Bài toán 1: Tìm trong tứ giác ABCD một điểm O sao cho tổng các khoảng cách từ O đến các đỉnh là nhỏ nhất.
Phân tích: - Giả sử O là điểm tìm tổng các khoảng cách từ O đến các đỉnh là (OA + OC) + (OB + OD). Tổng các khoảng cách từ O đến A và C là ngắn nhất nếu ba điểm A, O, C thẳng hàng. Tơng tự tổng các khoảng cách từ O đến B và D là ngắn nhất nếu ba điểm B, O, D thẳng hàng. Suy ra Ophải là giaođiểm hai đờng chéo của tứ giác ABCD.
- Cách dựng: Nối hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại O. Điểm O là điểm cần dựng.
- Chứng minh: Thật vây,do A, O, C thẳng hàng nên tổng OA + OC là ngắn nhất. Tơng tự tổng OB + OD là ngắn nhất. Suy ra tổng OA + OB + OC + OC là ngắn nhất.
- Biện luận: Bài toán luôn có 1 nghiệm hình. Chú ý: Ta có thể xét bài toán tơng tự sau đây:
"Tìm một điểm O trong mặt phẳng của tứ giác ABCD sao cho AO + OB - OC -OD là nhỏ nhất về giá trị tuyệt đối, biết rằng OA = OD hoặc OA = OC".
- Cách chứng minh nh sau: Tổng Oa + OB - OC - OD là nhỏ nhất về giá tị tuyệt đối khi tổng này =0.
a) Nếu OA = OD và OB = OC (h a) thì O là giao điểm của hai đờng trung trực của AD và BC .
o a c b a b c d o a d' d c b b c1 c2 a) b)
b) Nếu OA = OC và OB = OD (hìnhb) thì O là giao điểm của hai đờng trungtrực của hai đờng chéo AC và BD.
Bài toán 2: Dựng hình thang biết bốn cạnh.
Xem cách dựng bằng phơng pháp tịnh tiến ở (2.1.5.1).
Chú ý: Sau khi dựng xong tam giác ABD' ta phải bổ sung nó cho thành hình thang mà cách dựng ở trên chỉ là một cách.
Ta còn có thể dựng theo các cách sau: - Coi cạnh AD là dựng đợc, ta dựng BC//AD và sau khi đặt trên nó đáy nhỏ ta nối điểm C tìm đợc với điểm D
Khi đó ta phải chứng minh rằng: CD = BD'
- Coi C là giao điểm của hai cung tâm D, bán kính DC = d và tâm B bán kính BC = b thì trong hai giao điểm C và C1 chỉ có C là điểm phải tìm, vì ta còn phải chứng minh BC // AD hoặc CD // BD'.
- Nếu dựng đờng thẳng qua B song song với AD và đặt BC2 về bên trái thì điểm C2 sẽ không thích hợp và chỉ có điểm C là điểm phải tìm.
Bài toán 3: Dựng hình bình hành ABCD biết một cạnh AB = a, tổng hai đờng chéo AC + BD = d và góc tạo bởi hai đờng chéo bằng α.
a b
d c
o
e
- Phân tích: Giả sử ABCD là hình bình hành đã dựng đợc . Trong đó O là giao điểm hai đờng chéo và AOBã = α.
Ta có AO BO 1(AC BD) d
2 2
+ = + = .
∆AOB có thể dựng đợc ngay vì viết một góc xen giữa hai cạnh. Từ đó xác định tiếp các đỉnh C và D còn lại của hình bình hành.
- Cách dựng: Dựng ∆AEB biết hai cạnh EA =d
2, AB = a, và góc đối với cạnh a bằng α
2 .
+ Dựng điểm O trên cạnh AE bằng cách dựng tia Bx sao cho EBxã =α 2 ,
cắt AE tại O.
+ Trên Ox dựng điểm D sao cho OD = OB, rồi trên AE kéo dài lấy điểm C sao cho OC = OA.
Nối AD, DC, CB ta đợc hình bình hành ABCD cần dựng. - Chứng minh:
+ Vì OE = OB nên OA + OB = OA +OE = AE = d 2 mà OC ≠ OD = OA + OB =d
2 nên AC +BD = d.
Tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đờng nên là hình bình hành mà một cạnh AB = a. Ngoài ra AOB 2AEBã = ã (góc ngoài của ∆OEB) bằng α. Vậy hình bình hành ABCD vừa dựng thoả mãn điều kiện đề bài.
o c d b a 2 1 e α a b d c o
- Biện luận: Nếu a d 2
≥ thì bài toán không có nghiệm hình
- Nếu a d 2
< thì sau khi dựng đợc AE và góc AEB, cung tròn tâm A bán kính a có thể không gặp EB hoặc có thể gặp EB tại một điểm hoặc cắt nhau tại hai điểm. Do đó bài toán có khi vô nghiệm, có khi có một hoặc hai nghiệm hình.
- Chú ý:
1) Nếu với bài toán trên ta thấy tổng hai đờng chéo bằng hiệu hai đờng chéo là AC - BD = h thì cách giải sẽ nh sau:
- Đặt trên đoạn OA một đoạn OF = OB
- Dựng ∆AFB biết hai cạnh AB = a, h AF a = và góc đối với cạnh AB là ã 0 AFB 90= +α 2 (Vì ã =ã + = + =à à à − α+ α 2 0 1 180 AFB FBO O F O ) -Tại B dựng góc FBC bằng góc F1 tức bằng 900 −α 2 để đợc ∆AOB. Từ
đó bổ sung cho thành hình bình hành ABCD bằng nhiều cách khác nhau. 2) Ngoài ra có thể giải thêm bài toán sau:
"Dựng hình bình hành biết hai đờng chéo và một góc"
Giả sử phải dựng hình bình hành ABCD biết hai đờng chéo AC = p và BD = q và góc nhọn tại A bằng α. Ta chỉ cần
d c b a f h g b β α e d dựng ∆ABD biết góc A bằng α, cạnh BD = q và trung tuyến AO P 2 = .
Dựng đợc tam giác này chỉ cần bổ sung nó cho thành hình bình hành ABCD. Nh vậy, ta đã quy việc giải bài toán này về việc "dựng một tam giác biết đáy, trung tuyến và góc ở đỉnh"
Bài toán 4: Dựng tứ giác ABCD biết hai cạnh đối AD = a, BC =b, các góc
à = α, = βà
A B và đoạn EF nối trung điểm hai cạnh đối AD, BC. - Phân tích: Giả sử ABCD là tứ
giác đã dựng đợc.
Nếu dời chổ song song AD đến CG, AC đến BH thì ba tứ giác ACGD, ABHC và DBHG đều là hình bình hành. Các góc GCH Aã = = αà ;HCB Bã = = βà . Nh vậy ∆CGB dựng đợc ngay (Biết hai cạnh và một góc). Từ đó dựng đợc cx.
Ngoài ra có thể xác định đợc vị trí trung điểm M của BG vị trí của H nằm trên cx vì F là trung điểm của AH và của BC (giao điểm của hai đờng chéo). EF = 1
2DH = MH = m.
Xác định đợc vị trí của D thì dựng đợc ngay đỉnh A.
- Cách dựng: ∆CGB biết hai cạnh CG = a, CB = b, và ⊥ GCBã =α+B . - Từ trung điểm M của BG lấy làm tâm dựng cung tròn bán kính m cắt cx tại H.
- Nối HM và kéo dài đến D sao cho MD = m. - Từ D dựng DA song song và bằng GC.
a
m
b p c
n p
- Tứ giác ABCD chính là tứ giác cần dựng. -Bài toán có một nghiệm hình
+ Chú ý: Có thể giải thêm bài toán sau đây.
"Dựng tam giác ABC biết hai cạnh AB = a, BC = b và ba góc A,B, góc M giữa hai đờng chéo".
Cách dựng nh sau:
- Dựng ∆ABC trong đó góc B bằng góc đã cho, AB = a, BC = b. - Dựng tại C một góc ACx bằng góc M đã cho và dựng By// (cx).
- Dùng A làm đỉnh và AB làm một cạnh dựng một góc bằng góc A đã cho, cạnh kia đã cắt By tại D.
Tứ giác ABCD là tứ giác phải dựng. Bài toán có một nghiệm hình.
*) Bài tập tự giải.
Bài 1: Cho hai đờng thẳng a và b cắt bởi đờng thẳng thứ ba. Dựng một đoạn thẳng AB = m sao cho AB//C và hai đầu mút A và B lần lợt nằm trên hai đờng thẳng a và b.
Bài 2: Cho một đờng thẳng P và hai điểm A, B cùng nằm một phía của p. Hãy tìm trên P hai điểm P và Q sao cho PQ = a cho trớc và AP = BQ.
Bài 3: Dựng tứ giác ABCD biết hai cạnh đối AD = a, BC = b và góc A = à α ; Bà =β; ˆD=γ.