góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông qua dạy học 1 số nội dung chương trình

luận văn về góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông qua dạy học 1 số nội dung chương trình

1 Lời cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Phơng pháp dạy học toán, khoa Toán, trờng Đại học Vinh đà giúp đỡ có ý kiến đóng góp quý báu trình su tầm t liệu, soạn thảo đề cơng hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè đà quan tâm, động viên tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành luận văn Đặc biệt, tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS Chu Träng Thanh, ngêi ®· trùc tiÕp híng dÉn, chØ bảo tận tình trình làm luận văn, để tác giả hoàn thành tốt luận văn thạc sỹ Vinh, ngày 20 tháng 12 năm 2007 Tác giả Chu Hơng Ly Mở đầu Lý chọn đề tài 1.1 Để phục vụ cho nghiệp công nghiệp hóa - đại hóa đất nớc bắt kịp phát triển xà hội điều kiện bùng nổ thông tin, ngành giáo dục đào tạo phải đổi phơng pháp dạy học cách mạnh mẽ nhằm đào tạo ngời có đầy đủ phẩm chất ngời lao động sản xuất tự động hóa nh: động, sáng tạo, tự chủ, kû lt nghiªm, cã tÝnh tỉ chøc, tÝnh trËt tù hành động có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối u giải công việc Những định hớng đổi phơng pháp dạy học đà đợc thể Nghị hội nghị nh: Nghị hội nghị lần thứ IV BCH trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (khóa IV, 1993) nêu rõ: Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hớng vào việc đào tạo ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có lực giải vấn đề thờng gặp, qua mà góp phần tích cực thể mục tiêu lớn đất nớc Về phơng pháp giáo dục đào tạo, Nghị Hội nghị lần thứ II BCH TW Đảng cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) đà đề ra:"Phải đổi phơng pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt chiều, rèn luyện thành nếp t sáng tạo ngời học Từng bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến phơng tiện đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu" Điều 24, luật giáo dục (1998) quy định:" Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, t sáng tạo học sinh, , bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh" Muốn đạt đợc điều đó, việc cần thiết phải thực trình dạy học phát triển t thuật giải cho häc sinh 1.2 HiƯn ë trêng phỉ thông đà tiến hành giáo dục tin học Tin học đợc dạy tờng minh nh nội dung sử dụng máy tính điện tử nh công cụ dạy học Do vấn đề phát triển phát triển t thuật giải môn toán giữ vị trí quan trọng giáo dục tin học Khẳng định đợc thể rõ mục đích giáo dục tin học: "Làm cho tất học sinh tốt nghiệp trung học nắm đợc yếu tố tin học với t cách thành tố văn hóa phổ thông" "Góp phần hình thành học sinh loại hình t liên hệ mật thiết với viƯc sư dơng c«ng nghƯ th«ng tin nh t thuật giải, t điều khiển, ", "Góp phần hình thành học sinh phẩm chất ngời lao ®éng nỊn s¶n xt tù ®éng hãa nh: tÝnh kỷ luật, tính kế hoạh hóa, tính phê phán thãi quen tù kiĨm tra, " 1.3 Ph¸t triĨn t thuật giải mục đích việc dạy học toán trờng phổ thông vì: * T thuật giải tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn luyện kỹ Toán học * T thuật giải phát triển thúc đẩy phát triển thao tác trí tuệ (nh: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hóa, khái quát hóa, ) cịng nh nh÷ng phÈm chÊt trÝ t (nh : tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo) * T thuật giải giúp học sinh hình dung đợc trình tự động hóa diễn lĩnh vực khác ngời, có lĩnh vực xử lý thông tin Điều làm cho học sinh thÝch nghi víi x· héi tù ®éng hãa, gãp phần làm giảm ngăn cách nhà trờng xà hội 1.4 Phát triển t thuật toán môn toán có ý nghĩa nhiều mặt môn toán chứa đựng khả to lớn phát triển t thuËt gi¶i, thÕ nhng, t thuËt gi¶i cha đợc ý phát triển mức nhà trờng phổ thông Đà có số công trình nghiên cứu vấn đề này, số công trình cã thĨ kĨ tíi ln ¸n phã tiÕn sü cđa Dơng Vơng Minh: "Phát triển t thuật giải học sinh dạy học hệ thống số trờng phổ thông" (1998) Luận án đà xem xét việc phát triển t thuật giải cho học sinh dạy hệ thống số cha sâu vào việc phát triển t thuật giải cho học sinh dạy học nội dung phơng trình Luận văn thạc sỹ Nguyễn Thị Thanh Bình: "Góp phần phát triển t thuật giải học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung lợng giác 11" (2000) đà đề cập đến việc phát triển t thuật giải cho học sinh dạy nội dung lợng giác 11 1.5 Nội dung phơng trình nội dung quan trọng khó chơng trình toán trung học phổ thông với nhiều biến đổi phức tạp, nhiều dạng toán, nhiều quy trình vận dụng kỹ tính toán nhiều toán có tiềm chuyển thuật giải Đó điều kiện thuận lợi nhằm phát triển t thuật giải cho học sinh Với lý nêu trên, chọn đề tài "Góp phần phát triển t thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học số nội dung phơng trình" làm đề tài nghiên cứu khoa học Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn đề số biện pháp phát triển t thuật giải trình dạy học số nội dung phơng trình nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học Toán trờng phổ thông Giả thuyết khoa học Nếu trình dạy học Toán trung học phổ thông nói chung, dạy học nội dung phơng trình, bất phơng trình nói riêng, giáo viên thực theo quy trình dạy học theo hớng phát triển t thuật giải góp phần nâng cao chất lợng dạy học toán trờng phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt đợc mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời câu hỏi khoa học sau: 4.1 T thuật giải cần đợc phát triển học sinh môn Toán? 4.2 Tiến hành phát triển t thuật giải học sinh môn toán dựa t tởng chủ đạo nào? 4.3 Có thể xây dựng quy trình dạy học phơng trình theo hớng phát triển t thuật giải đợc không? 4.4 Để phát triển t thuật giải cho học sinh cần có định hớng s phạm nào? 4.5 Có thể đa thuật giải giải số dạng phơng trình nhằm tập luyện hoạt động t thuật giải cho học sinh đợc không? 4.6 Kết thực nghiệm nh nào? Phơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lý luận * Nghiên cứu văn kiện Đảng nhà nớc, Bộ giáo dục đào tạo có liên quan đến việc dạy học Toán trờng phổ thông * Các sách báo, tạp chí có liên quan đến nội dung đề tài * Các công trình nghiên cứu vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài (các luận văn, luận án, chuyên đề ) 5.2 Nghiên cứu thực tiễn * Dự giờ, quan sát dạy giáo viên hoạt động học tập học sinh trình dạy học nói chung, dạy học nội dung phơng trình nói riêng * Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua lớp học thực nghiệm đối chứng lớp đối tợng Đóng góp luận văn 6.1 Luận văn góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm t thuật giải vai trò vị trí việc phát triển t thuật giải dạy học toán 6.2 Xây dựng đợc quy trình dạy học theo hớng phát triển t thuật giải cho học sinh 6.3 Xác định đợc số định hớng s phạm phát triển t thuật giải cho học sinh 6.4 Khai thác đợc số dạng phơng trình giúp học sinh xây dựng đợc thuật giải 6.5 Luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán trung học phổ thông Cấu trúc luận văn Luận văn phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo gồm có chơng Chơng T thuật giải vấn đề phát triển t thuật giải cho học sinh phổ thông 1.1 Cơ sở lý luận 1.2 Kh¸i niƯm tht to¸n 1.3 Kh¸i niƯm t thuật giải 1.4 Vấn đề phát triển t thuật giải dạy học Toán Chơng Một số định hớng s phạm góp phần phát triển t thuật giải cho học sinh trung học phổ thông dạy số nội dung phơng trình 2.1 Các nguyên tắc dạy học theo hớng phát triển t thuật giải 2.2 Một số định hớng phát triển t thuật giải thông qua dạy học nội dung phơng trình 2.3 Hớng dẫn học sinh xây dựng thuật giải cho số dạng phơng trình Chơng T thuật giải vấn đề phát triển t thuật giải cho học sinh thông qua môn Toán 1.1 Cơ sở lý luận 1.1.1 Quan điểm hoạt động phơng pháp dạy học Chúng ta biết trình dạy học trình điều khiển hoạt động giao lu học sinh nhằm thực mục đích dạy học Còn học tập trình xử lý thông tin Quá trình có chức năng: đa thông tin vào, ghi nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đa thông tin điều phối Học sinh thực chức hoạt động Thông qua hoạt động thúc đẩy phát triển trí tuệ học sinh làm cho häc sinh häc tËp mét c¸ch tù gi¸c, tÝch cùc Xuất phát từ nội dung dạy học ta cần phát hoạt động liên hệ với vào mục đích dạy học mà lựa chọn ®Ĩ tËp lun cho häc sinh mét sè nh÷ng hoạt động đà phát Việc phân tích hoạt động thành hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành hoạt động với độ phức hợp vừa sức họ Việc tiến hành hoạt động nhiều đòi hỏi tri thức định, đặc biệt tri thức phơng pháp Những tri thức lại kết trình hoạt động khác Trong hoạt động, kết rèn luyện đợc mức độ lại tiền đề để tập luyện đạt kết cao Do cần phân bậc hoạt động theo mức độ khác làm sở cho việc đạo trình dạy học Trên sở việc phân tích phơng pháp dạy học theo quan điểm hoạt động Luận văn đợc nghiên cứu khuôn khổ lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt động làm tảng tâm lý học Nội dung quan điểm đợc thể cách tóm tắt qua t tởng chủ đạo sau: * Cho học sinh thực tập luyện hoạt động hoạt động tơng thích với nội dung mục đích dạy học * Hớng đích gợi động cho hoạt động * Truyền thụ tri thức, đặc biệt tri thức phơng pháp, nh phơng tiện kết hoạt động * Phân bậc hoạt động làm cho việc điều khiển trình dạy học 1.1.2 Một số quan điểm khác Luận văn lấy quan điểm hoạt động làm tảng tâm lý học để nghiên cứu nhng dựa vào quan điểm lý thuyết tình lý thuyết kiến tạo quan điểm dạy học lý thuyết có giao thoa với quan điểm lý thuyết hoạt động Theo lý thuyết tình học thích ứng (bao gồm đồng hóa điều tiết) môi trờng sản sinh mâu thuẫn, khó khăn, cân Một tình thờng liên hệ với quy trình hành động Một yếu tố tình mà thay đổi giá trị gây thay đổi quy trình giải vấn đề học sinh Do trình dạy học ta cần soạn thảo tình tơng ứng với tri thức cần dạy (tình cho tri thức nghĩa đúng) Sau ủy thác tình cho học sinh Học sinh tiến hành hoạt động học tập diễn nhờ tơng tác với môi trờng Theo lý thuyết kiến tạo, học tập hoạt ®éng thÝch øng cđa ngêi häc Do ®ã d¹y häc phải dạy hoạt động, tổ chức tình học tập đòi hỏi thích ứng học sinh, qua học sinh kiến tạo đợc kiến thức, đồng thời phát triển đợc trí tuệ nhân cách Nh vậy, phân tích rõ quan điểm dạy học theo lý thuyết tình lý thuyết kiến tạo góp phần phát triển phơng pháp dạy học phát triển t thuật giải cho học sinh 1.2 Khái niệm thuật toán Khái niệm t thuật giải liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán Do ®ã tríc ®a kh¸i niƯm t tht giải ta hÃy nghiên cứu khái niệm thuật toán 1.2.1 Nghiên cứu khái niệm thuật toán a Khái niệm toán Trong tin học, ngời ta quan niệm toán việc ta muốn máy tính thực Những việc nh đa dòng chữ hình, giải phơng trình bậc hai, quản lý cán quan ví dụ toán Khi dùng máy tính giải toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đa vào máy thông tin (Input) lấy thông tin (Output) Do để phát biểu toán, ta cần phải trình bày rõ Input Output toán mối quan hệ Input Output Ví dụ 1: Bài toán tìm ớc chung lớn hai số nguyên dơng Input: Hai số nguyên dơng M vµ N Output: íc chung lín nhÊt cđa M vµ N Ví dụ 2: Bài toán tìm nghiệm phơng tr×nh bËc 2: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Input: C¸c sè thùc a, b, c (a 0) Output: Tất số thực x tháa m·n: ax2 + bx + c = ë Output hai số thực câu trả lời số thực nh Qua ví dụ trên, ta thấy toán đợc cấu tạo hai thành phần bản: Input: Các thông tin đà có Output: Các thông tin cần tìm từ Input b Khái niệm thuật toán Việc cho toán mô tả rõ Input cho trớc Output cần tìm Vấn đề làm để tìm Output Việc tờng minh cách tìm Output toán đợc gọi thuật toán (algorithm) giải toán Có nhiều định nghĩa khác thuật toán Dựa vào phân tích ta định nghĩa thuật toán nh sau: Thuật toán để giải toán dÃy hữu hạn thao tác đợc xếp theo trình tự xác định cho sau thực dÃy thao tác ấy, từ Input toán, ta nhận đợc Output cần tìm 10 Ví dụ: Tìm giá trị lớn dÃy số nguyên + Xác định toán + Input: Số nguyên dơng N dÃy N số nguyên a1, a2, an + Output: Giá trị lớn Max dÃy số * ý tởng: - Khởi tạo giá trị Max = a1 - Lần lợt với i từ đến N, so sánh giá trị số hạng với giá trị Max, > Max Max nhận giá trị * Thuật toán: Thuật toán giải toán đợc mô tả theo cách liệt kê nh sau: Bớc 1: Nhập N dÃy a1, a2, ,an Bíc 2: Max = ; i: = Bớc 3: Nếu i > N đa giá trị Max kết thúc Bớc 4: + Bớc 4.1 NÕu > Max th× Max: = + Bíc 4.2 NÕu i: = i + råi quay lại bớc Từ định nghĩa ta thấy thuật toán cã c¸c tÝnh chÊt sau: * TÝnh dõng: ThuËt to¸n phải kết thúc sau số hữu hạn lần thực thao tác * Tính xác định: Sau thực thao tác thuật toán kết thúc có thao tác xác định để đợc thực * Tính đắn: sau thuật toán kết thúc ta phải nhận đợc Output cần tìm Ví dụ: Với thuật toán tìm Max đà xét: * Tính dừng: Vì giá trị i lần tăng lên đơn vị nên sau N lần i > N, kết phép so sánh bớc xác định việc đa giá trị Max kết thúc * Tính xác định: Thứ tự thực bớc thuật toán đợc mặc định nên sau bớc lµ bíc 2, sau bíc lµ bíc Kết bớc so sánh bớc bớc xác định bớc cÇn thùc hiƯn 78 Hay t2 + 3t - 24 = Ví dụ Giải phơng trình: x x  + 48  + − 48  =14         Thoạt nhìn có lẽ hoảng sợ trớc mắt phơng trình mũ vô tỷ với số phức tạp Nhng ta xem xét kỹ hai số thấy chúng có mối liên hệ đặc biệt: + 48 − 48  =     Từ đặc điểm này, ta thấy biểu diễn trình dạng Nh vậy, 1với t = t + = 14 t số phơng trình x  − 48     48 = + 48 ta đa ph¬ng , t > hay t2 - 14t + = tìm đợc thuật giải xem xét kỹ để phát đặc điểm riêng biệt chúng 2.2.2.6 Phân tích giả thiết kết luận toán Trong số toán giả thiết kết luận cịng cã mèi liªn hƯ víi ë mét sè toán mối liên hệ dễ dàng thấy đợc nhng có nhiều toán nhìn qua khó thấy dợc mối liên hệ Vì vậy, việc phân tích toán để thấy ró giả thiết kết luận để từ tìm mối liên hệ chúng góp phần xây dựng thuật giải Ví dụ: Cho phơng trình: x2 + 5x + = có nghiệm x1, x2 Không giải phơng trình hÃy tính giá trị biểu thức: M = x13 + x23 Ph©n tÝch: Ta thÊy biĨu thøc M chứa hai nghiệm x1, x2 phơng trình đà cho Để tính giá trị biểu thức M ta cần phải tính giá trị cụ thể nghiệm x1, x2 Nhng yêu cầu toán không giải phơng trình có nghĩa không đợc tính cụ thể x1, x2 ta phải tính đợc giá trị biểu thức M Ta để ý đến đặc ®iĨm cđa biĨu thøc M dÉn ®Õn chóng ta biÕn ®ỉi biĨu thøc M nh sau: M =(x1 + x2)(x12 - x1x2 + x22) Mặt khác theo giả thiết x1, x2 nghiệm phơng trình nên: 79 x1 + x2 = −   x1 x2 = Điều gợi ý cho ta biến ®ỉi biĨu thøc M vỊ chØ chøa (x 1+ x2) vµ M = ( x1 + x2 )  ( x1 + x2 ) − 3x1 x2  (x1.x2) Tõ ®ã, ta tiÕp tơc biÕn ®ỉi   Tõ phân tích trên, ta đa thuật giải tính giá trị biểu thức M nh sau: Bớc 1: Biến ®ỉi biĨu thøc M vỊ chØ chøa tỉng (x1 + x2) vµ tÝnh x1.x2: M = (x1 + x2)(x12 - x1x2 + x22) = (x1 + x2)[(x1 + x2)2 - 3x1x2] Bíc 2: TÝnh tỉng (x1 + x2) vµ x1.x2 theo Viet:  x1 + x2 = −   x1 x2 = Bíc 3: Thay vµo biểu thức M rút gọn 2.2.2.6 Phân tích toán thành phận Đối với phơng trình phức tạp (chứa thức, chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa nhiều hàm số lợng giác, số mũ lớn ) thờng gây nhiều khó khăn cho học sinh trình giải Vì vậy, trình dạy học giải phơng trình, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh cách đơn giản hoá toán phân chia thành toán riêng lẻ để dễ tìm cách giải Ví dụ Giải phơng trình: cos x + sin x   5 sin x +  = cos x + + sin x Khi gặp toán này, cách giải học sinh thờng dùng quy đồng mẫu hai vế Với cách làm dẫn đến häc sinh cïng mét lóc thùc hiƯn nhiỊu phÐp biÕn đổi áp dụng nhiều công thức lợng giác Cách làm đa học sinh gặp nhiều khó khăn dễ mắc sai lầm biến đổi Giáo viên tách thành nhiều toán nhỏ từ toán để với toán học sinh thực phép tính, phép biến đổi đơn giản, áp dụng công thức cuối đa + sin x ≠ ⇔ sin x 80 biểu thức đơn giản Với định hớng đó, giáo viên yêu cầu học sinh giải lần lợt nh sau: Bớc 1: Đặt điều kiện: Bíc 2: Rót gän biĨu thøc: sin x + cos 3x + sin x sin x + sin x sin x + cos x + sin x = + sin x + sin x = sin x + cos x − cos x + cos x + sin x + sin x = 2sin x cos x + cos x cos x ( + 2sin x ) = = cos x + 2sin x + 2sin x Bớc 3: Giải phơng trình: 5cosx = cos2x + ⇔ 2cos2x – 5cosx + = cos x = ⇔ cos x =  Víi cosx =2 ( lo¹i) Víi cos x = π ⇔ x = ± + k 2π , ( k ∈ Z ) + §èi chiÕu víi ®iỊu kiƯn: sin x ≠ − VËy nghiƯm cđa phơng trình là: 2.2.2.6 x= Tìm nghiƯm thÝch hỵp π + k 2π , ( k Z ) Rèn luyện lực phán đoán Mò mẫm dự đoán cách giải toán cách phân chia thành trờng hợp, xét trờng hợp đặc biệt, tơng tự, khái quát, Ví dụ Giải phơng trình: sin2nx + cos2m x = , (m, n ∈ N ) * Ta xÐt mét số trờng hợp đặc biệt n m + Nếu m = n = Phơng trình có dạng: sin2x + cos2x =1 Vậy phơng trình có nghiệm với mäi x + NÕu m = n = Ph¬ng trình có dạng: sin4x + cos4x = 81 Ta cã nhËn xÐt: sin4x ≤ sin2x cos4x ≤ cos2x sin4x + cos4x ≤ sin2x + cos2x = DÊu “ = ” x¶y   sin2 x =    x = kπ   cos x =  π ⇔  ⇔ π ⇔ x= k   sin2 x =  x = + lπ     cos x = + Ta xÐt c¸c trờng hợp tổng quát: m = n > 2, phơng trình có dạng: sin2nx + cos2mx = Lập luận tơng tự, phơng trình có nghiệm x =k Từ ta khái quát cho trờng hợp tỉng qu¸t m, n bÊt kú víi m, n ∈N* 2.2.2.6 Rèn luyện lực quy lạ quen Phần lớn phơng trình dạng sử dụng thuật giải quen thuộc mà đòi hỏi ngời giải phải biết phân tích, biến đổi, biết nhận số đặc điểm đặc biệt phơng trình để đa phơng trình phơng trình đà biết thuật giải Đối với phơng trình dạng này, trình dạy học giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ huy động thuật giải đà biết Để đạt đợc mục đích này, phơng pháp quen thuộc hay sử dụng xây dựng hệ thống toán gốc cho dạng phơng trình (Vấn đề đợc đề cập kỹ mục 2.3 chơng) Sau số ví dụ minh hoạ đơn giản: Ví dụ Giải phơng tr×nh: 82 x + 3x + 12 = x + 3x (1) Đây phơng trình cha có thuật giải nhng chuyển phơng trình đà có thuật giải nh sau: (1) x + x + 12 = ( x + x + 12 ) 12 Đặt t = x + x +12 , ®iỊu kiƯn: t > Phơng trình có dạng: t2 t - 12 = (Đây phơng trình đà có thuật gi¶i) t = −3 ⇔1 t = Víi t = - (lo¹i) Víi t = ⇒ x + 3x + 12 = x= ⇔ x + 3x − = ⇔ x= Ví dụ Giải phơng trình; sin x = sin x − cos x (2) Mới nhìn, ta thấy phơng trình cha có dạng quen thuộc nào, nhng đa dạng quen thuộc trình dạy học giáo viên cho học sinh tập luyện tốt yêu cầu biện pháp Giáo viên làm nh đà truyền cho học sinh tri thức phơng pháp quy lạ quen Theo định hớng đó, đa phơng trình dạng: sinx + cosx = sin5x π  ⇔ sin  x +  = sin x (Quy phơng trình dạng gần bản: sinx = sin) x = 16 + k ⇔ x = π + k π   VÝ dô Giải phơng trình: 52x+1- 3x+1 = 52x + 3x (3) 83 Đây phơng trình dạng quen thuộc Tuy nhiên đa phơng trình dạng quen thuộc (3) 5.52x - 3.3x = 52x + 3x ⇔ 4.52x = 4.3x ⇔ 25x = 3x x  25  ⇔   =1 (Quy phơng trình dạng: ax = c) ⇔ x = 2.2.2.6 鼨鼨鼨鼨 KiÓm tra kÕt phát thuật giải tối u Kiểm tra lại kết quả, tìm cách giải hợp lý cách khắc phục chỗ cha hợp lý lời giải cũ thay đổi cách nhìn toán Sử dụng kết hay cách giải toán cho toán khác, đề xuất toán Việc nhận khắc phục chỗ cha hợp lý lời giải để tìm cách giải hợp lý góp phần phát triển hoạt động (T 5) t thuật giải (hoạt động tìm thuật giải tối u) Ví dụ Sau dạy thuật giải giải phơng trình: asinx + bcosx = c Giáo viên nêu câu hỏi ? Với điều kiện a, b, c, phơng trình có nghiệm? c c sin ( x + α ) = ⇔ ≤1 2 Phơng trình có nghiệm a +b a +b 2 ⇔ − a2 + b2 ≤ c ≤ a2 + b2 Từ điều kiện nêu trên, ta có: − a + b ≤ a sin x + b cos x ≤ a + b Giáo viên cho học sinh nhìn nhận toán: asinx + bcosx = c dới góc độ khác nh: Tìm giá trị lớn giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: y = asinx + bcosx Giáo viên hớng dẫn học sinh áp dụng toán để giải toán: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thøc: y = Asin2x + Bsinxcosx + Ccos2x Nh vËy đề xuất toán từ toán đà có thuật giải cách để nắm vững thuật giải, biết biến đổi linh hoạt thực thuật giải 84 Do đó, sau dạy thuật giải (có thể quy tắc, công thức ), giáo viên cho học sinh số toán đợc suy từ thuật giải đà biết hớng dẫn học sinh đề xuất toán việc làm biện pháp tốt để phát triển t thuật giải cho học sinh Ví dụ Giải phơng trình: cos2x + cos22x + cos23x =1 Đứng trớc toán này, học sinh giải nh sau: + cos x + cos x + cos x + + =1 2 ⇔ + cos2x + cos4x + cos6x = ⇔ 2cos2x + 2cos5xcosx = cosx (cos5x + cosx) = 2cosxcos2x.cos3x = π   x = ( 2k + 1) ⇔  x = ( 2l + 1) π   §èi với học sinh, cách giải phù hợp với nhận thức họ đứng trớc toán Tuy nhiên, giáo viên hớng dẫn học sinh tìm cách giải tối u áp dụng để giải cho toán tổng quát nh sau: Sau biến đổi đa phơng trình dạng: + cos2x + cos4x + cos6x = Gi¸o viên gợi động để học sinh hoạt động biến đổi phong trình thành dạng tích theo cách sau: Nhân hai vế phơng trình với 2sinx ta đợc: 2sinx + cos2xsinx + 2cos4xsinx + 2cos6xsinx = ⇔ 2sinx + sin3x – sinx + sin5x – sin3x + sin7x – sin5x = ⇔ sinx + sin7x = Từ cách giải này, học sinh xây dựng thuật giải cho toán tổng quát (xem thuật giải 9, mục 2.3) 2.2 Xây dựng thuật giải cho số dạng phơng trình 85 Trong trình dạy học giải phơng trình, có phơng trình thuộc dạng phơng trình đà có thuật giải Nhng đa số phơng trình gặp cha có thuật giải Để giải dạng phơng trình này, phải biến đổi để đa phơng trình đà có thuật giải Đối với phơng trình cã thĨ híng dÉn häc sinh c¸ch suy nghÜ, c¸ch tìm tòi lời giải hớng đến xây dựng thuật toán cho toán Theo A.N Kolmogrov (Xô viết bách khoa toàn th tập 2) thì: Trong trờng hợp đợc, việc tìm algôrit giải mục đích thực toán học Do đó, việc phát xây dựng algôrit vấn đề quan trọng việc tìm algôrit ngày tổng quát để giải lớp toán ngày rộng theo cách thống Trong khuôn khổ luận văn, dù muốn có thuật giải tổng quát để giải phơng trình nhng điều ảo tởng Vì đề xuất hớng xây dựng số quy trình có tính chất thuật giải cho số dạng toán giải phơng trình Thông qua việc rèn luyện cho học sinh biết cách xây dựng vận dụng quy trình t thuật giải em đợc phát triển Sau đây, đa thuật giải số dạng phơng trình thờng gặp chơng trình toán phổ thông 2.2.2 Xây dựng thuật giải cho số phơng trình quy bậc hai Khi dạy nội dung Phơng trình, bất phơng trình quy bậc hai, dạng phơng trình chứa thức bậc hai dạng phơng trình gây cho học sinh nhiều khó khăn Tuy nhiên sách giáo khoa đà nêu hai phơng pháp khử bình phơng hai vế đặt ẩn phụ Cách nãi cđa s¸ch gi¸o khoa mang tÝnh chung chung, cha hớng dẫn cho học sinh cụ thể dạng phơng trình bình phơng hai vế, dạng phơng trình đặt ẩn phụ Trong qúa trình dạy, giáo viên cho học sinh nhận dạng loại từ hớng dẫn học sinh tìm thuật giải cho dạng phơng trình Chẳng hạn: Ví dụ Giải phơng trình: 86 x x +1 = x Giáo viên hớng dẫn học sinh giải phơng trình nh sau: Bớc 1: Đặt ®iỊu kiƯn: x – ≥ ⇔ x ≥ Bớc 2: Bình phơng hai vế phơng trình: 2x2 – 3x + = (x – 1)2 Bíc 3: Biến đổi phơng trình dạng: x2 x = Bớc 4: Giải phơng trình: x x = x = ⇔ x = Bớc 5: Đối chiếu với điều kiện: x = nghiệm Bớc 6: Kết luận: Phơng trình có nghiệm: x = Tơng tự, giáo viên yêu cầu học sinh giải tập sau: Ví dụ 2: Giải phơng trình sau: a x x = b c x2 − 6x + − x + = ( x − 3) x2 + = x2 Giáo viên hớng dẫn học sinh giải phơng trình trên: (a) x − = x − (b) ⇔ x − x + = x − (c) ⇔ ( x − 3) ( x − = x2 + − x − = ⇔   x +4 = x+3 ) Từ hớng dẫn giải phơng trình trên, giáo viên hớng dẫn học sinh đa thuật giải giải phơng trình dạng: f ( x) = g ( x) Tht gi¶i 1: Bíc 1: Đặt điều kiện: g(x) Bớc 2: Bình phơng hai vế phơng trình: f(x) = g2(x) Bớc 3: Biến đổi phơng trình dạng: h(x) = Bớc 4: Giải phơng trình: h(x) = 87 Bớc 5: Tìm nghiệm thoả mÃn bớc Bớc 6: Kết luận Với thuật giải 1, giáo viên hớng dẫn học sinh đa thuật giải phf ( x ) + g ( x ) = h( x ) ¬ng trình tổng quát hơn, dạng: biểu thức bậc Thuật gi¶i  f ( x) ≥  Bíc 1: Đặt điều kiện: g ( x )  h( x ) ≥  Bíc 2: Bình phơng hai vế: f ( x) + g ( x) + f ( x ).g ( x ) = h ( x ) Bíc 3: BiÕn ®ỉi phơng trình dạng: k ( x ) = R( x ) Bớc 4: áp dụng thuật giải Ví dụ Giải phơng trình: a x2 + x = b x + − 1− x = 1− 2x c x + − x +1 = x Ví dụ 4: Giải phơng trình: x 6x + = x2 − 6x + Giáo viên huớng dẫn giải theo trình tự sau: Bớc Đặt điều kiện: x2 6x + Bớc Đặt ẩn phụ: t = x − ⇔ x ≥ +  x − x + , ( t 0) f(x), g(x), h(x) 88 Bớc Giải phơng trình: t2 4t + = t = ⇔ t = Bíc 4: §èi chiÕu víi ®iỊu kiƯn cđa t ë bíc 2: t = t = thoả mÃn Bớc 5: Giải phơng trình: + + x = ⇔ x = ⇔ x − 6x + = x − 6x + =1 x = − ⇔ x − 6x − = ⇔  x − 6x + = x = + Bớc 6: Tìm nghiệm thoả mÃn điều kiện bíc x = 1, x = 5, x =3 thoả mÃn Bớc 7: Kết luận: Vậy phơng trình có nghiệm: x = 1, x = 5, x =3 Giáo viên yêu cầu học sinh giải toán sau: Ví dụ 5: Giải phơng trình sau: a x + x = −2 x − x + b ( x + 1) ( x + ) = x + 3x − c ( x − 3)( x + 1) + 4( x − 3) x +1 =5 x Từ ví dụ này, giáo viên hớng dẫn học sinh đa thuật giải cho phơng trình tổng quát dạng: Af(x) + B f ( x) +C=0 Tht gi¶i 3: Bíc 1: Đặt điều kiện: f(x) Bớc 2: Đặt ẩn phô: t = f ( x) , (t ≥ 0) Bớc 3: Giải phơng trình: At2 + Bt + C = Bớc 4: Tìm nghiệm thích hợp t0 thoả mÃn bớc Bớc 5: Giải phơng trình: f ( x) = t0 ⇔ f(x) = t02 Bíc 6: T×m nghiệm thoả mÃn điều kiện bớc Bớc 7: Trả lời 89 Nh vậy, trình dạy học giải phơng trình, giáo viên hớng dẫn học sinh nhận dạng phơng trình để từ học sinh tìm thuật giải phơng trình Đây biện pháp tốt để rèn luyện phát triển t thuật giải cho học sinh Khi dạy học sinh giải phơng trình - bất phơng trình quy bậc hai số dạng phơng trình chứa ẩn mẫu gây cho học sinh gặp nhiều khó khăn Đối với phơng trình dạng này, cần cho học sinh theo trình tự ví dụ tơng tự Trên sở cho học sinh nhận dạng phơng trình quy trình giải phơng trình, từ rút thuật giải cho dạng phơng trình tổng quát Chẳng hạn: Ví dụ 1: Giải phơng tr×nh: 2x 7x − =1 3x − x + 3x + x + 2 Giáo viên hớng dẫn học sinh giải phơng trình nh sau: Bớc 1: Tìm tập xác định phơng trình x≠ −1 §iỊu kiƯn: 3x +5x+2 ≠ ⇔    x ≠ − Bíc 2: Nhận xét x = nghiệm phơng trình, chia hai vế cho x ta đợc 2 3x + x Bớc 3: Đặt t = 3x + 3x + + x =1 x Bíc 4: Gi¶i phơng trình: =1 t t +  t = − 11 ⇔ t + 9t 22 = Phơng trình t = Bớc 5: Giải phơng trình + 3x + − 11 ± 97 = −11 ⇔ x = x víi t ≠ vµ t ≠ -5 90 + 3x + = ⇔ 3x − x + = x , phơng trình vô nghiệm x= Bớc 6: Trả lời, phơng trình có nghiệm 11 97 Ví dụ Giải phơng trình sau: a 4x 3x + = 1; x − x + x − 10 x + b 3x 7x + = −4 x − 3x + x + x + Tõ hai vÝ dô ta hớng dẫn học sinh đa toán tổng quát thuật giải cho toán nh sau: ThuËt gi¶i mx nx + = p Thuật giải phơng trình: ax + bx + d ax + cx + d , víi p ≠ Bớc 1: Tìm tập xác định phơng trình Bớc 2: Nhận xét x = nghiệm, chia c¶ hai vÕ cho x ≠ ta m ®ỵc d ax + b + x + Bíc 3: §Ỉt n d ax + c + x t = ax + =p d , phơng x Bớc 4: Giải phơng trình: Bớc 5: Giải phơng trình: trình có dạng: m n + =p t +b t +c ax + m n + =p t +b t +c t×m nghiƯm t0 d = t0 x Bíc 6: §èi chiÕu nghiƯm x0 với điều kiện Bớc Bớc 7: Trả lời 2.2.2 Xây dựng thuật giải cho số phơng trình lợng giác Khi dạy nội dung: phơng trình lợng giác thờng gặp, học sinh đà biết thuật giải phơng trình: asinx + bcosx = c Giáo viên yêu cầu học sinh giải toán sau: Ví dụ Giải phơng trình: 3sinx + 4cosx = 4sin3x 3cos3x 91 Đây phơng trình cha có thuật giải Tuy nhiên giáo viên hớng dẫn học sinh quy giải phơng trình dạng quen thuộc nh sau: Ta thÊy: 32 + 42 = 42 + (-3)2 = 25, nên chia hai vế phơng tình cho + = + ( 3) ta đợc: 4 sin x + cos x = sin x − cos x 5 5 NhËn thÊy: 2 2 3  4  4  3   +   =   + −  = 5 5  5  5 cos = Đặt sin α =    cos β =   vµ   sin β = Thay vào phơng trình ta đợc: sin x cos + cos x sin α = sin x cos β + cos x sin β sin ( x + α ) = sin ( x + ) (Đây phơng trình gần bản) Với cách giải ví dụ trên, giáo viên hớng dẫn học sinh đa thuật toán giải phơng trình tổng quát sau: asin(kx) + bcos(kx) = csin(mx) + dcos(mx) Tht to¸n 5: Bíc 1: KiĨm tra ®iỊu kiƯn: a2 + b2 = c2 + d2 Bớc 2: Chia hai vế phơng trình cho: a  cos α =  a2 + b2 Bớc 3: Đặt sin = b  a2 + b2  a2 + b2 = c2 + d c  cos β =  c2 + d  vµ   sin β = d  c2 + d  Bíc 4: Gi¶i phơng trình: sin(kx + ) = sin(mx + ) Ví dụ 2: Giải phơng trình: 92 a cosxcos2x = b cosx.cos2x.cos4x = Giải: Đứng trớc phơng trình: cosxcos2x = (a) , học sinh cã thĨ gi¶i nh sau: ⇔ 2cosxcos2x = ⇔ cos3x + cosx – =0 4cos3x – 2cosx = Đặt t = cosx, t 4t3 – 2t -2 = (t – 1)(4t2 + 4t + 2) = t − = ⇔ 4t + 4t + = Víi t – = ⇒ t = Víi 4t2 + 4t + = ⇒ phơng trình vô nghiệm Với t = cosx = x = k Cách giải phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Tuy nhiên, áp dụng cách giải để giải phơng trình (b) học sinh gặp nhiều khó khăn Chúng ta hớng dẫn học sinh cách giải phơng trình (a) đơn giản hơn, từ áp dụng cho phơng trình (b) + Nếu sinx = 0, phơng trình (a) vô nghiệm + Nhân hai vế phơng trình với 2sinx 0, ta đợc: 2sinxcosx.cos2x = sinx 2sin2xcos2x = sinx sin4x = sinx Đây phơng trình đà có thuật giải, học sinh dễ dàng áp dụng thuật giải để giải phơng trình Làm tơng tự nh trên, học sinh dễ dàng giải đợc phơng trình (b) Tõ ®ã chóng ta cã thĨ híng dÉn häc sinh đa thuật giải giải phơng trình tổng quát: ... triển t thuật giải cho học sinh thông qua dạy học số nội dung phơng trình 2 .1 Một số nguyên tắc dạy học theo hớng phát triển t thuật giải cho học sinh Để dạy học theo hớng phát triển t thuật giải. .. häc sinh Trung häc phổ thông thông qua dạy học nội dung lợng giác 11 " (2000) đà đề cập đến việc phát triển t thuật giải cho học sinh dạy nội dung lợng giác 11 1. 5 Nội dung phơng trình nội dung quan... thời phát triển t thuật giải cho học sinh Sau số ví dụ phát triển t thuật giải môn toán dạy nội dung phơng trình trờng phổ thông 1. 3.3 Một số ví dụ dạy học phát triển t thuật giải dạy nội dung