Luận văn thạc sĩ Toán chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp, một số phương trình hàm với cặp biến tự do của học viên Nguyễn Xuân Toàn do Tiến Sĩ Lê Công Trình hướng dẫn khoa học. Luận văn gồm 75 trang định dạng pdf, soạn qua chương trình latex. Luận văn gồm hai chương và các phần mở đầu, phụ lục, mục lục,..
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Nguyễn Xn Tồn LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CẶP BIẾN TỰ DO Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ CƠNG TRÌNH Bình Định - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Nguyễn Xuân Toàn LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CẶP BIẾN TỰ DO Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ CƠNG TRÌNH Bình Định - 2012 Mục lục Mở đầu 1 Một số phương trình hàm cổ điển với cặp biến tự 1.1 Phương trình hàm Cauchy 1.2 Phương trình hàm Jensen 10 1.3 Phương trình hàm tuyến tính 11 1.4 Phương trình mũ Cauchy 13 1.5 Phương trình hàm Pexider 13 1.6 Phương trình hàm Vincze 14 1.7 Phương trình hàm D’Alembert 17 Phương trình hàm đặc trưng cho đa thức bậc hai bậc ba 22 2.1 Phương trình hàm cảm sinh từ khai triển Taylor 22 2.2 Phương trình hàm đặc trưng cho đa thức bậc hai 26 2.3 Phương trình hàm đặc trưng cho đa thức bậc ba 30 Phụ lục A Một số tốn phương trình hàm với cặp biến tự 37 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 Mở đầu Phương trình hàm chủ đề nghiên cứu lâu đời Giải tích tốn học Phương trình hàm xuất ứng dụng nhiều lĩnh vực, từ Khoa học ứng dụng Khoa học xã hội, Kinh tế, Kỹ thuật, D’Alembert (1769), Euler (1768), Cauchy (1821), Abel (1823), nhiều nhà Toán học tiếng khác quan tâm đến phương trình hàm việc giải chúng Những năm gần đây, vấn đề giải tốn có liên quan đến phương trình hàm nhiều nội dung xuất thường xuyên kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia, kì thi Olympic Tốn cấp khu vực quốc tế Lời giải phương trình hàm thường đưa phương trình hàm cổ điển, phương trình hàm Cauchy, Jensen, Pexider, Vincze, D’Alembert, , phương trình hàm với cặp biến tự Do đó, luận văn tập trung nghiên cứu vấn đề "Một số phương trình hàm với cặp biến tự do" Mục đích nghiên cứu luận văn hệ thống số vấn đề có liên quan đến phương trình hàm cổ điển phương trình hàm Cauchy, Jensen, Pexider, Vincze, D’Alembert Tiếp theo, chúng tơi trình bày số phương trình hàm với cặp biến tự có liên quan, có phương trình hàm cảm sinh từ khai triển Taylor số phương trình hàm đặc trưng cho đa thức bậc hai, bậc ba Nội dung luận văn bao gồm hai chương phụ lục Chương trình bày số phương trình hàm cổ điển với cặp biến tự do, bao gồm phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình hàm Pexider, phương trình hàm Vincze phương trình hàm d’Alembert Chương trình bày phương trình hàm cảm sinh từ khai triển Taylor lớp phương trình hàm đặc trưng cho đa thức bậc hai, bậc ba Phụ lục trình bày số tốn phương trình hàm với cặp biến |f (x) − f (y)| ≤ K(x − y)2 (3.81) Chứng minh f hàm Lời giải Giả sử b > a đặt e = (b−a)/n, n ∈ Z+ Đặt x0 = a xi = a+ie, với i = 1, 2, , n Khi ta có f (a) = f (x0 ), f (b) = f (xn ), n |f (a) − f (b)| = |f (x0 ) − f (xn )| ≤ |f (xi ) − f (xi−1 )| i=1 66 Suy n 2 n−2 K(b − a) = n−1 K(b − a) |f (a) − f (b)| ≤ i=1 −1 Cho n → ∞, có n K(b − a)2 → Do f (a) = f (b), ∀b > a Vậy f hàm số Bài toán A.0.34 Xác định tất hàm f : Q → Q thỏa mãn điều kiện f (x + f (y)) = f (x)f (y) (3.82) Lời giải Trước hết thấy tồn x0 ∈ Q mà f (x0 ) = f (x) = 0, ∀x ∈ Q Vì vậy, ta giả sử f (x) = 0, ∀x ∈ Q Đặt f (0) = a Thay x = vào (3.82) ta f (f (y)) = f (0)f (y) hay f (f (x))] = f (0)f (x) Từ (3.82) ta có f (f (x) + f (x)) = f (f (x))f (x) = f (0)[f (x)]2 Bằng quy nạp, ta có kết f (nf (x)) = f (0)[f (x)]n , ∀n ∈ Z Để ý f (−a) = f (−f (0)) = f (0)[f (0)]− = Vì f (x + 1) = f (x + f (−a)) = f (x)f (−a) = f (x) Suy f (m) = a, ∀m ∈ Z Giả sử m/n giá trị f với m, n ∈ Z Do đó, tồn x cho f (x) = m/n Từ viết a = f (m) = f (n Vì a = f (0) = nên suy m n m m ) = f (nf (x)) = a( )n n n = ±1 Tuy nhiên, trường hợp m n = −1 không xảy Thật vậy, giả sử −1 giá trị f f (x − 1) = f (x)(−1), điều trái với kết suy f (x + 1) = f (x), ∀x Kết luận: f (x) = 1, ∀x ∈ Q Bài tốn A.0.35 Tìm tất hàm f : R → R liên tục thỏa mãn điều kiện f x2 + y = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R (3.83) 67 Lời giải Nhận xét ta thấy f đồng nghiệm phương trình Giả sử tồn y0 cho f (y0 ) = Khi ta có f (x)f (y0 ) = f x2 + y0 = f (−x)f (y0 ) Trong (3.83) cho x = y = 0, ta f (0) = f (0)f (0) Vì theo giả sử nên ta suy f (0) = Trong (3.83) cho y = 0, ta f √ x2 = f (x)f (0) ⇔ f (|x|) = f (x) √ Đặt g(x) = f ( x), ∀x ≥ Khi g(x + y) = f √ x+y =f √ √ x f ( y) = g(x)g(y), ∀x, y ≥ Suy g thỏa mãn phương trình mũ Cauchy Nếu g(0) = g(x) = 0, ∀x ≥ Giả sử g(0) = ⇒ g(−x + x) = g(−x)g(x) = 0, ∀x ≥ 0, suy g(x) = 0, ∀x ≥ Mặt khác x x x g(x) = g( + ) = [g( )]2 2 nên g(x) > 0, ∀x ≥ Để ý g(x) = ⇒ g( x2 ) = Vì vậy, có x ≥ mà g(x) = ta xây dựng dãy số x, x/2, x/4, hội tụ đến mà hàm g triệt tiêu tất giá trị Tuy nhiên, g liên tục nên ta có g(0) = 0, điều xét nên ta loại trường hợp Với g(x) = 0, ∀x ≥ từ g(x) > g thỏa mãn phương trình hàm mũ √ Cauchy ta suy kết g(x) = ax Mà f ( x) = g(x) hay f (x) = g(x2 ), suy f (x) = ax Thay x = vào kết trên, f (1) = a Vậy f (x) = [f (1)]x Bài tốn A.0.36 Tìm tất hàm f : R → R liên tục thỏa mãn điều kiện f (x + y)f (x − y) = [f (x)f (y)] , ∀x, y ∈ R (3.84) 68 Lời giải Nhận xét thấy hàm f đồng nghiệm phương trình Thay y = vào (3.84), [f (x)]2 = [f (x)]2 [f (0)]2 Nếu tồn giá trị x cho f (x) = f (0) = ±1 Tuy nhiên f thỏa mãn phương trình hàm −f thỏa mãn nên ta cần xét trường hợp f (0) = Thay x = vào (3.84) ta f (y)f (−y) = [f (y)]2 ⇒ f (−y) = f (y), ∀y ∈ R Trong (3.84) thay y = x ta f (2x)f (0) = [f (x)]4 ⇒ f (2x) = [f (x)]4 Từ phương trình hàm thấy f (x) = với x f ( x2 ) = Bằng cách chứng minh tương tự tập ta có f (x) = 0, ∀x ∈ R Vì f (x) = [f ( x2 )]4 nên suy f (x) > 0, ∀x ∈ R Bằng quy nạp, ta f (nx) = [f (x)]n Thay x = n ta có f (1) = [f ( n1 )]n Suy 1 f ( ) = [f (1)] n2 n Do m2 m 1 m2 f ( ) = f (m( )) = [f ( )] = [f (1)] n2 n n n 2 Áp dụng tính liên tục, ta có f (x) = [f (1)]x f (x) = −[f (1)]x nghiệm phương trình (3.84) Bài tốn A.0.37 Tìm tất hàm f, g, q : R → R liên tục thỏa mãn điều kiện f (x + y) + g(x − y) = q(xy), ∀x, y ∈ R Lời giải Thay x = y = t (3.85) vào (3.85), ta t2 f (t) = q − a, ∀x, y ∈ R, (3.86) 69 a = g(0) Thay x = −y = t vào (3.85), ta t2 g(t) = q − − b, ∀x, y ∈ R, (3.87) b = f (0) Tiếp theo ta thay f (x), g(x) từ (3.86) (3.87) vào (3.85), q (x + y) (x − y) −a+q − − b = q(xy), ∀x, y ∈ R Đặt h(u) = q(u) − (a + b), phương trình trở thành h(u + v) = h(u) + h(v), ∀u ≥ 0, v ≤ (3.88) h(0) = Do (3.88) phương trình hàm Cauchy có nghiệm h(u) = cu, c ∈ R Từ đó, ta suy cx2 cx2 f (x) = + b, g(x) = − + a, ∀x ∈ R 4 Vậy ta có kết luận: f (x) = cx2 + b, g(x) = − cx4 + a, q(x) = cx + a + b, a, b, c ∈ R tùy ý 70 Kết luận Luận văn đạt số kết sau Trình bày số phương trình hàm cổ điển phương trình hàm Cauchy, Jensen, Pexider, Vincze, D’Alembert Trình bày lớp phương trình hàm đặc trưng cho đa thức bậc hai (phương trình hàm E(a, b, c), Hệ 2.2.1) đa thức bậc ba (phương trình hàm (2.15), Hệ 2.2.3) Trình bày phụ lục gồm hệ thống tập liên quan đến phương trình hàm với cặp biến tự Tài liệu tham khảo [1] Ban tổ chức kì thi (2011), Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ XVII-2011, NXB Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh [2] N V Mậu (1999), Phương trình hàm, NXB Giáo Dục [3] N V Mậu, B C Huấn, Đ H Thắng, N H Ruận (2004), Một số chuyên đề toán học chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, Hà Nội [4] Aczèl, J., Dhombres, J G (1989), Functional Equations in Several Variables, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press [5] M Akkouchi (2001), A class of functional equations characterizing polynomials of degree two, Divulgaciones Mátematicas Vol No 2,pp 149-153 [6] M Hosszu (1964), On the Fréchet’s functional equation, Bul Inst Politech Iasi, pp 27-28 [7] M Kuczma (1985), An introduction to the theory of functional equations and inequalities,Panstwowe Wydawnictwo Naukowe- Uniwersytet Slaski, Warszawa-Kraków-Katowice [8] V V Prasolov (2004), Polynomials, Springer 71 ... Chương trình bày số phương trình hàm cổ điển với cặp biến tự do, bao gồm phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình hàm Pexider, phương trình hàm Vincze phương trình hàm d’Alembert... trung nghiên cứu vấn đề "Một số phương trình hàm với cặp biến tự do" Mục đích nghiên cứu luận văn hệ thống số vấn đề có liên quan đến phương trình hàm cổ điển phương trình hàm Cauchy, Jensen, Pexider,... quốc tế Lời giải phương trình hàm thường đưa phương trình hàm cổ điển, phương trình hàm Cauchy, Jensen, Pexider, Vincze, D’Alembert, , phương trình hàm với cặp biến tự Do đó, luận văn chúng tơi