại với nhau, ta thu đợc S > 2013 –  VÝ dô 13 Chøng minh r»ng, víi mäi sè thùc x, ta lu«n cã: x x x  15   12   20  x x x         3    4  5   Giải áp dụng hệ (2) bất đẳng thức AM – GM: x x x  15   12   20   15            4  5    4 x x  12   12        5  5 x x x x  20   15          4 x x  20    3x  x  x   x  15   12   20         x 0 DÊu “=” x¶y vµ chØ       – Ví dụ 14 Chứng minh rằng, với số dơng a, b, c ta có bất đẳng thức: a3 b3 c   ab  bc  ca b c a a3 b3 c3  ab 2a  bc 2b  ca 2c b c a , , Giải Theo bất đẳng thức AM – GM thì: a b3 c3   2  a  b  c    ab  bc  ca  b c a Céng vÕ: DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c – VÝ dô 15 Cho c¸c sè d¬ng u, v cã tæng b»ng Chøng tá r»ng: 1  4  3 x y xy Gi¶i V× x + y = nªn (x + y)3 = hay x3 + y3 + 3xy = Vế trái bất đẳng thức có thể viết lại nh sau: 1 x3  y  3xy x  y  3xy  3xy x3  y          2 3 x3  y xy x3  y xy xy  x y         4   31 31  x 1   x 1    2 6   4 3 3   1 y   y   2 6 DÊu “=” x¶y vµ chØ  hoÆc  – Ví dụ 16 Cho tam giác ABC Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác, p là nửa chu vi và S là diÖn tÝch tam gi¸c Chøng minh: ab  bc  ca a  b  c   ab  bc  ca  2  a  b  c  a) (1) 1 1 1      b) b  c  a c  a  b a  b  c a b c (2) c) abc  b  c  a   c  a  b   a  b  c  (3) a b c    2 d) b  c c  a a  b (4) R  r e) (5) (R, r lần lợt là bán kính đờng tròn ngoại tiếp và đờng tròn nội tiếp tam giác ABC) Gi¶i 2 (*) ab  bc  ca a  b  c  2 a  b  c   ab  bc  ca  (**) a) Thật ra, chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức sau:  Bất đẳng thức (*) đúng theo hệ (2) bất đẳng thức AM – GM Ta cần chứng minh bất đẳng thức (**) là đúng Thật vậy, theo bất đẳng thức tam giác thì: a a.a  a  b  c  ab  ca Lập thêm hai bất đẳng thức tơng tự cộng lại ta có đợc bất đẳng thức (1) Dấu “=” xảy và a = b = c hay tam giác ABC là tam giác b) Từ hệ (3) bất đẳng thức AM – GM ta có: 1    b  c  a c  a  b  b  c  a   c  a  b c T¬ng tù: 1 1     b  c  a a  b  c b và a  b  c c  a  b a Cộng lại ta đợc bất đẳng thức (2) Dấu “=” xảy và a = b = c hay tam giác ABC là tam giác 1 2       Chú ý: Dựa vào bất đẳng thức (2) ta có thể chứng minh p  a p  b p  c a b c p c) áp dụng hệ (2) bất đẳng thức AM – GM:  b  c  a   c  a  b   b  c  a  c  a  b    b  c  a   c  a  b  c Tạo thêm hai bất đẳng thức nữa, ta rút bất đẳng thức (3) Dấu “=” xảy và a = b = c hay tam giác ABC là tam giác abc 8  p  a   p  b   p  c  Chú ý: Bất đẳng thức (3) chính là bất đẳng thức sau: b c  a  b  c  c  a  a  b  (i) (4)    a  b  c  (ii)  b  c c  a a  b d) Ta cã Bất đẳng thức (i) chính là bất đẳng thức Nesbitt cho ba số dơng Dấu “=” xảy và a = b = c hay tam giác ABC là tam giác Bây ta chứng minh bất đẳng thức (ii) Trớc hết, ta có bất đẳng thức phụ sau: a am  “Víi mäi sè d¬ng m, nÕu cã < a < b th× cã b b  m ” (iii) a b c aa bb c c      2 ¸p dông (iii): b  c c  a a  b a  b  c a  b  c a  b  c abc abc S S  pr  R  , r R S p e) abc S 2  abcp 8S p Do đó công việc chúng ta là cần chứng minh: S S  p  p  a  p  b  p  c Theo c«ng thøc Heron: abcp 8S  abc 8  p  a   p  b   p  c  Nªn (đúng, theo kết câu c) Dấu “=” xảy và a = b = c hay tam giác ABC là tam giác – VÝ dô 17 (§Ò thi TS líp 10 chuyªn trêng §¹i häc Vinh n¨m häc 2009 – 2010 vßng 2) Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n x + 2y + 3z = 18 Chøng minh r»ng: y  3z  z  x  x  y  51    1 x 1 y  3z T y  3z  3z  x  x  y    1 x 1 y  3z Gi¶i XÐt biÓu thøc  y  3z    3z  x    x  y   T    1    1    1  x  y  z       Khi đó  T x  y  3z  x  y  3z  x  y  3z    1 x 1 y  3z  1  24.9 72 24       24   x 1  y 1  3z 21   x  y  3z  72 51  3 7 DÊu “=” x¶y vµ chØ  x, y , z   1  x 1  y 1  3z   x  y  z 18   x 6   y 3  z 2  – VÝ dô 18 (§Ò thi TS líp 10 chuyªn trêng Lª Hång Phong, TP HCM n¨m häc 2000 – 2001) A   xy x y xy Cho x, y  vµ x  y 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc x y  , ta t×m c¸ch t¸ch c¸c h¹ng tö cña A nh Giải Dự đoán giá trị nhỏ A đạt đợc  1    A      xy   2 xy   xy  xy áp dụng bất đẳng thức AM – GM và các hệ quả: x y sau: 5  xy    2 11 2 2 x  y  xy xy x  y x  y    x y 4    1 x y  A 11  x  y  VËy x , y 0 – DÊu “=” x¶y vµ chØ A VÝ dô 19 (§Ò thi TS líp 10 chuyªn trêng Phan Béi Ch©u NghÖ An n¨m häc 2007 – 2008) x  1 y Cho x, y lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc x y A  y x Giải Ta hãy thử áp dụng luôn bất đẳng thức AM – GM để tìm giá trị nhỏ A nhé! x y x y A   2  2 y x y x Ta thÊy: DÊu “=” x¶y vµ chØ x = y Lời giải thật ngắn gọn đến khó tin phải không các bạn Nhng thực chất đây là lời giải sai! x 1 y th× ta sÏ cã Các bạn không tin ? Nào, các bạn cùng để ý nhé, thay x = y vào x  1 x víi x > Râ rµng kh«ng cã sè d¬ng x nµo tháa m·n bÊt ph¬ng tr×nh nµy! NghÜa lµ c¸ch giải ban đầu chúng ta là không thể chấp nhận đợc! Ta giải lại nh sau: x x y  x  2    4 y y y x Tõ gi¶ thiÕt suy x y x y  15 y x y 15.4 17 A     2     y x y 16 x 16 x y 16 x 16   áp dụng bất đẳng thức AM – GM:   x, y     x   x  1   y   y 2 x y   DÊu “=” x¶y vµ chØ  y 16 x – VÝ dô 20 Cho c¸c sè d¬ng x, y tháa x  y 4 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 3x   y S  4x y2 Giải Dự đoán giá trị nhỏ S đạt đợc x = y = nên ta giải nh sau:  y y xy x 1 y y  x 1 S          2   2.3    1    8 x y 8 2  x y Ta cã: DÊu “=” x¶y vµ chØ x = y = – Ví dụ 21 (Đề thi đại học khối D năm 2008) Cho x, y 0 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P  Gi¶i  x  y    xy  2 1 x 1 y  Do x, y 0 nªn ta suy   x  y    xy  2  1 x  1 y  P  P  x  y    xy  2 1 x 1 y  x  y    xy  2 1 x 1 y  x  y    xy   x  y    xy   2 2 1 x 1 y  1 x 1 y 2   x  y     xy   4  x  y    xy      x    y   4  x  y    xy  MÆt kh¸c, ta cã:   x  y    xy     P  2    x    y  4  x  y    xy   P  2 4 1 x 1 y  P  VËy x , y 0 1 max P  x , y  ch¼ng h¹n x = vµ y = vµ ch¼ng h¹n x = vµ y = – VÝ dô 22 Cho x, y, z lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n x + y + z = Chøng minh r»ng: 8x  y  z 4 x 1  y 1  z 1 x x x x x Giải áp dụng bất đẳng thức AM – GM:   64 3 8 64 12.4 y  y  64 12.4 y , z  8z  64 12.4 z T¬ng tù:  8x  y  z   3.64 3  x 1  y 1  z 1  Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên: (1) x y z x y z Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM – GM lần thứ hai:   3 8 3 3.64 (2)  8x  y  8z    8x  y  z  2  x  y  8z   3.64 3  x 1  y 1  z 1  Tõ (1) vµ (2) suy ra:   8x  y  8z  3  x 1  y 1  z 1   8x  y  8z 4 x 1  y 1  z 1 DÊu “=” x¶y vµ chØ x = y = z = – 1   1 VÝ dô 23 Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c tháa m·n a b c Chøng minh r»ng: 1 1    2a  b  c a  2b  c a  b  2c Giải Theo hệ (2) bất đẳng thức AM – GM ta có: 1 1 1    1   1   1                  2a  b  c  a  b    a  c   a  b a  c    a b   a c   16  a b c  Tơng tự, lập thêm hai bất đẳng thức cộng tơng ứng vế ba bất đẳng thức lại, ta đợc: 1 1  4 4        2a  b  c a  2b  c a  b  2c 16  a b c  a b c  DÊu “=” x¶y vµ chØ – VÝ dô 24 (ViÖt Nam Mathematical Olympiad – VMO) 1    1 x , x , , x  x  x  x n n C¸c sè thùc d¬ng tháa m·n n x1 x2 xn  n  1 H·y chøng minh r»ng: 1 1   1   xn  1  xn Gi¶i Ta cã:  x1  x2 xn 1 1      n  1 n  1  xn  x1  x2  xn    x1    x2    xn  Bằng cách tơng tự, ta có thêm (n – 1) bất đẳng thức Nhân vế với vế n bất đẳng thức ta đợc:  x1 x2 xn    n  1   x1    x2    xn   n     x1    x2    xn   n  x1 , x2 , , xn   1    1  x1  x2   xn n    x  x  x n   x  x2  xn DÊu “=” x¶y vµ chØ  – 1   n  x , x , , x  x  x  x n n VÝ dô 25 Cho c¸c sè d¬ng tháa m·n x1 x2 xn  n n  1  Chøng tá r»ng: 1   n  1  x  x  x n Gi¶i Theo gi¶ thiÕt th×   1               1  x1   x2    x3    xn   x x x2 x3 xn x     n  n  1 n  1  x1  x2  x3  xn   x2    x3    xn  Xây dựng thêm (n – 1) bất đẳng thức tơng tự nhân vế với vế n bất đẳng thức ta có đợc bất đẳng x1  x2   xn  n – thøc cÇn chøng minh DÊu “=” x¶y vµ chØ KÜ thuËt Cauchy ngîc dÊu Kĩ thuật Cauchy ngợc dấu là phơng pháp chứng minh bất đẳng thức khá mẻ và độc đáo Cơ sở kĩ thuật này là: “Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số âm, ta đợc bất đẳng thức ngợc chiều với bất đẳng thức đã cho” B©y giê chóng ta sÏ xÐt c¸c vÝ dô cô thÓ sau: VÝ dô 21 (§Ò thi TS líp 10 chuyªn trêng Phan Béi Ch©u, NghÖ An n¨m häc 2007 – 2008) Cho ba sè d¬ng a, b, c cã tæng b»ng Chøng minh r»ng: a b c    2 1 b 1 c 1 a a b c    2  b  c  a Gi¶i Chóng ta kh«ng thÓ lµm nh sau: a b c a b c 1 a b c             3 2 1 b 1 c 1 a 2b 2c 2a  b c a  a 1.b  b 1.c  c 1.a a b c    b c a 1 a    2 1 b 2b  b 2b ! Bëi v× VËy ta ph¶i lµm thÕ nµo víi bµi to¸n nµy? ThËt may m¾n v× ta cã tÝnh chÊt sau ®©y: a1  a2   an n a  a   an a  a   an  a1a2 an    n a1a2 an  k  k  n n n Nh vËy, ta cã thÓ chøng minh bµi to¸n b»ng kÜ thuËt Cauchy ngîc dÊu nh sau: a   b   ab b   c   bc c   a   ca a b c       b2  c2  a  b2 1 c2 1 a2  ab  ab bc ca  bc ca   a  b  c           2  2   1 b 1 c 1 a   1 b 1 c 1 a   b 2b   ab  ab ab ab      2 2b 1  b 2b 1  b2   b2  bc bc  bc  bc     1  c 2c   2 2c 1  a 2a 1  c  1 c   ca  ca ca ca     2 2a 1  a  1 a MÆt kh¸c: n a1a2 an a b c ab  bc  ca   3  2 2 Cộng vế ba bất đẳng thức trên lại, ta có:  b  c  a  a  b  c a  b  c  ab  bc  ca ab  bc  ca 3       2 2 Mµ Do đó ta suy bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy và a = b = c = – Chú ý: 1/ Ta có thể mở rộng bất đẳng thức đã cho thành a b c a b c       2 2 1 b 1 c 1 a  a  b  c2 2/ Hoµn toµn t¬ng tù ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n sau: VÝ dô 22 Chøng minh r»ng víi mäi sè d¬ng a, b, c, d tháa m·n ®iÒu kiÖn a + b+ c + d = ta cã: a b c d a b c d    2     2 2 2 1 b 1 c 1 d 1 a 1 a 1 b 1 c 1 d Gi¶i Ta cã: a   b   ab b   c   bc c   d   cd d   a   da a b c d         b2  c2  d  a  b2  c2 1 d  a2  ab  ab bc cd da  bc cd da   a  b  c  d             2 2  2 2   1 b 1 c 1 d 1 a   1 b 1 c 1 d 1 a  2  a  c   b  d  4   a  b  c  d  4   a  b  c  d  2  ab  bc  cd  da  4    4  2 8   a b c d a b c d        2 2 2 2a 2b 2c 2d MÆt kh¸c  a  b  c  d (2) Từ (1) và (2) ta có bất đẳng thức cần chứng minh DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c = d = – (1) VÝ dô 23 Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c, d d¬ng cã tæng b»ng th×: 1 1    2 a 1 b 1 c 1 d 1 a  1  a  a2 a2 a  1  1  1  2 a 1 a 1 2a Giải Theo bất đẳng thức AM – GM: a  Thực tơng tự với b, c và d cộng vế các bất đẳng thức lại ta có đpcm DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c = d = – VÝ dô 24 Chøng minh r»ng víi mäi sè d¬ng a, b, c, d tháa m·n ®iÒu kiÖn a + b + c + d = ta cã: a b c d    2 2  b c  c d  d a  a 2b a b c d    2 2 Gi¶i Ta thÊy:  b c  c d  d a  a b a   b c   ab c b   c d   bc d c   d a   cd a d   a 2b   da 2b      b2c  c 2d  d 2a  a 2b  ab c bc d cd a da 2b   a  b  c  d       2 2   1 b c 1 c d 1 d a 1 a b   ab2 c bc d cd a da 2b  4       4   2b c 2c d 2d a 2a b   ab c bc d cd a da b       2   a b c d b a.ac  c b.bd  d c.ca  a d db    4  2 2 1 b c 1 c d 1 d a 1 a b b  a  ac   c  b  bd   d  c  ca   a  d  db   ab  bc  cd  da    abc  bcd  cda  dab  4  4  4  4   a  c   b  d   bc  a  d   da  b  c   a c b d  4    a  d   b  c  4  b  c  a  d   a b c d   a b c d    a  d   b  c  a b  c  d  4  2 16 16 DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c = d = – a 1 b 1 c 1   3 VÝ dô 25 Chøng minh víi mäi sè d¬ng a, b, c cã tæng b»ng th× b  c  a  4   a b c d  Giải áp dụng bất đẳng thức AM – GM: 2 2 2 a  b  c   a  1  b  1  b  a  1  b  1  c  1  c  b  1  c  1  a  1  a  c  1      b2 1 c 1 a 1 b2 1 c2 1 a 1  b  a  1 c  b  1 a  c  1   a   b   c  1      c 1 a 1   b 1  b  a  1 c  b  1 a  c  1  a  b  c  ab  bc  ca 6        6  2b 2c 2a  2  DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c = –  a  b  c 3 a3 b3 c3 d3 a b c d  2   2 2 a , b , c , d  d a VÝ dô 26 Cho Chøng minh: a  b b  c c  d Giải Theo bất đẳng thức AM – GM: a3 b3 c3 d3 ab bc cd da     a   b   c   d  a  b2 b  c c  d d  a a  b2 b2  c c2  d d  a2  ab bc cd da  a  b  c  d  a  b  c  d         2a 2b 2c 2d  DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c = d – Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz là bất đẳng thức ba nhà toán học tiếng: Cauchy (ngêi Ph¸p), Bunyakovksy (ngêi Nga), Schwarz (ngêi §øc) ph¸t minh ra, nªn nã cßn cã c¸c tªn gäi khác sau đây: bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Cauchy – Bunyakovsky – Schwarz (viết tắt là bất đẳng thức CBS) hay bất đẳng thức Schwarz Tuy nhiên ngời Việt Nam hay gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki Đây là cách gọi không đúng và có nhầm lẫn Mặc dù có tên gọi khác nhau, nhng nội dung bất đẳng thức nh sau:   a1 , a2 , , an    b , b , , bn  Nội dung bất đẳng thức: Cho hai n số thực  a 2  a   a a hay n b 2 2 n  b   b   a b  a b 1 2   anbn   n  , n 2  Ta cã:  n    a  b   aibi  i 1 i 1  i 1   a22   an2   b12  b22   bn2   a1b1  a2b2   anbn  n i n n i n i  a  b i 1 2 i i 1 n   aibi i 1  b , b , , bn  lµ hai bé tØ lÖ, tøc lµ tån t¹i mét sè vµ a kbi , i 1, n k   : kbi , i 1, n thực k nào đó để i Ta quan tâm đặc biệt đến hai trờng hợp: a12  a22   b12  b22   a1b1  a2b2   - Khi n = 2: (DÊu “=” x¶y vµ chØ k   : a1 kb1 , a2 kb2 ) DÊu “=” x¶y vµ chØ  a1 , a2 , , an     a Khi n = 3:   a22  a32   b12  b22  b32   a1b1  a2b2  a3b3  (DÊu “=” x¶y vµ chØ k   : a1 kb1 , a2 kb2 , a3 kb3 ) Mét sè hÖ qu¶ quan träng:  a , a , , an  Ta cã: (1) Cho n sè thùc 2 n  a12  a22   an2   a1  a2   an  DÊu “=” x¶y vµ chØ a1 a2  an  a , a , , an  vµ  b1 , b2 , , bn  Ta cã: (2) Cho bé n sè thùc d¬ng a  a  a   an  a12 a22   n  b1 b2 bn b1  b2   bn (bất đẳng thức này thờng gọi là bất đẳng thức Schwarz) k   : kbi , i 1, n DÊu “=” x¶y vµ chØ Chú ý: Khi cho a1 a2  an 1 , ta đợc bất đẳng thức sau: 1 n2    b1 b2 bn b1  b2   bn Đây là hệ bất đẳng thức Cauchy  a , a , , an  vµ  b1 , b2 , , bn  Ta cã: (3) Cho bé n sè thùc d¬ng a12  b12  a22  b22   an2  bn2  DÊu “=” x¶y vµ chØ  a1  a2   an  k   : kbi , i 1, n 2   b1  b2   bn  Yêu cầu: Chứng minh các bất đẳng thức hệ trên, coi nh bài tập Ví dụ 27 Chứng minh bất đẳng thức Nesbitt cho số dơng Giải Sử dụng hệ (2) (bất đẳng thức Schwarz) ta có:  a  b  c    ab  bc  ca   a b c a2 b2 c2       b  c c  a a  b ab  ac bc  ab ca  bc  ab  bc  ca   ab  bc  ca   a , b, c    a b c   a b c  ab  ac  bc  ab  ca  ab DÊu “=” x¶y vµ chØ – 2 VÝ dô 28 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: y 3u  8v víi u  4v 100 2 Gi¶i Ta chän c¸ch t¸ch 3u vµ 8v cho vÕ ph¶i xuÊt hiÖn u  4v Ta cã: 3u  8v  3u  8v  3.u  4.2v  3  42   u  4v  50 3u  8v 50   u v   DÊu “=” x¶y vµ chØ u 6  v 4 – VÝ dô 29 a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè sau b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt c¶u hµm sè f  x  2 x   x f  x  x    x Gi¶i  2; 4 a) TX§ cña hµm sè: Từ hệ (1) bất đẳng Cauchy – Schwarz, ta có: 2 f  x   x    x 2  x    x  4  f  x  2 f  x   0, x   2; 4   (do )  x   2; 4  x 3  max f  x  2  x 3 x  4 x   DÊu “=” x¶y vµ chØ VËy 2x4   Ta chứng minh bất đẳng thức sau: a  b  a  b , a, b 0        a b     a b    a  b  ab a  b  ThËt vËy, ta cã DÊu “=” x¶y vµ chØ a = hoÆc b =   : x    x   x      x   áp dụng bất đẳng thức ab 0 (đúng a, b 0 )  x 2 f  x     2x 4  x 4 Dấu “=” xảy và x = x = Do đó x    5;  x    5;  b) TX§ cña hµm sè: Víi ta cã: 2   f  x   2.x   x  22  12   x   x  25    f  x  5   0  x   max f  x  5   x  x  x 2  x    2 VËy –    VÝ dô 30 a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè  f  x   x  x    x  3x b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè f  x   x   x   21  x 1 f  x    cos    2sin  2 c) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña  th× hµm sè đạt giá trị lín nhÊt? Gi¶i  3 a) TX§: 57 x   3 41 Theo hệ (1) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: f  x   x  3x    x  3x    x  3x      x  3x   2    57   41  x  x    4    2 x   x  3x    x  x DÊu “=” x¶y vµ chØ   x   max f  x  2    57   41  x   x 1 KÕt luËn:   7;     2;     b) TX§:  Sö dông hÖ qu¶ (1), ta cã ngay: c) Hàm số xác định  f  x  3 DÊu “=” x¶y vµ chØ x  5  22  5  f  x    cos    sin      cos      sin     2  4   Ta cã: 2 (do hệ (1) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và đẳng thức sin   cos  1,  ) 1  cos    sin   cos   sin   2 DÊu “=” x¶y vµ chØ 1    2sin    sin       k , k   2 –  sin    30o  radian mà ta đã vội kết luận NhËn xÐt: Khi là không đợc, vì ta xét      , không phải xét đến các góc 0o  90o ! đến các góc bất kì 1 49    x  y  z  16 x y z 16 VÝ dô 31 Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa Chøng minh: 1  1 1        x  y  z Gi¶i §Ó ý thÊy x + y + z = nªn ta cã: 16 x y z  16 x y z  2 2 2 1                 x  y  z    16 x y z   x   y   z      Ta cã:         1 49   x  y  z  4 x  16 y z   (bất đẳng thức Cauchy – Schwarz) x , y , z  0, x  y  z     : x  : y  : z  x , y , z 7 4 x y z  DÊu “=” x¶y vµ chØ – VÝ dô 32 Cho sè thùc x tïy ý Chøng minh:  x  x  4 Giải Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz thì:   x   x    12  2   x  1   x  x    x  x    x 4 x DÊu “=” x¶y vµ chØ –  x  xy  y 16  y  yz  z 3 VÝ dô 33 Cho x, y, z lµ ba sè thùc tháa hÖ  Chøng minh: xy  yz  zx 8 2  x  x 3  y       16       2  z  z 3  3  y     2      Giải Hệ đã cho có thể đợc viết lại thành  Nhân vế với vế hai phơng trình hệ ta đợc: 2 2   x   x    z   z   48   y      xy  yz  zx         y             2        Từ đó suy đpcm – VÝ dô 34 Cho a  c  0, b  c  Chøng minh r»ng: c  a  c   c  b  c   ab Giải áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: 2 2 c a  c  b  c c  c  b  c   a  c              c  ab   a, b  c   a, b  c    c b c     2c ab  ac  bc  c DÊu “=” x¶y vµ chØ  a  c – Ví dụ 35 Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với số thực a, b: a ; b  Giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho hai số: a a3  b3   b4   b2  a  a ; b  : vµ  ab 0 2 a  b3   a   b     a   b      DÊu “=” x¶y vµ chØ  ab 1 – 2 k  4  1  1   a   b    a  b 2k VÝ dô 36 a) Cho a, b  0, a  b k Chøng minh:  2 2 k  9  1  1  1   a   b    c    a  b  c 3k b) Cho a, b, c  0, a  b  c k Chøng minh:  c) Hãy tổng quát hóa các bất đẳng thức trên Gi¶i 2 2   2  2  a  b  1  1  2  a     b    a  b            a  b    a   b   a) Ta thÊy: 1 1    a b  4 2  a  b  2   2   k  a  b     k k  k  16 a  b  4    4   4   2 2 k 2k 2k  a  b a b  DÊu “=” x¶y vµ chØ b) T¬ng tù: 2   2  2  2  1  1  1  2 a   b   c   a  b  c     a    b    c           a  b  c     a  b  c   a  b  c  3 k 2  1 1         a  b  c    a  b  c   a b c  6  3  27  a  b  c k 27 k  18k  81  k   6   6   k 3k 3k k DÊu “=” x¶y vµ chØ c) Tæng qu¸t: a1 , a2 , , an  0, a1  a2   an k , n   * ta cã: a b c  2 2 n2  k     1  1 1  a1     a2     an    a1   a2  an  nk   Chøng minh: Chøng minh t¬ng tù nh trªn hoÆc ta còng cã thÓ chøng minh b»ng hÖ qu¶ (1) nh trªn hoÆc theo c¸ch sau ®©y: 2 2    1  1    1  1  n   a1     a2      an      a1     a2      an    a1   a2  an     a1   a2  an        2 k  n2      n2 n2    a1  a2   an     k    a1  a2   an   k  k2  2 2 k  n2     1  1 1   a1     a2     an    a1   a2  an  nk   k a1 a2  an  n – DÊu “=” x¶y vµ chØ Ví dụ 37 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng tỏ rằng: a b c   3 b c  a c  a  b a b  c Giải Theo hệ (2) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:  a  b  c a2 b2 c2    2 ab  ca  a bc  ab  b ca  bc  c  ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca  3  ab  bc  ca    ab  bc  ca  DÊu “=” x¶y vµ chØ a b c – Chú ý: Bạn đọc có thể giải bài toán trên phơng pháp đổi biến: b  c  a  x, c  a  b  y , a  b  c  z  x , y , z   §Æt Từ đó biểu diễn a, b, c theo x, y, z chứng minh bất đẳng thức đã cho với các biến x, y, z  VÝ dô 38 Chøng minh: a12   a22    an2   2  a1  a2   an   n Giải Theo hệ (3) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz thì: a12   a22    an2    a1  a2   an       1 DÊu “=” x¶y vµ chØ a1 a2  an – VÝ dô 39 Gi¶ sö a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng, chøng minh r»ng: a b c    2  b  c  c  a  a  b  a  b  c Giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:     a 2  b 2  a 2     c      b  c   c  a   a  b           a  b   2  a b c   a b c   a   b  c      (1) bc ca a  b   b  c c  a a  b   a b c    Mặt khác, theo bất đẳng thức Nesbitt thì b  c c  a a  b (2) KÕt hîp (1) vµ (2) ta cã ®pcm DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c – VÝ dô 40 (Iran Mathematical Olympiad 1998 – Iran MO 1998) 1   2 Gi¶ sö x, y, z 1 vµ x y z Chøng minh r»ng: x y z  x 1 y  1 z  x y z  1  1  1   1            1  y  z x y z Gi¶i Tõ gi¶ thiÕt suy ra:  x   áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: x yz  y  x  y  z  1 x z    y  z   x y z  x y z  x  x  y  z  x  y z  Từ đó có đpcm Dấu “=” xảy và VÝ dô 41 (Crux) – x2 1  y 1  z 1   x  y  z  Víi mäi x, y, z 0 , chøng minh: Giải Sử dụng hệ (3) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: x  12  y  12  z  12   x  y  z 2     1   x  y  z  32   x  y  z  32   x  y  z  DÊu “=” x¶y vµ chØ x = y = z = – VÝ dô 42 (International Mathematical Olympiad Shortlist 1993 – IMO Shortlist 1993) Chøng minh r»ng víi mäi sè d¬ng a, b, c, d: a b c d     b  2c  3d c  2d  3a d  2a  3b a  2b  3c a2 b2 c2 d2    Gi¶i Ta cã: ab  2ac  3ad bc  2bd  3ab cd  2ac  3bc ad  2bd  3cd a b c d  a  b  c  d   ab  bc  cd  da  ac  bd      ab  bc  cd  da  ac  bd   ab  bc  cd  da  ac  bd  a   b2    b2  c    c  d    d  a    a  c    b2  d    ab  bc  cd  da  ac  bd   ab  bc  cd  da  ac  bd  2ab  2bc  2cd  2da  2ac  2bd   ab  bc  cd  da  ac  bd     ab  bc  cd  da  ac  bd  DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c = d – 2 VÝ dô 43 Chøng minh r»ng nÕu a  2b  9c 3 th× a  2b  9c 6 Giải Ta thấy: 1.1, = 2, = 3.3 Từ đó ta suy cách làm nh sau:  a  2b  9c 1.a  2b  3.3c  12   a  2b  9c  12  a  2b2  9c  6  2 2 Gi¶i Ta cã: 2   2b   3c   DÊu “=” x¶y vµ chØ a b c – VÝ dô 44 Chøng minh r»ng nÕu x  y 15 th×     3   x   32 a  x  y 3  y2   4x  3y   x  y 15   x y   DÊu “=” x¶y vµ chØ 25  x  y  15  x  y 3 12   x    y   – VÝ dô 45 Chøng minh r»ng: 2 a) NÕu x  y 1 th×   x  y  x4  y  x  y  1250 b) NÕu th× Gi¶i a) áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:  x  y  (1) x  y   12  22   x  y      x  y  (2) 5 x  , y  5 DÊu “=” (1) x¶y vµ chØ 5 x , y 5 DÊu “=” (2) x¶y vµ chØ  32  42   x  y   3x  y  1  x2  y  251 b)   x  25  y   25 DÊu “=” x¶y vµ chØ Mặt khác, theo hệ (1) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: 3x  y 1   x y   2    x  y   x  y     x  y  1250  25  DÊu “=” x¶y vµ chØ 3 x  y 1 x y       x  y VÝ dô 46 Cho a, b, c > Chøng minh:  x  , y  25 25   x  y x4  y  (v« lÝ) VËy  a  b  c   a  b  c   a  b3  c3  1250 – 9abc   Gi¶i Ta cã:  2  a    b    c    a   a  b  c  a  b  c 2      a  b  c   a  b2  c     b2  c   a a  b b  c c  c  a  b  c a  b3  2  3 a3 b3 c3     2 9abc DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c – a2 b2 c2 a b c ab bc ca       , a, b, c  a b b c c a VÝ dô 47 Chøng minh: b  c c  a a  b Giải Ta áp dụng hệ (2) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz để có đợc:  a  b  c a2 b2 c2 a b c     b c c  a a b b c c a  a b Mặt khác, sử dụng hệ (2) bất đẳng thức AM – GM ta đợc: 2  a  b   b  c    c  a  a  b  b  c  c  a a  b  c ab bc ca    a  b b  c c  a 4 a  b  b  c  c  a Dấu “=” tất các bất đẳng thức trên xảy và a = b = c – VÝ dô 48 Cho c¸c sè thùc x, y, z 0, x  y  z 6 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: 1 P   2x 2 y 2 z Giải Theo hệ (2) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:   1  9 P   1 P  x; y; z  1  x  y  z 2  x 1  y 1  z  x  y  z  VËy x , y , z 0; – o o VÝ dô 49 Cho  90 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau: M 2  sin   cos8     tan   cot   a) 2     N  sin      cos    sin    cos    b) Gi¶i sin   cos    1 1 2 M  sin   cos    2 tan .cot    tan  cot    1 2 2 a) sin  cos    45o  DÊu “=” x¶y vµ chØ  tan  cot  4 2 sin  a, cos2  b b) Nhận thấy sin   cos  1 , và đặt th× bµi to¸n cña chóng ta sÏ trë thµnh bµi to¸n ë VÝ dô 36 víi k ë ®©y cã gi¸ trÞ b»ng 25 o Vậy biểu thức đã cho đạt giá trị nhỏ và  45 – 2a12  2a1   2a22  2a2    2an2  2an   VÝ dô 50 Chøng minh r»ng: n (1) n Gi¶i (2) Bất đẳng thức (2) là đúng Thật vậy, từ hệ (3) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2 a12    a1   a22    a2    a22    a2   (1)  2 a12    a1   a22    a2    a22    a2    a1  a2   an     a1   a2    an  2 2   a1  a2   an    n  a1  a2  an  MÆt kh¸c, ta thÊy: 2 2   a1  a2   an    n  a1  a2  an    a1  a2   an  n  a1  a2  an  n   a1 a2  an  – Tõ (3) vµ (4) ta cã ®pcm DÊu “=” x¶y vµ chØ 1   1 VÝ dô 51 Chøng minh r»ng nÕu a, b, c 0 vµ abc 1 th×  a  b  c (3) (4) (1) x y z a , b c y z th× x Suy ra: Giải Do abc = nên đặt 2 2      a b c  (1)           1   1   1  1  a 2b 2c  a b 2c  2a   2b   2c  x y z x2 y2 z2    1    1 y z xy  x 2 yz  y 2 zx  z    x y 2  z 2  x   z x y    Bất đẳng thức trên là đúng theo hệ (2) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz nên (1) đúng DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c = – II ứng dụng các bất đẳng thức Chúng ta đã đợc học hai bất đẳng thức cổ điễn, đó là bất đẳng thức AM – GM và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz còn có dạng mở rộng – bất đẳng thức Holder Nội dung bất đẳng thức này nh sau: a , a , , a1n , a21 , a22 , , a2n , , am1 , am2 , , amn “Víi m d·y sè d¬ng 11 12 ta có bất đẳng  m      m m   n   n m a     i j     j   j 1 i 1   j 1 i 1  Dấu “=” xảy và m dãy đó tơng ứng tỉ lệ.” thøc  Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz là hệ trực tiếp bất đẳng thức Holder với m = Ngoài ba bất đẳng thức cổ điển trên, ta còn có các bất đẳng thức quan trọng sau và là bất đẳng thức xuất phát nhiều bất đẳng thức khác: 2n 1/ a 0, a  , n   DÊu “=” x¶y vµ chØ a 0 a 0, a   2/ DÊu “=” x¶y vµ chØ a 0 a 0, a 0 3/ DÊu “=” x¶y vµ chØ a 0 a  b  a  b , a, b   4/ DÊu “=” x¶y vµ chØ ab 0 a  b  a  b , a, b   5/ DÊu “=” x¶y vµ chØ ab 0 a  b  a  b , a, b 0 6/ DÊu “=” x¶y vµ chØ a 0 hoÆc b 0 a  b  a  b , a b 0 7/ DÊu “=” x¶y vµ chØ b = hoÆc a = b Bây giờ, ta xét đến các ứng dụng chúng, không việc chứng minh bất đẳng thức mà còn dùng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ bài toán đại số nh bài toán h×nh häc, øng dông viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh, hÖ bÊt ph¬ng tr×nh vµ nhiÒu d¹ng to¸n kh¸c… Chứng minh bất đẳng thức – Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức bc ca ab   a  b  c, a, b, c  c VÝ dô 52 a) Chøng minh: a b b) (Canada Mathematical Olympiad 2002 – Canada MO 2002) x3 y z   x  y  z Chøng minh r»ng víi mäi x, y , z  , ta cã: yz zx xz Gi¶i bc ca bc ca  2  2c a b a) Cách 1: Theo bất đẳng thức AM – GM: a b bc ab ca ab  2b,  2a c b c T¬ng tù: a Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên, ta có đpcm DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c Cách 2: Sử dụng hệ (2) bất đẳng thức AM – GM: 2 bc ca ab  bc   ca   ab  bc ca bc ab ca ab         a  b  c         a b c  a   b   c  a b a c b c Cách 3: Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với: 2 2 2  bc    ca    ab  abc  a  b  c    bc    ca    ab  bc.ca  bc.ab  ca.ab (đúng) x3 x3  y  z 3 yz 3x yz b) C¸ch 1: Ta cã: yz Lập thêm hai bất đẳng thức tơng tự cộng lại, ta có bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy và x = y = z x  y  z  xyz  x  y  z  Cách 2: Đa bất đẳng thức đã cho dạng: (đúng, xem Ví dụ 3.) – VÝ dô 53 Gi¶ sö x, y, z lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n xyz 1 Chøng minh r»ng:  x3  y  y3  z3  z3  x3   3 xy yz zx Giải áp dụng bất đẳng thức AM – GM:  1  x3  y  y3  z3 3xy yz  z  x3 3zx 1        3     xy xy yz zx xy yz zx yz zx   1 1  3.3   3  3 3 xy yz zx xyz DÊu “=” x¶y vµ chØ x = y = z = – 1   2 VÝ dô 54 Cho a, b  0, ab 1 Chøng minh:  a  b  ab (*) Giải Biến đổi tơng đơng: ab  a    b    ab  b    a   1 1 ()     0  0  a  ab  b2  ab   a    b2    ab   ab  1  a  b  2ab  a 3b  ab3  a  b  2a 2b  0  0 2   a    b    ab    a2    b2    ab  DÊu “=” x¶y vµ chØ ab = hoÆc a = b – (đúng)     a    b    c    b) Cho a, b, c 0 Chøng minh:   a    b    ab VÝ dô 55 a) Cho a, b 0 Chøng minh: abc  c) Hãy tổng quát hóa các bất đẳng thức trên Gi¶i    a    b  1   a  b   ab 1  ab  ab   ab  a) DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b   a    b    c  1   a  b  c    ab  bc  ca   abc b) T¬ng tù: 1  3 abc   abc    abc   abc  DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c c) Tæng qu¸t: Cho n sè thùc kh«ng ©m a1 , a2 , , an Chøng minh:   a1    a2    an    n a1a2 an  n Chứng minh: Tơng tự, theo cách trên ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM – GM nh phần díi ®©y: 1 n      a1  a2  an n   a1    a2    an  Ta cã: n n a1a2 an a a1 a    n   a1  a2  an n   a1    a2    an  Vµ n  n  n a1a2 an n Cộng vế hai bất đẳng thức trên:    a1    a2    an  Ta cã ®pcm DÊu “=” x¶y vµ chØ a1 a2  an – Ví dụ 56 (IMO – Poland đề nghị) 2 Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè thùc x, y , z tháa m·n ®iÒu kiÖn x  y  z 2 th× x  y  z 2  xyz Giải Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz thì: x   yz    y  z   x  y  z     yz   x  12   y  z  yz    yz  y z   x  y  z  xyz    yz    yz  y z     y z     yz  y z   y z  yz  1 2 2 MÆt kh¸c: yz  y  z x  y  z 2  yz 1  yz  0  x  y  z  xyz   y z  yz  1  2 Do đó Ta có bất đẳng thức càn chứng minh x , y , z DÊu “=” x¶y vµ chØ ba sè cã hai sè b»ng vµ mét sè b»ng – VÝ dô 57 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c hµm sè sau: f  x   x   x 1 a) 1 f  x  x    x 2 b) f  x  x   x   2x  c) Gi¶i a) Ta cã: f  x    x  x    x  x  3   x   x 1 0   x 2 VËy DÊu “=” x¶y vµ chØ ab  a b a, b   b) Chó ý f  x  3    x 2 x a  b  a  b , a, b   c) Bất đẳng thức tổng quát bất đẳng thức là bất đẳng thức sau đây: a1  a2   an  a1  a2   an , a1 , a2 , , an  , n   * (1) Chøng minh (b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p)  Víi n = ta cã a1  a1 đúng, suy mệnh đề (1) đúng với n = a1  a2  a1  a2  Víi n = ta cã đúng Thật vậy: a1  a2  a1  a2   a1  a2   a  a2  2  a1  a1 a2  a2  a1  a2   a12  a1a2  a22 a12  2a1a2  a22  a1a2 2a1a2  a1a2 a1a2 , đúng Do đó mệnh đề (1) đúng với n = n k  k  , k 3 a  a2   ak  a1  a2   ak  Giả sử mệnh đề (1) đúng với , nghÜa lµ Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là ta phải chứng minh: a1  a2   ak  ak 1  a1  a2   ak  ak 1 Thùc vËy, theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã: a1  a2   ak  ak 1  a1  a2   ak  ak 1 a  a   ak  ak 1   a1  a2   ak   ak 1 a  a2  a1  a2 MÆt kh¸c, ta l¹i cã nªn: a  a2   ak  ak 1  a1  a2   ak  ak 1 Từ hai bất đẳng thức trên ta đợc Do đó mệnh đề đúng với n = k + Theo nguyên lí quy nạp thì mệnh đề (1) đúng với n   * a  a2   an  a1  a2   an , a1 , a2 , , an  , n   *  KÕt luËn: Bạn đọc áp dụng bất đẳng thức trên n = 3, ta tìm đợc giá trị nhỏ hàm số – VÝ dô 58 Cho a, b, c  0, a  b  c 3 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: Q ab bc ca   a  b  2c b  c  2a c  a  2b Giải áp dụng hệ (2) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: ab ab ab  1   ab ab           a  b  2c  c  a    c  b   c  a c  b   c  a c  b  bc  bc bc  ca  ca ca        ,  T¬ng tù: b  c  2a  a  b a  c  c  a  2b  b  c b  a  ab bc ca  ab ab bc bc ca ca  Q           a  b  2c b  c  2a c  a  2b  c  a c  b a  b a  c b  c b  a  Céng vÕ:  ca  ab ab  bc bc  ca  a  b  c  Q      4 b c ca a b  4 DÊu “=” x¶y vµ chØ a b c 1 – VÝ dô 59 Cho x, y, z lµ ba sè thùc tháa m·n xyz 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 1 S   x  y  z y  z  x z  x  y 1 a , b , c x y z thì abc 1 Biểu thức S đợc viết lại thành: Giải Vì xyz 1 nên đặt a3 b3 c3 a 3bc b3ca c 3ab a2 b2 c2 S         1 1 1 b c c  a a b b c c a a b    b c c a a b (do abc 1 ) §Õn ®©y, viÖc t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña S kh«ng cßn qu¸ khã n÷a, ph¶i kh«ng c¸c b¹n!!! S   x  y  z 1 KÕt luËn: x , y , z 0 – Ví dụ 60 (Đề thi đại học khối A năm 2005) 1   4 Cho x, y, z lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n x y z Chøng minh r»ng: 1   1 2x  y  z x  y  z x  y  2z Gi¶i C¸ch 1: (Xem VÝ dô 23.) Cách 2: Theo hệ (2) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: 1 1 1  1 1 1 1 1                  2x  y  z 2x   y  z   2x y  z   2x  y z    2x y 4z  1 1  1 1      ,      T¬ng tù: x  y  z  y z x  x  y  z  z x y  x  y z  – Từ đó ta có đpcm Dấu “=” xảy và VÝ dô 61 (§Ò thi häc sinh giái líp thµnh phè Yªn B¸i n¨m häc 2011 – 2012) Cho 2011 sè kh«ng ©m x1 , x2 , , xn tháa m·n x1 x2 xn 1 Chøng minh r»ng:  x1  1  x2  1  xn 1 22011 Giải Không quá khó cho các bạn nhận bất đẳng thức này chính là trờng hợp đặc biệt bài to¸n tæng qu¸t ë VÝ dô 55 víi n = 2011 – Những ứng dụng bất đẳng thức cực trị hình học Cùng với bất đẳng thức trên, để làm đợc bài toán cực trị hình học, ta cần nắm vững thêm số bất đẳng thức sau: AB  BC  AC  AB  BC (1) Víi ba ®iÓm A, B, C bÊt k× ta cã: DÊu “=” x¶y vµ chØ A, B, C (2) Cho đờng thẳng d, điểm A không thuộc đờng thẳng d và điểm B nằm trên đờng thẳng d Tõ A kÎ AH  d t¹i H Ta cã: AB  AH DÊu “=” x¶y vµ chØ B H Mét ®iÓm C kh¸c B còng n»m trªn d Ta cã: AB  AC  BH CH (3) XÐt tam gi¸c ABC Ta cã: gãc B > gãc C  AC  AB (4) Trong đờng tròn, dây lớn là bán kính VÝ dô 62 Chøng minh: a) Trong tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt cã cïng chu vi, h×nh vu«ng cã diÖn tÝch lín nhÊt b) Trong tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt cã cïng diÖn tÝch, h×nh vu«ng cã chu vi nhá nhÊt Gi¶i Gäi chu vi h×nh ch÷ nhËt lµ P vµ diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt lµ S a b  ab  S 2 P  S 4 P Theo bất đẳng thức AM – GM: Do đó: S S2  a b  a) Khi S = const thì P đạt giá trị lớn b) Khi P = const thì S đạt giá trị nhỏ P  a b  P – VÝ dô 63 (§Ò thi häc sinh giái líp tØnh Yªn B¸i n¨m häc 2007 – 2008) Cho tam gi¸c vu«ng ABC cã c¸c c¹nh gãc vu«ng lµ a, b vµ c¹nh huyÒn lµ c Chøng minh a b a b c c Víi ®iÒu kiÖn nµo cña a, b th× , đó tính giá trị c theo a và b 2 Giải Theo định lí Pythagoras ta có: c a  b 2 c a  b Theo hệ (1) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: DÊu “=” x¶y vµ chØ c a b –  a  b  2  c a b VÝ dô 64 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc A, B, C lÇn lît lµ  ,  ,  Chøng minh:    sin sin sin  2 BH  AD  H  Gi¶i KÎ tia ph©n gi¸c AD cña tam gi¸c ABC H¹  BH BD sin sin BAD   AB AB Khi đó A BD CD BC   Ta cã: AB AC AB  AC  BC sin  AB  AC Do đó: H Chøng minh t¬ng tù: B C  AC  AB sin  , sin  BC  AB AC  BC D    AB.BC.CA sin sin sin   2  AB  AC   BC  AB   AC  BC  Nhân vế các bất đẳng thức: áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta chứng minh đợc:    AB.BC.CA AB.BC.CA sin sin sin    2  AB  AC   BC  AB   AC  BC  AB AC BC AB AC.BC  DÊu “=” x¶y vµ chØ AB = BC = CA tam giác ABC – VÝ dô 65 (§Ò thi tuyÓn sinh líp 10 thµnh phè Hµ Néi n¨m häc 2009 – 2010) Cho đờng tròn (O ; R) và điểm A nằm bên ngoài đờng tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm) Chøng minh ABOC lµ tø gi¸c néi tiÕp Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC vµ OA Chøng minh BE vu«ng gãc vãi AO vµ OE.OA = R2 Trên cung nhỏ BC đờng tròn (O ; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C) Tiếp tuyến K đờng tròn (O ; R) cắt AB, AC theo thứ tự điểm P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi K chuyển động trên cung nhỏ BC Đờng thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đờng thẳng AB, AC theo thứ tự các ®iÓm M, N Chøng minh PM  QN MN Gi¶i Tứ giác ABOC có hai góc đối 900 nên là tứ giác nội tiếp Sö dông hÖ thøc lîng tam gi¸c vu«ng OAC Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn c¾t th×: PK = PB, QK = QC Từ đó suy AP + AQ + PQ = AP + AQ + PK + QK = AP + AQ + PB + QC = 2AB = const Sö dông tÝnh chÊt cña tam gi¸c c©n, tø gi¸c néi tiÕp vµ tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn c¾t ta suy hai góc POQ và PMO nhau, đó góc OPM góc QON Dẫn tới QON ~ OPM Do đó: QN ON   PM QN OM ON OM 2 OM PM VËy: PM  QN 2 PM QN 2 OM 2OM MN DÊu “=” x¶y vµ chØ PM QN  K lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung BC – VÝ dô 66 (§Ò thi TS líp 10 trêng Lª Hång Phong, TP HCM n¨m häc 2001 – 2002) Cho đờng tròn cố định tâm O, bán kính Tam giác ABC thay đổi và luôn ngoại tiếp đờng tròn (O) Một đờng thẳng qua tâm O cắt các đoạn AB, AC lần lợt M, N Xác định giá trị nhỏ diện tích tam giác AMN Gi¶i Gäi H, K lÇn lît lµ c¸c tiÕp ®iÓm cña (O) víi AB vµ AC 1 S AMN SOAM  SOAN  OH AM  OK AN 2 Ta cã:   AM  AN  (do OH = OK = 1)  AM AN KÎ A (bất đẳng thức AM – GM) MI  AC  I   AM AN  IM AN S Khi đó AMN  S AMN  S AMN  S AMN 2 K O H (v× AM IM ) I DÊu “=” x¶y vµ chØ  A  tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tam gi¸c AMN b»ng vµ chØ tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A – N M C B VÝ dô 67 Mét tÊm nh«m h×nh vu«ng cã c¹nh b»ng 30 cm Ngêi ta c¾t ë bèn gãc bèn h×nh vu«ng gấp nhôm lại (theo đờng nét đứt) để đợc cái hộp không nắp Tính c¹nh cña h×nh vu«ng bÞ c¾t cho thÓ tÝch khèi hép lµ líp nhÊt Giải Gọi độ dài cạnh hình vuông bị cắt là a (cm) (0 < a < 15) KÝch thíc ba c¹nh cña h×nh hép ch÷ nhËt t¹o thµnh lµ: a, 30 – 2a, 30 – 2a (cm) Thể tích hình hộp chữ nhật đó là: a V a  30  2a   30  2a  4a  15  a  Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số dơng 2a, 15 – a, 15 – a, ta cã: a V 4 x  15  x  2.2 x  15  x   15  x  a a  x  15  x  15  x  2   2000   (cm3) DÊu “=” x¶y vµ chØ x 15  x  x 5 (cm) VËy thÓ tÝch lín nhÊt cña khèi hép lµ 2000 cm3 c¹nh cña h×nh vu«ng bÞ c¾t b»ng cm – Những ứng dụng bất đẳng thức giải phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng tr×nh vµ hÖ bÊt ph¬ng tr×nh  Điểm rơi bất đẳng thức không “ngặt” là điểm mà đó giá trị các biến làm cho đẳng thức xảy Ví dụ: Điểm rơi bất đẳng thức a  2a là a 1  Các bất đẳng thức mà đó vai trò các biến là nh (bất đẳng thức đối xứng với các biến) thì đẳng thức thờng xảy các biến và xảy biên Ví dụ đẳng thức a  b  c ab  bc  ca x¶y a = b = c  Đôi khi, để giải phơng trình (hoặc hệ phơng trình, bất phơng trình, hệ bất phơng trình) ta thờng sử dụng kiến thức bất đẳng thức để các nghiệm phơng trình (chính là điểm rơi bất đẳng thức không “ngặt”) chứng minh phơng trình đó vô nghiệm a  b9 3a 2b  16 VÝ dô 68 Gi¶i ph¬ng tr×nh: a  b9 a  b9  64 3 a b9 64  16   3a 2b3 4 Giải Theo bất đẳng thức AM – GM: a b 64  a 2, b  DÊu “=” x¶y vµ chØ 3  a; b    2; , 2; VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm –  x  3x  VÝ dô 69 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:    x   x    x  x  5 (1) (1)   x  x     x  x     x  x    x  x   Gi¶i Ta cã: Điều này trái với bất đẳng thức AM – GM Bất phơng trình vô nghiệm – VÝ dô 70 (§Ò thi TS líp 10 trêng Chuyªn TrÇn §¹i NghÜa n¨m häc 2004 – 2005) 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  y  xy  x  y  0 Gi¶i 2 x  y  xy  x  y  0   x  y    x  1   y  1 0  x  1, y 1 VÝ dô 71 (§Ò thi häc sinh giái líp quËn CÇu GiÊy, Hµ Néi n¨m häc 2005 – 2006) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau:  x  x   x  x  13  x  x     x  x  1 4 x    1;  x    1;  Gi¶i §KX§: Víi ta thÊy: 2 x  x  13  x  3  4 x  3 0  MÆt kh¸c: (v× ) x 3    1;  Do đó  x  x   x  x  13 Dấu “=” xảy và VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x = – VÝ dô 72 (§Ò thi TS líp 10 tØnh Yªn B¸i n¨m häc 2012 – 2013) 2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc T x  y  z  biÕt x  y  z 2 x  34  y  21  z   45 Giải ĐKXĐ: x 34, y 21, z 4 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:  x  34   2 x  34    y  21  4 y  21  x  y  z 2 x  34  y  21  z   45   z    6 z   DÊu “=” x¶y vµ chØ x 35, y 25, z 13 2 Do đó T 35  25  13  2012 – VÝ dô 73 (§Ò thi häc sinh giái líp TP HCM n¨m häc 2007 – 2008) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  x  x  x x  x   0;1 Giả sử x = ta có: = (vô lí), đó x 0 Chia hai vế phơng trình đã cho cho x 0 , ta đợc: Gi¶i §KX§: x  x2 x  x2 1   x  1 x  1 x  x  x x x x Theo hệ (2) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và bất đẳng thức AM – GM ta có: 1  x   x    x   x  2  x  x – DÊu “=” x¶y vµ chØ x = VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x = –  x  y  z 1  x  y  z  xyz VÝ dô 74 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:  Gi¶i Theo VÝ dô ta thÊy: x  y  z xyz  x  y  z  xyz x  y z  DÊu “=” x¶y vµ chØ (do x  y  z 1 ) §©y lµ nghiÖm nhÊt cña hÖ ph¬ng tr×nh – VÝ dô 75 (§Ò thi häc sinh giái líp 10 trêng PTTH Chuyªn KHTN n¨m häc 2012 – 2013)  2x2 1  x  y   y2 z   y   2z2 x  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 1  z Gi¶i §KX§: x, y , z 0 2x2 y2 2z   x  y  z 2  x  y  z Cộng vế ba phơng trình hệ ta đợc 2 2 2 2x 2y 2z 2x y 2z      x  y  z 2 2x y 2z MÆt kh¸c,  x  y  z DÊu “=” x¶y vµ chØ x  y  z 1 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x  y z 1 – VÝ dô 76 Gi¶i ph¬ng tr×nh x Gi¶i §KX§: x  x  x   3x2  x 1 Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz thì: x2  x  x   x x  1  x     x    x x     2x  DÊu “=” x¶y vµ chØ   x  1  3x  1  3x  x 1  1 x   x   x  x  0  – VÝ dô 77 (§Ò thi TS trêng Hµ Néi – Amsterdam vµ Chu V¨n An n¨m häc 1995 – 1996) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  94  96  x  x  190 x  9027 Giải Sử dụng hệ (2) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và bất đẳng thức a 0, a   ta chứng minh đợc rằng: VT  VP Phơng trình có nghiệm x = 95 – x    4 x  x  x 0 VÝ dô 78 Gi¶i hÖ bÊt ph¬ng tr×nh x  3x  Giải Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: x  3x  0 4x KÕt hîp víi gi¶ thiÕt suy x – VËy bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt 1    x  1   x    0 4x 4x   VÝ dô 79 (§Ò thi häc sinh giái líp Thµnh phè Vinh, NghÖ An n¨m häc 2007 – 2008) 2 T×m c¸c sè nguyªn a, b, c cho a  b  c   ab  3b  2c   b2   b2 a  b  c   ab  3b  2c    a  ab      b  1   c  2c  1  4    Gi¶i Ta cã: 2 b  b    a      1   c  1  2  2  Nhng a, b, c   nªn Do đó a 1, b 2, c 1 là số nguyên cần tìm – VÝ dô 80 Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 b  b   a         c  1 0 2  2  x  x   x  10 x  14 4  x  x Giải Ta sử dụng phơng pháp đánh giá: 2 3x  x   x  10 x  14   x  1    x 1  5 5   x  1 4  x  x DÊu “=” x¶y vµ chØ x  – VÝ dô 81 Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i x   x   x   x  1 x 3 x   x 8 x   x    3   x   x  1 23 x  1  x    x  0   x  3   x 10 DÊu “=” x¶y vµ chØ – Một số dạng toán khác có liên quan đến bất đẳng thức VÝ dô 82 (§Ò thi TS líp 10 trêng Lª Hång Phong, TP HCM n¨m häc 2003 – 2004) Chøng minh r»ng nÕu a  b 2 th× Ýt nhËt mét hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: x  2ax  b 0, x  2bx  a 0 Gi¶i Ta cã: 1'   '2 a  b  a  b  a  1   b  1   a  b   0 ' ' Suy Ýt nhÊt mét hai sè  ,  ph¶i kh«ng ©m Ta cã ®pcm – VÝ dô 83 (§Ò thi TS líp 10 Chuyªn Lª Quý §«n, B×nh §Þnh n¨m häc 2009 – 2010) 1   0 m , n , p x  m x  n x  p Cho ba sè ph©n biÖt Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt Giải Đa phơng trình đã cho trở thành phơng trình bậc hai: 3x   m  n  p  x  mn  np  pm 0 Ph¬ng tr×nh nµy cã:  '  m  n  p    mn  np  pm   (do m, n, p đôi khác nhau) Vậy phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt – VÝ dô 84 (§Ò thi TS líp 10 Chuyªn trêng NguyÔn TÊt Thµnh, Yªn B¸i n¨m häc 1998 – 1999) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh: b x   b2  c  a  x  c 0 v« nghiÖm Giải Do b > nên phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có: 2   b  c  a   4b c  b  c  a  2bc   b  c  a  2bc    b  c   a    b  c   a     2 b  c  a  b  c   b  c   a2   b  c  Theo bất đẳng thức tam giác thì: Từ đó suy   , phơng trình vô nghiệm – Ví dụ 85 Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lợt là a, b, c Gọi R là bán kính đờng tròn ngoại R  b  c  a bc tiÕp tam gi¸c BiÕt Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đờng tròn néi tiÕp r cña tam gi¸c víi a = a b  c bc   2  a 2 R bc bc Gi¶i Tõ gi¶ thiÕt suy R  DÊu “=” x¶y vµ chØ b = c tam gi¸c ABC c©n Mặt khác, đờng tròn, đờng kính là dây lớn nªn ta cã a 2 R Từ đó có a 2 R , tức là dấu “=” hai bất đẳng thức trên xảy Do vËy tam gi¸c ABC võa cã b = c, võa cã a = 2R nªn lµ B tam gi¸c vu«ng c©n 1 a2 S ABC  bc  b   1 S  pr  r   2 2 Ta cã: Mµ ABC – A c b C O a VÝ dô 86 (§Ò thi TS líp 10 chuyªn TP HCM n¨m häc 2007 – 2008) a 1 b 1  b còng lµ sè nguyªn Gäi d lµ íc sè Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn d¬ng cho a chung cña a, b Chøng minh d  a  b a 1 b 1 a b  2 b sè nguyªn d¬ng nªn ab còng lµ sè nguyªn d¬ng Gi¶i V× lµ a a b a b 1  a  b ab d d d  d  a  b DÉn tíi ab còng lµ sè nguyªn d¬ng, suy ab DÊu “=” x¶y vµ chØ a b d 2 – abc a  b3  c víi a, b, c lµ nh÷ng sè thùc tháa m·n: VÝ dô 87 TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc 2 a  b b  c c  a    2 a  b  c ab  bc  ca    2010 2011 2012 A 2 2a  2b  2c  a  b 2ab  2bc  2ca  1005 Gi¶i Theo gi¶ thiÕt th×: 2   a  b   b  c   c  a   1004  a  b  1005  b  c    1005 1006  a  b 2 2  b  c  1006  c  a  1007 2 b  c 2 c  a  0 1005 1006 1007 1006  c  a   0 A 1007 – Do đó a = b = c Vậy   x  y  z 3  x  y  1  y  z 1  z  x  1 6 VÝ dô 88 T×m c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n:   xy  yz  zx    x  y  z   x  y  z   Gi¶i Ta cã DÊu “=” x¶y vµ chØ x = y = z = –  x  y  z  6 VÝ dô 89 (§Ò thi TS líp 10 tØnh B¾c Giang n¨m häc 2003 – 2004) 1   Cho hai sè a vµ b kh¸c tháa m·n a b Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh Èn x sau x  ax  b   x  bx  a  0  lu«n cã nghiÖm Gi¶i Ta cÇn chøng minh Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh nghiÖm ThËt vËy, ta cã: x  ax  b 0, x  bx  a 0 1   a  b  4a  4b  a  b   2ab   a  b   a  b  0 VËy ta cã ph¬ng tr×nh x  ax  b   x  bx  a  0 cã 1   (do a b ) lu«n cã nghiÖm – x12  x22   x2012  x x  x   x2012  2011 Chøng minh VÝ dô 90 Cho 2012 sè d¬ng x1 , x2 , , x2012 tháa m·n  x2  x2 T  1997 1998 x1997 x1998 lu«n lµ mét h»ng sè r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc x12 2x x  x22  2011 Ta có thêm 2010 bất đẳng thức tơng tự cộng lại, suy ra: Gi¶i Ta thÊy 2011 x x  x1 x3   x1 x2012 x12 x2 x2     x22  x32   x2012  2011 2011 2011 2011 x  x  x   x2012   x12  x22  x32   x2012  2011 x  2011x2   2011x2012 DÊu “=” x¶y vµ chØ khi: 2 x x 2x T  1997 1998  21997 2 const x1997 x1998 x1997 VËy – VÝ dô 91 (§Ò thi häc sinh giái líp TP HCM n¨m häc 2007 – 2008) Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đờng chéo và diện tích tam giác AOB 4, diÖn tÝch tam gi¸c COD b»ng T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña diÖn tÝch tø gi¸c ABCD Giải Nhận xét: Nếu hai tam giác có chung đờng cao thì tỉ lệ diện tích chúng tỉ lệ hai đáy tơng ứng S AOB OB S BOC    S AOD S BOC S AOB SCOD S AOD OD SCOD B A Do đó: S ABCD S AOB  SCOD  S AOD  S BOC S AOB  SCOD  S AOD S BOC O S AOB  SCOD  S AOB SCOD   S AOB  SCOD  25 D C DÊu “=” x¶y vµ chØ S AOD S BOC  S ABD S ABC  AB // CD VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña diÖn tÝch tø gi¸c ABCD lµ 25 vµ chØ tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang – 1 1     1 VÝ dô 92 T×m c¸c sè tù nhiªn a  b  c  d  e  tháa m·n a b c d e Giải Ta chứng minh e = Thật vậy, giả sử e > 3, đó d > 4, c > 5, b > và a > 1 1 1 1 1          1 a  8, b  7, c  6, d  5, e  Nªn Do đó a b c d e (m©u thuÉn)  e   e  Từ đó suy Hoàn toàn tơng tự, ta chứng minh đợc: d 4, c 5, b 6 Suy a 20 – x   x   , x   VÝ dô 93 a) Chøng minh b) Chứng minh có ít ba bất đẳng thức sau là sai: 1 a   b   , b   c   , c   a    a, b, c   0;1  Gi¶i 1 1  x   x    x  x    x   0 4 2  a) Cách 1: Biến đổi tơng đơng: (đúng với x)  x 1  x  x   x     x   0;1   C¸ch 2:  Víi ta có x 0,  x 0 Do đó x 1 x   x  0;1    Víi ta cã Ta có bất đẳng thức cần chứng minh b) Giả sử ba bất đẳng thức trên đúng Do các vế không âm nên nhân vế với vế ba bất abc   b    c    a   () 64 đẳng thức đó lại ta suy 1 1 abc   b    c    a      4 64 , m©u thuÉn víi () MÆt kh¸c, theo chøng minh a) th× Do đó giả sử là sai Vậy ít ba bất đẳng thức trên là sai – 1 a  b  c    0 a , b , c a b c VÝ dô 94 Cã tån t¹i bé ba sè thùc kh¸c nµo tháa m·n ®iÒu kiÖn hay kh«ng? Giải Giả sử tồn ba số thực a, b, c thỏa mãn đề bài a  b  c 0  a  b  c 0  a  b  c ab  bc  ca  Tõ gi¶ thiÕt suy ab  bc  ca 0 Bëi vËy a b c 0 , tr¸i víi a, b, c 0 Nªn gi¶ sö lµ sai Vậy không tồn ba số thực a, b, c nào thỏa mãn đề bài – Ví dụ 95 Cho tam giác ABC có độ dài ba đờng cao là các số nguyên và bán kính đờng tròn nội tiếp r = Chứng minh tam giác ABC là tam giác  x, y , z   * Giải Gọi là x, y , z độ dài ba đờng cao tam giác Do x, y, z  2r  x, y, z   x, y, z 3 () A Gọi S là diện tích tam giác ABC, a, b, c thứ tự là độ dài ba cạnh ứng với ba đờng cao x, y, z tam giác x O r Ta thấy 2S ax by cz Từ đó có: 1 a b c a b c        1 x y z 2S S S  a  b  c  r r x , y , z Do vai trß cña lµ nh nªn kh«ng mÊt c b B x min  x; y; z tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö x  y  1 1 1   ,      1  x 3 ()  x y x z x x y z Khi đó  x  z C a 1   Từ () và suy () x = Dẫn đến y z 1 y, z 3    y z DÊu “=” x¶y vµ chØ y  z 3 Nhng ta l¹i cã: Tóm lại ta có x  y  z 3 Điều này chứng tỏ tam giác ABC là tam giác – III mét sè lçi thêng gÆp gi¶i quyÕt bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Thật thì các lỗi giải bài toán cực trị phần lớn xảy với dấu “=” Đó có thể là các bạn áp dụng nhiều bất đẳng thức khác và làm cho dấu “=” không xảy ra, có thể là dấu “=” bất đẳng thức các bạn lại không xảy với giả thiết đề bài … Ngoài ra, còn số lỗi bạn hay mắc phải, đó là áp dụng luôn tính chất các bất đẳng thức mà không để ý đến điều kiện nó Nhiều khi, bạn có thể sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho các sè thùc bÊt k× Việc sửa lỗi sai là khó! Nhng qua luyện tập nhiều và cần để ý chút, tôi tin là các bạn đợc! Bây ta xét đến các ví dụ phần này A  x y VÝ dô 96 Cho x, y  0, x  y 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 4 A    8 x y xy x  y A 8 Gi¶i Ta cã: VËy x , y 0 Bạn có nhận xét gì lời giải trên? Nhìn qua thì ta thấy nó có vẻ đúng Nhng thực chất lại sai hoàn toàn! Vậy lỗi sai đó đâu và sửa nh nào cho đúng? Các bạn nhận thấy, lời giải trên đã hai lần áp dụng bất đẳng thức AM – GM Tuy nhiên, lần áp dông thø nhÊt, dÊu “=” x¶y x = 2y cßn lÇn thø hai, dÊu “=” l¹i x¶y x = y Râ rµng, víi hai số dơng x, y thì điều này không thể nào xảy đợc, phải không? Nghĩa là lời giải trên đã sai! Ta gi¶i l¹i nh sau: 1 4 4x y A  x  y     5   9 y x  x y Bµi ch÷a V× x  y 1 nªn 2 x , y A 9  x  , y  3 VËy x , y 0 3 – DÊu “=” x¶y vµ chØ VÝ dô 97 Cho x, y  0, x  y 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc xy  Giải Theo bất đẳng thức AM – GM thì B  xy  xy 1 2 xy  2 B 2 xy xy VËy x , y 0 Các bạn thấy nào? Thật quá đơn giản! Nếu làm nh này thì hóa là đề bài thừa hay sao? Giả thiết x  y 1 đợc sử dụng đâu? Hơn nữa, dấu “=” bất đẳng thức trên xảy và  x  y 1   xy 1 Lµm g× cã cÆp sè nµo tháa m·n hÖ ph¬ng tr×nh nµy! Râ rµng c¸ch lµm nµy lµ bÊt æn! 1 xy  , t¹i ®©y V× thÕ ta t×m c¸ch gi¶i nh Bài chữa Ta dự đoán B đạt cực tiểu   15 15 17 B  xy   xy  2 xy     xy  16 xy  16 xy 16 xy  x y 16     sau: x y   x, y   x  y 1  1  x y    xy 16 xy 17  B   x  y  x  y  x , y  – DÊu “=” x¶y vµ chØ  KÕt luËn: VÝ dô 98 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc C x  Gi¶i C¸ch lµm sau ®©y, cã lÏ Ýt b¹n sÏ lµm Song c¸c b¹n h·y thö ph¸t hiÖn lçi sai cña nã nhÐ: x   1 2    x  1  x 1   1  x   C  x  1  VËy x Lỗi sai bài giải này là sử dụng tính chất bất đẳng thức cách “vô tội vạ” Nhân hai bất đẳng thức, kể hai bất đẳng thức đó cùng chiều theo cách nh trên là không đợc Nh chúng ta a b 0  ac bd  c  d   đã biết: Nhng khổ nỗi, – có lớn đâu mà nhân đợc chø! VËy c¸ch gi¶i nµy sai mÊt råi! 4 Bµi ch÷a Do x 0, x   nªn x   1, x   C   x 0 DÊu “=” x¶y vµ chØ x = VËy x – IV tản mạn với bất đẳng thức Suy ngẫm bất đẳng thức Các bạn đã đợc biết đến bất đẳng thức từ thuở còn học mẫu giáo, bạn tin không? Có đúng không? Học mẫu giáo, các bạn đợc làm quen với các số, học cách so sánh chúng Càng lên cao, kiến thức bất đẳng thức bạn càng đợc mở rộng Trong quá trình nghiên cứu bất đẳng thức, các bạn hết lần này đến lần khác gặp mặt bất a  b 2ab, a, b   đẳng thức T«i ch¾c ch¾n r»ng c¸c b¹n còng cã Ýt nhÊt vµi c¸ch chøng minh cho bất đẳng thức này Nhng các bạn có biết nó là điểm xuất phát nhiều bất đẳng thức quan trọng khác mà có lẽ bạn đã biết không? Thö nhÐ: 2 2  a  b   a  b   Cộng hai vế với a  b ta đợc  a  b  4ab  Cộng hai vế với 2ab ta đợc (*) a b  2  Nếu ab  , chia hai vế cho ab ta đợc b a 1    Nếu a, b  , chia hai vế (*) cho a  b  ta đợc a b a  b 2 2  Ta có thêm hai bất đẳng thức b  c 2bc, c  a 2ca Cộng vế ba bất đẳng thức lại, 2 ta đợc a  b  c ab  bc  ca (**) 2  ab  bc  ca   a  b  c  3  ab  bc  ca  ta đợc 2  Nhân hai vế (**) với cộng với a  b  c ta đợc  a  b  c   a  b  c  2  Cộng hai vế với  ab ta đợc a  b  ab ab (***) a  b  ab  a b  Qua vài bớc biến đổi ta chứng minh đợc  Céng c¶ hai vÕ cña (**) víi a  b3 ab  a  b   Nếu a  b 0 , nhân hai vế (***) với a  b 0 ta đợc 5 2 3 2 a  b  a  b   a  b   a b  a  b   Ta biÕt Nh vậy, ta chứng minh đợc bất 5 2 a  b a b  a  b  đẳng thức sau 2 Dĩ nhiên, “xuất thân” từ bất đẳng thức a  b 2ab, a, b   , nên dấu “=” tất các bất đẳng thức trên xảy các biến SÏ cßn nhiÒu ®iÒu thó vÞ n÷a ®ang chê c¸c b¹n kh¸m ph¸ … VÝ dô 99 (The United States of America Mathematical Olympiad 1998 – USA MO 1998) Chøng minh víi mäi sè thùc d¬ng a, b, c : 1 1  3   3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 1   a  b  abc ab  a  b   abc ab  a  b  c  Gi¶i Ta cã 1 ,  b  c  abc bc  a  b  c  c  a  abc ca  a  b  c  T¬ng tù: Cộng vế các bất đẳng thức trên: 1 1 1  3      3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc ab  a  b  c  bc  a  b  c  ca  a  b  c  abc DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c – VÝ dô 100 (IMO Shortlist 1996) Các số dơng x, y, z có tích Chứng minh bất đẳng thức xy yz zx   1 5 x  xy  y y  yz  z z  zx  x 3  a  b5 a 2b  a  b  Giải Sử dụng bất đẳng thức DÊu “=” x¶y vµ chØ x = y = z = – Bµi tËp tù luyÖn  Dạng – Chứng minh bất đẳng thức Cho c¸c sè d¬ng a, b, c, d Chøng minh: a a  b 2 ab b a  b  c 3 abc c a  b  c  d 4 abcd Chøng minh: a a b a c 2  b   x  y   ax  by   b  c   x  y  z   ax  by  cz   b  c  d   x  y  z  t   ax  by  cz  dt  a 2 Chứng minh các bất đẳng thức sau: a2  2 a  a a  10  a  25 b a  4a 16 4 a2 c d a    a  2 Cho c¸c sè d¬ng a, b Chøng minh: a b  2 ab b a a b  a  b   ab  1 4ab c a  b 1  a  ab  b  a  b   a  b 2 ab  a b  b a d a b a  b2  a; b   ab   max  a; b 1 2  a b e Cho c¸c sè d¬ng a, b, c Chøng minh:  a   a  b  c   ab  bc  ca  9abc b ac  2 ab c b a b4 c   3abc c a c b   a    b    c  8abc d Cho a, b 2 Chøng tá r»ng ab a  b (§Ò thi häc sinh giái líp TP HCM n¨m häc 2007 – 2008) Cho a 1, b 1 Chøng minh a b   b a  ab (§Ò thi TS líp 10 trêng Lª Hång Phong, TP HCM n¨m häc 2002 – 2003) x y x y b Chøng minh:  x  y  a Chøng minh:  x  y  5 x  0, y  x  y  xy c Cho vµ Chøng minh: (§Ò thi TS líp 10 trêng Lª Hång Phong, TP HCM n¨m häc 2003 – 2004) 1  4 Cho x  0, y  vµ x  y 1 Chøng minh: x  xy y  xy 10 (§Ò thi häc sinh giái líp TP HCM n¨m häc 2007 – 2008) Cho a, b, c, d lµ c¸c sè d¬ng Chøng minh  x4  y   a b c d    2 a b c b c  d c d a d  a b 11 (§Ò thi TS líp 10 trêng Lª Hång Phong, TP HCM n¨m häc 2000 – 2001) Với a  0, b  0, c  , hãy chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 ab bc  2b a a c ab bc ca   a  b  c a b b c 3 a  b b3  c3 c3  a   a  b  c 2bc 2ca c 2ab 12 (§Ò thi TS líp 10 trêng Lª Hång Phong, TP HCM n¨m häc 2001 – 2002) Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 a a  b  c ab  bc  ca víi mäi a, b, c a  b8  c 1    3 a b c b a b c a  b  c  d  e a  b  c  d  e  c víi mäi a, b, c, d, e 13 (§Ò thi TS líp 10 trêng Lª Hång Phong, TP HCM n¨m häc 2007 – 2008) Chứng minh với số thực a, b khác không ta luôn có luôn có bất đẳng thức sau: 14 15 16 17 18 19 20 21 22 a b2 a b   3    b a b a (§Ò thi TS líp 10 trêng Chuyªn TrÇn §¹i NghÜa n¨m häc 2004 – 2005)  x y x2 y2   3    x  y x Cho x, y lµ hai sè thùc kh¸c Chøng minh: y (§Ò thi häc sinh giái líp 10 trêng §HKHTN - §HQG Hµ Néi n¨m häc 2012 – 2013) a c bd c a d b    4 Cho sè thùc d¬ng a, b, c, d Chøng minh r»ng a  b b  c c  d d  a (§Ò thi TS líp 10 vßng trêng §HSP Hµ Néi n¨m häc 1999 – 2000) 2x 2y 2z 1    4 4 4 y z z x x y z Cho x, y, z  Chøng minh: x  y (§Ò thi häc sinh giái líp 9, quËn CÇu GiÊy, Hµ Néi n¨m häc 2005 – 2006) 5b3  a 5c3  b3 5a  c   a  b  c 2 Cho a, b, c  Chøng minh r»ng ab  3b bc  3c ca  3a Cho c¸c sè d¬ng a, b, c cã tæng b»ng Chøng minh r»ng a  b 16abc (§Ò thi TS líp 10 vßng trêng §HSP Hµ Néi n¨m häc 2005 – 2006) Cho bèn sè d¬ng a, b, c, d §Æt x 2a  b  cd , y 2b  c  da , z 2c  d  ab , t 2d  a  bc Chøng minh r»ng bèn sè x, y, z, t cã Ýt nhÊt hai sè d¬ng (§Ò thi TS líp 10 trêng Quèc häc HuÕ n¨m häc 2004 – 2005) 4 3 Cho a  b  c 3 Chøng minh a  b  c a  b  c (Komal Magazine) 1 27    a  a  b b  b  c c  c  a   a  b  c  a , b , c Chøng minh víi mäi d¬ng: (IMO Shortlist 1998) Với x, y, z là các số thực dơng có tích 1, chứng minh bất đẳng thức sau x3 y3 z3    1 y   1 z   1 z  1 x  1 x  1 y  (IMO Shortlist 1990) Gi¶ sö a, b, c, d lµ c¸c sè thùc kh«ng ©m tháa m·n ab  bc  cd  da 1 Chøng minh a3 b3 c3 d3     b c d c d a a b d a b c 23 (Iran MO 1998) Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c, d tháa m·n abcd 1 Chøng minh r»ng 1 1  a  b3  c3  d max a  b  c  d ,     a b c d  24 (France Pre – MO 2005) 2 C¸c sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn x  y  z 3 H·y chøng minh xy yz zx   3 z x y 25 (Asian Pacific Mathematical Olympiad 1998 – APMO 1998) 2 x  y  z  x  y  z          2  xyz y  z  x  Chøng minh víi mäi x, y , z d¬ng ta cã  26 (Macedonia Mathematical Olympiad 2000 – Macedonia MO 2000) x  y  z   xy  xz  Chøng minh víi mäi x, y , z d¬ng: 27 (Bất đẳng thức Nesbitt cho số) Chøng minh r»ng víi a, b, c, d , e, f lµ c¸c sè thùc d¬ng: a b c d e f      3 b c c d d e e  f f  a a b 28 (§Ò thi TS líp 10 vßng trêng §HSP Hµ Néi n¨m häc 1998 – 1999) x3 x  3, x  x  1  x  1  Chøng minh r»ng 29 (§Ò TS líp 10 vßng trêng §HSP Hµ Néi n¨m häc 2008 – 2009)  x  z   y  z  1 Chøng Cho các số thực không âm x, y, z đôi khác và thỏa mãn 1   4 2 x  y x  z y  z    minh r»ng xyzt   x    y    z    t  30 Cho  x, y, z , t  vµ tháa m·n Chøng minh r»ng: x   t   t   z   z   y   y   x  1 2 2 31 Chøng minh  a  b a sin x  b cos x  a  b , a, b, x   a  b  c  2abc  2  ab  bc  ca  32 Cho a, b, c  Chøng minh r»ng a , b , c  0, ab  bc  ca  abc  33 Cho Chøng minh a  b  c ab  bc  ca a  b  c  2abc   a  1  b  1  c  1 34 Cho a, b, c  Chøng minh 3 35 Cho a, b, c 2, a  b  c 3 Chøng minh a  b  c 9 20 ab  bc  ca  abc  27 36 Cho a, b, c 1, a  b  c 2 Chøng minh 37 (§Ò thi häc sinh giái líp tØnh Yªn B¸i n¨m häc 1997 – 1998) 30 20 Chøng tá r»ng 20  30 38 Chøng minh 2011  2013  2012 39 Chøng minh 20!      1000000 1 1     3, n   n! 40 Chøng minh 0! 1! 2! 2 41 Gi¶ sö m vµ n lµ nh÷ng sè nguyªn d¬ng víi n > §Æt S m n  4m  4n Chøng minh  mn r»ng nÕu m > n th× 2    n S  m2 n4  n  n  , n  , n 1 n 42 Chứng minh bất đẳng thức: 43 (§Ò thi häc sinh giái líp tØnh Yªn B¸i n¨m häc 1999 – 2000) 1 1    25  2n  1 víi n   vµ n 1 Chøng minh r»ng 44 (§Ò thi TS líp 10 vßng trêng §HSP Hµ Néi n¨m häc 2000 – 2001)  n 1    n   Chøng minh r»ng 2000  45 (§Ò thi TS líp 10 vßng trêng §HSP Hµ Néi n¨m häc 2004 – 2005)  Chøng minh r»ng 46 Chøng minh 47 48 49 50 1 a n 32  3 2   36 1  an, a  1, n   1 1      2, n  , n 1 n Chøng minh r»ng 1 1 18       19 100 Chøng minh r»ng (§Ò thi TS líp 10 trêng §HSP Hµ Néi n¨m häc 2011 – 2012) 1 1    4    79  80 Chøng minh (§Ò thi TS líp 10 trêng Chuyªn Lª Quý §«n, B×nh §Þnh n¨m häc 2009 – 2010) m   n n 3 Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng m, n (§Ò thi TS líp 10 vßng trêng §HSP Hµ Néi n¨m häc 1997 – 1998) Hãy xét xem khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao? m   n n 3 “Với m, n nguyên dơng có ” (§Ò thi TS líp 10 trêng Chuyªn Lª Quý §«n, B×nh §Þnh n¨m häc 2009 – 2010) 1 Sn     1   2n  1 n  n  §Æt Sn  víi n lµ sè tù nhiªn, n 3 Chøng minh r»ng    51  52 53 54 55       6, 000009 6, 000007  2 Chøng minh 5, 000009  6, 000009 5, 000007  6, 000007 1 1     , n  , n 1 n Chøng minh 1 1     2, n  , n 1 n  1 n  Chøng minh (§Ò thi häc sinh giái líp toµn quèc n¨m häc 1979 – 1980) Bất đẳng thức sau đây đúng hay sai? Chứng minh vì sao?  106      10  n  1     3, n  , n 1 Tæng qu¸t: Chøng minh  n   D¹ng – T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 106 3 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc f  x   x  2012  x  2013 x  a  2x2  Cho a  , h·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c ®a thøc sau: A  x   x  1  x  3  x    x   a B  x   x  x    20  x  x  b C  x   x6  x3  x  x  15 c D  x   x  x  x  x  d E  x; y   x  xy  y  10 x  22 y  28 e F  x; y   x  26 y  10 xy  14 x  76 y  70 f G  x; y  2 x  y  xy  x  12 y  2041 g H  x; y; z  19 x  54 y  16 z  36 xy  24 yz  16 zx  2012 h x  x  2012 f  x  2012 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f  x  f  x  a x  víi T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè x2  x 1 x2  2x 1 x4 1 x  1 3 I  x  y T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc víi x, y  , x  y 1 f  x  x  x  víi x  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè  a  b  c  K           b  c  a  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 4 10 Cho a, b  0, a  b ab T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc L a  b 2 11 Gi¶ sö a, b, c lµ c¸c sè thùc tháa a  b  c 8 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M ab  bc  2ca 2 N  x  y  3z 12 Cho x  y  z 6 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc    O       x  y  13 Cho x, y  0, x  y 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc a2 b2 P  b  a  víi a, b  14 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc    Q       y   x  15 Cho x, y  0, x  y 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc  x  y   3x  y  R    x, y    x  y   16 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 17 (§Ò thi TS líp 10 trêng Chuyªn NguyÔn TÊt Thµnh, Yªn B¸i, n¨m häc 2004 – 2005) Cho biểu thức y  x  x   x  x  Tìm x để y đạt giá trị nhỏ 18 (§Ò thi TS líp 10 trêng Chuyªn NguyÔn TÊt Thµnh, Yªn B¸i, n¨m häc 2012 – 2013) 2 2 Tìm giá trị x, y để biểu thức M  x  y  x  y  11  x  y  x  y  đạt gi¸ trÞ nhá nhÊt, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy 19 (§Ò thi häc sinh giái líp tØnh Yªn B¸i n¨m häc 2010 – 2011) 2 Víi gi¸ trÞ nµo cña x, y th× biÓu thøc P 2 x  y  xy  x  30 y  2052 cã gi¸ trÞ nhá nhất? Tìm giá trị nhỏ đó f  x  x  x 20 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè 2 21 Cho x  y 5 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S  x  y 2 a, b, c   0;1 , a  b  c 2 22 Cho T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc T a  b  c yz x   zx y   xy z  U xyz 23 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc 24 Cho  a, b, c 0   2a  b  3c 6 3a  4b  3c 4  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc V 2a  3b  4c a, b, c, d 0 a  7b 50   c  a 60  25 Cho b  d 15 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc W 2a  b  c  d 26 Cho a, b, c  0, a  b  c 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè   1 1 y  f  a; b; c            a  b  c  X ab  b  b  a   a 2b  2b  a   a b2  a b Y          ab 0  2 b a  b a 28 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 29 (§Ò thi TS líp 10 trêng Lª Hång Phong, TP HCM n¨m häc 2003 – 2004) A  x  x 7 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 1 x, y  0,   f  x; y   x  y x y 30 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè víi 1  1  Z 21 a     b   b  a  31 Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 27 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc 32 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f  x  x8  x  x4  x2  f  x  x2  x 1 x2  2x  , f ' x    x2  x 1 x2  2x  33 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè 34 Cho c¸c sè d¬ng a, b, c T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A a2 b2 c2 a b c      2 2 2 b c c a a b b c c  a a b 3 35 Cho a  b 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc B a  b 36 (§Ò thi häc sinh giái tØnh Yªn B¸i n¨m häc 2003 – 2004) 2 2 Cho biÓu thøc M a  b biÕt r»ng a vµ b lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 5a  5b  8ab 18 Tìm giá trị a và b để: a M đạt giá trị lớn b M đạt giá trị nhỏ C 37 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 2010 x  2011  x  2012  x2  x  y 8  3  z  y  x  38 Cho vµ  x  y  z 10 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc D  x  y  z 2 39 Cho x  y  z 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc E  xy  yz  zx 1 F x  y  z    x, y, z  0, x  y  z  x y z T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 40 Cho  D¹ng – Bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc Cho tam gi¸c ABC Mét ®iÓm M n»m tam gi¸c AM kÐo dµi c¾t BC ë D, BM kÐo dµi AM BM CM   6 c¾t AC ë E vµ CM kÐo dµi c¾t AB ë F Chøng minh DM EM FM A A E F M la C B D lb C B a C (h×nh 1) (h×nh 2) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A Chøng minh tan B.cot C 2 o o Tìm  90 để sin  cos  đạt giá trị lớn Cho tam giác ABC, có độ dài ba cạnh lần lợt là a, b, c và la , lb , lc là ba đờng phân giác ứng 1 1 1      a b c la lb lc víi ba c¹nh Êy Chøng minh (§Ò thi häc sinh giái líp tØnh Yªn B¸i n¨m häc 1999 – 2000) Cho tø gi¸c ABCD cã tæng c¸c gãc BAD vµ CDA b»ng 900, c¸c c¹nh AB = CD, BC = a, AD = b Gäi M, N, P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AC, AD, BD, BC a Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? T¹i sao?  a  b S 4ha2  a  b  c   b  c  a   ha2  hb2  hc2   a  b  c  b (§Ò thi gi¶i Lª Quý §«n líp 8, quËn TP HCM n¨m häc 1996 – 1997) Cho tam giác ABC có các đờng trung tuyến BM và CN vuông góc với Chứng minh cot B  cot C  A A N M P B b Gäi diÖn tÝch tø gi¸c MNPQ lµ S Chøng minh DÊu “=” x¶y nµo? (§Ò thi TS líp 10 trêng PT N¨ng khiÕu – §HQG, TP HCM n¨m häc 1997 – 1998) 2 2 Chøng minh r»ng víi mäi tø gi¸c ABCD ta cã: AC  BD  AD  BC  AB.CD Tìm điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c và ba đờng cao tơng ứng , hb , hc Chứng minh a b lc N C B M C (h×nh 3) (h×nh 4) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A Các điểm M, N, P di động trên các cạnh BC, CA, AB cña tam gi¸c cho MNP lµ tam gi¸c vu«ng c©n Xác định vị trí M, N, P cho diện tích tam giác MNP là nhỏ 6 10 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sin x  cos x víi x   11 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A Tõ mét ®iÓm M tam gi¸c vÏ MD  BC , ME  CA , MF  AB  D  BC , E  AB, F  AB  Xác định vị trí điểm M cho tổng MD  ME  MF đạt giá trị nhỏ 12 Hình thang ABCD có diện tích và AB // CD, AC  BD Giá trị bé đờng chéo AC lµ bao nhiªu? 13 Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c Một điểm M nằm tam giác Từ M hạ các đờng vuông góc có độ dài x, y, z lần lợt lên các cạnh a, b, c Tìm vị trí điểm M để tổng a b c   x y z đạt giá trị nhỏ 14 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Tứ giác này cần có thêm điều kiện gì để diện tích tam gi¸c AOD nhá nhÊt? 15 (Bất đẳng thức Ptolemy) Cho tø gi¸c ABCD Chøng minh AC.BD  AB.CD  AD.BC §¼ng thøc x¶y nµo? 16 (§Ò thi häc sinh giái líp 9, TP HCM n¨m häc 1999 – 2000) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) M di động trên đờng tròn (O) Xác định vị trí M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn A A B C B C M (h×nh 5) (h×nh 6) 17 Cho đờng tròn (O ; R) và dây cung BC, điểm A chuyển động trên đờng tròn (A khác B và C) Tìm vị trí điểm A để tích AB.AC đạt giá trị lớn 18 Mét h×nh vu«ng vµ mét h×nh tam gi¸c cã chu vi b»ng DiÖn tÝch h×nh nµo lín h¬n? 19 Trong các tam giác có chu vi không đổi, hãy tìm tam giác có bán kính đờng tròn nội tiếp lớn nhÊt 20 Cho đờng tròn (O ; R) và đờng thẳng d cắt đờng tròn (O) cho khoảng cách từ O đến d nhỏ R M là điểm di chuyển trên d, từ M vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (A, B n»m trªn (O)) AB c¾t MO t¹i N a Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đợc và tính tích ON.OM theo R b Khi M di chuyển trên d thì tâm I đờng tròn nội tiếp tam giác MAB di chuyển trên đờng nào? c Trªn nöa mÆt ph¼ng bê OA cã chøa M vÏ tia Ox vu«ng gãc víi OM, tia nµy c¾t MB t¹i M ' Tìm vị trí M để diện tích tam giác MOM ' nhỏ 80 cm d A M O I 50 cm N B M’ (h×nh 8) x (h×nh 7) 21 Cho mét tÊm t«n h×nh ch÷ nhËt cã kÝch thíc 80 cm × 50 cm H·y c¾t ®i ë bèn gãc vu«ng hình vuông để gập lại theo mép cắt thì đợc cái hộp (không nắp) có thÓ tÝch lín nhÊt 22 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đờng tròn tâm (O ; R) (R > 0) Trên các tia Ox và Oy lần lợt lấy hai điểm A và B cho đờng thẳng AB luôn tiếp xúc với đờng tròn đó Hãy xác định tọa độ A và B để tam giác OAB có diện tích nhỏ 23 Cho hai đờng tròn (O ; R ) và đờng tròn (O ' ; R ') cắt A và B ( O và O ' hai nửa mặt phẳng đối bờ AB) Một cát tuyến di động qua B cắt (O) C và cắt (O ') D cho B nằm C và D Xác định vị trí cát tuyến CBD để chu vi tam giác ACD nhận giá trị lín nhÊt 24 Cho đờng tròn (O ; R), AC và BD là hai đờng kính Xác định vị trí hai đờng kính này để diÖn tÝch tø gi¸c ABCD lín nhÊt cos A  cos B  cos C  25 Cho tam gi¸c nhän ABC Chøng minh  Dạng – Một số dạng toán khác liên quan đến bất đẳng thức 10 11 12 13 Gi¶i ph¬ng tr×nh 2sin x  3cos x 5 Gi¶i ph¬ng tr×nh 3x cos x Gi¶i ph¬ng tr×nh x  3x  x  20 0 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh x  y  xy  x  y  0 x  x  x  x   x   x   13  x Gi¶i ph¬ng ph¬ng tr×nh x  y  z  2 x   y   z  Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 4 x  y  x 1 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 2  x y  x  y 0  2 x  x   y 0 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh   x y   y x  4  2 x y 16 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  (§Ò thi TS líp 10 trêng Lª Hång Phong, TP HCM n¨m häc 1999 – 2000)  x  y 1  x  y 1 T×m tÊt c¶ gi¸ trÞ cña x, y tháa hÖ  2  x  y 2 yz  2  y  z 2 zt  2  z  t 2tx t  x 2 xy   xyzt 16 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  a  b  c  d    1 1  1 ( a  d )  a  d    b  c   b  c      Gi¶i hÖ bÊt ph¬ng tr×nh  ab  ab 4 T×m liªn hÖ gi÷a hai sè a vµ b biÕt a  b 14 Cho x  1, x  x  2 x x 1 T×m x a  b 1   a b4    a , b , c , d 15 Cho c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n  c d c  d a2d A bc TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 16 (§Ò thi häc sinh giái líp tØnh Yªn B¸i n¨m häc 2010 – 2011) T×m sè cã ch÷ sè biÕt r»ng nã b»ng lËp ph¬ng cña mét sè tù nhiªn vµ tæng ch÷ sè cña nã bình phơng số tự nhiên đó 2012 1 a 1  2012a  17 T×m tÊt c¶ c¸c sè thùc a tháa m·n a b2 c2 d2    1 18 T×m c¸c sè d¬ng a, b, c, d tháa a  b  c  d 2 vµ b  c c  d d  a a  b x  x  a   x  x  b    x  a   x  b  0 19 Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiÖm a, b   x   a  b  x  2a  2ab  2b 0 20 Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiÖm a, b   21 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh phơng trình sau có nghiệm a  b  c   4abx   a  b  c  0 ax  bx  c 0  a 0  2b c  4 cã nghiÖm nÕu a a 22 Chøng minh ph¬ng tr×nh  a, b, c 0  2 2  a  b  c 3  abc  B   a 2012  b 2012  c 2012 3   a b c  23 Cho  TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 24 Cho x    1;1 , n   * 25 26 27 28 29 1 x BiÕt n n    x  2n T×m x  x  y 4  2  z  t 9  xt  yz 6 BiÕt  TÝnh x theo t vµ tÝnh y theo z (§Ò thi TS líp 10 vßng trêng §HSP Hµ Néi n¨m häc 1992 – 1993)  xy 0  th× ta lu«n cã Chøng minh r»ng nÕu hai sè x vµ y cïng dÊu x y x y  xy   xy  x  y 2 (§Ò thi TS líp 10 vßng trêng §HSP Hµ Néi n¨m häc 1993 – 1994)  4 x  y   2 2 y  x  a  a  xy  Chøng minh r»ng víi a  , hÖ bÊt ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm  (§Ò thi TS líp 10 vßng trêng §HSP Hµ Néi n¨m häc 1991 – 1992) Cho tam giác ABC Hai điểm M và N lần lợt thay đổi trên hai cạnh AB và AC cho AM AN  1 MB NC Chứng minh MN luôn tiếp xúc với đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Cho x1 , x2 , x3 , x4 là bốn số dơng thay đổi thỏa mãn điều kiện x1  x2  x3  x4 1 Chứng x14  x24  x34  x44 x1 x2 x3 x4     4 3 3 x  x  x  x x x3 x4 x1 2 minh r»ng nÕu th× 30 (§Ò thi TS líp 10 vßng trêng §HSP Hµ Néi n¨m häc 2002 – 2003) x  y  4z    y  z  4x   z  x  4y  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau   D¹ng – Bµi tËp tr¾c nghiÖm kh¸ch quan, cñng cè kiÕn thøc Xét tính đúng – sai các khẳng định dới đây (1) Tổng số với số nghịch đảo nó lớn (2) Víi hai ph©n sè bÊt k×, nÕu ph©n sè nµo cã mÉu sè lín h¬n th× nhá h¬n f  x  ax  bx  c (3) Hµm sè lu«n cã gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc gi¸ trÞ nhá nhÊt x  y x y x y x  y (4) Víi mäi sè thùc x, y ta cã a1  a2   an  a1; a2 ; ; an   max  a1; a2 ; ; an  , ai  , i 1, n n (5) Ta cã 2  x  y    x  3   y  3  b»ng (6) Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc f  x  ax   a  b  x  b (7) §a thøc chØ cã nghiÖm a, b 0 n (8) n !  , n  , n 7  ab  a  b a, b, c  ,  bc  b  c  ca  c  a (9)    :  2  a   (10) 2 a  b  c  2  a  b  c  NÕu th× a = ……, b = ……, c = …… Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f  x  x  x   x  x  lµ …… a b  a b M          ab   a  b a b Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc lµ …… 3 N   x y z đạt giá trị nhỏ …… Cho x, y, z  0, x  y  z 3 BiÓu thøc x = ……, y = ……, z = …… f  x  sin x  cos x Hµm sè đạt giá trị lớn …… x = …… Ph¬ng tr×nh x  x  10  x  12 x  26 3 có …… nghiệm Nghiệm đó là x = …… B¶ng tra cøu MộT Số Kí HIệU đợc dùng sách     ;      0; 1; 2;   *  \  0   1; 2;       0     2;  1; 0; 1;    : tËp hîp c¸c sè h÷u tØ    : tËp hîp c¸c sè v« tØ  AM – GM: Arithmatic mean – Geometric mean (Trung b×nh céng – Trung b×nh nh©n)   : kÐo theo, suy   : tơng đơng, và : tËp hîp c¸c sè thùc : tËp hîp c¸c sè tù nhiªn : tËp hîp c¸c sè nguyªn d¬ng (c¸c sè tù nhiªn kh¸c 0) : tËp hîp c¸c sè nguyªn   f  x  a , x  D f  x  a   xD x0  D : f  x  a : gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f  x  trªn miÒn x  D   f  x  a, x  D max f  x  a   xD x0  D : f  x  a : gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè f  x  trªn miÒn x  D Tên số nhà toán học đợc nêu sách Bunyakovsky: Bu-nhia-cèp-xki (Bất đẳng thức Bunyakovsky) Nesbitt: Ne-xbÝt (Bất đẳng thức Nesbitt) Cauchy: C«-si (Bất đẳng thức Cauchy) Ptolemy: Pt«-lª-mª (Định lí Ptolemy – bất đẳng thức Ptolemy) Heron: Hª-r«ng (C«ng thøc Heron) Pythagoras: Pi-ta-go (§Þnh lÝ Pythagoras) Holder: H¬n-®e (Bất đẳng thức Holder) Schwarz: Sê-v¸c (Bất đẳng thức Schwarz)