Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm

Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm

mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Nâng cao chất lợng dạy học nói chung, chất lợng dạy học môn Toán

nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nớc ta hiện nay Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phơng pháp dạy học Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học đã đợc chỉ rõ trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà nớc và ngành Giáo dục nớc ta Có thể dẫn ra một vài văn bản đã đợc ban hành trong những năm qua nh sau:

- Luật Giáo dục (1998) quy định: “ Ph… ơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn ”.…

- Dự thảo chơng trình (1989) môn Toán nêu rõ: “ Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, t duy trừu tợng và trí tởng tợng không gian, t duy biện chứng, t duy hàm ; đồng thời rèn luyện các phẩm chất của t… duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo ”.…

Tuy nhận thức rõ đợc tầm quan trọng và định hớng đổi mới phơng pháp đã đợc nêu ra ở trên nhng thực tế dạy học hiện nay vẫn còn chịu ảnh hởng nhiều của quan niệm và phơng pháp dạy học xa cũ Nhận định về vấn đề này đã có không ít nhà nghiên cứu đa ra những ý kiến, đặt ra nhiều vấn đề cho ngành Giáo dục và mỗi giáo viên suy nghĩ, tháo gỡ Sau đây là một số ý kiến nh vậy:

- ý kiến của GS Hoàng Tụy: "Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái ăm, giả tạo; chẳng giúp gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mỏi mệt và chán ch-ờng".

- ý kiến của GS Nguyễn Cảnh Toàn: “Kiến thức, t duy, tính cách con ngời chính là mục tiêu của giáo dục Thế nhng, hiện nay trong nhà trờng t duy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức".

1.2 Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung

dạy học Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kỹ năng thực hiện một loại hoạt động nào đó nếu không chú ý trang bị kiến thức về lĩnh vực đó một cách vững chắc Ngợc lại, việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động trong mỗi lĩnh vực có tác dụng củng cố và mở rộng kiến thức, giúp cho ngời học tìm thấy những tác dụng to lớn của kiến thức học đợc trong việc giải quyết các tình huống trong thực tiễn và trong khoa học.

Chủ đề phơng trình và bất phơng trình có vị trí quan trọng trong chơng trình môn Toán THPT Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp Những kiến thức về phơng trình và bất phơng trình còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt là Hình học giải tích Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phơng trình, bất phơng trình một cách đầy đủ theo quy định của chơng trình, việc rèn luyện kỹ năng giải ph-ơng trình và bất phơng trình cho học sinh có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lợng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trờng THPT.

Kiến thức hàm số có vai trò quan trọng trong toàn bộ chơng trình môn Toán phổ thông Điều này đợc khẳng định không chỉ ở nớc ta mà còn đợc đề cập đến trong nhiều ý kiến của các nhà khoa học nớc ngoài Ta có thể thấy đợc điều này qua các ý kiến đợc trích từ [16] sau đây:

- ý kiến của Kơlanh khi khởi xớng phong trào cải cách việc dạy học Toán ở trờng phổ thông đầu thế kỷ XX đã đề nghị: Đa cái mới vào giáo trình toán phổ thông, lấy t tởng hàm số và biến hình làm t tởng quan trọng nhất - Kiến nghị của Hội nghị Quốc tế về giáo dục quốc dân họp tại Giơnevơ (tháng 7 năm 1956) gửi các vị Bộ trởng Giáo dục các nớc nêu rõ: Nên xây dựng chơng trình sao cho việc dạy Toán dựa trên các cơ sở hàm số

- ý kiến của GS Papy tại Hội nghị Quốc tế các nhà toán học họp tại Matxcơva (tháng 8 năm 1966) đề nghị: Chơng trình toán Trung học (cấp II và II) phải bao gồm: Tập hợp, Quan hệ, Đồ thị, Nhóm, Không gian vectơ, Các yếu tố của phép tính vi phân và tích phân.

ở Việt Nam, chơng trình môn Toán trong cải cách giáo dục và các chơng trình đổi mới trong những năm gần đây đều chú trọng đến kiến thức hàm số Trong [24], GS Nguyễn Bá Kim đã cho rằng "Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số" là một trong "những t tởng cơ bản" của chơng trình môn Toán bậc THPT Khi phân tích t tởng cơ bản này tác giả đã nhấn mạnh:

- Nghiên cứu hàm số đợc coi là nhiệm vụ xuyên suốt chơng trình bậc Phổ thông Trung học;

- Phần lớn chơng trình Đại số và Giải tích dành cho việc trực tiếp nghiên cứu hàm số và công cụ khảo sát hàm số;

- Cấp số cộng và cấp số nhân đợc nghiên cứu nh những hàm số đối số tự nhiên;

- Lợng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lợng giác còn phần công thức đợc giảm nhẹ;

Phơng trình và bất phơng trình đợc trình bày liên hệ chặt chẽ với hàm số.

1.3 Gắn bó chặt chẽ với t tởng hàm số, t tởng biến hình, t tởng về sự tơng

ứng đơn trị giữa các tập hợp, các sự vật và hiện tợng là vấn đề t duy hàm Những đặc trng về t duy hàm đợc các tác giả Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Ch-ơng, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dơng Thuỵ, Nguyễn Văn Thờng chỉ ra trong [25] Phát triển t duy hàm có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán, nó vừa là yêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện để nâng cao chất lợng dạy học nhiều tuyến kiến thức môn Toán Việc dạy học các kiến thức môn Toán đợc trình bày theo t tởng hàm số có tác dụng tốt trong việc phát triển t duy hàm cho học sinh đồng thời có thể rèn luyện nhiều kỹ năng giải toán và ứng dụng kiến thức toán cho học sinh trong sự kết hợp phát triển t duy hàm.

1.4 Có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất lợng

dạy học nội dung Phơng trình, bất phơng trình Nhiều công trình nghiên cứu về

phát triển t duy hàm cho học sinh thông qua dạy học các chủ đề kiến thức cụ thể Dựa trên những kết quả nghiên cứu đó, chúng tôi tập trung xét vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình cho học sinh trong sự phối hợp hữu cơ với vấn đề phát triển t duy hàm.

Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Phối hợp rèn luyện kỹnăng giải toán phơng trình với phát triển t duy hàm cho học sinh THPT trong dạy học Đại số và Giải tích ".

2 Mục đích nghiên cứu

Xác định mối quan hệ tơng hỗ giữa việc rèn luyện kỹ năng giải phơng trình, bất phơng trình với việc phát triển t duy hàm cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích nhằm góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán ở tr-ờng THPT.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Hệ thống hoá các vấn đề lý luận về kỹ năng và quan điểm rèn luyện

kỹ năng toán học cho học sinh.

3.2 Hệ thống hoá các kỹ năng giải toán phơng trình, bất phơng trình cần

rèn luyện cho học sinh THPT.

3.3 Hệ thống hoá các thành tố của t duy hàm và quan điểm phát triển t

duy hàm cho học sinh trong dạy học toán.

3.4 Đề xuất quan điểm rèn luyện các kỹ năng giải toán phơng trình, bất

phơng trình trong sự phối hợp với việc phát triển t duy hàm cho học sinh THPT thông qua dạy học Đại số và Giải tích.

3.5 Thực nghiệm s phạm, kiểm tra tính khả thi và hiệu quả áp dụng.4 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở dạy học đúng chơng trình quy định, áp dụng các phơng pháp dạy học và sử dụng các phơng tiện hiện có, nếu trong quá trình dạy học giáo viên quan tâm phối hợp giữa việc rèn luyện kỹ năng giải toán với việc phát triển t duy hàm cho học sinh thì chất lợng dạy học môn Toán (thể hiện qua khả năng giải toán phơng trình, bất phơng trình của học sinh) đợc cải thiện.

5 Phơng pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các vấn đề về Tâm lý học, Giáo dục

học, Lý luận dạy học, Toán học, Triết học, Thống kê trong giáo dục có liên quan đến đề tài.

5.2 Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra 5.3 Thực nghiệm s phạm.

6 đóng góp của luận văn

6.1 Hệ thống hoá các vấn đề lý luận liên quan đến đề tài.

6.2 Đề xuất một số quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng

trình với phát triển t duy hàm

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 3 chơng:

Chơng 1: Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài

1.1 Một số đổi mới về nội dung và phơng pháp dạy học1.1.1 Một số đổi mới về nội dung

1.1.2 Đổi mới về phơng pháp dạy học

1.2 Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh1.2.1 Khái niệm kỹ năng

1.2.2 Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh1.3 T duy hàm và vấn đề phát triển t duy hàm cho học sinh

2.2 Rèn kỹ năng giải toán phơng trình dựa vào các t tởng chủ đạo của t duy hàm

2.2.1 Rèn kỹ năng vận dụng các dạng phơng trình mẫu2.2.2 Rèn kỹ năng biến đổi phơng trình

2.2.3 Rèn kỹ năng giải phơng trình thông qua đánh giá giá trị các biểu thức thành phần

2.2.4 Rèn kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán

2.2.5 Rèn kỹ năng giải phơng trình thông qua xét sự biến thiên của hàm số

2.3 Phát triển t duy hàm cho học sinh thông qua giải toán phơng trình

2.3.1 Tìm miền xác định của tơng ứng hàm thông qua giải toán phơng trình, bất phơng trình

2.3.2 Tìm giá trị vào, giá trị ra của một tơng ứng thông qua giải toán ơng trình

ph-2.3.3 Xét tính chất của tơng ứng hàm thông qua giải toán phơng trình, bất phơng trình

2.3.4 Định hớng sử dụng phơng trình, bất phơng trình trong quá trình lợi dụng tơng ứng hàm để giải quyết vấn đề.

chơng 1

Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài

1.1 Một số đổi mới về nội dung và phơng pháp dạy học

1.1.1 Một số đổi mới về nội dung

Chơng trình sách giáo khoa (SGK) mới hiện nay đã có những thay đổi về nội dung và cách trình bày nh:

- Đa thêm vào một số nội dung Toán học cho hoàn chỉnh chơng trình THPT, nh Số phức, Thống kê, Tổ hợp, Xác suất… Sắp xếp nội dung chơng trình theo hệ thống để dễ dạy, dễ học hơn nh phần toạ độ trong mặt phẳng ở chơng trình lớp 12 đợc đa vào cuối lớp 10 giảm nhẹ phần các đờng cônic Đồng thời nhấn mạnh liên hệ giữa các phần khác nhau của chơng trình Toán ở các cấp, các lớp, giữa các môn học Chẳng hạn đa phần Đạo hàm xuống lớp 11 để giúp kịp thời cho dạy và học môn Vật lý ở đầu lớp 12

- Cách viết SGK nh từ trớc đến nay còn mang tính hàn lâm: Thông báo kiến thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ; đa ra nhiều các bài toán khó nên còn thiếu tính s phạm SGK cha thể hiện đợc phơng pháp dạy học tích cực Theo cách viết SGK và cách giảng dạy cũ, SGK chỉ đơn thuần là một tài liệu khoa học dùng cho giáo viên, nội dung các tiết dạy thờng đợc viết cô đọng, đầu tiên là nêu định nghĩa của một khái niệm mới, sau đó là các tính chất và chứng minh, rồi các định lý và chứng minh, cuối cùng là các ví dụ và các bài toán Theo định hớng đổi mới, SGK phải trình bày và hớng dẫn nh thế nào đó để cho nếu không có thầy giáo, học sinh cũng có thể tự học đợc, cố nhiên là khó khăn và vất vả hơn

SGK mới nêu nhiều câu hỏi, đề ra nhiều hoạt động tại lớp mà giáo viên có thể thay đổi cho thích hợp để phát huy tính tích cực học tập của học sinh, học sinh đợc suy nghĩ và hoạt động nhiều hơn Nhiều câu hỏi đặt ra nhằm giúp học sinh nhớ lại một kiến thức nào đó hoặc để gợi ý, hoặc để định hớng cho những suy nghĩ của họ … Các câu hỏi này nói chung là dễ, vì thế không đa ra câu trả lời trong SGK

SGK theo tinh thần mới tinh giảm những nội dung phức tạp, giảm bớt những suy luận quá hình thức, quá trừu tợng, giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu

là giảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lý Một số tính chất quá hiển nhiên không nêu ra, các định lý chứng minh quá phức tạp thì chỉ nêu những trờng hợp cụ thể để kiểm chứng mà không cần phải chứng minh

SGK theo tinh thần mới tăng cờng những nội dung thực tiễn, thiết thực, những điều gần gũi với cuộc sống của học sinh trong trờng hợp có thể Chẳng hạn, trong phần véctơ, có thể đa thêm những ứng dụng trong Vật lý: Tổng hợp lực, phân tích lực…

Ngoài ra, SGK mới còn đa thêm các phần nh: Có thể em cha biết, em có biết, bài đọc thêm, để nói thêm những chi tiết hay, thú vị gây hứng thú học tập cho học sinh.

SGK mới đã chỉ ra các hoạt động tại từng thời điểm để thầy, trò xem xét và giải quyết Những hoạt động này rất đa dạng, có thể là ôn lại kiến thức cũ, đặt vấn đề cho kiến thức mới, qua các ví dụ cụ thể gợi ý phơng pháp giải quyết vấn đề hay bài toán đặt ra, thực hành áp dụng trực tiếp các công thức nêu trong lý thuyết Cách thức thực hiện các hoạt động này cũng rất đa dạng: Có thể thầy làm hoặc cho học sinh thực hiện, hoặc nêu thành vấn đề để cả lớp cùng thảo luận tìm cách giải quyết.

Tóm lại so với sách giáo khoa cũ thì sách giáo khoa lần này không phải thay đổi nhiều về nội dung mà chủ yếu thay đổi cách trình bày để học sinh học tập một cách tích cực hơn

Những sự thay đổi trên của sách giáo khoa hiện nay đã tạo điều kiện để học sinh học tập một cách tích cực hơn, từ đó giáo viên có thể phối hợp rèn luyện kỹ năng với việc phát triển t duy hàm cho học sinh qua dạy học Toán nói chung và dạy học chủ đề phơng trình nói riêng.

1.1.2 Đổi mới phơng pháp dạy học

Thực tế dạy học Toán lâu nay cho thấy, chúng ta chỉ coi trọng đến mục đích truyền thụ tri thức, thờng thì giáo viên đa ra các định lý, tính chất rồi giải thích cho học sinh thông hiểu chứng minh, vận dụng định lý, tính chất Phơng pháp dạy học đợc sử dụng phổ biến trong nhà trờng là phơng pháp thuyết trình tràn lan, thầy truyền đạt kiến thức áp đặt, dới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi phát

dạy nội dung gì chứ cha nghĩ đến cách dạy nh thế nào? Phần lớn khi giảng dạy họ coi mọi đối tợng học sinh là nh nhau nên giảng cùng một nội dung, cùng một phơng pháp và tự cho là hoàn thành nhiệm vụ Ngoài ra kiểu đánh giá và thi cử đã ảnh hởng rõ rệt tới phơng pháp giảng dạy, đánh giá và thi cử nh thế nào thì sẽ có lối dạy tơng ứng đối phó nh thế ấy, dạy và học theo kiểu "Thi gì - học

Về thực trạng này, nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định: “Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định lý để tính toán, chứng minh ”.…

GS Hoàng Tụy phát biểu: “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản ".…

Tóm lại, với kiểu dạy học nh vậy tạo thói quen "Thầy giảng - Trò ghi", thầy truyền thụ kiến thức còn trò thụ động tiếp thu kiến thức, điều thầy nói đợc coi là tuyệt đối đúng, những gì thầy giảng thờng không có sự tranh luận giữa thầy và trò, không có sự phản hồi, thông tin ngợc từ phía học sinh trong bài giảng Kiểu giảng dạy "một chiều" nh vậy làm giảm hiệu suất tiếp thu kiến thức cũng nh hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo của học sinh; không kiểm soát đợc việc học Do đó việc đổi mới phơng pháp dạy học đợc xác định là một trong những nội dung chủ yếu trong đổi mới giáo dục ở nớc ta hiện nay.

Quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học bao gồm sự đổi mới trên các ơng diện: cách dạy, cách học, cách tổ chức và cách kiểm tra đánh giá Cốt lõi của đổi mới dạy và học là hớng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làm trung tâm sang dạy học lấy học sinh làm trung tâm, làm cho học sinh suy nghĩ nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn trong một tiết học Thay vì lối dạy truyền thống truyền thụ một chiều, thuyết trình, giảng giải các kiến thức sẵn có, giáo viên cần phát huy

ph-tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, tự học, kỹ năng vận dụng vào thực tiễn, phù hợp với đặc điểm từng học sinh; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, tạo đợc sự hứng thú học tập cho học sinh, tận dụng đợc công nghệ mới nhất áp dụng trong dạy và học.

Dạy học theo quan điểm mới giáo viên không chỉ đơn giản cung cấp kiến thức mà còn phải thiết kế, tổ chức, hớng dẫn học sinh hoạt động để học sinh tích cực tham gia vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo Từ đó tự lực khám phá kiến thức mình cha biết chứ không phải tiếp thu thụ động những kiến thức sẵn có Giáo viên cần cài đặt những tình huống thực tế để học sinh trực tiếp quan sát, làm thí nghiệm, thảo luận, giải quyết theo cách riêng của bản thân, từ đó học sinh lĩnh hội đợc kiến thức mới.

Nh vậy, chức năng và vai trò của giáo dục ngày nay đã đợc "chuyển sang vai trò nhà tổ chức giáo dục", phơng pháp dạy học mới đã chú trọng đến việc phát huy tối đa tính tích cực, độc lập của học sinh, đề cao phơng pháp tự học, "chuyển quá trình giáo dục sang quá trình tự giáo dục" Xóa bỏ cách học cũ không kích thích đợc học sinh suy nghĩ, tìm tòi, rèn luyện trí thông minh, chuyển đổi chức năng từ thông báo, tái hiện sang tìm tòi "Để phát huy tối đa tính tích cực học tập của học sinh, tốt nhất là tổ chức tốt những tình huống có vấn đề, đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngợc" (Tài liệu Bồi dỡng giáo viên 2006).

Đổi mới phơng pháp dạy học không chỉ đổi mới cách dạy, cách học, cách tổ chức hoạt động mà còn đổi mới cả cách kiểm tra đánh giá Nội dung kiểm tra, đánh giá phải toàn diện, bao gồm cả kiến thức, kỹ năng và phơng pháp có trong chơng trình học, khắc phục tình trạng "học tủ" đối phó với thi cử, ra đề kiểm tra nặng về tính toán, mẹo vặt nh trớc đây.

Việc đổi mới phơng pháp dạy học dựa trên những thành tựu của Tâm lý học hiện đại, Lý luận dạy học cho rằng, nhân cách của học sinh đợc hình thành và phát triển thông qua các hoạt động chủ động, có ý thức Do đó để đạt đợc mục đích dạy học thì cần phải đặt học sinh vào vị trí của chủ thể hoạt động

kiến thức mới, kỹ năng mới đồng thời nắm đợc phơng pháp "làm ra" những kiến thức, kỹ năng đó, không theo những khuôn mẫu có sẵn, bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo Qua hoạt động học sinh không những chiếm lĩnh đợc kiến thức mới mà còn hình thành và phát triển năng lực.

Tuy nhiên, cần phải nói thêm rằng đổi mới phơng pháp dạy học không có nghĩa là gạt bỏ, phủ nhận hoàn toàn các phơng pháp truyền thống mà cần kế thừa, phát triển các mặt tích cực của hệ thống phơng pháp dạy học quen thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phơng pháp mới, theo quan điểm đổi mới phù hợp với điều kiện dạy và học ở từng vùng, từng miền ở n-ớc ta.

1.2 Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh

1.2.1 Khái niệm kỹ năng

Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học s phạm thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phơng pháp ) để giải quyết… một nhiệm vụ mới” [19, tr.131].

Còn Tâm lý học đại cơng cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”[31, tr.149].

Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận đợc trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[44, tr 426]

Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm vụ mới Trong thực tế dạy học, học sinh thờng gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phơng pháp ) vào giải quyết các bài tập cụ thể Học sinh thờng khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối t-ợng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn có giữa kiến thức và đối tợng Sở dĩ nh vậy là do kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ sở của kỹ năng.

Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trớc hành động,

để hành động biến đổi đối tợng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt ra thu đợc thông tin mới) Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức (hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho.

Theo các nhà Tâm lý học sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hởng của các yếu tố sau:

Nội dung của bài toán đặt ra, đợc tách ra một cách rõ ràng hay che đậy quan hệ bản chất của bài toán bởi các dữ liệu xuất phát, làm lệch hớng t duy.

Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán, học sinh chỉ nhìn thấy, phân tích những yếu tố riêng biệt của bài toán mà cần thâu tóm toàn bộ những yếu tố có mặt trong bài toán.

Ví dụ 2: Giải phơng trình:

Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là nhận thức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng bài toán cụ thể.

Ví dụ 3: Giải phơng trình: ()2 12 2x 1 x 0

− + + + = và tìm nghiệm theo công thức quen thuộc rất cồng kềnh, phức tạp:

() ()212

14 2 1 4 2 1 4.4 2 2

2x 1 01

1.2.2 Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh

Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trờng phổ thông thì việc truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực hiện đợc phải dựa trên mục đích này Và kiến thức về một mặt nào đó sẽ không đợc củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng nh vào các ngành khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động tơng ứng.

Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều này đã đợc nhiều tác giả đề cập nh:

Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng t duy và tính cách cho học sinh ( Nguyễn Cảnh Toàn) Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trờng phổ thông, đồng thời rèn luyện cho học sinh các thao tác t duy, các hoạt động trí tuệ Từ đó, bồi dỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh.

Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể.

Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đờng khác nhau nh:

Con đờng thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri

thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài toán liên quan theo mức độ tăng dần.

Con đờng thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trng, từ đó có thể định hớng

một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó.

Con đờng thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với

việc vận dụng tri thức.

Việc hình thành và rèn luyện cho học sinh cần đợc tiến hành trên các bình diện khác nhau.

- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán, thể hiện rõ dới dạng giải bài tập toán.

- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác nh vật lý, hoá học.

- Kỹ năng vận dụng vào đời sống.

Có thể nói, bài tập toán chính là ''mảnh đất'' để rèn luyện kỹ năng toán Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cờng hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán) Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:

* Cần hớng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hớng cho học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán.

Ví dụ 1: Giải bất phơng trình

( x 1+ +) ( 2x 3− +) ( 50 3x− ) ≤12 (1)Nếu giải bài toán này theo phơng pháp thông thờng, tức dùng biến đổi t-ơng đơng, thì sẽ tơng đối phức tạp.

Ta nhận thấy, tổng các bình phơng các căn thức ở vế trái là một số không đổi:

(1 1 x 1 2x 3 1 50 3x)(12 12 1 482)1 x 2x 3 50 3x 12

Ví dụ 2: Giải bất phơng trình

( x 1+ +) ( 2x 3− ) (+ 50 3x− ) ≤12

Nếu để ý mối liên hệ: () (2 ) (2 )2

x 1+ + 2x 3− + 50 3x− =48 là một hằng số; làm ta liên hệ tới tích vô hớng Có thể xem vế trái là tích của hai véc tơ còn vế phải là tích các độ dài của chúng Với hớng suy nghĩ này, lời giải bài toán khá độc đáo.

Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là:

 ≥ −

 ≤

rrr r

rrr r

Từ góc độ hình học để hiểu bất phơng trình thì vấn đề trở nên rõ ràng Bài toán chuyển về chứng minh u.vr r≤ u vr r Đây là một bất đẳng thức đúng với tích vô hớng của hai véc tơ Vậy nghiệm của bất phơng trình là những giá trị của x mà bất phơng trình có nghĩa tức là: 3 x 50

2≤ ≤ 3

Nh vậy, các cách giải hay, độc đáo đều gắn liền với đặc điểm của từng bài Do đó cần phải quan sát kỹ và chú ý đầy đủ mới có thể nhìn ra đặc điểm ẩn sâu trong bài toán.

+ Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán Học sinh không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phơng pháp và các bớc làm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phơng pháp sẵn Đòi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo.

Ví dụ 3: Giải phơng trình:

(x2 – 5x + 3)(2x2 + 5x – 1) = (x2 + 5x + 3)(2x2 – 5x -1)

Khi gặp bài toán này, thông thờng học sinh nhân các số hạng với nhau, sau đó đơn giản rồi giải, nh vậy sẽ rất phiền phức Chăm suy nghĩ, chú ý đến đặc điểm phơng trình, các hệ số có mặt ở hai vế phơng trình, nghĩ tới cách học cấp phơng trình,dùng phơng pháp xác định hệ số để giải.

Đặt a = x2 - 5x + 3; b = 2x2 + 5x -1 Phơng trình trở thành: ab = ( a + 10x)(b – 10x)Rút gọn đợc: - 100x2 + 10x(b – a) = 0

Suy ra : x = 0; b – a = 10x x2 4 0 x 2x 2

x 5x 3 2x 5x 1x 5x 3 2x 5x 1

Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dỡng t duy toán học cho học sinh

1.3 T duy hàm và vấn đề phát triển t duy hàm cho học sinh

1.3.1 T duy hàm

Trớc hết hãy bàn về thuật ngữ t duy hàm, t duy hàm tất nhiên không phải là thuật ngữ toán học, t duy là một khái niệm Tâm lý còn hàm là một khái niệm toán học, hàm ở đây không có nghĩa là hàm số mà còn có thể là một sự tơng ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nào đó.

Cho đến nay vẫn cha có một định nghĩa thống nhất, chính thức về t duy hàm Theo Koliagin định nghĩa t duy hàm nh sau: T duy hàm là một loại hình t duy đặc trng bởi việc nhận thức đợc tiến trình những sự tơng ứng riêng và chung giữa các đối tợng toán học hay giữa các tính chất của chúng (kể cả kỹ năng vận dụng chúng) [30].

Còn Trần Thúc Trình và Phạm Đức Quang cho rằng: T duy hàm là các hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tơng ứng giữa các phần tử của một, hai hay nhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của tập hợp đó, trong sự vận động của chúng.

Nguyễn Bá Kim thì thay vì đa ra định nghĩa t duy hàm, đã đa ra các hoạt động đặc trng cho nó, ông quan niệm t duy hàm đặc trng bởi các hoạt động phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng các sự tơng ứng.

Nh vậy, t duy hàm là hoạt động trí tuệ liên quan đến sự nghiên cứu những quy luật của sự vật, trong sự biến đổi sinh động của chúng, trong sự phụ thuộc lẫn nhau của chúng.

Với cách hiểu này, t duy hàm không chỉ cần đối với nhà khoa học mà nó cũng rất cần thiết đối với ngời lao động, nó là yếu tố quan trọng trong văn hoá Toán học giúp ngời lao động tìm ra quy luật trong tự nhiên, xã hội và t duy Chẳng hạn nh sản phẩm của t duy hàm thể hiện qua câu ca dao “Chuồn chuồn

bay thấp thì ma, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm” thể hiện sự tơng ứng giữa

độ cao và thời tiết.

1.3.2 Vấn đề phát triển t duy hàm cho học sinh thông qua dạy học phơng trình

Trong dạy học toán học ở trờng việc phát triển t duy hàm cho học sinh không có nghĩa là thầy lên lớp một bài giảng về t duy hàm Nhiệm vụ t duy hàm không tồn tại độc lập so với nhiệm vụ truyền thụ kiến thức Muốn phát triển tduy hàm thầy giáo phải thông qua kiến thức đã quy định, trong và trên cơ sở đó tìm ra giải pháp phát triển t duy hàm cho học sinh, phát triển t duy hàm là mục đích kép.

Thực tiễn giáo dục t duy hàm cho học sinh phổ thông gặp nhiều khó khăn nh : Trình độ học sinh còn hạn chế, không đồng đều, khối lợng kiến thức nhiều trong khi số tiết dành cho bộ môn Toán lại không nhiều Những tri thức về hoạt động t duy hàm không đợc qui định rõ ràng trong chơng trình nên không đợc giảng dạy một cách tờng minh Mặt khác, hầu hết giáo viên phổ thông nắm về t duy hàm cha đầy đủ và cũng cha thấy đợc tầm quan trọng của nó trong dạy học Trong dạy học việc xem xét các đối tợng toán học một cách cô lập, trong trạng thái tĩnh tại, rời rạc Cha thấy hết những mối liên hệ phụ thuộc hoặc mối quan hệ nhân quả làm cho học sinh lúng túng trong việc giải quyết các bài toán Bên cạnh đó, các tài liệu viết về vấn đề này nói chung còn hạn chế, khó tiếp cận, gây cho giáo viên và học sinh không ít khó khăn.

Qua phiếu thăm dò, trao đổi với các giáo viên có kinh nghiệm, dạy một số tiết để thăm dò rút ra những khó khăn của giáo viên, học sinh khi tiếp cận các bài toán phơng trình, bất phơng trình và hệ phơng trình do thiếu giáo dục các thành tố t duy hàm:

- Xác lập sự tơng ứng;

- Nhìn nhận sự vật trong trạng thái vận động và biến đổi;

- Đặt sự vật này trong mối liên hệ sự vật kia theo các quan hệ nhân quả, phụ thuộc.

1 Học sinh không biết cách phân chia các trờng hợp riêng khi đứng trớc một bài toán cụ thể;

2 Xuất phát từ cơ sở nào để phân chia các trờng hợp riêng thích hợp cho việc giải quyết bài toán;

3 Học sinh không biết nhìn nhận các bài toán phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình trong mối liên hệ với các bài toán hàm số

Những khó khăn này gây nên do: Khi dạy học phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình thầy giáo thiếu quan tâm đến các hoạt động sau:

- Lập sự tơng ứng giữa các đối tợng, quan hệ trong Toán học;- Hoạt động ăn khớp với những tri thức phơng pháp về t duy hàm;- Hoạt động gợi động cơ.

Một số vấn đề cần lu ý khi dạy học giải phơng trình:

Cần hình thành cho học sinh thói quen luôn ý thức về diễn biến của tập nghiệm khi biến đổi phơng trình Sau khi biến đổi phơng trình thì tập nghiệm của phơng trình ban đầu và tập nghiệm của phơng trình thu đợc có quan hệ với nhau nh thế nào? Có những khả năng nào xảy ra?

Có thể phân chia không triệt để các khả năng loại trừ lẫn nhau thì có các khả năng sau:

Khả năng 1: Hai tập nghiệm trùng nhau

Khả năng 2: Tập nghiệm của phơng trình trớc là tập con của tập nghiệm của phơng trình sau

Khả năng 3: Tập nghiệm của phơng trình sau là tập con của tập nghiệm của phơng trình trớc

Khả năng 4: Giao của hai tập nghiệm khác rỗng, nhng không tập nghiệm nào là bộ phận của tập nghiệm kia.

Có thể dùng biểu đồ Ven để minh họa cho điều này Căn cứ vào đâu để nhận biết sự thay đổi của các tập hợp nghiệm?

Thứ nhất là căn cứ vào các phép biến đổi một phơng trình về một phơng

trình đơn giản đã biết cách giải

Loại 1: Phép biến đổi không làm tập xác định của phơng trình thay đổi

Với phép biến đổi này phơng trình mới nhận đợc tơng đơng với phơng trình đã cho Khi đó ta kết luận: Tất cả các nghiệm của phơng trình mới thu đợc là tất cả các nghiệm của phơng trình đã cho Mặc dù vậy, ta vẫn hình thành cho học sinh ý thức và thói quen thử lại nghiệm khi giải phơng trình (dù trong trờng hợp này không đòi hỏi về mặt lý luận mà chỉ có tác dụng kiểm tra kết qủa), góp phần giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, thói quen tự kiểm tra kết quả công việc, một trong những đức tính cần thiết của ngời lao động trong thời đại mới.

x 2

=⇔ = ⇔  = −

Loại 2: Phép biến đổi làm mở rộng tập xác định của phơng trình

Với phép biến đổi này phơng trình mới nhận đợc thờng là hệ quả của ơng trình đã cho Khi đó, tất cả các nghiệm của phơng trình đã cho đều là nghiệm của phơng trình mới nhận đợc, nh vậy phép biến đổi phơng trình không làm mất nghiệm, tập nghiệm của phơng trình đã cho là tập con của tập nghiệm của phơng trình thu đợc, nghiệm ngoại lai nếu xuất hiện sẽ rơi vào phần mở rộng của tập xác định.

= −

⇔  = (x = -1 là nghiệm ngoại lai, sau phép thử phải loại bỏ "nghiệm này").

Khi giải phơng trình sử dụng phép biến đổi làm mở rộng tập xác định ta cần nhấn mạnh sự cần thiết của phép thử khử nghiệm ngoại lai, điều này không chỉ có mục đích kiểm tra tính toán, rèn luyện tính cẩn thận, chu đáo khi làm bài

Loại 3: Phép biến đổi làm thu hẹp tập xác định của phơng trình

Với phép biến đổi này, có thể dẫn tới hiện tợng mất nghiệm của phơng trình đầu, phơng trình đầu là hệ quả của phơng trình cuối cùng thu đợc Khi đó, tập nghiệm của phơng trình thu đợc là tập con của phơng trình đầu, phép biến đổi phơng trình không làm rộng tập nghiệm, nghiệm bị mất ( nếu có ) rơi vào phần thu hẹp của tập xác định.

Trong trờng hợp này, cần phải thử các giá trị bị mất do thu hẹp tập xác định vào phơng trình đã cho để khắc phục hiện tợng thiếu nghiệm Tuy nhiên, không có quy tắc tổng quát cho mọi trờng hợp mà tuỳ từng bài toán cụ thể mà ta có cách tìm lại nghiệm đã bị mất.

Ví dụ 3: Giải phơng trình:

2sin x cos x 1− = (1)Đặt t tgx (x k )

Ví dụ 4: Giải phơng trình: x2 − =9 3x 9+ (2) ⇔(x 3)(x 3) 3(x 3)− + = +

⇒ − =x 3 3 hay x 6=

Do thu hẹp tập xác định từ R thành Ă \{ }3 nên ta cần thử x = 3 vào (2) để tránh mất nghiệm.

Nh vậy, nếu dùng phép biến đổi đồng nhất làm cho tập xác định của ơng trình bớt đi một số hữu hạn giá trị hay một số hữu hạn họ giá trị thì cần phải thử các giá trị đó (họ các giá trị đó) vào phơng trình ban đầu tránh làm mất nghiệm.

ph-Lu ý: Nếu các giá trị của ẩn số rơi vào trong phần thu hẹp không là nghiệm của phơng trình đã cho, thì tập nghiệm của phơng trình ban đầu trùng với tập nghiệm của phơng trình thu đợc Khi đó, ta nói hai phơng trình này tơng đơng với nhau.

Ví dụ 5: Giải phơng trình: sin x cos x 1+ = (3) Đặt t tg (xx k )

Loại 4: Hỗn hợp các phép biến đổi

Đối với loại biến đổi này phơng trình thu đợc vừa có khả năng thêm nghiệm vừa có khả năng thiếu nghiệm so với phơng trình đã cho Do vậy cần vận dụng cả hai cách giải quyết ở loại 2 và loại 3, tức là vừa phải thử xem các nghiệm của phơng trình thu đợc có phải là nghiệm của phơng trình đã cho không, vừa phải tìm xem những giá trị nào không phải là nghiệm của phơng trình thu đợc nhng lại là nghiệm của phơng trình đã cho.

Thứ hai là căn cứ vào các định lý biến đổi phơng trình, ở đây là các phép

biến đổi tơng đơng mà học sinh đã đợc học Nắm vững các định lý này không những giúp học sinh định hớng, biến đổi phơng trình thành phơng trình tơng đ-ơng đơn giản, dễ giải hơn mà còn giúp họ xác lập mối quan hệ giữa các tập nghiệm của các phơng trình trong quá trình biến đổi Đây là một trong những điều quan trọng làm cơ sở để tiến hành thực hiện biến đổi phơng trình.

Thứ ba là căn cứ vào một số kiến thức cơ bản, có thể là định nghĩa, định

lý, tính chất mà học sinh đã đợc học dù có thể không liên quan trực tiếp đến biến đổi phơng trình Làm cơ sở xác định quá trình biến đổi đó bảo tồn số nghiệm, thêm nghiệm hay bớt nghiệm.

Ví dụ 6: Phép chuyển từ phơng trình: f (x)k(x) =f (x)g(x) (f (x) 0)≠

sang phơng trình: k(x) g(x)= làm mất nghiệm (nếu có) của phơng trình ban đầu.

logk(x)f (x) log= k(x)g(x) (5)

và phép chuyển ngợc lại từ (6) sang (5).

- Phép chuyển từ (5) sang (6) là phép mũ hoá, có thể làm mở rộng tập nghiệm

- Phép chuyển từ (6) sang (5) là phép logarít hóa, có thể làm thu hẹp tập nghiệm.

Tóm lại: Khi dạy học giải phơng trình, ta cần hình thành cho học sinh lập luận có căn cứ ở từng phép biến đổi, xác định chính xác mối quan hệ giữa các phơng trình biến đổi kế tiếp, sử dụng các ký hiệu "⇒","⇐","⇔" đúng, từ đó biết đợc diễn biến của các tập nghiệm sau từng bớc biến đổi, dẫn đến xác định đợc tập nghiệm của phơng trình đầu dựa vào tập nghiệm của phơng trình cuối.

Ngoài ra, theo tác giả Nguyễn Bá Kim khi dạy học giải phơng trình cần quan tâm giải quyết hợp lý mối liên hệ giữa hai phơng diện ngữ nghĩa và cú pháp.

1.4 Kết luận chơng 1

Trong chơng này, Luận văn đã sơ lợc trình bày quan điểm đổi mới nội dung và phơng pháp dạy học Phân tích, minh họa khái niệm t duy hàm, kỹ năng cũng nh vấn đề rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh phổ thông, nhấn mạnh một số vấn đề cần lu ý khi dạy học giải phơng trình Làm cơ sở đề xuất quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình với việc phát triển t duy hàm, giúp học sinh học tập tích cực hơn.

Chơng 2

Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình với phát triển t duy hàm cho học sinh THPT

2.1 Phân tích nội dung chủ đề Phơng trình trong môn toán THPT

Nếu không có nghiệm nào cả thì ta nói phơng trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng)”

Còn SGK Đại số 10, Nâng cao thì định nghĩa: Cho hai hàm số y = f(x)“

và y =g(x) có tập xác định lần lợt là Df và Dg Đặt D D= f ∩D , mệnh đề gchứa biến f(x) = g(x) đ“ ” ợc gọi là phơng trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phơng trình Số x0 thuộc D gọi là tập nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) nếu f(x“ 0) = g(x0) là mệnh đề đúng ” ”

Cả hai cách định nghĩa phơng trình dựa vào hàm mệnh đề đã khắc phục đợc hạn chế, có thể áp dụng vào mọi trờng hợp cụ thể phù hợp với trình độ học sinh cũng nh thoả mãn với cả các phơng trình phải tìm nghiệm lẫn cả những ph-ơng trình biểu thị những quy luật vật lý hay những phơng trình biểu diễn đờng.

Trớc đây khi cho phơng trình thờng gắn với tập xác định, dù phơng trình đó có tập xác định là Ă cũng phải ghi rõ nhng theo tinh thần SGK mới, cụ thể

SGK 10 Nâng cao đã hớng dẫn học sinh đến việc làm đơn giản là chỉ cần nêu điều kiện để ẩn số thuộc D, gọi là điều kiện xác định (hay điều kiện) của phơng trình Trong trờng hợp f(x) và g(x) là những biểu thức thì điều kiện của phơng trình không chỉ gồm các điều kiện để hai biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa, mà có thể còn gồm cả những điều kiện đợc áp đặt cho ẩn vì lý do nào đó (nh x nguyên,

x a, x 0≠ > ).

Với việc đa ra khái niệm phơng trình, bất phơng trình dựa vào hàm mệnh đề đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc chứng minh đầy đủ, chặt chẽ định lý về phép biến đổi tơng đơng.

Khi dạy học chủ đề phơng trình, bất phơng trình cần làm rõ sự khác nhau giữa các định lý về phép biến đổi tơng đơng phơng trình với các định lý về phép biến đổi tơng đơng bất phơng trình Nhiều học sinh do không nắm vững nội dung kiến thức này đã áp dụng lẫn lộn giữa phép biến đổi tơng đơng cho phơng trình sang bất phơng trình, dẫn đến sai lầm trong suy luận, đa đến lời giải không đúng.

Ví dụ 1: Giải bất phơng trình: 7x 3 6x 4

Nh vậy, việc nắm vững các định lý biến đổi phơng trình, bất phơng trình là quan trọng và cần thiết, lần đa ra những bài tập để học sinh vận dụng các phép biến đổi tơng đơng này thành thạo, làm rõ sự giống và khác nhau giữa phép biến đổi tơng đơng phơng trình với phép biến đổi tơng đơng bất phơng trình, tránh sai lầm khi áp dụng Thật vô nghĩa nếu yêu cầu học sinh “thuộc

lòng” các định lý về các phép biến đổi tơng đơng hoặc các phép biến đổi tơng đơng áp dụng cụ thể đối với các dạng phơng trình, bất phơng trình Chẳng hạn, các phép biến đổi tơng đơng khi bình phơng hai vế các phơng trình, bất phơng trình vô tỷ hay chứa dấu giá trị tuyệt đối nh:

f (x) g(x); f (x) g(x); f (x)= > = g(x) ; f (x) ≤ g(x) ; f (x)= g(x) sẽ làm học sinh rối, dễ nhầm lẫn giữa các công thức.

Việc xem xét, nghiên cứu các bài toán trong toán học sơ cấp bằng cách ghép thành từng lớp bài toán giải đợc bằng cùng một phơng pháp là một việc làm cần thiết và có ý nghĩa Trên cơ sở lý thuyết, bài tập sách giáo khoa và một số sách tham khảo khác, có thể liệt kê một số phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình nh sau:

- Phơng pháp biến đổi tơng đơng- Phơng pháp đặt ẩn phụ

- Phơng pháp hàm số- Phơng pháp đồ thị

- Phơng pháp xét điều kiện cần và đủ- Phơng pháp đánh giá

Đứng trớc bài toán giải phơng trình, bất phơng trình thì việc định hớng phơng pháp giải đóng vai trò quyết định để thực hiện lời giải Tuy nhiên, việc định hớng phơng pháp giải dạng toán này là đa dạng, có những bài toán có thể giải bằng nhiều phơng pháp khác nhau, vấn đề là lựa chọn phơng pháp nào tối u nhất để trình bày.

2.1.2 Các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi giải toán phơng trình

Có nhiều kiểu phân chia kỹ năng phù hợp với từng “mảng” kiến thức, từng nội dung môn học Nhng tựu trung lại cần rèn cho học sinh các kỹ năng cơ bản nh: kỹ năng nhắc lại, kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt động chân tay, kỹ năng xử sự (theo cách phân loại của De Ketele) Đây là những kỹ năng không chỉ đợc rèn luyện khi giải toán phơng trình mà còn đợc rèn luyện trong suốt ch-ơng trình phổ thông, ở tất cả các nội dung và tất cả các môn học Tất nhiên sự

ở dạng “phức hợp’ tức là trên một nội dung kiến thức cụ thể, ta không chỉ rèn một loại kỹ năng cơ bản đơn lẻ, vì một kỹ năng có thể là hỗn hợp của nhiều loại kỹ năng cơ bản Chẳng hạn kỹ năng vẽ đồ thị bao gồm cả kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt động chân tay và kỹ năng xử sự Vì để vẽ đợc đồ thị ngời ta không những cần phải biết vẽ nh thế nào (kỹ năng nhận thức) mà còn phải biết những động tác để vẽ đợc đồ thị (kỹ năng hoạt động chân tay) và cần vẽ đồ thị chính xác, đẹp (kỹ năng xử sự) Đối với chủ đề phơng trình và bất phơng trình ta cần rèn luyện cho học sinh những kỹ năng thuộc về nhóm kỹ năng nhận thức và vận dụng Có thể kể ra một số kỹ năng sau:

- Kỹ năng tính toán: Trớc hết cần phải nói rằng học toán gắn liền với tính

toán, tính chính xác nhanh và ngắn gọn là những yêu cầu cơ bản, đầu tiên để học tốt môn Toán Đồng thời kỹ năng này có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong thực tế của đời sống, trong sản xuất kinh doanh, trong kỹ thuật Khi giải toán phơng trình tính toán có tính số và tính biểu thức, dặc biệt đối với các bài toán phơng trình bất phơng trình chứa tham số mức độ yêu cầu cao, vừa khó vừa trừu tợng, tầng lớp nhiều, chỉ cần tính toán sai một bớc sẽ dẫn đến tất cả đều sai Do đó cần rèn luyện cho học sinh khả năng tính toán ở nhiều mức độ khác nhau.

Nguyễn Bá Kim cho rằng cần rèn luyện khả năng tính toán theo những ớng sau:

h-+ Đặc biệt chú ý những yêu cầu nào của kỹ năng tính toán cần thiết cả trong trờng hợp không máy tính lẫn bằng máy tính: tính nhẩm, tính ớc chừng

+ Về mặt tính viết, không cần thiết phải bỏ công sức cho học sinh tập luyện tính toán trên những số liệu quá cồng kềnh, phức tạp.

+ Từ bỏ việc tính toán với những phơng tiện đã lỗi thời

Chúng tôi cho rằng rèn luyện khả năng tính toán khi giải toán phơng trình thể hiện ở các mặt sau:

+ Rèn kỹ năng tính nhẩm và tính nhanh: việc tính nhẩm và tính nhanh rất phù hợp với những bài có số liệu đơn giản (trực tiếp nhẩm ra đáp số không cần viết ra giấy) hoặc những bài chứa căn thức biến đổi đa về hằng đẳng thức (tính nhanh)

Không khó khăn khi tìm điều kiện để phơng trình có nghĩa: x 1≠ Nhng nếu biến đổi phơng trình bằng thói quen theo thờng lệ là quy đồng mẫu số mà không chú ý đến đặc điểm phơng trình thì sẽ gặp phức tạp Chỉ cần chú ý đến mẫu số của hai số hạng đầu là dạng hiệu và dạng tổng để lấy mẫu số chung, ta có kết quả nhanh chóng.

Phải biết phơng pháp biến tử số và mẫu số thành những dạng hợp lí để biến đổi đa về hằng đẳng thức.

đ-+ Nhớ những số hay dùng, có thể sử dụng cách nhớ máy móc kết hợp với nhớ theo quy luật Những số hay dùng nh: Bình phơng các số từ 1 đến 20, căn của các số tự nhiên 2, 3, 5, 6 để khi biến đổi, lấy nghiệm, so sánh hoặc biểu diễn các nghiệm trên trục số khi giải phơng trình, bất phơng trình có phản ứng nhanh Nhờ giá trị sin, cos, tg, cotg của các giá trị góc đặc biệt nh 00, 150, 300, 450, 750, 900 và chuyển đổi giữa độ và radian của các góc đặc biệt này để khi giải phơng trình, bất phơng trình lợng giác hoặc phơng trình bất phơng trình giải bằng phơng pháp lợng giác hoá đợc nhanh chóng Ngoài ra, các số lập phơng từ 1 đến 10; log của lg2, lg3, lg5 hoặc log24, log381 để thuận lợi khi giải (bất) phơng trình mũ và logarit.

Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh khi giải phơng trình cần chú trọng rèn luyện kỹ năng này trong tất cả các nội dung kiến thức khác Cần rèn luyện các đức tính nh cẩn thận, chu đáo, kiên trì, nhanh trí nhằm tiến tới thói quen tính toán chính xác, đồng thời một đề ra có thể có nhiều cách

giải từ các khía cạnh khác nhau, cần khai thác triệt để làm nh vậy học sinh có cơ hội tính toán linh hoạt đa dạng Từ đó tìm ra cách giải ngắn và hay nhất.

- Kỹ năng thực hiện các phép biến đổi, đặc biệt là các phép biến đổi

đồng nhất, các phép biến đổi tơng đơng.

- Kỹ năng vận dụng các phơng trình mẫu

Nhận dạng và giải thành thạo các phơng trình, bất phơng trình dạng cơ bản hoặc quy về dạng cơ bản Chẳng hạn khi học phơng trình quy về phơng trình bậc nhất, bậc hai Thì cần rèn cho học sinh các kỹ năng nh:

+ Giải và biện luận thành thạo phơng trình bậc nhất, phơng trình bậc hai.+ Giải đợc các phơng trình quy về bậc nhất, bậc hai Phơng trình có ẩn ở mẫu số, phơng trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, phơng trình chứa căn, phơng trình đa về phơng trình tích.

Ví dụ 4: Khi học về “phơng trình bậc hai”, có thể yêu cầu học sinh theo

các mức độ sau:

1 Nhắc lại dạng và các bớc giải phơng trình bậc hai theo công thức nghiệm tổng quát (kỹ năng nhắc lại)?

2 Thực hiện giải phơng trình x4 – 8x2 – 9 = 0 (kỹ năng nhận thức)3 Giải và biện luận phơng trình : x4 – (a -3)x2 + 3a = 0

4 Có thói quen kiểm tra khi kết luận nghiệm (kỹ năng xử sự)

Mặc dù những kỹ năng này yêu cầu học sinh vận dụng khi giải phơng trình, bất phơng trình theo dạng mẫu, đã có sẵn thuật giải nhng giáo viên không đợc coi nhẹ việc rèn luyện kỹ năng này vì:

Thứ nhất: đây là những kiến thức cơ bản, yêu cầu học sinh cần nắm đợcThứ hai: đây là nền tảng, là bài toán gốc để giải bài toán ở mức độ cao hơn(Quá trình giải phơng trình, bất phơng trình phần lớn “biến đổi” đa về các ph-ơng trình, bất phơng trình dạng đơn giản, cơ bản đã có sẵn cách giải).

- Kỹ năng sử dụng đồ thị: Học sinh không khỏi thắc mắc giải toán phơng

trình sao cần đến kỹ năng sử dụng đồ thị, họ cho rằng kỹ năng này chỉ cần khi học nội dung “hàm số” Thực ra nhiều bài toán phơng trình, bất phơng trình giải

bằng phơng pháp đồ thị, nhất là các bài toán xác định số nghiệm hay biện luận số nghiệm giải bằng phơng pháp này dễ nhận ra kết quả, nhanh chóng, trực quan.

Đồ thị biểu diễn trực quan các quan hệ hàm số và là công cụ để tính toán Rèn luyện kỹ năng sử dụng đồ thị cho học sinh trên hai mặt:

+ Luyện vẽ chính xác, đẹp+ Luyện đọc

Ví dụ 5: Tìm m để sau có nghiệm duy nhất:

Giải bằng phơng pháp đồ thị:Đờng thẳng (d): y = m

Đồ thị (C): y = x x 2−

Ta có:

y = x x 2− =  − ≥

x 2x khi x 2x 2x khi x 2

(1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đờng thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại một điểm duy nhất Điều này xảy ra khi m < 0 hoặc khi m > 1 (rất trực quan, bằng đồ thị học sinh có ngay kết luận).

- Kỹ năng suy luận: Kỹ năng này không chỉ cần khi giải toán phơng trình mà có thể nói đây là kỹ năng chung cần để giải bài tập toán.

Kỹ năng suy luận vừa thể hiện khía cạnh nhận thức vừa thể hiện khía cạnh xử sự của kỹ năng Để đa ra những suy luận học sinh phải dựa vào đặc điểm, nhận thức dự đoán, phân tích riêng của bản thân để đa ra nhiều cách làm khác nhau, khi gặp các dạng toán cha có sẵn cách giải.

Quan sát, phân tích đặc điểm của hệ phơng trình thấy: Các biểu thức biểu thị trong hệ có sự bình đẳng tức là hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x, y, z Từ đó ta đa ra tính hợp lí trong t duy Có thể giả thiết x = max(x,

y, z) và xét tính chất của hàm đặc trng về vế trái (thể hiện khả năng xử sự trớc tình huống cụ thể).

Tiến hành thực hiện lời giải:

Xét hàm đặc trng f(t) = t3 – 3t2 + 5t +1 có f’(t) = 3t2 – 6t +5 >0, ∀t ⇒

Hàm số f(t) luôn đồng biến.

Hệ phơng trình có dạng:

f(x) 4yf(y) 4zf(z) 4x

x 1 2

ax bx c y

ay by c z a 0az bz c x

và (b – 1)2 - 4ac < 0

Chứng minh rằng hệ phơng trình vô nghiệm.

Bằng cách suy luận thông thờng, mỗi phơng trình trong hệ có x, y, z bình đẳng ta nghĩ đến xét hàm đặc trng g(t) = at2 + bt + c không thể giải quyết đợc Nhng nếu để ý giả thiết (b – 1)2 – 4ac < 0 làm cho ta nghĩ đến hàm cần xét là f(t) = at2 + (b – 1)t + c Điều đó cho phép ta nghĩ cộng các vế của hệ phơng trình trên lại với nhau.

Giả sử rằng hệ phơng trình trên có nghiệm (x0, y0, z0), nghĩa là:

- Nếu a > 0 ⇒f(t) 0, t> ∀

 >

f(x ) 0f(y ) 0f(z ) 0

Vế trái (3) > 0 ( Vô lý)

- Nếu a < 0 tơng tự ⇒ Vế trái (3) < 0 ( Vô lý)Vậy hệ phơng trình đã cho vô nghiệm.

Thông qua bài toán này ta thấy việc nghiên cứu tính chất của các biểu thức có mặt trong phơng trình cần kết hợp với các biểu thức có mặt trong bài toán từ đó định hớng cách giải.

Các kỹ năng suy luận, chứng minh là những kỹ năng chung, đều cần khi

giải toán nên chúng tôi không đề cập nhiều

Ngoài ra các kỹ năng vận dụng các phần kiến thức cụ thể vào giải phơng trình nh kỹ năng giải phơng trình thông qua xét sự biến thiên hàm số, kỹ năng

giải phơng trình thông qua đánh giá giá trị của các biểu thức thành phần

chúng tôi sẽ trình bày cụ thể ở phần sau

2.2 rèn kỹ năng giải toán phơng trình dựa vào các t tởng chủ đạo của t duy hàm

2.2.1 Rèn kỹ năng vận dụng các dạng phơng trình mẫu

Xét theo quan điểm vận dụng các t tởng chủ đạo của t duy hàm, chúng tôi nhấn mạnh đến việc thiết lập sự tơng ứng giữa tình huống đợc đa ra trong mỗi bài toán phơng trình với tập hợp các dạng phơng trình mẫu học sinh đã đợc học Đối với đa số bài toán có thuật giải đợc đa ra trong sách giáo khoa thì việc thiết lập sự tơng ứng này đợc thực hiện trực tiếp thông qua hoạt động nhận dạng Có hai cấp độ thực hiện hoạt động nhận dạng khi khai thác các bài tập loại này:

- Nhận dạng bài toán thông qua thiết lập sự tơng ứng giữa các số hay tham số cho trong bài toán (tham số thực) với các tham số cho trong kiến thức lý thuyết về dạng phơng trình đã học (tham số hình thức).

- Nhận dạng sự chuyển loại của bài toán khi bài toán có chứa tham số dựa theo sự biến thiên giá trị của tham số.

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phơng trình:

Việc học sinh nhận dạng đúng bài toán cần giải là họ đã thiết lập đợc sự tơng ứng giữa bài toán đó với bài toán tổng quát đã có sẵn thuật giải ở ví dụ trên khi a thay đổi, a nhận giá trị dơng, âm hoặc bằng không thì nghiệm của bất phơng trình cũng thay đổi theo Nh vậy, là đã tiến hành đánh giá sự biến thiên

Ví dụ 2: Cho phơng trình (m 2 x− ) 2 −2 m 1 x m 0( + ) + = (1)a Giải phơng trình khi m = 3

b Giải và biện luận phơng trình

- Yêu cầu học sinh xác định dạng phơng trình, các hệ số a, b, c của ơng trình trong trờng hợp m = 3? Cách giải?

ph Đa ra những câu hỏi gợi ý nh:

Hỏi: Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai khi nào?

Nh vậy, sự biến thiên giá trị m dẫn đến sự thay đổi về dấu của biệt thức ∆', điều này kéo theo sự thay đổi về số nghiệm và giá trị nghiệm của phơng trình.

Hỏi: Phơng trình (1) suy biến khi nào? Giải phơng trình trong trờng hợp này?

Sự thay đổi của tham số có thể kéo theo về sự thay đổi về số nghiệm của phơng trình, có thể sự thay đổi của tham số trong một khoảng nào đó không làm thay đổi về số nghiệm mà có thể chỉ thay đổi về giá trị nghiệm.

Bên cạnh việc luyện tập cho học sinh áp dụng thành thạo một quy tắc tổng quát nào đó áp dụng cho mọi bài toán cùng loại, cần lựa chọn một số bài toán dựa vào sự phân tích tính đặc thù riêng có thể giải đợc bằng phơng pháp riêng đơn giản hơn khi áp dụng giải theo quy tắc tổng quát.

Chẳng hạn sau khi học công thức giải phơng trình bậc hai và sau khi cho học sinh luyện tập áp dụng công thức đó, ta cho học sinh giải phơng trình:

(2+ 3 x) 2 +2 1( + 3 x) + 3 0=

Nhiều học sinh giải bằng cách tính ∆' mà không dựa trên nhận xét

a b c 0− + = nên x 1, x 32 3

= và x2 13

= − Những trờng hợp nh vậy nhằm khắc phục thói quen áp dụng máy móc công thức, không làm thay đổi phù hợp với điều kiện mới và rèn luyện t duy linh hoạt cho học sinh.

Các yêu cầu cơ bản khi tiến hành rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng phơng trình mẫu đó là:

Ví dụ 3: Giải phơng trình:cos2x + 3sin2x = 2

Mới nhìn qua bài toán này hoặc sinh cha nhìn thấy ngay dạng đã học, ng chỉ cần biến đổi lợng giác đơn giản nhờ nhớ lại công thức

cos2a =1 - 2sin2a thì lại có thể đa về dạng đã học.

Cần đa ra những bài toán mà khi giải học sinh không chỉ cần vận dụng một dạng phơng trình mẫu mà phải vận dụng kết hợp các dạng phơng trình mẫu mới giải đợc Bên cạnh các dạng toán đã có sẵn thuật giải nh SGK đã trình bày,

ơng trình (nếu có thể) từ bài toán cụ thể, đề xuất bài toán tổng quát, xây dựng qui tắc làm, rõ ràng xác định Vì việc nêu ra tất cả các dạng phơng trình mẫu là điều không thể thực hiện đợc, hơn nữa làm nh vậy sẽ tạo ra ''sức ỳ '' cho học sinh.

- Hãy nhận xét các hệ số có mặt trong các thừa số ở vế trái ?1 + 7 = 3 + 5 = 8.

- Hãy đa ra cách biến đổi thích hợp để các biểu thức gần nhau hơn!

ở vế trái, ghép các thừa số thứ nhất với thừa số thứ t, thừa số thứ hai với thừa số thứ ba ta đợc: (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) = 9

- Quan sát các thừa số ở vế trái và đa ra cách làm?Đặt t = (x2 + 8x +7), phơng trình trở thành:

(t 7 t 15+ ) ( + ) =9 2 t 16t 22t 96 0

t 6

= −

- Hãy làm tiếp tìm x?

Khi t =-6 ta đợc x2 + 8x + 6 = 0 x 4 10x 4 10

 = − −⇔ 

= − +

Khi t = - 16 ta đợc x2 + 8x + 16 = 0 ⇔ = −x 4

Bằng cách trừu tợng hoá các số cụ thể, yêu cầu học sinh đề xuất bài toán tổng quát và xây dựng cách giải dạng toán này?

Bài toán tổng quát: Giải phơng trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e (2)

Với giả thiết a + d = b + c = α

Cách giải: (2)⇔[(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] = e

⇔[x2 + (a + d)x + ad][x2 + (b + c)x + bc] = e ⇔(x2 +αx + ad)(x2 + αx + bc) = e

Đặt t = x2 +αx (vì x2 + αx = (x + )2 2 2 Điều kiện t 2

Khi đó (2) ⇔ (t + ad)(t + bc) = e (Đây là phơng trình bậc 2).

Ví dụ 5: Từ việc giải các phơng trình:

a x4 - 4x3 + 5x2 - 4x + 1 = 0 b x4 - 2x3 + 5x2 - 2x + 1 = 0

Hớng dẫn học sinh tự đa ra dạng toán tổng quát và xây dựng cách giải cho dạng toán này?

Loại 1: Phơng trình dạng: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a≠0) (3)

Vì a≠0 nên x = 0 không là nghiệm của (3) Chia cả hai vế của (3) cho x2 ta đợc phơng trình : ax2 + bx + c + b a2

x x+ = 0 ⇔a(x2 + 12

x ) + b(x +1

x ) + c = 0Đặt t = x + 1

x (Điều kiện t ≥2) Khi đó (3) trở thành:

a(t2 - 2) + bt + c = 0 ⇔at2 + bt + c - 2a = 0 Đây là phơng trình bậc hai

Loại 2: Phơng trình dạng: ax4 - bx3 + cx2 - bx + a = 0 , (a ≠0) (4)Cách giải tơng tự nh loại 1: Vì a≠0 nên x = 0 không là nghiệm của (4) Chia cả hai vế của (4) cho x2 và đặt t = x - 1

x ta đợc phơng trình

at + +bt 2a c 0+ = Đây là phơng trình bậc hai.

Khi đã xây dựng đợc tờng minh cách giải cho loại toán này thì vịêc áp dụng giải các bài toán cụ thể là không khó khăn Tuy nhiên là giáo viên chúng ta không dừng lại ở đó mà tiếp tục khai thác, mở rộng dạng toán.

Chẳng hạn giải phơng trình : 16x4 - 32x3 + 8x2 + 8x + 1 = 0 Rõ ràng ơng trình không thuộc dạng phơng trình loại 1 hay loại 2 (hay phơng trình hồi