2.2.1. Nhóm tự do trên một nửa nhóm
Bổ đề 2.2.2.1, (a) Nếu (S,JJ,) là nửa nhóm tự do trên tập M thì là nửa nhóm tự do ừên M, trong đó |i’: M—>S’, khi và chỉ khi (S’,|i’) tương đương với (S,|i)
(b) Nếu (G,v) là nhóm tự do trên tập M, thì (G’,v’) là nhóm tự do trên M, ừong đó v’: M—>G’, khi và chỉ khi (G’,v’) tương đương với (G,v).
CHỨNG MINH. Các mệnh đề (a) và (b) chứng minh tương tự nhau, vì thế ta chỉ chứng minh mệnh đề thứ nhất.
Như đã nhận xét điều kiện đủ là đúng. Bây giờ giả thiết rằng (S,n) và (S’,fi’) là các nửa nhóm tự do ừên M. Dựa trên định lý 1.13.12, tồn tại các đồng cấu : S—>S’ và tp’: S’—»s sao cho |X(p = JJ,’ và Do đó Jjxptp’ = và Jj.’cpcp’ = Ịi’. Vậy (pcp’ và (p’cp cảm sinh ra các phép biến đổi đồng nhất lần lượt ừên Mụ, và Mụ,’. Do đó (p là một đẳng cấu tò nửa nhóm s lên S’ và (p’ là đẳng cấu ngược với nó. Từ đẳng thức ỊX(p = JJ,’ bây giờ suy ra rằng (S,JJ,) và (S’,|i’) tương đương. Điều đó chứng tỏ điều kiện cần đúng và ta hoàn thành chứng minh bổ đề.
Bổ đề 2.2.I.2. Nếu (G,y) là một nhóm tự do trên nửa nhóm s, thì S-nhóm (G’,y’) là một nhóm tự do trên nửa nhóm s khi và chỉ khi nó tương đương với
(G,y).
Bây giờ dựa trên bổ đề sau đây ta sẽ chứng tỏ rằng đối với một nửa nhóm s
bất kì tồn tại một nhóm tự do trên s.
Bổ đề 2.2.I.3. Giả sử s là một nửa nhóm và T là tập sinh của nó. Giả sử M là một tập tùy ý có cùng lực lượng với T và ơ là một song ánh từ tập M lên T. Ký hiệu (T,t) là nửa nhóm tự do trên M và (F,cp) là nhóm tự do trên M.
Giả sử a là một đồng cấu từ nửa nhóm T vào F sao cho Ta = cp, và p là một đồng cấu từ nửa nhóm T vào s sao cho tP = ơ.
Ký hiệu p là quan hệ p = a^opop^oa trên F và Pi là tương đẳng ừên F được sinh bởi p. Thế thì (G,y) là một nhóm tự do ừên s, trong đó G = F/pi và Ỵ là đồng cấu từ nửa nhỏm s vào G sao cho ơy = cpp#i-
KIỂM NGHIỆM. Dựa trên định lý, các đồng cấu a và p đã chỉ từ nửa nhóm T là tồn tại. Ngoài ra, a và p là các ánh xạ duy nhất có các tính chất đòi hỏi (thật vậy, < Mơ > = s và [ Mcp ] = F). Vậy quan hệ p ( và cả Pi ) trên nhóm F được xác định duy nhất.
Thêm nữa, ánh xạ tò Mơ vào G biến một phần tử tùy ý mơ (me M) thành mcpp#i được mở rộng một cách duy nhất thành đồng cấu Ỵ từ nửa nhóm s vào
M
ĩĩii nào đó thuộc M, và vì vậy phải có sy = miơy m2ơy ... mnơy = m1cpp i m2(pp # i ... ĩĩin(pp#i. Mặt khác, dùng biểu thức sau cùng ta có thể xác định SỴ một cách duy nhất. Thật vậy ta giả thiết rằng s = m’iơ ... m’„ơ với m’j € M. Đặt u = mixm2x ...mnT, và u’ = m’iTm’2T ...m’nx. Thế thì up = s = u’P vì xp = ơ. Do đó (ua, u’a) € a^oPoP^oa. Vậy uapi = u’api. Dùng đẳng thức Ta = cp, từ đó ta thu được micppi ... mn(ppi = m’i(ppi... m’ncppi, từ đó suy ra miơỴ m2ơy ... ĩĩinơy = m’iơy m’2ay ... m’nơy.
Bây giờ thấy ngay được rằng ánh xạ đã cho là một đồng cấu. Thật vậy, nếu s = miơ... mnơ và t = m’pơ, thì st = miơ... mnơ m’pơ. Do đó (st) y = ĩĩ^ơy... mnơy m’iơy... m’pơy = (sy)(ty).
Thêm nữa, M(p là tập các phàn tử sinh nhóm của nhóm F, và vì vậy Mcppi là tập các phần tử sinh nhóm của nhóm G = F/pi. Vì Mtppi = Mơy CỊ Sy nên từ đó suy ra rằng s là tập các phần tử sinh nhóm của nhóm G. Vậy ta đã chứng minh được rằng (G, y) là một S-nhóm.
Giả sử (H,Ti) là một S-nhóm tùy ý. Thế thì ƠT1 là một ánh xạ từ tập M vào H. Vì (F, cp) là nhóm tự do trên M, nên tồn tại một đồng cấu X từ nhóm F
vào H sao cho ƠTỊ = (pA,. Ta chứng minh rằng p CỊ XoX~]. Ta lấy (w,w’) e p. Khi
đó tồn tại u,u’ e T sao cho ua = w, u’a = w’ và uß = u’ß. Giả sử u =
miTm2T ...mnx và u’ = m’iTm’2T ...m’nT (ĩĩii, m’j € M). Khi đó WÄ, = (rriicp ... mn(p)A, = rriitpA,... mncpA,
= miơTi ... mnơĩì = (miơ ... mnơ)ri = (uß)Ti Và tương tự w’A, = (u’ß)r|. Vì u’ß = u’ß nên wA, = w’A,, tức là (w,w’) € A,oAT \ Vậy p c A,oA,_ 1 và vì vậy Pi C A,oA,_1.
Bây giờ từ bổ đề 1.5.2 suy ra sự tồn tại của đồng cấu 0 từ nhóm G vào H sao cho P#1 0 = X. Ta có ơ (y0) = (ơy) 0 = cp (p#i 0) = (pA, = ƠT|. Vậy cái thu hẹp của các ánh xạ T| và Ỵ0 trên Mơ là trùng nhau. Vì Mơ sinh ra s nên tò đó suy ra RỊ = Ỵ0.
Việc xây dựng đồng cấu 0 thỏa mãn đẳng thức đó hoàn thành việc kiểm nghiệm kiến trúc và chứng tỏ rằng (G,y) là một nhóm tự do trên s.