Luận văn thạc sĩ toán phương pháp nhiễu của nửa nhóm và ứng dụng trong mô hình quần thể sinh học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - ĐINH THỊ HẠNH PHƯƠNG PHÁP NHIỄU CỦA NỬA NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH QUẦN THỂ SINH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - ĐINH THỊ HẠNH PHƯƠNG PHÁP NHIỄU CỦA NỬA NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH QUẦN THỂ SINH HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2014 Mục lục Nửa nhóm liên tục mạnh toán tử sinh 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các tính chất sơ cấp 1.2 Toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh 1.2.1 Định nghĩa tính chất toán tử sinh 1.2.2 Nửa nhóm liên tục 1.3 Giải thức 1.3.1 Biểu diễn tích phân giải thức 1.3.2 Các định lý toán tử sinh nửa nhóm Bài 2.1 2.2 2.3 2.4 toán nhiễu nửa nhóm liên tục mạnh Bài toán Cauchy đặt chỉnh Nhiễu bị chặn nửa nhóm liên tục mạnh Sự tồn nghiệm phương trình tích phân Volterra Họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt 4 7 11 14 14 17 22 22 25 31 36 Dáng điệu tiệm cận phương trình tiến hóa tuyến tính ứng dụng 3.1 Sự tương đương tiệm cận họ toán tử tiến hóa 3.1.1 Sự tương đương tiệm cận nửa nhóm liên tục mạnh họ toán tử tiến hoá liên tục mạnh 3.1.2 Sự tương đương tiệm cận nửa nhóm liên tục mạnh họ toán tử tiến hoá liên tục mạnh đủ tốt 3.1.3 Sự tương đương tiệm cận họ toán tử tiến hoá 3.2 Một số ứng dụng mô hình quần thể sinh học 3.2.1 Về tính chất nghiệm toán dân số phụ thuộc vào tuổi 3.2.2 Tính chất nghiệm toán dân số có phụ thuộc vào tuổi phân bố dân cư 41 41 41 46 47 50 50 52 Mở Đầu Trong thời gian gần yêu cầu đòi hỏi từ mô hình ứng dụng, lý thuyết định tính phương trình vi phân không gian Banach phát triển mạnh mẽ Các kết nhận tính ổn định phương trình vi phân không gian Banach ứng dụng cho việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân hàm, đồng thời sử dụng việc nghiên cứu mô hình ứng dụng như: mô hình quần thể sinh học, mạng nơron thần kinh, vật lý học Một vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, tính chất nghiệm phương trình tiến hóa trừu tượng bị nhiễu mối tương quan họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh không gian Banach Mục đích luận văn sử dụng phương pháp nhiễu nửa nhóm việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận phương trình tiến hoá trừu tượng, để từ đưa ứng dụng vào mô hình dân số Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày định nghĩa, tính chất nửa nhóm liên tục mạnh số định lý quan trọng toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh ([1, 2, 5, 9, 10]) Chương hai trình bày toán nhiễu nửa nhóm, định nghĩa tính chất họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt ([6, 7, 8, 12]) Chương ba trình bày tương đương tiệm cận định lý liên quan; Từ đưa mô hình dân số phụ thuộc vào tuổi ([3, 4, 11, 13]) Bản luận văn thực hướng dẫn PGS TS Đặng Đình Châu Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều công sức thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ việc hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo thầy cô khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn phòng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cám ơn thầy bạn seminar Phương trình vi phân động viên ý kiến trao đổi quí báu thân thời gian qua Cuối muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa tinh thần vật chất cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong nhận góp ý quý thầy, cô bạn Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Đinh Thị Hạnh Chương Nửa nhóm liên tục mạnh toán tử sinh 1.1 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Một họ (T (t))t≥0 toán tử tuyến tính bị chặn không gian Banach X gọi nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0 − nửa nhóm) thỏa mãn điều kiện sau: T (t + s) = T (t)T (s) với t, s ≥ T (0) = I lim+ T (t)x = x với x ∈ X t→0 Chú ý 1.1 Nếu (T (t))t∈R ⊂ L(X) thỏa mãn điều kiện với t, s ∈ R ta có nhóm liên tục mạnh Nếu (T (t))t≥0 C0 − nửa nhóm ánh xạ t → T (t)x liên tục R+ với x ∈ X Ví dụ 1.1 Xét nửa nhóm (T (t))t≥0 không gian C0 = C0 (R), xác định bởi: C0 (R) = {f ∈ C(R) : lim f (s) = 0} s→±∞ Với chuẩn ||f || = sup |f (s)| Ta có (C0 , ||.||) không gian Banach s∈R ∀t ≥ 0, ta định nghĩa: (Tl (t)f )(s) = f (t + s), ∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R (Tr (t)f )(s) = f (s − t), ∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R Khi (Tr (t))t≥0 (Tl (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh C0 , gọi tương ứng nửa nhóm dịch chuyển phải trái C0 Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp nửa nhóm dịch chuyển trái, trường hợp nửa nhóm dịch chuyển phải chứng minh tương tự Trước hết ta chứng minh (Tl (t))t≥0 nửa nhóm Thật vậy: ∀t, h ≥ 0, ∀f ∈ C0 , s ∈ R, ta có: (Tl (t + h)f )(s) = f (t + h + s) = (Tl (t)f )(h + s) = (Tl (t)Tl (h))f (s), suy Tl (t + h) = Tl (t)Tl (h) Tiếp theo chứng minh tính liên tục mạnh (Tl (t))t≥0 ; Tức là, ta cần với f ∈ C0 lim ||Tl (t)f − f || = lim sup |f (t + s) − f (s)| = t→0+ t→0+ s∈R Vì f ∈ C0 suy f liên tục R tồn giới hạn lim f (s) = nên f s→±∞ liên tục R Do đó: ∀ǫ > 0, ∃δ > cho : ∀s1 , s2 : |s1 − s2 | < δ ta có: |f (s1 ) − f (s2 )| < ǫ Khi đó, với t mà ≤ t < δ, |t + s − s| < δ, ta có: |f (t + s) − f (s)| < ǫ, ∀s ∈ R Từ suy sup |f (t + s) − f (s)| ≤ ǫ, ∀t : ≤ t < δ s∈R Theo định nghĩa giới hạn ta có: lim+ sup |f (t + s) − f (s)| = t→0 s∈R Vậy (Tl (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh 1.1.2 Các tính chất sơ cấp Bổ đề 1.1 ([8]) Giả sử X không gian Banach F hàm từ tập compact K ⊂ R vào L(X) Khi khẳng định sau tương đương (a) F liên tục với tô pô toán tử mạnh, tức ánh xạ K ∋ t → F (t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ X (b) F bị chặn K ánh xạ K ∋ t → F (t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ D ⊂ X, D trù mật X (c) F liên tục tôpô hội tụ tập compact X , tức ánh xạ K × C ∋ (t, x) → F (t)x ∈ X liên tục tập compact C X Định lý 1.1 Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 không gian Banach X Khi tính chất sau tương đương: (a) Nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh (b) lim+ T (t)x = x, ∀x ∈ X t→0 (c) Tồn δ > 0, M ≥ tập trù mật D ⊂ X cho: i.||T (t)|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], ii lim T (t)x = x, ∀x ∈ D t→0+ Chứng minh (a) ⇒ (c.ii) Vì (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach nên ta có: lim+ T (t)x = T (0)x = x, ∀x ∈ D (D trù mật X ) t→0 (a) ⇒ (c.i) Giả sử ngược lại, tức tồn dãy (δn )n∈N ⊂ R+ hội tụ đến thỏa mãn ||T (δn )|| → ∞ n → ∞ Theo nguyên lý bị chặn đều, tồn x ∈ X thỏa mãn (||T (δn )x||)n∈N không bị chặn Điều mâu thuẫn với T (.)x liên tục t = (do (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh) (c) ⇒ (b) Đặt K = {tn : n ∈ N} ∪ {0} với dãy (tn )n∈N ⊂ [0, ∞) hội tụ đến Khi K ⊂ [0, ∞) compact, T (.)|K x liên tục ∀x ∈ D Do đó, áp dụng bổ đề 1.1 (b) ta T (.)|K x liên tục ∀x ∈ X, tức là: lim T (tn )x = x, n→∞ ∀x ∈ X Vì (tn )n∈N chọn tùy ý nên (b) chứng minh (b) ⇒ (a) Giả sử t0 > x ∈ X Khi đó: lim ||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 )||.|| lim ||T (h)x − x|| = 0, h→0+ h→0+ suy (T (t))t≥0 liên tục phải Với h < 0, ta có: ||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 + h)||.||x − T (−h)x||, từ dẫn đến tính liên tục trái, ||T (t)|| bị chặn ∀t ∈ [0, t0 ] Vậy (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh Định lý 1.2 Với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 tồn số w ∈ R M ≥ cho: ||T (t)|| ≤ Mewt , ∀t ≥ (1.1) Chứng minh Chọn M ≥ thỏa mãn ||T (s)|| ≤ M, ∀0 ≤ s ≤ Với t ≥ lấy t = s + n, ∀n ∈ N ≤ s < Khi đó: ||T (t)|| = ||T (s + n)|| = ||T (s).T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (1)||n ≤ M n+1 = Men ln M ≤ Mewt , với w = ln M t ≥ Định nghĩa 1.2 Cho nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 , số ω0 định nghĩa sau: ω0 = ω0 (T ) = inf{w ∈ R : tồn Mw ≥ thỏa mãn ||T (t)|| ≤ Mw ewt , ∀t ≥ 0} goi cận tăng trưởng nửa nhóm Xét trường hợp đặc biệt: - Nếu w = 0, nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi nửa nhóm bị chặn - Nếu w = M = 1, nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi là nửa nhóm co - Nếu ||T (t)x|| = ||x||, ∀t ≥ x ∈ X, nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi nửa nhóm đẳng cự Ví dụ 1.2 Theo đinh lý (1.2) ta có ω < +∞ ω0 = −∞ Chẳng hạn: Trong không gian L1[0;1] , ta xét nửa nhóm tịnh tiến trái xác định bởi: T (t)f (s) = f (t + s) s + t ≤ s + t > Ta có: T (t) = 0, ∀t > 1 Với t thỏa mãn ≤ t ≤ 1, ta có ||T (t)f || = || T (t)f (s)ds|| ≤ ||f || Từ suy ||T (t)|| ≤ Với ω < cố định, chọn M cho M ≤ e−ω Khi đó: ||T (t)|| < ≤ M.eω ≤ M.eωt , ∀t ≥ Vậy ω0 = −∞ 1.2 Toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh 1.2.1 Định nghĩa tính chất toán tử sinh Để xây dựng khái niệm toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 1.2 Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh phần tử x ∈ X Đối với ánh xạ quỹ đạo ξx : t → T (t)x, tính chất sau tương đương: (a) ξx (.) khả vi R+ (b) ξx (.) khả vi bên phải t = Chứng minh Chúng ta cần (b) ⇒ (a) Thật vậy: Với h > 0, ta có: lim h→0+ 1 (T (t + h)x − T (t)x) = T (t) lim (T (h)x − x) + h h→0 h = T (t)ξ˙x (0), suy ξx (.) khả vi bên phải R+ Mặt khác, với −t ≤ h < ta có: 1 (T (t + h)x − T (t)x) − T (t).ξ˙x (0) = T (t + h) (x − T (−h)x) − ξ˙x (0) h h + T (t + h)ξ˙x (0) − T (t)ξ˙x (0) (1.2) Khi h → 0− hạng tử vế phải hội tụ đến ||T (t + h)|| bị chặn Phần lại hội tụ đến tính liên tục mạnh (T (t))t≥0 Do ξx khả vi bên trái R+ Vậy ξx (.) liên tục R+ ξ˙x (t) = T (t)ξ˙x (0), ∀t ≥ (1.3) Định nghĩa 1.3 Toán tử sinh A : D(A) ⊆ X → X nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 không gian Banach X toán tử Ax = ξ˙x (0) = lim+ (T (h)x − x), h→0 h (1.4) xác định với x miền xác định D(A) = {x ∈ X : ξx khả vi R+ } (1.5) Theo bổ đề 1.2, ta thấy miền xác định D(A) tập tất phần tử x ∈ X mà ξx (.) khả vi bên phải t = Do đó: D(A) = {x ∈ X : lim h→0+ (T (h)x − x) tồn tại} h (1.6) Miền D(A) không gian vector ký hiệu toán tử sinh (A, D(A)) Chúng ta thường viết A coi miền xác định cho (1.6) nghịch tồn chuẩn (|||.|||) tương đương với chuẩn xuất phát cho |||T (t0)||| = |||T −1(t0 )||| = Định lý 3.1 Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh sinh (A, D(A)) không gian Banach X Khi điều kiện sau tương đương: a) (T (t))t≥0 song ổn định b) (T (t))t≥0 thác triển thành nhóm giới nội X c) (T (t))t≥0 thác triển thành nhóm đẳng cự (T (t))t∈R không gian Banach có chuẩn tương đương với chuẩn xuất phát d) Với λ ∈ R\{0} ta có λ ∈ ρ(A) tồn M ≥ cho ||[λR(λ, A)]n|| ≤ M, ∀n ∈ N Chứng minh a) ⇒ b) Theo giả thiết a) tồn t0 > cho T (t0 ) khả nghịch nên (T (t))t≥0 thác triển thành nhóm liên tục mạnh (T (t))t∈R Ta chứng minh nhóm giới nội Thật vậy, đặt T+ (t) = T (t) T− (t) = T (−t) với t ≥ Do (T+ (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh nên tồn số M1 > cho sup |||T+ (t)||| ≤ M1 0≤t≤t0 Với t ≥ t0 , ta có t = nt0 + s (n ∈ N, ≤ s < t0 ) Từ ta suy T+ (t) = (T+ (t0 ))n T+ (s), suy |||T+ (t)||| ≤ |||T+ (t0 )|||n.|||T+ (s)||| ≤ M1 Vậy, ta có: sup |||T+ (t)||| ≤ M1 t≥0 Lập luận tương tự ta có: sup |||T− (t)||| ≤ M2 t≥0 Đặt M3 = max{M1 , M2 }, đó: sup |||T (t)||| ≤ M3 t∈R Điều có nghĩa (T (t))t∈R nhóm giới nội (X, |||.|||) Vì |||.||| tương đương với chuẩn xuất phát (||.||) nên (T (t))t∈R nhóm giới nội (X, ||.||) 42 b) ⇒ c) Đặt ||x||1 := sup ||T (t)x|| suy b) ⇒ c) t∈R c) ⇒ d) Từ giả thiết c) suy (T (t))t≥0 thác triển thành nhóm giới nội (X, ||.||), tức tồn M4 ≥ cho với t ∈ R, ta có: ||T (t)|| ≤ M4 Với λ > 0, theo Định lý 1.7 chương ta có: ∞ e−λs T (s)xds R(λ, A)x = Lý luận tương tự hệ 1.1 chương ta có: (−1)n−1 dn−1 R(λ, A)x (n − 1)! dλn−1 ∞ sn−1 e−λs T (s)xds = (n − 1)! R(λ, A)n x = Từ suy ra: ||[λR(λ, A)]n|| ≤ M4 , ∀n ∈ N, λ > Chú ý R(−λ, A) = −R(λ, −A) với λ ∈ −ρ(A) = ρ(−A) nên nhận đánh giá tương tự cho trường hợp λ < Chọn M = M4 ta có điều phải chứng minh d) ⇒ a) Từ giả thiết d) ta có: ||[λR(λ, A)]n|| ≤ M, n ∈ N Tương tự chứng minh Định lý 1.9 chương xây dựng chuẩn X sau: |||x||| := sup{sup ||µnR(µ, A)n x||}, ∀n ∈ N µ>0 n≥0 Lặp lại kỹ thuật chứng minh Định lý 1.9 chương 1, ta có: |||λR(λ, A)||| ≤ 1, ∀λ > Điều dẫn đến (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm co (T+ (t))t≥0 Tương tự trường hợp λ < ta (-A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm co (T− (t))t≥0 Từ ta có nhóm co (T (t))t∈R thỏa mãn điều kiện: sup |||T (t)||| ≤ t∈R Theo định nghĩa (3.10) suy (T (t))t≥0 song ổn định Như ta có d) ⇒ a) Định lý chứng minh 43 Bổ đề 3.1 Cho (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh không gian Hilbert X Giả sử B(.) : X → X thỏa mãn điều kiện B(.) ∈ Cb ([0, t1 ], Ls (X)) P : X → X phép chiếu trực giao X, giao hoán với T(t) thỏa mãn điều kiện a) (T (t)P )t≥0 nửa nhóm ổn định mũ b) (T (t)(I − P ))t≥0 nửa nhóm song ổn định Khi tồn t0 ∈ R+ cho ánh xạ F : X → X xác định bởi: ∞ T (t0 − τ )(I − P )B(τ )U(τ, t0 )xdτ F :x→ t0 ánh xạ tuyến tính giới nội thỏa mãn điều kiện: ||F || ≤ α < Chứng minh Đặt S(t) = T (t)P V (t) = T (t)(I − P ) Khi đó: (3.2) T (t) = S(t) + V (t), V (t − s) = T (t − t0 )V (t0 − s) Từ điều kiện b) bổ đề suy tồn số dương M5 cho với t ∈ R, ta có: ||T (t)(I − P )|| ≤ M5 ∞ t Do U(t, s)x = T (t − s)x + s T (t − ζ)B(ζ)U(ζ, s)xdζ, ∀x ∈ X, ||B(τ )|| < +∞ nên áp dụng bổ đề Gronwall-Bellman ta suy tồn số dương M6 cho ∀t ≥ t0 ≥ ta có: ||U(t, t0 )|| ≤ M6 Với α < ta tìm số ∆ > cho +∞ ||B(τ )||dτ ≤ t0 α , M5 M6 t0 ≥ ∆ > Khi đó, ta có: ∞ ||V (t0 − τ )||.||B(τ )||.||U(τ, t0)||dτ ||F || ≤ (3.3) t0 ∞ ≤ M5 M6 ||B(τ )dτ ≤ α < t0 Định lý 3.2 Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm giới nội sinh A ∈ L(X) thỏa mãn điều kiện a) b) bổ đề 3.1 Khi đó, (T (t))t≥0 (U(t, s))t≥s tương đương tiệm cận 44 Chứng minh Giả sử (S(t))t≥0 , (V (t))t≥0 nửa nhóm xây dựng chứng minh bổ đề (3.1) Chú ý từ điều kiện a) bổ đề suy tồn số dương ω, M7 cho: ||S(t)|| ≤ M7 e−ωt , ∀t ≥ Cho y0 ∈ X x0 = (I + F )y0 (F xác định bổ đề (3.1)) với t ≥ t0 , ta xét t y(t) = T (t − t0 )y0 + T (t − τ )B(τ )U(τ, t0 )y0 dτ t0 x(t) = T (t − t0 )x0 (3.4) ∞ V (t − τ )B(τ )U(τ, t0 )y0 dτ = T (t − t0 )y0 + t0 Ta có: y(t) − x(t) = suy t t0 T (t − τ )B(τ )U(τ, t0 )y0 dτ − τ )B(τ )U(τ, t0 )y0 dτ, ∞ t y(t) − x(t) = ∞ V (t − t0 S(t − τ )B(τ )U(τ, t0 )y0 dτ − t0 V (t − τ )B(τ )U(τ, t0 )y0 dτ t Do đó: ∞ t −ω(t−τ ) ||y(t) − x(t)|| ≤ M6 M7 ||y0|| e t ∞ t −ω(t−τ ) ≤ M8 ||B(τ )||dτ ||B(τ )||dτ + M5 M6 ||y0 || t0 e ||B(τ )||dτ ||B(τ )||dτ + M9 t t0 t   −ωt ≤ M8 e t0  t  ||B(τ )||dτ + t ||B(τ )||dτ  + M9 ∞ ||B(τ )||dτ, t với M8 = M6 M7 ||y0||, M9 = M5 M6 ||y0 || Mặt khác với số dương ǫ > tồn t∗ > 2t0 cho với t ≥ t∗ bất đẳng thức sau xảy ra: e t −ωt ||B(τ )||dτ < t0 t ǫ , 3M8 ǫ t ||B(τ )||dτ < 3M , ∞ ǫ ||B(τ )||dτ < 3M9 t 45 Khi đó:  ||y(t) − x(t)|| ≤ M8   < t t0 t  e−ω(t−τ )||B(τ )dτ + t e−ω(t−τ ) ||B(τ )||dτ  + M9  ǫ ǫ ǫ + + = ǫ 3 ∞ ||B(τ )||dτ t Suy lim ||y(t) − x(t)|| = t→∞ Chú ý rằng, I + F : X → X khả nghịch Do tồn song ánh tập nghiệm {x(t)} {y(t)} thỏa mãn định nghĩa tương đương tiệm cận (T (t))t≥0 (U(t, s))t≥s Định lý chứng minh 3.1.2 Sự tương đương tiệm cận nửa nhóm liên tục mạnh họ toán tử tiến hoá liên tục mạnh đủ tốt Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh sinh toán tử tuyến tính (A, D(A)) không gian Banach X Xét họ toán tử tiến hoá liên tục mạnh đủ tốt (U(t, s))t≥s≥0 xác định bởi: t U(t, s)x = T (t − s)x + T (t − ζ)B(ζ)U(ζ, s)dζ, ∀x ∈ X, s B(.) : [0, t1 ] → L(X) đo mạnh [0, t1 ] thoả mãn điều kiện: ess sup ||B(t)|| < ∞ (3.5) 0≤t≤t1 Định nghĩa 3.3 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 họ toán tử tiến hóa (U(t, s))t≥s≥0 gọi tương đương tiệm cận L∞ ([0, t1 ], L(X)) với x ∈ X, tồn y ∈ X cho: lim ess sup ||T (t − t0 )x − U(t, t0 )y|| = t→∞ ∆t1 hay lim ||T (t − t0 )x − U(t, t0 )y||∞ = 0, t→∞ ngược lại t0 ∈ R+ cố định Chứng minh tương tự bổ đề 3.1 Định lý 3.2 ta có kết sau Định lý 3.3 Cho (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh không gian Hilbert X Giả sử B(.) : X → X thỏa mãn điều kiện (3.5), P : X → X phép chiếu 46 trực giao X, giao hoán với T(t) thỏa mãn điều kiện: a) (T (t)P )t≥0 nửa nhóm ổn định mũ b) (T (t)(I − P ))t≥0 nửa nhóm song ổn định Khi tồn t0 ∈ R+ cho ánh xạ F : X → X xác định bởi: ∞ F :x→ T (t0 − τ )(I − P )B(τ )U(τ, t0 )xdτ t0 ánh xạ tuyến tính giới nội thỏa mãn điều kiện: ||F ||∞ ≤ α < Định lý 3.4 Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm giới nội sinh A ∈ L(X) thỏa mãn điều kiện a) b) Định lý (3.3) Khi (T (t))t≥0 (U(t, s))t≥s tương đương tiệm cận không gian L∞ ([0, t1 ], L(X)) 3.1.3 Sự tương đương tiệm cận họ toán tử tiến hoá Giả sử X không gian Banach, xét phương trình tiến hóa sau: dx(t) = A1 (t)x(t), t ≥ 0, dt dy(t) = [A1 (t) + B(t)]y(t), t ≥ 0, dt (3.6) (3.7) đó: B(.) : [0, ∞) → L(X) liên tục mạnh thỏa mãn điều kiện: ∞ (3.8) ||B(τ )||dτ < +∞ Ký hiệu (U1 (t, s))t≥s≥0 (U2 (t, s))t≥s≥0 họ toán tử tiến hóa tương ứng với phương trình (3.6) (3.7) Khi mối quan hệ chúng xác định phương trình sau: t U2 (t, s)x = U1 (t, s)x + U1 (t, τ )B(τ )U2 (τ, s)xdτ, x ∈ X, (3.9) s t ≥ s ≥ Định nghĩa 3.4 Họ toán tử tiến hóa (U1 (t, s))t≥s (U2 (t, s))t≥s gọi tương đương tiệm cận với x ∈ X tồn y ∈ X ngược lại cho: lim ||U1 (t, t0 )x − U2 (t, t0 )y|| = 0, t→∞ với t0 ∈ R+ cố định 47 Định nghĩa 3.5 Giả sử (U(t, s))t≥s≥0 họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh không gian Banach Khi (U(t, s))t≥s≥0 gọi song ổn định sup {||U(t, s)||, ||U(s, t)||} < +∞ (3.10) t≥s≥0 Từ định nghĩa ta thấy (U(t, s))t≥s≥0 họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh song ổn định (U(t, s))−∞[...]... chứng minh Nhận xét 1.1 Qua các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh ta thấy: - Đối với nửa nhóm liên tục mạnh có thể điều chỉnh để thành nửa nhóm bị chặn - Đối với nửa nhóm bị chặn có thể tìm một chuẩn tương đương để đối với chuẩn này nửa nhóm trở thành nửa nhóm co 21 Chương 2 Bài toán nhiễu của nửa nhóm liên tục mạnh Việc kiểm tra các điều kiện đặc trưng của toán tử sinh của nửa nhóm. .. nửa nhóm đồng dạng: Giả sử V là phép đẳng cự từ không gian Y lên không gian X và (S(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên Y cho bởi S(t) = V −1 T (t)V, trong đó (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên X Khi đó toán tử sinh của nửa nhóm (S(t))t≥0 là B = V −1 AV với miền xác định D(B) = {y ∈ Y : V y ∈ D(A)}, trong đó (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm (T (t))t≥0 Ta có σ(A) = σ(B) và giải thức của. .. lim u(t, xn ) = 0 đều trên [0, t0 ] n→∞ 2.2 Nhiễu bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh Bài toán: Cho A : D(A) ⊆ X → X là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 và xét toán tử thứ hai B : D(B) ⊆ X → X Tìm điều kiện để A + B sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t≥0 nào đó Khi đó, chúng ta nói rằng toán tử sinh A bị nhiễu bởi toán tử B hoặc B là nhiễu của A Tổng A + B được định nghĩa như sau:... = -A với miền xác định D(A + B) = D(A) Khi đó, A+ B là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (ii) Giả sử A : D(A) ⊆ X → X là toán tử sinh không bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Lấy S ∈ L(X) là một phép đẳng cấu sao cho: D(A) ∩ S(D(A)) = {0} Khi đó B = SAS −1 là toán tử sinh của nửa nhóm đồng dạng ST (t)S −1 nhưng A + B chỉ xác định trên... etA là nửa nhóm trong không gian Banach X Ta chứng minh nửa nhóm này liên tục đều Thật vậy, ta có: ∞ T (t) − I = n=1 Suy ra ∞ ||T (t) − I|| ≤ n=1 (tA)n n! tn ||A||n = et||A|| − 1 n! Khi đó lim+ ||T (t) − I|| = 0 t→0 Vậy (T (t))t≥0 = (etA )t≥0 là nửa nhóm liên tục đều Định lý 1.5 Toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục đều khi và chỉ khi nó là toán tử bị chặn (A ∈ L(X)) Chứng minh... co hoặc nửa nhóm liên tục mạnh là một công việc khó khăn và đối với nhiều toán tử quan trọng không thể thực hiện một cách trực tiếp Nhiễu là phương pháp cơ bản giúp ta tiếp cận việc giải quyết vấn đề này Trước khi xét bài toán nhiễu của nửa nhóm ta xét bài toán sau 2.1 Bài toán Cauchy đặt chỉnh Xét bài toán Cauchy trừu tượng với giá trị ban đầu:   u(t) ˙ = Au(t), ∀t ≥ 0 (ACP )  u(0) = x, trong đó... du 0 h = (A + B)x0 , x0 ∈ D(A) Hơn nữa, A + B là toán tử đóng nên suy ra A + B là toán tử sinh của S(t) Hệ quả 2.1 Cho (T (t))t≥0 và (S(t))t≥0 là hai nửa nhóm liên tục mạnh, trong đó toán tử sinh của (S(t))t≥0 nhận được từ toán tử sinh của (T (t))t≥0 bởi một nhiễu bị chặn Khi đó ||T (t) − S(t)|| ≤ Mt với mọi t ∈ [0; 1] và M là hằng số dương nào đó Chứng minh Ta có: t ||T (t)x − S(t)x|| = ||T (t − s)BS(s)x||ds... của các toán tử ta giả thiết một trong hai toán tử tham gia là bị chặn 26 Định lý 2.2 Giả sử A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach X và giả sử B ∈ L(X) Khi đó A + B là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh xác định bởi: t (2.1) T (t − s)BS(s)x0 ds, x0 ∈ X S(t)x0 = T (t)x0 + 0 Hơn nữa, nếu ||T (t)|| ≤ Meωt , ∀t ≥ 0 thì ||S(t)|| ≤ Me(ω+M ||B||)t , ∀t ≥ 0 Chứng... trị trong không gian Banach X , A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính, x ∈ X là giá trị ban đầu Định nghĩa 2.1 Hàm u : R+ → X được gọi là nghiệm (cổ điển) của bài toán Cauchy trừu tượng (ACP ) nếu u khả vi liên tục, u(t) ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và thỏa mãn (ACP ) Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 thì từ Định lý 1.3(ii) suy ra nửa nhóm cho ta nghiệm của bài toán Cauchy tương ứng. .. Ax + Bx, 25 với x ∈ D(A + B) = D(A) ∩ D(B) Trong một số trường hợp D(A + B) có thể là {0} Ví dụ 2.1 (i) Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh không bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh Khi đó D(A) = X Nếu lấy B = -A thì D(A) = D(B) và A + B = 0 xác định trên không gian con trù mật D(A), suy ra A + B không là toán tử đóng Do đó A + B không là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh nào Nếu lấy B = -2A thì ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - ĐINH THỊ HẠNH PHƯƠNG PHÁP NHIỄU CỦA NỬA NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH QUẦN THỂ SINH HỌC Chuyên... chất nghiệm phương trình vi phân hàm, đồng thời sử dụng việc nghiên cứu mô hình ứng dụng như: mô hình quần thể sinh học, mạng nơron thần kinh, vật lý học Một vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm,... Đối với nửa nhóm liên tục mạnh điều chỉnh để thành nửa nhóm bị chặn - Đối với nửa nhóm bị chặn tìm chuẩn tương đương để chuẩn nửa nhóm trở thành nửa nhóm co 21 Chương Bài toán nhiễu nửa nhóm liên