http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Bất đẳng thức trong đề thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –ThS. Nguyễn Thế Chinh BÀI GIẢNG SỐ 4. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Dạng 1. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Cho hàm số f(x). Khi đó, ta có: Nếu f(x) đồng biến 0 f '(x) thì f(x) > f() x > ; f(x) < f() x < . Nếu f(x) nghịch biến 0 f '(x) thì f(x) > f() x < ; f(x) < f() x > . Nếu f(x) đồng biến hoặc nghịch biến, ta đều có f(x) = f() x = . Ví dụ 1: Chứng minh mọi x > 0, ta có: a) e x > 1 + x. b) 2 x x1e 2 x . c) 2 cos 2 , . 2 x x x e x x R Lời giải a) Xét f(x) = e x – x – 1, x > 0. Có f ’ (x) = e x – 1 > e 0 – 1 = 0 f(x) đồng biến trên x > 0. Do đó với x > 0 thì f(x) > f(0) e x – x – 1 > 0 e x > x + 1 đpcm. b) Xét 1x 2 x e)x(g 2 x , x > 0. Có g ’ (x) = e x – x – 1 > 0 (theo a) g(x) đồng biến trên x > 0. Do đó với x > 0 thì g(x) > g(0) 1x 2 x e01x 2 x e 2 x 2 x đpcm. c) 2 cos 2 0, . 2 x x x e x x R Xét hàm số 2 ( ) cos 2 ( ). 2 x x f x x e x x R Ta có ' ( ) sin 1 x f x x e x và '' ( ) cos 1 1 cos 0, x x f x x e x e x R Vậy ' ( ) 0 f x có nghiệm duy nhất 0. x Bảng biến thiên. http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Bất đẳng thức trong đề thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –ThS. Nguyễn Thế Chinh x 0 '( ) f x - 0 + ( ) f x Từ bảng biến thiên chúng ta suy ra: ( ) 0 f x với x R . (đpcm). Ví dụ 2: Chứng minh 0yx ylnxln yx 2 yx . Lời giải Có )yx(2)ylnx)(lnyx( ylnxln yx 2 yx 0 1 y x 1 y x 2 y x ln 1 y x 1 y x 2 y x ln yx yx 2ylnxln . Đặt 1 y x t , ta được: 1t,1 1 t 1t 2tln . Xét 1t), 1 t 2 1(2tln 1 t 1t 2tln)t(f . Có 1t0 )1t(t )1t( )1t( 4 t 1 )t(f 2 2 2 ' f(t) đồng biến với t > 1 f(t) > f(1) = 0 t > 1 đpcm. Ví dụ 3. Cho a 6, b -8, c 3. Chứng minh mọi x 1, ta có: x 4 – (ax 2 + bx + c) 0. Lời giải Xét f(x) = x 4 – (ax 2 + bx + c), x 1. Có f ’ (x) = 4x 3 – (2ax + b). f ’’ (x) = 12x 2 – 2a 12 – 2a = 2(6 – a) 0 (do x 1, a 6) f ’ (x) đồng biến trên x 1 0 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Bất đẳng thức trong đề thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –ThS. Nguyễn Thế Chinh Với x 1 thì f ’ (x) f ’ (1) = 4 – (2a + b) 4 – (12 – 8) = 0 f(x) đồng biến trên x 1 Với x 1 thì f(x) f(1) = 1 – (a + b + c) 1 – (6 – 8 + 3) = 0 x 4 – (ax 2 + bx + c) 0 đpcm. Dạng 2. Sử dụng hàm đặc trưng Ví dụ 4. Cho 0 < a < b < 1. Chứng minh rằng a 2 lnb – b 2 lna > lna – lnb (1) Lời giải Có 1 b bln 1 a aln aln)1b(bln)1a()1( 22 22 (2) Xét hàm số đặc trưng 1t0, 1 t tln )t(f 2 . Có 1t00 )1t( tlnt2 t 1 t )t(f 22 ' f(t) đồng biến với 0 < t < 1. Do đó với 0 < a < b < 1 f(a) < f(b) (2) đúng (1) đúng đpcm. Ví dụ 5. Chứng minh: 2005 2006 > 2006 2005 Lời giải Có 2005 2006 > 2006 2005 ln2005 2006 > ln2006 2005 2006ln2005 > 2005ln2006 2006 2006ln 2005 2005ln (1) Xét x xln )x(f , x e. Có ex0 x xln1 )x(f 2 ' f(x) nghịch biến trên x e. Do đó với 2005 < 2006 thì f(2005) > f(2006) 2006 2006ln 2005 2005ln (1) đúng đpcm. Ví dụ 6. [Khối D – 2007]. Cho a b > 0. Chứng minh a b bb a a ) 2 1 2() 2 1 2( (1) http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Bất đẳng thức trong đề thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –ThS. Nguyễn Thế Chinh Lời giải Có abbaabba ab ab ab ba )14ln()14ln()14()14( 2 )14( 2 )14( )1( b )14ln( a )14ln( )14ln(a)14ln(b ba ba (2) Xét 0t, t )14ln( )t(f t . Có )14ln( 14 4ln.t.4 t 1 )14ln(t. 14 )14( t 1 )t(f t t t 2 t t 't 2 ' 0t0 )14(t )14ln()14(4ln4 t2 tttt f(t) nghịch biến trên miền t > 0. Do đó với a b > 0 f(a) f(b) b )14ln( a )14ln( ba (2) đúng (1) đúng. Ví dụ 7: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc nhọn thỏa mãn điều kiện 1 1 5 (cos3 cos3 ) (cos2 cos2 ) (cos cos ) 3 2 6 A B A B A B Thì tam giác ABC là tam giác đều. Lời giải Trước hết ta viết vế trái về dạng: 1 1 1 1 ( cos3 cos2 cos ) ( cos3 cos2 cos ) ( , 0; 3 2 3 2 2 VT A A A B B B A B Xét hàm đại diện 1 1 ( ) cos3 cos2 cos ( 0; ) 3 2 2 f x x x x x . Ta cú '( ) sin3 sin 2 sin f x x x x sin3 sin2 sinx 0 sin 2 (1 2cos ) 0 3 x x x x x Bảng biến thiên X 0 3 2 f’(x) 0 + f(x) 5 12 Từ bảng biến thiên ta có 5 ( ) ( ) 2 ( ) 3 6 VT f A f B f . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3 A B . http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Bất đẳng thức trong đề thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –ThS. Nguyễn Thế Chinh Suy ra tam giác ABC đều. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Chứng minh mọi ) 2 ,0(x , ta có: a) sinx + tgx – 2x > 0 b) 2sinx + tgx – 3x > 0 c) . 1xtgxxsin 2 2 2 d) . 1 2 x3 tgxxsin2 2 2 2 Bài 2. Chứng minh: e e . Bài 3. Cho ABC nhọn. Chứng minh: a) sinA + sinB + sinC +tgA + tgB + tgC > 2 . b) 2(sinA + sinB + sinC) + tgA + tgB + tgC > 3. Bài 4. Cho 0 < a < b < 1. Chứng minh: )ab(4 )b1(a )a1(b ln . Bài 5. a. Tìm giá trị lớn nhất của 1x 3x y 2 . b. Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 101c1b1a 222 . Bài 6. Cho hai số * , , (0 ) 2 p q N . Chứng minh rằng: sin cos p q p q p q p q p q Bài 7. Cho a, b, x > 0 và a b . Chứng minh rằng: b x b a x a b x b Bài 8. Chứng minh rằng với 0 x , ta có: 2 3 log (1 2 ) log (3 ( 2) ) x x x Bài 9. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng a. 1 1 1 cot cot cot 3 3 2( ) sin sin sin A B C A B C b. 2 2 2 125 (1 cos )(1 cos )(1 cos ) 64 A B C Bài 10. Chứng minh rằng với mọi 0; 2 x , ta luôn có: 2 2 4 4 sin x x x . Chứng minh rằng: b x b a x a b x b Bài 8. Chứng minh rằng với 0 x , ta có: 2 3 log (1 2 ) log (3 ( 2) ) x x x Bài 9. Cho tam giác ABC. Chứng minh. Chứng minh rằng: 101c1b1a 222 . Bài 6. Cho hai số * , , (0 ) 2 p q N . Chứng minh rằng: sin cos p q p q p q p q p q Bài 7. Cho a, b, x > 0 và a b . Chứng. Ví dụ 6. [Khối D – 2007]. Cho a b > 0. Chứng minh a b bb a a ) 2 1 2() 2 1 2( (1) http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Bất đẳng thức trong đề thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc