d c b a c d' d a-b b
Đứng trớc một bài toán dựng hình muốn xác định xem có thể giải bằng phơng pháp nào cần biết những dấu hiệu đặc trng nhất của bài toán giải đợc bằng phơng pháp này hay phơng pháp khác.
Mỗi phơng pháp đều có giá trị riêng của nó. Các phơng pháp thờng sử dụng là: phơng pháp tịnh tiến, phơng pháp đối xứng trục, phơng pháp quay, ph- ơng pháp quỹ tích, phơng pháp đồng dạng, phơng pháp đại số.
2.1.5.1. Phơng pháp tịnh tiến
Ví dụ: Dựng hình thang biết bốn cạnh: hai cạnh đáy a và b (a > b) và hai cạnh bên c và d (c ≤ d)
- Phân tích:
Giả sử ABCD là hình thang phải dựng có AD là đáy lớn, BC là đáy nhỏ, AB và CD là hai cạnh bên
Từ B kẻ BD'//CD. Tam giác ABD' có thể dựng đợc ngay vì biết ba cạnh. Chỉ còn xác định đỉnh thứ t C của hình thang.
- Cách dựng:
Trớc tiên dựng ∆ABD' biết ba cạnh AB = c; BD' = d và AD' = a - b. Qua B kẻ tia song song với AD', trên tia này dựng điểm C sao cho BC = b. Cuối cùng qua C kẻ CD//BD' cắt AD' kéo dài tại D. ABCD là hình thang phải dựng.
- Chứng minh:
Ta có AB =- c, BC = b theo cách dựng, AD = AD' + D'D = AD' + BC = a - b + b = a.
Và CD = BD' và là đoạn chắn giữa hai đờng thẳng song song. Vậy ABCD là hình thang thoả mãn điều kiện của đề bài.
b d m n a' a a d b b c mc c'
- Biện luận:Điều kiện để dựng đợc hình thang là d - c < a - b < d+ c với điều kiện này bài toán có một nghiệm hình (nếu điều kiện trên không đợc thoả mãn thì bài toán vô nghiệm).
2.1.5.2. Phơng pháp đối xứng trục
Ví dụ: Cho đờng thẳng d cắt đoạn thẳng AB. Tìm trên d một điểm M sao cho đ- ờng thẳng d là phân giác của góc AMB.
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua trục d,ta có: AM = A'M và
ã ã 0
ANM A 'NM 90= = .
Do đó: ∆MNA = ∆MNA' Suy ra: NMA NMA 'ã =ã
Vậy điểm B phải nằm trên A'M, nói cách khác điểm M phải nằm trên A'B. Do đó ta dựng đợc giao điểm M của đờng thẳng A'B với đờng thẳng d.
Bài toán có một nghiệm hình nếu khoảng cách từ A và B đến d không bằng nhau. Nếu các khoảng cách này bằng nhau nhng hai điểm A và B không đối xứng nhau qua d thì bài toán vô nghiệm (vì A'B // d). Cuối cùng nếu A và B đối xứng nhau qua d thì bài toán vô định: Bất cứ điểm nào trên d đều thoả mãn.
2.1.5.3. Phơng pháp quay
Ví dụ: Dựng ∆ biết hai cạnh và trung tuyến kẻ tới cạnh thứ ba.
Giả sử ABC là ∆ phải dựng có cạnh cho trớc là a và b, có trung tuyến CD = mc.
Ta quay toàn bộ hình vẽ xung quanh điểm D một góc 1800 sẽ đợc hình bình hành ACBC'.
ab b c d a o1 o2 c b p Do đó cách dựng nh sau:
Dựng tam giác ACC' biết ba cạnh bổ sung nó thành hình bìh hành ACBC'. Nối A với B đợc tam giác ABC phải dựng.
Điều kiện để dựng đợc tam giác ACC' là a b− < 2mc< a+b. Bài toán có 1 nghiệm hình.
2.1.5.4. Phơng pháp quỹ tích.
Ví dụ: Dựng đờng tròn tiếp xúc với hai đờng thẳng song song a và b và qua 1 điểm P cho trớc.
- Phân tích: Gọi khoảng cách giữa hai đờng thẳng song song là d. Bán kính đờng tròn phải dựng sẽ là d
2. Bài toán quy về dựng tâm của đờng tròn thoả
mãn 2 điều kiện:
a) Cách đều hai đờng thẳng a và b. b) Cách điểm P một khoảng d
2.
Suy ra cách dựng sau:
- Cách dựng: Từ điểm A tuỳ ý trên đờng thẳng a hạ AH ⊥ b. Dựng trung điểm C của đoạn AB. Quỹ tích n điểm cách đều a và b là đờng thẳng c đi qua điểm C và song song với a,b cách a,b một đoạn bằng d
2.
Quỹ tích thoả mãn điều kiện thứ 2 là đờng tròn (P, d
2).
Lấy giao điểm O1 của đờng tròn này với đờng thẳng C1 dựng đờng tròn (O1; O1P) đó là đờng tròn phải tìm.
a n' n" k' k" l' l" b c m" m' m m" c b l l' k k' n n' a
- Chứng minh: đờng tròn (O1; O1P) tiếp xúc với 2 đờng thẳng a và b vì
khoảng cách từ tâm O1 đến hai đờng thẳng này bằng nhau và bằng 1
2d. đờng
tròn này lại qua điểm P theo cách dựng. Vậy nó thoả mãn bài toán. Biện luận:
a) Nếu P nằm giữa hai đờng thẳng a và b thì thì bì toán ta có hai nghiệm hình là hai đờng tròn (O1; O1P) và (O2; O2P).
b) Nếu P nằm trên a hoặc trên b thì bài toán có 1 nghiệm hình. c) Nếu P nằm ngoài khoảng tạo bởi a và b thì bài toán vô nghiệm.
2.1.5.5. Phơng pháp đồng dạng.
Ví dụ: Trong tam giác ba góc nhọn ABC hãy dựng hình vuông sao cho hai đỉnh của nónằm trên đáy tam giác và hai đỉnh kia nằm trên hai cạnh bên.
Phân tích: Ta phải dựng một hình vuông đồng thời thoả mãn các điều kiện sau:
a) Hai đỉnh của nó phải nằm trên AB. b) Một đỉnh nằm trên AC.
c) Một đỉnh nằm trên BC.
Ta thấy rằng có thể dựng dễ dàng hình vuông thoả mãn hai điều kiện ban đầu. Giả sử đó là hình vuông K'L'M'N'. Rõ ràng phép đồng dạng tâm A tỷ số đồng dạng bất kỳ sẽ biến đổi hình vuông K'L'M'N' thành hình vuông K"L"M"N" khi đó điểm M'' nằm trên đờng thẳng AM'.
Để giải bài toán phải chọn trong số các hình vuông K"L"M"N"đồng dạng với hình vuông K'L'M'N' hình nào mà điểm M'' nằm trên BC. Trong trờng hợp này điểm M'' sẽ là giao điểm của hai đờng thẳng AM' và BC. Suy ra cách dựng sau:
a b c x y y x z z a) Dựng hình vuông ng K'L'M'N'
thoả mãn hai điều kiện ban đầu.
b) Dựng đờng thẳng AM' và lấy giao điểm M của nó với cạnh BC.
c) Qua M kẻ đờng thẳng song song với M'N' ta lấy giao điểm M của nó với cạch BC.
d) Từ M và N hạ các đờng vuông góc ML và NK xuống AB. Ta đợc KLMN là hình vuông phải dựng.
Thật vậy, KLMN là hình vuông theo cách dựng, nó đồng dạng với hình vuông K'L'M'N' và thoả mãn điều kiện của đề bài là hai đỉnh M và N nằm trên 2 cạnh BC và AC. Bài toán có 1 nghiệm hình.
2.1.5.6. Phơng pháp đại số.
Ví dụ: Lấy đỉnh của một tam giác cho trớc làm tâm hãy dựng ba đờng tròn từng đôi tiếp xúc ngoài với nhau.
- Giải: Giả sử ABC là tam giác cho trớc mà ba cạnh là a, b, c, và x, y, z là bán kính các đờng tròn phải dựng. Ta tính độ dài các bán kính x, y, z theo ba cạnh a, b, c ta có: x + y = c; x + z = b; y + z = a. Do đó x = c b a 2 + − ; a c b y 2 + − = ; a b c z 2 + −
= . Bây giờ ta dựng một trong ba đoạn thẳng chẳng hạn x theo công thức x =
c b a 2
+ − ; rồi vẽ đờng tròn (A, x). Sau đó
vẽ tiếp các đờng tròn tâm B và C bán kính tơng ứng c - x và b - x.
a b d c k f e A E B M D N G F c P
Để chứng minh chỉ cần nhận xét rằng hai đờng tròn cuối tiếp xúc nhau vì tổng các bán kính của chúng. (c- x) + (b - x) = c + b - 2x = c + b - (c + b - a) = a = BC tức là khoảng cách giữa hai tâm.
Bài toán luôn có một nghiệm hình vì trong ∆ABC thì b + c > a nên x có
thể dựng đợc, ngoài ra c - x = c- c b a (a c) b 0 2 2 + − + − = > . Vì a + c > b nên c>x và b - x = (a b) c 0 2 + − > . Vì a + b > c nên b > x. 2.1.6. Dựng hình chỉ dùng thớc (không dùng compa).
2.1.6.1. Xét hai bài toán sau:
a) "Cho tam giác ABC có E là đ- ờng trung bình . Hãy dựng tam giác mà ba cạnh lại là ba trung tuyến AD, BF, CE của tam giác đã cho".
Kéo dài đờng thẳng đờng thẳng EF rồi từ C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt EF kéo dài tại K. Tam giác AKD là tam giác phải dựng.
Thật vậy, do EK = BC nên FK = BD và FB = DK, tứ giác AKCE là hình bình hành. Vậy AK = EC. Suy ra các cạnh của tam giác AKD bằng các trung tuyến của tam giác ABC.
b) " Cho tam giác ABC có EF là đ- ờng trung bình. Hãy tìm trên cạnh đáy BC một điểm M sao cho BM = 1BC
3 .".
Dựng trung điểm D của cạnh đáy BC và giao điểm N của 2 đờng thẳng EB và DE, kẻ đờng thẳng AN cắt BD tại M và EF tại P (hình vẽ).
m b' b h a' a m' a a' h b b' m
Xét ∆ABM có BM = 2EP. Từ hình bình hành BEFD có EM = ND. Xét hai tam giác bằng nhau EPN và DMN suy ra EN = MD. Nh thế BM = 2MD, tức là 3MD = BD, do đó BM = 1BC
3 . Vậy M là điểm phải dựng.
2.1.6.2. Dựng đờng vuông góc với đờng kính.
"Từ một điểm M ở ngoài hoặc ở trong một đờng tròn đờng kính AB cho trớc hãy dựng đờng vuông góc với AB".
Nối M với hai đầu A và B của đờng kính cắt đờng tròn lần lợt tại B' và A'. Hai đờng thẳng AA' và BB' cắt nhau tại H là trực tâm của ∆MAB. ( Vì hai góc nộitiếp A' và B' đều vuông). Do đó MH phải là đờng cao thứ ba, tức là MM' ⊥
AB.
Có thể đờng vuông góc dựng từ M tới AB không cắt đờng tròn trực tâm H nằm ngoài ∆MAB.