ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CỰC TRỊ VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Đây là chuyên đề tổng hợp một số ứng dụng của đạo hàm trong giải PTHPTBPT và BĐT Cực trị. Gồm 50 bài toán có hướng dẫn và giải. Chúng ta đều biết công thức tính và những quy tắc tính đạo hàm của hàm của những hàm số cơ bản như hàm đa thức, hàm phân thức, hàm lượng giác. Tuy nhiên, chúng ta cũng đặt ra câu hỏi: “Vậy tính đạo hảm để phục vụ điều gì? Phải chăng đạo hàm không có ý nghĩa gì khác ngoài việc xét tình đồng biến nghịch biến thôi sao?” Chắc chắn không phải vậy. Đạo hàm là một công cụ mạnh, có rất nhiều ý nghĩa và công dụng, không chỉ trong Toán học mà còn phục vụ nhiều ngành khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Thiên văn học, Tin học,…

Chắc chắn không phải vậy Đạo hàm là một công cụ mạnh, có rất nhiều ý nghĩa và công dụng, không chỉ trong Toán học mà còn phục vụ

nhiều ngành khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Thiên văn học, Tin học,…

Để giúp các bạn cảm thấy thêm về vẻ đẹp của toán học nói chung và đạo hàm nói riêng, trong chuyên đề này, tôi sẽ giới thiệu một số ứng dụng của đạo hàm trong giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, và cực trị Các bài toán đưa ra sẽ tăng dần về độ khó và mực độ vận dụng.Trong tập

chuyên đề này, tôi sẽ đưa ra lời giải, nêu nhận xét hướng tiếp cận và phương pháp trong mỗi bài toán

Sau đây, tôi sẽ nhắc lại một số qui tắc và công thức tính đạo hàm cơ bản

II) Một số qui tắc và công thức tính đạo hàm

III) ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Nhắc lại: Việc ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình, hệ phương trình chủ yếu nằm trong việc xét tình đơn điệu của hàm số để chỉ ra một nghiệm duy nhất hoặc đưa phương trình về cùng cấu trúc hàm và đạo hàm hàm đặc trưng

Nhận xét: Đây là một bài toán cơ bản Nhận thấy phương trình đã cho là một

hàm theo x , ta liền nghĩ đến ý tưởng xét đạo hàm f x( )để khảo sát tính đơn điệu, từ đó chỉ ra một nghiệm và khẳng định đó là nghiệm duy nhất

Sau đây là một bài khái quát hơn:

Bài toán 2: Giải phương trình: 2

Nhận xét: Bài toán này đã được khái quát hơn so với bài toán đầu tiên, ý tưởng

đạo hàm để xét tính đơn điệu đã được sử dụng ở cả hai vế Tuy nhiên, những bài thuộc dạng này không nhiều và đơn giản

Sau đây tôi sẽ giới thiệu một số bài toán sử dụng phương pháp đưa hai vế về cùng cấu trúc hàm rồi dùng đạo hàm để giải

Để làm rõ hơn, ta sẽ tìm hiểu một bài toán hệ phương trình cao cấp hơn:

Bài toán 4 (ĐH A- 2013): Giải hệ phương trình:

4 4

Nhận xét: Bài toán này đã được nâng cấp lên từ một bước thành hai bước dùng

đạo hàm, ta cần phải kết hợp khéo léo cả hai phương pháp mới có thể đưa ra lời giải đúng Tuy nhiên, việc xét dấu của đạo hàm ở bài toán vẫn vẫn khá dễ dàng

Sau đây là mốt số bài toán ở cấp độ cao hơn mà ta cần khôn khéo trong việc xử

PT tương đương:

2

( ) 28 ( ) 18 2

Sau 5 ví dụ đi từ mức độ cơ bản đến vận dụng cao, có lẽ các bạn đã phần nào nắm được một số đường lối để giải quyết mốt số phương trình hệ phương trình bằng công cụ đạo hàm Sau đây, tôi xin đưa ra một số bài tập vận dụng để các bạn có thể tham khảo thêm

2) Một số bài tập vận dụng

Bài toán 6: Giải phương trình: 1 3 4 2

2 4 24 4 2

Bài toán 9: Giải phương trình:

Bài toán 11: Tìm m để phương trình: 2

Bài toán 15: Giải hệ phương trình:

IV) MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Từ bảng biến thiên, ta tìm được

Nhận xét: Để tìm cực trị của hàm số, ta làm theo 3 bước:

Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số

Bước 2: Tính đạo hàm của hàm của hàm số và giải phương trình f '( )x  0

Bước 3: Lập bảng biến thiên

Sau đây ta sẽ đến với một ví dụ cao cấp hơn:

Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 2

Nhận xét: Ở bài toán này, việc giải phương trình tìm nghiệm của hàm đạo hàm

đã khó khăn hơn Tuy nhiên việc xử lí điều kiện vẫn khá đơn giản Sau đây ta sẽ cùng tìm hiểu một hàm khó hơn là hàm lượng giác

Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y 5cosx cos 5xvới

k x

Lập bảng biến thiên, ta tìm được A f x( )  f(0)  2

Dấu bằng xảy ra khi chẳng hạn x y 0,z 1

Nhận xét: Đây là một bài toán khá hay, đòi hỏi phải biến đổi khéo léo Ta phải

qua đánh giá trung gian để có thể chuyển về lớp hàm một biến

Bài toán 6: Cho a b, là hai số thực thỏa mãn 2 2

2(a b ) ab (ab ab)(  2) Tìm GTNN:

Nhận xét: Đây là một bài toán khó cần những đánh giá hay và phải chia trường

hợp để giải Ngoài ra cần phải dùng đến một kĩ thuật gọi là hằng số biến thiên, coi những biến số là một hằng số Kĩ thuật này có thể được sử dụng trong khá nhiều bài toán

Sau đây tôi xin trình bày lời giải:

Hướng dẫn: Coi P là một hàm theo biến a thì:

2

( )( ) '( )

Bài toán 13: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x( ) |  x3 3 |x với

2 x 1

  

Bài toán 14: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x( ) x2 2 | | x

Bài toán 15*: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x( ) x4 6ax2a2

2 x 1

  

2.2) Lớp bài nghiệm của phương trình

Bài toán 16: Gọi x x1 , 2 là 2 nghiệm của phương trình:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x x1 2  2(x1 x2 )

2.3) Lớp bài tìm điều kiện để đạt cực trị

Bài toán 18: Xác định a để giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài toán 29*: (ĐH Khối A 2009) Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn

2.4) Lớp bài lượng giác

Bài toán 30: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2

Bài toán 33: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y sin8xcos x4

Bài toán 34: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

2

2

1 1 cos 4

V) Kết thúc

Đạo hàm là một công cụ hữu ích, nó còn có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực Hình học, Vật lý, Hóa học, Trong chuyên đề này, với khoảng 50 bài toán, tôi đã trình bài với các bạn hai ứng dụng cơ bản nhất của đạo hàm trong đại số là trong phương trình, hệ phương trình và trong cực trị, bất đẳng thức

Hy vọng chuyên đề nhỏ này sẽ giúp bạn cảm thấy học đạo hàm nói riêng

và học Toán nói chung thêm phần ý nghĩa

Chắc chắn tài liệu này chưa hoàn chỉnh, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của bạn đọc tại địa chỉ email

Xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO: