Luận văn thạc sĩ toán phương pháp một số đồng nhất thức

Luận văn thạc sĩ toán phương pháp về một số đồng nhất thức của cô Huỳnh Thị Mỹ Dung dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy Tiến sĩ Trịnh Đào Chiến. Luận văn này gồm 65 trang pdf trình bày đẹp qua phần mềm latex. Luận văn gồm 3 chương chính và một số phần phụ.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN

Bình Định - 2012

MỤC LỤC

Mục lục i

Lời mở đầu 1

Chương 1 Một số đồng nhất thức đại số 5 1.1 Đồng nhất thức Lagrange 5

1.1.1 Dạng tổng quát thứ nhất 5

1.1.2 Dạng tổng quát thứ hai 6

1.1.3 Áp dụng 10

1.2 Đồng nhất thức Newton 14

1.2.1 Đồng nhất thức Newton 14

1.2.2 Áp dụng 16

Chương 2 Đồng nhất thức liên quan đến tam giác 19 2.1 Đồng nhất thức Leibnitz tổng quát 19

2.1.1 Kiến thức chuẩn bị 19

2.1.2 Đồng nhất thức Leibnitz tổng quát 26

2.2 Áp dụng 27

Chương 3 Đồng nhất thức dạng phân thức hữu tỷ 33 3.1 Đồng nhất thức cảm sinh bởi Công thức nội suy Lagrange 33

3.1.1 Công thức nội suy Lagrange 33

3.1.2 Áp dụng 34

3.2 Đồng nhất thức dạng phân thức hữu tỷ 39

3.2.1 Đồng nhất thức dạng phân thức hữu tỷ 39

3.2.2 Áp dụng 42

Kết luận 60

Tài liệu tham khảo 61

Cho đến nay, tùy theo lĩnh vực nghiên cứu, số đồng nhất thức xuất hiệnngày càng phong phú với rất nhiều ứng dụng quan trọng Cùng với bất đẳngthức, các bài toán về chứng minh đồng nhất thức thường có mặt trong các

đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia và Olympic toán quốc tế Đây là nhữngdạng toán quen thuộc, nhưng đối với những lĩnh vực chuyên sâu, nó thườngrất khó

Trong chương trình toán phổ thông, mặc dù xuất hiện cũng khá nhiềunhưng việc đề cập về đồng nhất thức và áp dụng của nó như là một chuyên

đề chọn lọc cho giáo viên và học sinh chuyên toán ở bậc phổ thông thì chưa

có nhiều, chưa được hệ thống theo dạng và xem xét các khía cạnh tổng quáthóa của chúng Luận văn này đề cập đến một số đồng nhất thức cơ bản cùngvới những áp dụng của nó trong chương trình toán phổ thông

Ngoài lời mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm bachương:

Chương 1 Đề cập đến hai đồng nhất thức đại số mà dạng đơn giản của

chúng rất quen thuộc trong chương trình toán phổ thông, đó là Đồng nhấtthức Lagrange và Đồng nhất thức Newton

Có thể nói rằng hai đồng nhất thức trên chiếm một vị trí khá quan trọngtrong chương trình toán Trung học cơ sở và Trung học phổ thông Rất nhiềuđồng nhất thức có "cái gốc" là một trong hai đồng nhất thức này

Việc nghiên cứu các dạng tổng quát của Đồng nhất thức Lagrange cho tamột cái nhìn tổng quát từ một số đồng nhất thức riêng rẽ Từ các dạng này,cùng với một số phương pháp kết hợp, luận văn đã trình bày một số bài tập

tự sáng tác Việc làm này rất cần thiết cho các giáo viên đang giảng dạy ởchương trình toán phổ thông Nhiều bài tập tự sáng tác này có thể dùng làmcác đề thi hoặc tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi ở các cấp Trung học cơ sở vàTrung học phổ thông

Ta biết rằng, có một phương pháp để sáng tác các bất đẳng thức từ cácđồng nhất thức là "bỏ đi một biểu thức không âm" Luận văn đã đề xuất khánhiều bất đẳng thức từ các dạng tổng quát của Đồng nhất thức Lagrange.Việc nghiên cứu Đồng nhất thức Newton cho ta một cái nhìn tổng quát

về hệ thức truy hồi liên quan đến các nghiệm của một đa thức Nó còn là

"cái gốc" của các dạng toán liên quan đến đa thức (mà ở phổ thông thườnggặp là các tam thức bậc hai), các dạng toán liên quan đến việc xác định một

số công thức truy hồi (như công thức truy hồi tuyến tính của Dãy Lucas) vàmột số dạng toán liên quan đến việc tính một số tổng hữu hạn mà luận văn

đã đề cập trong phần áp dụng

Chương 2 Luận văn đề cập đến một đồng nhất thức quan trọng liên

quan đến việc biểu diễn hoặc tính các khoảng cách giữa các điểm đặc biệttrong tam giác: Đồng nhất thức Leibnitz tổng quát

Có thể nói rằng, Đồng nhất thức Leibnitz tổng quát là "cái gốc" của nhiều

hệ thức và bất đẳng thức liên quan đến các điểm đặc biệt trong tam giác như:trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp,Điểm Lhuilier-Lemoine, Điểm Gergonne, Điểm Nagel, Điểm Crell-Brocard,

Từ đồng nhất thức này, luận văn đã đề xuất một phương pháp mà có thể

"vét" hầu hết các hệ thức và bất đẳng thức quan trọng liên quan đến khoảngcách giữa các điểm đặc biệt trong tam giác Từ phương pháp này, các giáoviên phổ thông có thể nắm được những "cái gốc" của những bài toán trongcác đề thi chọn học sinh giỏi các cấp Từ đó có thể tự sáng tác ra nhiều bàitập khác, làm tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi

Chương 3 Luận văn đề cập đến các đồng nhất thức dạng phân thức hữu

tỷ Nó là "cái gốc" của khá nhiều đồng nhất thức dạng phân thức thườnggặp trong chương trình toán phổ thông và trong các đề thi học sinh giỏi cấpTrung học cơ sở và Trung học phổ thông

Nhiều đồng nhất thức đã cảm sinh từ Công thức nội suy Lagrange, mộtcông thức nội suy quan trọng của Giải tích và dưới góc nhìn phù hợp, nócho ta một số đồng nhất thức khá quen thuộc trong chương trình toán phổthông

Một số tính chất cơ bản của đồng nhất thức dạng phân thức hữu tỷ cũngđược luận văn đề cập Từ các tính chất này, nhiều bài toán liên quan đếnphân thức hữu tỷ ở phổ thông đã được đề cập

Mặc dù, tác giả đã cố gắng rất nhiều trong quá trình nghiên cứu, song donăng lực bản thân còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếusót Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận vănđược hoàn thiện hơn

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Trịnh ĐàoChiến, người trực tiếp hướng dẫn tác giả thực hiện luận văn này và là người

đã định hướng cho tác giả nhiều phương pháp học tập, nghiên cứu Nhân

đây, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học,Khoa Toán học Trường Đại học Quy Nhơn đã tạo điều kiện thuận lợi cho tácgiả trong suốt quá trình học tập; gia đình, bạn bè đã cùng chia sẻ, động viên

và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu đề tài

Định lý 1.1.2.

M m 

$'

p
1qr C r 2r
1p¸a r b rq2

r¸
1

l1p
1ql C 2r 2r
l
1p¸a 2r
l b lqp¸a l b 2r
lq

Bởi sự hoán vị của các chỉ số i và j, ta có

Với các số p, q nguyên dương xác định, áp dụng Hệ quả 1.1.3 với

Với m  1, 2, 3, 4, 5, , từ (1.7), ta thu được các bất đẳng thức cụ thể

Để đơn giản, ta chỉ thực hiện với n  3, các bài toán có thể tổng quát với n

bất kỳ

Trong (1.6), cho b1  b2  b3  1, ta được đồng nhất thức

Trong (1.8), nếu thay a1 bởi a1
a2, a2 bởi a2
a3, a3 bởi a3
a1, thì

a1 a2 a3 được thay bởi pa1
a2q pa2
a3q pa3
a1q  0 Do đó, ta có

Dưới đây là một số phương pháp sáng tác bài tập toán phổ thông từ Đồng

nhất thức Lagrange Để đơn giản, ta thực hiện cho trường hợp n  3 Có thể

mở rộng cho trường hợp tổng quát

Từ đồng nhất thức trên, nếu cho

Do đó a1  a2  a3 Ta có bài toán sau

Bài toán 1.2 Chứng minh rằng từ đẳng thức

Ta có bài toán sau

Bài toán 1.3 Chứng minh đồng nhất thức

Bài toán 1.4 Chứng minh rằng từ các đẳng thức a21 a22 a23  1 và

b21 b22 b23  1, suy ra rằng
1 ¤ a1b1 a2b2 a3b3 ¤ 1.

Bây giờ, giả sử thêm rằng các số a k , b k đều là số dương và thỏa mãn

α¤ a k

b k ¤ β, k  1, 2, 3, với α và β là các số dương nào đó.

Từ đó, ta sáng tác được bài toán sau

Bài toán 1.5 Giả sử rằng các số a k , b k đều là số dương và thỏa mãn α ¤

Đồng nhất thức (1.12) được gọi là Đồng nhất thức Newton.

Dưới đây là Đồng nhất thức Newton với n  3.

2 , a2  1

?5

k
1 ?5

2

k

, k  1, 2,

Dãy pL kq được gọi là Dãy Lucas

Ta cần xác định công thức truy hồi tuyến tính của dãy này

Áp dụng Đồng nhất thức Newton, ta có

$''''''

&

''''''

&

''''''

L1  1,

L2  3,

L n 2  L n 1 L n , @n ¥ 1.

Chẳng hạn bài toán sau đây

Bài toán 1.6 Giả sử x1, x2, x3 P R, thỏa mãn

$''''''

''''

ABC : tam giác ABC.

A, B, C : các đỉnh hoặc góc ở đỉnh của tam giác ABC

a, b, c : cạnh BC, CA, AB

h a , h b , h c : chiều cao tương ứng của các đỉnh A, B, C

m a , m b , m c : trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C

l a , l b , l c : phân giác của các góc A, B, C

R : bán kính đường tròn ngoại tiếp

r : bán kính đường tròn nội tiếp

p : nửa chu vi tam giác

r a , r b , r c : bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với các góc A, B, C

O : tâm đường tròn ngoại tiếp

I : tâm đường tròn nội tiếp

H : trực tâm tam giác

G : trọng tâm tam giác

9r2
3p2 2pa2 b2 c2q.

2.1.1.4 Một số điểm đặc biệt trong tam giác

với một đỉnh là đường thẳng đối xứng với trung tuyến qua phân giác tươngứng với đỉnh đó

Các đường đối trung của một tam giác đồng quy tại một điểm Điểm nàyđược gọi là Điểm Lhuilier-Lemoine (ký hiệu là K)

Hình 2.1: Điểm Lhuilier-Lemoine

tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’

Các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy tại một điểm Điểm này gọi làĐiểm Gergonne (ký hiệu là J)

Hình 2.2: Điểm Gergonne

2.1.1.4.3 Điểm Nagel Cho tam giác ABC Đường tròn bàng tiếp của tam

giác tiếp xúc với các cạnh tương ứng đỉnh A, B, C lần lượt tại A1, B1, C1.

Các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại một điểm Điểm này đượcgọi là Điểm Nagel (ký hiệu là N)

Các điểm này được gọi tương ứng là Điểm Brocard 1 và Điểm

Crell-Brocard 2 Góc ω được gọi là góc Crell-Crell-Brocard.

Hình 2.4: Điểm Crell-Brocard 1

Hình 2.5: Điểm Crell-Brocard 2

P là điểm tùy ý trên mặt phẳng (ABC) Đặt

S a  S BP C , S b  S CP A , S c  S AP B

Hình 2.6: Tam giác ABC

Người ta đã chứng minh hệ thức vectơ cơ bản sau

- Khi P  I, hệ thức trở thành °S a ÝÑIA  ÝÑ0 , nhưng vì S

a  1

2ra, S b 1

- Khi P  H, hệ thức trở thành °S a ÝÝÑHA  ÝÑ0 Giả sử AH, BH, CH cắt BC,

CA, AB lần lượt tại A1, B1, C1 Do đó

Cho tam giác ABC Ta biết rằng, với ba số thực x1, x2, x3 xác định thỏa

mãn x1 x2 x3  0, luôn tồn tại duy nhất điểm P thuộc mặt phẳng pABCq

sao cho

¸

x1.ÝÑP A  ÝÑ0 Với một điểm M bất kỳ cho trước trên mặt phẳng pABCq, điểm P nêu trên

được xác định bởi hệ thức sau

Với một số bộ giá trị đặc biệt của x1, x2, x3 thì P sẽ trùng với các điểm

đặc biệt của tam giác ABC Chẳng hạn, từ các công thức (2.1) - (2.10) ở phần 2.1.1.4.5, ta đã biết rằng

- Nếu px1, x2, x3q  p1, 1, 1q, thì P  G;

- Nếu px1, x2, x3q  pa, b, cq, thì P  I;

- Nếu px1, x2, x3q  psin 2A, sin 2B, sin 2Cq, thì P  O;

- Nếu px1, x2, x3q  ptan A, tan B, tan Cq, thì P  H;

M G, M I, M O, M H, M K, M J, M N, M Ω i , i  1, 2 Chẳng hạn như sau

9.M G2  3¸M A2
¸a2;

p¸aq2

M I2  ¸a.M A2
abc;

p¸sin 2Aq2

M O2  p¸sin 2Aqp¸sin 2A.M A2q
¸a2sin 2B sin 2C;

p¸tan Aq2

M H2  p¸tan Aqp¸tan A.M A2q
¸a2tan B tan C.

Sau đó chọn điểm M lần lượt trùng với các điểm đặc biệt G, I, O, H, K, J,

N, Ω i , i  1, 2 và áp dụng một số hệ thức đã biết cùng với một số bước biến

đổi, ta thu được các đồng nhất thức biểu diễn độ dài của các đoạn thẳng nốicác điểm đặc biệt của tam giác Cụ thể như sau

- Khi M  O : Đồng nhất thức Leibnitz tổng quát trở thành

OP2  R2

°

a2x2x3

p°x1q2

suy ra bất đẳng thức

R2p¸x1q2 ¥ ¸a2x2x3.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P  O.

- Khi P  G : Đồng nhất thức Leibnitz tổng quát trở thành

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M  G.

- Khi P  I : Đồng nhất thức Leibnitz tổng quát trở thành

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M  I.

- Khi P  K : Đồng nhất thức Leibnitz tổng quát trở thành

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M  K.

- Khi P  J : Đồng nhất thức Leibnitz tổng quát trở thành

suy ra bất đẳng thức

¸ MA2

p
a ¥

4p pR rq 4R r .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M  J.

- Khi P  N : Đồng nhất thức Leibnitz tổng quát trở thành

Chương 3

ĐỒNG NHẤT THỨC DẠNG PHÂN THỨC HỮU TỶ

Lagrange

3.1.1 Công thức nội suy Lagrange

Định lý 3.1.1 Cho n số x1, x2, , x n phân biệt và n số a1, a2, , a n tùy ý Thế thì tồn tại duy nhất một đa thức P pxq với bậc không quá n
1, thỏa mãn

Đa thức (3.2) được gọi là đa thức nội suy Lagrange hoặc Công thức nội

suy Lagrange Các số x1, x2, , x n được gọi là các nút nội suy

Hệ quả 3.1.2 Cho n số x1, x2, , x n phân biệt Thế thì mọi đa thức P pxq

với bậc không quá n
1, đều có thể viết được dưới dạng

Vế phải của (3.9) là đa thức có hệ số của x n
1 là

Bài toán 3.2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử

x31px2
x3q x3

2px3
x1q x3

3px1
x2q.

Ngoài ra, từ (3.6) và (3.7), ta còn có thể so sánh hệ số của x n
2, x n
3,

và tìm được nhiều đẳng thức khác để sáng tác bài tập Chẳng hạn, với n  3.

So sánh hệ số của x, ta được bài tập sau

Bài toán 3.3 Với 3 số nguyên bất kỳ x1, x2, x3 khác nhau từng đôi một, chứng minh đẳng thức sau

So sánh hệ số tự do, ta được bài tập sau

Bài toán 3.4 Với 3 số nguyên bất kỳ khác nhau từng đôi một, chứng minh

Bây giờ, với n giá trị phân biệt x1, x2, , x n nêu trên, áp dụng Công thức

nội suy Lagrange đối với đa thức f pxq  x k , với k P N, k ¤ n
1 và bởi

Vế trái của (3.15) là đa thức bậc k, hệ số của x k bằng 1.

Vế trái của (3.15) là đa thức có bậc không lớn hơn n
1, hệ số của x n
1 bằng

cos 30pcos 30
cos 10qpcos 30
cos 20q.

3.2 Đồng nhất thức dạng phân thức hữu tỷ

3.2.1 Đồng nhất thức dạng phân thức hữu tỷ

Định nghĩa 3.2.1 Hàm số f : R ÝÑ R được gọi là phân thức hữu tỷ nếu

tồn tại các đa thức P pxq và Qpxq sao cho

f pxq  P pxq

Khi P pxq và Qpxq là các đa thức nguyên tố cùng nhau (không có ước

chung) thì (3.18) được gọi là phân thức hữu tỷ chính tắc

Định nghĩa 3.2.2 Đa thức P pt1, t2, , t n q với bộ n biến thực t1, t2, , t n

Ta gọi E r p¯aq pr P p1, , nqq là hàm đa thức đối xứng sơ cấp thứ r pE r p¯aq

là tổng của tất cả các tích r số khác nhau của bộ số ¯ a).

Kí hiệu

P r p¯aq  r! pn
rq!

n! E r p¯aq.

Định lý 3.2.4 Nếu hai đa thức g pxq, hpxq nguyên tố cùng nhau với deg gpxq 

m, và deg h pxq  n thì đa thức bất kỳ fpxq với deg fpxq   m n đều có thể biểu diễn được dưới dạng f pxq  rpxqgpxq s pxqhpxq, deg rpxq   n và deg s pxq   m.

Bổ đề 3.2.5 Giả sử hai đa thức g pxq, hpxq nguyên tố cùng nhau và đa thức

f pxq với deg fpxq   deg gpxq deg hpxq Khi đó có biểu diễn sau:

trong đó deg r pxq   deg hpxq và deg spxq   deg gpxq.

Định lý 3.2.6 Mỗi phân thức hữu tỷ f pxq

g pxq với deg f pxq   deg gpxq đều phân

tích được thành tổng các phân thức hữu tỷ đơn giản.

Hệ quả 3.2.7 Mỗi phân thức hữu tỷ f pxq

g pxq đều phân tích được thành tổng

của một đa thức và các phân thức hữu tỷ đơn giản.

Hệ quả 3.2.8 Mỗi phân thức hữu tỷ f pxq

g pxq đều biểu diễn được dưới dạng

3.2.1.2 Phân tích phân thức hữu tỷ thành nhân tử

Ta biết rằng đối với mỗi đa thức đại số P pxq, khi x  x0 là một nghiệm

của nó thì đa thức P pxq chia hết cho x
x0, tức là

q pxq với pppxq, qpxqq  1 Với mỗi x0 sao cho

f px0q có nghĩa, ta luôn có biểu diễn

f pxq
fpx0q  px
x0qh pxq

q pxq ,

trong đó h pxq là đa thức và deg hpxq ¤ deg ppxq
1.

Chứng minh Với phép chia đa thức, ta có thể biểu diễn

p pxq  px
x0qp1pxq r

và

q pxq  px
x0qq1pxq s, trong đó p1pxq, q1pxq là các đa thức và r, s là các hằng số (Định lý 3.2.4) Vậy

Do vậy, ta có biểu diễn

f pxq
fpx0q  px
x0qh pxq

q pxq . Trường hợp đặc biệt khi q pxq  px
x1qpx
x2q px
x nq và có biểu diễn

ta có thể biểu diễn p pxq và qpxq như sau

p pxq  x.p1pxq r, với p1pxq  0, r  1;

Giải iq Dễ dàng kiểm tra đồng nhất thức

Cộng các vế theo cột dọc, ta thu được đồng nhất thức cần chứng minh

iiq Tương tự, nhân các vế theo cột dọc, ta được điều cần chứng minh

Bài toán 3.11 Chứng minh rằng, với mọi đa thức p pxq có deg ppxq   n, ta

Bài toán 3.12 Chứng minh rằng, với mọi đa thức p pxq có deg ppxq   n, ta

Giải Từ việc tách các phân thức (theo Công thức nội suy Lagrange)

từ đó ta có điều phải chứng minh

Bài toán 3.14 Giả sử các số α1, α2, , α n đôi một khác nhau và α i α j  0

với mọi i, j  1, 2, , n Hãy giải hệ phương trình sau

$''''''''''