Khóa luận tốt nghiệp toán Nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ===ỈOEDG3=== Đổ THỊ HƯỜNG NHÚNG CHÌM NỬA NHÓM VÀO NHÓM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học ThS. NGUYỄN HUY HƯNG HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian thực hiện khóa luận, dưới sự hướng dẫn tận tình của giáo viên hướng dẫn, các giáo viên trong khoa Toán và được phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi, tôi đã có một quá trình nghiên cứu tìm hiểu và học tập nghiêm túc để hoàn thành khóa luận. Kết quả đạt được không chỉ do nỗ lực cá nhân tôi mà còn có sự giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và bạn bè. Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Đặc biệt là thày giáo Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này. Trong quá trình thực hiện và trình bày khóa luận không thể tránh khỏi những sai sót và hạn chế. Do vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét của quý thầy cô và các bạn để đề tài của tôi hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Đề tài chưa được công bố trong bất cứ chương trình nghiên cứu khoa học nào. Hà Nội, ngày tháng năm Sinh viên Khóa luận tôt nghiệp r Đỗ Thị Hường MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tôt nghiệp r LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết nửa nhóm là một phần tương đối trẻ của toán học. Như một hướng tách biệt của đại số với mục tiêu riêng của nó. Việc xác định rõ các bài toán và phương pháp nghiên cứu của lý thuyết nửa nhóm được hình thành cách đây khoảng 70 năm. Một ừong các động cơ chính đối với sự tồn tại một lý thuyết toán học nào đó là những ví dụ thú vị và sự tự nhiên. Khi nghiên cứu về lý thuyết nửa nhóm nó sẽ giúp ta tìm hiểu được thông tin càn thiết về các tính chất của những nhóm chứa trong nửa nhóm đó. Ngày nay lý thuyết nửa nhóm có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu một số ngành cơ bản như: toán học, vật lý Lý thuyết nhóm và lý thuyết nhóm có những sự liên hệ và tương phản với nhau rất thú vị, và vấn đề này đã được nhiều nhà khoa học nghiên cứu. Xuất phát từ điều này, tôi quyết định chọn đề tài: “Nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm” để nghiên cứu. Nó cũng là một phần ừong sự liên hệ và tương phản của nhóm và nửa nhỏm. Tôi hi vọng sẽ đưa ra được một số kết quả làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các kết quả của sự nhúng chìm nửa nhóm vào nhỏm. 3. ĐỔỈ tượng nghiên cứu - Tính nhúng được của nửa nhóm giản ước giao hoán trong nhóm - Tính nhúng được của nửa nhóm bất kì ừong nhóm 4. Phạm vỉ nghiên cứu Tính nhúng được của một nửa nhóm trong một nhóm Khóa luận tôt nghiệp r Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 4 5. Nhiệm yụ nghiên cứu - Các khái niệm cơ bản và định lý có liên quan. - Tính nhúng được của nửa nhóm giản ước giao hoán trong nhóm - Nhóm tự do trên một nửa nhóm - Bài toán tổng quát về nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm - Các điều kiện Ptắc - Xây dựng nhóm các thương 6. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: các tài liệu lý thuyết nửa nhóm đại cương, tài liệu dịch, luận văn. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC Cơ SỞ 1.1. Nửa nhóm giao hoán giản ước được 1.1.1. Định nghĩa. Nửa nhóm s được gọi là NỬA NHÓM GIAO HOÁN nếu phép toán trên s có tính chất giao hoán. Khi đó các phép toán trên s thường được ký hiệu theo lối cộng. Nếu s là vị nhóm với phép toán cộng thì đơn vị của s thường được gọi là PHẦN TỬ KHÔNG và ký hiệu bởi 0 . Giả sử (s,+) là một nửa nhóm không có đơn vị, khi đó s được nhúng vị nhóm s° =Su|t| trong đó t là một ký hiệu không thuộc s thoả mãn điều kiện X+t = t+x = X với mọi X eS°. Khi đó, t ừở thành phần tử đơn vị của s. Giả sử s là nhóm và A,B là các tập con khác rỗng của s. Ký hiệu A+B = | a+b|aeA,beB|. Khóa luận tôt nghiệp r Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 5 Tập con khác rỗng T của nửa nhóm s là NỬA NHÓM CON của s , nếu bản thân T là nửa nhóm với phép toán của Scảm sinh trên T, nghĩa là a,b eT kéo theo a+beT. Giả sử |s a |a GIj là một họ các nửa nhóm con của nửa nhóm s sao cho Pl khác rỗng.Thế thì T := Pl là một nửa nhóm con của s và là nửa nhóm con nhỏ nhất của s chứa trong các S a ,a e I . Giả sử B là một tập con khác rỗng của nửa nhóm s. Khi đó giao của tất cả các nửa nhóm con của s chứa B được gọi là NỬA NHÓM CON NHỎ NHẤT Khóa luận tôt nghiệp r Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 6 của s sinh bởi B và được ký hiệu là (B). Rõ ràng (B) chứa tất cả các phần n tử dạng y>. =bj +b 2 H— trong đó bị eB,Vi = l,2, ,n. Tập con khác rỗng I của nửa nhóm S được gọi là MỘT IĐÊAN của s nếu I=)S+I,VseS, trong đó s+I:={s+a|aelj. Giao của một họ tuỳ ý các iđêan của nửa nhóm s là một iđêan của s, nếu giao này khác rỗng. Giả sử B là một tập con khác rỗng của nửa nhỏm s. Thế thì Bu(B+S) là iđêan của s và là iđêan nhỏ nhất của s chứa B. Nếu s là một vị nhóm thì Bc(B+s)nên B+s là iđêan của s sinh bởi B. Giả sử I là một iđêan của s sao cho I^s, thế thì I được gọi là ỈĐÊAN NGUYÊN TỐ của s nếu x + yel kéo theo xel hoặc y el,(x,y eS). Như vậy một iđêan thực sự I của nửa nhóm s là iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu phàn bù S\I của I trong s là một nửa nhóm con của s. 1.1.2. Định nghĩa. Giả sử (s,+) là một vị nhóm giao hoán có đơn vị là 0. Khi đó, phàn tử seS được gọi là KHẢ NGHỊCH nếu tồn tại xeS sao cho s + x = 0. Tập họp G tất cả các phần tử khả nghịch của s tạo thảnh một nhóm con của s và là nhóm con lớn nhất của s chứa 0 . n Một tổng hữu hạn ^Sj các phần tử thuộc s là khả nghịch nếu và chỉ i=l nếu mỗi phàn tử Sị khả nghịch. Như vậy S\G là một iđêan nguyên tố của s nếu G^S. Nếu H là một nhóm con tuỳ ý của s chứa 0, thế thì cũng như trong trường hợp các nhóm H cảm sinh một phân hoạch s thành các lớp ghép rời nhau S+H. Thực tế, nếu quan hệ p trên s được xác định bởi apb nếu Khóa luận tốt nghiệp Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 7 a=b+h,heH nào đó, thế thì p là một quan hệ tương đương trên s và S+H là một p - lớp tương đương chứa s e s. 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử s là một nửa nhóm. Phần tử seS được gọi là GIẢN ƯỚC ĐƯỢC nếu s+a = s+b kéo theo a = b(a,beS). Giả sử c là tập hợp tất cả các phần tử giản ước được của s và c^(|). Thế thì c là nửa nhóm con của s. Khi đó, một tổng hữu hạn y^Sj các phần i=l tử thuộc c nếu và chỉ nếu mỗi Sj eC và tò đó s\c là một iđêan nguyên tố của s nếu s*c. Trong trường hợp s=c, ta nói s là MỘT NỬA NHÓM GIẢN ƯỚC ĐƯỢC. Một kết quả quan trọng trong Lý thuyết nhóm sơ cấp phát biểu rằng nhóm giản ước được hữu hạn là một nhóm. Hiển nhiên, một nửa nhóm con của một nhóm là giản ước được. Định lý 1.1.5 sau đây khẳng định kết quả ngược lại. 1.1.4. Định lý. Giả sử (>S,+)/à một nửa nhóm giao hoán và c là nửa nhóm con của s sao cho mỗi phần tử thuộc c giản ước được trong s, thế thì tồn tại một phép nhúng f từ s vào một vị nhóm giao hoán T sao cho các điều kiện sau đây thỏa mãn: (1) Với mỗi ceC,/(c) có một khả nghịch trong T (mà ta sẽ kỷ hiệu là -f(c)>■ T = ịf(s')—f(c)\seS,ceC}. Hơn nửa vị nhóm T được xác định bởi các tỉnh chất (1) và (2) sai khác đẳng cẩu nửa nhóm. Khóa luận tốt nghiệp Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 8 Nầi s là nửa nhóm giản ước được và s—C thì T là một nhóm. CHỨNG MINH. Chúng ta nêu lên cách xây dựng vị nhóm T tương tự như cách xây dựng vành các số nguyên từ tập hợp tất cả các số nguyên không âm. Giả sử A = SxC và ~ là quan hệ trên A xác định bởi nếu Sj + c 2 = s 2 +Cj. Vì c giản ước được nên ~ là quan hệ tương đương trên A. Ký hiệu [s,c] là lớp tương đương chứa (s,c) và T là tập tất cả các lớp tương đương [s,c] với seS,ceC. Thế thì, T cùng với phép toán cho bởi [s 1 ,c 1 ] + [s 2 ,c 2 ] = [s 1 +s 2 ,c 1 +c 2 ] là một vị nhóm đối với đơn vị là (c,c) với mọi ceC. Hơn nữa, ánh xạ f :S—»T xác định bởi f(s) = [s+c,c] là một phép nhúng từ s vào T. Nếu ceC, thế thì f(c) = [2c,c] có nghịch đảo [c,2 c] trong T, và một phàn tử [s,c] tuỳ ý thuộc T được viết dưới dạng [s+c,c]+[c,2c]=f (s)-f (c). Rõ ràng T được xác định (Bởi các tính chất (1) và (2) sai khác đẳng cấu nửa nhóm, nghĩa là nếu g:S—»T Là một phép nhúng từ s vào một vị nhóm giao hoánT sao cho hai điều kiện (1 ) và (2 ) được thoả mãn thì tồn tại một đẳng cấu nửa nhóm j: T —» T’ sao cho JOF = G, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán Hơn nữa, nếu s = c thì một phần tử tuỳ ý [r,c] của T có nghịch đảo [c,r] ừong T nên T là một nhóm. Điều này kết thúc phép chứng minh. □ 1.1.5. Định nghĩa . Vị nhóm thương được xây dựng trong phép chứng minh Định lý 1.1.4 được gọi là VỊ NHÓM THƯƠNG CỦA s THEO c. T’ Khóa luận tôt nghiệp r Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 9 Vì f là đơn cấu nên ta có thể đồng nhất f (s) với s, và như vậy mỗi phần tử của T được viết dưới dạng s - c để thay thế cho f (s) - f (c). Nếu s giản ước được, thế thì nhóm T trong Định lý 1.1.5 được gọi là nhóm thương của s và nếu không kể đến sự sai khác đẳng cấu thì T chính là nhóm aben nhỏ nhất mà s có thể được nhúng vào. 1.2. Nửa nhóm giao hoán sắp thứ tự được. Trong mục này chúng ta xác định lớp các nửa nhóm giao hoán thừa nhận một quan hệ thứ tự toàn phàn tương thích với phép toán nửa nhóm. 1.2.1. Định nghĩa, (i) Một quan hệ hai ngôi p trên nửa nhóm (S,+) được gọi là TƯƠNG THÍCH với phép toán nửa nhóm nếu apb kéo theo(a + x)p(b+x) đối với a,b,xeS. (ii) Một quan hệ hai ngôi p ừên một tập hợp s tuỳ ý được gọi là MỘT THỨ TỰ BỘ PHẬN nếu nó phản xạ, bắc cầu, phản xứng và thứ tự bộ phận p được gọi là THỨ TỰ TOÀN PHẦN ttên s nếu đối với các phần tử phân biệt a,b e S, hoặc apb hoặc bpa. Một quan hệ thứ tự bộ phận được ký hiệu bởi < và ký hiệu a > b hoặc b < a được sử dụng để chỉ b < a và b ^ a. (iii) Nửa nhóm s gọi là SẲP THỨ TỰ BỘ PHẬN ĐƯỢC (TƯƠNG ỨNG, SẮP THỨ TỰ TOÀN PHẦN ĐƯỢC) dưới quan hệ < nếu < là một thứ tự bộ phận ( tương ứng, thứ tự toàn phàn) trên s và < tương thích với phép toán nửa nhóm trên s. Chú ý. Giả sử (S, +) là một vị nhóm giao hoán với đơn vị là phần tử 0. Nếu {S a } as i là một họ các vị nhóm con của s chứa 0 thoả mãn điều kiện: Mỗi Khóa luận tôt nghiệp r Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 10 [...]... Giả sử (G, y) là nhóm tự do trên nửa nhóm s Nửa nhóm s có thể nhúng chìm được vào một nhóm khi và chỉ khi ánh xạ y là phép nhúng chìm nửa nhóm s vào G CHỨNG MINH Chỉ càn chứng minh điều kiện ắt có Giả thiết rằng s có thể nhúng chìm vào một nhóm, như thế tồn tại một đẳng cấu TỊ từ nửa nhóm s và nhóm H Hiển nhiên ta có thể xem S là tập các phần tử sinh của nhóm H Vậy (H, 7 7 ) là một s - nhóm và do đó vì... s có thể nhúng chìm vào Khóa luận tốt nghiệp một nhóm, thì nhóm tự do G trên s là nhóm lớn nhất trong các nhóm sinh bởi nửa nhóm s theo nghĩa là một nhóm bất kì sinh bởi nửa nhóm s đều là ảnh đồng cấu của nhóm G Khả năng nhúng chìm một nửa nhóm vào một nhóm chỉ phụ thuộc vào các nửa nhóm con hữu hạn sinh của nó Bổ đề 2.2.2.2 (a) Giả sử (S,/Ẩ) là nửa nhóm tự do trên M và M’ là một tập con không rỗng... là s - nhóm tự do, nên tồn tại một đồng cấu 0: G —> H sao cho ỴO = 7 7 Do đó ánh xạ 7 7 là một - một nên từ đó suy ra ánh xạ Ỵ cũng là một - một Vậy Ỵ nhúng chìm s vào G Ta nói rằng nhóm H là nhóm sinh bởi nửa nhóm s nếu tồn tại một đơn cấu Ọ từ nửa nhóm s vào H sao cho s Ọ là tập các phần tử sinh nhóm của nhóm Từ chứng minh định lý 2.2.2.1 suy ra rằng nếu s có thể nhúng chìm vào Khóa luận tốt nghiệp. .. và đẳng cấu Vậy nhóm tự do trên XỤ/, tức là trên X =MJU Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán s là một nửa 20 CHƯƠNG 2 NHÚNG CHÌM NỬA NHÓM VÀO NHÓM 2.1 Tính nhúng được của nửa nhóm giản ước giao hoán trong nhóm Định lý 2.1.1 (Định lý Ore) Cho s là nửa nhóm giao hoán giản ước được Khi đó s được nhúng vào một nhóm G qua đồng cấu cp : s —» G sao cho G = (p(s).(cp(s) ) ' 1 1 CHỨNG MINH: Cho s là nửa nhóm, ta có s là... lý 2.2.3.I Nửa nhóm s có thể nhúng chìm được vào một nhóm khi và chỉ khi pop1 = aopioa' 1 (xem các ký hiệu trong bổ đề 2.2.1.3) CHỨNG MINH: Giả sử nửa nhóm s nhúng chìm được vào một nhóm Khi đó theo định lý Đuybrây, ánh xạ Ỵ là một-một Do đó yoy ' 1 = ls Ta có PoP' 1 = Poyoy^oP' 1 = (Py)o (Py)"1 Nhưng ơy = cpp#i và vì vậy do các đẳng thức tP = Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 30 Khóa luận tốt nghiệp a và... hệ quả 2.2.3.2 suy ra ngay định lý Ptắc Định lý 2.2.3.4 Nửa nhóm s với luật giản ước nhúng chìm được vào một nhóm nếu một nhóm con của p, sinh bởi tập A, là một ước chuẩn của F 2.2.4 Xây dựng nhóm các thương Bổ đề 2.2.4.1, Nếu một nửa nhóm có thể nhúng chìm được vào một nhóm thì nó thỏa mãn điều kiện bằng nhau của các thương Giả sử s là một nửa nhóm với luật giản ước thỏa mãn điều kiện bằng nhau của... = T / Pi và Ỵ là ánh xạ Hpi* (=Hxpi*) từ nửa nhóm s vào Thế thì (G, y) là nhóm tự do trên s Ta sẽ gọi cặp (G, y) là nhóm các thương phải của nửa nhóm S: Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 35 Khóa luận tốt nghiệp z * QcT Kiểm nghiệm Trước hết ta chứng tỏ rằng H là ánh xạ một-một từ nửa nhóm s vào Q Thật vậy, thứ nhất (ax) / X luôn xác định và không phụ thuộc vào X thuộc s, vì (a, a2) € (ax) / X với mọi... là nửa nhóm tự do trên M’ (b)Giả sử (G, y) là nhóm tự do ừên M và M’ là một tập con không rỗng của M Đặt y’= Ỵ/M’ và G’=[M’Ỵ’] Thế thì (G\ y’) là nhóm tự do trên M’ Định lý 2.2.2.3 Một nửa nhóm nhúng chìm được vào một nhóm khi và chỉ khi mỗi nửa nhóm con hữu hạn sinh của nó đều có tính chất ấy CHỨNG MINH Chỉ cần chứng minh điều kiện đủ Giả thiết rằng mỗi nửa nhóm con hữu hạn sinh của s đều có thể nhúng. .. tỏ rằng đối với một nửa nhóm s bất kì tồn tại một nhóm tự do trên s Bổ đề 2.2.I.3 Giả sử s là một nửa nhóm và T là tập sinh của nó Giả sử M là một tập tùy ý có cùng lực lượng với T và ơ là một song ánh từ tập M lên T Ký hiệu (T,t) là nửa nhóm tự do trên M và (F,cp) là nhóm tự do trên M Giả sử a là một đồng cấu từ nửa nhóm T vào F sao cho Ta = cp, và p là một đồng cấu từ nửa nhóm T vào s sao cho tP =... s là nửa nhóm giao hoán với luật giản ước thì Sa n Sb # 0 ( a,be S) vì nó chứa ab (=ba) Nhóm các thương (bên trái) của s cũng giao hoán Dễ thấy rằng a_1b = c_1d (a,b,c,d € S) khi và chỉ khi ad = bc , ngoài ra (a_1 b) (c1 d) = (ac) " 1 (bd) 2.2 Tính nhúng được của nửa nhóm bất kì trong nhóm 2.2.1 Nhóm tự do trên một nửa nhóm Bổ đề 2.2.2.1, (a) Nếu (S,JJ,) là nửa nhóm tự do trên tập M thì là nửa nhóm . nhúng chìm nửa nhóm vào nhỏm. 3. ĐỔỈ tượng nghiên cứu - Tính nhúng được của nửa nhóm giản ước giao hoán trong nhóm - Tính nhúng được của nửa nhóm bất kì ừong nhóm 4. Phạm vỉ nghiên cứu Tính nhúng. hoán trong nhóm - Nhóm tự do trên một nửa nhóm - Bài toán tổng quát về nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm - Các điều kiện Ptắc - Xây dựng nhóm các thương 6. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: các. Hơn nửa vị nhóm T được xác định bởi các tỉnh chất (1) và (2) sai khác đẳng cẩu nửa nhóm. Khóa luận tốt nghiệp Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 8 Nầi s là nửa nhóm giản ước được và s—C thì T là một nhóm. CHỨNG