1 Lý do chọn đề tài
1,1, Để phục vụ cho sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước
và bắt kịp sự phát triển của xã hội trong điều kiện bùng nổ thông tin, ngành
giáo dục và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học một cách mạnh mẽ
nhằm đào tạo những con người có đầy đủ phẩm chất của người lao động
trong nên sản xuất tự động hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có tính tổ chức, tính trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc
Những định hướng đối mới phương pháp dạy học đã được thể hiện trong các Nghị quyết hội nghị như: Nghị quyết hội nghị lần thứ IV BCH
trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (khóa IV, 1993) nêu rõ: Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thể hiện mục tiêu lớn của đất nước
Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II BCH
TW Đảng cộng sản Việt Nam (khóa VII, 1997) đã để ra:"Phải đối mới
phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt một chiểu, rèn luyện thành
nếp tư đuy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng những phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu”
Điều 24, luật giáo dục (1998) quy định:" Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, , bôi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”
Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện
Trang 2công cụ dạy học Do đó vấn để phát triển phát triển tư duy thuật giải trong
mơn tốn giữ một vị trí quan trọng trong giáo duc tin học Khẳng định này được thể hiện rõ trong mục đích giáo dục tin học: "Làm cho tất cả mọi học sinh tốt nghiệp trung học đêu nắm được những yếu tố cơ bản của tin học với
tư cách là thành tố của văn hóa phổ thông" "Góp phân hình thành ở học sinh
những loại hình tư duy liên hệ mật thiết với việc sử dụng công nghệ thông tin như tư duy thuật giải, tư duy điều khiển, ", "Góp phần hình thành ở học sinh những phẩm chất của người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như: tính kỷ luật, tính kế hoạh hóa, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra, "
1.3 Phát triển tr duy thuật giải là mục đích của việc dạy học toán ở
trường phổ thông vì:
* Tư duy thuật giải tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn luyện các kỹ năng Toán học
* Tư duy thuật giải phát triển sé thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí
tuệ (như: phân tích, tổng hợp, so sánh, trim tượng hóa, khái quát hóa, ) cũng như những phẩm chất trí tuệ (như : tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tao)
* Tư duy thuật giải giúp học sinh hình dung được quá trình tự động hóa diến ra trong những lĩnh vực khác nhau của con người, trong đó có lĩnh vực xử lý thông tin Điều này làm cho học sinh thích nghỉ với xã hội tự động hóa, góp phần làm giảm ngăn cách giữa nhà trường và xã hội
1.4 Phát triển tư đuy thuật tốn trong mơn tốn có ý nghĩa về nhiều
mặt và mơn tốn chứa đựng khả năng to lớn vẻ phát triển tư đuy thuật giải, thế nhưng, tư duy thuật giải chưa được chú ý phát triển đúng mức ở nhà
trường phổ thông Đã có một số công trình nghiên cứu vẻ van dé nay, trong số các công trình đó có thể kể tới luận án phó tiến sỹ của Dương Vương
Trang 3phương trình
Luận văn của thạc sỹ Nguyễn Thị Thanh Bình: "Góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung
lượng giác 11" (2000) đã đề cập đến việc phát triển tư duy thuật giải cho học
sinh trong khi dạy nội dung lượng giác 11
1.5 Nội dung phương trình là nội dung quan trọng và khó ở chương
trình tốn trung học phổ thơng với nhiều biến đổi phức tạp, nhiều dạng toán, nhiều quy trình vận dụng kỹ năng tính toán nhiều bài toán có tiểm năng có thể chuyển về một thuật giải Đó là điểu kiện thuận lợi nhằm phát triển tư duy thuật giải cho học sinh
Với những lý do nêu trên, tôi chọn dé tài "Gop phan phat triển tư duy
thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học một số nội
dung phương trình" làm đề tài nghiên cứn khoa học của mình
2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là dé ra một số biện pháp phát triển tư duy thuật giải trong quá trình dạy học một số nội dung phương trình nhằm
góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở trường phổ thông
3 Giả thuyết khoa học
Nếu trong quá trình dạy học Toán trung học phổ thông nói chung, dạy học nội dung phương trình, bất phương trình nói riêng, giáo viên thực hiện theo một quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn ở trường phổ thơng
4 Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi khoa học sau:
4.1 Tư duy thuật giải là gì và vì sao nó cần được phát triển ở học sinh
Trang 44.3 Có thể xây dựng quy trình dạy học phương trình theo hướng phát triển tư duy thuật giải được không?
4.4 Để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh cần có những định
hướng sư phạm nào?
4.5 Có thể đưa ra thuật giải giải một số dạng phương trình nhằm tập luyện hoạt động tư duy thuật giải cho học sinh được không?
4.6 Kết quá thực nghiệm như thế nào? $ Phương pháp nghiên cứu
5.1 Nghiên cứu lý luận
* Nghiên cứu các văn kiện Đảng và nhà nước, của Bộ giáo dục đào tạo có liên quan đến việc dạy và học Toán ở trường phổ thông
* Các sách báo, tạp chí có liên quan đến nội dung đề tài
* Các công trình nghiên cứu các vấn đẻ có liên quan trực tiếp đến đẻ
tài (các luận văn, luận án, chuyên đề )
5.2 Nghiên cứu thực tiễn
* Dự giờ, quan sát giờ dạy của giáo viên và hoạt động học tập của học sinh trong quá trình dạy học nói chung, dạy học nội dung phương trình nói riêng
* Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua các lớp học thực nghiệm
và đối chứng trên cùng một lớp đối tượng
6, Đóng góp của luận văn
6.1 Luận văn góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm tư duy thuật giải và vai trò vị trí của việc phát triển tư duy thuật giải trong dạy học toán
6.2, Xây dựng được các quy trình đạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh,
Trang 56.5 Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán
trung học phổ thông
7 Cấu trúc luận văn
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận va tài liệu tham khảo gồm có 3
chương
Chương 1 Tư duy thuật giải và vấn đề phát triển tư duy thuật giải cho
học sinh phổ thông
1.1 Cơ sở lý luận
1.2 Khái niệm thuật toán 1.3 Khái niệm tư duy thuật giải
1.4 Vấn đề phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán
Chương 2 Một số định hướng sư phạm góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông khi dạy một số nội dung phương trình
2.1 Các nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải
2.2 Một số định hướng phát triển tư duy thuật giải thông qua dạy học nội dung phương trình
2.3 Hướng dân học sinh xây dựng thuật giải cho một số dạng
Trang 6TƯ DUY THUẬT GIẢI VÀ VẤN ĐỀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUAT GIAI CHO HỌC SINH THÔNG QUA MƠN TỐN
1.1 Cơ sở lý luận
1.11 Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học
Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điểu khiển hoạt
động giao lưu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học Còn học tập là một quá trình xử lý thông tin Quá trình này có các chức năng: đưa thông tin vào, ghỉ nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đưa thông tỉn ra và điều phối Học sinh thực hiện các chức năng này bằng những hoạt động của mình Thông qua hoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tập một cách tự giác, tích cực
Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động
liên hệ với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho
học sinh một số trong những hoạt động đã phát hiện Việc phân tích một hoạt
động thành những hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến
hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức họ
Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là tri thức phương pháp Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình hoạt động khác Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một
mức độ nào đó có thể lại là tiền dé để tập luyện và đạt kết quả cao hơn Do
đó cần phân bậc những hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học Trên cơ sở việc phân tích trên về phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động Luận văn được nghiên cứu trong
khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt động làm nên tảng tâm lý học Nội dung của quan điểm này được thể hiện một cách tóm tất qua những
tư tưởng chủ đạo sau:
* Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động
Trang 7phương tiện và kết quả của hoạt động
* Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình đạy học
1.12 Một số quan điểm khác
Luận văn lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học để nghiên cứu nhưng cũng dựa vào quan điểm của lý thuyết tình huống và lý thuyết
kiến tạo bởi vì các quan điểm dạy học của các lý thuyết này có sự giao thoa với quan điểm của lý thuyết hoạt động Theo lý thuyết nh huống thì học là sự thích ứng (bao gồm đồng hóa và điều tiết) đối với một môi trường sản sinh
ra những mâu thuẫn, những khó khăn, những sự mất cân bằng
Một tình huống thường liên hệ với những quy trình hành động Một yếu tố của tình huống mà sự thay đổi giá trị của nó có thể gây ra sự thay đổi quy trình giải quyết vấn đề của học sinh Do đó trong quá trình dạy học ta cần soạn thảo ra tình huống tương ứng với tri thức cần dạy (nh huống cho tri thức đó một nghĩa đúng) Sau đó ủy thác tình huống này cho học sinh Học sinh tiến hành hoạt động học tập điễn ra nhờ sự tương tác với môi trường
“Theo lý thuyết kiến tạo, học tập là hoạt động thích ứng của người học Do đó đạy học phải là dạy hoạt động, tổ chức các tình huống học tập đòi hỏi sự thích ứng của học sinh, qua đó học sinh kiến tạo được kiến thức, đồng thời
phát triển được trí tuệ và nhân cách của mình
Như vậy, nếu phân tích rõ quan điểm dạy học theo lý thuyết tình huống và lý thuyết kiến tạo sẽ góp phần phát triển phương pháp dạy học phát triển tư duy thuật giải cho học sinh
1.2 Khái niệm thuật toán
Trang 8“Trong tin học, người ta quan niệm bài toán là một việc nào đó ta muốn máy tính thực hiện Những việc như đưa một dòng chữ ra màn hình, giải phương
trình bậc hai, quản lý cán bộ của một cơ quan là những ví dụ vẻ bài toán
Khi dùng máy tính giải toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đưa vào
máy thông tỉn gi (Input) và lấy ra thông tin gì (Output) Do đó để phát biếu
một bài (oán, ta cần phải trình bày rõ Input và Output của bài toán và mối quan hé giita Input va Output
Ví dụ 1: Bài toán tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên đương Input: Hai số nguyên dương M và N
Output: ước chung lớn nhất của M và N
Vi du 2: Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc 2: ax? + bx + c = 0
(az0)
Input: Các số thực a, b, c (azØ}
Output: Tat cd các số thực x thỏa mãn: ax? + bx +¢ =0
Ở đây Output có thể là một hoặc hai số thực hoặc câu trả lời không có số thực nào như vậy
Qua các ví dụ trên, ta thấy các bài toán được cấu tạo bởi hai thành
phần cơ bản:
Tnput: Các thông tín đã có
Output: Các thông tin cẩn tìm từ Input b Khái niệm thuật toán
Việc cho một bài tốn là mơ tả rõ Input cho trước và Output cần tìm Vấn đề là làm thế nào để tìm ra Output
Trang 9sắp xếp theo một trình tự xác định sao cho sau khí thực hiện dãy thao tác ấy, từ Input của bài toán, ta nhận được Qutput cần tìm
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của một dãy số nguyên
+ Xác định bài toán
+ Input: Số nguyên đương N và dãy N số nguyên a,, a;, .4, + Output: Giá trị lớn nhất Max của dãy số
* Ý tưởng: - Khởi tạo giá trị Max = a,
- Lần lượt với ¡ từ 2 đến N, so sánh giá trị số hạng a, với giá trị Max, nếu a, > Max thì Max nhận giá trị mới là a,
* Thuật toán: Thuật toán giải bài toán này có thể được mô tả theo cách liệt kê như sau:
Bước 1: Nhập N va day a,, a), .,a,
Bước 2: Max = a,; i: = 2
Bước 3: Nếu ¡ >N thì đưa ra giá trị Max rồi kết thúc Bước 4: + Bước 4.1 Nếu a, > Max thì Max: = a,
+ Bước 4.2 Nếu i:
Từ định nghĩa ta thấy thuật toán có các tính chất sau:
1+ I rồi quay lại bước 3
* Tính dừng: Thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác
* Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là thuật toán kết thúc hoặc là có đúng một thao tác xác định để được thực hiện tiếp theo
* Tính đúng đắn: sau khi thuật toán kết thúc ta phải nhận được Output
cần tìm
Ví dụ: Với thuật toán tìm Max đã xét:
* Tính dừng: Vì giá trị của ¡ mỗi lần tăng lên một đơn vị nên sau NÑ
Trang 10* Tính xác định: Thứ tự thực hiện các bước của thuật toán được mặc định là tuần tự nên sau bước 1 là bước 2, sau bước 2 là bước 3 Kết quả các bước so sánh trong bước 3 và bước 4 đều xác định duy nhất bước tiếp theo cần thực hiện
* Tính đúng đắn: Vì thuật toán so sánh Max với từng số hạng của dãy số và thực hiện Max: = a, nếu a; > Max nên sau khi so sánh hết N số hạng của day thi Max 1a giá trị lớn nhất
Vi du: Tinh tổng các số nguyên dương lẻ trong khoảng từ 1 đến n
- Xác định bài toán:
+ Input: N là số nguyên dương lẻ
+ Output: Tổng các số nguyên dương lẻ từ 1 đến n,
* Thuật toán tính tổng các số nguyên dương lẻ từ l đến NÑ như sau: Bước 1: Hỏi giá trị của N
Bước 2: §: = 0 Bước 3: ¡ = 1
Bước 4: Nếu ¡ = N+1 thì sang bước 8, ngược lại sang bước 5 Bước 5: Cộng thêm ¡ vào S
Đước 6: Cộng thêm 2 vào ¡ Bước 7: Quay lại bước 4
Bước 8: Tổng cần tìm chính là S
Ta chú ý đến bước 4 Ở đây ta muốn kết thúc thuật toán khi giá trị của ¡ vượt quá N Thay vì viết "nếu ¡ lớn hơn N' thi ta viết điều kiện "i = N+1"
không phải lúc nào cũng đạt được Vì ban đầu ¡ là một số lẻ, sau mỗi bước ¡
lại được tăng thêm 2 đơn vị nên ¡ luôn luôn là số lẻ Nếu N 14 s6 chan thi N + 1 là số lẻ nên sau một số bước nhất định, i sé bing N + 1 Tuy nhiên, nếu N là
số lẻ thi N + 1 là số chấn, do ¡ là số lẻ nên dù có qua bao nhiêu bước đi chăng
nữa, ¡ vẫn khác N + 1 Trong trường hợp đó, thuật toán trên bị quần (hay vi
phạm tính dừng)
Trang 11lời giải của mình sẽ cho kết quả đúng nhưng không phải lúc nào cũng đạt được Mọi học sinh khi làm bài kiểm tra đều muốn bài làm của mình có đáp số đúng, nhưng trên thực tế, trong lớp chỉ có một số học sinh nhất định là có khả năng đưa ra lời giải đúng
1.2.2 Các đặc trưng của thuật toán
1 Tinh don tri
Tinh don tri của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn trị, nghĩa là hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng kết quả
Vi du: Quy trình 4 bước để giải một bài toán Bước 1 Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2 Tìm đường lối giải toán
Bước 3 Thực hiện chương trình giải toán
Bước 4 Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải
Quy trình này không phải là một thuật toán vì tính đơn trị bị vi phạm
Chẳng hạn bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 không được xác định vì người ta có thể hiểu và làm theo nhiều cách khác nhau
Từ tính đơn trị, ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật toán Bất kể cơ cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả chứ không cần phải hiểu ý nghĩa của những thao tác này Tính chất này hết sức quan trọng vì nhờ đó ta có thể giao cho những thiết bị tự động thực hiện thuật giải, làm một số công việc thay thế cho con người
2 Tímh hiệu quả
Tính hiệu quả của thuật toán được đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn như: khối lượng tính tốn, khơng gian và thời gian khi thuật toán được thực hiện Tính hiệu quả của thuật toán là một yếu tố quyết định để đánh giá, chọn
lựa cách giải quyết vấn đề - bài toán trên thực tế Có rất nhiều phương pháp
để đánh giá tính hiệu quả của thuật toán Độ phức tạp của thuật toán là một
Trang 123 Tính tổng quát
“Thuật toán có tính tổng quát là thuật toán phải áp dụng được cho mọi
trường hợp của bài tốn chứ khơng phải chỉ áp dụng được cho một số trường
hợp riêng lẻ nào đó Chẳng hạn thuật toán giải phương trình bậc hai sau đây bằng Delta đảm bảo được tính chất này vì nó luôn luôn giải được với mọi giá trị số thực a, b, c bất kỳ Tuy nhiên, khơng phải thuật tốn nào cũng đảm bảo được tính tổng quát Trong thực tế, có lúc người ta chỉ xây dựng thuật toán cho một dạng đặc trưng của bài tốn mà thơi,
Ví dụ: Thuật toán giải phương trình bậc hai: ax?+ bx + c = 0 (a z 0) 1 Cho biết giá trị ba hệ số a, b, c 2 Nếu a = 0 thì: 2.1 Yêu cầu bài tốn khơng đảm bảo 2.2 Kết thúc thuật toán 3 Nếu a z 0 thì: 3.1 Tính giá trị A = bỶ - 4ac 3.2 Nếu A > 0 thì:
Trang 131.2.3 Các phương pháp biểu diễn thuật toán
Khi chứng minh hoặc giải một bài toán trong toán học, ta thường dùng những ngơn ngữ tốn học như: "ta có", "điều phải chứng rninh","giã thiết”, và sử dụng các phép suy luận toán học như phép kéo theo, phép tương đương
“Thuật toán là một phương pháp thể hiện lời giải một bài toán nên cũng
phải tuân theo một số quy tắc nhất định Để có thể truyền đạt thuật toán cho
người khác hay chuyển thuật toán thành chương trình máy tính, ta phải có
phương pháp biểu diễn thuật toán Có 4 phương pháp biểu diễn thuật tốn
1 Ngơn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ tốn học 2 Dùng lưu đồ - sơ đồ khối
3 Dùng ngôn ngữ phóng trình 4 Dùng ngôn ngữ lập trình
1 Ngôn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ tốn học
Trong cách biểu điễn thuật toán theo ngôn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ tốn học, người ta sử dụng ngôn ngữ thường ngày và ngôn ngữ toán học để liệt kê các bước của thuật toán Các thuật toán ở mục 1 đều được viết dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ tốn học Phương pháp biểu điển này không yêu cầu người viết thuật toán cũng như người đọc thuật toán phải nắm các quy tắc Tuy vậy, cách biểu diễn này thường dài dòng, không thể hiện rõ
cấu trúc thuật tốn, đơi lúc gây hiểu nhầm hoặc khó hiểu cho người đọc Ta
xét thêm ví dụ sau:
Ví dụ 1: Thuật toán xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai: ax?+bx+c=0 (với giả thiết abc z 0)
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c
Bước 2: Kiểm tra điều kiện ac < 0
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 3
Trang 14Chuyển sang bước 14
Bước 4: Tính A = bỶ - 4ac
Bước 5: Kiểm tra điều kiện A > 0
+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 9
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 6
Bước 6: Kiểm tra điều kién ab > 0
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 7 + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 8 Bước 7: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm dương
Chuyển sang bước Í4
Bước 8: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm âm Chuyển sang bước 14
Bước 9: kiếm tra điều kiện A = 0
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 10 + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 13 Bước 10 Kiểm tra điều kiện ab > 0
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 11 + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 12, Bước 12 Kết luận: Phương trình có nghiệm kép dương
Chuyển sang bước 14
Bước 12 Kết luận: phương trình có nghiệm kép âm
Chuyển sang bước 14
Bước 13: Kết luận: phương trình vô nghiệm
Bước 14: Kết thúc
2 Lưu đồ - Sơ đồ khối
Trang 15đồ thường được dùng trong những thuật toán có tính rắc rối, khó theo đối
được quá trình xử lý
Để biểu diễn thuật toán theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thao tác: thao tác lựa chọn và thao tác hành động
* Thao tác lựa chọn
“Thao tác lựa chọn được biểu diễn bằng một hình thoi, bên trong chứa biểu thức điều kiện:
* Thao tác xử lý được biểu diễn bằng một hình chữ nhật, bên trong
chứa nội dung xử lý
Tăng ¡ lên 1 Chọn 1 hộp bất kỳ
* Đường đi
Trong ngôn ngữ lưu đồ, do thể hiện các bước bằng hình vẽ và có thể
đặt các hình vẽ này ở vị trí bất kỳ nên ta phải có phương pháp để hiện trình tự thực hiện các thao tác Bước ] Bước 2 Bước 3
Hai bước kế tiếp nhau được nối bằng một mũi tên chỉ hướng thực hiện
Trang 16<Q <e> Có 2 nghiệm phân biệt * Điểm cuối
Điểm cuối là điểm khởi đâu và kết thúc của thuật toán, được biểu diễn
(Có thể thay chữ bắt đầu bởi Star/Begin) (C6 thé thay chữ kết thúc bởi End) Ngoài ra còn có điểm nối, điểm nối sang trang dùng cho thuật toán có như sau:
Trang 17Ví dụ: Lưu đồ thuật toán giải phương trình bậc hai Hỗi giá trị a, b, c A =bỶ- 4ac D Đ Có 2 nghiệm Có nghiệm kép x, Vô nghiệm phân biệt x,„x, = bva x=-b/2a 2a ta
Lưu đồ mơ tả thuật tốn một cách trực quan nhưng lại rất cổng kênh khi phải mơ tá những thuật tốn phức tạp Một phương pháp khác để biểu
diễn thuật toán khắc phục nhược điểm ấy là ngôn ngữ phỏng trình 3 Ngôn ngữ phỏng trình
Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và sự phân cấp các trường, hợp của thuật toán nhưng lại cổng kểnh Để mơ tả thuật tốn nhỏ ta phải
Trang 18nhánh (lựa chọn có điều kiện) và xử lý mà trong trực tế, các thuật toán còn có các lặp
Biểu dién thuật tốn bằng ngơn ngữ phóng trình là cách biểu diễn sự
vay mượn các cú pháp của một ngôn ngữ lập trinh nao dé (Pascal, Basic, C,
C++ ) để thể hiện thuật tốn Ngơn ngữ phỏng trình đơn giản, gần gũi với
mọi người, dễ học vì nó sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và chưa quá sa đà vào những quy ước chỉ tiết Mặt khác, nó cũng dễ chuyển sang những ngôn ngữ cho máy tính điện tử vì đã sử dụng một cấu trúc và ký hiệu chuẩn hóa
Vi du: Biểu điển thuật toán giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ phỏng trình Begin If Delta > 0 then begin x, = (-b-sqrt(delta))/(2*a) X, = (-b + sqrt (delta))/(2*a) inra: phương trình có 2 nghiệm là x,, x,- End Else If Delta = 0 then
Inra: phương trình có nghiệm kép là X = — 2*q
Else (truéng hgp Delta < 0) Inra: phuong trinh vé nghiém,
End
Trên đây, ta đã chi ra 3 cách để biểu diễn một thuật toán Trong trường
hợp thuật toán viết bằng ngôn ngữ máy tính, ta có một chương trình 4 Ngôn ngữ lập trình
Có nhiều ngôn ngữ lập trình như Pascal, Basic, C, C++, Sau đây là ví
dụ đùng ngôn ngữ lập trình Pascal để biểu diễn thuật toán giải phương trình
Trang 19Ví dụ Tìm nghiệm thực của phương trình bậc hai: ax?+bx+c=0, (az 0) Input: Cac hé sé a, b, c nhập từ bàn phím Outpt: Dua ra man hinh các nghiệm thực hoặc thông báo “Phương trình vơ nghiệm” Thuật tốn: Thuật tốn giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ lập trình Pascal Program Giai-pt bậc hai; Uses Crt; Var a,b,c: real; A, X,, X; : real; Begin Clrser; Write (‘a, b,c: 7); ReadIn (a, b, c) ; A=b*b-4#a#*c; 1Ÿ A < 0 then Writeln (“Phương trình vô nghiệm”) Else Begin x] =(- b— sqrt (A)Q2 * a); x1 =(-b+ sqrt (A))/(2 * a); Witeln ( ‘x, =, x, 58:3, ‘x, =", x): 8:3); End; Readin End
1.2.4 Độ phức tạp của thuật toán
Trong thực tế có nhiều thuật toán, về mặt lý thuyết là kết thúc sau hữu
Trang 20chú ý đến độ phức tạp của các thuật toán Độ phức tạp của thuật toán có thể
đo bằng không gian, tức là dung lượng bộ nhớ của máy tính cần thiết để thực
hiện thuật toán; và bằng thời gian, tức là thời gian máy tính làm việc Trong luận văn này, khi nói đến độ phức tạp của thuật toán ta luôn hiểu là độ phức tạp thời gian Độ phức tạp của thuật toán chính là cơ sở để phân loại bài toán
giải được hay không giải được
1.3 Khái niệm tư duy thuật giải
1.3.1 Khái niệm thuật giải
Trong quá trình nghiên cứu giải quyết các vấn đề - bài toán, người ta đã đưa ra nhận xét sau:
+ Có nhiều bài toán cho đến nay vẫn chưa tìm ra một cách giải theo
kiểu thuật toán và cũng không biết có tồn tại thuật tốn hay khơng
+ Có nhiều bài toán đã có thuật toán để giải nhưng không chấp nhận
được vì thời gian giải theo thuật toán đó quá lớn hoặc các điều kiện cho thuật
toán đó khó đáp ứng
+ Có những bài toán được giải theo những cách giải ví phạm thuật toán nhưng vẫn chấp nhận được
Từ những nhận định trên, người ta thấy rằng cần phải có những đổi
mới cho khái niệm thuật toán Người ta đã mở rộng hai tiêu chuẩn của thuật toán: tính xác định và tính đúng đắn Việc mở rộng tính xác định đối với thuật toán được thể hiện qua các thuật giải đệ quy và ngẫu nhiên Tính đúng của thuật tốn khơng cịn bắt buộc đối với một số cách giải bài toán, nhất là
cách giải gần đúng Trong thực tế, có nhiều trường hợp người ta chấp nhận các cách giải thường cho kết quả tốt (nhưng không phải lúc nào cũng tốt)
nhưng ít phức tạp và hiệu quả Chẳng hạn, nếu giải một bài toán bằng thuật toán tối ưu đòi hỏi máy tính thực hiện trong vòng nhiều năm thì chúng ta có
thể chấp nhận một giải pháp gần tối ưu mà chỉ cần máy tính chạy trong vài
Trang 21Các cách giải chấp nhận được nhưng khơng hồn tồn đáp ứng đây đủ
các tiêu chuẩn của thuật toán thường được gọi là các thuột giải Khái niệm mở rộng này của thuật toán đã mở rộng cho chúng ta trong việc tìm kiếm
phương pháp để giải quyết các bài tốn được đặt ra Ngồi việc mở rộng tính
đúng của thuật toán, thuật giải có tất cả các tính chất khác của thuật toán Nó cũng có các hình thức biểu diễn phong phú như thuật toán Tuy nhiên, đối với
một cơ cấu nhất định chỉ tương ứng với một hình thức biểu diễn nhất định Đặc biệt trong dạy học cần chú ý lựa chọn phương tiện biểu diễn phù hợp với
trình độ và kiến thức hiện có của học sinh Sự hiểu biết về thuật giải, các tính chất và phương tiện biểu diễn nó phản ánh trình độ văn hóa thuật giải Ngôn
ngữ lập trình là bước phát triển cao của văn hóa thuật giải
1.3.2 Khái niệm tư duy thuật giải
Tư duy toán học là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học toán học hay thông qua hình thức áp
dụng toán học vào các khoa học khác Như vậy, tư duy toán học là tư duy
biện chứng
TH duy thuật giải là một loại hình thức tư duy toán học Nó là phương thức tự duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau:
T,: Thực hiện những thao tác theo một trình nự xác định phù hợp với một thuật giải
T;: Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo
những trình tự xác định
T;: Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ
thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng
T: Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động
T;: Phát hiện thuật giải tối ưa để giải quyết bài toán
Trang 22Khái niệm tư duy thuật giải được xác định như trên là hoàn toàn phù hợp với những kết quả nghiên cứu vẻ hình thành văn hóa thuật giải Trong [38] tác giả Monakhôp đã nêu lên những thành phần của văn hóa thuật giải
bao gồm:
- Hiểu bản chất của thuật giải và những tính chất của nó; hiểu bản chất ngôn ngữ là phương tiện biểu diễn thuật giải
- Nắm vững các phương pháp và các phương tiện biểu diễn thuật giải
- Hiểu tính chất thuật giải của các phương pháp toán học và các ứng dụng của chúng; nắm vững các thuật giải của giáo trình toán phổ thông
- Hiểu những cơ sở sơ cấp về lập trình cho máy tính điện tử
Như vậy, phát triển tư duy thuật giải là một điều kiện cần thiết góp
phần hình thành và phát triển văn hóa thuật giải cho học sinh
Từ khái niệm về tư duy thuật giải ta thấy rằng để phát triển tư duy
thuật giải cho học sinh trong dạy học toán, giáo viên phải tổ chức, điều khiển các hoạt động tư duy thuật giải Thông qua hoạt động đó giúp học sinh nắm
vững, củng cố các quy tắc đồng thời phát triển tư duy thuật giải cho học sinh Sau đây là một số ví dụ về phát triển tư duy thuật giải trong mơn tốn khi dạy nội dung phương trình ở trường phổ thông
1.3.3 Một số ví dụ dạy học phát triển tư duy thuật giải khi dạy nội tụng phương (rình
Ví dụ 1
Ở chương trình toán lớp 9, ngay sau khi đạy xong quy tắc giải phương
trình bậc hai: ax? +bx +c = 0, (a + 0), giáo viên có thể cho học sinh nêu các
Trang 23b + Nếu A = 0 thì phương trình có nghiệm kép x,= x; = — 2 -b-VA xe 2a + Nếu A >0 thì phương trình có 2 nghiệm -b+/A x, =——— 2a Bước 4; Trả lời
Hoạt động này nhằm mục đích tập luyện các hoạt động (T;) và (T„) của tư duy thuật giải cho học sinh
Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau
Bài tập: áp dụng quy tắc giải phương trình bậc hai, hãy giải các phương trình sau: a.2x?- 3x + 5 =0 b - 4x?+ 20x -25 =0 3.2 =x? +4x-6=0 Cc 2
Mục đích của bài tập này là yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động (T,) Do đó cần hướng dẫn các em thực hiện đúng theo trình tự các bước đã nêu
trong quy tắc Có thể dùng một phần bảng trình bày quy tắc giải phương trình, phần bảng còn lại trình bày lời giải phù hợp với từng quy tắc Tiến
hành nhất quán như vậy trong một thời gian nhất định sẽ hình thành ở học
sinh quy tắc giải phương trình bậc hai, đồng thời phát triển ở các em năng lực thực hiện thuật giải
Ví dụ 2
Khi đạy luyện tập giải phương trình bạc nhất đối với sinx và cosx ta có
thể đưa ra cho học sinh thêm bài tập sau:
Bài tập 1
Trang 24Đứng trước bài toán này học sinh phải biết các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc, từ đó áp dụng các công thức này để biến đổi Ta có thể hướng dẫn học sinh giải bài toán này theo các bước sau:
Bước 1 Tính sin2x, cosˆx theo cos2x " 1-cos2x 2 l1+cos2x sin°x=————— „008 2x=—— 2 2 và sinxcosx theo sin2x 1 sinxcosx= 3 sin 2x
Bước 2 Biến đổi đưa phương trình về phương trình bậc nhất đối với sin 2x va cos2x dạng: Àsin2x + Bcos2x = C
Bước 3 Giải phương trình: Asin2x + Bcos2x = C
Bài tập 2 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: sinx +2cosx+1
sinx+cosx+2
Với bài toán này, học sinh phải nắm được sơ lược khái niệm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Biết cách tìm điều kiện để hàm số có nghĩa
và cách tìm điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx có nghiệm Ta có thể hướng dẫn học sinh giải bài toán trên theo các bước sau:
Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2 Thực hiện phép quy đồng và biến đối đưa biểu thức về dạng
asinx + beosx = c
Bước 3 Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: a?+ bˆ > cŸ
Bước 4 Đưa ra bất đẳng thức: rm < y < Xí Từ đó kết luận Maxy, Miny Một điều cân lưu ý là khi phân tích bài toán để học sinh định hướng
phương pháp giải, chúng ta cần cố gắng phân tích làm nổi lên những tri thức
phương pháp tiến hành hoạt động này Sự phân tích trên đây có ý làm nổi bật tri thức phương pháp: quy lạ về quen
Vi du 3
Trang 25Để hình thành quy tắc giải phương trình: ax + b = 0, giáo viên có thể
yêu cầu học sinh giải bài tập sau: Bai tap 1: a Giải các phương trình sau: 5x-2=0; -2x+3=0; 0x+3=0, 0x-0=0 b Xây dựng và phát biểu quy tắc giải phương trình tổng quát ax + b = 0 với a, b bất kỳ
Hướng dẫn: Lọai bài toán này nhằm mục đích chính là cho học sinh
tập luyện hoạt động (T;) Mục đích này thể hiện ở câu (b), nhưng câu (a) là bước chuẩn bị, là cơ sở để giải câu (b)
Học sinh sẽ không khó khăn lắm khi giải câu (a), nhưng sẽ gặp lúng
túng khi giải câu (b) Khi đó tùy thuộc diễn biến tình hình học sinh mà đặt ra những câu hỏi gợi ý như sau:
+ Về nghiệm của phương trình: ax + b = 0 có thể chia thành mấy trường hợp đó là những trường hợp nào?
(Có 3 trường hợp: có 1 nghiệm duy nhất, vô số nghiệm và vô nghiệm) + Điều kiện nào quyết định đến số nghiệm của phương trình trong từng trường hợp? (C6 nghiệm duy nhất khi a z 0, vô số nghiệm khi a = 0 và b = 0, vô nghiệm khi a = 0, b z 0) + Hãy nêu các bước giải phương trình: ax + b = 0 một cách tỉ mỉ? Bước 1: xac định a, b b Bước 2 Nếu a z 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = — a
Nếu a =0, b z0 thì phương trình vô nghiệm,
Nếu a= 0, b= 0 thì phương trình có vô số nghiệm
Trang 26Trường hợp riêng này cần lựa chọn sao cho học sinh dé mac sai lầm khi khái
quát hóa từ đó Lúc học sinh mắc sai lầm, giáo viên giúp học sinh tự sửa chữa sai lâm là một tình huống sư phạm tốt để lĩnh hội và phát triển tri thức Theo phương án đó thì có thể hình thành quy tắc giải phương trình ax + b = 0 thông qua bài tập sau: Bài tập 2: a Giải các phương trình sau: 4x -3=0; -2x-3=0; 6x+0=0 b Xây dựng và phát biểu quy tắc giải phương trình tổng quát: ax + b = 0 (a, b bat kỳ)
Vi âu 4 (Luyện tập hoạt động T,)
Để luyện khả năng mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động, có thể cho học sinh giải những bài tập có dạng: "Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: |x”—3x+2|=zw" Ngoài mục đích luyện tập hoạt động (T¿), bài toán còn tập luyện hoạt động trực quan cho học sinh Do đó, học
sinh phải biết dùng ngôn ngữ của mình một cách hợp lý để mô tả quá trình
biện luận số nghiệm của phương trình trên theo m, Quá trình này có thể mô
tả như sau:
Trang 27Khi đó đồ thị (C) là hợp của (C,) và (Cạ,)
+ Bước 3 Dựa vào đồ thị (C) biện luận số giao điểm của đường thẳng
(đ) với đồ thị (C)
* Nếu m =0 = (d) cắt (C tại 2 điểm phân biệt = phương trình có 2
nghiệm phân biệt
* Nếu 0 <m < 1⁄4 => (d) cất (C) tại 4 điểm = phương trình có 4
nghiệm phân biệt
* Nếu m =1/4 = (d) cất (C) tại 3 điểm = phương trình có 3 nghiệm * Nếu m >1/4 = (d) cất (C) tại 2 điểm = phương trình có 2 nghiệm
Ví đụ 5:
Khi dạy nội dung phương trình — bất phương trình quy vẻ bậc hai, đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể yêu cầu học sinh làm bài tập sau:
Bài tập: Giải các phương trình sau:
a 2x + 3x)- 16x? + 3x +2=0; b x*-2x7+x?-2x +1 =0;
o.x'+x?- 4x7+x4+1=0
Đứng trước bài tập này, học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn bởi vì học sinh mới chỉ gặp phương trình bậc 4 trùng phương Giáo viên có thể hướng
dẫn học sinh giải bài tập bằng các câu hỏi định hướng sau đối với phương trình (a)
+ Xét xem x = 0 có là nghiệm của phương trình không?
+ Hãy chia cả hai vế của phương trình cho x? # 0 Nêu đặc điểm của
Trang 28+ Để giải phương trình ta làm thế nào?
SE c2 Tàn 1 2,1 2
Ta mong đợi học sinh trả lời Đặt (=x+.<# tort -2
Cuối cùng giáo viên cho học sinh tiếp tục giải phương trình và các
phương trình cồn lại khi học sinh giải xong giáo viên có thế nêu câu hỏi
nhằm giúp học sinh giải bài toán tổng quát như sau:
+ Hãy nêu đạc điểm các hệ số trong mỗi phương trình?
Ta mong hoc sinh trả lời: phương trình (a) các hệ số đối xứng qua hệ số (-16), phương trình (b) các hệ số đối xứng qua hệ số (1), phương trình (c) các hệ số đối xứng qua hệ số (- 4)
+ Từ đặc điểm đó hãy nêu phương trình dạng tổng quát?
'Ta mong đợi học sinh trả lời:
Phương trình dạng tổng quát: ax°+ bx+ cx?+ bx + a = 0, với a # 0 + Từ cách giải các phương trình (a), (b), (c) hãy nêu thuật giải giải
phương trình trên?
Ta mong doi hoc sinh tra Idi:
Bước 1: Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm
Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho xŸ # 0 và biến đổi phương trình về dạng ax? vovver ee Sa0edx + )rafzet) eno x x x x 1 1 Bước 3: Đặt f =x+—=>x”+-; i x x =f? =2 Bước 4: Giai phuong trinh: at? + bí - 2a + c = 0, được nghiệm tạ 1 Bước 5: Giải phương trình: * + XÃ t Bước 6: Trả lời
Trang 29Bài tập 2 Giải các phương trình sau:
a x'+ 3x)- 6x?- 3x+ 1=0; b 2xt+ xÍ+ L1x?-x+2=0 Bài tập 3 Hãy nêu bài toán tổng quát và thuật giải bài toán đó Vi du 6 (Tap luyén hoat dong T;)
Giải phương trình: sin2x + 2tanx = 3
Hướng dẫn: Bài toán này yêu cầu học sinh tập luyện hoạt động (T;) Trước khi các em giải, cần hướng dẫn cho các em thấy trước cách giải chưa hợp lý, đó là: rs Điêu kiện: x# 2T kn sinx =3 phương trình © sin2x +2 €C0SX © sin 2xcosx+2sinx =3cosx L, ° 5 (sin3 + sin.x)+ 2sin x -3cosx=0 © sin3x + 5sinx6cosx =0
đâ3sinx 4sin x + 5sin x 6cosx =0 đâ2sinè x 4sinx— 3cosx = 0
© sinx(2sin? x- 1)- 3sin x - cosx) =0 © sinx.cos2x + 3(sin x — cos x) =0
© (sinx— cosx)sin? x+sin xcosx— 3)= 0 -© (sin x—cosxXsin 2x —cos2x— 5)= 0
Sỉnx —eosx = 0 Sin2x—cos2x + 5 =0
e sinx — cosx =0 > Asin s-4) = 0.09 2 Zeke
© sin2x —cos2x + 5=0 = Phương trình vô nghiệm a
Đối chiếu với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x = 4 +kz Cần phải m phương pháp khác hợp lý hơn, với số lượng phép biến đổi
Trang 30Phương trình ©> 2(tanx — 1) — ( I — sin2x) =0
&> 2( sinx — cosx) — cox(sinx — cosx}) = 0 © Ginx — cosx)(sinxcosx — cos”x -2 ) = Ú
© Ginx — cosx)(sin2x — cos2x — 5) = 0 sinx—cosx =0
ee s =0
Nếu học sinh gặp khó khăn thì giáo viên có thể gợi ý giúp học sinh thực hiện phép biến đổi thông qua một số câu hỏi định hướng như:
? Các hệ số của phương trình có đặc điểm gì? (1 + 2 = 3)
? Thử tách 3 thành 2 và 1 rồi chuyển vế và ghép tương ứng với 2tanx va sin2x ? (2tanx - 2 + sin2x - 1=0)
# Biểu thức (1 - sin2x) có thể viết dưới đạng bình phương được không? (1- sin2x = sin’x + cos’x — 2sinxcosx = (sinx- cosx)’)
Những hoạt động trên đây có tác dụng gợi động cơ và hình thành trí thức phương pháp cho hoạt động (T;) trong trường hợp này
Sáu ví dụ trên đã minh họa cho việc tập luyện 5 hoạt động của tư duy
thuật giải Trong thực tế, việc tập luyện các hoạt động này sẽ không được tách ra một cách rành mạch, khi tập luyện hoạt động này có sự tham gia của các hoạt động khác Nói tới tập luyện hoạt động tư duy thuật giải nào đó trong khi giải một bài toán là để nhấn mạnh đến hoạt động đó mà thôi
1.4, Vấn để phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán
1.4.1 Vai trò của việc phát triển tư duy thuột giải trong dạy học
Toán ở trường phổ thông
Sau khi nghiên cứu khái niệm tư duy thuật giải và một số ví dụ về phát
Trang 31động khác của toán học Điều này cũng đã được tác giả Vương Dương Minh nói đến trong luận án của mình
* Tiến hành các hoạt động tư duy thuật giải là một phương tiện, một điều kiện để chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng
“Thật vậy, để nắm vững khái niệm toán học, học sinh phải tiến hành các
hoạt động nhận dạng và thể hiện một khái niệm Trong nhiều trường hợp, những hoạt động này diễn ra đưới dạng những hoạt động tư duy thuật giải
Nói đến kỹ năng là phải nói đến hoạt động, kỹ năng được hình thành và phát triển nhờ các hoạt động tư duy thuật giải
* Các hoạt động tư duy thuật giải đòi hỏi và thúc đẩy các hoạt động trí tuệ - Các thao tác tư duy như phân tích và tổng hợp, so sánh, khái quát
hóa, trừu tượng hóa và cụ thể hóa được phát triển khi tiến hành các hoạt động
tư duy thuật giải
- Các phẩm chất trí tuệ như tính linh hoạt, tính độc lập cũng được phát triển trong các hoạt động tư duy thuật giải
- Khả năng tư duy logic và sử dụng ngôn ngữ chính xác cũng được rèn luyện qua các hoạt động tư duy thuật giải
* Phát triển tư duy thuật giải góp phần giáo dục những đức tính tốt đẹp
của người lao động mới và giáo dục thế giới quan duy vật biện chứng
Thật vậy:
~ Hoạt động (T,) cho khả năng hình thành, củng cố những đức tính tốt
như tính kỷ luật, ngăn nắp, cẩn thận, thói quen tự kiểm tra
- Hoạt động (T,) rèn luyện khả năng diễn đạt chính xác Nó cũng có thé cho ta những mình hoạ về mối quan hệ biện chứng giữa nội dung và hình
thức Một nội dung có thể tồn tại dưới nhiều hình thức Nội dung quyết định
hình thức và hình thức tác động trở lại nội dung
- Hoạt động (T;) góp phần hình thành ý thức tìm phương án tối ưu khi giải quyết công việc
- Các hoạt động (T,- T;) dẫn tới việc hiểu đúng bản chất của quá trình tự động hóa và vai trò quyết định của con người trong quá trình đó
- Một thuật giải có cấu trúc đẹp, trình bày sáng sủa, chính xác có thể
Trang 32* Phát triển tư duy thuật giải gắn liền với phát triển tư duy sáng tạo
Trong số những mục đích của giáo dục thì việc phát triển năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tự giải quyết vấn đề, cho học sinh là những mục đích rất quan trọng Tuy nhiên, các năng lực trên chỉ được phát triển nếu liên hệ với một thuật giải, một quy trình nào đó quen thuộc Tính sáng tạo "nằm
ngay trong" tính thuật giải Nếu hiểu thuật giải là thực hiện tổ hợp các thao
tác (T, - T,) theo một trình tự logic xác định để đi đến kết quả (T,) thì tính
sáng tạo thể hiện ở những bước chuyển tiếp (T, - T;,,) va ở việc từ algorit tổng
quát để lựa chọn một algorit cụ thể Đây là mối liên hệ biện chứng thể hiện quy luật tính thống nhất trong các mặt đối lập trong tiến trình đi đến kết quả
tối ưn
1.4.2 Những tư tưởng chủ dạo để phái triển tư duy thuật giải trong
day học Toán
Phương hướng chung để phát triển tư duy thuật giải là tổ chức, điều
khiển học sinh tập luyện các hoạt động tư duy thuật giải Muốn vậy, trước hết giáo viên cần phải thiết kế và xây dựng các bài dạy theo một quy trình có
tính chất thuật giải đối với các tình huống điển hình trong dạy học toán Nghĩa là phải xây dựng một hệ thống quy định nghiêm ngặt được thể hiện
theo một quá trình chặt chế và dẫn tới cách giải quyết đúng đắn
“Trong luận án của mình, tác giả Vương Dương Minh đã đưa ra hệ thống các tư tưởng chủ đạo về phát triển tư duy thuật giải trong mơn tốn như sau:
* Rèn luyện cho học sinh các hoạt động tư duy thuật giải trong khi và
nhằm vào thực hiện những yêu cầu toán học
* Gợi động cơ và hướng đích cho các hoạt động tư duy thuật giải bao gồm:
- Gợi động cơ và hướng đích mở đầu các hoạt động tư duy thuật giải
- Gợi động cơ và hướng đích trong khi tiến hành các hoạt động tư duy
thuật giải
- Gợi động cơ kết thúc hoạt động tư duy thuật giải
* Truyền thụ cho học sinh những trị thức phương pháp về tư duy thuật giải trong khi tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động tư duy thuật giải
Trang 33Những tư tưởng chủ đạo trên đã quán triệt những yêu cầu đầu tiên của
việc khai thác hoạt động trong nội dung dạy học toán Thật vậy, các hoạt động tư duy thuật giải nhằm vào thực hiện những yêu cầu toán học có nghĩa là các hoạt động này phải tương thích với nội đung đó Các hoạt động tư duy thuật giải xuất hiện trước hết như phương tiện chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng Sau đó, do có vai trồ quan trọng trong học tập và đời sống đã trở thành mục đích dạy học Vì vậy, các hoạt động tư duy thuật giải mang hai chức năng Chức năng phương tiện và chức năng mục đích Tiến hành các
hoạt động tư duy thuật giải trong khi và nhằm vào thực hiện các yêu cầu toán
học chính là nhằm phối hợp hai chức năng này
Những tư tưởng chú đạo này còn mang ý nghĩa nền tảng cho việc phát triển tư duy thuật giải trong mơn tốn Trong dạy học tốn, khơng có những
hoạt động tư duy thuật giải chỉ nhằm một mục đích duy nhất là phát triển tư
duy thuật giải mà chỉ có những hoạt động tư duy thuật giải được tíên hành
trong khi tiến hành các hoạt động toán học Đồng thời các hoạt động tư duy thuật giải phải nhằm vào các yêu cầu toán học Hiệu quả tập luyện các hoạt động tư duy thuật giải thể hiện bằng hiệu quả thực hiện những yêu cầu toán học
“Trên tình thần các tư tưởng chủ đạo đó, luận văn sẽ đưa ra một số định hướng nhằm góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong quá trình dạy học một số nội dung phương trình trong chương trình tốn phố thơng
1.5 Kết luận chương 1
Luận văn đã nêu được quan điểm chủ đạo để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh đó là quan điểm hoạt động
Luận văn đã đưa ra được khái niệm thuật toán và các đặc trưng của
thuật toán Dựa trên khái niệm thuật toán và quan điểm dạy học theo lý thuyết hoạt động, luận văn đã đưa ra khái niệm tư duy thuật giải
Luận văn cũng đưa ra được một số ví dụ đạy học phát triển tư duy
Trang 34Chương 2
MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC
MỘT SỐ NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH
2.1 Một số nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật
giải cho học sinh
Để dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải đảm bảo chất lượng
và đạt hiệu quả cần phải dựa trên một số nguyên tắc sau:
Nguyên tắc l Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải
đáp ứng được mục đích của việc dạy, học toán ở nhà trường phổ thông Mục đích của việc dạy học toán trong nhà trường phổ thông là: giúp
học sinh lĩnh hội và phát triển một hệ thống kiến thức, kỹ năng, thói quen cần thiết cho cuộc sống, cho học tập; Hình thành và phát triển các phẩm chất tư duy (tư duy logic, tư duy thuật giải, tư duy trừu tượng ) cần thiết của một
con người có học vấn trong xã hội hiện đại; Góp phần quan trọng trong việc hình thành thế giới quan khoa học toán học, hiểu được nguồn gốc thực tiến của toán học và vai trò của nó trong quá trình phát triển văn hóa văn minh nhân loại cũng như những tiến bộ của khoa học kỹ thuật
Để đạt được những mục đích to lớn đó, những năm gần đay, ngành giáo dục đào tạo liên tục đổi mới chương trình sách giáo khoa, phương pháp day hoc Do dé, day học theo hướng phát triển tư duy thuật giải là một trong những phương pháp dạy học đáp ứng được mong muốn đó
Nguyên tắc 2, Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải dựa trên định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho
Trang 35quyết vấn đẻ, dạy học dựa vào lý thuyết tình huống, dạy học theo thuyết kiến tạo, đạy học chương trình hóa, đạy học với công cụ máy tính điện tử, dạy học theo lý thuyết hoạt động
Vì vậy, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải dựa trên
định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay
Nguyên tắc 3 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa và phát triển tối ưu chương trình sách giáo khoa hiện hành
Chương trình và sách giáo khoa mơn tốn được xây dựng trên cơ sở kế thừa những kinh nghiệm (tiên tiến ở trong và ngoài nước theo một hệ thống quan điểm nhất quán về phương điện toán học cũng như về phương diện sư
phạm, đã thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và được điều chỉnh nội dung cũng như chương trình nhiều lần sao cho phù hợp
với thực tiễn giáo dục ở nước ta mà gần dây là sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và sách giáo khoa phân ban năm 2006
Dạy học theo hướng phát triển tư đuy thuật giải của học sinh phải đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa và phát triển một cách tối ru chương trình sách giáo
khoa hiện hành Cụ thể là:
+ Khai thác triệt để sách giáo khoa để tìm những phần có thể thông qua đó bồi dưỡng các hoạt động tư duy thuật giải (T\ - T;)
+ Khai thác các dạng toán trong sách giáo khoa để xây dựng các thuật
giải cho các dạng toán tổng quát
Nguyên tác 4 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải
góp phần đắc lực hình thành nhân cách con người ở thời đại mới
Trang 36kiến tạo những trì thức và rèn luyện kỹ năng toán học, dạy học theo hướng
phát triển tư đuy thuật giải còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí
tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá và những
phẩm chất của người lao động mới.như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật,
tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ cho học sinh
Nguyên tắc 5, Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải
phát huy tính tính cực nhận thức của học sinh phù hợp với thực tiễn hoàn cảnh, môi trường giáo dục và thực tiễn học sinh
Quá trình dạy học chỉ thực sự đạt hiệu quả khi quá trình dạy học bảo
đảm sự thống nhất giữa tính vừa sức với yêu cầu phát triển có thể được thực
hiện dựa trên lý thuyết về vùng phát triển gần nhất của Vưgôtxki
Tính vừa sức để học sinh có thể chiếm lĩnh được tri thức, rèn luyện
được kỹ năng, kỹ xảo nhưng mặt khác lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu
cầu để thúc đẩy sự phát triển của học sinh Hơn nữa, trong quá trình dạy học, những yêu cầu phải hướng vào vùng phát triển gần nhất, tức là phải phù hợp
với trình độ mà học sinh đã đạt tới ở thời điểm đó, không thoát ly cách xa trình độ này, nhưng họ vẫn còn phải tích cực suy nghĩ, phấn đấu vươn lên thì mới thực hiện được nhiệm vụ đặt ra
Nguyên tắc 6 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải kết hợp chặt chẽ rèn luyện cho học sinh tính tổ chức, tính trật tự với tính linh hoạt và sáng tạo
Để đào tạo những con người có đầy đủ các phẩm chất của người lao động mới đồi hỏi trong quá trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải bên cạnh việc cho học sinh tập luyện tốt các hoạt động tư duy thuật giải cần làm cho học sinh biết cách tìm tòi, sáng tạo thông qua việc khai thác ứng dụng của một số nội dung kiến thức hay những bài tập đòi hôi tính lĩnh hoạt, tính tích cực trong tư duy của học sinh
2.2 Một số định hướng sư phạm góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương trình
Trên cơ sở hệ thống các nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư
Trang 37tôi để ra một số định hướng sư phạm nhằm góp phần phát triển tư duy thuật
giải cho học sinh như sau
2.2.1 Xây dựng quy trình dạy học phương trùnh theo hướng phát
triển tư duy thuật giải
Theo quan điểm hoạt động trong dạy học đã được trình bày ở chương 1, việc phát triển tư duy thuật giải chính là việc rèn luyện cho học sinh thực hiện tốt các hoạt động tư duy thuật giải Để làm được việc đó, trước hết việc dạy của giáo viện phải có tính chất thuật giải và được tiến hành theo hướng phát triển tư duy thuật giải
Quy trình dạy học là một algorit dạy học rất đặc biệt: chủ thể phải thực hiện nghiêm ngặt từng thao tác và sau một số hữu hạn bước sẽ đạt được kết quả mong muốn Song không thể xem quy trình dạy học là một cấu trúc cứng nhắc, nghiêm ngặt như một thuật toán mà phải tính đến cả thái độ, tình cảm, nhân cách của học sinh, cả những khó khăn, chướng ngại trong quá trình đạy học, mang tính nghệ thuật và sáng tạo rất cao trong quá tình truyền thụ tri thức Sau đây chúng tôi xây dựng hai quy trình dạy học nội dung phương trình, bất phương trình theo hướng phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong hai giai đoạn: chiếm lĩnh tri thức phương trình và rèn luyện kỹ năng
giải phương trình
2.2.1.1 Quy trình dạy học chiếm lĩnh trí thức phương trình Quy trình gồm 5 bước như sau
Bước 1 Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức tri thức phương trình Trong
bước này giáo viên có thể tiến hành bằng 2 cách: Nêu vấn đề hoặc cho học
sinh làm một số ví dụ và phản ví dụ để từ đó phát hiện ra vấn đề
Bước 2 Tổ chức hướng dẫn học sinh hành động tác động vào đối tượng
nhằm phát hiện ra dấu hiệu bản chất, cấu trúc lôgic của kiến thức mới Trong
Trang 38cầu học sinh quan sát, phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa tìm ra đấu hiệu bản chất của vấn đẻ, Từ đó khái quát hóa thành khái niệm, định lý, công thức
Bước 3 Gợi động cơ để học sinh phát biểu lại khái niệm, định lý, công thức nêu ở bước 2 dưới dạng một thuật giải Trong bước này, giáo viên phải nêu các câu hỏi thích hợp làm nổi bật các thao tác có trong khái niệm, định lý, công thức
Bước 4 Tổ chức hướng dẫn học sinh nhận dạng và thể hiện thuật giải vừa nêu vào các tình huống cụ thể Trong bước này, giáo viên yêu cầu học sinh làm các bài tập đồi hỏi phát triển các thao tác tư duy thuật giải (T), Tạ,
Ts, Ty)
Bước 5 Tập luyện các hoạt động tư duy thuật giải thông qua các bài tốn khơng theo thuật giải đã biết Trong bước này, giáo viên có thể đưa ra một số bài toán giải được bằng 2 cách: theo thuật giải và không theo thuật giải nhưng không theo thuật giải thì lời giải gọn hơn Việc làm này có tác
dụng rèn luyện phát hiện thuật giải tối ưu (thứ 5)
Từ quy trình dạy học nêu trên, chúng tôi xây dựng 5 biện pháp sư
phạm thích hợp sau đây để vận dụng vào quy trình đó theo hướng phát triển tư duy thuật giải của học sinh
Biện pháp sư phạm 1
Xây dựng và tận dụng các phương tiện trực quan thích hợp trong quá trình dạy học chiếm lĩnh tri thức phương trình Phái hiện các hoạt động tư duy thuật giải tương thích với nội dung và mục đích dạy học
Biện pháp sư phạm 2
Xây dựng, sắp xếp, bổ sung và khai thác các ví du, phan ví dụ theo
hướng thuật toán hóa trong quá trình đạy học chiếm lĩnh tri thức phương trình Biện pháp sư phạm 3
Trang 39Biện pháp sư phạm 4
Xây dựng, sắp xếp và sử dụng một cách thích hợp các bài tập ở mức độ đơn giản để học sinh vận dụng thành thạo các thao tác có trong thuật giải Xác định các trì thức phương pháp và cách truyền thụ chúng khi tập luyện các hoạt động tư duy thuật giải
Biện pháp sư phạm 5
Xây dựng và sử dụng các bài tập có nhiều cách giải, các bài tập và tận
dụng khai thác các tình huống dễ mắc sai lầm để học sinh tự kiểm tra, tự phát hiện, khắc phục các khó khăn, chướng ngại, sửa chữa các sai lầm thường gặp
và đưa ra các thuật giải tối ưu
Chú ý: để thực hiện quy trình đạy học theo hướng phát triển tư duy
thuật giait đã nêu trong quá trình đạy học chiếm lĩnh tri thức phương trình có thể sử dụng 5 biện pháp sư phạm trên với những lưu ý sau:
a Lựa chọn biện pháp sư phạm thích hợp, phù hợp với tri thức phương trình cần truyền thụ khi thực hiện quy trình dạy học chiếm lĩnh trị thức phương trình
b Sử dụng linh hoạt hệ thống các biện pháp sư phạm thích hợp khi
thực hiện quy trình dạy học chiếm lĩnh tri thức
c, Kết hợp nhuần nhuyễn theo thứ tự từ thấp lên cao các biện pháp sư
phạm thích hợp để học sinh tự chiếm lĩnh tri thức lượng giác dưới sự tổ chức
hướng dẫn của giáo viên, qua đó khuyến khích các hoạt động tư duy thuật
giải phát triển
Ví dụ 1 Dạy bài “Phương trình lượng giác cơ bản” (tiết 1)
L Mục tiêu bài học
1 Kiến thức: Học sinh biết được phương trình lượng giác cơ bản: sinx
=m, cosx = m, tanx = m, cotx = m va cach giai
2 Kỹ năng: Giải thành thạo phương trình lượng giác cơ bản
1I Tổ chức giờ đạy
Sau khi nêu một số phương trình lượng giác cơ bản Để gợi nhu cầu
Trang 40? Hãy nêu các bước để xác định giá trị lượng giác của các cung (góc) lượng giác có số đo œ?
Chẳng hạn đối với sinœ, học sinh trả lời như sau:
Bước 1 Biểu diễn cung (góc) có số đo œ lên đường tròn lượng giác
Giả sử điểm ngọn của cung là M
Bước 2 Hạ MK vuông góc với trục sin
Bước 3 Tính độ dài đoạn OK