2.2. Tính nhúng được của nửa nhóm bất kì trong nhóm 1. Nhóm tự do trên một nửa nhóm
2.2.4. Xây dựng nhóm các thương
Bổ đề 2.2.4.1, Nếu một nửa nhóm có thể nhúng chìm được vào một nhóm thì nó thỏa mãn điều kiện bằng nhau của các thương.
Giả sử s là một nửa nhóm với luật giản ước thỏa mãn điều kiện bằng nhau của các thương. Đối với các phàn tử a,b € s sao cho Sa n Sb ^ 0, ta định nghĩa thương phải a/b bằng cách đặt a / b = {(x,y) I xa = yb}.
Nếu Sa n Sb ^ 0 thì a/b không xác định.
Tương tự, trong trường họp Sa n Sb ^ 0, ta định nghĩa thương trái a\b bằng cách đặt a \ b = {(x,y) I ax = by}.
Bổ đề 2.2.4.2, Giả sử s là một nửa nhóm với luật giản ước, thỏa mãn điều kiện bằng nhau của các thương và a,b,c,d € s. Thế thì
(i) a / b = c / d khi và chỉ khi a / b n c / d ^0; (ii) a \ b = c \ d khi và chỉ khi a \ b n c \ d ^ 0 .
CHỨNGMINH. Ta chứng minh mệnh đề (i). Nếu a / b = c / d thì cả hai thương đều xác định và vì vậy a/bnc/d = a/ b ^ 0 . Đảo lại, ta lấy (x,y) €
Khóa luận tốt nghiệp
a / b n c / d . Thế thì xa = yb và xc = yd. Giả sử (u,v) e a / b, như thế ua = vb.
Khi đó điều kiện bằng nhau của các thương cho ta ngay uc = vd, tức là (u,v) € c / d. Tương t ự c / d c a / b . Vậy a / b = c / d.
Vì điều kiện bằng nhau của các thương là đối xứng nên mệnh đề (ii) cũng đúng.
Bổ đề 2.2.4.3. Giả sử s là một nửa nhóm với luât giản ước, thỏa mãn điều kiện bằng nhau của các thương. Kí hiệu Q là tập tất cả các thương phải của các cặp phàn tử thuộc s : Q = { a / b I a,b e s, Sa n Sb ^ 0}, và kí hiệu H là ánh xạ một - một a—>(ax) / X từ nửa nhóm s vào Q. Giả sử (T,t) là nửa nhóm tự do trên Q( không hạn chế tính tổng quát ta sẽ đồng nhất a/b với (a/b)x). Ta định nghĩa một quan hệ p ừên T bằng cách đặt
p :={(xy,z) I X = a/b, y = b/c, z = a/c đối với các a/b, b/c, c/a nào đó thuộc Q}.
Giả sử Pi là tương đẳng trên T, được sinh ra bởi p, G = T / Pi và Ỵ là ánh xạ Hpi* (=Hxpi*) từ nửa nhóm s vào. Thế thì (G, y) là nhóm tự do trên s. Ta sẽ gọi cặp (G, y) là nhóm các thương phải của nửa nhóm S:
Kiểm nghiệm. Trước hết ta chứng tỏ rằng H là ánh xạ một-một từ nửa nhóm s vào Q. Thật vậy, thứ nhất (ax) / X luôn xác định và không phụ thuộc vào X thuộc s, vì (a, a ) € (ax) / X với mọi X (theo bổ đề 2.2.42). Thứ hai, (ax) / X = 2 (by) / y kéo theo aby = a2y vì trong trường họp này (y,a2) € (by) / y. Do đó, do luật giản ước ta được a = b.
Thờm nữa, ta chứng tỏ rằng T / Pi là một nhỏm. Rừ ràng rằng đối với mỗi a
€ s, thương phải a / a được xác định vì nó chứa (x,x) vơi mọi xe s. Do đó theo bổ đề 12.12 thì a /a = b / b với mọi a,b e s. Ta ký hiệu a / a là E. Đối với thương bất kỡ thuộc Q. Rừ ràng rằng (a / b . E, a / b) = (a / b . b /b,a / b) thuộc p. Do đó E là đơn vị phải của nửa nhóm T / Pi.
Bây giờ ta chú ý rằng a / b tồn tại khi và chỉ khi b / a tồn tại; thật vậy, (x,y) e a / b khi và chỉ khi (x,y) € b / a. Ta lấy phàn tử tùy ý t = (ai / bi)... (an/ bn) thuộc T. Thế thì t* = (bn/ a„) ... (bi / ai) cũng là một phần tử thuộc T. Thêm nữa, (tt*, E) e Pi. Thật vậy, đối với a / b bất kỡ thuộc Q, rừ ràng rằng ((a / b . b /a, E) € p.
Vậy bằng một dãy gồm 2n-l phép p-chuyển sơ cấp, có thể đưa tt* tới E. Do đó mỗi phàn tử thuộc T / Pi có một nghịch đảo bên phải đối với E. Điều đó chứng minh rằng T / Pi là một nhóm.
Đối với a, b bất kì thuộc s, ta có thể viết aH = (abx) / (bx), bH = (bx) / X và (ab)H = (abx) / X. Chú ý rằng ((abx) / (bx) (bx) / X, (abx) / x) € p, ta rút ra aHpi*
z
______________* QcT Khóa luận tốt
nghiệp
. bHpi* = (ab)H Pi*, tức là (ay)(by) = (ab)y, tức là Ỵ là một đồng cấu tò nửa nhóm s vào G.
Dễ dàng thấy rằng (a / b)pi* = (ay)(by) '1 đối với a / b bất kỳ thuộc Q. Vì vậy Sy là tập các phàn tử sinh nhóm của nhóm G. Điều đó chứng tỏ rằng (G, y) là nhóm ừên nửa nhóm s. Ta còn phải chứng minh rằng (G, y) là s - nhóm tự do.
Giả sử (K,T]) là một s - nhóm tùy ý. Ta xác định một ánh xạ X : Q—>K, bằng cách đặt (a /b)x = (ariXbri)'1. Dễ dàng thử thấy rằng X được xác định một cách đúng đắn. Vì T là nửa nhóm tự do trên tập Q, nên tồn tại một đồng cấu 0 từ nửa nhóm T vào K sao cho T0 = X- Dễ dàng thử thây rằng p(và cả Pi) được chứa trong 0O0'1. Do định lý về đồng cấu cảm sinh (định lý 1.3.12), tồn tại một đồng cấu \|/ tò nhóm G = T / Pi vào K sao cho Pi* 1|/ = 0.
Cuối cùng ta có Ỵ\|/ = RỊ. Thật vậy, H% = r|, vì aH% = ((ax) \ x)% = (ax)n (xn)~ 1 = an. Từ đó ta được an = aH/ = aHT0 = a (Hxpi^) \|/ = ay\|/, là điều càn chứng minh.
Vậy (G, y) là nhóm tự do trên s. Việc kiểm nghiệm hoàn thành.
s
Dùng định lý 2.2.2.1 ta được mệnh đề
sau đây xem như một hệ quả trực tiếp.
T
G
Khóa luận tốt nghiệp
Bổ đề 2.2.4.4, Giả sử s là một nửa nhóm với luật giản ước thỏa mãn điều kiện bằng nhau của các thương. Nửa nhóm s có thể nhúng chìm được vào mộtnhóm khi và chỉ khi nó có thể nhúng chìm được vào nhóm các thương phải của nó.
Bổ đề 2.2.4.5. Một nửa nhóm thuận nghịch bên trái với luật giản ước thì thỏa mãn điều kiện bằng nhau của các thương.
Chứng minh. Giả sử s là một nửa nhóm thuận nghịch bên trái với luật giản ước và với a,b,c,d,x,y,u,v e s các đẳng thức sau đây được thỏa mãn xa = yb, xc = yd, ua = vb (Z).
Ta phải chứng minh rằng đẳng thức sau cũng thỏa mãn : uc = vd (Z).
Vì nửa nhóm s thuận nghịch bên trái,nên tồn tại p,q € s sao cho ap = cq. Do đó xap = xcq, từ đó theo (Z), ybp = ydq. Giản ước cho y ta được bp = dq. Vậy ucq = vbp = vdq, tức là ucq = vdq. Giản ước cho q ta được đẳng thức cần thiết uc = vd.
Dựa trên bổ đề đó, ta áp dụng bổ đề 2.2.4.3 vào một nửa nhóm thuận nghịch bên trái với luật giản ước và sẽ chứng tỏ rằng một nửa nhóm như thế nhúng chìm đẳng cấu được vào nhóm các thương phải của nó nhờ kiên trúc đó. Các kí hiệu đã đưa vào bổ đề 2.2.4.3 vẫn sẽ được sử dụng. Ta chia các tính toán ra một dãy bước. Ký hiệu s là nửa nhóm thuận nghịch bên trái với luật giản ước.
(a) Giả sử bi, a2, b2, a3, b3, ... , bm_i, am thuộc s. Thế thì tồn tại Xi, x2, . . xm € s sao cho bịXi = ai+iXị+1 (i = l,2,...,m-l). Thật vậy, do tính chất thuận nghịch bên trái ta có thể chọn được có thể chọn được các phần tử Ui, y2, u2, Ỵ3, u3,..., U m - I . y m t h u ộ c s s a o c h o b i U i = a2 y2; b2 y2 u2 = a3 y3; b3 y3 u3 = a 4 y4; . . bm_ i ym-i um_i = amym. Đặt Xi = U1.U2 ... um_i, x2 = y2.u2 ... um_i,.", Xm-1
= ym-i - um_i, xm = ym, ta thu được bộ Xi càn thiết.
(b)N ế u a / b , b / c e Q t h ì ( a / b . b / c , ( a x ) / x . x / ( c x ) )
€ P i . T a c ó ((ax) / X . X / (bx), a / b) € p và ((bx) / X . X / (cx), b / c) € p.
Do đó
a / b . b / c —ằ ((ax) ỉ X .xỉ (bx). b / c) —ằ
—>• ((ax) Ỉ X .XỈ (bx).(bx / x.x / (cx)) —>•
—>• ((ax) / X . X / X . X /(cx) —>•
-> ((ax) / X . X / (cx) là một chuỗi các phép p - chuyển sơ cấp.
Chú y rằng từ sự tồn tại của các phàn tử a/b và b/c chưa suy ra được sự tồn tại của phần tử a/c.
(c) Nếu a /b, b/c,..., g/e, e/f tồn tại thì a/b . b/c ... eg/e . e/fpi (ax)/x . x/(fx).
Mệnh đề đó chỉ là mở rộng của mệnh đề (b) sang trường họp một số tùy ý các nhân tử.
(d) Mỗi phần tử thuộc T đều Pi - tương đương với phàn tử (ax)/x . x/(bx) đối v ớ i a , b n à o đ ó t h u ộ c s .
Giả sử ai / b i . a2 ỈB2 ... am/bm là một phần tử tùy ý thuộc T. Do mệnh đề (a), tồn tại Xi, x2, . . xm e s sao cho bj. Xi = ai+i. Xi +1 ( i = l , 2 , m-1). Do đó ai / bi. a2/ b2 ... am/ bm = a/ Ci. c2/ c2 ... cm_i/b, ừong đó ai Xi = a, bi Xi = a2x2 = Ci, bi x2 = a3 x3 = c2,bm xm = b. Áp dụng mệnh đề (c), ta được điều đòi hỏi.
(e) Giả sử t = ai/a2. &2/&3 ••• am_i/am € T và t—>t’ là một phép p - chuyển sơ cấp nào đó. Thế thì t’ = (aix)/b2 • b2/b3... bk/(amx) đối với b2, b3, ... bknào đó ứiuộc s. Hai trường họp có thể xảy ra. Thứ nhất, phép p - chuyển có thể thay thế ÃI-I^I ■ ai / ai+ 1 bởi a / b. Trong trường hợp này, ai_i/ai = a/c và aị/ai+ 1 = c/b đối với c nào đó thuộc s. Vì nửa nhóm s là thuận nghịch bên trái nên tồn tại x,y € s sao cho aux = ay. Khi đó aix = cy và ai+ix = by. Thật vậy, lấy (u,v) e ai-i/ai = a/c. Ta có uaị.1 = vai và ua = vc, vì vậy vaịX = uaị.iX = uay = vcy. Do đó vaịX = vcy. Giản ước cho V ta được Khóa luận tốt
nghiệp
(a2x) ... (ai_2x)/(ai_ix) . (ai.ix)/(ai+ix) . (ai+ix)/
(ai+2x) ... (am_ix)/(amx) la điều phải chứng minh.
Thứ hai, phép p - chuyển có thể thay thế ai / ai+i = a / c. Ta chọn X, y sao cho ajX = ay. Khi đó, cũng như ừong trường họp thứ nhất ai+iX = cy, và ta có thể viết t’
dưới dạng đòi hỏi.
B â y g i ờ t a x é t m ộ t t h ư ơ n g t ù y ý a / b € T . N e u p h à n t ử t t ư ơ n g đ ư ơ n g t h e o mod Pi với phàn tử a/b thì vì t có thể thu được từ a/b bằng một dãy các ghép p
- chuyển nên dựa trên mệnh đề (e) ta có t = (ax)/bi. bi/b2 ••• bk/(bx) đối với X, bị nào đó thuộc s. Do đó nếu t chính là một thương thì t = (ax)/
(bx) đối với X nào đó thuộc s. Nhưng (ax)/(bx) = a/b. Vậy chính a/b là thương duy nhất, P! - tương đương với a / b. Đặc biệt từ đó suy ngay ra rằng ánh xạ y = Hpi* là một
- một, tức là y nhúng chìm s vào G.
Thêm nữa, do mệnh đề (d), mỗi phần tử thuộc G đều có thể viết dưới dạng (ay) (by)'1 đối với a, b nào đó thuộc s.
Đảo lại, giả thiết rằng Ỵ : S—ằK nhỳng chỡm s vào K và mỗi phần tử thuộc K có thể được viêt dưới dạng (ay) (by) '1 đối với a, b nào đó thuộc s. Đặc biệt, khi đối với a, b đã cho thuộc s, phải tồn tại X, y € s sao cho (ay) '1 (by) = XỴ (yy)"1, tức là (by) Ỵ = (ax) y. Từ đó, do ánh xạ Ỵ là một - một, nên suy ra by = ax.
Vậy aS n bs ^ 0 đối với a, b đã cho thuộc s, tức là s thuận nghịch bên ừái.
Vậy ta đã hoàn thành một chứng minh mới của định lý Ore (định lý 2.1.1) và định lý Đuybray (định lý 2.1.2) : một nửa nhóm với luật giản ước có thể nhúng chìm vào nhóm các thương phải của nó khi và chỉ khi nó thuận nghịch bên trái.