2.2. Tính nhúng được của nửa nhóm bất kì trong nhóm 1. Nhóm tự do trên một nửa nhóm
2.2.3. Các điều kiên Ptắc
Định lý 2.2.3.I. Nửa nhóm s có thể nhúng chìm được vào một nhóm khi và chỉ khi pop1 = aopioa'1 (xem các ký hiệu trong bổ đề 2.2.1.3).
CHỨNG MINH: Giả sử nửa nhóm s nhúng chìm được vào một nhóm. Khi đó theo định lý Đuybrây, ánh xạ Ỵ là một-một. Do đó yoy'1 = ls . Ta có PoP'1 = Poyoy^oP'1 = (Py)o (Py)"1. Nhưng ơy = cpp#i và vì vậy do các đẳng thức tP = Khóa luận tốt
nghiệp
a và Ta = (p nên ta được tPy = x a p#i . Vậy cái thu hẹp của các ánh xạ Py và ap#i trên tập sinh Mt của nửa nhóm T trùng nhau, do đó Py = ap#i . Khi đó pop1
= (Py)o(Py) "1 = (ap#i) = (ap#i)_ 1 = aopxoa"1. Vậy ta đã chứng tỏ được rằng nếu nửa nhóm s nhúng chìm được vào một nhóm thì PoP'1 = aopxoa"1. Đảo lại, giả thiết rằng PoP'1 = aopioa'1. Khi đó ta có
pop-1 = (ap#i)o(p#i)'1oa'1 = ap#io(ap#i) '1 = (Py)o (Py)'1.
Từ đó suy ra rằng ánh xạ Ỵ là một-một. Thật vậy, lấy (s,s’) G yoy'1. Vì p là một ánh xạ lên s, nên tồn tại t, t’ eT sao cho tp = s, t’P = s’, tức là ánh xạ Ỵ là một- một. Vậy chứng minh định lý được hoàn thành.
Hệ quả 2.23.2. Ký hiệu A là tập con
{ab"1 / a, b e Ta và (a, b) € p} của F, còn A* là ước chuẩn của nhóm F,sinh bởi tập con A. Nửa nhóm s nhúng chìm được vào một nhóm khi và chỉ khi đối với a,b bất kì e Ta, từ ab'1 € A* suy ra rằng ab_1e A* (xem ký hiệu trong bổ đề 2.2.1.3).
CHỨNGMINH. Hệ quả trên chỉ là cách phát biểu khác của định lý. Thật vậy, A*
trùng với Pi - lớp chứa đơn vị. Do đó ab_1e A* khi và chỉ khi (a,b) € Pi- Từ đó suy ra rằng đối với a,be Ta, mệnh đề “ab 1 € A* kéo theo ab 1 e A ” là đúng khi và chỉ khi Pi n( Ta xTa) = p tức là khi Pi n( Ta xTa) = a_1opoP" ^a. Nhưng ao [p! n( Ta xTa)]oa_ 1 = aopioa'1 và aoa'1 - 1T. Vậy mệnh đề kéo theo nói ừên là đúng khi và chỉ khi PoP'1 = aopioa'1. Bây giờ để hoàn thành chứng minh hệ quả ta chỉ cần dựa vào định lý.
Điều kiện đủ về sự nhúng chìm dựa trên sự kiện: nếu s là một nửa nhóm với luật giản ước thì đẳng thức PoP'1 = aoR(p)oa_ 1 luôn luôn đúng. Trong đó R(p) ký hiệu tương đẳng phải trên F sinh bởi quan hệ p. Ta sẽ trình bày theo ngôn ngữ nửa nhóm,ta sẽ phát biểu lại kết quả đó trong bổ đề sau đây.
Trước hết ta có một nhận xét về tự do. Mỗi phần tử thuộc F là tích của các phần tử Mcp u (Mcp)'1. Ta nói rằng một phàn tử thuộc F đã được biểu diễn như tích của các phàn tử thuộc M(p u (Mcp)“1, được biểu diễn bằng một tò rút gọn nếu tích đó không chứa các nhân tử dạng (m(p)(mcp)'1, trong đó meM. Mỗi phần tử thuộc F khác đơn vị, được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng một từ rút gọn.
Bổ đề 2.2.3.3. Giả sử s là một nửa nhóm với luật giản ước. Đối với a,be Ta,điều kiện càn và đủ để ab'1 e [A] là ab'1 e A. (xem các ký hiệu trong bổ đề 2.2.1.3 và hệ quả 2.2.3.2)
CHỨNG MINH. Từ định nghĩa quan hệ ơ, rừ ràng rằng p=p"1. Vậy ab'1 € A khi và chỉ khi ba'1 = (ba'1) '1 e A. Do đó A = A'1, trong đó A'1 là tập tất cả các phần tử ngịch đảo của các phần tử thuộc A. Từ đó ta được [A] = u{An I n là số nguyên dương}, ừong đó An là kí hiệu tập tất cả các tích chứa n nhân tử thuộc A. Bằng qui nạp theo n, ta sẽ chứng minh được rằng với bất kì a,b e Ta, từ bao hàm thức ab_1G An suy ra ab'1 e A.
Trước hết ta xét các trường họp 1 1 = 1 và n=2. Đối với n=l mệnh đề là tàm thường. Giả thiết a,b,c,d,f,g là các phàn tử thuộc Ta, cd'1 € A, fg_ 1 € A và
ab"1 = cd"1 fg\
Vì s là nửa nhóm với luật giản ước và aoa'1 = 1T, nên dễ dàng thấy rằng cái thu hẹp của p trên Ta là một tương đẳng với luật giản ước. Do đó ta có thể giả thiết rằng ab'1, cd'1, fg_ 1 được biểu diễn bởi các từ thu gọn. Với giả thiết đó, đẳng thức ab'1 = cd'1 fg_ 1 chỉ có thể được thỏa mãn trong các trường họp hoặc (1) f = dr, hoặc (2) d = fr, ừong đó, trong mỗi trường hợp đó, re Ta hoặc r bằng đơn vị của nhóm. Trong trường hợp (1) ta có cd'1 fg_ 1 = cgr'1. Nếu re Ta
thỡ phần tử crg'1 rừ ràng là được biểu diễn bởi một từ rỳt gọn và ta phải cú a = Khóa luận tốt
nghiệp
cr và b = g. Do đó a = crpdr = fpg = b, như thế apb, tức là ab'1 € A. Nếu f = d, thì (c,d) e p, từ đó do tính bắc cầu của quan hệ p trên Ta, ta được (c,g) G p. Do đó ab'1 = cd'1 G A. Trường họp (2) được xét tương tự; điều đó hoàn thành chứng minh mệnh đề của ta khi n = 2.
Đối với n > 2, giả thiết theo quy nạp rằng từ ab 1 € AJ suy ra ab 1 € A với mọi j = l,2,...,n-l (a,b € Ta). Giả sử ab'1 = aibi'1 a2b2"1 anbn'1, trong đó aibi'1
€ A (i e 1,2,..,n). Ta có thể xem là mỗi aibi'1, cũng như ab'1, được biểu diễn bằng một từ rút gọn. Giả sử k là số nguyên lớn nhất sao cho aibi'1 a2b2‘1... ak_ ibk_i_1ak e Ta. Vì (Xi e Ta nên số nguyên k như vậy tồn tại. Ta xét 3 trường họp:
(a) k = n. Giả sử g = aibi1 a2b21. . . an_ibn_i4. Khi đó GÃN bằng một phần tử c nào đó thuộc Ta. Do đó g = can'1 và theo giả thiết qui nạp thì (c,an)ep.Vì ab'1 can_ 1 anbn'1, nên theo giả thiết qui nạp ta có ab'1 e A.
(b) 1 < k < n. Cũng như trong trường hợp (a), ta đặt aibi1 a2b21. . .
ak_ibk!ak = c, trong đó c e Ta. Khi đó theo giả thiết qui nạp, cbk_ 1 € A (vì k <
n). Do đó ab'1 = cb^ak+ib^k+i.-.anbn"1 e An'k + 1 c A ; ờ đây ta lại dùng giả thiết qui nạp vì n-k+ 1 < n.
(c) k = 1. Vì ab'1 và mỗi aibi'1 đều được biểu diễn bởi các phần tử rút gọn và vì aibi"1.. .b^k.i ^k Ể Ta đối với mỗi k > 1, nên ta có a = ai. Đe chứng minh điều đó, trước hết ta xét aibi'1 a2. Phần tử đó không nằm trong Ta. Do đó một tò rút gọn đối với phàn tử bi'1 a2 phải có dạng Ci'1 d2, trong đó Ci e Ta. Vậy, vì a2b2"1 được biểu diễn bằng một từ rút gọn, phần tử d2b2"1 cũng biểu diễn được như vậy, từ đó suy ra rằng aibi'1 d2b2"1 là một phần tử rút gọn đối với phần tử aibi'1 a2b2"1. Áp dụng lý luận tương tự đối với mỗi k, cuối cùng ta được từ rút gọn đối với phần tử aibi'1 a2b2_1... anbn'1 có dạng aiíi"1 .. .trong đó fi € Ta. Vậy như đã
khẳng định, bây giờ bibi'1 = a2b2"1... anbn"\ tức là bibi'1 là tích của n-1 phần tử thuộc A. Theo giả thiết qui nạp, đối với j =1 1-1, ta được bibi'1
e A. Cuối cùng, ab'1 = abi'1 bi b'1, tức là ab'1 là tích của hai phần tử thuộc A, vì vậy ab'1 e A. Vậy chứng minh bổ đề được hoàn thành.
Từ bổ đề và hệ quả 2.2.3.2 suy ra ngay định lý Ptắc.
Định lý 2.2.3.4. Nửa nhóm s với luật giản ước nhúng chìm được vào một nhóm nếu một nhóm con của p, sinh bởi tập A, là một ước chuẩn của F.