Luận văn phép biến đổi phân tuyến tính trên trục thực và một số ứng dụng

Luận văn thạc sĩ toán chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp tựa đề các phép biến đổi phân tuyến tính trên trục thực và một số ứng dụng do học viên Nguyễn Phương Ngọc thực hiện dưới sự hướng dẫn kho học của giáo sư tiến sĩ khoa học Nguyễn Văn Mậu. Luận văn gồm 62 trang pdf thực hiện bởi chương trình latex gồm ba chương chính và phần mở đầu và phụ lục, tài liệu tham khảo.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC PHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI PHÂN TUYẾN TÍNH TRÊN TRỤC THỰC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC PHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI PHÂN TUYẾN TÍNH TRÊN TRỤC THỰC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Bình Định - 2012 Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa hàm số số tính chất 1.1.1 Định nghĩa hàm số 1.1.2 Hàm số liên tục 1.1.3 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn 1.2 Đặc trưng hàm số hàm số sơ cấp 1.3 Một số tính chất hàm phân tuyến tính 10 Một số lớp phương trình hàm sinh hàm phân tuyến tính 16 2.1 Một lớp phương trình hàm tuyến tính 16 2.2 Một lớp phương trình hàm phân tuyến tính dạng 22 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.4 αx + β = x có nghiệm phân biệt 22 γx + δ αx + β Trường hợp phương trình = x có nghiệm kép 24 γx + δ αx + β Trường hợp phương trình = x khơng có nghiệm thực 26 γx + δ Trường hợp phương trình Một số lớp phương trình hàm phân tuyến tính mở rộng 2.3.1 Lớp phương trình hàm phân tuyến tính với hệ số biến thiên 29 2.3.2 Lớp phương trình hàm với vế phải hàm phân tuyến tính 34 Bài tập áp dụng 36 Một số toán liên quan đến hàm phân tuyến tính 3.1 29 38 Phương trình hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số 38 3.1.1 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số 38 3.1.2 3.2 3.3 Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số 47 Lớp tốn cơng thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ số 53 Bài tập áp dụng 57 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 Mở đầu Phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng giải tích tốn học có nhiều ứng dụng lĩnh vực tốn học khác Lớp phương trình hàm sử dụng phép biến đổi phân tuyến tính để giải tốn phổ thông thường xuất nhiều kỳ thi học sinh giỏi, thi olympic quốc gia, khu vực quốc tế Tuy nhiên, học sinh trường chuyên, lớp chọn biết phương pháp giải phương trình hàm tốn dãy số vận dụng phép biến đổi phân tuyến tính Vì thế, việc nghiên cứu để đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy tốn bậc phổ thơng định hướng Thầy giáo Nguyễn Văn Mậu, luận văn "Phép biến đổi phân tuyến tính trục thực số ứng dụng" với mục tiêu tổng hợp, chọn lọc hệ thống cách giải lớp phương trình hàm sinh hàm phân tuyến tính Đồng thời vận dụng phép biến đổi phân tuyến tính để giải số toán liên quan dãy số dạng phân tuyến tính Trên tinh thần đó, luận văn chia thành ba chương: Chương Một số tính chất hàm phân tuyến tính Chương nêu lên số kiến thức hàm số nói chung hàm phân tuyến tính nói riêng Từ tính chất đặc trưng hàm phân tuyến tính sinh lớp phương trình hàm sử dụng phép biến đổi phân tuyến tính để giải Chương Một số lớp phương trình hàm sinh hàm phân tuyến tính Phần đầu chương tác giả dành cho việc trình bày lớp phương trình hàm tuyến tính dạng f (αx + β) = af (x) + b, ∀x ∈ R, α = 0, a = (0.1) Đây lớp phương trình hàm làm sở vận dụng q trình giải phương trình hàm nói chung lớp phương trình hàm sinh dạng phân tuyến tính nói riêng Tiếp theo, tác giả trình bày lớp phương trình hàm mở rộng dạng (0.1), lớp phương trình hàm phân tuyến tính dạng f αx + β γx + δ = af (x) + b, a = 0, γ = 0; αδ − βγ = (0.2) Trong phần này, tác giả trình bày hệ thống phương pháp giải dạng (0.2) thơng qua ba trường hợp cụ thể: • Trường hợp phương trình αx + β = x có nghiệm phân biệt γx + δ • Trường hợp phương trình αx + β = x có nghiệm kép γx + δ • Trường hợp phương trình αx + β = x khơng có nghiệm thực γx + δ Từ đó, ta có cách giải tổng quát cho lớp phương trình hàm dạng (0.2) Tiếp theo, tác giả đề xuất lớp phương trình hàm phân tuyến tính mở rộng với hệ số biến thiên f αx + β γx + δ = g(x)f (x) + h(x), γ = 0; αδ − βγ = (0.3) Dạng (0.3) trình bày thơng qua số tốn phương pháp giải cụ thể Phần cuối, tác giả giới thiệu lớp phương trình hàm phân tuyến tính cho biến số hàm số dạng f( at af (t) )= , f (0) = 0, f (0) = 1 − bt + cf (t) (0.4) Chương Một số toán liên quan đến hàm phân tuyến tính Phần trình bày số lớp phương trình hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số để sử dụng vào việc tuyến tính hóa với hàm phân tuyến tính Phần trọng tâm chương giải toán quan trọng dãy số liên quan đến hàm phân tuyến tính: • Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số • Tính tuần hồn dãy sinh dạng phân tuyến tính • Giới hạn số dãy truy hồi dạng phân tuyến tính Trong khn khổ luận văn, dù biết đề cập hết dạng toán phép biến đổi phân tuyến tính, nhiên hy vọng tài liệu tham khảo cho bạn học sinh u thích tốn học q thầy giáo phổ thông Mặc dù cố gắng khả thời gian có hạn nên chắn luận văn nhiều sai sót Kính mong q thầy giáo bạn đồng nghiệp góp ý để luận văn hoàn chỉnh Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn nhiệt tình, đầy nghiêm khắc GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu; Thầy hướng dẫn tơi hồn thành luận văn mà dẫn cho tơi bước đầu làm quen với việc nghiên cứu tốn học, gợi mở nhiều ý tưởng hay truyền đạt nhiều kiến thức quý báu kinh nghiệm nghiên cứu khoa học suốt thời gian theo học nghiên cứu đề tài Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Văn Mậu, người tận tâm bảo, giúp tơi hồn thành luận văn Nhân đây, tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Khoa Toán học Trường Đại học Quy Nhơn với q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn khóa 13 quan tâm, giúp đỡ, động viên chia sẻ cho tơi nhiều q trình nghiên cứu để hồn thành luận văn Bên cạnh đó, tác giả nhận quan tâm Ban Giám hiệu trường THPT Chu Văn An, bạn đồng nghiệp, anh chị em lớp cao học Tốn khóa 13 Trường Đại học Quy Nhơn động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tơi có nhiều thời gian hoàn thành tốt đề tài Luận văn q gửi đến gia đình, người vợ u q động viên, chia sẻ với tơi suốt trình học tập nghiên cứu Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức hàm số, đặc trưng hàm số tính chất hàm phân tuyến tính 1.1 1.1.1 Định nghĩa hàm số số tính chất Định nghĩa hàm số Định nghĩa 1.1 Cho hai tập X, Y ⊂ R Một ánh xạ f : X → Y gọi hàm số từ tập X đến tập Y kí hiệu y = f (x) X: gọi tập xác định hàm số thường kí hiệu D Khi ta viết f : D → R f (x0 ) giá trị hàm số điểm x0 ∈ D Tập T = {f (x) |x ∈ D} gọi tập giá trị hàm số f Lưu ý: • t ∈ T ⇔ phương trình f (x) = t có nghiệm x ∈ D • t ∈ T ⇔ t viết dạng t = f (x) với x ∈ D Điểm x0 ∈ D gọi điểm bất động hàm số f f (x0 ) = x0 Như việc tìm điểm bất động hàm số f (x) thực chất việc giải phương trình f (x) = x, điểm bất động giúp nhiều việc giải số tốn phương trình hàm 1.1.2 Hàm số liên tục Định nghĩa 1.2 Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a, b) Ta nói hàm số f (x) liên tục x0 ∈ (a, b) lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Một số tính chất f (x) liên tục x0 ∈ D ⇔ ∀ {xn } ⊂ D, xn = x0 : lim xn = x0 ⇒ lim f (xn ) = f (x0 ) n→∞ n→∞ Tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số khác 0) hai hàm số liên tục x0 hàm số liên tục x0 Nếu f (x) hàm số liên tục hàm số f (λx), ∀λ ∈ R hàm số liên tục Nếu g(x) liên tục x0 hàm f (u) liên tục u0 = g(x0 ) hàm hợp f (g(x)) liên tục x0 Nếu hàm số f (x) đơn ánh, liên tục khoảng đơn điệu thực khoảng Nếu hàm f : R → R liên tục cộng tính f (x) = kx, k ∈ R tùy ý (Phương trình hàm cauchy) Nếu hàm f : R+ → R+ liên tục nhân tính f (x) = xα , ∀α ∈ R x+y f (x) + f (y) )= , ∀ x, y ∈ R 2 hàm f có dạng tuyến tính, nghĩa f (x) = ax + b, ∀x ∈ R; ∀a, b ∈ R Nếu hàm số f (x) liên tục R f ( 1.1.3 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn Trước hết, ta xét lớp hàm số tuần hoàn phản tuần hồn cộng tính Định nghĩa 1.3 (Xem [1]) Hàm số f (x) gọi hàm tuần hồn cộng tính chu kỳ a, (a > 0) M M ⊂ D(f )   ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M  f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M Nếu tồn số dương T nhỏ số a T gọi chu kỳ sở hàm số f (x) 2xπ hàm tuần hồn cộng tính chu kỳ R Thật vậy, ta có ∀x ∈ R x ± ∈ R Ví dụ 1.1 Hàm số f (x) = sin f (x + 3) = sin 2xπ 2π (x + 3) = sin = f (x), ∀x ∈ R 3 Định nghĩa 1.4 (Xem [1]) Hàm số f (x) gọi hàm phản tuần hoàn cộng tính chu kỳ b, (b > 0) M M ⊂ D(f )   ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M  f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M Nếu tồn số dương T nhỏ số b T gọi chu kỳ sở hàm số f (x) Ví dụ 1.2 Hàm số f (x) = sin πx hàm phản tuần hoàn cộng tính chu kỳ R Thật vậy, ta có ∀x ∈ R x ± ∈ R f (x + 1) = sin π(x + 1) = − sin πx = −f (x), ∀x ∈ R Tiếp theo, ta khảo sát lớp hàm số tuần hoàn phản tuần hồn nhân tính Định nghĩa 1.5 (Xem [1]) Hàm số f (x) gọi hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ a, (a ∈ / {0; −1; 1}) M M ⊂ D(f )   ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M  f (ax) = f (x), ∀x ∈ M Ví dụ 1.3 Hàm số f (x) = sin(2π log2 x) hàm số liên tục tuần hồn nhân tính chu kỳ R+ Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ 2±1 x ∈ R+ f (2x) = sin(2π log2 (2x)) = sin(2π + 2π log2 x) = sin(2π log2 x) = f (x), ∀x ∈ R+ Định nghĩa 1.6 (Xem [1]) Hàm số f (x) gọi hàm phản tuần hồn nhân tính chu kỳ a, (a ∈ / {0; −1; 1}) M M ⊂ D(f )   ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ D  f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M 46 Ta có u1 = ⇒ = −A + 3B − − , hay −A + 3B = 17 u2 = ⇒ = A + 9B − (3.7) − , hay A + 9B = 41 12 (3.8) Giải hệ gồm hai phương trình (3.7) (3.8), ta A=− 25 61 ,B = 48 48 Vậy un = − 61 25 1 (−1)n + 3n − − 2n+1 48 48 4.(n + 1) Dạng Tìm un , biết u1 = α, u2 = β, aun+1 + bun + cun−1 = v cos n + µ sin n (a = 0), n ≥ Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0, tìm λ Ta có un = uˆn +u∗n , uˆn nghiệm tổng quát phương trình nhất, xác định Dạng 1, hệ số A B chưa xác định, u∗n = k cos n + l sin n Thay u∗n vào phương trình, đồng hệ số, tính k, l Từ hệ thức un = uˆn + u∗n u1 , u2 , ta tính A B Bài tốn 3.9 Tìm un , biết u1 = 1, u2 = 0, un+1 − 2un + un−1 = sin n, n ≥ Lời giải Giải phương trình đặc trưng λ2 − 2λ + = 0, ta nghiệm kép λ = Ta có un = uˆn + u∗n , uˆn = (A + Bn).1n = A + Bn, u∗n = k cos n + l sin n Thay u∗n vào phương trình un+1 − 2un + un−1 = sin n, ta thu k cos(n + 1) + l sin(n + 1) − 2(k cos n + l sin n) + k cos(n − 1) + l sin(n − 1) = sin n k [cos(n + 1) + cos(n − 1)] + l [sin(n + 1) + sin(n − 1)] − 2k cos n − 2l sin n = sin n 2k cos n cos − 2k cos n + 2l sin n cos − 2l sin n = sin n 2k cos n(cos − 1) + 2l sin n(cos − 1) = sin n 2k(cos − 1) cos n + [2l(cos − 1) − 1] sin n = 47 Vì cos − = nên k = l = sin n nên u∗n = 2(cos − 1) 2(cos − 1) Do un = uˆn + u∗n = A + Bn + sin n 2(cos − 1) Ta có sin , 2(cos − 1) sin u2 = ⇒ = A + 2B + 2(cos − 1) u1 = ⇒ = A + B + (3.9) (3.10) Giải phương trình (3.9) (3.10), ta A= sin − cos − sin − , 2(1 − cos 1) B= − sin + cos + sin − 2(1 − cos 1) Vậy un = 3.1.2 sin − cos − sin − + (− sin + cos + sin − 2)n − sin n 2(1 − cos 1) Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số Trong mục ta chủ yếu xét hệ phương trình sai phân dạng  x = px + qy , x = a n+1 n n (3.11)  yn+1 = rxn + syn , y1 = b Phương pháp giải Trong (3.11) thay n n + 1, ta nhận xn+2 = pxn+1 + qyn+1 = pxn+1 + q(rxn + syn ) = pxn+1 + qrxn + s(qyn ) = pxn+1 + qrxn + s(xn+1 − pxn ) Suy xn+2 − (p + s)xn+1 + (ps − rq)xn = 0, x1 = a Từ (3.11) ta lại có x2 = px1 + qy1 = pa + qb Như ta phương trình sai phân tuyến tính cấp hai x1 = a, x2 = pa + qb, xn+1 − (p + s)xn + (ps − qr)xn−1 = 0, n ≥ Giải phương trình ta xn Thay xn vào (3.11) ta yn 48 Bài tốn 3.10 Tìm xn , yn biết  x n+1 = 4xn − 2yn , x1 =  yn+1 = xn + yn , y1 = (3.12) Lời giải Trong (3.12) thay n n + 1, ta có xn+2 = 4xn+1 − 2yn+1 = 4xn+1 − 2(xn + yn ) = 4xn+1 − 2xn − 2yn = 4xn+1 − 2xn + xn+1 − 4xn Suy xn+2 − 5xn+1 + 6xn = Từ (3.12) ta có x2 = 4x1 − 2y1 = 4.1 − 2.1 = Ta thu phương trình x1 = 1, x2 = 2, xn+1 − 5xn + 6xn−1 = 0, n ≥ Giải phương trình ta nghiệm xn = 2n−1 Thay xn vào phương trình thứ (3.12), ta có 2n = 4.2n−1 − 2yn ⇔ 2yn = 2n ⇔ yn = 2n−1 Vậy nghiệm hệ phương trình   x = 2n−1 n  yn = 2n−1 Nhận xét 3.1 Hệ (3.11) viết dạng sau Un+1 = AUn với  A=  p q r s   , Un =   xn yn  Sử dụng tính chất ma trận ta dễ dàng biểu diễn nghiệm hệ theo cách sau Bài tốn 3.11 Tìm nghiệm tổng qt hệ phương trình sai phân tuyến tính Un+1 = AUn với  A=  0  49 Lời giải Giá trị riêng ma trận A λ1 = λ2 = tương ứng với giá trị riêng λ1 , λ2   v1 =     , v2 =   Do nghiệm tổng quát hệ  n (β1 Un =  Các vectơ riêng A  + β2 )  Bài tốn 3.12 Tìm nghiệm tổng qt hệ phương trình sai phân tuyến tính Un+1 = AUn với   A= −1  Lời giải Ta có A4 = I nên A có giá trị riêng λ thỏa mãn λ4 = Từ suy λ1,2 = ±i Các vectơ riêng A tương ứng với giá trị riêng λ1 , λ2     v1 =  i  , v2 =  Do nghiệm tổng quát hệ  Un = β1 λn1 v1 + β2 λn2 v2 =  β1 β1 −i in in+1  + β2 (−i)n + β2 (−i)n+1   Nhận xét 3.2 Nghiệm hệ cho vectơ tuần hoàn Un+4 = Un Bài tốn 3.13 Tìm nghiệm tổng qt hệ phương trình sai phân tuyến tính Un+1 = AUn , với  A= −1 −1   Lời giải Ta có A3 = I nên A có giá trị riêng λ thỏa mãn λ3 = 1, λ = Từ suy λ1,2 2πi = e Các vectơ riêng A tương ứng với giá trị riêng λ1 , λ2 ±  v1 =  e 2πi    , v2 =  2πi e−   50 Vậy nghiệm tổng quát hệ  (n + 1) π (n + 1) π a cos + ib sin , 3 Un =  2nπ 2nπ a cos + ib sin 3  a = β1 + β2 , b = β1 − β2 Nhận xét 3.3 Nghiệm hệ cho vectơ tuần hoàn Un+3 = Un Bài tốn 3.14 Tìm dạng tổng qt dãy số {xn } biết {xn } dãy số tuần hoàn chu kỳ 2, x1 = a, x2 = b Lời giải Theo đề ta có xn+2 = xn , xn+1 = xn−1 Suy   x n+1 = yn  yn+1 = xn   Ta viết hệ dạng Un+1 = AUn , A =  1  Dễ thấy A2 = I Từ ta có giá trị riêng A λ1,2 ± vectơ riêng A tương ứng với λ1 , λ2  v1 =   1   , v2 =   −1  Vậy nghiệm tổng quát hệ  Un = β1 λn1 v1 + β2 λn2 v2 =  β1 + β2 β1 + β2 (−1)n (−1)n+1   Từ suy xn = β1 + β2 (−1)n Cho n = 1, n = 2, ta β1 = a+b b−a , β2 = 2 Do xn = (a + b) + (a − b)(−1)n+1 Bài tốn 3.15 Tìm dạng tổng quát dãy số {xn } biết {xn } dãy số tuần hoàn chu kỳ 3, x1 = a, x2 = b, x3 = c 51 Lời giải Theo đề ta có xn+3 = xn Phương trình tương đương với hệ     xn+1 = 0xn + 0yn + zn , yn+1 = xn + 0yn + 0zn ,    zn+1 = 0xn + yn + 0zn Ta viết hệ dạng Un+1 = AUn với  0     A= 1 0  Ta có A3 = I Vậy nên giá trị riêng A λ1 = 1, λ2,3 2πi ± 2π 2π = cos ± isin =e 3 vectơ riêng ma trận A tương ứng với λ1 , λ2 , λ3      1   2πi  2πi        −    v1 =   , v2 = ( e )  , v3 = ( e )2    2πi  2πi   − e e        Vậy nghiệm tổng quát hệ có dạng Un = β1 λn1 v1 + β2 λn2 v2 + β3 λn3 v3 , từ ta suy xn = β1 1n + α1 cos 2nπ 2nπ + α2 sin 3 Cho n 1, 2, ta hệ phương trình ba ẩn β1 , α1 , α2 Giải hệ tìm β1 , α1 , α2 Tóm lại ta thu √ a + b − c a + b − 2c 2nπ 2nπ xn = − cos + (a − b) sin 3 3 Nhận xét 3.4 Một cách tổng qt, ta tìm số hạng tổng qt dãy số tuần hoàn chu kỳ p ∈ Z+ x1 = α1 , x2 = a2 , , xp = ap , xn+p = xn , n ∈ N∗ 52 Hệ tương đương với hệ Un+1 = AUn , Ap = I Từ đó, giá trị riêng A thỏa mãn λP = 1, có p nghiệm 2kπi 2kπ 2kπ λk = e p = cos + isin , k = 1, 2, , p p p Bằng cách tìm p vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λ1 , λ2 , , λp , ta tìm nghiệm tổng qt Un hệ tuần hồn Từ suy xn , cụ thể p xn = β1 λn1 + β2 λn2 + + βp λnp = k=1 2kπ βk (cos n 2kπ p + i sin n p ) Ta cho n = 1, 2, , p để nhận hệ phương trình gồm p phương trình, p ẩn β1 , β2 , , βp Giải hệ phương trình này, tìm β1 , β2 , , βp , từ ta tính xn Bài tốn 3.16 Giải hệ phương trình sai phân tuyến tính  x n+1 = xn + 2yn , x0 =  yn+1 = xn + yn , y0 = Lời giải Viết hệ phương trình dạng Un+1 = AUn ,       A 1  , Un =  xn yn  , U0 =  1 Nghiệm tổng quát hệ phương trình sai phân  √ n+1 √ n+1 (1 + 2)  Un =  √ + (1 −  2) √ √ (1 + 2)n+1 − (1 − 2)n+1 Từ ta nhận       √ √ 2)n+1 + (1 − 2)n+1 xn = √ √ n+1 √   yn = (1 + 2) − (1 − 2)n+1 (1 + Ta có (1 + xn = yn √ = n+1 2) + (1 − √ − n+1 √ ) 1+( 1+ √ − n+1 √ ) 1−( 1+ n+1 2) √ (1 + 2) n+1 − (1 − 2) n+1 53 Nhận xét 3.5 Đặt rn = √ xn x0 Khi ta có r0 = = lim rn = Thật n→∞ yn y0 vậy, xn+1 xn + 2yn yn 1 = =1+ =1+ =1+ x n yn+1 xn + y n xn + yn + rn 1+ yn √ Từ dễ dàng suy lim rn = rn+1 = n→∞ Nhận xét 3.6 Có thể lý luận trực tiếp để tìm giới hạn dãy {rn } theo cách sau Đặt rn = pn , với pn , qn hai số nguyên dương, nguyên tố qn pn+1 pn + 2qn = qn+1 pn + qn Suy  p n+1 = pn + 2qn  qn+1 = pn + qn Ta có 2 = = (−1)n+1 (p20 − 2q02 ) = (−1)n p2n+1 − 2qn+1 = −(p2n − 2qn2 ) = − −(p2n−1 − 2qn−1 Từ ta nhận p2n − 2qn2 = 1, pn − √ Vậy nên rn − = 3.2 qn √ 2qn = pn + √ 2qn √ → 0, n → ∞ pn + 2qn Lớp tốn cơng thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ số Trong mục này, tác giả trình bày số tốn xác định số hạng tổng quát tính giới hạn dãy số truy hồi dạng phân tuyến tính Để tìm số hạng tổng quát dãy ta thường đưa dãy cho phương trình sai phân biết cách giải nhờ phép nghịch đảo, logarit hóa, mũ hóa biểu thức ban đầu Sau đây, số toán cụ thể Bài toán 3.17 Xác định số hạng tổng quát dãy số {xn } biết x0 = a, xn+1 = a, p, q, r, s ∈ R cho trước pxn + q , n ∈ N, rxn + s (3.13) 54 Lời giải Giả sử (un , ) nghiệm hệ phương trình sai phân  u n+1 = pun + qvn , u0 = a,  vn+1 = run + svn , v0 = Khi xn = (3.14) un nghiệm phương trình (3.13) Thật vậy, ta chứng minh quy nạp sau: x0 = Giả sử xn = u0 a = = a v0 un nghiệm (3.13) Khi xn+1 = un+1 vn+1 un +q pun + pvn pxn + q = = un = run + svn rxn + s r +s p Do việc giải (3.13) chuyển giải hệ phương trình sai phân tuyến tính hệ số trình bày mục 3.1.2 Bài tốn 3.18 Tìm xn biết x1 = a > xn+1 = xn , n ∈ N∗ + xn Lời giải Từ giả thiết ta suy xn > với n ∈ N∗ Ta có xn+1 = xn , + xn hay xn+1 Đặt =1+ xn = yn Khi ta viết (3.15) dạng xn yn+1 − 2yn = hay yn+1 − 2yn − = 0, y1 = a Giải phương trình sai phân ta (a + 1)2n−1 − a yn = a Do xn = a (a + 1)2n−1 − a (3.15) 55 Bài tốn 3.19 Tìm xn biết x0 = xn+1 = Lời giải Xét hệ phương trình        xn + , n ∈ N∗ −xn + u0 = 0; v0 = un+1 = un + vn+1 = −un + Giải hệ ta √ √ nπ nπ un = ( 2)n sin ; = ( 2)n cos 4 Theo Bài toán 3.17 ta nghiệm phương trình cho √ n nπ ( 2) sin un = tan nπ xn = = √ nπ ( 2)n cos Bài toán 3.20 Tìm xn biết x1 = a xn+1 = bxn , n ∈ N∗ , cxn + d a, b, c ∈ R∗ , d ∈ R Lời giải Đặt yn = c d ; = p; = q (3.16) có dạng xn b c yn+1 = p + qyn , y1 = a Giải phương trình sai phân ta yn = k.q n (1 − q) + p − q − ap , k= 1−q aq(1 − q) Do xn = 1−q k.q n (1 − q) + p , k= − q − ap aq(1 − q) Bài toán 3.21 Cho dãy số (xn ) thỏa mãn điều kiện sau x0 = 0, xn+1 = Tính lim xn n→∞ xn − xn + (3.16) 56 Lời giải Xét hệ phương trình        u0 = 0; v0 = un+1 = un − 2vn vn+1 = un + 4vn Giải hệ ta un = 2.2n − 2.3n ; = −2n + 2.3n Theo Bài toán 3.17 ta nghiệm phương trình cho xn = un 2.2n − 2.3n = −2n + 2.3n Vậy lim xn = −1 n→∞ Bài toán 3.22 Cho dãy số (xn ) thỏa mãn điều kiện sau x0 = 1, xn+1 = xn − xn + Tính lim xn n→∞ Lời giải Xét hệ phương trình        u0 = 1; v0 = un+1 = un − vn+1 = un + 3vn Giải hệ ta un = 2n − n.2n ; = 2n + n.2n Theo Bài toán 3.17 ta nghiệm phương trình cho xn = un 1−n = 1+n Vậy lim xn = −1 n→∞ Bài toán 3.23 Cho dãy số (xn ) thỏa mãn điều kiện sau x0 = 0, xn+1 = Tính lim xn n→∞ xn − xn + 57 Lời giải Xét hệ phương trình     u0 = 0; v0 = un+1 = un − 3vn    vn+1 = un + Giải hệ ta √ nπ nπ un = − 3.2n sin ; = 2n cos 3 Theo Bài toán 3.17 ta nghiệm phương trình cho √ n nπ − 3.2 sin un = −√3 tan nπ xn = = nπ 2n cos √ Do lim xn = − n→∞ Bài tốn 3.24 Tìm xn biết x1 = 1 xn+1 = 2 − xn Lời giải Ta xác định số số hạng x1 = ; x2 = ; x3 = Ta chứng minh dãy số cho có số hạng tổng quát xn = n , n+1 (3.17) phương pháp quy nạp Thật vậy, (3.17) với n = Giả sử (3.17) tới n, xn+1 = 1 n+1 = = n − xn n+2 2− n+1 Do (3.17) tới n + nên theo nguyên lý quy nạp toán học (3.17) với n ∈ N∗ 3.3 Bài tập áp dụng Cho dãy số (xn ) thỏa mãn điều kiện sau x0 = 1, xn+1 = Chứng minh lim xn = n→∞ √ xn + xn + 58 (Olympic Sinh viên Moskva - Năm 1982) Cho dãy số (xn ) thỏa mãn điều kiện sau x0 = 1982, xn+1 = −3xn + Tính lim xn n→∞ (Olympic Đồng Bằng Sông Cửu Long lần thứ 8- Năm 2000) Cho dãy số (xn ) thỏa mãn điều kiện sau x0 = 2, xn+1 = 2xn + xn + a)Tính x2000 2000 b)Tìm phần ngun xi i=1 Cho dãy số (xn ) thỏa mãn điều kiện sau x0 = 1, xn+1 = xn + Tính lim xn n→∞ Cho dãy số (xn ) thỏa mãn điều kiện sau x1 = 1, xn+1 = xn − xn + Tính lim xn n→∞ Cho dãy số (xn ) thỏa mãn điều kiện sau 1 x1 = , xn+1 = −xn + Tính lim xn n→∞ Kết luận Luận văn này, tác giả hệ thống, làm rõ số vấn đề sau: Một số kiến thức hàm số nói chung hàm phân tuyến tính nói riêng Một lớp phương trình hàm tuyến tính phương pháp giải cho dạng toán phương trình hàm tuyến tính Phân loại lớp phương trình hàm phân tuyến tính phương pháp giải cho dạng toán Một số tốn phương trình hàm dạng phân tuyến tính mở rộng Một số toán dãy số liên quan đến hàm phân tuyến tính 59 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu, (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn, Nguyễn Đăng Phất, Nguyễn Thủy Thanh, (2009), Chuyên đề chọn lọc số phức áp dụng, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Mậu, (2004), Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Mậu, (2003), Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo Dục [5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, (2008), Giới hạn dãy số hàm số, NXB Giáo Dục [6] Lê Đình Thịnh, (Chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp, (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo Dục [7] Nguyễn Trọng Tuấn, (2005), Bài toán hàm số qua kỳ thi Olympic, NXB Giáo Dục [8] Huỳnh Bá Lộc, (2006), Một số lớp phương trình hàm tổng quát áp dụng vào phương trình hàm sơ cấp, Luận văn thạc sĩ toán [9] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ [10] Marco Abrate, Stefano Barbero, Umberto Cerruti, and Nadir Murru, (2011), Fixed Sequences for a Generalization of the Binomial Interpolated Operator and for some Other Operators, Journal of Integer Sequences, vol 14, Article 11.8.1 60 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC PHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI PHÂN TUYẾN TÍNH TRÊN TRỤC THỰC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC... quan dãy số dạng phân tuyến tính Trên tinh thần đó, luận văn chia thành ba chương: Chương Một số tính chất hàm phân tuyến tính Chương nêu lên số kiến thức hàm số nói chung hàm phân tuyến tính nói... tuyến tính trục thực số ứng dụng" với mục tiêu tổng hợp, chọn lọc hệ thống cách giải lớp phương trình hàm sinh hàm phân tuyến tính Đồng thời vận dụng phép biến đổi phân tuyến tính để giải số tốn