Phát triển tư duy thuật giải cho học sinh THPT qua dạy học nội dung phương trình

Phát triển tư duy thuật giải cho học sinh THPT qua dạy học nội dung phương trình

Lời cảm ơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Phơng pháp dạy học toán, khoa Toán, trờng Đại học Vinh đã giúp đỡ và có những ý kiến đóng góp quý báu trong quá trình su tầm t liệu, soạn thảo đề cơng và hoàn thành luận văn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành luận văn.

Đặc biệt, tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc nhất đến TS Chu Trọng Thanh, ngời đã trực tiếp hớng dẫn, chỉ bảo tận tình trong quá trình làm

luận văn, để tác giả hoàn thành tốt luận văn thạc sỹ của mình

Vinh, ngày 20 tháng 12 năm 2007

Tác giả

Chu Hơng Ly

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Để phục vụ cho sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nớc và bắt kịp sự phát triển của xã hội trong điều kiện bùng nổ thông tin, ngành giáo dục và đào tạo phải đổi mới phơng pháp dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào tạo những con ngời có đầy đủ phẩm chất của ngời lao động trong nền sản xuất tự động hóa nh: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có tính tổ chức, tính trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối u khi giải quyết công việc.

Những định hớng đổi mới phơng pháp dạy học đã đợc thể hiện trong các Nghị quyết hội nghị nh: Nghị quyết hội nghị lần thứ IV BCH trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (khóa IV, 1993) nêu rõ: Mục tiêu giáo dục đào tạo phải h-ớng vào việc đào tạo những con ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thể hiện mục tiêu lớn của đất nớc.

Về phơng pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II BCH TW Đảng cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) đã đề ra:"Phải đổi mới phơng pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo của ngời học Từng bớc áp dụng những phơng pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu".

Điều 24, luật giáo dục (1998) quy định:" Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, t duy sáng tạo của học sinh, , bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".

Muốn đạt đợc điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trong quá trình dạy học là phát triển t duy thuật giải cho học sinh.

1.2 Hiện nay ở trờng phổ thông đã tiến hành giáo dục tin học Tin học đợc dạy tờng minh nh một nội dung và sử dụng máy tính điện tử nh công cụ dạy học Do đó vấn đề phát triển phát triển t duy thuật giải trong môn toán giữ một vị trí quan trọng trong giáo dục tin học Khẳng định này đợc thể hiện rõ trong mục đích giáo dục tin học: "Làm cho tất cả mọi học sinh tốt nghiệp trung học đều nắm đợc những yếu tố cơ bản của tin học với t cách là thành tố của văn hóa phổ thông" "Góp phần hình thành ở học sinh những loại hình t duy liên hệ mật thiết với việc sử dụng công nghệ thông tin nh t duy thuật giải, t duy điều khiển, ", "Góp phần hình thành ở học sinh những phẩm chất của ngời lao động trong nền sản xuất tự động hóa nh: tính kỷ luật, tính kế hoạh hóa, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra, ".

1.3 Phát triển t duy thuật giải là mục đích của việc dạy học toán ở trờng phổ thông vì:

* T duy thuật giải tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn luyện các kỹ năng Toán học.

* T duy thuật giải phát triển sẽ thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ (nh: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hóa, khái quát hóa, ) cũng nh những phẩm chất trí tuệ (nh : tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo).

* T duy thuật giải giúp học sinh hình dung đợc quá trình tự động hóa diễn ra trong những lĩnh vực khác nhau của con ngời, trong đó có lĩnh vực xử lý thông tin Điều này làm cho học sinh thích nghi với xã hội tự động hóa, góp phần làm giảm ngăn cách giữa nhà trờng và xã hội.

1.4 Phát triển t duy thuật toán trong môn toán có ý nghĩa về nhiều mặt và môn toán chứa đựng khả năng to lớn về phát triển t duy thuật giải, thế nhng, t duy thuật giải cha đợc chú ý phát triển đúng mức ở nhà trờng phổ thông Đã có một số công trình nghiên cứu về vấn đề này, trong số các công trình đó có thể kể tới luận án phó tiến sỹ của Dơng Vơng Minh: "Phát triển t duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trờng phổ thông" (1998) Luận án này đã xem xét việc phát triển t duy thuật giải cho học sinh trong khi

dạy các hệ thống số chứ cha đi sâu vào việc phát triển t duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy học nội dung phơng trình.

Luận văn của thạc sỹ Nguyễn Thị Thanh Bình: "Góp phần phát triển t duy thuật giải của học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung lợng giác 11" (2000) đã đề cập đến việc phát triển t duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy nội dung lợng giác 11.

1.5 Nội dung phơng trình là nội dung quan trọng và khó ở chơng trình toán trung học phổ thông với nhiều biến đổi phức tạp, nhiều dạng toán, nhiều quy trình vận dụng kỹ năng tính toán nhiều bài toán có tiềm năng có thể chuyển về một thuật giải Đó là điều kiện thuận lợi nhằm phát triển t duy thuật giải cho học sinh.

Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài "Góp phần phát triển t duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học một số nội dung phơng trình" làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là đề ra một số biện pháp phát triển tduy thuật giải trong quá trình dạy học một số nội dung phơng trình nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở trờng phổ thông.

3 Giả thuyết khoa học

Nếu trong quá trình dạy học Toán trung học phổ thông nói chung, dạy

học nội dung phơng trình, bất phơng trình nói riêng, giáo viên thực hiện theo một quy trình dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải thì sẽ góp phần nâng cao chất lợng dạy học toán ở trờng phổ thông.

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt đợc mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi khoa học sau:

4.1 T duy thuật giải là gì và vì sao nó cần đợc phát triển ở học sinh trong môn Toán?

4.2 Tiến hành phát triển t duy thuật giải của học sinh trong môn toán dựa trên những t tởng chủ đạo nào?

4.3 Có thể xây dựng quy trình dạy học phơng trình theo hớng phát triển t duy thuật giải đợc không?

4.4 Để phát triển t duy thuật giải cho học sinh cần có những định hớng s phạm nào?

4.5 Có thể đa ra thuật giải giải một số dạng phơng trình nhằm tập luyện hoạt động t duy thuật giải cho học sinh đợc không?

4.6 Kết quả thực nghiệm nh thế nào?

5 Phơng pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận

* Nghiên cứu các văn kiện Đảng và nhà nớc, của Bộ giáo dục đào tạo có liên quan đến việc dạy và học Toán ở trờng phổ thông.

* Các sách báo, tạp chí có liên quan đến nội dung đề tài.

* Các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài (các luận văn, luận án, chuyên đề )

5.2 Nghiên cứu thực tiễn

* Dự giờ, quan sát giờ dạy của giáo viên và hoạt động học tập của học sinh trong quá trình dạy học nói chung, dạy học nội dung phơng trình nói riêng.

* Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua các lớp học thực nghiệm và đối chứng trên cùng một lớp đối tợng.

6.4 Khai thác đợc một số dạng phơng trình có thể giúp học sinh xây dựng đợc thuật giải.

6.5 Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán trung học phổ thông.

1.4 Vấn đề phát triển t duy thuật giải trong dạy học Toán.

Chơng 2 Một số định hớng s phạm góp phần phát triển t duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông khi dạy một số nội dung phơng trình.

2.1 Các nguyên tắc dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải.

2.2 Một số định hớng phát triển t duy thuật giải thông qua dạy học nội dung phơng trình.

2.3 Hớng dẫn học sinh xây dựng thuật giải cho một số dạng phơng trình

1.1.1 Quan điểm hoạt động trong phơng pháp dạy học

Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động giao lu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học Còn học tập là một quá trình xử lý thông tin Quá trình này có các chức năng: đa thông tin vào, ghi nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đa thông tin ra và điều phối Học sinh thực hiện các chức năng này bằng những hoạt động của mình Thông qua hoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tập một cách tự giác, tích cực.

Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh một số trong những hoạt động đã phát hiện Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức họ.

Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là tri thức phơng pháp Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình hoạt động khác Trong hoạt động, kết quả rèn luyện đợc ở một mức độ nào đó có thể lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn Do đó cần phân bậc những hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học Trên cơ sở việc phân tích trên về phơng pháp dạy học theo quan điểm hoạt động Luận văn đợc nghiên cứu trong khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học Nội dung của quan điểm này đợc thể hiện một cách tóm tắt qua những t tởng chủ đạo sau:

* Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động ơng thích với nội dung và mục đích dạy học.

t-* Hớng đích và gợi động cơ cho các hoạt động.

* Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phơng pháp, nh phơng tiện và kết quả của hoạt động.

* Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học.

1.1.2 Một số quan điểm khác

Luận văn lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học để nghiên cứu nhng cũng dựa vào quan điểm của lý thuyết tình huống và lý thuyết kiến tạo bởi vì các quan điểm dạy học của các lý thuyết này có sự giao thoa với quan điểm của lý thuyết hoạt động Theo lý thuyết tình huống thì học là sự thích ứng (bao gồm đồng hóa và điều tiết) đối với một môi trờng sản sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn, những sự mất cân bằng.

Một tình huống thờng liên hệ với những quy trình hành động Một yếu tố của tình huống mà sự thay đổi giá trị của nó có thể gây ra sự thay đổi quy trình giải quyết vấn đề của học sinh Do đó trong quá trình dạy học ta cần soạn thảo ra tình huống tơng ứng với tri thức cần dạy (tình huống cho tri thức đó một nghĩa đúng) Sau đó ủy thác tình huống này cho học sinh Học sinh tiến hành hoạt động học tập diễn ra nhờ sự tơng tác với môi trờng.

Theo lý thuyết kiến tạo, học tập là hoạt động thích ứng của ngời học Do đó dạy học phải là dạy hoạt động, tổ chức các tình huống học tập đòi hỏi sự thích ứng của học sinh, qua đó học sinh kiến tạo đợc kiến thức, đồng thời phát triển đợc trí tuệ và nhân cách của mình.

Nh vậy, nếu phân tích rõ quan điểm dạy học theo lý thuyết tình huống và lý thuyết kiến tạo sẽ góp phần phát triển phơng pháp dạy học phát triển t duy thuật giải cho học sinh.

1.2 Khái niệm thuật toán

Khái niệm t duy thuật giải liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán Do đó trớc khi đa ra khái niệm t duy thuật giải ta hãy nghiên cứu khái niệm thuật toán.

1.2.1 Nghiên cứu khái niệm thuật toán

a Khái niệm bài toán

Trong tin học, ngời ta quan niệm bài toán là một việc nào đó ta muốn máy tính thực hiện Những việc nh đa một dòng chữ ra màn hình, giải phơng trình bậc hai, quản lý cán bộ của một cơ quan là những ví dụ về bài toán.

Khi dùng máy tính giải toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đa vào máy thông tin gì (Input) và lấy ra thông tin gì (Output) Do đó để phát biểu một bài toán, ta cần phải trình bày rõ Input và Output của bài toán và mối quan hệ giữa Input và Output.

Ví dụ 1: Bài toán tìm ớc chung lớn nhất của hai số nguyên dơng.Input: Hai số nguyên dơng M và N.

Output: ớc chung lớn nhất của M và N.

Ví dụ 2: Bài toán tìm nghiệm của phơng trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)Input: Các số thực a, b, c (a≠0)

Output: Tất cả các số thực x thỏa mãn: ax2 + bx + c = 0

ở đây Output có thể là một hoặc hai số thực hoặc câu trả lời không có số thực nào nh vậy.

Qua các ví dụ trên, ta thấy các bài toán đợc cấu tạo bởi hai thành phần cơ bản:

Input: Các thông tin đã có.

Output: Các thông tin cần tìm từ Input.

b Khái niệm thuật toán

Việc cho một bài toán là mô tả rõ Input cho trớc và Output cần tìm Vấn đề là làm thế nào để tìm ra Output.

Việc chỉ ra tờng minh một cách tìm Output của bài toán đợc gọi là một thuật toán (algorithm) giải bài toán đó Có nhiều định nghĩa khác nhau về thuật toán Dựa vào sự phân tích trên ta có thể định nghĩa thuật toán nh sau:

Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác đợc sắp xếp theo một trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác ấy, từ Input của bài toán, ta nhận đợc Output cần tìm.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của một dãy số nguyên.+ Xác định bài toán.

+ Input: Số nguyên dơng N và dãy N số nguyên a1, a2, an.+ Output: Giá trị lớn nhất Max của dãy số.

* ý tởng: - Khởi tạo giá trị Max = a1.

- Lần lợt với i từ 2 đến N, so sánh giá trị số hạng ai với giá trị Max, nếu ai > Max thì Max nhận giá trị mới là ai.

* Thuật toán: Thuật toán giải bài toán này có thể đợc mô tả theo cách liệt kê nh sau:

Bớc 1: Nhập N và dãy a1, a2, ,an.Bớc 2: Max = ai ; i: = 2

Bớc 3: Nếu i > N thì đa ra giá trị Max rồi kết thúc.Bớc 4: + Bớc 4.1 Nếu ai > Max thì Max: = ai

+ Bớc 4.2 Nếu i: = i + 1 rồi quay lại bớc 3.Từ định nghĩa ta thấy thuật toán có các tính chất sau:

* Tính dừng: Thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác.

* Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là thuật toán kết thúc hoặc là có đúng một thao tác xác định để đợc thực hiện tiếp theo.

* Tính đúng đắn: sau khi thuật toán kết thúc ta phải nhận đợc Output cần tìm.

Ví dụ: Với thuật toán tìm Max đã xét:

* Tính dừng: Vì giá trị của i mỗi lần tăng lên một đơn vị nên sau N lần thì i > N, khi đó kết quả của phép so sánh ở bớc 3 xác định việc đa ra giá trị Max rồi kết thúc.

* Tính xác định: Thứ tự thực hiện các bớc của thuật toán đợc mặc định là tuần tự nên sau bớc 1 là bớc 2, sau bớc 2 là bớc 3 Kết quả các bớc so sánh trong bớc 3 và bớc 4 đều xác định duy nhất bớc tiếp theo cần thực hiện.

* Tính đúng đắn: Vì thuật toán so sánh Max với từng số hạng của dãy số và thực hiện Max: = ai nếu ai > Max nên sau khi so sánh hết N số hạng của dãy thì Max là giá trị lớn nhất.

Ví dụ: Tính tổng các số nguyên dơng lẻ trong khoảng từ 1 đến n.- Xác định bài toán:

Bớc 4: Nếu i = N+1 thì sang bớc 8, ngợc lại sang bớc 5.Bớc 5: Cộng thêm i vào S.

Bớc 6: Cộng thêm 2 vào i.Bớc 7: Quay lại bớc 4.

Bớc 8: Tổng cần tìm chính là S.

Ta chú ý đến bớc 4 ở đây ta muốn kết thúc thuật toán khi giá trị của i vợt quá N Thay vì viết "nếu i lớn hơn N" thì ta viết điều kiện "i = N+1" không phải lúc nào cũng đạt đợc Vì ban đầu i là một số lẻ, sau mỗi bớc i lại đợc tăng thêm 2 đơn vị nên i luôn luôn là số lẻ Nếu N là số chẵn thì N + 1 là số lẻ nên sau một số bớc nhất định, i sẽ bằng N + 1 Tuy nhiên, nếu N là số lẻ thì N + 1 là số chẵn, do i là số lẻ nên dù có qua bao nhiêu bớc đi chăng nữa, i vẫn khác N + 1 Trong trờng hợp đó, thuật toán trên bị quẩn (hay vi phạm tính dừng).

Tính "đúng" là một tính chất khá hiển nhiên nhng là tính chất khó đạt tới nhất Thật vậy, khi giải quyết một số vấn đề bài toán, ta luôn mong muốn lời giải của mình sẽ cho kết quả đúng nhng không phải lúc nào cũng đạt đợc Mọi học sinh khi làm bài kiểm tra đều muốn bài làm của mình có đáp số đúng, nhng trên thực tế, trong lớp chỉ có một số học sinh nhất định là có khả năng đa ra lời giải đúng.

1.2.2 Các đặc trng của thuật toán

1 Tính đơn trị

Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn trị, nghĩa là hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tợng thì phải cho cùng kết quả.

Ví dụ: Quy trình 4 bớc để giải một bài toán.Bớc 1 Tìm hiểu nội dung bài toán.

Bớc 2 Tìm đờng lối giải toán.

Bớc 3 Thực hiện chơng trình giải toán.

Bớc 4 Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải.

Quy trình này không phải là một thuật toán vì tính đơn trị bị vi phạm Chẳng hạn bớc 1, bớc 2, bớc 3, bớc 4 không đợc xác định vì ngời ta có thể hiểu và làm theo nhiều cách khác nhau.

Từ tính đơn trị, ta cũng thấy đợc tính hình thức hóa của thuật toán Bất kể cơ cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả chứ không cần phải hiểu ý nghĩa của những thao tác này Tính chất này hết sức quan trọng vì nhờ đó ta có thể giao cho những thiết bị tự động thực hiện thuật giải, làm một số công việc thay thế cho con ngời.

2 Tính hiệu quả

Tính hiệu quả của thuật toán đợc đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn nh: khối lợng tính toán, không gian và thời gian khi thuật toán đợc thực hiện Tính hiệu quả của thuật toán là một yếu tố quyết định để đánh giá, chọn lựa cách giải quyết vấn đề - bài toán trên thực tế Có rất nhiều phơng pháp để đánh

giá tính hiệu quả của thuật toán Độ phức tạp của thuật toán là một tiêu chuẩn đợc dùng rộng rãi.

3 Tính tổng quát

Thuật toán có tính tổng quát là thuật toán phải áp dụng đợc cho mọi ờng hợp của bài toán chứ không phải chỉ áp dụng đợc cho một số trờng hợp riêng lẻ nào đó Chẳng hạn thuật toán giải phơng trình bậc hai sau đây bằng Delta đảm bảo đợc tính chất này vì nó luôn luôn giải đợc với mọi giá trị số thực a, b, c bất kỳ Tuy nhiên, không phải thuật toán nào cũng đảm bảo đợc tính tổng quát Trong thực tế, có lúc ngời ta chỉ xây dựng thuật toán cho một dạng đặc trng của bài toán mà thôi.

tr-Ví dụ: Thuật toán giải phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)1 Cho biết giá trị ba hệ số a, b, c.

3.2.1 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 3.2.2 Giá trị của hai nghiệm tính theo công thức:

= ,

∆+−= 3.2.3 Kết thúc thuật toán.

3.3 Nếu ∆ = 0.

3.3.1 Phơng trình có nghiệm kép x0 3.3.2 Giá trị của nghiệm kép là

20 = − 3.3.3 Kết thúc thuật toán.

3.4 Nếu ∆ < 0 thì:

3.4.1 Phơng trình vô nghiệm 3.4.2 Kết thúc thuật toán.

1.2.3 Các phơng pháp biểu diễn thuật toán

Khi chứng minh hoặc giải một bài toán trong toán học, ta thờng dùng những ngôn ngữ toán học nh: "ta có", "điều phải chứng minh","giả thiết", và sử dụng các phép suy luận toán học nh phép kéo theo, phép tơng đơng,

Thuật toán là một phơng pháp thể hiện lời giải một bài toán nên cũng phải tuân theo một số quy tắc nhất định Để có thể truyền đạt thuật toán cho ngời khác hay chuyển thuật toán thành chơng trình máy tính, ta phải có phơng pháp biểu diễn thuật toán Có 4 phơng pháp biểu diễn thuật toán.

1 Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học.2 Dùng lu đồ - sơ đồ khối.

3 Dùng ngôn ngữ phỏng trình.4 Dùng ngôn ngữ lập trình.

1 Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học.

Trong cách biểu diễn thuật toán theo ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, ngời ta sử dụng ngôn ngữ thờng ngày và ngôn ngữ toán học để liệt kê các bớc của thuật toán Các thuật toán ở mục 1 đều đợc viết dới dạng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học Phơng pháp biểu diễn này không yêu cầu ngời viết thuật toán cũng nh ngời đọc thuật toán phải nắm các quy tắc Tuy vậy, cách biểu diễn này thờng dài dòng, không thể hiện rõ cấu trúc thuật toán, đôi lúc gây hiểu nhầm hoặc khó hiểu cho ngời đọc Ta xét thêm ví dụ sau:

Ví dụ 1: Thuật toán xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai:ax2 + bx + c = 0 (với giả thiết abc ≠ 0)

Bớc 1: Xác định các hệ số a, b, c.Bớc 2: Kiểm tra điều kiện ac < 0.

+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bớc 3.+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bớc 4.Bớc 3: Kết luận: Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.

Chuyển sang bớc 14.Bớc 4: Tính ∆ = b2 - 4ac.

Bớc 5: Kiểm tra điều kiện ∆ > 0.

+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bớc 9.+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bớc 6.Bớc 6: Kiểm tra điều kiện ab > 0.

+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bớc 7.+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bớc 8.Bớc 7: Kết luận: Phơng trình có 2 nghiệm dơng

Chuyển sang bớc 14.

Bớc 8: Kết luận: Phơng trình có 2 nghiệm âm Chuyển sang bớc 14.

Bớc 9: kiểm tra điều kiện ∆ = 0

+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bớc 10.+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bớc 13.Bớc 10 Kiểm tra điều kiện ab > 0.

+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bớc 11.+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bớc 12.Bớc 12 Kết luận: Phơng trình có nghiệm kép dơng.

Chuyển sang bớc 14.

Bớc 12 Kết luận: phơng trình có nghiệm kép âm.Chuyển sang bớc 14.

Bớc 13: Kết luận: phơng trình vô nghiệm.Bớc 14: Kết thúc.

2 Lu đồ - Sơ đồ khối.

Lu đồ hay sơ đồ khối là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật toán Biểu diễn thuật toán bằng lu đồ sẽ giúp ngời đọc theo dõi đợc sự phân cấp các trờng hợp và quá trình xử lý của thuật toán Phơng pháp lu đồ thờng đ-

ợc dùng trong những thuật toán có tính rắc rối, khó theo dõi đợc quá trình xử lý.

Để biểu diễn thuật toán theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thao tác: thao tác lựa chọn và thao tác hành động.

Hai bớc kế tiếp nhau đợc nối bằng một mũi tên chỉ hớng thực hiện.

Từ thao tác chọn lựa có thể có hai hớng đi, một hớng ứng với điều kiện đúng, một hớng ứng với điều kiện sai.

Tăng i lên Chọn 1 hộp bất kỳ Tăng i lên 1

Bước 1

Bước 3

Bước 2

∆ > 0 S ∆ = 0

Cã 2 nghiÖm ph©n biÖt

Ví dụ: Lu đồ thuật toán giải phơng trình bậc hai.

∆±=

Lu đồ mô tả thuật toán một cách trực quan nhng lại rất cồng kềnh khi phải mô tả những thuật toán phức tạp Một phơng pháp khác để biểu diễn thuật toán khắc phục nhợc điểm ấy là ngôn ngữ phỏng trình.

3 Ngôn ngữ phỏng trình

Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và sự phân cấp các trờng hợp của thuật toán nhng lại cồng kềnh Để mô tả thuật toán nhỏ ta phải dùng một không gian rất lớn Hơn nữa, lu đồ chỉ phân biệt hai thao tác là rẽ nhánh (lựa chọn có điều kiện) và xử lý mà trong trực tế, các thuật toán còn có các lặp.

Biểu diễn thuật toán bằng ngôn ngữ phỏng trình là cách biểu diễn sự vay mợn các cú pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó (Pascal, Basic, C, C++, ) để thể hiện thuật toán Ngôn ngữ phỏng trình đơn giản, gần gũi với mọi ngời, dễ học vì nó sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và cha quá sa đà vào những quy ớc chi tiết Mặt khác, nó cũng dễ chuyển sang những ngôn ngữ cho máy tính điện tử vì đã sử dụng một cấu trúc và ký hiệu chuẩn hóa.

Ví dụ: Biểu diễn thuật toán giải phơng trình bậc hai bằng ngôn ngữ phỏng trình.

If Delta > 0 then begin.x1 = (-b-sqrt(delta))/(2*a)x2 = (-b + sqrt (delta))/(2*a).

inra: phơng trình có 2 nghiệm là x1, x2.End.

If Delta = 0 then.

Inra: phơng trình có nghiệm kép là

−=Else (trờng hợp Delta < 0)

Inra: phơng trình vô nghiệm.End.

Trên đây, ta đã chỉ ra 3 cách để biểu diễn một thuật toán Trong trờng hợp thuật toán viết bằng ngôn ngữ máy tính, ta có một chơng trình.

4 Ngôn ngữ lập trình.

Có nhiều ngôn ngữ lập trình nh Pascal, Basic, C, C++, Sau đây là ví dụ dùng ngôn ngữ lập trình Pascal để biểu diễn thuật toán giải phơng trình bậc hai:

Ví dụ Tìm nghiệm thực của phơng trình bậc hai:ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0)

Write (‘a, b, c: ’);Readln (a, b, c) ;

Witeln ( ‘x1 =’, x1 : 8:3 , ‘x2 = ’ , x2 : 8:3);End;

1.2.4 Độ phức tạp của thuật toán

Trong thực tế có nhiều thuật toán, về mặt lý thuyết là kết thúc sau hữu hạn bớc, tuy nhiên thời gian "hữu hạn" đó vợt quá khả năng làm việc của chúng ta Do đó để đánh giá tính hiệu quả của một thuật toán, chúng ta phải chú ý đến độ phức tạp của các thuật toán Độ phức tạp của thuật toán có thể đo bằng không gian, tức là dung lợng bộ nhớ của máy tính cần thiết để thực hiện thuật toán; và bằng thời gian, tức là thời gian máy tính làm việc Trong luận văn này, khi nói đến độ phức tạp của thuật toán ta luôn hiểu là độ phức tạp thời gian Độ phức tạp của thuật toán chính là cơ sở để phân loại bài toán giải đợc hay không giải đợc.

1.3 Khái niệm t duy thuật giải

1.3.1 Khái niệm thuật giải

Trong quá trình nghiên cứu giải quyết các vấn đề - bài toán, ngời ta đã đa ra nhận xét sau:

+ Có nhiều bài toán cho đến nay vẫn cha tìm ra một cách giải theo kiểu thuật toán và cũng không biết có tồn tại thuật toán hay không.

+ Có nhiều bài toán đã có thuật toán để giải nhng không chấp nhận đợc vì thời gian giải theo thuật toán đó quá lớn hoặc các điều kiện cho thuật toán đó khó đáp ứng.

+ Có những bài toán đợc giải theo những cách giải vi phạm thuật toán nhng vẫn chấp nhận đợc.

Từ những nhận định trên, ngời ta thấy rằng cần phải có những đổi mới cho khái niệm thuật toán Ngời ta đã mở rộng hai tiêu chuẩn của thuật toán: tính xác định và tính đúng đắn Việc mở rộng tính xác định đối với thuật toán đợc thể hiện qua các thuật giải đệ quy và ngẫu nhiên Tính đúng của thuật toán không còn bắt buộc đối với một số cách giải bài toán, nhất là cách giải gần

đúng Trong thực tế, có nhiều trờng hợp ngời ta chấp nhận các cách giải thờng cho kết quả tốt (nhng không phải lúc nào cũng tốt) nhng ít phức tạp và hiệu quả Chẳng hạn, nếu giải một bài toán bằng thuật toán tối u đòi hỏi máy tính thực hiện trong vòng nhiều năm thì chúng ta có thể chấp nhận một giải pháp gần tối u mà chỉ cần máy tính chạy trong vài ngày hoặc vài giờ.

Các cách giải chấp nhận đợc nhng không hoàn toàn đáp ứng đầy đủ các tiêu chuẩn của thuật toán thờng đợc gọi là các thuật giải Khái niệm mở

rộng này của thuật toán đã mở rộng cho chúng ta trong việc tìm kiếm phơng pháp để giải quyết các bài toán đợc đặt ra Ngoài việc mở rộng tính đúng của thuật toán, thuật giải có tất cả các tính chất khác của thuật toán Nó cũng có các hình thức biểu diễn phong phú nh thuật toán Tuy nhiên, đối với một cơ cấu nhất định chỉ tơng ứng với một hình thức biểu diễn nhất định Đặc biệt trong dạy học cần chú ý lựa chọn phơng tiện biểu diễn phù hợp với trình độ và kiến thức hiện có của học sinh Sự hiểu biết về thuật giải, các tính chất và ph-ơng tiện biểu diễn nó phản ánh trình độ văn hóa thuật giải Ngôn ngữ lập trình là bớc phát triển cao của văn hóa thuật giải.

1.3.2 Khái niệm t duy thuật giải

T duy toán học là hình thức biểu lộ của t duy biện chứng trong quá trình con ngời nhận thức khoa học toán học hay thông qua hình thức áp dụng toán học vào các khoa học khác Nh vậy, t duy toán học là t duy biện chứng.

T duy thuật giải là một loại hình thức t duy toán học Nó là phơng thức t duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau:

T1: Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật giải.

T2: Phân tích một quá trình thành những thao tác đợc thực hiện theo những trình tự xác định.

T3: Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tợng riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tợng.

T4: Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.

T5: Phát hiện thuật giải tối u để giải quyết bài toán.

Trong đó, (T1) thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, (T2 - T5 ) thể hiện năng lực xây dựng thuật giải.

Khái niệm t duy thuật giải đợc xác định nh trên là hoàn toàn phù hợp với những kết quả nghiên cứu về hình thành văn hóa thuật giải Trong [38] tác giả Monakhôp đã nêu lên những thành phần của văn hóa thuật giải bao gồm:

- Hiểu bản chất của thuật giải và những tính chất của nó; hiểu bản chất ngôn ngữ là phơng tiện biểu diễn thuật giải.

- Nắm vững các phơng pháp và các phơng tiện biểu diễn thuật giải.

- Hiểu tính chất thuật giải của các phơng pháp toán học và các ứng dụng của chúng; nắm vững các thuật giải của giáo trình toán phổ thông.

- Hiểu những cơ sở sơ cấp về lập trình cho máy tính điện tử.

Nh vậy, phát triển t duy thuật giải là một điều kiện cần thiết góp phần hình thành và phát triển văn hóa thuật giải cho học sinh.

Từ khái niệm về t duy thuật giải ta thấy rằng để phát triển t duy thuật giải cho học sinh trong dạy học toán, giáo viên phải tổ chức, điều khiển các hoạt động t duy thuật giải Thông qua hoạt động đó giúp học sinh nắm vững, củng cố các quy tắc đồng thời phát triển t duy thuật giải cho học sinh Sau đây là một số ví dụ về phát triển t duy thuật giải trong môn toán khi dạy nội dung phơng trình ở trờng phổ thông.

1.3.3 Một số ví dụ dạy học phát triển t duy thuật giải khi dạy nội dung phơng trình

Ví dụ 1.

ở chơng trình toán lớp 9, ngay sau khi dạy xong quy tắc giải phơng trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0, (a ≠ 0), giáo viên có thể cho học sinh nêu các b-ớc giải phơng trình bậc hai nh sau:

Bớc 1: Xác định các hệ số a, b, c.Bớc 2: Tính biệt thức ∆ = b2- 4ac.Bớc 3: Xét dấu ∆

+ Nếu ∆ < 0 thì phơng trình vô nghiệm.

+ Nếu ∆ = 0 thì phơng trình có nghiệm kép x1= x2 =

2−

+ Nếu ∆ > 0 thì phơng trình có 2 nghiệm 

Bớc 4: Trả lời.

Hoạt động này nhằm mục đích tập luyện các hoạt động (T2) và (T4) của t duy thuật giải cho học sinh.

Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau

Bài tập: áp dụng quy tắc giải phơng trình bậc hai, hãy giải các phơng trình sau:

a 2x2 - 3x + 5 = 0b - 4x2 + 20x - 25 = 0

23 2

=−+ xx

Mục đích của bài tập này là yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động (T1) Do đó cần hớng dẫn các em thực hiện đúng theo trình tự các bớc đã nêu trong quy tắc Có thể dùng một phần bảng trình bày quy tắc giải phơng trình, phần bảng còn lại trình bày lời giải phù hợp với từng quy tắc Tiến hành nhất quán nh vậy trong một thời gian nhất định sẽ hình thành ở học sinh quy tắc giải ph-ơng trình bậc hai, đồng thời phát triển ở các em năng lực thực hiện thuật giải.

Đứng trớc bài toán này học sinh phải biết các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc, từ đó áp dụng các công thức này để biến đổi Ta có thể hớng dẫn học sinh giải bài toán này theo các bớc sau:

Bớc 1 Tính sin2x, cos2x theo cos2x.2

x = − ,

x= +và sinxcosx theo sin2x.

sinxcosx= sin2x

Bớc 2 Biến đổi đa phơng trình về phơng trình bậc nhất đối với sin 2x và cos2x dạng: Asin2x + Bcos2x = C

Bớc 3 Giải phơng trình: Asin2x + Bcos2x = C

Bài tập 2 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:

Với bài toán này, học sinh phải nắm đợc sơ lợc khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Biết cách tìm điều kiện để hàm số có nghĩa và cách tìm điều kiện để phơng trình bậc nhất đối với sinx, cosx có nghiệm Ta có thể hớng dẫn học sinh giải bài toán trên theo các bớc sau:

Bớc 1 Tìm tập xác định của hàm số.

Bớc 2 Thực hiện phép quy đồng và biến đổi đa biểu thức về dạng asinx + bcosx = c.

Bớc 3 Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm: a2 + b2≥ c2

Bớc 4 Đa ra bất đẳng thức: m≤ y≤ M Từ đó kết luận Maxy, Miny.Một điều cần lu ý là khi phân tích bài toán để học sinh định hớng phơng pháp giải, chúng ta cần cố gắng phân tích làm nổi lên những tri thức phơng pháp tiến hành hoạt động này Sự phân tích trên đây có ý làm nổi bật tri thức phơng pháp: quy lạ về quen.

Ví dụ 3.

Dạy học sinh quy tắc giải phơng trình: ax + b = 0.

Để hình thành quy tắc giải phơng trình: ax + b = 0, giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải bài tập sau:

Học sinh sẽ không khó khăn lắm khi giải câu (a), nhng sẽ gặp lúng túng khi giải câu (b) Khi đó tùy thuộc diễn biến tình hình học sinh mà đặt ra những câu hỏi gợi ý nh sau:

+ Về nghiệm của phơng trình: ax + b = 0 có thể chia thành mấy trờng hợp, đó là những trờng hợp nào?

(Có 3 trờng hợp: có 1 nghiệm duy nhất, vô số nghiệm và vô nghiệm).+ Điều kiện nào quyết định đến số nghiệm của phơng trình trong từng trờng hợp?

(Có nghiệm duy nhất khi a ≠ 0, vô số nghiệm khi a = 0 và b = 0, vô nghiệm khi a = 0, b ≠ 0)

+ Hãy nêu các bớc giải phơng trình: ax + b = 0 một cách tỉ mỉ?Bớc 1: xác định a, b.

Bớc 2 Nếu a ≠ 0 thì phơng trình có nghiệm duy nhất

abx =−Nếu a = 0, b ≠0 thì phơng trình vô nghiệm.

Nếu a = 0, b = 0 thì phơng trình có vô số nghiệm.

Dạy học khái quát hóa nh trên đã dựa trên cơ sở xét đầy đủ các trờng hợp riêng (nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm) Một phơng án khác để dạy hoạt động này là trên cơ sở xuất phát từ một trờng hợp riêng Trờng hợp

riêng này cần lựa chọn sao cho học sinh dễ mắc sai lầm khi khái quát hóa từ đó Lúc học sinh mắc sai lầm, giáo viên giúp học sinh tự sửa chữa sai lầm là một tình huống s phạm tốt để lĩnh hội và phát triển tri thức Theo phơng án đó thì có thể hình thành quy tắc giải phơng trình ax + b = 0 thông qua bài tập sau:

Ví dụ 4 (Luyện tập hoạt động T4)

Để luyện khả năng mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động, có thể cho học sinh giải những bài tập có dạng: "Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x2 −3x+2 =m

" Ngoài mục đích luyện tập hoạt động (T4), bài toán còn tập luyện hoạt động trực quan cho học sinh Do đó, học sinh phải biết dùng ngôn ngữ của mình một cách hợp lý để mô tả quá trình biện luận số nghiệm của phơng trình trên theo m Quá trình này có thể mô tả nh sau:

+ Bớc 1 Ta xem số nghiệm của phơng trình: x2 −3x+2 =m

là số giao điểm của hai đồ thị:

2 − +

và y = m (d)+ Bớc 2 Vẽ đồ thị (C)

* Vẽ đồ thị (C1) y=x2 −3x+2

* Giữ nguyên phần đồ thị (Cn) của (C1) ứng với 

* Lấy đối xứng qua Ox phần còn lại của (C1) đợc (Cm) Khi đó đồ thị (C) là hợp của (Cn) và (Cm).

+ Bớc 3 Dựa vào đồ thị (C) biện luận số giao điểm của đờng thẳng (d) với đồ thị (C).

* Nếu m = 0 ⇒ (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇒ phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.

* Nếu 0 < m < 1/4 ⇒ (d) cắt (C) tại 4 điểm ⇒ phơng trình có 4 nghiệm phân biệt.

* Nếu m =1/4 ⇒ (d) cắt (C) tại 3 điểm ⇒ phơng trình có 3 nghiệm.* Nếu m >1/4 ⇒ (d) cắt (C) tại 2 điểm ⇒ phơng trình có 2 nghiệm.

Đứng trớc bài tập này, học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn bởi vì học sinh mới chỉ gặp phơng trình bậc 4 trùng phơng Giáo viên có thể hớng dẫn học sinh giải bài tập bằng các câu hỏi định hớng sau đối với phơng trình (a).

+ Xét xem x = 0 có là nghiệm của phơng trình không?

+ Hãy chia cả hai vế của phơng trình cho x2 ≠ 0 Nêu đặc điểm của ơng trình mới nhận đợc?

ph-Ta mong đợi học sinh trả lời:

(a) ⇔ 2 2 +3 −16+ 3 + 22 =0

2 2 12 3 1−16=0

 ++

 +⇔

Phơng trình mới có đặc điểm 1 1 222

 +=

 +

+ Để giải phơng trình ta làm thế nào?

Ta mong đợi học sinh trả lời Đặt 1 1 2 22

2 + = −⇒

Cuối cùng giáo viên cho học sinh tiếp tục giải phơng trình và các phơng trình còn lại khi học sinh giải xong giáo viên có thể nêu câu hỏi nhằm giúp học sinh giải bài toán tổng quát nh sau:

+ Hãy nêu đặc điểm các hệ số trong mỗi phơng trình?

Ta mong học sinh trả lời: phơng trình (a) các hệ số đối xứng qua hệ số (-16), phơng trình (b) các hệ số đối xứng qua hệ số (1), phơng trình (c) các hệ số đối xứng qua hệ số (- 4).

+ Từ đặc điểm đó hãy nêu phơng trình dạng tổng quát?Ta mong đợi học sinh trả lời:

 ++

 +⇔

Bớc 3: Đặt 1 1 2 22

2 + = −⇒

Bớc 4: Giải phơng trình: at2 + bt - 2a + c = 0, đợc nghiệm t0.Bớc 5: Giải phơng trình: 1 0

Bớc 6: Trả lời.

Thông qua dạy học sinh giải bài tập trên chúng ta đã tập luyện cho học sinh hoạt động (T3), (T2) và (T4) của t duy thuật giải Để củng cố các hoạt động này, giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau:

Bài tập 2 Giải các phơng trình sau:

a x4 + 3x3 - 6x2 - 3x + 1 = 0; b 2x4 + x3 + 11x2 - x + 2 = 0.Bài tập 3 Hãy nêu bài toán tổng quát và thuật giải bài toán đó

Ví dụ 6 (Tập luyện hoạt động T5)Giải phơng trình: sin2x + 2tanx = 3.

Hớng dẫn: Bài toán này yêu cầu học sinh tập luyện hoạt động (T5) Trớc khi các em giải, cần hớng dẫn cho các em thấy trớc cách giải cha hợp lý, đó là:

Điều kiện: x ≠ π +kπ2

phơng trình 3cos

• sinx – cosx = 0 x π =⇔ x= π +kπ

 −⇔

Phơng trình ⇔ 2(tanx – 1) – ( 1 – sin2x) = 0

⇔ 2( sinx – cosx) – cox(sinx – cosx)2 = 0⇔ (sinx – cosx)(sinxcosx – cos2x -2 ) = 0⇔ (sinx – cosx)(sin2x – cos2x – 5) = 0

Nếu học sinh gặp khó khăn thì giáo viên có thể gợi ý giúp học sinh thực hiện phép biến đổi thông qua một số câu hỏi định hớng nh:

1.4 Vấn đề phát triển t duy thuật giải trong dạy học Toán

1.4.1 Vai trò của việc phát triển t duy thuật giải trong dạy học Toán ở trờng phổ thông

Sau khi nghiên cứu khái niệm t duy thuật giải và một số ví dụ về phát triển t duy thuật giải trong môn toán, chúng ta nhận thấy rằng vấn đề phát triển t duy thuật giải trong môn toán là một việc cần thiết Vai trò của việc phát triển t duy thuật giải đối với học sinh trong dạy học môn Toán là quan trọng Cấu trúc của t duy thuật giải gắn liền với 5 hoạt động (T1 - T5), việc phát triển các hoạt động t duy thuật giải sẽ góp phần phát triển các hoạt động khác của toán

học Điều này cũng đã đợc tác giả Vơng Dơng Minh nói đến trong luận án của mình

* Tiến hành các hoạt động t duy thuật giải là một phơng tiện, một điều kiện để chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng.

Thật vậy, để nắm vững khái niệm toán học, học sinh phải tiến hành các hoạt động nhận dạng và thể hiện một khái niệm Trong nhiều trờng hợp, những hoạt động này diễn ra dới dạng những hoạt động t duy thuật giải.

Nói đến kỹ năng là phải nói đến hoạt động, kỹ năng đợc hình thành và phát triển nhờ các hoạt động t duy thuật giải.

* Các hoạt động t duy thuật giải đòi hỏi và thúc đẩy các hoạt động trí tuệ.- Các thao tác t duy nh phân tích và tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tợng hóa và cụ thể hóa đợc phát triển khi tiến hành các hoạt động t duy thuật giải.

- Các phẩm chất trí tuệ nh tính linh hoạt, tính độc lập cũng đợc phát triển trong các hoạt động t duy thuật giải.

- Khả năng t duy logic và sử dụng ngôn ngữ chính xác cũng đợc rèn luyện qua các hoạt động t duy thuật giải.

* Phát triển t duy thuật giải góp phần giáo dục những đức tính tốt đẹp của ngời lao động mới và giáo dục thế giới quan duy vật biện chứng.

Thật vậy:

- Hoạt động (T1) cho khả năng hình thành, củng cố những đức tính tốt nh tính kỷ luật, ngăn nắp, cẩn thận, thói quen tự kiểm tra.

- Hoạt động (T4) rèn luyện khả năng diễn đạt chính xác Nó cũng có thể cho ta những minh hoạ về mối quan hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức Một nội dung có thể tồn tại dới nhiều hình thức Nội dung quyết định hình thức và hình thức tác động trở lại nội dung.

- Hoạt động (T5) góp phần hình thành ý thức tìm phơng án tối u khi giải quyết công việc.

- Các hoạt động (T1- T5) dẫn tới việc hiểu đúng bản chất của quá trình tự động hóa và vai trò quyết định của con ngời trong quá trình đó.

- Một thuật giải có cấu trúc đẹp, trình bày sáng sủa, chính xác có thể xem là sản phẩm của lao động trí óc, có tác dụng giáo dục thẩm mỹ cho học sinh.

* Phát triển t duy thuật giải gắn liền với phát triển t duy sáng tạo.

Trong số những mục đích của giáo dục thì việc phát triển năng lực t duy sáng tạo, năng lực tự giải quyết vấn đề, cho học sinh là những mục đích rất quan trọng Tuy nhiên, các năng lực trên chỉ đợc phát triển nếu liên hệ với một thuật giải, một quy trình nào đó quen thuộc Tính sáng tạo "nằm ngay trong" tính thuật giải Nếu hiểu thuật giải là thực hiện tổ hợp các thao tác (T1 - Tn) theo một trình tự logic xác định để đi đến kết quả (Tn) thì tính sáng tạo thể hiện ở những bớc chuyển tiếp (Ti - Ti+1) và ở việc từ algorit tổng quát để lựa chọn một algorit cụ thể Đây là mối liên hệ biện chứng thể hiện quy luật tính thống nhất trong các mặt đối lập trong tiến trình đi đến kết quả tối u.

1.4.2 Những t tởng chủ đạo để phát triển t duy thuật giải trong dạy học Toán

Phơng hớng chung để phát triển t duy thuật giải là tổ chức, điều khiển học sinh tập luyện các hoạt động t duy thuật giải Muốn vậy, trớc hết giáo viên cần phải thiết kế và xây dựng các bài dạy theo một quy trình có tính chất thuật giải đối với các tình huống điển hình trong dạy học toán Nghĩa là phải xây dựng một hệ thống quy định nghiêm ngặt đợc thể hiện theo một quá trình chặt chẽ và dẫn tới cách giải quyết đúng đắn.

Trong luận án của mình, tác giả Vơng Dơng Minh đã đa ra hệ thống các t tởng chủ đạo về phát triển t duy thuật giải trong môn toán nh sau:

* Rèn luyện cho học sinh các hoạt động t duy thuật giải trong khi và nhằm vào thực hiện những yêu cầu toán học.

* Gợi động cơ và hớng đích cho các hoạt động t duy thuật giải bao gồm:- Gợi động cơ và hớng đích mở đầu các hoạt động t duy thuật giải.

- Gợi động cơ và hớng đích trong khi tiến hành các hoạt động t duy thuật giải.

- Gợi động cơ kết thúc hoạt động t duy thuật giải.

* Truyền thụ cho học sinh những tri thức phơng pháp về t duy thuật giải trong khi tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động t duy thuật giải.

* Phân bậc các hoạt động.

Những t tởng chủ đạo trên đã quán triệt những yêu cầu đầu tiên của việc khai thác hoạt động trong nội dung dạy học toán Thật vậy, các hoạt động t duy thuật giải nhằm vào thực hiện những yêu cầu toán học có nghĩa là các hoạt động này phải tơng thích với nội dung đó Các hoạt động t duy thuật giải xuất hiện trớc hết nh phơng tiện chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng Sau đó, do có vai trò quan trọng trong học tập và đời sống đã trở thành mục đích dạy học Vì vậy, các hoạt động t duy thuật giải mang hai chức năng Chức năng ph-ơng tiện và chức năng mục đích Tiến hành các hoạt động t duy thuật giải trong khi và nhằm vào thực hiện các yêu cầu toán học chính là nhằm phối hợp hai chức năng này.

Những t tởng chủ đạo này còn mang ý nghĩa nền tảng cho việc phát triển t duy thuật giải trong môn toán Trong dạy học toán, không có những hoạt động t duy thuật giải chỉ nhằm một mục đích duy nhất là phát triển t duy thuật giải mà chỉ có những hoạt động t duy thuật giải đợc tíên hành trong khi tiến hành các hoạt động toán học Đồng thời các hoạt động t duy thuật giải phải nhằm vào các yêu cầu toán học Hiệu quả tập luyện các hoạt động t duy thuật giải thể hiện bằng hiệu quả thực hiện những yêu cầu toán học

Trên tinh thần các t tởng chủ đạo đó, luận văn sẽ đa ra một số định hớng nhằm góp phần phát triển t duy thuật giải của học sinh trong quá trình dạy học một số nội dung phơng trình trong chơng trình toán phổ thông.

Luận văn cũng đa ra đợc một số ví dụ dạy học phát triển t duy thuật giải trong khi dạy học một số nội dung phơng trình và nêu lên vấn đề cần phải phát triển t duy thuật giải cho học sinh nh thế nào cũng nh vai trò của việc phát triển t duy thuật giải cho học sinh

Chơng 2

Một số định hớng góp phần phát triển t duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học

Nguyên tắc 1 Dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải phải đáp

ứng đợc mục đích của việc dạy, học toán ở nhà trờng phổ thông.

Mục đích của việc dạy học toán trong nhà trờng phổ thông là: giúp học sinh lĩnh hội và phát triển một hệ thống kiến thức, kỹ năng, thói quen cần thiết cho cuộc sống, cho học tập; Hình thành và phát triển các phẩm chất t duy (t duy logic, t duy thuật giải, t duy trừu tợng ) cần thiết của một con ngời có học vấn trong xã hội hiện đại; Góp phần quan trọng trong việc hình thành thế giới quan khoa học toán học, hiểu đợc nguồn gốc thực tiễn của toán học và vai trò của nó trong quá trình phát triển văn hóa văn minh nhân loại cũng nh những tiến bộ của khoa học kỹ thuật.

Để đạt đợc những mục đích to lớn đó, những năm gần đay, ngành giáo dục đào tạo liên tục đổi mới chơng trình sách giáo khoa, phơng pháp dạy học Do đó, dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải là một trong những phơng pháp dạy học đáp ứng đợc mong muốn đó.

Nguyên tắc 2 Dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải phải dựa

trên định hớng đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay.

Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho ngời học đợc học tập trong hoạt động và bằng hoạt động: tự giác, tích cực, sáng tạo ("hoạt động hóa ngời học") Phù hợp với định hớng đổi mới đó có thể trình bày một số xu hớng dạy học không truyền thống nh: dạy học giải quyết vấn đề, dạy

học dựa vào lý thuyết tình huống, dạy học theo thuyết kiến tạo, dạy học chơng trình hóa, dạy học với công cụ máy tính điện tử, dạy học theo lý thuyết hoạt động

Vì vậy, dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải phải dựa trên định hớng đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay.

Nguyên tắc 3 Dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải phải đảm

bảo sự tôn trọng, kế thừa và phát triển tối u chơng trình sách giáo khoa hiện hành.Chơng trình và sách giáo khoa môn toán đợc xây dựng trên cơ sở kế thừa những kinh nghiệm tiên tiến ở trong và ngoài nớc theo một hệ thống quan điểm nhất quán về phơng diện toán học cũng nh về phơng diện s phạm, đã thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và đợc điều chỉnh nội dung cũng nh chơng trình nhiều lần sao cho phù hợp với thực tiễn giáo dục ở nớc ta mà gần đây là sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và sách giáo khoa phân ban năm 2006.

Dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải của học sinh phải đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa và phát triển một cách tối u chơng trình sách giáo khoa hiện hành.

Nguyên tắc 4 Dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải phải góp

phần đắc lực hình thành nhân cách con ngời ở thời đại mới.

Xã hội ngày càng phát triển đòi hỏi con ngời phải năng động, tự chủ, sáng tạo, kỷ luật, biết tôn trọng pháp luật và các quy tắc của xã hội Do đó, dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải góp phần quan trọng trong việc phát triển nhân cách ngời học Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kỹ năng toán học, dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung nh

phân tích, tổng hợp, trừu tợng hoá, khái quát hoá và những phẩm chất của ngời lao động mới.nh: tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dỡng óc thẩm mỹ cho học sinh.

Nguyên tắc 5 Dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải phải phát

huy tính tính cực nhận thức của học sinh phù hợp với thực tiễn hoàn cảnh, môi trờng giáo dục và thực tiễn học sinh.

Quá trình dạy học chỉ thực sự đạt hiệu quả khi quá trình dạy học bảo đảm sự thống nhất giữa tính vừa sức với yêu cầu phát triển có thể đợc thực hiện dựa trên lý thuyết về vùng phát triển gần nhất của Vgôtxki.

Tính vừa sức để học sinh có thể chiếm lĩnh đợc tri thức, rèn luyện đợc kỹ năng, kỹ xảo nhng mặt khác lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để thúc đẩy sự phát triển của học sinh Hơn nữa, trong quá trình dạy học, những yêu cầu phải hớng vào vùng phát triển gần nhất, tức là phải phù hợp với trình độ mà học sinh đã đạt tới ở thời điểm đó, không thoát ly cách xa trình độ này, nhng họ vẫn còn phải tích cực suy nghĩ, phấn đấu vơn lên thì mới thực hiện đ-ợc nhiệm vụ đặt ra.

Nguyên tắc 6 Dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải phải kết

hợp chặt chẽ rèn luyện cho học sinh tính tổ chức, tính trật tự với tính linh hoạt và sáng tạo.

Để đào tạo những con ngời có đầy đủ các phẩm chất của ngời lao động mới đòi hỏi trong quá trình dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải bên cạnh việc cho học sinh tập luyện tốt các hoạt động t duy thuật giải cần làm cho học sinh biết cách tìm tòi, sáng tạo thông qua việc khai thác ứng dụng của một số nội dung kiến thức hay những bài tập đòi hỏi tính linh hoạt, tính tích cực trong t duy của học sinh.

2.2 Một số định hớng s phạm góp phần phát triển t duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học nội dung phơng trình

Trên cơ sở hệ thống các nguyên tắc dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải đã nêu ở trên và đặc điểm của nội dung phơng trình, chúng tôi đề ra một số định hớng s phạm nhằm góp phần phát triển t duy thuật giải cho học sinh nh sau.

2.2.1 Xây dựng quy trình dạy học phơng trình theo hớng phát triển t duy thuật giải

Theo quan điểm hoạt động trong dạy học đã đợc trình bày ở chơng 1, việc phát triển t duy thuật giải chính là việc rèn luyện cho học sinh thực hiện tốt các hoạt động t duy thuật giải Để làm đợc việc đó, trớc hết việc dạy của giáo viện phải có tính chất thuật giải và đợc tiến hành theo hớng phát triển t duy thuật giải

Quy trình dạy học là một algorit dạy học rất đặc biệt: chủ thể phải thực hiện nghiêm ngặt từng thao tác và sau một số hữu hạn bớc sẽ đạt đợc kết quả mong muốn Song không thể xem quy trình dạy học là một cấu trúc cứng nhắc, nghiêm ngặt nh một thuật toán mà phải tính đến cả thái độ, tình cảm, nhân cách của học sinh, cả những khó khăn, chớng ngại trong quá trình dạy học, mang tính nghệ thuật và sáng tạo rất cao trong quá tình truyền thụ tri thức Sau đây chúng tôi xây dựng hai quy trình dạy học nội dung phơng trình, bất phơng trình theo hớng phát triển t duy thuật giải của học sinh trong hai giai đoạn: chiếm lĩnh tri thức phơng trình và rèn luyện kỹ năng giải phơng trình.

2.2.1.1 Quy trình dạy học chiếm lĩnh tri thức phơng trình

Quy trình gồm 5 bớc nh sau.

Bớc 1 Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức tri thức phơng trình Trong bớc này giáo viên có thể tiến hành bằng 2 cách: Nêu vấn đề hoặc cho học sinh làm một số ví dụ và phản ví dụ để từ đó phát hiện ra vấn đề.

Bớc 2 Tổ chức hớng dẫn học sinh hành động tác động vào đối tợng nhằm phát hiện ra dấu hiệu bản chất, cấu trúc lôgic của kiến thức mới Trong bớc này, giáo viên đa ra các phơng tiện trực quan, ví dụ và bài tập yêu cầu học sinh quan sát, phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hóa tìm ra dấu hiệu bản chất của vấn đề Từ đó khái quát hóa thành khái niệm, định lý, công thức

Bớc 3 Gợi động cơ để học sinh phát biểu lại khái niệm, định lý, công thức nêu ở bớc 2 dới dạng một thuật giải Trong bớc này, giáo viên phải nêu

các câu hỏi thích hợp làm nổi bật các thao tác có trong khái niệm, định lý, công thức

Bớc 4 Tổ chức hớng dẫn học sinh nhận dạng và thể hiện thuật giải vừa nêu vào các tình huống cụ thể Trong bớc này, giáo viên yêu cầu học sinh làm các bài tập đòi hỏi phát triển các thao tác t duy thuật giải (T1, T2, T3, T4)

Bớc 5 Tập luyện các hoạt động t duy thuật giải thông qua các bài toán không theo thuật giải đã biết Trong bớc này, giáo viên có thể đa ra một số bài toán giải đợc bằng 2 cách: theo thuật giải và không theo thuật giải nhng không theo thuật giải thì lời giải gọn hơn Việc làm này có tác dụng rèn luyện phát hiện thuật giải tối u (thứ 5).

Từ quy trình dạy học nêu trên, chúng tôi xây dựng 5 biện pháp s phạm thích hợp sau đây để vận dụng vào quy trình đó theo hớng phát triển t duy thuật giải của học sinh.

Biện pháp s phạm 1

Xây dựng và tận dụng các phơng tiện trực quan thích hợp trong quá trình dạy học chiếm lĩnh tri thức phơng trình Phát hiện các hoạt động t duy thuật giải tơng thích với nội dung và mục đích dạy học.

Biện pháp s phạm 5