Luận văn thạc sĩ toán học sự đặt chỉnh cho bài toán tối ưu

Lời cảm ơn Trước hết tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Ngọc Hải, GS. TSKH. Phan Quốc Khánh và TS. Lâm Quốc Anh về sự tận tâm chỉ bảo, động viên xuyên suốt quá trình tôi thực hiện luận văn . Tôi chân thành cảm ơn các Thầy, Cô đã trang bị cho tôi các kiến thức nền tảng rất tốt thông qua các bài giảng sâu sắc của mình, điều đó đã giúp tôi có đủ kiến thức để hoàn thành tốt việc học tập và nghiên cứu của mình, tôi cũng xin cảm ơn đến các Thầy, Cô bộ môn tối ưu-Khoa Toán Tin-Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM đã tạo điều kiện cho tôi làm quen với khoa họ c thông qua các buổi semina. Tôi xin được nói lời cảm ơn to lớn đến Khoa Khoa học Tự Nhiên, Trường Đại học Cần Thơ đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi thực hiện luân văn này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Trường THPT Đông Thái, nơi tôi công tác đã tạo điều kiện tốt để tôi hoàn thành luận văn. Cuối cùng nhưng không kém phần quan trọng, tôi chân thành biết ơn gia đình tôi, các bạn bè và đồng nghiệp của tôi, những người đã giúp đỡ, động viên để việc học tập, nghiên cứu của tôi được hoàn thành tốt đẹp. Mở đầu Cách đây hơn một thế kỷ Hadamard đã đưa ra khái niệm tính đặt chỉnh của bài toán động lực mô tả bằng phương trình vi phân theo nghĩa là nghiệm của phương trình vi phân phụ thuộ c liên tục vào điều kiện ban đầu. Đây là mô hình toán học của một thực tế quan trọng như sau. Điều kiện ban đầu của bài toán là điều kiện xấp xỉ (đo được bằng thiết bị hoặc là số liệu thống kê), tức là có sai số. Nếu nghiệm không phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu thì dù sai số nói trên nhỏ nhưng nghiệm có thể sai rất lớn, nên không thể dùng được. Do đó việc giải bài toán là vô nghĩa và một cách hợp lý ta nói bài toá n được đặt ra một cách không chỉnh, tức là không hợp lý. Các bài toán như vậy không có ý nghĩa khoa học. Năm 1964, tiếp tục ý tưởng đó, Tikhinov đề xuất một định nghĩa khác, xuất phát từ nhu cầu tính toán như sau. Các thuật toán tìm nghiệm tối ưu đều là tìm dãy nghiệm ε n -tối ưu (nghiệm xấp xỉ) với ε n → 0 + . Nếu dãy này không hội tụ đến nghiệm tối ưu, hoặc chí ít là có dãy con hội tụ tới nghiệm tối ưu thì dù thuật toán có hội tụ cũng là vô nghĩa. Khi đó ta nói bài toán là không đặt chỉnh theo nghĩa Tikhonov. Từ đó đến nay tất cả các lớp bài toán theo nghĩa trên đây được quan tâm nghiên cứu rất nhiều. Hai quan niệm về đặt chỉnh này cũng được chứng minh là có liên quan mật thiết với nhau và thực ra là khá gần nhau. Nhất là với các bài toán tham số thì tính đặt chỉnh có tham số thực ra là sự trộn lẫn hai quan niệm đặt chỉnh và cũng là cầu nối gắn kết với lý thuyết ổn định. Trong luận văn này chúng tôi tổng quan một số kết quả mới trên cá c tạp chí quốc tế về tính đặt chỉnh Tikhonov và tính đặt chỉnh theo tham số cho hai lớp bài toán quan trọng trong tối ưu hoá là bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng cũng như một bài toán liên quan trực tiếp đến hai lớp này. Mở đầu iii Bất đẳng thức biến phân bao hàm như trường hợp riêng nhiều bài toán quan trọng liên quan đến tối ưu như bài toán cực tiểu có ràng buộc, bài toán bù, bài toán điểm bất động, cân bằng Nash, mạng giao thông, Bất đẳng thức biến phân thường được trình bày tổng quát trong không gian định chuẩn, nhưng ở đây (trong Chương 2) chúng tôi xét bài toán này trong không gian Hilb ert vì khi đó các kết quả sẽ mạnh hơn, sâu hơn. Về quan hệ so sánh cũng như các trường hợp riêng của bất đẳng thức biến phân, chúng tôi chọn bài toán bao hàm thức và bài toán điểm bất động. Sau các so sánh này, chúng tôi tổng quan một số điều kiện của đủ của tính đặ t chỉnh cho bất đẳng thức biến phân. Bài toán cân bằng là mô hình tổng quát hơn bất đẳng thức biến phân. Nó có thể và thường được xét trong không gian tổng quát hơn là không gian tôpô tuyến tính. Vì thế chúng tôi xét mô hình này ở Chương 3. Hơn nữa chúng tôi xét bài toán vectơ tổng quát, không phải mô hình vô hướng như ở Chương 2. Phần ba của chương này là áp dụng các điều kiện đủ của tính đặt chỉnh cho bài toán tựa cân bằng với ràng buộc cân bằng. Đây là một bài toán quan trọng hàng đầu trong các bài toán hai mức gần đây đang được nghiên cứu rất mạnh. Qua quá trình tham gia semina của nhóm tối ưu miền nam và hoàn thành luận án tổng quan này tôi thấy mình đã bắt đầu nắm bắt được các kiến thức cơ bản của lý thuyết về đặt chỉnh các bài toán tối ưu, đặc biệt là các khái niệm và công cụ toán học trong lĩnh vực nghiên cứu này. Việc tìm hiểu và tổng hợp các kết quả mới nhất trên tạp chí quốc tế giúp tôi nắm bắt được trạng thái hiện tại của hướng nghiên cứu và thúc dục tôi cố gắng và tự tin tiếp tục tham gia các hoạt động của nhóm với hy vọng rằng đến lượt mình cũng có thể đóng góp kết quả mới. Mục lục Lời cảm ơn i Mở đầu ii Chương 1. Kiến thức bổ trợ 1 1.1. Không gian vectơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Tính liên tục và các khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Tính liên tục của hàm giá trị số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Chương 2. Tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biế n phân hỗn hợp, bài toán bao hàm thức và bài toán điểm bất động 18 2.1. Tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp . . . . . . . . . . 18 2.2. Tính đặt chỉnh của bài toán bao hàm thức . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3. Tính đặt chỉnh của bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4. Các điều kiện tính đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Chương 3. Đặt chỉnh nghiệm của bài toán tựa cân bằng vectơ và áp dụng vào các bài toán hai mức 40 3.1. Tính đặt chỉnh của bài toán tựa cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Mục lục v 3.2. Tính tựa lồi của các hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3. Tính đặt chỉnh của bài toán tựa cân bằng với ràng buộc cân bằng . . . 50 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Chương 1 Kiến thức bổ trợ 1.1. Không gian vectơ tôpô Định nghĩa 1.1.1. Giả sử không gian vectơ Y có thêm cấu trúc tôpô τ. Ta nói τ tương hợp với cấu trúc tuyến tính nếu hai phép toán tuyến tính liên tục trong tôpô τ. Cụ thể là: (i) x + y là hàm liên tục của hai biến x, y, tức là với mọi lân cận V của x + y thì sẽ có lân cận U x của x và lân cận U y của y để U x + U y ⊆ V . (ii) αx là hàm liên tục của hai biến α, x, tức là với mọi lân cận V của αx thì sẽ có lân cận U x của x và ε > 0 để (α − ε, α + ε)U x ⊆ U. Một không gian tuyến tính Y trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc tuyến tính gọi là không gian vectơ tôpô. Nhận xét 1.1.1. (i) Trong không gian vectơ tôpô, phép tịnh tiến f(x) = x + a với a cố định và phép vị tự g(x) = αx với α cố định là các phép đồng phôi. Từ đó, ta suy ra V là lân cận của gốc khi và chỉ khi V + a là lân cận của a. Nếu V là lân cận của gốc thì αV với α = 0 cũng là lân cận của gố c . 1.1 Không gian vectơ tôpô 2 (ii) Ta nói tôpô trên Y là bất biến nếu với mọi G mở trong Y và với mọi a ∈ Y thì a + G mở. Rõ ràng nếu phép cộng liên tục thì tôpô là bất biến nhưng điều ngược lại có thể không đúng. Định nghĩa 1.1.2. Giả sử Y là không gian vectơ tôpô, R là tập các số thực. Tập A ⊆ Y được gọi là lồi, nếu: ∀x 1 , x 2 ∈ A, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1, λx 1 + (1 −λ)x 2 ∈ A Định nghĩa 1.1.3. Giả sử Y là không gian vectơ tôpô và C là tập khác rỗng trong Y . Khi đó, C được gọi là nón nếu ∀x ∈ C, ∀λ > 0, λx ∈ C. Nón C được gọi là có đỉnh nếu C ∩(−C) = {0}. Nón C được gọi là lồi (đóng) nếu C là một tập lồi (đóng). Nón C được gọi là rắn nếu intC = ∅. Nhận xét 1.1.2. Nón C ⊆ Y là lồi khi và chỉ khi C + C ⊆ C. Với mọi x, y ∈ Y , ta đặt các kí hiệu sau: x ≥ y ⇔ x −y ∈ C, x > y ⇔ x −y ∈ intC, x  y ⇔ x −y /∈ C, x ≯ y ⇔ x −y /∈ intC và tương tự đối với ≤, <, , ≮. Tiếp theo, chúng tôi đưa ra một số tính chất quan hệ thứ tự theo nón 1.1 Không gian vectơ tôpô 3 Tính chất 1.1.1. Cho a, b, b 1 , e ∈ Y . Nếu a + b ≤ e và b 1 ≤ b thì a + b 1 ≤ e. Chứng minh Ta có: a + b ≤ e ⇒ a + b − e ∈ −C ⇒ ∃c ∈ C : a + b − e = −c. Mặt khác, b 1 ≤ b ⇒ b −b 1 ∈ C ⇒ ∃c 1 ∈ C : b − b 1 = c 1 ⇒ b = b 1 + c 1 . Do đó: a + (b 1 + c 1 ) −e = −c ⇒ a + b 1 − e = −c 1 − c ∈ −C ⇒ a + b 1 ≤ e. Tính chất 1.1.2. Cho C là một nón lồi trong Y, a, b ∈ R, c ∈ C và U là tập mở bất kì trong Y . Khi đó: (i) Nếu ac ∈ U + C và b > a thì bc ∈ U + C. (ii) Nếu ac ∈ U − C và b < a thì bc ∈ U − C. Chứng minh (i) Vì ac ∈ U + C nên tồn tại u ∈ U và c 1 ∈ C sao cho ac = u + c 1 . Mặt khác, b > a nên b − a > 0, c ∈ C nên (b − a) ∈ C suy ra tồn tại c 2 ∈ C sao cho (b −a)c = c 2 hay bc −ac = c 2 . Do đó, bc − (u + c 1 ) = c 2 hay bc = u + c 1 + c 2 ∈ U + C. (ii) Vì ac ∈ U − C nên tồn tại u ∈ U và c 1 ∈ C sao cho ac = u −c 1 . Mặt khác, b < a nên (b − a)c ∈ −C tức là tồn tại c 2 ∈ C sao cho (b − a)c = −c 2 hay bc −ac = −c 2 . Do đó, bc − (u −c 1 ) = −c 2 hay bc = u − c 1 − c 2 ∈ U − C. Tính chất 1.1.3. Với bất kì k, l ∈ R, k > 0, l < 0, a, b ∈ Y . Khi đó: (i) a ≥ b ⇔ ka ≥ kb; (ii) a ≥ b ⇔ la ≤ lb; (iii) a > b ⇔ ka > kb; 1.2 Tính liên tục và các khái niệm liên quan 4 (iv) a > b ⇔ la < lb. Chứng minh Ta chứng minh (i) và (iii), còn (ii) và (iv) chứng minh tương tự. (i) Ta có a ≥ b ⇒ a − b ∈ C ⇒ k(a −b) ∈ C ⇒ ka −kb ≥ 0 ⇒ ka ≥ kb. Ngược lại, ka ≥ kb ⇒ ka − kb ∈ C ⇒ k −1 (ka − kb) ∈ C ⇒ a − b ∈ C ⇒ a ≥ b. (iii) Trước hết ta chứng minh rằng với mọi x ∈ intC thì kx ∈ intC. Vì x ∈ intC ⇒ kx ∈ kintC. Mà kintC là tập mở nên kintC ⊆ intC. Vậy k x ∈ intC. Giả sử ka > kb tức là ka−kb ∈ intC ⇒ k −1 (ka−kb) ∈ intC ⇒ a−b ∈ intC ⇒ a > b, vô lí. Ngược lại, ka  kb ⇒ k −1 ka  k −1 kb hay a  b. Tính chất 1.1.4. Cho a, b, b 1 , e ∈ Y . Khi đó: (i) Nếu a + b ≥ e, b 1 ≥ b thì a + b 1 ≥ e; (ii) Nếu a + b  e, b ≥ b 1 thì a + b 1  e 1.2. Tính liên tục và các khái niệm liên quan Giả sử X và Y là hai không gian tôpô. Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là không gian tôpô, cho ánh xạ đa trị Q: X → 2 Y . Khi đó: (i) Q được gọi là nửa liên tục trên tại x 0 ∈ dom Q nếu với mọi lân cận U của Q(x 0 ) thì tồn tại một lân cận N của x 0 sao cho Q(N) ⊆ U. (ii) Q được gọi là nửa liên tục dưới tại x 0 ∈ dom Q nếu với mọi U mở, U ∩Q(x 0 ) = ∅ thì tồn tại một lân cận N của x 0 sao cho Q(x) ∩U = ∅, ∀x ∈ N. 1.2 Tính liên tục và các khái niệm liên quan 5 (iii) Q được gọi là liên tục tại x 0 nếu Q là usc và lsc tại x 0 . Ví dụ 1.2.1. Xét hai ánh xạ Q 1 và Q 2 từ R vào R xác định bởi: Q 1 (x) =    [−1, 1] nếu x = 0 {0} nếu x = 0 Q 2 (x) =      {0} nếu x = 0 [−1, 1] nếu x = 0 Khi đó, Q 1 là lsc tại 0 nhưng không là usc tại 0 và ngược lại, Q 2 là usc tại 0 nhưng không là lsc tại 0. Trong 2 chú ý sau đây cho ta thấy các điều kiện tương đương với các khái niệm usc và lsc của ánh xạ đa trị. Chú ý 1.2.1. Q usc tại x 0 khi và chỉ khi nhân của mỗi lân cận của Q(x 0 ) là một lân cận của x 0 . Chú ý 1.2.2. Q là lsc tại x 0 nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn. (i) Với mọi y ∈ Q(x 0 ), với mọi x n ∈ dom Q: x n → x 0 thì tồn tại y n ∈ Q(x n ) sao cho y n → y. (ii) Với mọi x α → x 0 thì ta có Q(x) ⊆ lim inf Q(x α ) với lim inf Q(x α ) = {y ∈ Y : ∃y α ∈ Q(x α ), y α → y}. [...]... MVI(F, ϕ) là 2 -đặt chỉnh vì diam Ω2 ( ) = √ 4 2 3 → 0 khi → 0 2.2 Tính đặt chỉnh của bài toán bao hàm thức 2.2 26 Tính đặt chỉnh của bài toán bao hàm thức Trong tiểu mục này chúng ta nghiên cứu mối liên hệ giữa tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp và của bài toán bao hàm thức Chúng ta ký hiệu → và tương ứng hội tụ mạnh và hội tụ yếu Cho A: H → 2H là ánh xạ đa trị Bài toán bao hàm thức... giữa tính đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp và tính đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) của bài toán bao hàm thức Định lý 2.2.1 Cho F : H → H là liên tục theo tia, đơn điệu và ϕ: H → R ∪ {+∞} là chính thường, lồi, nửa liên tục dưới Nếu MVI(F, ϕ) là đặt chỉnh yếu, thì IP(F + ∂ϕ) là đặt chỉnh yếu 2.2 Tính đặt chỉnh của bài toán bao hàm thức 27 Giả sử MVI(F, ϕ) là đặt chỉnh yếu... tổng quát, thì MVI(F, ϕ) là đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) tổng quát Chứng minh Chứng minh tương tự như Định lý 2.2.2 2.3 Tính đặt chỉnh của bài toán điểm bất động 2.3 31 Tính đặt chỉnh của bài toán điểm bất động Chúng ta nghiên cứu mối liên hệ giữa tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp và của bài toán điểm bất động Cho T : H → H là ánh xạ đơn trị Bài toán điểm bất động liên kết với T... 1) ngược lại không là (0, C)-qusc tại 0 17 Chương 2 Tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, bài toán bao hàm thức và bài toán điểm bất động 2.1 Tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Trước hết ta giới thiệu mối liên hệ tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, bài toán bao hàm thức và bài toán điểm bất động Cho H là không gian Hilbert thực, ánh xạ F : H → H và ϕ: H... + xn − x∗ → 0 ¯ ¯ Do đó MVI(F, ϕ) là đặt chỉnh mạnh x∗ Với bất kỳ f ∈ H, ta có Nếu IP(F, ∂ϕ) là đặt chỉnh yếu, thì xn ¯ | f, xn − x∗ | ≤ | f, xn − xn | + | f, xn − x∗ | ¯ ¯ ≤ f √ n + | f, xn − x∗ | → 0 ¯ 2.2 Tính đặt chỉnh của bài toán bao hàm thức 30 Vậy MVI(F, ϕ) là đặt chỉnh yếu Đối với đặt chỉnh tổng quát, chúng ta có các kết quả tương tự sau Định lý 2.2.3 Cho F : H → H là liên tục theo tia, đơn... là đặt chỉnh yếu Định lý 2.2.2 Cho F : H → H là liên tục đều, đơn điệu và ϕ: H → R ∪ {+∞} là chính thường, lồi, nửa liên tục dưới Nếu IP(F + ∂ϕ) là đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu), thì MVI(F, ϕ) là đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) Chứng minh Cho {xn } là dãy xấp xỉ đối với MVI( F, ϕ), thì tồn tại sao cho với mọi y ∈ H, n ∈ N, ϕ(xn ) ≤ ϕ(y) + F (xn ), y − xn + n n > 0 với → 0 2.2 Tính đặt chỉnh của bài toán. .. Trong các nội dung tiếp theo, 0 -đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) luôn được gọi là đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) Nếu α1 > α2 ≥ 0, thì α1 -đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) suy ra α2 -đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) Chú ý 2.1.1 Khi ϕ = δK Định nghĩa 2.1.2 trở thành Định nghĩa α -đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) đối với bất đẳng thức biến phân cổ điển [14], [40], [41] 2.1 Tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biến phân... định lý sau đây nói lên mối liên hệ giữa đặt chỉnh của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp và của bài toán điểm bất động Định lý 2.3.1 Cho F : H → H là liên tục đều, đơn điệu và ϕ: H → R ∪ {+∞} là λ chính thường, lồi, nửa liên tục dưới Nếu MVI(F, ϕ) là đặt chỉnh yếu, thì FP(Jϕ (I − λF )) là đặt chỉnh yếu, trong đó λ > 0 là hằng số Chứng minh Giả sử MVI(F, ϕ) là đặt chỉnh yếu Gọi x∗ là nghiệm duy nhất của... Chúng ta nói rằng MVI(F, ϕ) là α -đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) tổng quát nếu MVI(F, ϕ) có tập nghiêm S khác rỗng và mọi dãy α-xấp xỉ có dãy con hội tụ mạnh (tương ứng yếu) tới một điểm nào đó thuộc S Khi α = 0, ta nói rằng MVI(F, ϕ) là đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) tổng quát Rõ ràng, nếu α1 > α2 ≥ 0 thì α1 -đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) tổng quát suy ra α2 -đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) tổng quát... 1 -đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) tổng quát, do đó xn hội tụ mạnh (tương ứng yếu) tới nghiệm x∗ nào đó Theo Bổ đề 2.1.1, x∗ là nghiệm của IP(F, ∂ϕ) Do vậy IP(F + ∂ϕ) là đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) tổng quát Định lý 2.2.4 Cho F : H → H là liên tục đều, đơn điệu và ϕ: H → R ∪ {+∞} là chính thường, lồi, nửa liên tục dưới Nếu IP(F + ∂ϕ) là đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) tổng quát, thì MVI(F, ϕ) là đặt . thức biến phân bao hàm như trường hợp riêng nhiều bài toán quan trọng liên quan đến tối ưu như bài toán cực tiểu có ràng buộc, bài toán bù, bài toán điểm bất động, cân bằng Nash, mạng giao thông,. . . . . . . . . . . . . 36 Chương 3. Đặt chỉnh nghiệm của bài toán tựa cân bằng vectơ và áp dụng vào các bài toán hai mức 40 3.1. Tính đặt chỉnh của bài toán tựa cân bằng . . . . . . . . . con hội tụ tới nghiệm tối ưu thì dù thuật toán có hội tụ cũng là vô nghĩa. Khi đó ta nói bài toán là không đặt chỉnh theo nghĩa Tikhonov. Từ đó đến nay tất cả các lớp bài toán theo nghĩa trên đây