Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình với phát triển t duy hàm cho học sinh THPT
2.1.1.Về chủ đề phơng trình, bất phơng trình
Bàn về khái niệm phơng trình, khác với một số sách giáo khoa (SGK) tr- ớc đây khái niệm phơng trình theo SGK Đại số 10, Chuẩn phát biểu: “Phơng trình ẩn x là mệnhđề chứa biến có dạng: f x( )=g x( ) (1)
Trong đó f x( ) và g x( ) là những biểu thức của x. Ta gọi f x( )là vế trái, g x( ) là vế phải của phơng trình (1).
Nếu có số thực x0 sao cho f(x0)=g x là mệnh đề đúng thì x( )0 0 đợc gọi là một nghiệm của phơng trình (1). Giải phơng trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).
Nếu không có nghiệm nào cả thì ta nói phơng trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng)”
Còn SGK Đại số 10, Nâng cao thì định nghĩa: Cho hai hàm số y = f(x)“
và y =g(x) có tập xác định lần lợt là Df và Dg. Đặt D D= f ∩D , mệnh đề g chứa biến f(x) = g(x) đ“ ” ợc gọi là phơng trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phơng trình. Số x0 thuộc D gọi là tập nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) nếu f(x“ 0) = g(x0) là mệnh đề đúng . ” ”
Cả hai cách định nghĩa phơng trình dựa vào hàm mệnh đề đã khắc phục đợc hạn chế, có thể áp dụng vào mọi trờng hợp cụ thể phù hợp với trình độ học sinh cũng nh thoả mãn với cả các phơng trình phải tìm nghiệm lẫn cả những ph- ơng trình biểu thị những quy luật vật lý hay những phơng trình biểu diễn đờng.
Trớc đây khi cho phơng trình thờng gắn với tập xác định, dù phơng trình đó có tập xác định là Ă cũng phải ghi rõ nhng theo tinh thần SGK mới, cụ thể
SGK 10 Nâng cao đã hớng dẫn học sinh đến việc làm đơn giản là chỉ cần nêu điều kiện để ẩn số thuộc D, gọi là điều kiện xác định (hay điều kiện) của phơng trình. Trong trờng hợp f(x) và g(x) là những biểu thức thì điều kiện của phơng trình không chỉ gồm các điều kiện để hai biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa, mà có thể còn gồm cả những điều kiện đợc áp đặt cho ẩn vì lý do nào đó (nh x nguyên,
x a, x 0≠ > ...).
Với việc đa ra khái niệm phơng trình, bất phơng trình dựa vào hàm mệnh đề đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc chứng minh đầy đủ, chặt chẽ định lý về phép biến đổi tơng đơng.
Khi dạy học chủ đề phơng trình, bất phơng trình cần làm rõ sự khác nhau giữa các định lý về phép biến đổi tơng đơng phơng trình với các định lý về phép biến đổi tơng đơng bất phơng trình. Nhiều học sinh do không nắm vững nội dung kiến thức này đã áp dụng lẫn lộn giữa phép biến đổi tơng đơng cho phơng trình sang bất phơng trình, dẫn đến sai lầm trong suy luận, đa đến lời giải không đúng.
Ví dụ 1: Giải bất phơng trình: 7x 3 6x 4
x 1 x 1
− ≥ −
− − (1)
Học sinh thực hiện lời giải nh sau: Điều kiện: x 1≠ 7x 3 6x 4 (1) (x 1) (x 1) x 1 x 1 − − ⇔ − ≥ − − − ⇔7x 3 6x 4− ≥ − ⇔ ≥x 2
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phơng trình là x 1> . Thực tế, học sinh đã “mất cảnh giác” khi nhân hai vế của phơng trình (1) với f (x) x 1= − , mà không quan tâm tới dấu của f(x) (điều này ảnh hởng trực tiếp đến chiều của bất phơng trình) dẫn đến kết quả bài toán sai.
Nh vậy, việc nắm vững các định lý biến đổi phơng trình, bất phơng trình là quan trọng và cần thiết, lần đa ra những bài tập để học sinh vận dụng các phép biến đổi tơng đơng này thành thạo, làm rõ sự giống và khác nhau giữa phép biến đổi tơng đơng phơng trình với phép biến đổi tơng đơng bất phơng trình, tránh sai lầm khi áp dụng. Thật vô nghĩa nếu yêu cầu học sinh “thuộc
lòng” các định lý về các phép biến đổi tơng đơng hoặc các phép biến đổi tơng đơng áp dụng cụ thể đối với các dạng phơng trình, bất phơng trình. Chẳng hạn, các phép biến đổi tơng đơng khi bình phơng hai vế các phơng trình, bất phơng trình vô tỷ hay chứa dấu giá trị tuyệt đối nh:
f (x) g(x); f (x) g(x); f (x)= > = g(x) ; f (x) ≤ g(x) ; f (x)= g(x)...
sẽ làm học sinh rối, dễ nhầm lẫn giữa các công thức.
Việc xem xét, nghiên cứu các bài toán trong toán học sơ cấp bằng cách ghép thành từng lớp bài toán giải đợc bằng cùng một phơng pháp là một việc làm cần thiết và có ý nghĩa. Trên cơ sở lý thuyết, bài tập sách giáo khoa và một số sách tham khảo khác, có thể liệt kê một số phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình nh sau:
- Phơng pháp biến đổi tơng đơng - Phơng pháp đặt ẩn phụ
- Phơng pháp hàm số - Phơng pháp đồ thị
- Phơng pháp xét điều kiện cần và đủ - Phơng pháp đánh giá
Đứng trớc bài toán giải phơng trình, bất phơng trình thì việc định hớng phơng pháp giải đóng vai trò quyết định để thực hiện lời giải. Tuy nhiên, việc định hớng phơng pháp giải dạng toán này là đa dạng, có những bài toán có thể giải bằng nhiều phơng pháp khác nhau, vấn đề là lựa chọn phơng pháp nào tối u nhất để trình bày.