Luận văn Thạc sĩ toán học Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT trong dạy học đại số và giải tích

Chủ đề phương trình và bất phương trình có vị trí quan trọng trong chương trình môn Toán THPT. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về phương trình và bất phương trình còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt là Hình học giải tích. Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phương trình, bất phương trình một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình cho học sinh có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trường THPT. Kiến thức hàm số có vai trò quan trọng trong toàn bộ chương trình môn Toán phổ thông. Điều này được khẳng định không chỉ ở nước ta mà còn được đề cập đến trong nhiều ý kiến của các nhà khoa học nước ngoài. Ta có thể thấy được điều này qua các ý kiến được trích từ 16 sau đây: ý kiến của Kơlanh khi khởi xướng phong trào cải cách việc dạy học Toán ở trường phổ thông đầu thế kỷ XX đã đề nghị: Đưa cái mới vào giáo trình toán phổ thông, lấy tư tưởng hàm số và biến hình làm tư tưởng quan trọng nhất. Kiến nghị của Hội nghị Quốc tế về giáo dục quốc dân họp tại Giơnevơ (tháng 7 năm 1956) gửi các vị Bộ trưởng Giáo dục các nước nêu rõ: Nên xây dựng chương trình sao cho việc dạy Toán dựa trên các cơ sở hàm số ... ý kiến của GS. Papy tại Hội nghị Quốc tế các nhà toán học họp tại Matxcơva (tháng 8 năm 1966) đề nghị: Chương trình toán Trung học (cấp II và II) phải bao gồm: Tập hợp, Quan hệ, Đồ thị, Nhóm, Không gian vectơ, Các yếu tố của phép tính vi phân và tích phân. ở Việt Nam, chương trình môn Toán trong cải cách giáo dục và các chương trình đổi mới trong những năm gần đây đều chú trọng đến kiến thức hàm số. Trong 24, GS. Nguyễn Bá Kim đã cho rằng Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số là một trong những tư tưởng cơ bản của chương trình môn Toán bậc THPT. Khi phân tích tư tưởng cơ bản này tác giả đã nhấn mạnh: Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ xuyên suốt chương trình bậc Phổ thông Trung học; Phần lớn chương trình Đại số và Giải tích dành cho việc trực tiếp nghiên cứu hàm số và công cụ khảo sát hàm số; Cấp số cộng và cấp số nhân được nghiên cứu như những hàm số đối số tự nhiên; Lượng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lượng giác còn phần công thức được giảm nhẹ; Phương trình và bất phương trình được trình bày liên hệ chặt chẽ với hàm số. 1.3. Gắn bó chặt chẽ với tư tưởng hàm số, tư tưởng biến hình, tư tưởng về sự tương ứng đơn trị giữa các tập hợp, các sự vật và hiện tượng là vấn đề tư duy hàm. Những đặc trưng về tư duy hàm được các tác giả Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Văn Thường chỉ ra trong 25. Phát triển tư duy hàm có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán, nó vừa là yêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện để nâng cao chất lượng dạy học nhiều tuyến kiến thức môn Toán. Việc dạy học các kiến thức môn Toán được trình bày theo tư tưởng hàm số có tác dụng tốt trong việc phát triển tư duy hàm cho học sinh đồng thời có thể rèn luyện nhiều kỹ năng giải toán và ứng dụng kiến thức toán cho học sinh trong sự kết hợp phát triển tư duy hàm. 1.4. Có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất lượng dạy học nội dung Phương trình, bất phương trình. Nhiều công trình nghiên cứu về phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học các chủ đề kiến thức cụ thể. Dựa trên những kết quả nghiên cứu đó, chúng tôi tập trung xét vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình cho học sinh trong sự phối hợp hữu cơ với vấn đề phát triển tư duy hàm. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT trong dạy học Đại số và Giải tích .

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn

Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước tahiện nay Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổimới nội dung và phương pháp dạy học Định hướng đổi mới phương pháp dạyhọc đã được chỉ rõ trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà nước vàngành Giáo dục nước ta

Tuy nhận thức rõ được tầm quan trọng và định hướng đổi mới phươngpháp đã được nêu ra ở trên nhưng thực tế dạy học hiện nay vẫn còn chịu ảnhhưởng nhiều của quan niệm và phương pháp dạy học xưa cũ Nhận định vềvấn đề này đã có không ít nhà nghiên cứu đưa ra những ý kiến, đặt ra nhiềuvấn đề cho ngành Giáo dục và mỗi giáo viên suy nghĩ, tháo gỡ Sau đây làmột số ý kiến như vậy:

- ý kiến của GS Hoàng Tụy: "Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyệntrí nhớ dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái ăm, giả tạo; chẳng giúp gì mấy

để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mỏi mệt và chánchường"

- ý kiến của GS Nguyễn Cảnh Toàn: “Kiến thức, tư duy, tính cách conngười chính là mục tiêu của giáo dục Thế nhưng, hiện nay trong nhà trường

tư duy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức"

1.2 Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung

dạy học Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kỹ năng thực hiện một loại hoạtđộng nào đó nếu không chú ý trang bị kiến thức về lĩnh vực đó một cách vữngchắc Ngược lại, việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động trong mỗilĩnh vực có tác dụng củng cố và mở rộng kiến thức, giúp cho người học tìmthấy những tác dụng to lớn của kiến thức học được trong việc giải quyết cáctình huống trong thực tiễn và trong khoa học

Chủ đề phương trình và bất phương trình có vị trí quan trọng trong

chương trình môn Toán THPT Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt

xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp Những kiến thức về phương trình và bấtphương trình còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết cácchủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt là Hình học giảitích Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phươngtrình, bất phương trình một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việcrèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình cho học sinh có ýnghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung mônToán ở trường THPT.

Kiến thức hàm số có vai trò quan trọng trong toàn bộ chương trình môn

Toán phổ thông Điều này được khẳng định không chỉ ở nước ta mà còn được

đề cập đến trong nhiều ý kiến của các nhà khoa học nước ngoài Ta có thểthấy được điều này qua các ý kiến được trích từ [16] sau đây:

- ý kiến của Kơlanh khi khởi xướng phong trào cải cách việc dạy họcToán ở trường phổ thông đầu thế kỷ XX đã đề nghị: Đưa cái mới vào giáo trìnhtoán phổ thông, lấy tư tưởng hàm số và biến hình làm tư tưởng quan trọng nhất.-Kiến nghị của Hội nghị Quốc tế về giáo dục quốc dân họp tại Giơnevơ (tháng 7năm 1956) gửi các vị Bộ trưởng Giáo dục các nước nêu rõ: Nên xây dựngchương trình sao cho việc dạy Toán dựa trên các cơ sở hàm số

- ý kiến của GS Papy tại Hội nghị Quốc tế các nhà toán học họp tạiMatxcơva (tháng 8 năm 1966) đề nghị: Chương trình toán Trung học (cấp II

và II) phải bao gồm: Tập hợp, Quan hệ, Đồ thị, Nhóm, Không gian vectơ, Cácyếu tố của phép tính vi phân và tích phân

ở Việt Nam, chương trình môn Toán trong cải cách giáo dục và cácchương trình đổi mới trong những năm gần đây đều chú trọng đến kiến thức hàm

số Trong [24], GS Nguyễn Bá Kim đã cho rằng "Đảm bảo vị trí trung tâm củakhái niệm hàm số" là một trong "những tư tưởng cơ bản" của chương trình mônToán bậc THPT Khi phân tích tư tưởng cơ bản này tác giả đã nhấn mạnh:

- Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ xuyên suốt chương trình bậcPhổ thông Trung học;

- Phần lớn chương trình Đại số và Giải tích dành cho việc trực tiếpnghiên cứu hàm số và công cụ khảo sát hàm số;

- Cấp số cộng và cấp số nhân được nghiên cứu như những hàm số đối

1.3 Gắn bó chặt chẽ với tư tưởng hàm số, tư tưởng biến hình, tư tưởng

về sự tương ứng đơn trị giữa các tập hợp, các sự vật và hiện tượng là vấn đề

tư duy hàm Những đặc trưng về tư duy hàm được các tác giả Nguyễn Bá

Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn VănThường chỉ ra trong [25] Phát triển tư duy hàm có ý nghĩa quan trọng trongdạy học toán, nó vừa là yêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện

để nâng cao chất lượng dạy học nhiều tuyến kiến thức môn Toán Việc dạyhọc các kiến thức môn Toán được trình bày theo tư tưởng hàm số có tác dụngtốt trong việc phát triển tư duy hàm cho học sinh đồng thời có thể rèn luyệnnhiều kỹ năng giải toán và ứng dụng kiến thức toán cho học sinh trong sự kếthợp phát triển tư duy hàm

1.4 Có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất

lượng dạy học nội dung Phương trình, bất phương trình Nhiều công trìnhnghiên cứu về phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học các chủ

đề kiến thức cụ thể Dựa trên những kết quả nghiên cứu đó, chúng tôi tậptrung xét vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình cho học sinh trong

sự phối hợp hữu cơ với vấn đề phát triển tư duy hàm

Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT trong dạy học Đại số và Giải tích ".

2 Mục đích nghiên cứu

Xác định mối quan hệ tương hỗ giữa việc rèn luyện kỹ năng giảiphương trình, bất phương trình với việc phát triển tư duy hàm cho học sinhtrong dạy học Đại số và Giải tích nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạyhọc môn Toán ở trường THPT.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Hệ thống hoá các vấn đề lý luận về kỹ năng và quan điểm rèn

luyện kỹ năng toán học cho học sinh

3.2 Hệ thống hoá các kỹ năng giải toán phương trình, bất phương trình

cần rèn luyện cho học sinh THPT

3.3 Hệ thống hoá các thành tố của tư duy hàm và quan điểm phát triển

tư duy hàm cho học sinh trong dạy học toán

3.4 Đề xuất quan điểm rèn luyện các kỹ năng giải toán phương trình,

bất phương trình trong sự phối hợp với việc phát triển tư duy hàm cho họcsinh THPT thông qua dạy học Đại số và Giải tích

3.5 Thực nghiệm sư phạm, kiểm tra tính khả thi và hiệu quả áp dụng.

4 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở dạy học đúng chương trình quy định, áp dụng các phươngpháp dạy học và sử dụng các phương tiện hiện có, nếu trong quá trình dạy họcgiáo viên quan tâm phối hợp giữa việc rèn luyện kỹ năng giải toán với việcphát triển tư duy hàm cho học sinh thì chất lượng dạy học môn Toán (thể hiệnqua khả năng giải toán phương trình, bất phương trình của học sinh) được cảithiện

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các vấn đề về Tâm lý học, Giáo

dục học, Lý luận dạy học, Toán học, Triết học, Thống kê trong giáo dục cóliên quan đến đề tài

5.2 Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra

5.3 Thực nghiệm sư phạm.

6 đóng góp của luận văn

6.1 Hệ thống hoá các vấn đề lý luận liên quan đến đề tài.

6.2 Đề xuất một số quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán

phương trình với phát triển tư duy hàm

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn

có 3 chương:

Chương 1: Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài

1.1 Một số đổi mới về nội dung và phương pháp dạy học

1.1.1 Một số đổi mới về nội dung

1.1.2 Đổi mới về phương pháp dạy học

1.2 Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh

1.2.1 Khái niệm kỹ năng

1.2.2 Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh

1.3 Tư duy hàm và vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh

2.2.1 Rèn kỹ năng vận dụng các dạng phương trình mẫu

2.2.2 Rèn kỹ năng biến đổi phương trình

2.2.3 Rèn kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá giá trị cácbiểu thức thành phần

2.2.4 Rèn kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán

2.2.5 Rèn kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên củahàm số

2.3 Phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua giải toán phương trình

2.3.1 Tìm miền xác định của tương ứng hàm thông qua giải toánphương trình, bất phương trình

2.3.2 Tìm giá trị vào, giá trị ra của một tương ứng thông qua giải toánphương trình

2.3.3 Xét tính chất của tương ứng hàm thông qua giải toán phươngtrình, bất phương trình

2.3.4 Định hướng sử dụng phương trình, bất phương trình trong quátrình lợi dụng tương ứng hàm để giải quyết vấn đề

2.4 Kết luận chương 2

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm

chương 1Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài

1.1 Một số đổi mới về nội dung và phương pháp dạy học

1.1.1 Một số đổi mới về nội dung

Chương trình sách giáo khoa (SGK) mới hiện nay đã có những thay đổi

về nội dung và cách trình bày như:

- Đưa thêm vào một số nội dung Toán học cho hoàn chỉnh chương trình

THPT, như Số phức, Thống kê, Tổ hợp, Xác suất… Sắp xếp nội dung chương

trình theo hệ thống để dễ dạy, dễ học hơn như phần toạ độ trong mặt phẳng ở

chương trình lớp 12 được đưa vào cuối lớp 10 giảm nhẹ phần các đường cônic.Đồng thời nhấn mạnh liên hệ giữa các phần khác nhau của chương trình Toán

ở các cấp, các lớp, giữa các môn học Chẳng hạn đưa phần Đạo hàm xuống lớp

11 để giúp kịp thời cho dạy và học môn Vật lý ở đầu lớp 12

- Cách viết SGK như từ trước đến nay còn mang tính hàn lâm: Thôngbáo kiến thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ; đưa ra nhiều các bàitoán khó nên còn thiếu tính sư phạm SGK chưa thể hiện được phương phápdạy học tích cực Theo cách viết SGK và cách giảng dạy cũ, SGK chỉ đơnthuần là một tài liệu khoa học dùng cho giáo viên, nội dung các tiết dạythường được viết cô đọng, đầu tiên là nêu định nghĩa của một khái niệm mới,sau đó là các tính chất và chứng minh, rồi các định lý và chứng minh, cuốicùng là các ví dụ và các bài toán Theo định hướng đổi mới, SGK phải trìnhbày và hướng dẫn như thế nào đó để cho nếu không có thầy giáo, học sinhcũng có thể tự học được, cố nhiên là khó khăn và vất vả hơn

SGK mới nêu nhiều câu hỏi, đề ra nhiều hoạt động tại lớp mà giáo viên

có thể thay đổi cho thích hợp để phát huy tính tích cực học tập của học sinh,học sinh được suy nghĩ và hoạt động nhiều hơn Nhiều câu hỏi đặt ra nhằmgiúp học sinh nhớ lại một kiến thức nào đó hoặc để gợi ý, hoặc để định hướngcho những suy nghĩ của họ… Các câu hỏi này nói chung là dễ, vì thế khôngđưa ra câu trả lời trong SGK

SGK theo tinh thần mới tinh giảm những nội dung phức tạp, giảm bớtnhững suy luận quá hình thức, quá trừu tượng, giảm nhẹ phần lý thuyết, chủyếu là giảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lý Một số tínhchất quá hiển nhiên không nêu ra, các định lý chứng minh quá phức tạp thìchỉ nêu những trường hợp cụ thể để kiểm chứng mà không cần phải chứngminh

SGK theo tinh thần mới tăng cường những nội dung thực tiễn, thiếtthực, những điều gần gũi với cuộc sống của học sinh trong trường hợp có thể

Chẳng hạn, trong phần véctơ, có thể đưa thêm những ứng dụng trong Vật lý:Tổng hợp lực, phân tích lực…

Ngoài ra, SGK mới còn đưa thêm các phần như: Có thể em chưa biết,

em có biết, bài đọc thêm, để nói thêm những chi tiết hay, thú vị gây hứng thúhọc tập cho học sinh

SGK mới đã chỉ ra các hoạt động tại từng thời điểm để thầy, trò

xem xét và giải quyết Những hoạt động này rất đa dạng, có thể là ôn lạikiến thức cũ, đặt vấn đề cho kiến thức mới, qua các ví dụ cụ thể gợi ýphương pháp giải quyết vấn đề hay bài toán đặt ra, thực hành áp dụng trựctiếp các công thức nêu trong lý thuyết Cách thức thực hiện các hoạt độngnày cũng rất đa dạng: Có thể thầy làm hoặc cho học sinh thực hiện, hoặcnêu thành vấn đề để cả lớp cùng thảo luận tìm cách giải quyết

Tóm lại so với sách giáo khoa cũ thì sách giáo khoa lần này không phảithay đổi nhiều về nội dung mà chủ yếu thay đổi cách trình bày để học sinhhọc tập một cách tích cực hơn

Những sự thay đổi trên của sách giáo khoa hiện nay đã tạo điều kiện

để học sinh học tập một cách tích cực hơn, từ đó giáo viên có thể phối hợprèn luyện kỹ năng với việc phát triển tư duy hàm cho học sinh qua dạy họcToán nói chung và dạy học chủ đề phương trình nói riêng

1.1.2 Đổi mới phương pháp dạy học

Thực tế dạy học Toán lâu nay cho thấy, chúng ta chỉ coi trọng đến mụcđích truyền thụ tri thức, thường thì giáo viên đưa ra các định lý, tính chất rồigiải thích cho học sinh thông hiểu chứng minh, vận dụng định lý, tính chất.Phương pháp dạy học được sử dụng phổ biến trong nhà trường là phương

pháp thuyết trình tràn lan, thầy truyền đạt kiến thức áp đặt, dưới dạng có sẵn,

ít yếu tố tìm tòi phát hiện, trò tiếp thu thụ động Đa số giáo viên chỉ nghĩ đến

việc dạy đúng, dạy đủ, dạy nội dung gì chứ chưa nghĩ đến cách dạy như thếnào? Phần lớn khi giảng dạy họ coi mọi đối tượng học sinh là như nhau nêngiảng cùng một nội dung, cùng một phương pháp và tự cho là hoàn thànhnhiệm vụ Ngoài ra kiểu đánh giá và thi cử đã ảnh hưởng rõ rệt tới phương

pháp giảng dạy, đánh giá và thi cử như thế nào thì sẽ có lối dạy tương ứng đối

phó như thế ấy, dạy và học theo kiểu "Thi gì - học nấy".

Về thực trạng này, nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định:

“Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồigiải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định

lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định lý đểtính toán, chứng minh…”

GS Hoàng Tụy phát biểu: “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trínhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đếnviệc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi vàchán nản …"

Tóm lại, với kiểu dạy học như vậy tạo thói quen "Thầy giảng - Trò ghi",

thầy truyền thụ kiến thức còn trò thụ động tiếp thu kiến thức, điều thầy nóiđược coi là tuyệt đối đúng, những gì thầy giảng thường không có sự tranhluận giữa thầy và trò, không có sự phản hồi, thông tin ngược từ phía học sinh

trong bài giảng Kiểu giảng dạy "một chiều" như vậy làm giảm hiệu suất tiếp

thu kiến thức cũng như hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo của học sinh;không kiểm soát được việc học Do đó việc đổi mới phương pháp dạy họcđược xác định là một trong những nội dung chủ yếu trong đổi mới giáo dục ởnước ta hiện nay

Quan điểm đổi mới phương pháp dạy học bao gồm sự đổi mới trên cácphương diện: cách dạy, cách học, cách tổ chức và cách kiểm tra đánh giá Cốtlõi của đổi mới dạy và học là hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động,chống lại thói quen học tập thụ động Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làmtrung tâm sang dạy học lấy học sinh làm trung tâm, làm cho học sinh suy nghĩnhiều hơn, hoạt động nhiều hơn trong một tiết học Thay vì lối dạy truyềnthống truyền thụ một chiều, thuyết trình, giảng giải các kiến thức sẵn có, giáoviên cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, tự học, kỹ năngvận dụng vào thực tiễn, phù hợp với đặc điểm từng học sinh; tác động đến

tình cảm, đem lại niềm vui, tạo được sự hứng thú học tập cho học sinh, tậndụng được công nghệ mới nhất áp dụng trong dạy và học.

Dạy học theo quan điểm mới giáo viên không chỉ đơn giản cung cấpkiến thức mà còn phải thiết kế, tổ chức, hướng dẫn học sinh hoạt động để họcsinh tích cực tham gia vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉđạo Từ đó tự lực khám phá kiến thức mình chưa biết chứ không phải tiếp thuthụ động những kiến thức sẵn có Giáo viên cần cài đặt những tình huốngthực tế để học sinh trực tiếp quan sát, làm thí nghiệm, thảo luận, giải quyếttheo cách riêng của bản thân, từ đó học sinh lĩnh hội được kiến thức mới

Như vậy, chức năng và vai trò của giáo dục ngày nay đã được "chuyểnsang vai trò nhà tổ chức giáo dục", phương pháp dạy học mới đã chú trọngđến việc phát huy tối đa tính tích cực, độc lập của học sinh, đề cao phươngpháp tự học, "chuyển quá trình giáo dục sang quá trình tự giáo dục" Xóa bỏcách học cũ không kích thích được học sinh suy nghĩ, tìm tòi, rèn luyện tríthông minh, chuyển đổi chức năng từ thông báo, tái hiện sang tìm tòi "Đểphát huy tối đa tính tích cực học tập của học sinh, tốt nhất là tổ chức tốtnhững tình huống có vấn đề, đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa

những ý kiến trái ngược" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2006).

Đổi mới phương pháp dạy học không chỉ đổi mới cách dạy, cách học,cách tổ chức hoạt động mà còn đổi mới cả cách kiểm tra đánh giá Nội dungkiểm tra, đánh giá phải toàn diện, bao gồm cả kiến thức, kỹ năng và phương

pháp có trong chương trình học, khắc phục tình trạng "học tủ" đối phó với thi

cử, ra đề kiểm tra nặng về tính toán, mẹo vặt như trước đây

Việc đổi mới phương pháp dạy học dựa trên những thành tựu của Tâm

lý học hiện đại, Lý luận dạy học cho rằng, nhân cách của học sinh được hìnhthành và phát triển thông qua các hoạt động chủ động, có ý thức Do đó để đạtđược mục đích dạy học thì cần phải đặt học sinh vào vị trí của chủ thể hoạtđộng trong quá trình dạy học, thông qua hoạt động tích cực của bản thân mànắm được kiến thức mới, kỹ năng mới đồng thời nắm được phương pháp "làm

ra" những kiến thức, kỹ năng đó, không theo những khuôn mẫu có sẵn, bộc lộ

và phát huy tiềm năng sáng tạo Qua hoạt động học sinh không những chiếmlĩnh được kiến thức mới mà còn hình thành và phát triển năng lực

Tuy nhiên, cần phải nói thêm rằng đổi mới phương pháp dạy học không cónghĩa là gạt bỏ, phủ nhận hoàn toàn các phương pháp truyền thống mà cần

kế thừa, phát triển các mặt tích cực của hệ thống phương pháp dạy học quen thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phương pháp mới, theo quan điểm đổi mới phù hợp với điều kiện dạy và học ở từng vùng, từng miền ở nước ta

1.2 Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh 1.2.1 Khái niệm kỹ năng

Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khảnăng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyếtmột nhiệm vụ mới” [19, tr.131]

Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các

dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để pháthiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công nhữngnhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”[31, tr.149]

Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[44, tr 426] Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm

vụ mới Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụngkiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp ) vào giải quyết các bài tập cụthể Học sinh thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất rakhỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn

có giữa kiến thức và đối tượng Sở dĩ như vậy là do kiến thức không chắcchắn, khái niệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ sở của kỹ năng

Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộctính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định

Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hànhđộng, để hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt ra

thu được thông tin mới) Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức(hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, pháthiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính vànhững quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho.

Theo các nhà Tâm lý học sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hưởng củacác yếu tố sau:

Nội dung của bài toán đặt ra, được tách ra một cách rõ ràng hay che đậyquan hệ bản chất của bài toán bởi các dữ liệu xuất phát, làm lệch hướng tư duy

Mới nhìn dễ gây cho học sinh tâm lý hoảng sợ vì nghĩ là phương trình

vô tỉ lượng giác nhưng chịu khó suy nghĩ, xem xét các biểu thức dưới dấucăn, xét thấy các biểu thức dưới căn là các bình phương đúng:

Ví dụ 2: Giải phương trình:

26 15 3 x 2 7 4 3x  2 2  2 3x 1

Cần phải quan sát, phân tích tất cả các số hạng có mặt trong phương trình,

từ đó mới phát hiện được mối quan hệ bản chất có mặt trong bài toán đó là:

sự hình thành kỹ năng Khi học sinh hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp

họ dễ dàng hình thành kỹ năng, còn ngược lại sẽ cản trở việc học tập Thóiquen tâm lý là một trở ngại thường gặp trong học tập Nguyên nhân chủ yếuhình thành thói quen tâm lý đó là tư duy của con người có tính phươnghướng Một loại kiến thức hoặc phương pháp cũ nào đó dùng nhiều lần, ấntượng sâu làm cho học sinh không bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen tưduy cũ để mở ra một hướng suy nghĩ mới

Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là nhậnthức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng bàitoán cụ thể

Tuy nhiên, nếu chú ý quan sát, phân tích đặc điểm bài toán thấy giữacác hệ số hình thành tỉ lệ, thực hiện biến đổi đơn giản các hệ số đưa phươngtrình về dạng: a x b x  c 0:

1.2.2 Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh

Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trường phổ thông thì việctruyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốnthực hiện được phải dựa trên mục đích này Và kiến thức về một mặt nào đó

sẽ không được củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng như vào cácngành khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ năng thực hiệncác hoạt động tương ứng

Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nóiriêng là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điềunày đã được nhiều tác giả đề cập như:

“ Suy nghĩ tức là hành động” ( J Piaget)

“ Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm” ( Kant)

“ Học để hành, học và hành phải đi đôi” ( Hồ Chí Minh)

Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng kháiniệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thànhthạo vào việc giải bài tập

Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và tính cách cho học sinh( Nguyễn Cảnh Toàn) Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho họcsinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán,

giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thờirèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ Từ đó, bồidưỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh.

Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp cácthao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bàitập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể

Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đường khác nhaunhư:

Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri

thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài toánliên quan theo mức độ tăng dần

Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định

hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó

Con đường thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với

- Kỹ năng vận dụng vào đời sống

Có thể nói, bài tập toán chính là ''mảnh đất'' để rèn luyện kỹ năng toán.

Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạtđộng giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán) Cụ thểhơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh cầnquan tâm chú trọng những vấn đề sau:

* Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đãcho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hướng chohọc sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình

 x 1   2x 3  50 3x  12 (1)Nếu giải bài toán này theo phương pháp thông thường, tức dùng biếnđổi tương đương, thì sẽ tương đối phức tạp

Ta nhận thấy, tổng các bình phương các căn thức ở vế trái là một sốkhông đổi:

+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán

Ví dụ 2: Giải bất phương trình

 x 1   2x 3  50 3x  12Nếu để ý mối liên hệ:  x 1  2  2x 3 2  50 3x 2 48 là mộthằng số; làm ta liên hệ tới tích vô hướng Có thể xem vế trái là tích của haivéc tơ còn vế phải là tích các độ dài của chúng Với hướng suy nghĩ này, lờigiải bài toán khá độc đáo

Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là:

Từ góc độ hình học để hiểu bất phương trình thì vấn đề trở nên rõ ràng

Bài toán chuyển về chứng minh u.v u v  Đây là một bất đẳng thức đúngvới tích vô hướng của hai véc tơ Vậy nghiệm của bất phương trình là những

giá trị của x mà bất phương trình có nghĩa tức là: 3 x 50

2   3 Như vậy, các cách giải hay, độc đáo đều gắn liền với đặc điểm của từngbài Do đó cần phải quan sát kỹ và chú ý đầy đủ mới có thể nhìn ra đặc điểm

ẩn sâu trong bài toán

+ Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán Họcsinh không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phương pháp và cácbước làm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phương phápsẵn Đòi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo.

Không dừng lại ở cách giải này, tiếp tục suy nghĩ, xem xét phân tíchđặcđiểm phương trình Phương trình cho ở dạng tích nên có thể biến đổi thànhdạng tỉ lệ:

Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rènluyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dưỡng tưduy toán học cho học sinh

1.3 Tư duy hàm và vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh 1.3.1 Tư duy hàm

Trước hết hãy bàn về thuật ngữ tư duy hàm, tư duy hàm tất nhiênkhông phải là thuật ngữ toán học, tư duy là một khái niệm Tâm lý còn hàm làmột khái niệm toán học, hàm ở đây không có nghĩa là hàm số mà còn có thể

là một sự tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nào đó

Cho đến nay vẫn chưa có một định nghĩa thống nhất, chính thức về tưduy hàm Theo Koliagin định nghĩa tư duy hàm như sau: Tư duy hàm là mộtloại hình tư duy đặc trưng bởi việc nhận thức được tiến trình những sự tươngứng riêng và chung giữa các đối tượng toán học hay giữa các tính chất củachúng (kể cả kỹ năng vận dụng chúng) [30]

Còn Trần Thúc Trình và Phạm Đức Quang cho rằng: Tư duy hàm làcác hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của một,hai hay nhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần

tử của tập hợp đó, trong sự vận động của chúng

Nguyễn Bá Kim thì thay vì đưa ra định nghĩa tư duy hàm, đã đưa ra cáchoạt động đặc trưng cho nó, ông quan niệm tư duy hàm đặc trưng bởi các hoạtđộng phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng các sự tương ứng

Như vậy, tư duy hàm là hoạt động trí tuệ liên quan đến sự nghiên cứunhững quy luật của sự vật, trong sự biến đổi sinh động của chúng, trong sựphụ thuộc lẫn nhau của chúng

Với cách hiểu này, tư duy hàm không chỉ cần đối với nhà khoa học mà

nó cũng rất cần thiết đối với người lao động, nó là yếu tố quan trọng trong vănhoá Toán học giúp người lao động tìm ra quy luật trong tự nhiên, xã hội và tưduy Chẳng hạn như sản phẩm của tư duy hàm thể hiện qua câu ca dao

“Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm” thể hiện

sự tương ứng giữa độ cao và thời tiết

1.3.2 Vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học phương trình

Trong dạy học toán học ở trường việc phát triển tư duy hàm cho họcsinh không có nghĩa là thầy lên lớp một bài giảng về tư duy hàm Nhiệm vụ tưduy hàm không tồn tại độc lập so với nhiệm vụ truyền thụ kiến thức Muốnphát triển tư duy hàm thầy giáo phải thông qua kiến thức đã quy định, trong

và trên cơ sở đó tìm ra giải pháp phát triển tư duy hàm cho học sinh, pháttriển tư duy hàm là mục đích kép

Thực tiễn giáo dục tư duy hàm cho học sinh phổ thông gặp nhiều khókhăn như : Trình độ học sinh còn hạn chế, không đồng đều, khối lượng kiếnthức nhiều trong khi số tiết dành cho bộ môn Toán lại không nhiều Những trithức về hoạt động tư duy hàm không được qui định rõ ràng trong chươngtrình nên không được giảng dạy một cách tường minh Mặt khác, hầu hết giáoviên phổ thông nắm về tư duy hàm chưa đầy đủ và cũng chưa thấy được tầmquan trọng của nó trong dạy học Trong dạy học việc xem xét các đối tượngtoán học một cách cô lập, trong trạng thái tĩnh tại, rời rạc Chưa thấy hếtnhững mối liên hệ phụ thuộc hoặc mối quan hệ nhân quả làm cho học sinhlúng túng trong việc giải quyết các bài toán Bên cạnh đó, các tài liệu viết vềvấn đề này nói chung còn hạn chế, khó tiếp cận, gây cho giáo viên và học sinhkhông ít khó khăn

Qua phiếu thăm dò, trao đổi với các giáo viên có kinh nghiệm, dạy một

số tiết để thăm dò rút ra những khó khăn của giáo viên, học sinh khi tiếp cậncác bài toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình do thiếu giáodục các thành tố tư duy hàm:

- Xác lập sự tương ứng;

- Nhìn nhận sự vật trong trạng thái vận động và biến đổi;

- Đặt sự vật này trong mối liên hệ sự vật kia theo các quan hệ nhân quả,phụ thuộc

Các khó khăn chủ yếu là:

1 Học sinh không biết cách phân chia các trường hợp riêng khi đứngtrước một bài toán cụ thể;

2 Xuất phát từ cơ sở nào để phân chia các trường hợp riêng thích hợpcho việc giải quyết bài toán;

3 Học sinh không biết nhìn nhận các bài toán phương trình, bấtphương trình, hệ phương trình trong mối liên hệ với các bài toán hàm số Những khó khăn này gây nên do: Khi dạy học phương trình, bất phương trình,

hệ phương trình thầy giáo thiếu quan tâm đến các hoạt động sau:

- Lập sự tương ứng giữa các đối tượng, quan hệ trong Toán học;

- Hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp về tư duy hàm;

- Hoạt động gợi động cơ

Một số vấn đề cần lưu ý khi dạy học giải phương trình:

Cần hình thành cho học sinh thói quen luôn ý thức về diễn biến của tậpnghiệm khi biến đổi phương trình Sau khi biến đổi phương trình thì tậpnghiệm của phương trình ban đầu và tập nghiệm của phương trình thu được

có quan hệ với nhau như thế nào? Có những khả năng nào xảy ra?

Có thể phân chia không triệt để các khả năng loại trừ lẫn nhau thì có các khảnăng sau:

Khả năng 1: Hai tập nghiệm trùng nhau

Khả năng 2: Tập nghiệm của phương trình trước là tập con của tậpnghiệm của phương trình sau

Khả năng 3: Tập nghiệm của phương trình sau là tập con của tậpnghiệm của phương trình trước

Khả năng 4: Giao của hai tập nghiệm khác rỗng, nhưng không tậpnghiệm nào là bộ phận của tập nghiệm kia

Có thể dùng biểu đồ Ven để minh họa cho điều này Căn cứ vào đâu đểnhận biết sự thay đổi của các tập hợp nghiệm?

Thứ nhất là căn cứ vào các phép biến đổi một phương trình về một

phương trình đơn giản đã biết cách giải

Loại 1: Phép biến đổi không làm tập xác định của phương trình thay đổi

Với phép biến đổi này phương trình mới nhận được tương đương vớiphương trình đã cho Khi đó ta kết luận: Tất cả các nghiệm của phương trìnhmới thu được là tất cả các nghiệm của phương trình đã cho Mặc dù vậy, tavẫn hình thành cho học sinh ý thức và thói quen thử lại nghiệm khi giảiphương trình (dù trong trường hợp này không đòi hỏi về mặt lý luận mà chỉ

có tác dụng kiểm tra kết qủa), góp phần giáo dục cho học sinh tính cẩn thận,thói quen tự kiểm tra kết quả công việc, một trong những đức tính cần thiếtcủa người lao động trong thời đại mới

Loại 2: Phép biến đổi làm mở rộng tập xác định của phương trình

Với phép biến đổi này phương trình mới nhận được thường là hệ quảcủa phương trình đã cho Khi đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã chođều là nghiệm của phương trình mới nhận được, như vậy phép biến đổiphương trình không làm mất nghiệm, tập nghiệm của phương trình đã cho làtập con của tập nghiệm của phương trình thu được, nghiệm ngoại lai nếu xuấthiện sẽ rơi vào phần mở rộng của tập xác định

 (x = -1 là nghiệm ngoại lai, sau phép

thử phải loại bỏ "nghiệm này").

Khi giải phương trình sử dụng phép biến đổi làm mở rộng tập xác định

ta cần nhấn mạnh sự cần thiết của phép thử khử nghiệm ngoại lai, điều nàykhông chỉ có mục đích kiểm tra tính toán, rèn luyện tính cẩn thận, chu đáo khilàm bài mà còn có tính chặt chẽ về mặt lý luận

Loại 3: Phép biến đổi làm thu hẹp tập xác định của phương trình

Với phép biến đổi này, có thể dẫn tới hiện tượng mất nghiệm củaphương trình đầu, phương trình đầu là hệ quả của phương trình cuối cùng thuđược Khi đó, tập nghiệm của phương trình thu được là tập con của phươngtrình đầu, phép biến đổi phương trình không làm rộng tập nghiệm, nghiệm bịmất ( nếu có ) rơi vào phần thu hẹp của tập xác định

Trong trường hợp này, cần phải thử các giá trị bị mất do thu hẹp tậpxác định vào phương trình đã cho để khắc phục hiện tượng thiếu nghiệm Tuynhiên, không có quy tắc tổng quát cho mọi trường hợp mà tuỳ từng bài toán

Ví dụ 4: Giải phương trình: x2  9 3x 9  (2)

 (x 3)(x 3) 3(x 3)   

 x 3 3  hay x 6

Do thu hẹp tập xác định từ R thành  \ 3 nên ta cần thử x = 3 vào (2)

để tránh mất nghiệm

Như vậy, nếu dùng phép biến đổi đồng nhất làm cho tập xác định củaphương trình bớt đi một số hữu hạn giá trị hay một số hữu hạn họ giá trị thìcần phải thử các giá trị đó (họ các giá trị đó) vào phương trình ban đầu tránhlàm mất nghiệm

Lưu ý: Nếu các giá trị của ẩn số rơi vào trong phần thu hẹp không lànghiệm của phương trình đã cho, thì tập nghiệm của phương trình ban đầutrùng với tập nghiệm của phương trình thu được Khi đó, ta nói hai phươngtrình này tương đương với nhau

Ví dụ 5: Giải phương trình: sin x cos x 1  (3)

Loại 4: Hỗn hợp các phép biến đổi

Đối với loại biến đổi này phương trình thu được vừa có khả năng thêmnghiệm vừa có khả năng thiếu nghiệm so với phương trình đã cho Do vậycần vận dụng cả hai cách giải quyết ở loại 2 và loại 3, tức là vừa phải thử xemcác nghiệm của phương trình thu được có phải là nghiệm của phương trình đãcho không, vừa phải tìm xem những giá trị nào không phải là nghiệm củaphương trình thu được nhưng lại là nghiệm của phương trình đã cho

Thứ hai là căn cứ vào các định lý biến đổi phương trình, ở đây là các

phép biến đổi tương đương mà học sinh đã được học Nắm vững các định lýnày không những giúp học sinh định hướng, biến đổi phương trình thànhphương trình tương đương đơn giản, dễ giải hơn mà còn giúp họ xác lập mốiquan hệ giữa các tập nghiệm của các phương trình trong quá trình biến đổi.Đây là một trong những điều quan trọng làm cơ sở để tiến hành thực hiện biếnđổi phương trình

Thứ ba là căn cứ vào một số kiến thức cơ bản, có thể là định nghĩa,

định lý, tính chất mà học sinh đã được học dù có thể không liên quan trựctiếp đến biến đổi phương trình Làm cơ sở xác định quá trình biến đổi đó bảotồn số nghiệm, thêm nghiệm hay bớt nghiệm

và phép chuyển ngược lại từ (6) sang (5)

- Phép chuyển từ (5) sang (6) là phép mũ hoá, có thể làm mở rộng tậpnghiệm

- Phép chuyển từ (6) sang (5) là phép logarít hóa, có thể làm thu hẹp tậpnghiệm

Tóm lại: Khi dạy học giải phương trình, ta cần hình thành cho học sinhlập luận có căn cứ ở từng phép biến đổi, xác định chính xác mối quan hệ giữacác phương trình biến đổi kế tiếp, sử dụng các ký hiệu " "," "," "

đúng, từ đó biết được diễn biến của các tập nghiệm sau từng bước biến đổi,dẫn đến xác định được tập nghiệm của phương trình đầu dựa vào tập nghiệmcủa phương trình cuối

Ngoài ra, theo tác giả Nguyễn Bá Kim khi dạy học giải phương trìnhcần quan tâm giải quyết hợp lý mối liên hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa và

cú pháp

1.4 Kết luận chương 1

Trong chương này, Luận văn đã sơ lược trình bày quan điểm đổi mớinội dung và phương pháp dạy học Phân tích, minh họa khái niệm tư duyhàm, kỹ năng cũng như vấn đề rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh phổthông, nhấn mạnh một số vấn đề cần lưu ý khi dạy học giải phương trình

Làm cơ sở đề xuất quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phươngtrình với việc phát triển tư duy hàm, giúp học sinh học tập tích cực hơn.

Chương 2Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư

duy hàm cho học sinh THPT

2.1 Phân tích nội dung chủ đề Phương trình trong môn toán THPT 2.1.1 Về chủ đề phương trình, bất phương trình

Bàn về khái niệm phương trình, khác với một số sách giáo khoa (SGK)trước đây khái niệm phương trình theo SGK Đại số 10, Chuẩn phát biểu:

“Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng: f x( )g x( ) (1)

Trong đó f x( ) và g x( ) là những biểu thức của x Ta gọi f x( )là vế trái, g x( ) là vế phải của phương trình (1).

Nếu có số thực x sao cho 0 f(x0)g x( 0) là mệnh đề đúng thì x 0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1) Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).

Nếu không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng)”

Còn SGK Đại số 10, Nâng cao thì định nghĩa: “Cho hai hàm số y = f(x) và y =g(x) có tập xác định lần lượt là D f và D g Đặt  D D f D g , mệnh

đề chứa biến “f(x) = g(x)” được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn số

(hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình Số x 0 thuộc D gọi là tập nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nếu “f(x 0 ) = g(x 0 )” là mệnh đề đúng”

Cả hai cách định nghĩa phương trình dựa vào hàm mệnh đề đã khắcphục được hạn chế, có thể áp dụng vào mọi trường hợp cụ thể phù hợp vớitrình độ học sinh cũng như thoả mãn với cả các phương trình phải tìm nghiệmlẫn cả những phương trình biểu thị những quy luật vật lý hay những phươngtrình biểu diễn đường

Trước đây khi cho phương trình thường gắn với tập xác định, dùphương trình đó có tập xác định là  cũng phải ghi rõ nhưng theo tinh thầnSGK mới, cụ thể SGK 10 Nâng cao đã hướng dẫn học sinh đến việc làm đơngiản là chỉ cần nêu điều kiện để ẩn số thuộc D, gọi là điều kiện xác định (hayđiều kiện) của phương trình Trong trường hợp f(x) và g(x) là những biểuthức thì điều kiện của phương trình không chỉ gồm các điều kiện để hai biểuthức f(x) và g(x) có nghĩa, mà có thể còn gồm cả những điều kiện được áp đặtcho ẩn vì lý do nào đó (như x nguyên, x a, x 0  )

Với việc đưa ra khái niệm phương trình, bất phương trình dựa vào hàmmệnh đề đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc chứng minh đầy đủ, chặt chẽ định

lý về phép biến đổi tương đương

Khi dạy học chủ đề phương trình, bất phương trình cần làm rõ sự khácnhau giữa các định lý về phép biến đổi tương đương phương trình với cácđịnh lý về phép biến đổi tương đương bất phương trình Nhiều học sinh dokhông nắm vững nội dung kiến thức này đã áp dụng lẫn lộn giữa phép biếnđổi tương đương cho phương trình sang bất phương trình, dẫn đến sai lầmtrong suy luận, đưa đến lời giải không đúng

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x 1 Thực tế,

học sinh đã “mất cảnh giác” khi nhân hai vế của phương trình (1) với

tiếp đến chiều của bất phương trình) dẫn đến kết quả bài toán sai

Như vậy, việc nắm vững các định lý biến đổi phương trình, bất phươngtrình là quan trọng và cần thiết, lần đưa ra những bài tập để học sinh vận dụngcác phép biến đổi tương đương này thành thạo, làm rõ sự giống và khác nhaugiữa phép biến đổi tương đương phương trình với phép biến đổi tương đươngbất phương trình, tránh sai lầm khi áp dụng Thật vô nghĩa nếu yêu cầu họcsinh “thuộc lòng” các định lý về các phép biến đổi tương đương hoặc cácphép biến đổi tương đương áp dụng cụ thể đối với các dạng phương trình, bấtphương trình Chẳng hạn, các phép biến đổi tương đương khi bình phương hai

vế các phương trình, bất phương trình vô tỷ hay chứa dấu giá trị tuyệt đốinhư:

f (x) g(x); f (x) g(x); f (x)  g(x) ; f (x) g(x) ; f (x)  g(x)

sẽ làm học sinh rối, dễ nhầm lẫn giữa các công thức

Việc xem xét, nghiên cứu các bài toán trong toán học sơ cấp bằng cáchghép thành từng lớp bài toán giải được bằng cùng một phương pháp là mộtviệc làm cần thiết và có ý nghĩa Trên cơ sở lý thuyết, bài tập sách giáo khoa

và một số sách tham khảo khác, có thể liệt kê một số phương pháp giảiphương trình, bất phương trình như sau:

- Phương pháp biến đổi tương đương

Đứng trước bài toán giải phương trình, bất phương trình thì việc địnhhướng phương pháp giải đóng vai trò quyết định để thực hiện lời giải Tuynhiên, việc định hướng phương pháp giải dạng toán này là đa dạng, có nhữngbài toán có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, vấn đề là lựa chọnphương pháp nào tối ưu nhất để trình bày.

2.1.2 Các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi giải toán phương trình

Có nhiều kiểu phân chia kỹ năng phù hợp với từng “mảng” kiến thức,từng nội dung môn học Nhưng tựu trung lại cần rèn cho học sinh các kỹ năng

cơ bản như: kỹ năng nhắc lại, kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt động chân tay,

kỹ năng xử sự (theo cách phân loại của De Ketele) Đây là những kỹ năngkhông chỉ được rèn luyện khi giải toán phương trình mà còn được rèn luyệntrong suốt chương trình phổ thông, ở tất cả các nội dung và tất cả các mônhọc Tất nhiên sự phân chia này chỉ có tính chất tương đối, khi dạy học tathường rèn luyện kỹ năng ở dạng “phức hợp’ tức là trên một nội dung kiếnthức cụ thể, ta không chỉ rèn một loại kỹ năng cơ bản đơn lẻ, vì một kỹ năng

có thể là hỗn hợp của nhiều loại kỹ năng cơ bản Chẳng hạn kỹ năng vẽ đồ thịbao gồm cả kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt động chân tay và kỹ năng xử sự

Vì để vẽ được đồ thị người ta không những cần phải biết vẽ như thế nào (kỹnăng nhận thức) mà còn phải biết những động tác để vẽ được đồ thị (kỹ nănghoạt động chân tay) và cần vẽ đồ thị chính xác, đẹp (kỹ năng xử sự) Đối với

chủ đề phương trình và bất phương trình ta cần rèn luyện cho học sinh những

kỹ năng thuộc về nhóm kỹ năng nhận thức và vận dụng Có thể kể ra một số

kỹ năng sau:

- Kỹ năng tính toán: Trước hết cần phải nói rằng học toán gắn liền với

tính toán, tính chính xác nhanh và ngắn gọn là những yêu cầu cơ bản, đầu tiên

để học tốt môn Toán Đồng thời kỹ năng này có ý nghĩa vô cùng quan trọngtrong thực tế của đời sống, trong sản xuất kinh doanh, trong kỹ thuật Khi giảitoán phương trình tính toán có tính số và tính biểu thức, dặc biệt đối với các

bài toán phương trình bất phương trình chứa tham số mức độ yêu cầu cao, vừakhó vừa trừu tượng, tầng lớp nhiều, chỉ cần tính toán sai một bước sẽ dẫn đếntất cả đều sai Do đó cần rèn luyện cho học sinh khả năng tính toán ở nhiềumức độ khác nhau.

Nguyễn Bá Kim cho rằng cần rèn luyện khả năng tính toán theo nhữnghướng sau:

+ Đặc biệt chú ý những yêu cầu nào của kỹ năng tính toán cần thiết cảtrong trường hợp không máy tính lẫn bằng máy tính: tính nhẩm, tính ướcchừng

+ Về mặt tính viết, không cần thiết phải bỏ công sức cho học sinh tậpluyện tính toán trên những số liệu quá cồng kềnh, phức tạp

+ Từ bỏ việc tính toán với những phương tiện đã lỗi thời

Chúng tôi cho rằng rèn luyện khả năng tính toán khi giải toán phươngtrình thể hiện ở các mặt sau:

+ Rèn kỹ năng tính nhẩm và tính nhanh: việc tính nhẩm và tính nhanhrất phù hợp với những bài có số liệu đơn giản (trực tiếp nhẩm ra đáp số khôngcần viết ra giấy) hoặc những bài chứa căn thức biến đổi đưa về hằng đẳngthức (tính nhanh)

cần chú ý đến mẫu số của hai số hạng đầu là dạng hiệu và dạng tổng để lấymẫu số chung, ta có kết quả nhanh chóng.

Phải biến đổi và sử dụng thành thạo các hằng đẳng thức theo cả chiềuthuận và chiều nghịch, chẳng hạn: a2 – b2 = (a - b)(a + b)

để tìm căn bậc ba hay tổng quát là luỹ thừa bậc n để tìm căn bậc n như

có lời giải ngắn gọn nhất.

+ Nhớ những số hay dùng, có thể sử dụng cách nhớ máy móc kết hợpvới nhớ theo quy luật Những số hay dùng như: Bình phương các số từ 1 đến

20, căn của các số tự nhiên 2, 3, 5, 6 để khi biến đổi, lấy nghiệm, so sánh hoặcbiểu diễn các nghiệm trên trục số khi giải phương trình, bất phương trình cóphản ứng nhanh Nhờ giá trị sin, cos, tg, cotg của các giá trị góc đặc biệt như

00, 150, 300, 450, 750, 900 và chuyển đổi giữa độ và radian của các góc đặc biệtnày để khi giải phương trình, bất phương trình lượng giác hoặc phương trìnhbất phương trình giải bằng phương pháp lượng giác hoá được nhanh chóng.Ngoài ra, các số lập phương từ 1 đến 10; log của lg2, lg3, lg5 hoặc log24,log381 để thuận lợi khi giải (bất) phương trình mũ và logarit

Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh khi giải phươngtrình cần chú trọng rèn luyện kỹ năng này trong tất cả các nội dung kiến thứckhác Cần rèn luyện các đức tính như cẩn thận, chu đáo, kiên trì, nhanh trínhằm tiến tới thói quen tính toán chính xác, đồng thời một đề ra có thể cónhiều cách giải từ các khía cạnh khác nhau, cần khai thác triệt để làm như vậyhọc sinh có cơ hội tính toán linh hoạt đa dạng Từ đó tìm ra cách giải ngắn vàhay nhất

- Kỹ năng thực hiện các phép biến đổi, đặc biệt là các phép biến đổi

đồng nhất, các phép biến đổi tương đương

- Kỹ năng vận dụng các phương trình mẫu

Nhận dạng và giải thành thạo các phương trình, bất phương trình dạng

cơ bản hoặc quy về dạng cơ bản Chẳng hạn khi học phương trình quy vềphương trình bậc nhất, bậc hai Thì cần rèn cho học sinh các kỹ năng như:

+ Giải và biện luận thành thạo phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai.+ Giải được các phương trình quy về bậc nhất, bậc hai Phương trình có

ẩn ở mẫu số, phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứacăn, phương trình đưa về phương trình tích

Ví dụ 4: Khi học về “phương trình bậc hai”, có thể yêu cầu học sinh

theo các mức độ sau:

1 Nhắc lại dạng và các bước giải phương trình bậc hai theo công thứcnghiệm tổng quát (kỹ năng nhắc lại)?

2 Thực hiện giải phương trình x4 – 8x2 – 9 = 0 (kỹ năng nhận thức)

3 Giải và biện luận phương trình : x4 – (a -3)x2 + 3a = 0

4 Có thói quen kiểm tra khi kết luận nghiệm (kỹ năng xử sự)

Mặc dù những kỹ năng này yêu cầu học sinh vận dụng khi giải phươngtrình, bất phương trình theo dạng mẫu, đã có sẵn thuật giải nhưng giáo viênkhông được coi nhẹ việc rèn luyện kỹ năng này vì:

Thứ nhất: đây là những kiến thức cơ bản, yêu cầu học sinh cần nắm đượcThứ hai: đây là nền tảng, là bài toán gốc để giải bài toán ở mức độ cao hơn(Quá trình giải phương trình, bất phương trình phần lớn “biến đổi” đưa về cácphương trình, bất phương trình dạng đơn giản, cơ bản đã có sẵn cách giải)

- Kỹ năng sử dụng đồ thị: Học sinh không khỏi thắc mắc giải toán

phương trình sao cần đến kỹ năng sử dụng đồ thị, họ cho rằng kỹ năng nàychỉ cần khi học nội dung “hàm số” Thực ra nhiều bài toán phương trình, bấtphương trình giải bằng phương pháp đồ thị, nhất là các bài toán xác định sốnghiệm hay biện luận số nghiệm giải bằng phương pháp này dễ nhận ra kết quả,nhanh chóng, trực quan

Đồ thị biểu diễn trực quan các quan hệ hàm số và là công cụ để tínhtoán Rèn luyện kỹ năng sử dụng đồ thị cho học sinh trên hai mặt:

x 2x khi x 2(1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại mộtđiểm duy nhất Điều này xảy ra khi m < 0 hoặc khi m > 1 (rất trực quan, bằng

đồ thị học sinh có ngay kết luận)

- Kỹ năng suy luận: Kỹ năng này không chỉ cần khi giải toán phương

trình mà có thể nói đây là kỹ năng chung cần để giải bài tập toán

Kỹ năng suy luận vừa thể hiện khía cạnh nhận thức vừa thể hiện khíacạnh xử sự của kỹ năng Để đưa ra những suy luận học sinh phải dựa vào đặcđiểm, nhận thức dự đoán, phân tích riêng của bản thân để đưa ra nhiều cáchlàm khác nhau, khi gặp các dạng toán chưa có sẵn cách giải

x = max(x, y, z) và xét tính chất của hàm đặc trưng về vế trái (thể hiện khảnăng xử sự trước tình huống cụ thể)

Tiến hành thực hiện lời giải:

Xét hàm đặc trưng f(t) = t3 – 3t2 + 5t +1 có f’(t) = 3t2 – 6t +5 >0, t 

Hàm số f(t) luôn đồng biến

Hệ phương trình có dạng:

f(x) 4yf(y) 4zf(z) 4x

Từ đây, yêu cầu học sinh nêu phương pháp làm toán dạng này ?

Nếu hệ phương trình có dạng

f(x) g(y)f(y) g(z)f(z) g(x)

Chứng minh rằng hệ phương trình vô nghiệm

Bằng cách suy luận thông thường, mỗi phương trình trong hệ có x, y, zbình đẳng ta nghĩ đến xét hàm đặc trưng g(t) = at2 + bt + c không thể giải quyếtđược Nhưng nếu để ý giả thiết (b – 1)2 – 4ac < 0 làm cho ta nghĩ đến hàm

cần xét là f(t) = at2 + (b – 1)t + c Điều đó cho phép ta nghĩ cộng các vế của hệphương trình trên lại với nhau.

Giả sử rằng hệ phương trình trên có nghiệm (x0, y0, z0), nghĩa là:

f(x ) 0f(y ) 0f(z ) 0

Vế trái (3) > 0 ( Vô lý)

- Nếu a < 0 tương tự  Vế trái (3) < 0 ( Vô lý)

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Thông qua bài toán này ta thấy việc nghiên cứu tính chất của các biểuthức có mặt trong phương trình cần kết hợp với các biểu thức có mặt trong bàitoán từ đó định hướng cách giải

Các kỹ năng suy luận, chứng minh là những kỹ năng chung, đều cần

khi giải toán nên chúng tôi không đề cập nhiều

Ngoài ra các kỹ năng vận dụng các phần kiến thức cụ thể vào giải

phương trình như kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên hàm

số, kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá giá trị của các biểu thức thành phần chúng tôi sẽ trình bày cụ thể ở phần sau

2.2 rèn kỹ năng giải toán phương trình dựa vào các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm

2.2.1 Rèn kỹ năng vận dụng các dạng phương trình mẫu

Xét theo quan điểm vận dụng các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm,chúng tôi nhấn mạnh đến việc thiết lập sự tương ứng giữa tình huống đượcđưa ra trong mỗi bài toán phương trình với tập hợp các dạng phương trìnhmẫu học sinh đã được học Đối với đa số bài toán có thuật giải được đưa ratrong sách giáo khoa thì việc thiết lập sự tương ứng này được thực hiện trựctiếp thông qua hoạt động nhận dạng Có hai cấp độ thực hiện hoạt động nhậndạng khi khai thác các bài tập loại này:

- Nhận dạng bài toán thông qua thiết lập sự tương ứng giữa các số haytham số cho trong bài toán (tham số thực) với các tham số cho trong kiến thức

lý thuyết về dạng phương trình đã học (tham số hình thức)

- Nhận dạng sự chuyển loại của bài toán khi bài toán có chứa tham sốdựa theo sự biến thiên giá trị của tham số

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình:

Yêu cầu học sinh xác định được dạng bất phương trình?

ax + b > 0Xác định được các hệ số a, b?

2

Rồi tiến hành thực hiện các bước giải Tất nhiên khi xây dựng quy tắcgiải cần cho học sinh lập luận có căn cứ trong từng phép biến đổi, để đi đếnquy tắc giải cho từng dạng toán nào đó

Việc học sinh nhận dạng đúng bài toán cần giải là họ đã thiết lập được

sự tương ứng giữa bài toán đó với bài toán tổng quát đã có sẵn thuật giải ở ví

dụ trên khi a thay đổi, a nhận giá trị dương, âm hoặc bằng không thì nghiệmcủa bất phương trình cũng thay đổi theo Như vậy, là đã tiến hành đánh giá sựbiến thiên của giá trị ra khi cho thay đổi giá trị vào

Ví dụ 2: Cho phương trình   2  

m 2 x  2 m 1 x m0 (1)

a Giải phương trình khi m = 3

b Giải và biện luận phương trình

- Yêu cầu học sinh xác định dạng phương trình, các hệ số a, b, c củaphương trình trong trường hợp m = 3? Cách giải?

- Đưa ra những câu hỏi gợi ý như:

Hỏi: Phương trình (1) là phương trình bậc hai khi nào?

a

  

Như vậy, sự biến thiên giá trị m dẫn đến sự thay đổi về dấu của biệt thức '



, điều này kéo theo sự thay đổi về số nghiệm và giá trị nghiệm của phương trình

Hỏi: Phương trình (1) suy biến khi nào? Giải phương trình trong trường hợp này?

Sự thay đổi của tham số có thể kéo theo về sự thay đổi về số nghiệmcủa phương trình, có thể sự thay đổi của tham số trong một khoảng nào đókhông làm thay đổi về số nghiệm mà có thể chỉ thay đổi về giá trị nghiệm

Bên cạnh việc luyện tập cho học sinh áp dụng thành thạo một quy tắctổng quát nào đó áp dụng cho mọi bài toán cùng loại, cần lựa chọn một số bàitoán dựa vào sự phân tích tính đặc thù riêng có thể giải được bằng phươngpháp riêng đơn giản hơn khi áp dụng giải theo quy tắc tổng quát

Chẳng hạn sau khi học công thức giải phương trình bậc hai và sau khicho học sinh luyện tập áp dụng công thức đó, ta cho học sinh giải phươngtrình:

2 3 x 2 1 3 x 30

Nhiều học sinh giải bằng cách tính '

 mà không dựa trên nhận xét

Có khi học sinh sẽ mở dấu ngoặc, đưa phương trình về dạng bậc hai rồi

áp dụng công thức nghiệm mà không thấy ở đây là một phương trình tích A.B

= 0 thì A = 0 hoặc B = 0, để có ngay nghiệm x1 2

3

 và x2 1

3

 Nhữngtrường hợp như vậy nhằm khắc phục thói quen áp dụng máy móc công thức,không làm thay đổi phù hợp với điều kiện mới và rèn luyện tư duy linh hoạtcho học sinh

Các yêu cầu cơ bản khi tiến hành rèn luyện cho học sinh kỹ năng vậndụng phương trình mẫu đó là:

- Nắm vững quy tắc giải

- Nhận dạng đúng bài toán có quy tắc giải xác định

- Tiến hành giải bài toán theo quy tắc đã học

Như vậy, nếu phương trình cho ở dạng mẫu mực, cơ bản học sinh chỉcần nhận dạng, chọn cách giải ứng với mỗi dạng phương trình Nhưng cónhững phương trình mới chỉ nhìn qua học sinh chưa nhìn ra dạng chuẩn mực,thì cần biến đổi đơn giản (có thể) đưa về dạng chuẩn mực đã học Chẳng hạnnhư các bài toán phương trình qui về phương trình bậc nhất, bậc hai

Ví dụ 3: Giải phương trình: cos2x + 3sin2x = 2

Mới nhìn qua bài toán này hoặc sinh chưa nhìn thấy ngay dạng đã học,nhưng chỉ cần biến đổi lượng giác đơn giản nhờ nhớ lại công thức

cos2a =1 - 2sin2a thì lại có thể đưa về dạng đã học

Cần đưa ra những bài toán mà khi giải học sinh không chỉ cần vậndụng một dạng phương trình mẫu mà phải vận dụng kết hợp các dạng phương

trình mẫu mới giải được Bên cạnh các dạng toán đã có sẵn thuật giải nhưSGK đã trình bày, cần hình thành cho học sinh thói quen tự tìm tòi các dạngphương trình, bất phương trình (nếu có thể) từ bài toán cụ thể, đề xuất bàitoán tổng quát, xây dựng qui tắc làm, rõ ràng xác định Vì việc nêu ra tất cảcác dạng phương trình mẫu là điều không thể thực hiện được, hơn nữa làm

như vậy sẽ tạo ra ''sức ỳ '' cho học sinh.

Ví dụ 4: Giải phương trình:

(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9

Hướng dẫn học sinh giải:

ở bài toán này, chắc chắn ý định khai triển vế trái, biến đổi đưa phươngtrình về dạng : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a  0), rồi thực hiện giải Nhưvậy học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn vì học sinh mới chỉ học giải phương trìnhtrùng phương

- Hãy nhận xét các hệ số có mặt trong các thừa số ở vế trái ?

1 + 7 = 3 + 5 = 8

- Hãy đưa ra cách biến đổi thích hợp để các biểu thức gần nhau hơn!

ở vế trái, ghép các thừa số thứ nhất với thừa số thứ tư, thừa số thứ haivới thừa số thứ ba ta được: (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) = 9

- Quan sát các thừa số ở vế trái và đưa ra cách làm?