Khóa luận tốt nghiệp toán học:Rèn luyện kỹ năng phân loại, hệ thống bài tập đường tròn bằng phương pháp tọa độ cho học sinh lớp 10

MỤC LỤC PHẦN 1. MỞ ĐẦU ........................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 3 2.1. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 3 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 3 3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 3 4. Cấu trúc của khóa luận ................................................................................... 3 Phần 2. NỘI DUNG .......................................................................................... 4 CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN ...................................................................... 4 1.1. Những lý luận chung về giải toán, kỹ năng giải toán. .................................. 4 1.1.1. Khái niệm giải toán .................................................................................. 4 1.1.2. Các bước giải một bài toán ....................................................................... 4 1.1.3. Kỹ năng trong từng bước giải của hoạt động giải toán .............................. 6 1.1.3.1. Khái niệm về kỹ năng ............................................................................ 6 1.1.3.2. Khái niệm kỹ năng giải toán .................................................................. 8 1.1.3.3. Kỹ năng trong từng bước giải của hoạt động giải toán ........................... 8 1.1.3.4. Kỹ năng phân loại bài toán trong giải toán ............................................. 9 1.2. Tác dụng của việc rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập trong giải toán. ..... 13 1.3. Hệ thống bài tập ........................................................................................ 14 CHƯƠNG II: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐƯỜNG TRÒN .............................................................. 18 2.1. Biện pháp phân loại dựa trên kiến thức cơ bản .......................................... 18 2.1.1. Rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập dựa vào hệ thống khái niệm. .......... 23 2.1.2. Rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập dựa vào hệ thống định lý, tính chất. ...... 32 2.1.3. Rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập tổng hợp. ....................................... 37 CHƯƠNG III : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .............................................. 42 3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................... 42 3.2. Phương pháp thực nghiệm ......................................................................... 42 3.3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................... 42 3.4. Đối tượng thực nghiệm .............................................................................. 42 3.5. Tiến hành thực nghiệm .............................................................................. 43 3.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................................... 43 3.6.1.Về phương pháp giảng dạy ...................................................................... 43 3.6.2. Về khả năng lĩnh hội của học sinh .......................................................... 43 3.6.3. Về kết quả kiểm tra................................................................................. 43 3.7. Kết luận thực nghiệm: ............................................................................... 45 Phần 3: KẾT LUẬN ....................................................................................... 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 47 PHỤ LỤC 1 PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Dạy học giải bài tập toán học đóng vai trò quan trọng trong quá trình dạy học. Bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập học sinh thực hiện những hoạt động bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Hệ thống bài tập phản ánh sự đa dạng cuả kiến thức dưới nhiều hình thức khác nhau. Ví dụ như các bài tập về viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm, viết phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính, tìm tâm và bán kính của đường tròn khi cho phương trình của nó tất cả các dạng bài tập như trên đều thể hiện định nghĩa phương trình của đường tròn. Hệ thống bài tập liên quan chặt chẽ với hệ thống kiến thức, hệ thống kỹ năng, hệ thống phương pháp. Hệ thống bài tập có quan hệ chặt chẽ với hệ thống kiến thức, bài tập cũng là một dạng của kiến thức, bài tập là sự phản ánh của kiến thức, bài tập dựa trên một hệ thống kiến thức. Hệ thống bài tập có quan hệ với hệ thống kỹ năng: Bài tập ẩn chứa những kỹ năng cụ thể, hệ thống bài tập được giải quyết bằng hệ thống kỹ năng, hệ thống bài tập có tác dụng nhằm rèn luyện kỹ năng. Hệ thống bài tập liên quan chặt chẽ với hệ thống phương pháp giải toán. Tác dụng của việc phân loại hệ thống bài tập. Khi học sinh đã hình thành được kỹ năng phân loại bài tập các em có thể nhìn nhận bài toán dưới góc độ tổng quát và tìm được mối liên hệ giữa các bài tập. Phân loại hệ thống bài tập giúp học sinh khắc sâu tri thức, mở rộng, bổ sung đưa ra những lý giải, cách nhìn độc lập của mình về một số vấn đề của bài tập và kiến thức liên quan. Qua phân loại hệ thống bài tập rèn luyện cho học sinh các kỹ năng, kỹ xảo nhằm đảm bảo tính độc lập, sáng tạo, góp phần phát triển cho học sinh tư duy sáng tạo. Qua phân loại hệ thống bài tập rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như phân tích tổng hợp, suy diễn đặc biệt hóa, tương tự hóa, khái quát hóa. 2 Một câu hỏi đặt ra là học sinh đã biết cách phân loại bài tập chưa? Cái yếu của học sinh là từ đâu trong phân loại bài tập. Thực tế học sinh nắm phân loại hệ thống bài tập còn yếu các em mới chỉ dừng lại ở mức độ biết bài tập khi thầy cô giao cho bài tập nào thì mới thực hiện. Khi giải bài tập không sử dụng kết quả phân loại bài tập. Khi học sinh nắm được cách phân loại hệ thống bài tập sẽ giúp cho học sinh nhìn được kiến thức ở dạng tổng thể và hệ thống, giúp cho việc giải bài tập có định hướng tốt . Như vậy việc phân loại hệ thống bài tập giúp cho học sinh: + Xác định phạm vi kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những góc độ khác nhau của quá trình dạy học cả kỹ năng ứng dụng vào thực tiễn. + Phát triển năng lực trí tuệ chung rèn luyện những thao tác, tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ. + Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của những người lao động mới. Khai thác tốt những tác dụng của phân loại hệ thống bài tập sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc giao lưu. Trong chương trình Trung học cơ sở học sinh được làm quen với đường tròn là hình ảnh trực quan và khi tới lớp 10 học sinh sẽ có một cách nhìn nhận mới về đường tròn qua những chỉ số tâm và bán kính được thể hiện từ phương trình của nó mà không cần hình vẽ. Hệ thống các bài tập về phần đường tròn mang tính tổng hợp đòi hỏi học sinh phải nắm vững về kiến thức về tính chất hình học phẳng ở lớp 9 và cách viết phương trình đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng khoảng cách giữa hai đường thẳng… giải quyết các bài tập về phần này giúp học sinh có những kỹ năng làm bài tập tổng hợp. Những định hướng vừa khái quát vừa cụ thể, hiểu sâu hơn về sự kết hợp giữa hình học phẳng và phương pháp tọa độ để giải quyết bài toán. Vì những lý do trên mà tôi quyết định chọn đề tài: Rèn luyện kỹ năng phân loại, hệ thống bài tập đường tròn bằng phương pháp tọa độ cho học sinh lớp 10. 3 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu + Nghiên cứu biện pháp rèn luyện kỹ năng phân loại hệ thống bài tâp của học sinh. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận: Hệ thống hoá làm rõ một số yếu tố và đặc điểm của kỹ năng phân loại bài tập. Hệ thống hóa một số quan điểm về kỹ năng phân loại, xác định kỹ năng trong phân loại hệ thống bài tập. + Đề xuất biện pháp rèn luyện kỹ năng phân loại hệ thống bài tâp cho học sinh thông qua các bài tập nội dung đường tròn của hình học lớp 10. + Thử nghiệm Sư Phạm về tính khả thi và tính hiệu quả của biện pháp đưa ra. 3. Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận: Quan điểm, xu hướng về rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập. + Nghiên cứu thực tiễn, khảo sát thực tế. + Thực nghiệm Sư Phạm: Thực nghiệm những biện pháp đưa ra, bước đầu kiểm tra đánh giá tính khả thi, hiệu quả của lý thuyết đề ra. 4. Cấu trúc của khóa luận Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục khóa luận gồm 3 chương. Chương I. Cơ sở lý luận Chương II. Biện pháp rèn luyện kỹ năng phân loại hệ thống bài tập đường tròn Chương III. Thực nghiệm Sư Phạm

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành khóa luận em luôn được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo - Tiến sĩ Vũ Quốc Khánh, sự ủng hộ, động viên và góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Lý - Tin và các bạn sinh viên lớp K50 - ĐHSP Toán, các thầy cô cùng các em học sinh trường THPT Chu văn Thịnh - Sơn La Đồng thời, để hoàn thành khóa luận em cũng đã nhận được sự giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian, tài liệu tham khảo của phòng đào tạo, phòng Quản lý khoa học, phòng Quan hệ quốc tế, thư viện và một số phòng, ban, khoa trực thuộc trường Đại học Tây Bắc

Nhân dịp này, cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy

cô, các bạn sinh viên và các đơn vị nói trên vì sự ủng hộ giúp đỡ quý báu đó

MỤC LỤC

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 3

2.1 Mục đích nghiên cứu 3

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

3 Phương pháp nghiên cứu 3

4 Cấu trúc của khóa luận 3

Phần 2 NỘI DUNG 4

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN 4

1.1 Những lý luận chung về giải toán, kỹ năng giải toán 4

1.1.1 Khái niệm giải toán 4

1.1.2 Các bước giải một bài toán 4

1.1.3 Kỹ năng trong từng bước giải của hoạt động giải toán 6

1.1.3.1 Khái niệm về kỹ năng 6

1.1.3.2 Khái niệm kỹ năng giải toán 8

1.1.3.3 Kỹ năng trong từng bước giải của hoạt động giải toán 8

1.1.3.4 Kỹ năng phân loại bài toán trong giải toán 9

1.2 Tác dụng của việc rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập trong giải toán 13

1.3 Hệ thống bài tập 14

CHƯƠNG II: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐƯỜNG TRÒN 18

2.1 Biện pháp phân loại dựa trên kiến thức cơ bản 18

2.1.1 Rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập dựa vào hệ thống khái niệm 23

2.1.2 Rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập dựa vào hệ thống định lý, tính chất 32

2.1.3 Rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập tổng hợp 37

CHƯƠNG III : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 42

3.1 Mục đích thực nghiệm 42

3.2 Phương pháp thực nghiệm 42

3.3 Nội dung thực nghiệm 42

3.4 Đối tượng thực nghiệm 42

3.5 Tiến hành thực nghiệm 43

3.6 Đánh giá kết quả thực nghiệm 43

3.6.1.Về phương pháp giảng dạy 43

3.6.2 Về khả năng lĩnh hội của học sinh 43

3.6.3 Về kết quả kiểm tra 43

3.7 Kết luận thực nghiệm: 45

Phần 3: KẾT LUẬN 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 PHỤ LỤC

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Dạy học giải bài tập toán học đóng vai trò quan trọng trong quá trình dạy học Bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập học sinh thực hiện những hoạt động bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ

Hệ thống bài tập phản ánh sự đa dạng cuả kiến thức dưới nhiều hình thức khác nhau Ví dụ như các bài tập về viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm, viết phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính, tìm tâm và bán kính của đường tròn khi cho phương trình của nó tất cả các dạng bài tập như trên đều thể hiện định nghĩa phương trình của đường tròn

Hệ thống bài tập liên quan chặt chẽ với hệ thống kiến thức, hệ thống kỹ năng, hệ thống phương pháp

Hệ thống bài tập có quan hệ chặt chẽ với hệ thống kiến thức, bài tập cũng

là một dạng của kiến thức, bài tập là sự phản ánh của kiến thức, bài tập dựa trên một hệ thống kiến thức

Hệ thống bài tập có quan hệ với hệ thống kỹ năng: Bài tập ẩn chứa những

kỹ năng cụ thể, hệ thống bài tập được giải quyết bằng hệ thống kỹ năng, hệ thống bài tập có tác dụng nhằm rèn luyện kỹ năng

Hệ thống bài tập liên quan chặt chẽ với hệ thống phương pháp giải toán Tác dụng của việc phân loại hệ thống bài tập Khi học sinh đã hình thành được kỹ năng phân loại bài tập các em có thể nhìn nhận bài toán dưới góc độ tổng quát và tìm được mối liên hệ giữa các bài tập

Phân loại hệ thống bài tập giúp học sinh khắc sâu tri thức, mở rộng, bổ sung đưa ra những lý giải, cách nhìn độc lập của mình về một số vấn đề của bài tập và kiến thức liên quan

Qua phân loại hệ thống bài tập rèn luyện cho học sinh các kỹ năng, kỹ xảo nhằm đảm bảo tính độc lập, sáng tạo, góp phần phát triển cho học sinh tư duy sáng tạo

Qua phân loại hệ thống bài tập rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như phân tích tổng hợp, suy diễn đặc biệt hóa, tương tự hóa, khái quát hóa

Một câu hỏi đặt ra là học sinh đã biết cách phân loại bài tập chưa? Cái yếu

của học sinh là từ đâu trong phân loại bài tập Thực tế học sinh nắm phân loại hệ

thống bài tập còn yếu các em mới chỉ dừng lại ở mức độ biết bài tập khi thầy cô giao cho bài tập nào thì mới thực hiện Khi giải bài tập không sử dụng kết quả phân loại bài tập

Khi học sinh nắm được cách phân loại hệ thống bài tập sẽ giúp cho học sinh nhìn được kiến thức ở dạng tổng thể và hệ thống, giúp cho việc giải bài tập

có định hướng tốt

Như vậy việc phân loại hệ thống bài tập giúp cho học sinh:

+ Xác định phạm vi kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những góc độ khác nhau của quá trình dạy học cả kỹ năng ứng dụng vào thực tiễn

+ Phát triển năng lực trí tuệ chung rèn luyện những thao tác, tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ

+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của những người lao động mới

Khai thác tốt những tác dụng của phân loại hệ thống bài tập sẽ góp phần

tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực

và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc giao lưu

Trong chương trình Trung học cơ sở học sinh được làm quen với đường tròn là hình ảnh trực quan và khi tới lớp 10 học sinh sẽ có một cách nhìn nhận mới về đường tròn qua những chỉ số tâm và bán kính được thể hiện từ phương trình của nó mà không cần hình vẽ

Hệ thống các bài tập về phần đường tròn mang tính tổng hợp đòi hỏi học sinh phải nắm vững về kiến thức về tính chất hình học phẳng ở lớp 9 và cách viết phương trình đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng khoảng cách giữa hai đường thẳng… giải quyết các bài tập về phần này giúp học sinh có những kỹ năng làm bài tập tổng hợp Những định hướng vừa khái quát vừa cụ thể, hiểu sâu hơn về sự kết hợp giữa hình học phẳng và phương pháp tọa

độ để giải quyết bài toán

Vì những lý do trên mà tôi quyết định chọn đề tài: Rèn luyện kỹ năng phân loại, hệ thống bài tập đường tròn bằng phương pháp tọa độ cho học sinh lớp 10

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

+ Nghiên cứu biện pháp rèn luyện kỹ năng phân loại hệ thống bài tâp của

học sinh

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Nghiên cứu lý luận: Hệ thống hoá làm rõ một số yếu tố và đặc điểm của

kỹ năng phân loại bài tập Hệ thống hóa một số quan điểm về kỹ năng phân loại, xác định kỹ năng trong phân loại hệ thống bài tập

+ Đề xuất biện pháp rèn luyện kỹ năng phân loại hệ thống bài tâp cho học sinh thông qua các bài tập nội dung đường tròn của hình học lớp 10

+ Thử nghiệm Sư Phạm về tính khả thi và tính hiệu quả của biện pháp đưa ra

3 Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu lý luận: Quan điểm, xu hướng về rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập

+ Nghiên cứu thực tiễn, khảo sát thực tế

+ Thực nghiệm Sư Phạm: Thực nghiệm những biện pháp đưa ra, bước đầu kiểm tra đánh giá tính khả thi, hiệu quả của lý thuyết đề ra

4 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục khóa luận gồm 3 chương

Chương I Cơ sở lý luận

Chương II Biện pháp rèn luyện kỹ năng phân loại hệ thống bài tập đường tròn Chương III Thực nghiệm Sư Phạm

Phần 2 NỘI DUNG CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Những lý luận chung về giải toán, kỹ năng giải toán

1.1.1 Khái niệm giải toán

Giải toán là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái

đã cho và cái phải tìm Là vận dụng tri thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải quyết các vấn đề bài toán đặt ra Thông thường để giải một bài toán chúng ta phải lập được một sơ đồ xác định và mạch lạc những thao tác lôgic toán học hay thực tiễn Bắt đầu từ giả thiết và kết thúc bằng kết luận

- Dẫn dắt từ các đối tượng đến ẩn: Phân tích các đối tượng của đề bài cho dưới nhiều khía cạnh, góc độ Vận dụng chúng linh hoạt vào việc tính toán hay chứng minh để có cái cần tìm

- Từ các đối tượng mà ta có trong tay đến các đối tượng mà ta muốn đạt tới Nhiều khi trong việc tìm lời giải đòi hỏi người giải toán phải sử dụng các công

cụ toán học đã biết, đã chứng minh để giải mà không phải dựa hoàn toàn vào dữ kiện đề bài cho Nó có thể là những công thức, những định lý, các bất đẳng thức…Mà chúng ta được quyền áp dụng để chứng minh hay giải toán [5,tr.15]

Giải toán phải được xây dựng theo một quan điểm nhất quán, theo phân loại, định hướng rõ rệt để học sinh có thể vận dụng kiến thức, kinh nghiệm có sẵn vào hoàn cảnh mới liên kết các kinh nghiệm cũ đã được tích lũy vào việc giải quyết những yêu cầu mới trong tình huống mới

Trong giải toán yêu cầu người giải toán phải xác định được nội dung tri thức nào là cần thiết và có thể áp dụng để giải toán Điều này đòi hỏi cần có một

tư duy lôgic biết cách kết nối các yếu tố của bài toán và một trí nhớ tốt

Ngoài việc nắm các đường lối chung Thì người giải toán cũng cần phải phát hiện ra những cái riêng, cái độc đáo của từng bài toán cụ thể để lựa chọn phương án thích hợp nhất và tối ưu nhất

1.1.2 Các bước giải một bài toán

Cách thức dạy phương pháp chung để giải bài toán

Thông thường giải một bài toán gồm 4 bước

* Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Phát biểu để bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán; phân biệt cái đã cho cái phải tìm, phải chứng minh;

Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

* Bước 2: Tìm cách giải

Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh Liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết Liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán nào đó có liên quan Sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng bài toán như chứng minh, phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích

Kiểm tra lời giải bằng cách xem xét kỹ từng bước thực hiện Hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được Đối chiếu một số trí thức liên quan

Tìm tòi những cách giải khác So sánh chúng để chọn được cách giải hợp

lý nhất

* Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

* Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn để [1,tr.264]

Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được và vận dụng được phương pháp chung để giải toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà

họ gặp trong chương trình Học phương pháp chung để giải toán không phải

là học một thuật giải mà là học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện

Như vậy, quá trình học sinh học phương pháp chung giải toán là một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể Từ phương pháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo “Tìm được cách giải một bài toán là một phát minh” (theo Pôlia)

1.1.3 Kỹ năng trong từng bước giải của hoạt động giải toán

1.1.3.1 Khái niệm về kỹ năng

Vấn đề kỹ năng của con người là vấn đề có nhiều ý kiến khác nhau Qua một số công trình nghiên cứu tâm lý học, giáo dục học, toán học đã có những quan niệm khác nhau như:

Quan niệm chú trọng đến mặt kỹ thuật của hành động: Các nhà nghiên cứu theo quan niệm này khi xem xét kỹ năng luôn nghiêng về kỹ thuật của hành động, coi kỹ năng như là một phương tiện thực hiện hành động, chỉ cần nắm được cách thức hành động tức là có kỹ năng mà không cần tính đến kết quả của hành động Các tác giả theo quan điểm này là A.G.Coovaliôv, A.V.Petrovxki, V.A Krutetxki, Trần Trọng Thủy,

Quan niệm chú trọng đến mặt kết quả của hành động Coi kỹ năng là năng lực thực hiện một công việc sáng tạo ra kết quả với chất lượng cần thiết trong thời gian nhất định, trong điều kiện mới Với quan niệm này, các nhà nghiên cứu khi xem xét kỹ năng luôn coi kỹ năng là một biểu hiện năng lực con người chứ không phải đơn thuần là mặt kỹ thuật của hành động trong mối quan hệ với mục đích thực hiện và cách thức tiến hành hành động Một số tác giả tiêu biểu cho quan điểm này là N Lêvitôv, K.K Platonov, Nguyễn Quang Uẩn, Nguyễn Ánh Tuyết, Ngô Công Hoàn,

Quan niệm khác lại cho rằng: Kỹ năng là việc vận dụng những tri thức và các kỹ xảo đã có vào việc lựa chọn và thực hiện những phương thức hành động đặt ra Đó cũng là quan niệm của A.V Petrovxki và N.G Kazaxki, T.S Nazarov cũng như L.B –Itelxon với quan điểm trên, trong “Từ điển tâm lý học ” do A.V Petrovxki và M.G Jarosevxki chủ biên năm 1990 cho rằng: “Kỹ năng là phương thức hành động dựa trên cơ sở tổ hợp những tri thức và kỹ xảo Kỹ năng được hình thành bằng con đường luyện tập Tạo khả năng cho con người thực hiện hành động không chỉ trong những điều kiện quen thuộc mà cả trong những điều kiện thay đổi” Ở quan niệm này thì kỹ năng được hình thành trên cơ sở kiến thức và kỹ xảo đã được luyện tập trước Ngoài ra các tác giả còn nhấn mạnh: Người có kỹ năng phải nắm vững cách thức hành động đúng trong các điều kiện quen thuộc và các điều kiện mới, có ý nghĩa là phải có mức độ ổn định vững chắc mang tính khái quát và tính linh hoạt cơ động [16,tr.18]

“Kỹ năng là khả năng vận dụng những tri thức khoa học vào thực tiễn trong đó khả năng được hiểu là “sức đã có” (về mặt nào đó) để có thể làm tốt một việc gì

* Theo tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định Nếu ta tạm thời tách tri thức và kỹ năng để xem xét từng cái thì tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết”, còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc khả năng “biết làm”

* Trong toán học, kỹ năng là “khả năng” giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải vào chứng minh nhận được.” [18,tr.7]

Như vậy, vấn đề kỹ năng vẫn còn là vấn đề có nhiều ý kiến, song cơ bản các ý kiến cũng không có gì mâu thuẫn nhau Các tác giả tùy theo cách nhìn chủ quan của mình mà nhấn mạnh khía cạnh này hay khía cạnh khác Tuy nhiên, từ những ý kiến trên chúng ta có thể hiểu kỹ năng một cách tổng quát như sau: Kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động hay một hoạt động nào đó bằng cách lựa chọn và vận dụng những tri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với những điều kiện thực tiễn cho phép Kỹ năng thể hiện các thao tác tư duy, năng lực hành động và mặt kỹ thuật của hành động

Để trở thành một người có kỹ năng về hành động nào đó phải:

+ Có tri thức về hành động bao gồm mục đích của hành động, các điều kiện phương tiện để đạt mục đích, các cách thức thực hiện hành động

+ Tiến hành hành động đúng với yêu cầu của nó

+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra

+ Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau

Tuy nhiên muốn có kỹ năng thì phải tính đến một quá trình hình thành kỹ năng và để đạt được kết quả hành động cũng cần phải có sự rèn luyện, tập dượt nhất định để đạt được mục đích đề ra.”

Đặc điểm của kỹ năng

Khái niệm kỹ năng được định nghĩa ở trên chứa đựng các đặc điểm sau:

* Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: Hiểu mục đích, biết cách thức đi đến

* Kiến thức là cơ sở của kỹ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹ năng Bởi vì môn Toán là môn học công

cụ có đặc điểm, vị trí đặc biệt trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân

cách trong nhà trường phổ thông vì vậy cần hướng mạnh vào việc vận dụng tri thức và rèn luyện kỹ năng giải toán bởi vì kỹ năng này chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoạt động

* Qua đặc điểm và vị trí của kỹ năng trên, ta thấy kỹ năng giải toán cũng phải dựa trên cơ sở tri thức toán học (bao gồm kiến thức, kỹ năng, phương pháp), do đó nói kỹ năng giải toán không thể tách rời với phương pháp toán học nhằm hình thành và rèn luyện những kỹ năng đó [18,tr.7;8]

1.1.3.2 Khái niệm kỹ năng giải toán

* Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng tri thức toán học để giải quyết các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh,…)

* Để thực hiện nhiệm vụ môn Toán trong trường học phổ thông một trong những yêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức phương pháp, đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng, chẳng hạn tri thức và kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạt động tư duy hàm…

Cần chú ý là tùy nội dung kiến thức toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau

1.1.3.3 Kỹ năng trong từng bước giải của hoạt động giải toán

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Kỹ năng phân tích bài toán: Kỹ năng phân tích các ngôn ngữ, dấu hiệu của các kiến thức tàng ẩn trong bài toán, điều kiện, dữ kiện của bài toán; kỹ năng xác định giả thiết, kết luận

Kỹ năng xây dựng lời giải

Bước 3: Trình bày lời giải

Kỹ năng tổng hợp, phân tích: Nắm lại toàn bộ những phân tích ở các bước

1 và 2, lọc bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện, lệch lạc nhất thời

Kỹ năng xác định phạm vi kiến thức: Kiến thức nào cần cho lời giải của bài toán

Kỹ năng trình bày lời giải: Sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Kỹ năng giải những bài toán tương tự, kỹ năng phân loại, những bài toán như thế nào thì sẽ có cùng một cách giải, kỹ năng mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.1.3.4 Kỹ năng phân loại bài toán trong giải toán

Loại là tập hợp sự vật, hiện tượng có cùng một đặc điểm

Dạng là hình thể, là kích cỡ bên ngoài, dựa vào đó để phân biệt sự khác nhau giữa các sự vật, hiện tượng

Các đặc điểm về dạng, loại của bài toán chính là phần hình thức của bài toán đó Do sự thống nhất giữa nội dung và hình thức nên việc nghiên cứu phần hình thức của bài toán thực chất là việc khám phá các đặc điểm trong nội dung của bài toán Chính vì thế, nhiều bài toán có được lời giải hay là nhờ vào việc khai thác đúng đắn các đặc điểm về dạng bài toán đó

Chúng ta phải khoanh vùng bài toán và vùng được khoanh càng hẹp càng tốt, giúp ta nhận dạng được bài toán thuộc dạng nào? Khi đã nhận dạng được bài toán thì trong đầu phải nhớ lại để chuẩn bị vận dụng một loạt các yếu tố cần thiết để giải bài toán này [19,tr.18]

Phân loại (phân dạng) là phân chia sự vật, hiện tượng ra thành từng loại hay nói cách khác là phân chia sự vật hiện tượng có cùng một đặc điểm nào đó

ra thành một nhóm

Phân loại bài tập là sắp xếp các bài tập theo một trật tự hoặc theo một loại nào đó, hoặc theo một dấu hiệu chung nào đó Dấu hiệu chung đó có thể dựa trên kiến thức, phương pháp hoặc kỹ năng Học sinh phải phát hiện ra những đặc điểm giống nhau và khác nhau, qua đó phân chia hệ thống các bài tập thành các dạng bài tập theo một dấu hiệu nhất định Học sinh cần nắm vững phương pháp chung để giải từng dạng bài tập điển hình

Phân loại hệ thống bài tập bước đầu giúp cho học sinh xác định phạm vi kiến thức, hệ thống kiến thức có thể sử dụng trong bài toán Phân loại hệ thống bài tập là một bộ phận trong phân tích bài toán Phân loại hệ thống bài tập có các

kỹ năng:

* Kỹ năng xác định kiến thức chính trong bài tập, kỹ năng xác định những kiến thức cơ bản sinh ra bài tập, hệ thống những kiến thức sinh ra bài tập, kiến thức đã biết hay kiến thức cần tìm tòi

[2,tr.115] “Ta không nên mất thì giờ vào những chi tiết không cần thiết và phải để dành thời gian vào điều căn bản Cái khó ở đây là chưa thể nói trước chi tiết nào là có ích, chi tiết nào là phù phiếm Do đó, trước hết phải hiểu bài toán một cách tổng thể Khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn để xét xem những điểm chi tiết nào là căn bản Khi đã nghiên cứu các điểm này (có lẽ cũng chỉ là một số ít) thì ta lại có điều kiện hơn để xác định xem trong số những chi tiết còn lại, cái nào cần khảo sát chặt chẽ Ta phải nghiên cứu thật sát và phân chia bài toán từng bước và chú ý không đi quá xa khi không cần thiết”

* Kỹ năng phân tích các ngôn ngữ, dấu hiệu của các kiến thức tàng ẩn trong bài tập, điều kiện, dữ kiện của bài toán, dấu hiệu nó gắn với định nghĩa nào hoặc các hệ quả các kiến thức tổng hợp đúng là kiến thức đã biết

Kỹ năng phân loại bài tập dựa trên phân loại hệ thống kiến thức cơ bản, phân loại kỹ năng, phân loại phương pháp giải

1 Dựa trên phân loại hệ thống kiến thức cơ bản: Yêu cầu trang bị đầy

đủ kiến thức chính xác về môn Toán, các kiến thức cơ bản gồm có:

Kiến thức 1 là vận dụng định nghĩa, khái niệm Yêu cầu:

* Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm

* Biết nhận dạng và thể hiện khái niệm

* Biết phát biểu chính xác định nghĩa một số khái niệm

* Biết vận dụng các khái niệm trong những tình huống cụ thể

* Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

Kiến thức 2 là vận dụng định lý, tính chất Yêu cầu:

* Học sinh nắm được hệ thống định lý và những mối liên hệ giữa chúng

từ đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán

* Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lý

* Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểu được chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy diễn để tìm ra chứng minh

Chúng ta có thể vận dụng định lý, tính chất trong giải toán vào việc nhận dạng, thể hiện khái niệm, nhận dạng, thể hiện định lý, chứng minh toán học

Kiến thức 3 là vận dụng hệ quả, mệnh đề

Kiến thức 4 là vận dụng các kết quả tổng hợp

Các kiến thức này đều phải dựa trên điều kiện, dữ kiện của bài toán

2 Dựa trên phân loại kỹ năng có trong bài toán:

Kỹ năng liên kết, phân tích các dữ liệu mà bài toán đã cho với cái phải tìm

Kỹ năng tính toán: Là một trong những kỹ năng cơ bản của việc học toán

ở trường, trong thực tế đời sống, trong sản xuất, trong kỹ thuật… đâu đâu cũng đòi hỏi kỹ năng tính toán, tính nhanh, tính hợp lí Đối với học sinh Trung học phổ thông, kỹ năng tính toán đã được rèn luyện nhiều ở cấp Trung học cơ sở nên giáo viên yêu cầu các em cao hơn là luôn phải có ý thức tìm tòi các phương pháp tính toán khác nhau, biết tính toán hợp lý nhất (đơn giản nhất, phù hợp với điều kiện cụ thể…)

Kỹ năng sử dụng hình vẽ, việc sử dụng hình vẽ sẽ giúp học sinh dễ hình dung hơn khi nói về các đặc điểm của điểm thuộc đường tròn, xét vị trí tương đối của điểm, đường thẳng đối với đường tròn

Kỹ năng chứng minh

Để có kỹ năng chứng minh toán học, học sinh cần được:

* Hình thành động cơ chứng minh: Sự cần thiết phải chứng minh dù đó là những bài toán đơn giản nhất

* Rèn luyện những hoạt động thành phần trong chứng minh như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát…

* Tri thức phương pháp về chứng minh: Trước hết là những tri thức về các quy tắc kết luận lôgic mà ở trong trường chỉ được truyền thụ theo con đường không tường minh

Kỹ năng vận dụng các quy tắc, phương trình đường tròn, phương trình tiếp tuyến của đường tròn, vị trí của điểm, đường thẳng với đường tròn… Về mặt kĩ năng này thì yêu cầu học sinh vận dụng một cách linh hoạt, tránh máy móc

Kỹ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch là một điều quan trọng để nắm và vận dụng kiến thức, một thành phần của tư duy toán học, giúp cho học sinh hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng [19,tr.16]

Kỹ năng Toán học hóa các tình huống thực tiễn: Kỹ năng Toán học hóa các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến thức Toán

học trong nhà trường gây hứng thú trong học tập, giúp học sinh nắm được thực chất nội dung, vấn đề và tránh hiểu các sự kiện Toán học một cách hình thức

Kỹ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên quan đén sự tương ứng, những mối liên hệ, phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng Tư duy hàm đóng vai trò quan trọng và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông Những hoạt động tư duy hàm là: Hoạt động phát triển và thiết lập sự tương ứng, hoạt động nghiên cứu tương ứng

Kỹ năng trình bày lời giải

Kỹ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải thích và tránh sai lầm khi giải toán: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” (Pôlia) Trong học tập giải toán việc phát hiện sai lầm và sửa sai lầm đó

của lời giải là một thành công của người học toán

3 Dựa trên phân loại phương pháp giải

Mỗi bài tập chứa đựng những nội dung kiến thức khác nhau và từ những đặc điểm khác nhau của nội dung kiến thức ta lại có một phương pháp giải toán khác Ví dụ như một đường tròn xác định khi biết: 1, tâm và bán kính của đường tròn; 2, ba điểm thuộc đường tròn; 3, đường tròn có tâm thuộc đường thẳng cho trước và đi qua hai điểm …như vậy nếu bài toán cho ta một trong các giữ kiện 1, 2, 3 và yêu cầu viết phương trình đường tròn thì từ đây ta có ba phương pháp giải toán khác nhau mặc dù mục đích cuối cùng của giải toán vẫn là viết phương trình đường tròn

Muốn áp dụng phương pháp giải toán nào cho một bài toán trước hết cần nghiên cứu các điều kiện đặt ra trong bài toán Các đại lượng có mặt trong bài toán trước hết phải kể đến các đối số, số học và lượng giác, các yếu tố tạo nên hình và khối trong các bài toán hình học Đặc biệt là các yếu tố trong mỗi nội dung có sự khác nhau Các điều kiện đặt ra trong mỗi đại lượng đó không phải là ngẫu nhiên, tùy tiện, mà chính là sự biểu hiện các mối liên hệ nào đó giữa các yếu tố tạo nên bài toán

Khi gặp các bài toán có kèm theo một số điều kiện chúng ta khai thác triệt

để và đúng đắn các điều kiện đó chắc chắn sẽ dẫn tới việc xác định đúng phương pháp để giải bài toán đó

Ta có thể phân loại phương pháp giải toán thành những nhóm nhỏ như sau: Nhóm 1: Áp dụng phương pháp giải toán nhận dạng, thể hiện khái niệm

Nhóm 2: Áp dụng phương pháp giải toán nhận dạng, thể hiện định lý, tính chất Nhóm 3: Áp dụng phương pháp giải toán chứng minh

Nhóm 4: Áp dụng phương pháp giải toán quỹ tích, dựng hình

Nhóm 5: Áp dụng phương pháp giải phương trình, hệ phương trình

Ta có thể chỉ ra được nhiều cách phân loại bài toán dựa trên phân loại phương pháp giải trên đây chỉ là một cách phân loại

1.2 Tác dụng của việc rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập trong giải toán

Khi gặp một bài toán bất kỳ để giải được bài toán đó chúng ta phải đi thực hiện yêu cầu của bài toán Trước hết học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng loại bài toán, căn cứ vào các dữ liệu và yêu cầu của bài toán Từ đó xác định được dạng, loại của bài toán Sau khi xác định được dạng của bài toán thì học sinh mới có thể vận dụng các tri thức, kỹ năng vào giải bài toán Như vậy việc rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập là rất cần thiết đối với học sinh vì chỉ có xác định đúng dạng bài tập chúng ta mới có hướng giải đúng đắn

Khi học sinh đã hình thành được kỹ năng phân loại bài tập các em có thể nhìn nhận bài toán dưới góc độ tổng quát và tìm được mối liên hệ giữa các bài tập

Học sinh khắc sâu tri thức, mở rộng, bổ sung đưa ra những lý giải, cách nhìn độc lập của mình về một số vấn đề của bài tập

Giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh các tư duy trừu tượng, tư duy suy luận, hợp lôgic, phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong học tập

Phát triển ở học sinh những phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến những tri thức thu nhận được thành của bản thân mình, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như trong việc học tập hiện nay và về sau

Giúp cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học, có những năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể khác nhau của bài toán

Giúp học sinh củng cố những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề lý thuyết Thu gọn và mở rộng, bổ sung cho lý thuyết trên cơ sở thường xuyên hệ thống hóa kiến thức mà nhấn mạnh phần trọng tâm của lý thuyết

Đặc biệt rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập còn mang tác dụng giáo dục kỹ thuật tổng hợp, phân tích thể hiện qua việc giúp học sinh rèn luyện thói quen đặt vấn

đề một cách hợp lý, ngắn gọn, tiết kiệm thời gian và phương pháp tư duy

Qua đó rèn luyện cho học sinh các kỹ năng, kỹ xảo nhằm đảm bảo tính độc lập, sáng tạo, góp phần phát triển cho học sinh tư duy sáng tạo

Giúp học sinh ngày càng nâng cao khả năng tư duy độc lập, biết suy nghĩ, biết tự rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp suy diễn, quy nạp, tương tự,…thông thạo một số phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giải quyết vấn đề một cách thông minh sáng tạo

Bài 2 [9,vd1.tr.91] Trong các phương trình sau đây phương trình nào là phương

trình của đường tròn, chỉ rõ tâm và bán kính của nó

Viết phương trình đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn ( )C tại điểm

A( )C trong các trường hợp sau:

a, ( ) :C x2  y2  25; (3; 4)A

b, ( ) :C x2 y2 100; ( 8;6)A 

a, Δ tiếp xúc với ( )C tại M(2;1)

b, Δ vuông góc với đường thẳng d: 3x4y 1 0

c, Δ đi qua A(2;6)

Bài 14 [8,bài 56.tr.109]

Cho hai đường tròn (C1): x2  y2 4x8y11 0

và (C2): x2  y22x2y 2 0

a, Xét vị trí tương đối của (C1) và (C2)

b, Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2)

a, CMR (C m) luôn là đường tròn với mọi giá trị của m

b, Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C m) khi m thay đổi

c, CMR khi m thay đổi, họ các đường tròn (C m) luôn đi qua hai điểm cố định

d, Tìm những điểm trong mặt phẳng tọa độ mà họ (C m) luôn không đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào

Bài 17 [7,bài 28.tr.96]

Xét vị trí tương đối của đường thẳng Δ và đường tròn ( )C sau đây

Δ: 3x  y m 0

( )C : x2  y24x2y 1 0

CHƯƠNG II: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI

HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐƯỜNG TRÒN

Từ kết quả nghiên cứu của chương 1 nội dung chương 2 của khoá luận nghiên cứu đề xuất một số một số biện pháp cụ thể nhằm rèn luyện kỹ năng phân loại hệ thống bài tập đường tròn cho học sinh lớp 10

2.1 Biện pháp phân loại dựa trên kiến thức cơ bản

* Phân loại hệ thống bài tập dựa vào hệ thống khái niệm

Kỹ năng phân loại bài tập dựa vào hệ thống khái niệm cụ thể là kỹ năng nhận dạng và thể hiện khái niệm, kỹ năng chứng minh bài toán dựa vào khái niệm Như vậy để làm tốt được việc phân loại này học sinh cần biến vốn tri thức của loài người thành vốn tri thức riêng của bản thân Do đó cần nắm vững bản chất các khái niệm, định nghĩa biết diễn đạt chúng bằng ngôn ngữ riêng của mình, biết tự tìm ra các ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa vào các tình huống khác nhau Qua nghiên cứu thực tế cho thấy học sinh chưa có ý thức

và kinh nghiệm nhận dạng và thể hiện khái niệm

“Nhận dạng và thể hiện là hai hoạt động theo chiều hướng trái ngược nhau liên hệ với một định nghĩa, một định lý hay một phương pháp

Nhận dạng một khái niệm (nhờ một định nghĩa tường minh hoặc ẩn tàng)

là phát hiện xem một đối tượng cho trước có thỏa mãn định nghĩa, khái niệm đó hay không Thể hiện một khái niệm (nhờ một định nghĩa tường minh hoặc ẩn tàng) là tạo một đối tượng thỏa mãn định nghĩa (có thể đòi hỏi một số yêu cầu khác).”[19,tr.76]

* Phân loại hệ thống bài tập dựa vào hệ thống định lý, tính chất

Kỹ năng phân loại bài tập dựa vào hệ thống định lý, tính chất là kỹ năng nhận dạng và thể hiện định lý, tính chất; kỹ năng chứng minh bài toán bằng cách

sử dụng hệ thống định lý, tính chất; kỹ năng nhận dạng, thể hiện một định nghĩa, khái niệm dựa vào định lý, tính chất

Học sinh nắm vững định lý, tính chất và phát biểu được phần giả thiết, phần kết luận, hiểu được mối liên hệ lôgic giữa các định lý, tính chất

Biết diễn đạt chúng bằng ngôn ngữ riêng của mình, biết tự tìm ra các ví

dụ minh họa cho các định lý, tính chất

Nhận dạng một định lý, tính chất là xét xem tình huống cho trước có ăn khớp với định lý, tính chất đó hay không Thể hiện là tạo ra một tình huống phù hợp với định lý, tính chất đã cho

* Phân loại hệ thống bài tập dựa vào dấu hiệu tổng hợp

Bài tập tổng hợp chứa đựng những nội dung kiến thức của nhiều phần khác nhau Các dấu hiệu của bài toán không chỉ rõ các kiến thức cơ bản đã biết

mà qua suy luận suy diễn mới đưa đến các bài toán cơ bản đã biết Kỹ năng phân loại hệ thống bài tập tổng hợp là kỹ năng tương đối phức tạp thoạt nhìn các em

có thể xếp bài tập này vào các dạng bài tập khác vì khi phân tích đề bài các em

đã bỏ qua một vài dữ kiện của giả thiết dẫn tới hiểu nhầm trong việc phân loại

Các kiến thức cơ bản:

Khái niệm 1: Đường tròn là tập hợp những điểm cách đều một điểm cho trước

Khái niệm 2: Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn mà sao cho các đỉnh của tam giác nằm trên đường tròn đó

Khái niệm 3: Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn có tâm cách đều các cạnh của tam giác

Khái niệm 4: Cho điểm M x y0( ;0 0) nằm trên đường tròn ( )C tâm I ( ; )a b và bán kính R Gọi  là tiếp tuyến của ( )C tại M0 Ta có M0 và vectơ

Định nghĩa 1: Phương trình của đường tròn

Trên mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C) có tâm I x y( ,0 0) và bán kính R, điểm M x y( , )( )C Phương trình đường tròn có hai dạng:

Dạng 1: Phương trình chính tắc của đường tròn (C) là

Định nghĩa 2: Công thức khoảng cách của một điểm tới một đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng  có phương trình tổng quát

0

ax by  c Khoảng cách từ điểm M x( M;y M) tới  được cho bởi công

thức:

2 2( ; ) ax M by M c

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M x( M;y M), N x( N;y N) Gọi ( P; P)

P x y là trung điểm của đoạn thẳng MN thì ;

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A x( A;y A), B x( B;y B), C x( C;y C)không thẳng hàng Nếu G x( G;y G) là trọng tâm tam giác ABC thì

Tính chất 1: Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng cho trước

Cho đường thẳng  có phương trình tổng quát ax by  c 0 và hai điểm ( M; M)

M x y , N x( N;y N) không nằm trên  Khi đó:

Hai điểm M N; nằm cùng phía đối với  khi và chỉ khi (ax M by M c ax)( N by N  c) 0

Hai điểm M N; nằm khác phía đối với  khi và chỉ khi

(ax M by M c ax)( N by N  c) 0 [6,tr.86]

Tính chất 2: Đường phân giác của góc

Cho hai đường thẳng cắt nhau có phương trình 1:a x1 b y1  c1 0 và

2:a x2 b y2 c2 0

    khi đó phương trình hai đường phân giác của các góc tạo

bởi hai đường thẳng đó có dạng 1 1 1 2 2 2

Tính chất 3: Điểm thuộc đường tròn

Đường tròn ( )C có đường kính AB khi đó mọi điểm M( )C ta có

AM BM  AM BM 

Tính chất 4: Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn ( )C ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn có tâm Icách đều các đỉnh A B C, ,

Tính chất 5: Vị trí tương đối của điểm với đường tròn

Cho đường tròn ( )C có tâm I và bán kính R Điểm A cho trước khi đó xảy ra các trường hợp sau:

1, IAR thì I nằm ngoài đường tròn ( )C

2, IAR thì I nằm trên đường tròn ( )C

3, IAR thì I nằm trong đường tròn ( )C

Tính chất 6: Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho đường tròn (C1) có tâm I1 và bán kính R1 và đường tròn (C2) có tâm I2

5, I I1 2  R1R2 thì (C1) và (C2) không cắt nhau và nồng nhau

Tính chất 7: Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn

Cho đường tròn ( )C có tâm I và bán kính R , đường thẳng d cho trước, ta có:

1, d I d( ; )R thì d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt

2, d I d( ; )R thì d tiếp xúc với ( )C

3, d I d( ; )R thì d và ( )C không cắt nhau và không tiếp xúc

a, Cơ sở lý luận của biện pháp

Hệ thống kiến thức cơ bản hình thành lên hệ thống bài tập, đối với một khái niệm sẽ hình thành lên bài tập nhận dạng, thể hiện khái niệm, chứng minh bài toán bằng cách sử dụng khái niệm, tính chất hình thành lên bài tập chứng minh, định lý hình thành lên bài tập chứng minh, bài tập nhận dạng thể hiện định

lý và cả bài tập tìm tòi Những bài toán phải sử dụng kết hợp khái niệm, tính chất hoặc định lý giải quyết

Nắm vững hệ thống kiến thức cơ bản giúp học sinh xác định nhanh dạng, loại bài toán

Dạy học giải hệ thống bài tập toán tổng hợp đóng vai trò quan trọng trong quá trình dạy học Thông qua giải dạng loại bài tập này học sinh thực hiện nhiều hoạt động bao gồm cả nhận dạng và thể hiện khái niệm, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Phân loại bài tập dạng này đáp ứng toàn diện yêu cầu mục tiêu dạy học giải bài tập: Nắm vững củng cố kiến thức, kỹ năng, phương pháp, phát triển tư duy cho học sinh: Thứ nhất là rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng, thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ

cơ bản; thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ [1,tr.45]

b, Mục đích, ý nghĩa của biện pháp

Biện pháp có ý nghĩa quan trọng trong rèn luyện kỹ năng phân loại bài toán vì nó giúp học sinh nhìn bài toán bằng kiến thức cơ bản bản thân đã được học, quá trình rèn luyện giúp học sinh hiểu sâu thêm các biểu hiện khác nhau của kiến thức dưới dạng các loại bài tập Như vậy biện pháp giúp cho quá trình cho quá trình giải toán đạt được hướng giải có tính khả thi và thấy được phương pháp giải theo nhiều hướng khác nhau

Mục đích giúp cho học sinh phát hiện được ngay kiến thức cơ bản trực tiếp sinh ra bài toán, kiến thức liên quan tới bài toán từ các dữ kiện của bài toán Củng cố nâng cao khả năng nhận thức về kiến thức cơ bản dưới dạng bài tập

c, Tổ chức thực hiện rèn luyện

B1: Xác định kiến thức cơ bản từ dấu hiệu có trong bài toán

B2: Xác định loại và cách giải của bài toán cơ bản

B3: Định hướng xây dựng chương trình giải

Trong phạm vi của khóa luận do giới hạn về phạm vi nghiên cứu và số trang của khóa luận nên tôi chỉ phân tích cụ thể biện pháp phân loại hệ thống bài tập dựa trên kiến thức cơ bản còn biện pháp sau không đi sâu phân tích: phân loại bài tập dựa vào phân loại kỹ năng có trong bài toán, phân loại bài tập dựa trên phân loại phương pháp giải

d, Ví dụ minh họa

Bài 3 [8,bài 44.tr.107]

Viết phương trình đường tròn đường kính AB trong các trường hợp sau:

Từ đây ta cũng xác định được bán kính IA của đường tròn Bài toán chuyển về tìm tâm I và độ dài bán kính

Như vậy bài toán 3 tương đương với bài toán viết phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính

Ta xếp bài toán 3 vào bài tập dựa vào khái niệm tâm, bán kính, đường kính

2.1.1 Rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập dựa vào hệ thống khái niệm

a, Cơ sở lý luận của biện pháp

Hệ thống khái niệm là nền tảng cơ bản của kiến thức môn học

Hệ thống khái niệm sinh ra hệ thống bài tập: Bài tập tìm tòi, bài tập nhận dạng thể hiện khái niệm, bài tập chứng minh Ví dụ như từ định nghĩa 1: Phương trình của đường tròn người ta có thể xây dựng lên một hệ thống bài tập như bài tập tìm tâm và bán kính của đường tròn khi biết phương trình của nó, bài tập nhận dạng một phương trình là phương trình của đường tròn, bài tập chứng minh tập hợp điểm M nào đó là một đường tròn, bài tập viết phương trình đường tròn

khi biết tâm và bán kính…

b, Mục đích, ý nghĩa của biện pháp

Biện pháp có ý nghĩa quan trọng trong quá trình rèn luyện giúp học sinh hiểu sâu thêm các biểu hiện khác nhau của khái niệm dưới dạng các loại bài tập Như vậy biện pháp này giúp cho quá trình cho quá trình giải toán đạt được hướng giải có tính khả thi

R I

Mục đích giúp cho học sinh phát hiện được ngay khái niệm trực tiếp sinh

ra bài toán, khái niệm liên quan tới bài toán từ các dữ kiện của bài toán

Củng cố nâng cao khả năng nhận thức về khái niệm dưới dạng bài tập

c, Tổ chức thực hiện rèn luyện

B1: Xác định khái niệm từ dấu hiệu có trong bài toán

Dấu hiệu thứ nhất là yêu cầu của bài toán: Bài toán yêu cầu tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn dấu hiệu này gắn với khái niệm phương trình của đường tròn Nhưng lưu ý không phải bài toán nào yêu cầu tìm tâm và bán kính của đường tròn cũng gắn với khái niệm phương trình đường tròn vì do các dấu hiệu khác của bài toán quyết định

Dấu hiệu thứ hai là dữ kiện của bài toán nghiên cứu kỹ dữ kiện của bài toán kết hợp với yêu cầu của đầu bài ta sẽ biết dấu hiệu này gắn với khái niệm nào

Dấu hiệu thứ ba là những biến đổi từ dữ kiện của bài toán có thể quy bài toán đó về bài toán gắn với khái niệm đã biết

B2: Từ những phân tích ở bước 1, chúng ta sẽ biết bài toán thuộc vào loại dựa vào khái niệm nào, dẫn tới việc ta nắm được cách giải của bài toán

B3: Định hướng xây dựng chương trình giải theo phân loại bài tập dựa vào khái niệm đã phân tích ở trên

Phân tích bài toán yêu cầu xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn Dữ kiện mà chúng ta có là phương trình của đường tròn Theo định nghĩa 1 thì đường tròn có phương trình dạng (1) hoặc (2)

a; (x4)2 (y2)2 7

Phương trình của đường tròn (xx0)2 (y y0)2  R2 (1), việc xác

định tọa độ tâm và bán kính là việc xác định các hệ số x y R0; 0; Để xác định được tọa độ tâm và bán kính học sinh đối chiếu phương trình đã cho ở câu a với phương trình của đường tròn dạng (1) để xác định các hệ số x y R0; 0; , bài toán là hai bài toán cơ bản, bài toán thứ nhất là tìm tọa độ tâm, bài toán thứ hai là tìm bán kính liên quan tới phương trình tổng quát Dấu hiệu của phương trình là phương trình tổng quát trong phương trình tổng quát ta thấy ở đây đã xuất hiện dấu hiệu y0 nhưng chưa xuất hiện dấu hiệu x R0; , như vậy ta phải chuyển hóa 0

thêm bớt các số hạng tự do để ta có được phương trình dạng (1), khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình: 2 2 2

(x3) (y2) 7 Hoặc đưa phương trình về dạng tổng quát bằng cách tách hệ số m của x

và chuyển số hạng tự do ở vế phải sang

vế trái khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình:

2( 3) 2( 2) ( 36) 0

Ý d ta phân tích tương tự như ở ý c

Phương trình cho ở ý e; f có số hạng tự do nằm ở vế phải nên khi đưa phương trình về dạng tổng quát ta không cần chuyển vế số hạng tự do này mà tiến hành phân tích hệ số của x y như đã nêu ở trên ;

Ta đã biến đổi phương trình đường tròn về dạng tổng quát hoặc chính tắc Bài toán bây giờ trở thành bài toán xác tọa định tâm và bán kính của đường tròn khi biết phương trình tổng quát, chính tắc của đường tròn

Ta xếp bài toán 1 vào nhóm bài tập dựa vào định nghĩa phương trình của đường tròn

Theo định nghĩa 1, đường tròn có phương trình dạng (1) hoặc (2), muốn một phương trình là phương trình của đường tròn thì nó phải có dạng (1) hoặc (2)

Dấu hiệu của các phương trình ở bài toán 2 này là các phương trình chưa

có dạng (1) hoặc (2) ta đưa các phương trình này về một trong hai dạng phương trình của đường tròn Đối với ý a và b, bằng cách làm tương tự như bài toán 1 Nếu phương trình nào thỏa mãn dạng (1) hoặc (2) thì ta kết luận đó là phương trình của đường tròn, không thỏa mãn thì không là phương trình của đường tròn Sau đó ta mới đi xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn

Dựa theo định nghĩa 1, để một phương trình có dạng (2) là phương trình của đường tròn thì ta cần phải có a2 b2  c 0 vì phương trình

c  x2 y2 2x2y 7 0 các hệ số của x y đều bằng 2; 2 1 để làm tương tự như các ý a, b ta phải đưa phương trình này về phương trình mới có các

hệ số của x y đều bằng 2; 2 1, bằng cách nhân cả hai vế của phương trình với 1

Như vậy phương trình đang xét không phải là phương trình của đường tròn

Ta xếp bài toán 2 vào nhóm bài tập dựa định nghĩa phương trình của đường tròn

Bài 4 [8,bài 44.tr.108]

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết

(1;3); (5;6); (7;0)

A B C

Phân tích: Bài toán yêu cầu viết phương trình đường tròn ( )C ngoại tiếp

tam giác ABC , dữ kiện mà bài toán cho là tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Theo khái niệm 2, đường tròn ( )C ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua các đỉnh của tam giác ABC hay nói cách khác , , A B C( )C , giả sử phương trình của đường tròn là (xx0)2 (yy0)2 R2 hoặc

2 2

x  y  ax by c , ta chỉ cần thay tọa độ ba điểm A B C; ; vào phương trình của đường tròn sau đó giải hệ phương trình để tìm ra các chỉ số của tâm và bán kính và cuối cùng là ta thay các chỉ số của tâm và bán kính vào phương trình của đường tròn để tìm ra phương trình cần tìm

Như vậy bài toán 4 tương đương với bài toán viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm

Ta xếp bài toán 4 vào bài tập dựa vào khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác và khái niệm phương trình đường tròn

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm là I và có bán kính r

Theo khái niệm 3, tâm I cách đều các cạnh của tam giác ABC một

khoảng bằng r Dựa vào khái niệm này chúng ta có một cách hướng đi xác định tâm và bán kính của đường tròn

Giả sử đường tròn có tâm I và có bán kính r Viết phương trình của đường tròn khi biết tâm và bán kính, sau đó sử dụng tính chất tâm I cách đều