Luận văn thạc sĩ toán sử dụng bổ đề trội chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác

B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O TR NGă IăH CăTH NGăLONG - V ăV NăTH S ăD NGăB ă CÁCăB Tă NG ăTR IăCH NGăMINH NGăTH C TRONGăTAMăGIÁC LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C Hà N i – N m 2016 B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O TR NGă IăH CăTH NGăLONG - V ăV NăTH S ăD NGăB ă CÁCăB Tă NGăậ C00458 ăTR IăCH NGăMINH NGăTH C TRONGăTAMăGIÁC LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C CHUYÊNăNGĨNH:ăPH NGăPHÁPăTOÁNăS ăC P MĩăS :ă60ă46ă01ă13 NG IăH NG D NăKHOAăH C:ăPGS TS T ăDUYăPH NG Hà N i – N m 2016 Thang Long University Libraty M CL C Trang Trang ph bìa 01 M c l c 02 L i cam đoan 04 Tóm t t lu n v n 05 M ă Ch U 06 ng KHÁIă NI Mă TR Iă VĨă MINHăM TăS ăB Tă NGă D NGă TRONGă CH NGă NGăTH C 1.1 KHÁI NI M TR I 08 1.1.1 nh ngh a 1.1.1 08 1.2 HÀM L I SHUR 08 1.2.1 nh ngh a 1.2.1 08 1.2.2 nh ngh a 1.2.2 08 1.2.3 M t s tính ch t c b n c a hàm l i, hàm lõm 09 1.2.3.1 Tính ch t 09 1.2.3.2 Tính ch t 09 1.2.4 nh ngh a 1.2.3 10 1.2.4.1 B t đ ng th c tr i (B đ tr i, Shur, 1923) 10 1.2.4.2 M t s h qu c a b t đ ng th c tr i 12 1.3 NG D NG C A KHÁI NI M TR I TRONG CH NG MINH B T NG TH C 14 K t lu n Ch Ch ng CÁCăB Tă ng 24 NGă D NGă C Aă B ă ă TR Iă TRONGă CH NGă MINHăă NGăTH CăTRONGăTAMăGIÁC 2.1 THệ D MINH H A 25 Nh n xét 2.1.1 26 2.2 CÁC B T NG TH C LIÊN QUAN N CÁC GịC TRONG C A TAM GIÁC 26 Nh n xét 2.2.1 26 2.2.1 Hàm sin 28 Nh n xét 2.2.2 28 2.2.2 Hàm cosin 53 Nh n xét 2.2.3 53 2.2.3 Hàm tan 65 Nh n xét 2.2.4 65 2.3 M T S B T NG TH C LIÊN QUAN N CÁC C NH C A TAM GIÁC 71 Nh n xét 2.3.1 71 2.4 M T S H TH C KHÁC TRONG TAM GIÁC 77 K t lu n Ch ng 86 K TăLU NăVĨăKHUY NăNGH K t lu n 87 Khuy n ngh 87 TĨIăLI UăTRệCHăD N 88 Thang Long University Libraty L I CAMă OAN Tôi xin cam đoan d PGS TS T Duy Ph i s giúp đ , h ng d n, ch b o t n tình c a ng, lu n v n cao h c chuyên nghành ph ng pháp Toán s c p v i đ tài “S d ng B đ tr i ch ng minh b t đ ng th c tam giác” cơng trình nghiên c u c a riêng th i gian h c t p nghiên c u t i tr ng i h c Th ng Long Trong trình nghiên c u th c hi n lu n v n, tác gi k th a phát huy nh ng k t qu c a nhà khoa h c v i s trân tr ng bi t n Hà N i, tháng 05 n m 2016 Tácăgi V ăV năTh ng TịMăT TăLU NăV N Lu n v n g m ba ph n: PH N M ăđ u PH N N iădung Ph n g m hai ch Ch ng ng KHÁIă NI Mă TR Iă VĨă MINHăM TăS ăB Tă NGă D NGă TRONGă CH NGă NGăTH C 1.1 KHÁI NI M TR I 1.2 HÀM L I SHUR 1.3 NG D NG C A KHÁI NI M TR I TRONG CH NG MINH B T NG TH C Ch ng NGă D NGă C Aă B ă CÁCăB Tă ă TR Iă TRONGă CH NGă MINHăă NGăTH CăTRONGăTAMăGIÁC 2.1 THệ D MINH H A 2.2 CÁC B T NG TH C LIÊN QUAN N CÁC GịC TRONG C A TAM GIÁC 2.3 M T S B T NG TH C LIÊN QUAN N CÁC C NH C A TAM GIÁC 2.4 M T S H TH C KHÁC TRONG TAM GIÁC PH N K tălu năvƠăkhuy năngh Thang Long University Libraty M ă Khái ni m tr i đ vect ) không gian U c đ a nh m m c đích so sánh hai ph n t (hai n Khái ni m c s c a lý thuy t tr i, đ c áp d ng r ng rãi nhi u l nh v c, xem, thí d [8] Khái ni m tr i đ c áp d ng thành công ch ng minh b t đ ng th c, đ c bi t b t đ ng th c tam giác, xem, thí d , [7], [8] Có th nói, b t đ ng th c Karamata (xem, thí d , [3]) c ng b t đ ng th c tr i Khái ni m tr i c ng g n v i m t s Ủ t ng v s p th t tam giác, xem, thí d , [2] Tuy v y, hình nh ch a có m t cu n sách ti ng Vi t ho c m t lu n v n cao h c trình bày ng d ng khái ni m tr i, đ c bi t ch ng minh b t đ ng th c tam giác Lu n v n S d ng B đ tr i ch ng minh b t đ ng th c tam giác có m c đích minh h a kh n ng s d ng khái ni m tr i b t đ ng th c tr i (B đ tr i) ch ng minh, c i ti n làm m i b t đ ng th c tam giác ây m t v n đ m i m nh ng có Ủ ngh a khoa h c ng d ng th c ti n cao gi ng d y tốn s c p, v y ch n đ tài làm đ tài lu n v n cao h c c a Lu n v n g m M đ u, hai Ch Ch ng, K t lu n Tài li u tham kh o ng 1: Trình bày khái ni m c b n nh khái ni m tr i, hàm l i Shur, đ c bi t b t đ ng th c tr i (B đ tr i, Shur, 1923) h qu c a nó, đ ng th i trình bày ng d ng c a b t đ ng th c tr i vi c ch ng minh m t s b t đ ng th c Ch ng 2: Trình bày ng d ng c a b đ tr i h qu c a vi c ch ng minh b t đ ng th c tam giác Qua ta th y đ c th m nh c a b t đ ng th c tr i h qu c a ng d ng vào vi c ch ng minh nhi u toán liên quan đ n b t đ ng th c tam giác nh : B t đ ng th c liên quan đ n góc c a tam giác, b t đ ng th c liên quan đ n c nh c a tam giác m t s h th c khác tam giác Ngồi ra, ng cịn trình bày ng d ng hi u qu c a b t đ ng th c tr i so v i m t Ch s ph ng pháp ch ng minh b t đ ng th c thông th ng khác cho m t s b t đ ng th c tam giác Lu n v n đ h c hoàn thành t i tr ng i h c Th ng Long d ng d n khoa h c ch b o t n tình c a PGS TS T Duy Ph Tốn h c Là ng Th y, tơi xin đ i h c trò ti p thu đ i s ng, Vi n c nhi u u b ích, quỦ báu t c bày t lòng bi t n sâu s c đ i v i s quan tâm, đ ng viên k p th i s nghiêm kh c ch b o, h ng d n c a Th y Tôi xin c m n t i th y giáo Tr phịng Sau đ i h c Qu n lỦ khoa h c - Tr ng ng i h c Th ng Long, i h c Th ng Long ng th i xin g i l i c m n t i t p th l p CTM3-BG (Cao h c tốn B c Giang) khóa 2014 – 2016 c a Tr ng i h c Th ng Long đ ng viên giúp đ tơi q trình h c t p th c hi n lu n v n Tôi xin c m n t i Ban Giám hi u, t chun mơn Tốn – tin, đ ng nghi p Tr ng THPT Yên D ng s 3, B c Giang t o u ki n giúp đ , góp Ủ cho tác gi th i gian h c t p th c hi n lu n v n M c dù tác gi h t s c c g ng nh ng v n đ nghiên c u t ng đ i ph c t p khó, kinh nghi m nghiên c u vi t lu n v n cịn h n ch nên khơng tránh kh i nh ng thi u sót Tác gi r t mong nh n đ ki n đóng góp c a quỦ th y cô b n đ c đ lu n v n đ c nh ng Ủ c hoàn thi n h n Hà N i, tháng 05 n m 2016 Tácăgi V ăV năTh ng Thang Long University Libraty Ch ng KHÁIăNI MăTR IăVĨă NGăD NGăTRONGăCH NGăMINHă M TăS ăB Tă NGăTH C 1.1 KHÁIăNI MăTR I 1.1.1 nhăngh aă1.1.1 Cho a   a1, , a n  b   b1, , bn  hai vect không gian h u h n chi u n Các t a đ a i bi , i  1,2, , n đ c s p th t nh sau: a1  a   a n , b1  b2   bn N u: a1  b1 ; a  a  b  b ;  2  a  a   a  b  b   b ; n 1 n 1  a1  a   a n1  a n  b1  b2   bn1  bn ta nói a tr i h n b ( a majorizes b ) vi t a b Ta c ng nói b b tr i b i a ( b majorized by a ) vi t b a 1.2 HĨMăL IăSHUR 1.2.1 nhăngh aă1.2.1 T p X  n c g i t p l i n u v i m i   0;1 đ x1  X, x2  X ta có x   x1  1    x2  X Ngh a là, t p l i X ch a m i đo n th ng n i hai m c a 1.2.2 nhăngh aă1.2.2 Hàm f : X  n  đ c g i hàm l i n u X t p l i v i m i   0;1 x1  X, x2  X ta có f  x   f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2  N u đ ng th c x y ch x1  x2 f đ Hàm f đ ng (1.2.1) c g i l i ch t X c g i hàm lõm n u - f hàm l i, hay ta có b t đ ng th c c l i N u đ ng th c x y ch x1  x2 hàm f đ c g i lõm ch t X 1.2.3ăM tăs ătínhăch tăc ăb năc aăhƠmăl i,ăhƠmălõmă Tính ch t 1.2.3.1 N u f :  a ; b  a;b hàm l i kh vi liên t c  x, y Ỵ [a , b] f (y)- f (x)³ (y - x) f ¢(x) Ch ngă minh Th t v y, theo tính ch t c a hàm l i, v i m i Ỵ [0,1] x, y Î [a , b] ta có f ( y + (1- )x)£ f (y)+ (1- ) f (x), hay f (x + (y - x))- f ( x) £ V i x, y Ỵ [a , b], x  y Ỵ (0,1) ta có f (x + ( y - x))- f (x) ( y - x) Cho ta đ ( f (y)- f (x)) £ f ( y)- f (x) y- x c f ¢(x)= lim f (x + ( y - x ))- f (x ) ( y - x) ®0 £ f ( y)- f (x) y- x hay f (y)- f (x)³ (y - x) f ¢(x) Tr ng h p x, y Î [a , b], x  y ch ng minh hồn tồn t Tínhăch tă1.2.3.2ă Cho hàm s ng t y  f  x xác đ nh t p X có đ o hàm c p hai t i m i x Ỵ X N u f   x ³ v i m i x Ỵ X f  x hàm l i X N u f   x  v i m i x Ỵ X f  x hàm lõm X Thang Long University Libraty a bc a bc 3. 2 2     a b c      2 a  b  c a  b  c a  b  c 2 a  b2  c     a  b  c 2 D u b ng x y b t đ ng th c v trái ch a  b  c hay tam giác ABC tam giác đ u D u b ng x y b t đ ng th c v ph i ch a  b  s,c  (vô lỦ) a  b2  c2  V y b t đ ng th c (2.3.1) đ Do   a  b  c 2 c ch ng minh b) (H c vi n k thu t Quân s , 1996-1997) s  s  a  s  b  s  c  3s (2.3.2) Xét hàm s y  f  x  s  x  0;s  Ta có: y  x  1  y  x  sx 1  s  x 0 v i x   0; s  y  f  x  s  x hàm lõm  0; s  Ta có:  a , a , a   a , b, c   s, s,0 Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.3) cho hàm y  f  x  s  x , ta đ f  s   f  s   f  0  f  a   f b   f  c   f  a   f  a   f  a   s  s a  s b  s c 3 s a a bc  s  s a  s b  s c 3  s  s a  s b  s c  a bc  s  s  a  s  b  s  c  3s 74 c: nên D u b ng x y b t đ ng th c v ph i ch a  b  c hay tam giác ABC tam giác đ u D u b ng x y b t đ ng th c v trái ch a  b  s,c  (vơ lỦ) Do s  s  a  s  b  s  c  3s V y b t đ ng th c (2.3.2) đ c) c ch ng minh a  s  a   b  s  b   c  s  c   2.s Xét hàm s (2.3.3) y  f  x  x s  x  0; s  Ta có: y  x  s  2x x  s  x s2  y  x    x  s  x   v i  x  s nên y  f  x  x s  x hàm s lõm  0; s  Ta có:  a , a , a   a , b, c  Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.3) cho hàm y  f  x  x s  x , ta đ c: f  a   f b   f  c   f  a   f  a   f a   a  s  a   b  s  b   c  s  c    a  s  a   a  s  a   b  s  b   c  s  c    a bca bc a bc    3    a  s  a   b  s  b   c  s  c    a bc a bc  a  s  a   b s  b  c  s  c  a  b  c 2  a bc  2.s D u b ng x y ch a  b  c  a hay tam giác ABC đ u V y b t đ ng th c (2.3.3) đ d) c ch ng minh 1    s s a s b s c (2.3.4) 75 Thang Long University Libraty Xét hàm s y  f  x  Ta có: v i  x  s sx s  x  y  x     y  x  0 2  s  x  s  x  s  x y  f  x  hàm s l i  0; s  Ta có:  a , a , a  sx Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.2) cho hàm y  f  x  v i  x  s nên  a , b, c  , ta đ sx c: f  a   f  a   f  a   f  a   f b   f  c    1    s a s a s b s c  1   s a s b s c a bc a bc  18 1     a bc s a s b s c 1     s s a s b s c D u b ng x y ch a  b  c  a hay tam giác ABC đ u V y b t đ ng th c (2.3.4) đ 2) c ch ng minh a  b2  c2 £   a  b  c 2 Hàm s y  f  x  Ta có:  a ,a ,a  x2  2s   a ,b,c  (2.3.5) hàm s l i  s s  s, ,   2 Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.2) cho hàm y  f  x  76 x2  2s  , ta đ c: s f  a   f  a   f  a   f  a   f b   f  c   f  s   f    2 a a2 b2 c2 s2       2 2 2 s s s s          2s  s f  2 s s     2      2  2s   2s  a bc   a2 b2 c2 1         2 2  a  b  c   2s   2s   2s   a2 b2 c2      s 2  s 2  s 2 D u b ng x y b t đ ng th c v trái ch a  b  c  a hay tam giác ABC tam giác đ u D u b ng x y b t đ ng th c v ph i ch  a  s a  b  c  s   b   b  a  c  a  b  c  (vô lỦ)  c  a  b  s  c  a2 b2 c2    Do  2  2s   2s   2s  V y b t đ ng th c (2.3.5) đ c ch ng minh 2.4 M TăS ăH ăTH CăKHÁCăTRONGăTAMăGIÁCă BƠiă2.4.1 1) Cho tam giác ABC G i 1  BAC ,   ABC ,   BCA ba góc tam giác th a mãn     Khi y 77 Thang Long University Libraty cos + cos + cos  (2.4.1.1) é ù Ch ngăminh Xét hàm s y = f (x)= - cos x ê- ; ú êë 2 ú ỷ ộ ự yÂ(x)= sin x ị yÂÂ(x)= cos x ³ v i x Ỵ ê- ; ú nên hàm s êë 2 ú û Ta có é ù y = f (x)= - cos x hàm l i ê- ; ú êë 2 ú û Do     nên ta có ìï ïï  1; ïï ïï íï      = + ïï 4 ïï ïï    + + ïïỵ 4 ổ Suy ra: ỗỗ , , ữ ữ ữ çè 4 ø ; ( 1, , ) Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.2) cho hàm l i y = f (x)= - cos x , ta đ   f  1   f     f     f    2  cos1  cos  cos  cos  cos1  cos  cos  cos     f   4   f  4    cos  cos  cos1  cos  cos  78   cos  c: D u b ng x y b t đ ng th c v ph i ch = , = = hay tam giác ABC tam giác vuông cân V y b t đ ng th c (2.4.1.1) đ c ch ng minh 2) Cho tam giác ABC, g i a , b, c ( a  b  c ) ba c nh c a tam giác th a mãn  a  b  c  1, a + b + c = Khi y: + a2 + + b2 + + c2  Ch ngăminh Xét hàm s y = f (x)= Ta có: y¢(x)= x Þ y¢¢(x)= 4+ x hàm s y = f (x)= ( 5+ ) (2.4.1.2) + x2 [- 2;2] (4 + x ) 2 4+ x > v i xỴ [- 2;2] nên + x2 hàm l i [- 2;2] Do  a  b  c  1, a + b + c = nên ta có: ìï  a ; ïï í +  - c = a + b; ïï ïïỵ + + = a + b + c Suy ra: (2,1,1) (a , b, c) Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.2) cho hàm l i y = f (x)= + x2 , ta đ c: f  a   f  b   f  c   f    f 1  f 1   a   b   c   2   12   12   a   b2   c2     D u b ng x y   2 b t đ ng th c v ph i ch a = 2, b = c = V y b t đ ng th c (2.4.1.2) đ c ch ng minh 79 Thang Long University Libraty BƠiăt pă2.4.2ăG i 1  BAC ,   ABC ,   BCA ba góc tam giác ABC Ta có b t đ ng th c sau (đ c ch ng minh nh b t đ ng th c Jensen – m t h qu c a B đ tr i Shur): 1  3 1) sin 1.sin  sin 3 £ sin 2) sin 3) sin 1 1  sin  sin 2 2  sin  sin 3 4) Gi s  1, 2,3 £ 3 sin   33 sin 3  31 ³ 12  tan  1  tan Khi đó: 2  tan 3 ³ 3 1   ³ cos1 cos cos3 5) Gi s  1, 2,3 <  Khi đó:   tan  i i 1 3   tan  i £ cos 2 i 1 Ch ngăminh 1) sin 1.sin  sin 3 £ sin 1  3 sin   33 sin 3  31 (2.4.2.1) Xét hàm s y  f  x  sin x v i x   0;  Ta có: y  x  cos x  y  x   sinx  v i x  0;  nên y  f  x  sin x hàm lõm  0;  Theo b t đ ng th c Jensen ta có:    3  f             f 1   f   f  4   80  sin 1  3  sin 1  3.sin  (1) M t khác theo b t đ ng th c Cauchy, ta có: sin 1  3.sin   sin 1  sin   sin   sin    sin 1.sin  (2) T (1) (2) ta có sin T 1  3  sin 1.sin  (3)  sin  sin 3 (4)  sin  sin 1 (5) ng t , sin   33 sin   31 4 T (3), (4), (5) suy sin 1.sin  sin 3 £ sin 1  3 sin   33 sin 3  31 D u b ng x y ch 1     hay tam giác ABC đ u V y b t đ ng th c (2.4.2.1) đ 2) sin 1  sin 2  sin Xét hàm s y  f  x  3 c ch ng minh ³ 12 (2.4.2.2)    0;  sin x  2 81 Thang Long University Libraty Ta có: y  x   y  f  x  2cos x 2sin x  6cos x       v i x   0;  nên y x   sin x sin x  2 hàm l i sin x    0;   2 M t khác tam giác ABC ta có  1  3 , 2 ,   Theo b t đ ng th c Jensen ta có:  1        1 f     3     f  1 2   f       f      1 1              sin 1 sin  sin  sin   2     sin 1  sin 2  sin 3  sin 2        12 D u b ng x y ch 1     hay tam giác ABC đ u V y b t đ ng th c (2.4.2.2) đ 3) sin 1  sin 2  sin 3 c ch ng minh  tan 1  tan 2  tan x x Xét hàm s y  f  x  sin  tan  0;  2 sin x x Ta có: y  x  cos  2 2cos3 x 82 3 ³ 3 (2.4.2.3) x x sin x    cos3 x   v i x  0;  nên  y  x   sin    2cos3 x 4cos3 x  2 2 sin x x y  f  x  sin  tan hàm l i  0;  2 Theo b t đ ng th c Jensen ta có:      3  f    f 1   f    f 3      sin  sin  1  3tan  sin  2  sin  sin 1 3 2  sin  tan 1  sin  tan 3 2  tan  tan 1 3  tan  2  tan 3  D u b ng x y ch 1     hay tam giác ABC đ u V y b t đ ng th c (2.4.2.3) đ 4) Gi s  1, 2,3   c ch ng minh Khi 1   ³ cos1 cos cos3 Xét hàm s y  f  x  Ta có: y  f  x  y  x  (2.4.2.4)    0;  cos x  2 sinx  sin x    0 y x   cos x cos3 x hàm l i cos x v i   x   0;   2 nên    0;   2 Theo b t đ ng th c Jensen ta có: 83 Thang Long University Libraty      3  f    f 1   f    f 3        1 1               cos 1 cos  cos   cos     1 1        cos 1 cos  cos   cos 1 1     cos 1 cos cos D u b ng x y ch 1     hay tam giác ABC đ u V y b t đ ng th c (2.4.2.4) đ T c ch ng minh ng t , ta có b t đ ng th c sau: 4b) Cho tam giác ABC G i 1 ,  ,  ba góc tam giác Khi y 1   ³ sin 1 sin  sin  5) Gi s  1, 2,3 <  Khi đó: 3   tan  i i 1 3   tan  i £ cos i 1 Xét hàm s y  f  x  tan x  0;  84 2 (2.4.2.5) Ta có: y  x  2  4sin x     v i x  0;  nên y x t anx   cos x cos x y  f  x  tan x hàm l i  0;  Theo b t đ ng th c Jensen ta có:      3  f    f 1   f    f 3          3  2  tan     tan 1  tan   tan 3    2     tan 1  tan   tan    tan    3     tan   3  cos2    cos2    3  tan 1  tan   tan  3  tan 1  tan   tan 3  1  tan 1  tan   tan 3 2 2 2   tan 1  tan   tan    cos  3  tan 1  tan   tan  3    tan  i i 1 3   tan  i £ cos 2 i 1 D u b ng x y ch 1     hay tam giác ABC đ u V y b t đ ng th c (2.4.2.5) đ c ch ng minh 85 Thang Long University Libraty K tălu năCh Ch ngă2 ng trình bày ng d ng c a b t đ ng th c tr i (B đ tr i Shur, 1923) h qu c a vi c ch ng minh b t đ ng th c tam giác, c th b t đ ng th c liên quan đ n góc tam giác, m t s b t đ ng th c liên quan đ n c nh m t s h th c khác tam giác Qua cho th y th m nh c a b đ tr i vi c ch ng minh b t đ ng th c tam giác r t phong phú, đa d ng hi u qu Ch c n s d ng h p lỦ b t đ ng th c tr i h qu c a ta có th ch ng minh đ cr t nhi u b t đ ng th c liên quan đ n tam giác m t cách đ n gi n, hi u qu c ng t cho ta sáng t o nhi u b t đ ng th c khác liên quan đ n tam giác Ngoài ra, Ch ng c ng trình bày m t s cách ch ng minh khác c a m t s b t đ ng th c quen thu c đ qua ta th y, s d ng ph ng pháp bi n đ i đ i s , l ng giác hóa, hàm s , th c ng k nh so v i áp d ng b đ tr i m t cách h p lỦ 86 ng ph c t p K TăLU NăVĨăKHUY NăNGH 1.ăK tălu n Ch c n M T b t đ ng th c tr i (hay b t đ ng th c Karamata) h qu c a nó, ta có th ch ng minh đ c R T NHI U b t đ ng th c tam giác S d ng B đ tr i m t cách linh ho t cho ta k t qu mà không c n bi n đ i c ng k nh, ph c t p nh m t s ph th ng pháp thông ng khác Hy v ng r ng, nhi u b t đ ng th c m i khác nói chung, tam giác nói riêng, có th suy đ c t b t đ ng th c tr i ho c m r ng c a 2.ăKhuy năngh Hy v ng lu n v n có th dùng làm tài li u tham kh o cho giáo viên sinh viên toán tr tr ng s ph m, b i d ng h c sinh gi i tốn ng trung h c ph thơng, rèn luy n đ i n thi gi i c p t nh, qu c gia qu c t Hy v ng đ tài s đ đ c ti p t c nghiên c u, m r ng phát tri n, c ng d ng r ng rãi nghiên c u, h c t p c a h c sinh trung h c ph thông sinh viên tr ng i h c, H c vi n Hy v ng r ng vi c ch ng minh b t đ ng th c tam giác b ng ph đ ng th c tr i, s tr thành m t nh ng ph ng pháp s d ng B t ng pháp quen thu c c a h c sinh, sinh viên ch ng minh b t đ ng th c nói chung, b t đ ng th c tam giác nói riêng 87 Thang Long University Libraty TĨIăLI UăTRệCHăD N [1] Ph m Kim Hùng (2006), Sáng t o b t đ ng th c, NXB Tri th c [2] Nguy n V n M u (Ch biên) (2004), M t s chuyên đ ch n l c b i d ng h c sinh gi i, Tr [3] Tr n Ph ng i h c Khoa h c T nhiên ng (2009), Nh ng viên kim c ng b t đ ng th c toán h c, Nhà xu t b n Tri th c [4] T Duy Ph ng (2004, 2006), Ph ng trình b c ba h th c tam giác, Nhà xu t b n Giáo d c [5] Lê H QuỦ (18, 19/4/2011), B t đ ng th c Karamata m t vài ng d ng, H i th o Các chuyên đ Toán h c b i d ng h c sinh gi i c p THPT t ch c t i Phú Yên [6] Cao Minh Quang, http://sachsangtao.com/bvct/sach-tham-khao/414/bdtkaramata-va-mot-so-ung-dung-cao-minh-quang.html [7] M S Klamkin (2002), On a “Problem of the Month”, Crux, Vol 28, 8690 [8] A W Marshall, L Olkin and B C Arnold (2011 (Second Edition)), Inequalities: Theory of Majorization and Its applications, in Springer Series in Statistics, N Y., 909 pages [9] D.S Mitrinovic, J.E Pecaric, V Volenec (1989): Recent Advances in Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers 88