phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập nguyên hàm, tích phân

báo cáo phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập nguyên hàm, tích phân

Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài luận văn đợchoàn thành với sự hớng dẫn tận tình, chu đáo của T.S Nguyễn Đinh Hùng.

Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý của cácthầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phơng pháp giảng dạy bộ mônToán.

Xin trân trọng gửi tới các thầy cô giáo lời biết ơn chân thành và sâu sắccủa tác giả.

Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toántrờng Nghi Lộc 1 đã tạo điều kiện trong quá trình tác giả thực hiện đề tài.

Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên để tác giảthêm nghị lực hoàn thành Luận văn này.

Tuy đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn này chắc chắn khôngtránh khỏi những thiếu sót cần đợc góp ý, sửa chữa Tác giả rất mong nhận đợcnhững ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.

Vinh, tháng 11 năm 2007 Tác giả

1.4 Vận dụng t duy biện chứng để phát triển t duy sáng tạo cho HS 141.5 Tiềm năng của hình học trong việc bồi dỡng t duy sáng tạo

Chơng 2 Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theo

định hớng bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh 22

2.1 Vấn đề 1: Rèn luyện t duy sáng tạo qua bài toán dựng hình 222.2 Vấn đề 2: Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho

2.3 Vấn đề 3: Xây dựng hệ thống bài toán gốc giúp học sinh quy lạ về quen

692.4 Vấn đề 4: Chuyển việc tìm tòi lời giải bài toán hình học

không gian về bài toán hình học phẳng

Mở đầu1 Lý do chọn đề tài

Thế giới ngày nay đang thay đổi theo một tốc độ luỹ thừa, nhằm đápứng đợc những thay đổi nhanh chóng đó trong khoa học, công nghệ, truyềnthông Chúng ta không những dựa trên các giải pháp của quá khứ, mà còn phảitin tởng vào những quá trình giải quyết các vấn đề mới.

Điều này không chỉ hàm ý nói đến những kỹ thuật mới mà còn nói đếnmục tiêu giáo dục Mục tiêu của giáo dục phải là phát triển một xã hội trongđó con ngời có thể sống thoải mái với sự thay đổi hơn là sự xơ cứng Vì thếbắt buộc bản thân các nhà giáo dục phải vừa giữ gìn, lu truyền tri thức và cácgiá trị của quá khứ vừa chuẩn bị cho một tơng lai mà ta cha biết rõ

Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãitrong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sốngxã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá sản xuất, trởthành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và đợc coi là chìa khoá củasự phát triển.

Xuất phát từ những yêu cầu xã hội đối với sự phát triển nhân cách củathế hệ trẻ, từ những đặc điểm của nội dung mới và từ bản chất của quá trìnhhọc tập buộc chúng ta phải đổi mới phơng pháp dạy học theo hớng bồi dỡng tduy sáng tạo cho học sinh.

Việc học tập tự giác tích cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi học sinhphải có ý thức về những mục tiêu đặt ra và tạo đợc động lực trong thúc đẩybản thân họ t duy để đạt đợc mục tiêu đó.

Trong việc rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh ở trờng phổ thông,môn Toán đóng vai trò rất quan trọng Bởi vì, Toán học có một vai trò to lớntrong sự phát triển của các ngành khoa học và kỹ thuật; Toán học có liên quanchặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoahọc, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại; Toán học còn là mộtcông cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác.

Vấn đề bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh đã đợc nhiều tác giả trong

và ngoài nớc quan tâm nghiên cứu Với tác phẩm "Sáng tạo toán học" nổi

tiếng, nhà toán học kiêm tâm lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất của quá

trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học Đồng thời trong tác phẩm "Tâm lý

năng lực toán học của học sinh", Krutecxiki đã nghiên cứu cấu trúc năng lực

toán học của học sinh ở nớc ta, các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh

Toàn, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dơng Thụy, Tôn Thân, PhạmGia Đức, đã có nhiều công trình giải quyết những vấn đề về lý luận và thựctiễn việc phát triển t duy sáng tạo cho học sinh Hay nh luận văn Thạc sĩ của

Từ Hữu Sơn - Đại học Vinh năm 2004 với tiêu đề: "Góp phần bồi dỡng một số

yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo lý thuyết đồ thị" Phạm Xuân Chung năm

2001: "Khai thác sách giáo khoa hình học 10 THPT hiện hành qua một số

dạng bài tập điển hình nhằm phát triển năng lực t duy sáng tạo cho học sinh".

Tác giả Bùi Thị Hà - Đại học Vinh năm 2003, trong luận văn của mình với đề

tài: "Phát triển t duy sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập

nguyên hàm, tích phân".

Nh vậy, việc bồi dỡng và phát triển t duy sáng tạo trong hoạt động dạyhọc toán đợc rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Tuy nhiên, việc bồi dỡng tduy sáng tạo thông qua dạy giải các bài tập hình học ở trờng THPT thì các tácgiả cha khai thác và đi sâu vào nghiên cứu cụ thể Vì vậy, tôi chọn đề tài

nghiên cứu của luận văn này là: "Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh trung

học phổ thông qua dạy học giải bài tập hình học".

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và đề xuất một số vấn đềnhằm góp phần rèn luyện yếu tố t duy sáng tạo cho học sinh qua dạy học giảibài tập hình học.

3 Giả thuyết khoa học

Nếu dạy học hình học theo định hớng bồi dỡng t duy sáng tạo cho họcsinh thì có thể góp phần đổi mới phơng pháp dạy học trong giai đoạn hiện nayvà nâng cao chất lợng dạy học toán ở trờng phổ thông trung học.

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

4.1- Làm sáng tỏ khái niệm t duy, t duy sáng tạo.

4.2- Xác định các vấn đề đã đề xuất nhằm rèn luyện năng lực t duy sángtạo cho học sinh.

4.3- Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập hình học phù hợp với sựphát triển t duy sáng tạo cho học sinh.

4.4- Tiến hành thực nghiệm s phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tínhhiện thực, tính hiệu quả của đề tài.

5 Phơng pháp nghiên cứu

5.1- Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luậndạy học môn toán.

- Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài.

- Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.5.2 Quan sát

- Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo viên và việc học của học sinhtrong quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa.

- Nhiệm vụ nghiên cứu - Giả thiết khoa học - Phơng pháp nghiên cứu

1.3 Một số yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo

1.4 Vận dụng t duy biện chứng để phát triển t duy sáng tạo cho HS.1.5 Tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi dỡng t duy sáng tạocho học sinh.

1.6 Kết luận chơng 1

ơng 2 Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theo định ớng bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh

h-2.1 Vấn đề 1: Rèn luyện t duy sáng tạo qua bài toán dựng hình

2.2 Vấn đề 2: Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải trong một

3.3.1 Đánh giá hoạt động học tập của học sinh ở lớp học3.3.2 Kết luận về thực nghiệm s phạm.

T duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mốiliên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tợng trong hiệnthực khách quan mà trớc đó ta cha biết (theo tâm lý học đại cơng - NguyễnQuang Cẩn)

Theo từ điển triết học: "T duy, sản phẩm cao nhất của vật chất đợc tổchức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới kháchquan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận T duy xuất hiện trong quá trìnhhoạt động sản xuất xã hội của con ngời và đảm bảo phản ánh thực tại mộtcách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật T duy chỉ tồn tạitrong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, làhoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài ngời cho nên t duy của con ngời đợcthực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của t duy đợcghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho t duy là những quá trình nh trừu tợnghoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cáchgiải quyết chung, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm Kết quả của quátrình t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó".

Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của t duy.

- T duy là sản phẩm của bộ não con ngời và là một quá trình phản ánhtích cực thế giới khách quan.

- Kết quả của quá trình t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và đợc thể hiệnqua ngôn ngữ.

- Bản chất của t duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tợng ợc phản ánh với hình ảnh nhận thức đợc qua khả năng hoạt động của con ngờinhằm phản ánh đối tợng.

đ T duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.

- Khách thể trong t duy đợc phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từthuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con ngời.

1.2 T duy sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giảiquyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung củasáng tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích(giá trị hơn cái cũ) Nh vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào củaxã hội loài ngời Sáng tạo thờng đợc nghiên cứu trên nhiều phơng diện nh là

một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, nh một kiểu t duy, nh làmột năng lực của con ngời.

Các nhà nghiên cứu đa ra nhiều quan điểm khác nhau về t duy sáng tạo.Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính dộc lập và tính phê phán là nhữngđiều kiện cần thiết của t duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khácnhau của t duy sáng tạo Tính sáng tạo của t duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạora cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hớng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấnmạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" (Nguyễn Bá Kim - Phơngpháp dạy học bộ môn Toán)

Theo Tôn Thân quan niệm: "T duy sáng tạo là một dạng t duy độc lậptạo ra ý tởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao" Và theo tácgiả "T duy sáng tạo là t duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đãcó Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìmgiải pháp Mỗi sản phẩm của t duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗicá nhân đã tạo ra nó (Tôn Thân - Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằmbồi dỡng một số yếu tố của t duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi Toán ở tr-ờng THCS Việt Nam, luận án phó Tiến sỹ khoa học s phạm - Tâm lý, Việnkhoa học giáo dục Hà Nội)

Nhà tâm lý học ngời Đức Mehlhow cho rằng "T duy sáng tạo là hạtnhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục"Theo ông, t duy sáng tạo đợc đặc trng bởi mức độ cao của chất lợng, hoạtđộng trí tuệ nh tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác.Trong khi đó, J.DanTon lại cho rằng "T duy sáng tạo đó là những năng lực tìmthấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng củakiến thức, trí tởng tợng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và họcbao gồm những chuỗi phiêu lu, chứa đựng những điều nh: sự khám phá, sựphát sinh, sự đổi mới, trí tởng tợng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm".

Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một t duy gọi làcó hiệu quả nếu t duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thểcoi là sáng tạo nếu t duy đó tạo ra những t liệu, phơng tiện giải các bài toánsau này Các bài toán vận dụng những t liệu phơng tiện này có số lợng cànglớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của t duy càng cao, thídụ: lúc những cố gắng của ngời giải vạch ra đợc các phơng thức giải áp dụngcho những bài toán khác Việc làm của ngời giải có thể là sáng tạo một cáchgián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải đợc nhng tốt vìđã gợi ra cho ngời khác những suy nghĩ có hiệu quả".

Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với ngời học Toán: "Đốivới ngời học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đơng đầu vớinhững vấn đề đó, để tự mình thu nhận đợc cái mới mà họ cha từng biết Nh vậy,một bài tập cũng đợc xem nh là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nókhông bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếungời giải cha biết trớc thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bớc đicha biết trớc Nhà trờng phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạtđộng sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.

Theo định nghĩa thông thờng và phổ biến nhất của t duy sáng tạo thì đólà t duy sáng tạo ra cái mới Thật vậy, t duy sáng tạo dẫn đến những tri thứcmới về thế giới về các phơng thức hoạt động Lene đã chỉ ra các thuộc tính sauđây của t duy sáng tạo:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo.- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách"- Nhìn thấy chức năng mới của đối tợng quen biết.

- Nhìn thấy cấu tạo của đối tợng đang nghiên cứu.

- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìmhiểu lời giải (khả năng xem xét đối tợng ở những phơng thức đã biết thànhmột phơng thức mới).

- Kỹ năng sáng tạo một phơng pháp giải độc đáo tuy đã biết nhng ơng thức khác (Lene - dạy học nên vấn đề - NXBGD - 1977)

ph-T duy sáng tạo là t duy tích cực và t duy độc lập nhng không phải trongt duy tích cực đều là t duy độc lập và không phải trong t duy độc lập đều là tduy sáng tạo và có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các khái niệm dới dạngvòng trong đồng tâm

T duy tích cực T duy độc lậpT duy sáng tạo

Có thể nói đến t duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứngminh mà học sinh đó cha biết đến Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, t duy sáng tạo

giải quyết mâu thuẫn tồn tạo trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tínhhợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp.

Nói chung t duy sáng tạo là một dạng t duy độc lập, tạo ra ý tởng mớiđộc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.

1.3 Một số yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, về cấu trúccủa t duy sáng tạo, có năm đặc trng cơ bản sau:

- Tính mềm dẻo- Tính nhuần nhuyễn- Tính độc đáo

Tính mềm dẻo của t duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóngtrật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quanniệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tợng, gạt bỏ sơ đồ t duy có sẵn và xâydựng phơng pháp t duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới, hoặcchuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán Suy nghĩkhông rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đãcó sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thayđổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hởng kìm hãm của những kinh nghiệm, nhữngphơng pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trớc Đó là nhận ra vấn đề mớitrong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tợng quen biết.

Nh vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của t duysáng tạo, do đó để rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các emgiải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện đợc tính mềm dẻo của t duy.

1.3.2 Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của t duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanhchóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn cảnh, đa ra

giả thuyết mới Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lợng của ý tởngsinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.

Tính nhuần nhuyễn đợc đặc trng bởi khả năng tạo ra một số lợng nhấtđịnh các ý tởng Số ý tởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuấthiện ý tởng độc đáo, trong trờng hợp này số lợng làm nảy sinh ra chất lợng.Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trng sau:

- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm đợcnhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trớc mộtvấn để phải giải quyết, ngời có t duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đềxuất đợc nhiều phơng án khác nhau và từ đó tìm đợc phơng án tối u.

Ví dụ : Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA =

OB = OC = a Gọi I là trung điểm của BC Hãy tính khoảng cách giữa hai ờng thẳng chéo nhau AI, OC?

đ-Cách 1: Xem khoảng cách giữa 2 đờng thẳng chéo nhau AI và OC là khoảng

cách từ 1 điểm thuộc 1 đờng thẳng (chẳng hạn O  OC) đến một mặt phẳngsong song đờng thẳng đó và chứa đờng thẳng còn lại mặt phẳng (AIJ).

Qua I kẻ IJ // OC (J  OB)

Gọi (P) là mặt phẳng qua AI, IJ khi đó (P) // OC.Vậy d(AI, OC) = d(OC, (P)) = d(O, (P)).

Kẻ OH  AJ (H  AJ) Vì IJ // OC nên IJ OBIJ OA

 IJ  OH.

Trở lại ví dụ trên ta có:

Cách 2: Dựng đờng vuông góc chung của AI và OC.

- Qua I kẻ đờng thẳng IJ // OC (J  OB)- Qua O kẻ đờng thẳng OH // AJ (H  AJ)- Qua H kẻ đờng thẳng HE // IJ (I  AI)- Qua E kẻ đờng thẳng EF // OH (F  OC)

ieha

Khi đó EF là đoạn  góc chung của AI và OC.Thật vậy Vì IJ // OC nên

Cách 3: Xét khoảng cách giữa hai đờng thẳng AI và OC là khoảng cách giữa

hai mặt phẳng lần lợt chứa hai đờng thẳng AI, OC và song song với nhau.Từ I kẻ IJ // OC (J  OB)

Gọi (P) là mp qua AI và IJ, (Q)là mp qua DC và // (P)

Khi đó:

d(AC, AI) = d ((P) (Q)) = d (O, (P)) = OH = a5 .

Cách 4: Xem khoảng cách giữa 2 đờng thẳng AI và OC là chiều cao hình

chóp có đỉnh là một điểm nằm trên một đờng thẳng (chẳng hạn O  OC) đáynằm trên mặt phẳng // đờng thẳng đó và chứa đờng thẳng còn lại (mp (AIJ)).Hình chóp OAIJ

Ta có d(OC, AI) = OAIJ

3VSTrong đó:

a

Cách 5: Xem khoảng cách giữa hai đờng thẳng AI, OC là chiều cao hình hộp

có hai đáy chứa 2 đờng thẳng trên.Dựng hình hộp AMNPOCDI

Gọi V là thể tích của hình hộp Khi đó d (OC, AI) =

VSTrong đó V = AO SOCDI = 2AO SOCI

AI = OC AJ

AJ =

22 aa

i

Tính độc đáo của t duy đợc đặc trng bởi các khả năng.- Khả năng tìm ra những hiện tợng và những kết hợp mới.

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bênngoài liên tởng nh không có liên hệ với nhau.

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệmật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từhoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiệncho việc tìm đợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau(tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất đợc nhiều phơng án khác nhau mà cóthể tìm đợc giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố này có quan hệkhăng khít với các yếu tố khác nh: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạycảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trng nói trên cùng góp phần tạo nên t duysáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con ngời.

1.4 Vận dụng t duy biện chứng để phát triển t duy sáng tạo cho học sinh.

T duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh vànhiệm vụ của ngời thầy giáo là rèn luyện cho học sinh năng lực xem xét cácđối tợng và hiện tợng trong sự vận động, trong những mối liên hệ, mối mâuthuẫn và trong sự phát triển.

T duy biện chứng rất quan trọng, nó là cái giúp ta phát hiện vấn đề và địnhhớng tìm tòi cách giải quyết vấn đề, nó giúp ta cũng cố lòng tin khi trong việctìm tòi tạm thời gặp thất bại, những khi đó ta vẫn vững lòng tin rằng rồi sẽ cóngày thành công và hớng tìm đến thành công là cố nhìn cho đợc mỗi khái niệmtoán học theo nhiều cách khác nhau, càng nhiều càng tốt.

T duy sáng tạo là loại hình t duy đặc trng bởi hoạt động và suy nghĩ nhậnthức mà những hoạt động nhận thức ấy luôn theo một phơng diện mới, giảiquyết vấn đề theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnh hoàn toàn mới,xem xét sự vật hiện tợng, về mối quan hệ theo một cách mới có ý nghĩa, cógiá trị Muốn đạt đợc điều đó khi xem xét vấn đề nào đó chúng ta phải xemxét từ chính bản thân nó, nhìn nó dới nhiều khía cạnh khác nhau, đặt nó vàonhững hoàn cảnh khác nhau, nh thế mới giải quyết vấn đề một cách sángtạo đợc Mặt khác t duy biện chứng đã chỉ rõ là khi xem xét sự vật phải xem xétmột cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó, tức là phải xem xét sự vật trongtất cả các mặt, các mối quan hệ trong tổng thể những mối quan hệ phong phú,phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự vật khác Đây là cơ sở để học sinh họctoán một cách sáng tạo, không gò bó, đa ra đợc nhiều cách giải khác nhau.

Điều đó có nghĩa là chúng ta phải rèn luyện t duy biện chứng cho họcsinh hay nói cách khác là rèn luyện t duy biện chứng cho học sinh từ đó cóthể rèn luyện đợc t duy sáng tạo cho học sinh.

Ví dụ: Xét bài toán sau đây: "Cho tam giác ABC, về phía ngoài của tam

giác đó ta dựng các tam giác đều ABC', ACB', BCA' Chứng minh rằng tam giácIJK tạo thành từ các điểm là tâm của các tam giác đều trên là một tam giác đều".

Trớc hết ta cha nêu ra lời giải bài toán ngay mà hãy đặt bài toán trongnhững mối liên hệ, xem xét nó trong sự vận động, nhìn bài toán dới nhiều góc độkhác nhau để tìm phơng án giải quyết tối u nhất, sáng tạo nhất.

Đối với bài toán chứng minh một tam giác là một tam giác đều chúng taphải hớng học sinh nhìn nhận tam giác đều dới nhiều khía cạnh khác nhau đểtìm ra các lời giải cho bài toán:

- Nếu ta nhìn tam giác đều là một tam giác có ba cạnh bằng nhau chúngta sẽ có hớng chứng minh ba cạnh của tam giác bằng nhau:

Ta tìm cách biến đổi để có biểu thức của KJ2 đối xứng đối với a, b, c.

Chú ý rằng bc.sinA SΔABCABC2

 và b2 c2  2bc.cosAa2 Ta có

Do đó

Cách giải 1:

Chứng minh JI = JK = KI.Trong tam giác AKJ ta có:

KJ2 = AK2+AJ2-2.AK.AJ.cosKAJ

Gọi các cạnh của tam giác ABC lần lợtlà a, b, c thì

Còn cosKAJ cos(A 60   o)

Vì biểu thức KJ2 đối xứng đối với a, b, c nên một cách tơng tự ta có:

2 JI KI

KJ   Suy ra KJ JIKI hay tam giác IJK đều.

- Nếu ta nhìn tam giác đều là một tam giác có ba góc bằng nhau ta sẽ cóhớng chứng minh ba góc của tam giác bằng nhau:

Ta yêu cầu học sinh hãy xét bài toán này xem trong bản thân nó cónhững mối liên hệ nào? Lúc này buộc học sinh phải suy nghĩ, phải đặt bàitoán trong những mối liên hệ khác, ta có cách giải 2:

Cách giải 2: Chứng minh ba góc I, J, K bằng nhau:

Hoàn toàn tơng tự ta có: JKI KIJ 60   0

(Nếu O nằm ngoài tam giác ABC ta cũng có cách chứng minh t ơng tựnh trên).

Vậy ta có tam giác IJK là tam giác đều.

* Khi đã nêu đợc hai cách giải của bài toán và nêu nhận xét bây giờ giáoviên yêu cầu học sinh hãy đặc biệt hóa các giả thiết của bài toán để làm sángtỏ hơn bài toán và có thể tìm ra các bài toán tơng tự.

Giả sử tam giác ABC có đỉnh C trùng với đỉnh A Nhìn vào hình vẽ ta thấy: Dễ dàng chứngminh đợc rằng tam giác AO1O2 là tam giác đều.

Vậy ta cũng có kết quả hoàn toàn tơng tự.- Bây giờ ta xét trờng hợp nếu các tam giácđều đợc dựng về phía trong của tam giác ABC thìsẽ có điều gì?

Nếu ta nhìn miền trong và miền ngoài của tam giác trong sự thống nhấtthì kết quả là ta cũng thu đợc một điều tơng tự nh trên.

* Nếu ta thay tam giác ABC bằng hình bình hành ABCD tức là ta xemtam giác là hình bình hành có hai đỉnh trùng nhau thì ta sẽ có kết quả gì?

Nếu xem tam giác là hình bình hành có hai đỉnh trùng nhau thì từ cáccách dựng tam giác đều về phía ngoài của tam giác bây giờ trên các cạnh củahình bình hành ta dựng các hình vuông về phía ngoài của hình bình hành.

Vậy tứ giác tạo bởi tâm của các hình vuông có tính chất gì tơng tự trên không?- Học sinh vẽ hình và dự đoán rằng nếu ABCD là hình bình hành thìIKLM là hình vuông.

Từ đó sẽ đa học sinh đến việc chứng minh xem dự đoán đó có đúng không.

Thật vậy, vì ABCD là hình bình hành nên ta có I và L, K và M đối xứngnhau qua O (O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD), suy ra IKLM là

hình bình hành Mặt khác, ta có hai tam giác IBK và IAM bằng nhau (c.c.c)nên ta suy ra góc KIM là góc vuông Vậy IKLM là hình vuông.

1.5 Tiềm năng của hình học trong việc bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh.

Trong quá trình học Toán thì kỹ năng vận dụng Toán học là quan trọngnhất, nhà trờng phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh những kiến thứcToán học, mà còn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng tính độc lập, sự độcđáo và khả năng sáng tạo.

Các nhà tâm lý học cho rằng: "Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các ơng pháp logic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặc kếtquả không đáp ứng đợc các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải pháp mớitốt hơn giải pháp cũ".

ph-Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải đợc khai thácvà sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển t duy sángtạo biểu hiện ở các mặt nh: khả năng tìm hớng đi mới (khả năng tìm nhiều lờigiải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác cáckết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán).

Chủ đề hình học chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc bồi dỡngvà phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh Bên cạnh việc giúp học sinh giảiquyết các bài tập sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đóthông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản,tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình.

Trong quá trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải quyết hệthống bài tập mới, tạo cho học sinh phát hiện vấn đề mới, đó là vấn đề quantrọng mà ta cần quan tâm bồi dỡng cho học sinh

Có nhiều phơng pháp khai thác khác các bài tập cơ bản trong sách giáokhoa, để tạo ra các bài toán có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuầnnhuyễn, tính độc đáo của t duy.

Trên cơ sở phân tích khái niệm t duy sáng tạo cùng những yếu tố đặctrng của nó và dựa vào quan điểm: bồi dỡng từng yếu tố cụ thể của t duy sángtạo cho học sinh là một trong những biện pháp để phát triển năng lực t duysáng tạo cho các em Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dỡng tính mềm dẻo của tduy sáng tạo với các đặc trng: dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sanghoạt động trí tuệ khác, suy nghĩ không rập khuôn; khả năng nhận ra vấn đềmới trong điều kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối t-

ợng quen biết Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dỡng tính nhuần nhuyễn của tduy sáng tạo với các đặc trng: khả năng tìm đợc nhiều giải pháp trên nhiềugóc độ và hoàn cảnh khác nhau, khả năng xem xét đối tợng dới những khíacạnh khác nhau Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dỡng tính nhạy cảm vấn đề củat duy sáng tạo với các đặc trng: nhanh chóng phát hiện những vấn đề tìm rakết quả mới, tạo đợc bài toán mới, khả năng nhanh chóng phát hiện ra cácmâu thuẫn, thiếu logic.

Ngoài ra t duy hình học mang những nét đặc trng quan trọng và cơ bảncủa t duy toán học Việc phát triển t duy hình học luôn gắn với khả năng pháttriển trí tởng tợng không gian, phát triển t duy hình học luôn gắn liền với việcphát triển của phơng pháp suy luận; việc phát triển t duy ở cấp độ cao sẽ kéotheo sự phát triển t duy đại số Nh vậy để nâng dần cấp dộ t duy trong dạy họchình học, việc dạy học phải đợc chú ý vào: phát triển trí tởng tợng không gianbằng cách: giúp học sinh hình thành và tích luỹ các biểu tợng không gian mộtcách vững chắc, biết nhìn nhận các đối tợng hình học ở các không gian khácnhau, biết đoán nhận sự thay đổi của các biểu tợng không gian khi thay đổimột số sự kiện.

Nh vậy tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi dỡng t duy sángtạo cho học sinh là rất lớn.

1.6 Kết luận chơng 1

Trong chơng này luận văn đã làm rõ các khái niệm t duy, t duy sángtạo, nêu đợc các yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo, và vận dụng đợc t duybiện chứng để phát triển t duy sáng tạo, đồng thời nêu đợc tiềm năng của chủđề Hình học trong việc bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh.

Việc bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạy họcgiải bài tập toán là rất cần thiết bởi qua đó chúng ta giúp học sinh học tập tíchcực hơn và kích thích đợc tính sáng tạo của học sinh trong học tập và trongcuộc sống.

Vậy công việc của mỗi giáo viên trong quá trình dạy học là tìm ra đợccác phơng pháp nhằm phát triển và rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh

Ch ơng 2

Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theođịnh hớng bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh

2.1 Vấn đề 1: Rèn luyện t duy sáng tạo qua bài toán dựng hình

Toán dựng hình là vấn đề khá lý thú của toán học phổ thông Nó giúpphát triển t duy logic, óc sáng tạo vì đòi hỏi tự tạo ra hình vẽ cần thiết để suyluận tìm ra cách giải.

2.1.1 Vài nét về lịch sử hình học dựng hình.

Vào các thế kỷ thứ t và thứ năm trớc công nguyên các nhà toán họcHiLạp nổi tiếng đã quan tâm đến dựng hình hình học nh Pitago, Hipôcrat,ơclit, Apôlôniut.

Trờng phái Pitago đã thành công trong một số bài toán tơng đối phứctạp nh dựng hình ngũ giác đều Vào thế kỷ thứ 5 trớc công nguyên có ba bàitoán nổi tiếng Chia ba một góc, gấp đôi hình lập phơng và cầu phơng hìnhtròn (không giải đợc bằng thớc và compa).

Đến thế kỷ thứ 6 trớc công nguyên, Ơclit ngời sáng lập hệ hình học đầutiên đã nêu lên những tiên đề quan trọng nhất của hình học chứng tỏ vai tròcủa dựng hình trong toán học nh:

- Có thể vạch một đờng thẳng từ một điểm tới 1 điểm khác.- Có thể liên tục kéo dài một đờng thẳng bị giới hạn.

- Với mỗi một tâm và mỗi một khoảng cách có thể vạch đợc một đờng tròn.Các nhà hình học cổ HiLạp đã giải đợc những bài toán dựng hình khóbằng thớc và compa, chẳng hạn Apôlôni Pecxki đã giải đợc bài toán nổi tiếngmang tên ông: "Dựng một đờng tròn tiếp xúc với ba đờng tròn cho trớc" Họlại giải đại số với dựng hình nh: Giải phơng trình bậc nhất và phơng trình bậchai bằng dựng hình.

Những ngời sáng lập ra toán học hiện đại đã quan tâm nhiều đến các bàitoán dựng hình Đềcác và NewTơn đã giải bài toán chia ba một góc bằng cácthiết diện hình nón, giải đợc bài toán Apôlôni cùng với Ơle.

Việc khảo cứu nhiều vấn đề hình học đợc dựa vào hình học dựng hình,đặc biệt đối với cách chứng minh sự tồn tại, chẳng hạn sự tồn tại tâm của mộtđờng tròn nội tiếp trong tam giác, sự tồn tại của những tam giác đồng dạng, sựtồn tại của những đờng thẳng song song, đều đợc chứng minh bằng phépdựng hình.

2.1.2 Giải một bài toán dựng hình là gì?.

Giải một bài toán dựng hình là tìm đợc 1 hình thoả mãn những điềukiện trong bài toán.

Nói nh thế cha đủ, vì điều kiện quan trọng là dùng những dụng cụ gì đểdựng hình Bởi vì trong thực tiễn cuộc sống đòi hỏi tính hiệu quả của côngviệc Hiệu quả càng cao thì công việc có giá trị Làm sao khi dựng hình, số l-ợng dụng cụ sử dụng là ít nhất.

Ví dụ với bài toán "dựng một góc bằng 200, lấy 1 tia cho trớc làmcạnh", nếu dùng thớc đo góc thì bài toán rất đơn giản, nhng nếu chỉ dùng thớcvà compa thì bài toán này không giải đợc! (ngời ta đã chứng minh rằng chỉdùng thớc và compa thì không thể dựng đợc 1 góc = 200)

2.1.2.1 Tại sao chỉ dùng thớc và compa?

Các nhà toán học cổ HiLạp chỉ xem phép dựng dùng thớc và compa làhợp pháp, có tính chất hình học chân chính và không công nhận việc sử dụngcác dụng cụ khác để dựng hình.

Quan điểm đó vẫn tồn tại cho đến ngày nay Họ cũng đã thành côngtrong việc giải những bài toán dựng hình rất khó bằng thớc và compa Họ coithớc kẻ là vô hạn vì chỉ có một cạnh , coi compa có tính chất dùng để vẽnhững đờng tròn có bán kính tuỳ ý.

Cơ sở lý luận của hình học dựng hình là những tiên đề sau đây.

d) Một đờng thẳng xác định bởi hai điểm dựng đợc thì coi nh dựng đợc.

* Tiên đề về cái compa:

đ) Một đờng tròn xác định bởi một tâm dựng đợc, một bán kính dựng ợc thì coi nh dựng đợc.

đ-Hai tiên đề d và đ biểu thị dới hình thức trừu tợng về cái thớc và compa.Theo hai tiên đề này thì muốn thực hiện một phép dựng hình bằng thớc vàcompa thì phải có ít nhất hai điểm Nhng nhiều khi trong đề bài chỉ có mộtđiểm hoặc không có điểm nào cả.

đ-2.1.2.2 Giải một bài toán dựng hình bằng thớc và compa là chỉ rõ thứ tự áp

dụng các tiên đề a, b, c, d, đ ở trên để đa những tiên đề cha biết về những yếutố dựng đợc.

Ví dụ bài toán dựng hình sau:

Qua một điểm A ở ngoài một đờng thẳng d dựng đờng thẳng song songvới d.

e) Kẻ đờng thẳng qua A và P (tiên đề d).

Tóm lại giải bài toán dựng hình trên đòi hỏi phải lần lợt áp dụng cáctiên đề b, đ, đ, , c, đ, c, d (Dĩ nhiên trớc hết bao giờ cũng là tiên đề a).

Chú ý: Tuy nhiên nhiều khi ngời ta không nêu hai tiên đề a và b mà

d

c) Lấy giao điểm của 2 đờng thẳng đã biết(tiên đề c).

2.1.2.3 Dựng hình bằng các dụng cụ khác.

Nếu không dùng thớc và compa mà dùng những dụng cụ khác để dựng nh:Thớc thẳng có 2 biên, Êke, thì ta vẫn dùng 3 tiên đề a, b, c còn hai tiên đề d, đ đợcthay bằng những tiên đề phản ánh tính chất của những dụng cụ mới.

a) Dựng hình bằng thớc có hai biên:- Tiên đề về thớc thờng (dùng 1 biên).

- Một đờng thẳng song song với một đờng thẳng dựng đợc và cách nómột khoảng d thì xem nh dựng đợc (hằng số d ứng với bề rộng của thớc 2biên).

- Nếu có hai điểm dựng đợc A và B và AB > d thì hai cặp đờng thẳng cáchnhau một khoảng d và theo thứ tự đi qua A và B đợc xem nh dựng đợc.

Ví dụ: Dựng phân giác của góc xOy

Cách dựng:

- Dựng x'//x và cách x một khoảng d (tiên đề).- Tơng tự dựng y'//y (tiên đề)

- Lấy giao điểm A của x' và y' (tiên đề c) - Vẽ đờng thẳng qua O và A (tiên đề d).b) Dựng hình bằng Êke.

- Đờng thẳng đi qua 1 điểm dựng đợc tạovới một đờng thẳng dựng đợc một góc  bằng900, 600, 300 hoặc 900 và 450, thì xem nh dựng đ-ợc (**).

- Một điểm của một đờng thẳng dựng đợc mà từ đó ta thấy 2 điểm dựngđợc dới một góc  thì xem nh dựng đợc (.)

Eke thờng có ba góc 900, 600 và 300 hoặc 900 và 450.

Ví dụ: Gấp đôi một đoạn thẳng AB bằng Eke.

- Qua B dựng đờng thẳng tạo với AB một góc 600 và qua A dựng đờngvuông góc với AB (tiên đề **).

- Lấy giao điểm của hai đờng vừa dựng (tiên đề c).

- Trên BA kéo dài dựng điểm C nhìn BD dới góc 600 (tiên đề (.) ) hoặcqua D dựng đờng thẳng tạo với BD một góc 600.

2.1.2.4 Giá trị lý luận và thực tế của các dụng cụ dựng hình.

y'yd

Bốn dụng cụ; Compa, thớc, thớc hai biên và eke đều quan trọng nh nhauvề giá trị lý luận chặt chẽ, chính xác và giá trị thực tế của chúng trong đờisống và sản xuất.

Năm 1787 nhà khoa học ý MaxkêRôni đã chứng minh rằng:

Bất kỳ bài toán nào có thể giải đợc bằng thớc và compa đều có thể giảiđợc bằng một mình compa thôi.

Năm 1890 Ađơle đã chứng minh rằng: Bất kỳ bài toán nào giải đợcbằng thớc và compa đều có thể giải đợc bằng một cái thớc hai biên hoặc bằngeke.

Trong thực tế kinh nghiệm cho thấy rằng ba dụng cụ: Compa, thớc vàeke là những dụng cụ cần thiết và tiện lợi nhất cho ngời vẽ.

2.1.3 Các phép dựng hình cơ bản.

Có thể sắp xếp và phân loại các phép dựng hình cơ bản thành 4 loại vềđờng thẳng, đờng tròn, tỷ lệ và diện tích.

e) Qua một đểm cho trớc dựng một đờng thẳng vuông góc với một đờngthẳng cho trớc.

g) Chia một đoạn thẳng cho trớc ra nhiều phần bằng nhau.

h) Dựng  biết ba cạnh (c c c.), biết hai góc và cạnh kề hai góc đó(g.c.g), biết hai cạnh và góc xen giữa (c.g.c).

i) Dựng tam giác đều hoặc hình vuông khi biết một cạnh của nó.k) Dựng hình chữ nhật khi biết 2 cạnh kề nhau

l) Lấy một đờng thẳng đã biết làm một cạnh dựng một góc bằng 600

d) Chia đôi một cung cho trớc.

đ) Từ một điểm cho trớc ở ngoài hoặc ở trên đờng tròn dựng tiếp tuyếncủa đờng tròn đó.

e) Dựng cung chứa góc.

2.1.3.3 Loại tỷ lệ.

a) Cho trớc 3 đoạn thẳng dựng đoạn thẳng tỷ lệ thứ t.

b) Chia 1 đoạn thẳng cho trớc thành 2 phần sao cho tỷ số của chúngbằng tỷ số đã biết m

b) Dựng hình vuông có diện tích bằng diện tích của hai hình vuông cho trớc.

2.1.4 Các bớc giải của bài toán dựng hình.

Ngay từ thế kỷ thứ t TCN, các nhà hình học cổ HiLạp đã tìm ra đờnglối chung để giải 1 bài toán dựng hình gồm bốn bớc; Phân tích, dựng hình,chứng minh và biện luận.

2.1.4.1 Bớc phân tích.

Phân tích là phần quan trọng nhất giúp lập phơng án dựng để tìm ra lờigiải của một bài toán làm cơ sở xác định đợc mối quan hệ giữa các yếu tố phảitìm (giống nh khi giải bài toán đại số ta chọn ẩn biểu thị bằng chữ x chẳnghạn rồi lập mối liên hệ giữa x với các đại lợng đã cho của bài toán từ đó màlập đợc phơng trình).

Nh thế trớc hết phải vẽ một hình tơng ứng với hình phải dựng (tức là giảsử hình vẽ đã dựng đợc thoả mãn điều kiện của bài toán) Qua hình vẽ pháthiện những yếu tố cho trớc và những yếu tố phải dựng.

Ví dụ bài toán sau đây:

cc'

Dựng tam giác ABC biết cạnhđáy AC = b; góc A =  kề với đáy vàtổng của hai cạnh kia AB + BC = S".

Trớc hết ta giả sử ABC đã dựng đợc (hình vẽ) Nh thế trên hình vẽ tađã biết cạnh đáy AC, góc A còn tổng hai cạnh kia không có Để thể hiện tổngS ta kéo dài cạnh AB và đặt trên đờng kéo dài cạnh BC' = BC, thế là ta có AC'= S đã cho.

Nếu nối C với C' thì AC'C có thể dựng đợc ngay (Dựng  biết 2 cạnhvà góc xen giữa).

Dựng đợc AC'C này chỉ còn phải dựng điểm B trên cạnh AC' để có ợc ABC cần dựng.

đ-Lu ý rằng nếu ta thể hiện tổng S bằng cách kéo dài cạnh CB trên đó đặtđoạn BA' = BA để có CA' = S thì việc dựng AA"C không dễ dàng.

Vậy bớc phân tích liên quan tới hình vẽ ban đầu, do đó hình vẽ để phântích phải đợc vẽ cẩn thận và chính xác.

Với bài toán trên, cách dựng sẽ nh sau:

- Trên đờng thẳng bất kỳ xy dựng đoạn AC = b- Lấy AC làm cạnh A = .

- Kéo dài AB, trên đờng kéo dài dựng đoạn BC' = BC;- Dựng AC'C (biết góc A và hai cạnh AC', AC).- Dựng trung trực của CC'.

- Lấy giao điểm B của trung trực này với AC'.Ta đợc ABC phải dựng.

Sở dĩ phải nêu cách thực hiện phép dựng vì cùng một phép dựng có thểcó những phơng pháp khác nhau Ta hãy xét ví vụ sau:

"Dựng hình bình hành ABCD biết một góc nhọn BAD =  và hai đờngchéo AC = d và BD = e".

Giả sử đã dựng đợc hình bình hành Vì các đờng chéo cắt nhau tại trungđiểm của mỗi đờng nên có thể dựng đợc ngay ABD biết đáy BD=e, góc ởđỉnh BAD  và trung tuyến AO 1d

- Dựng cung chứa góc  vẽ trênđoạn BD.

 - Dựng đờng tròn có tâm là trung điểm của BD và có bán kính d2.- Lấy giao điểm của cung chứa góc và đờng tròn (có 2 giao điểm).- Nối các giao điểm này với B và D, ta đợc BAD (và BA'D).

Có thể bổ sung tam giác thành hình bình hành (Tức là xác định đỉnh thứt C của hình bình hành) bằng nhiều phơng pháp, chẳng hạn:

- Qua B dựng BC // AD, qua D dựng DC// AB.

Trên BD dựng  biết hai cạnh BC = AD và CD và AB, kéo dài AO vềphía O và đặt OC = OA, nối C với các điểm B và D,

2.1.4.3 Bớc chứng minh

Sau khi đã dựng đợc hình cần phải xác nhận xem nó có thoả mãn cácđiều kiện của bài toán hay không, tức là phải chứng minh bằng hình dựng đợcthoả mãn tất cả các điều kiện của đề bài, cách chứng minh này phụ thuộc vàocách dựng Nói cách khác nếu không biết rõ hai bớc phân tích và cách dựngthì không thể nói rằng chứng minh đúng hay sai, vì có thể có những phơngpháp giải bài toán khác nhau và ngay cả khi đã phân tích giống nhau thì cũngcó những cách khác nhau để thực hiện, tức là có cách dựng khác nhau.

Cũng cần nói thêm rằng nếu cách dựng đã rõ ràng thì bớc chứng minhcũng đơn giản.

Trở lại bài toán dựng tam giác (bớc phân tích) cách chứng minh nh sau:ABC có góc A bằng  (theo cách dựng), cạnh đáy, AC = b, tổng AB +BC' = AB + BC = S.

d o e

Vậy tam giác này thoả mãn các điều kiện của bài toán nên ABC làtam giác phải dựng.

Hoặc với bài toán dựng hình bình hành, cách chứng minh phụ thuộc vàocách xác định đỉnh C Nếu xác định đỉnh C bằng cách dựng BC // AD và quaD dựng DC //AB thì bớc chứng minh sẽ nh sau:

- Tứ giác ABCD là hình bình hành về có hai cặp cạnh song song(AD//BC; AB//DC).

- Nó có góc nhọn BAD = , đờng chéo BD = e, đờng chéo AC = 2; AO = d (theo cách dựng ABD).

Vậy hình bình hành này thoả mãn các điều kiện của bài toán nên ABCDlà hình bình hành phải dựng.

2.1.4.4 Bớc biện luận

Khi giải bài toán đại số có tham số thờng đặt ra câu hỏi: Với những yếutố cho trớc nh thế nào thì bài toán giải đợc, không giải đợc Trong giải toándựng hình cũng phải đặt ra câu hỏi nh thế, và mỗi bài toán là một yêu cầu vềdựng một hình thoả mãn các điều kiện xác định, các điều kiện này thờng đợccho bởi các giá trị và vị trí của một số yếu tố của hình.

Việc giải một bài toán dựng hình chỉ đợc coi là xong nếu đợc các điềukiện để lời giải tìm đợc là đáp án của bài toán Một bài toán dựng hình có thểcó một nghiệm hình, hai hoặc hơn 2 nghiệm hình, có vô số nghiệm hình (vôđịnh) hoặc không có nghiệm hình (vô nghiệm).

Nếu một bài toán mà các giả thiết đối với yếu tố cho trớc thu hẹp thìphạm vi các giá trị thích hợp của các yếu tố đó sẽ hẹp đi và bớc biện luận sẽđơn giản đi Hãy xét ví dụ sau đây:

"Dựng đờng tròn tiếp xúc với hai đờng thẳng cho trớc và một đờng tròncho trớc".

Vì đề bài cho hai đờng thẳng bất kỳ nên chúng có thể cắt nhau, hoặcsong song với nhau Nếu chúng cắt nhau thì phần biện luận sẽ phức tạp nhngnếu chúng song song thì đơn giản hơn.

Đối với ví dụ sau: "Dựng tam giác biết hai cạnh và góc đối diện với mộttrong hai cạnh đó", thì góc đã cho có thể là nhọn, vuông hoặc tù, vì thế khibiện luận phải xét đến các trờng hợp ấy Để đơn giản bớc biện luận có thể giớihạn độ lớn của góc, chẳng hạn cho góc nhọn đối diện với một trong hai cạnh,hay có thể hạ thấp hơn mức độ bằng cách cho góc nhọn đối diện với cạnh nhỏ.

Mỗi phơng pháp đều có giá trị riêng của nó Các phơng pháp thờng sửdụng là: phơng pháp tịnh tiến, phơng pháp đối xứng trục, phơng pháp quay,phơng pháp quỹ tích, phơng pháp đồng dạng, phơng pháp đại số.

2.1.5.1 Phơng pháp tịnh tiến

Ví dụ: Dựng hình thang biết bốn cạnh: hai cạnh đáy a và b (a > b) và hai cạnh

bên c và d (c  d)- Phân tích:

Giả sử ABCD là hình thangphải dựng có AD là đáy lớn, BC làđáy nhỏ, AB và CD là hai cạnh bên

Từ B kẻ BD'//CD Tam giácABD' có thể dựng đợc ngay vì biết bacạnh Chỉ còn xác định đỉnh thứ t Ccủa hình thang.

- Cách dựng:

Trớc tiên dựng ABD' biết ba cạnh AB = c; BD' = d và AD' = a - b QuaB kẻ tia song song với AD', trên tia này dựng điểm C sao cho BC = b Cuốicùng qua C kẻ CD//BD' cắt AD' kéo dài tại D ABCD là hình thang phải dựng.

2.1.5.2 Phơng pháp đối xứng trục

Ví dụ: Cho đờng thẳng d cắt đoạn thẳng AB Tìm trên d một điểm M sao cho

đờng thẳng d là phân giác của góc AMB.

c'Gọi A' là điểm đối xứng của A qua trục d,ta có: AM = A'M và

Do đó: MNA = MNA'Suy ra: NMA NMA'

Vậy điểm B phải nằm trên A'M,nói cách khác điểm M phải nằm trênA'B Do đó ta dựng đợc giao điểm Mcủa đờng thẳng A'B với đờng thẳng d.

Bài toán có một nghiệm hình nếu khoảng cách từ A và B đến d khôngbằng nhau Nếu các khoảng cách này bằng nhau nhng hai điểm A và B khôngđối xứng nhau qua d thì bài toán vô nghiệm (vì A'B // d) Cuối cùng nếu A vàB đối xứng nhau qua d thì bài toán vô định: Bất cứ điểm nào trên d đều thoảmãn.

- Cách dựng: Từ điểm A tuỳ ý trên đờng thẳng a hạ AH  b Dựngtrung điểm C của đoạn AB Quỹ tích n điểm cách đều a và b là đ ờng thẳng cđi qua điểm C và song song với a,b cách a,b một đoạn bằng d

2 .Quỹ tích thoả mãn điều kiện thứ 2 là đờng tròn (P, d

2 ).

Lấy giao điểm O1 của đờng tròn này với đờng thẳng C1 dựng đờng tròn(O1; O1P) đó là đờng tròn phải tìm.

- Chứng minh: đờng tròn (O1; O1P) tiếp xúc với 2 đờng thẳng a và b vì

khoảng cách từ tâm O1 đến hai đờng thẳng này bằng nhau và bằng 1

2d đờngtròn này lại qua điểm P theo cách dựng Vậy nó thoả mãn bài toán.

Ví dụ: Trong tam giác ba góc nhọn ABC hãy dựng hình vuông sao cho hai

đỉnh của nónằm trên đáy tam giác và hai đỉnh kia nằm trên hai cạnh bên.

Để giải bài toán phải chọn trong số các hình vuông K"L"M"N"đồngdạng với hình vuông K'L'M'N' hình nào mà điểm M'' nằm trên BC Trong tr-ờng hợp này điểm M'' sẽ là giao điểm của hai đờng thẳng AM' và BC Suy racách dựng sau:

- Cách dựng:

a) Dựng hình vuông ng K'L'M'N'thoả mãn hai điều kiện ban đầu.

b) Dựng đờng thẳng AM' và lấygiao điểm M của nó với cạnh BC.

c) Qua M kẻ đờng thẳng songsong với M'N' ta lấy giao điểm M củanó với cạch BC.

d) Từ M và N hạ các đờng vuông góc ML và NK xuống AB Ta đợcKLMN là hình vuông phải dựng.

Thật vậy, KLMN là hình vuông theo cách dựng, nó đồng dạng với hìnhvuông K'L'M'N' và thoả mãn điều kiện của đề bài là hai đỉnh M và N nằm trên2 cạnh BC và AC Bài toán có 1 nghiệm hình.

2.1.5.6 Phơng pháp đại số.

Ví dụ: Lấy đỉnh của một tam giác cho trớc làm tâm hãy dựng ba đờng tròn

từng đôi tiếp xúc ngoài với nhau.

- Giải: Giả sử ABC là tam giác cho trớc mà ba cạnh là a, b, c, và x, y, zlà bán kính các đờng tròn phải dựng.

B M DN

Ta tính độ dài các bán kính x, y, z theo ba cạnh a, b, c ta có: x + y = c; x+ z = b; y + z = a.

2 

2 

a b cz

2 

đoạn thẳng chẳng hạn x theo công thức x

2 

; rồi vẽ đờng tròn (A, x) Sauđó vẽ tiếp các đờng tròn tâm B và C bánkính tơng ứng c - x và b - x.

Để chứng minh chỉ cần nhận xét rằng hai đờng tròn cuối tiếp xúc nhauvì tổng các bán kính của chúng (c- x) + (b - x) = c + b - 2x = c + b - (c + b -a) = a = BC tức là khoảng cách giữa hai tâm.

Bài toán luôn có một nghiệm hình vì trong ABC thì b + c > a nên x có

thể dựng đợc, ngoài ra c - x = c- c b a a c b0

 Vì a + b > c nên b > x.

2.1.6 Dựng hình chỉ dùng thớc (không dùng compa).

2.1.6.1 Xét hai bài toán sau:

a) "Cho tam giác ABC có E là ờng trung bình Hãy dựng tam giác màba cạnh lại là ba trung tuyến AD, BF,CE của tam giác đã cho".

đ-Kéo dài đờng thẳng đờng thẳng EF rồi từ C kẻ đờng thẳng song songvới AB cắt EF kéo dài tại K Tam giác AKD là tam giác phải dựng.

Thật vậy, do EK = BC nên FK = BD và FB = DK, tứ giác AKCE là hìnhbình hành Vậy AK = EC Suy ra các cạnh của tam giác AKD bằng các trungtuyến của tam giác ABC.

mb) " Cho tam giác ABC có EF là đ-

ờng trung bình Hãy tìm trên cạnh đáyBC một điểm M sao cho BM = 1BC

3 .".Dựng trung điểm D của cạnh đáyBC và giao điểm N của 2 đờng thẳng EBvà DE, kẻ đờng thẳng AN cắt BD tại Mvà EF tại P (hình vẽ).

Xét ABM có BM = 2EP Từ hình bình hành BEFD có EM = ND Xéthai tam giác bằng nhau EPN và DMN suy ra EN = MD Nh thế BM = 2MD,tức là 3MD = BD, do đó BM = 1BC

3 Vậy M là điểm phải dựng.

2.1.6.2 Dựng đờng vuông góc với đờng kính.

"Từ một điểm M ở ngoài hoặc ở trong một đờng tròn đờng kính AB chotrớc hãy dựng đờng vuông góc với AB".

Nối M với hai đầu A và B của đờng kính cắt đờng tròn lần lợt tại B' vàA' Hai đờng thẳng AA' và BB' cắt nhau tại H là trực tâm của MAB ( Vì haigóc nộitiếp A' và B' đều vuông) Do đó MH phải là đờng cao thứ ba, tức làMM' AB.

Có thể đờng vuông góc dựng từ M tới AB không cắt đờng tròn trực tâmH nằm ngoài MAB.

2.1.7 Dựng hình chỉ dùng compa (không dùng thớc).

2.1.7.1 Xét bài toán sau đây.

Có thể dựng điểm E là giao điểm của hai đờng tròn ( C, DD') và (D',

DC) xét hai tam giác đồng dạng CLC' và ED'C' ta có C ' E C 'C

C ' D ' C ' L Do đó cóthể dựng đoạn C'L là đoạn tỷ lệ thứ t của ba đoạn C'E, C'D' và C C' Điểm Mphải tìm sẽ là giao điểm của hai đờng tròn(C',C'L) và (C, C'L).

f

a bc

Phân tích: - Giả sử O là điểm tìm

tổng các khoảng cách từ O đến các đỉnhlà (OA + OC) + (OB + OD) Tổng cáckhoảng cách từ O đến A và C là ngắnnhất nếu ba điểm A, O, C thẳng hàng T-ơng tự tổng các khoảng cách từ O đến Bvà D là ngắn nhất nếu ba điểm B, O, Dthẳng hàng Suy ra Ophải là giaođiểm haiđờng chéo của tứ giác ABCD.

- Cách dựng: Nối hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại O Điểm O làđiểm cần dựng.

- Chứng minh: Thật vây,do A, O, C thẳng hàng nên tổng OA + OC làngắn nhất Tơng tự tổng OB + OD là ngắn nhất Suy ra tổng OA + OB + OC +OC là ngắn nhất.

- Biện luận: Bài toán luôn có 1 nghiệm hình.Chú ý: Ta có thể xét bài toán tơng tự sau đây:

"Tìm một điểm O trong mặt phẳng của tứ giác ABCD sao choAO + OB - OC -OD là nhỏ nhất về giá trị tuyệt đối, biết rằng OA = ODhoặc OA = OC".

- Cách chứng minh nh sau: Tổng Oa + OB - OC - OD là nhỏ nhất vềgiá tị tuyệt đối khi tổng này =0.

a) Nếu OA = OD và OB = OC (h a) thì O là giao điểm của hai đ ờngtrung trực của AD và BC

a d' dc

Khi đó ta phải chứng minh rằng: CD = BD'

- Coi C là giao điểm của hai cung tâm D, bán kính DC = d và tâm B bánkính BC = b thì trong hai giao điểm C và C1 chỉ có C là điểm phải tìm, vì tacòn phải chứng minh BC // AD hoặc CD // BD'.

- Nếu dựng đờng thẳng qua B song song với AD và đặt BC2 về bên tráithì điểm C2 sẽ không thích hợp và chỉ có điểm C là điểm phải tìm.

Bài toán 3: Dựng hình bình hành ABCD biết một cạnh AB = a, tổng hai đờng

chéo AC + BD = d và góc tạo bởi hai đờng chéo bằng .- Phân tích: Giả sử ABCD là hình

bình hành đã dựng đợc Trong đó O làgiao điểm hai đờng chéo và AOB 

- Cách dựng: Dựng AEB biết hai cạnh EA =d

2, AB = a, và góc đối vớicạnh a bằng 

 .

+ Dựng điểm O trên cạnh AE bằng cách dựng tia Bx sao cho EBx ,cắt AE tại O.

+ Trên Ox dựng điểm D sao cho OD = OB, rồi trên AE kéo dài lấyđiểm C sao cho OC = OA.

Nối AD, DC, CB ta đợc hình bình hành ABCD cần dựng.- Chứng minh:

đ Biện luận: Nếu a d2

 thì bài toán không có nghiệm hình- Nếu a d

 thì sau khi dựng đợc AE và góc AEB, cung tròn tâm A bánkính a có thể không gặp EB hoặc có thể gặp EB tại một điểm hoặc cắt nhau tạihai điểm Do đó bài toán có khi vô nghiệm, có khi có một hoặc hai nghiệmhình.

- Chú ý:

1) Nếu với bài toán trên ta thấytổng hai đờng chéo bằng hiệu hai đờngchéo là AC - BD = h thì cách giải sẽ nhsau:

- Đặt trên đoạn OA một đoạnOF = OB

- Dựng AFB biết hai cạnh AB =

2) Ngoài ra có thể giải thêm bài toán sau: "Dựng hình bình hành biết hai đờngchéo và một góc"

Giả sử phải dựng hình bình hànhABCD biết hai đờng chéo AC = p và BD= q và góc nhọn tại A bằng  Ta chỉ cầndựng ABD biết góc A bằng , cạnh BD= q và trung tuyến AO P

2

Dựng đợc tam giác này chỉ cần bổ sung nó cho thành hình bình hànhABCD Nh vậy, ta đã quy việc giải bài toán này về việc "dựng một tam giácbiết đáy, trung tuyến và góc ở đỉnh"

Bài toán 4: Dựng tứ giác ABCD biết hai cạnh đối AD = a, BC =b, các góc

- Phân tích: Giả sử ABCD là tứgiác đã dựng đợc

Nếu dời chổ song song AD đếnCG, AC đến BH thì ba tứ giác ACGD,ABHC và DBHG đều là hình bình