luận văn thac sĩ đại học sư phạm hà nội Hình thành và rèn luyện ngôn ngữ toán học trong dạy học môn toán lớp 1

MỤC LỤCTrang Mở đầu 1.1.3 Vai trò của ngôn ngữ toán học đối với nhận thức toán học 171.1.4 Ngôn ngữ toán học trong dạy học môn toán ở trường phổ thông 19 1.3.2 Một số vấn đề về học tập n

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS Lê Văn Hồng, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo, động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn, qua đó tôi đã tích luỹ thêm nhiều hiểu biết về phương pháp và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học để có thể hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.

Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, tạo điều kiện và giúp đỡ của quý Thầy, Cô khoa Giáo dục Tiểu học trường Đại học sư pham Hà Nội, Trung tâm Công nghệ Giáo dục đối với tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn trường tiểu học dân lập Đoàn Thị Điểm, quận Cầu Giấy, thành phố Hà Nội, trường tiểu học Thanh Bình, trường tiểu học Lý Tự Trọng thị xã Ninh Bình, tỉnh Ninh Bình đã giúp đỡ tôi trong quá trình khảo sát, điều tra sư phạm và thu thập những số liệu cần thiết phục vụ cho luận văn và tiến hành thực nghiệm sư phạm

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy, cô giáo, các nhà khoa học, các bạn đồng nghiệp đã tận tình giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Kí tên

Đinh Thị Thảo

BẢNG CHỮ VIẾT TẮTViết tắt

Học sinh

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu

1.1.3 Vai trò của ngôn ngữ toán học đối với nhận thức toán học 171.1.4 Ngôn ngữ toán học trong dạy học môn toán ở trường phổ thông 19

1.3.2 Một số vấn đề về học tập ngôn ngữ toán học của học sinh líp 1 39

Chương II: Hình thành và rèn luyện ngôn ngữ toán học

2.1 Nguyên tắc hình thành và rèn luyện ngôn ngữ toán học trong dạy học

2.1.1 Nguyên tắc 1: Hoạt động toán học, đặc biệt là hoạt động với đồ

vật, là cơ sở để hình thành ngôn ngữ toán học cho học sinh líp 1 472.1.2 Nguyên tắc 2: Hình thành và rèn luyện ngôn ngữ toán học cho học

sinh líp 1 nhằm góp phần nâng cao chất lượng học tập môn toán 542.1.3 Nguyên tắc 3: Hình thành và rèn luyện ngôn ngữ toán học phải thực

hiện thường xuyên và gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ nói chung 612.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm hình thành và rèn luyện ngôn ngữ

2.2.1 Biện pháp 1: Giáo viên sử dụng ngôn ngữ (kể cả ngôn ngữ toán 66

học) chính xác và đúng lúc

2.2.2 Biện pháp 2: Mọi học sinh phải được thực hành ngôn ngữ ở các

hình thức khác nhau và trong hoàn cảnh đa dạng

76

2.2.3 Biện pháp 3: Giáo viên bổ sung câu hỏi, bài tập chỉ dẫn sư phạm

có tính chất ngôn ngữ trong giê học toán

1 Quan hệ nội dung toán học và ngôn ngữ toán học

Giải quyết đúng đắn mối quan hệ giữa nội dung tư tưởng toán học vàhình thức ngôn ngữ toán học là một cơ sở phương pháp luận của giáo dụctoán học[19] Bởi vậy, trong dạy học môn toán ở trường phổ thông ta cầnphải chú ý thích đáng đến việc hình thành và rèn luyện NNTH cho học sinh

2 Thực tế dạy học môn toán nói chung và dạy học NNTH nói riêng ở tiểu học

Trên thực tế, trong dạy học môn toán thì NNTH có thể chưa được chú

ý đầy đủ, nhiều khi giáo viên còn phụ thuộc vào nhận thức chủ quan của

mình nên việc hình thành và rèn luyện cho học sinh sử dông NNTH chưathực sự đạt hiệu quả.

3 Vấn đề nghiên cứu dạy học ngôn ngữ toán học ở môn toán phổ thông.

Vấn đề hình thành và rèn luyện NNTH qua môn toán cho học sinh đặcbiệt là ở bậc tiểu học đã được rất nhiều các tác giả quan tâm từ lâu Trên thếgiới một số nước như ở Vương Quốc Anh, ở Ôtxtrâylia đã xây dựng mạchphát triển NNTH và đề ra yêu cầu về sử dông NNTH đối với mỗi trình độkhác nhau Ở Việt Nam, các tác giả nh Vò Quốc Chung, Đỗ Đình Hoan, ĐỗTrung Hiệu, Hà Sĩ Hồ cũng dành sự chú ý đến NNTH trong dạy học toán ởtiểu học Tuy nhiên, các tác giả thường đề cập đến những vấn đề chung vàkhái quát của NNTH Mét số tài liệu mới đây như: Hỏi đáp về dạy học toánlíp 1[8]; “Dạy học ngôn ngữ toán học trong môn toán bậc tiểu học” [15];

“Dạy học phát huy tính tích cực của học sinh trong môn Toán và tiếng Việt

ở tiểu học” [43], đã chú ý cụ thể hơn về NNTH trong dạy học môn toán ởbậc tiểu học, song chưa làm sáng tỏ nó trong dạy học nội dung cụ thể môntoán ở Tiểu học đặc biệt là ở líp 1

về NNTH

- Mặt khác, với học sinh tiểu học, đặc biệt là ở líp 1, việc hình thànhtrong nhà trường những kiến thức, kỹ năng ban đầu về tiếng Việt cũng đangđược tiến hành Do vậy, việc hình thành và rèn luyện NNTH không chỉ có ý

nghĩa trong dạy học môn toán mà còn hỗ trợ thêm việc hình thành năng lựcngôn ngữ chung của học sinh.

Vì những lý do nêu trên mà chúng tôi lùa chọn đề tài là: “Hình thành và

rèn luyện ngôn ngữ toán học trong dạy học môn toán líp 1”.

II Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu việc dạy và học NNTH thông qua môn toán líp 1để đề xuấtđược nguyên tắc và một số biện pháp sư phạm nhằm hình thành và rèn luyệnNNTH cho học sinh líp 1góp phần hoàn thiện việc dạy học môn toán

III Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Tìm hiểu quan niệm và đặc điểm của NNTH trong môn toánTiểu học

2 Tìm hiểu vai trò và chức năng của NNTH trong dạy học toán ở Tiểuhọc đặc biệt ở môn toán líp 1

3 Tìm hiểu cơ sở toán học của nội dung chương trình môn toán líp 1

4 Tìm hiểu tình hình dạy và học NNTH trong môn toán líp 1

5 Đề xuất một số nguyên tắc, một số biện pháp sư phạm nhằm hìnhthành và rèn luyện NNTH cho học sinh ở môn toán líp 1

6 Thiết kế minh hoạ một số bài dạy thể hiện nội dung hình thành và rènluyện NNTH theo nguyên tắc và biện pháp sư phạm nêu trên

7 Thực nghiệm sư phạm

IV Giả thuyết khoa học.

Có thể sáng tỏ được con đường hình thành và rèn luyện NNTH củahọc sinh trong quá trình học tập môn toán líp 1 góp phần nâng cao hiệu quảdạy học môn toán

V Đóng góp mới của đề tài

1 Sáng tá thêm cơ sở lý luận về NNTH trong dạy học môn toán tiểu học

2 Xây dùng một số nguyên tắc, biện pháp nhằm góp phần hoàn thiện việchình thành và rèn luyện NNTH trong dạy học môn toán líp 1

3 Xây dùng 13 giáo án dạy thực nghiệm nhằm làm rõ các nguyên tắc vàbiện pháp đã đề xuất

VI Phương pháp nghiên cứu.

1 Phương pháp nghiên cứu lí luận: nghiên cứu một số sách báo, tạpchí có liên quan đến NNTH và dạy học NNTH ở trường phổ thông Nghiêncứu sách giáo khoa, sách giáo viên, một số tư liệu khác về dạy học toán 1

2 Phương pháp quan sát, điều tra: Thông qua dự giê, trao đổi với giáoviên, phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu việc sử dôngNNTH của học sinh líp 1

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Xây dựng một số thiết kế bàidạy nhằm cụ thể hoá các nguyên tắc và biện pháp sư phạm để hình thành vàrèn luyện NNTH cho học sinh qua dạy học môn toán líp 1

VII Cấu trúc của luận văn.

Mở đầu

+ Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn

+ Chương II: Hình thành và rèn luyện ngôn ngữ toán học trong dạyhọc môn toán líp 1

+ Chương III: Thực nghiệm sư phạm

Kết luận.

Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn1.1 Mét số vấn đề về ngôn ngữ toán học

1.1.1 Khái niệm ngôn ngữ toán học

1.1.1.1 Toán học

Toán học là khoa học có lịch sử phát triển lâu đời và ngày càng khẳngđịnh có vị trí quan trọng trong khoa học Quan niệm về toán học cũng pháttriển theo cùng lịch sử phát triển khoa học này Hiện tại có thể chọn một sốquan niệm về khoa học này theo tinh thần hiện đại nh sau:

+ Toán học: khoa học về những quan hệ số lượng và những hình dạng

không gian của thế giới hiện thực Để có thể nghiên cứu các quan hệ và hìnhdạng đó dưới dạng thuần tuý, cần tách chúng ra khỏi cái vỏ cụ thể chứa đựngchúng Vì vậy, đặc điểm của toán học là hết sức trừu tượng Song, tính trừutượng này không có nghĩa là toán học tách ra khỏi hiện thực vật chất Trongmối quan hệ khăng khít với các yêu cầu của khoa học và kỹ thuật trữ lượngcác quan hệ số lượng và các hình dạng không gian không ngừng được bổsung Vì vậy, định nghĩa trên đây chứa đựng một nội dung không cố định màngày càng thêm phong phó [32]

+ Toán học: khoa học về những cấu trúc toán học (những tập hợp mà

giữa phần tử của chúng đã xác định được những quan hệ nào đó [45]

Hai quan niệm trên đều được chấp nhận, song với luận văn này, chúng tôilùa chọn quan điểm thứ nhất

1.1.1.2 Ngôn ngữ

Ngôn ngữ có lịch sử phát triển lâu đời Người ta đã đáng giá rất caovai trò của ngôn ngữ và không tiếc lời để nói rằng ngôn ngữ là sản phẩm đặctrưng cho loài người Tuy nhiên, xác định rõ ràng quan niệm về ngôn ngữ làviệc không dễ dàng và thậm chí có thể nói rằng, đến nay, việc này vẫn cònphải tiếp tục Dưới đây là một số quan niệm về ngôn ngữ:

+ Ngôn ngữ: hệ thống ký hiệu thực hiện các chức năng nhận thức và

giao tiếp (hay tiếp xúc trong quá trình hoạt động của con người) Ngôn ngữ

có thể mang tính chất tự nhiên còng nh mang tính chất nhân tạo Ngôn ngữ

tự nhiên được hiểu nh là ngôn ngữ của cuộc sống hàng ngày, là hình thứcbiểu hiện tư tưởng và là phương tiện tiếp xúc giữa người với người Cònngôn ngữ nhân tạo là ngôn ngữ do con người tạo ra phục vụ những nhu cầuhẹp nào đó (ngôn ngữ ký hiệu toán, các hệ thống báo tín hiệu khác…) [45]

+ Ngôn ngữ: là một hệ thống dấu hiệu nhiều tầng được người bản ngữ

chấp nhận, ghi nhớ và sử dụng trong khi giao tiếp với cộng đồng [4]

+ Ngôn ngữ: theo cách hiểu của ngôn ngữ học là sự tập hợp các đơn

vị và các quy tắc (phát âm, dùng từ, đặt câu) đã được xã hội quy ước và quyđịnh [31]

+ Trong lý thuyết ngôn ngữ học, người ta coi ngôn ngữ là một hệ

thống ký hiệu viết, ký hiệu âm thanh) có tính chất quy ước Để diễn đạt nộidung toán học cũng phải dùng ngôn ngữ [23]

Tuy còn nhiều nét khác biệt, song các quan điểm trên có nét chung vềngôn ngữ đó là hệ thống dấu hiệu, kí hiệu được thừa nhận, phản ánh nộidung hoạt động của con người và được dùng để giao tiếp và tư duy

1.1.1.3 Ngôn ngữ toán học.

a, Một số quan niệm về ngôn ngữ toán học.

Trong việc dạy và học toán ở tiểu học, cần chú ý đến sự tồn tại của bathứ ngôn ngữ có liên quan đến nhận thức của HS Đó là thứ ngôn ngữ vớicác thuật ngữ (nh phép tính, số tự nhiên…) được sử dông nh ngôn ngữ công

cụ, ngôn ngữ ký hiệu và ngôn ngữ tự nhiên mà học sinh dùng hàng ngàytrong cuộc sống Ba thứ ngôn ngữ này khác nhau nhưng không tách biệt rõràng gây ra những khó khăn cho học sinh khi học toán Trong ba thứ ngônngữ đó, toán học sử dụng hai thứ trên, đó là ngôn ngữ đặc trưng của nó, gọi

là NNTH [23]

Ngôn ngữ toán học có một số đặc điểm: nó sử dụng ký hiệu là chủ yếu(gọi tắt là ngôn ngữ ký hiệu) NNTH chủ yếu là ngôn ngữ viết [23]

Khi học môn toán học - đó là ngôn ngữ của những ký hiệu, nhữngdạng tượng trưng, những sơ đồ, bản vẽ, biểu đồ, đồ thị… Và còng nh mọingôn ngữ khác, nó cần được nghiên cứu đặc biệt để mà hiểu nó [5]

Nhà Vật lý học Niels Borh coi NNTH là “sự cải tiến ngôn ngữ chung, sùtrang bị cho nó những công cụ thuận tiện để phản ánh những mối phụ thuộc,

mà nếu biểu đạt bằng ngôn ngữ thông thường thì sẽ không chính xác hoặc phứctạp” [7]

Như vậy, đã có nhiều những quan niệm khác nhau về NNTH, trong đó,theo quan niệm về NNTH của Hà Sĩ Hồ, ta có thể hiểu NNTH đó là một hệthống các thuật ngữ (ngôn ngữ công cụ), các kí hiệu toán học chủ yếu ở dạngngôn ngữ viết, các ký hiệu này có tính chất quy ước dùng để diễn đạt nội dungtoán học, đảm bảo tính chính xác, logic và ngắn gọn

Tuy nhiên, theo quan điểm của LS Levenbeg, thì cách hiểu về NNTHlại theo nghĩa rộng hơn đó là NNTH còn bao gồm các ký hiệu viết nh hình

vẽ, mô hình, bản vẽ, sơ đồ… Tuy các ký hiệu này không đảm bảo tính hệthống của ngôn ngữ nhưng trong toán học lại sử dụng chúng rất nhiều

Từ các quan điểm trên, chúng tôi quan niệm về NNTH như sau: Ngôn

ngữ toán học(theo nghĩa hẹp) là ngôn ngữ xây dựng trên hệ thống các kí hiệu toán học, ngôn ngữ toán học(theo nghĩa rộng), không chỉ bao gồm NNTH theo nghĩa hẹp mà còn gồm các thuật ngữ toán học, các hình vẽ, mô hình, biểu đồ, đồ thị…có tính chất quy ước nhằm diễn đạt nội dung toán học một cách chính xác, lôgic và ngắn gọn

Dưới đây, chúng tôi sẽ mô tả kỹ hơn về NNTH theo quan niệm hẹphay rộng về chóng:

b, Ngôn ngữ ký hiệu toán học.

 Kí hiệu các chữ số, chữ cái và các ký tù alphabetic

 Kí hiệu cho các phép toán, quan hệ

 Kí hiệu chỉ dấu ngắt câu, phân loại

Cụ thể:

+) Ký hiệu là các chữ số, chữ cái và ký tù alphabetic.

Các chữ số tự nhiên 0, 1, 2…., các chữ cái a, b, c,….x, y, z Được sửdụng trong toán học rất phổ biến và thống nhất Với các chữ số từ 0 đến 9 sẽcho phép ta ghi được bất kỳ một số tự nhiên nào Những ký hiệu này phảidùng nguyên vẹn, không được thay đổi Với các chữ cái a, b, c… x, y, z…thường dùng để viết các biểu thức chứa các công thức (ví dụ biểu thức cóchứa một chữ số: a x 3; biểu thức có chứa hai chữ số: a x b; công thức tínhquãng đường s = v x t)

Trong ngôn ngữ toán học người ta sử dụng cả những chữ cái Latinh (A,

B, C,… S, P, V…) để ký hiệu các điểm, đoạn thẳng, đường thẳng góc haydiện tích, chu vi, thể tích của một hình

+) Ký hiệu cho các phép toán và quan hệ

Đó là các ký hiệu phép toán “+, -, *, :”; các quan hệ “>, <, =” Các kýhiệu này có nhiệm vụ thay thế sự cồng kềnh của NNTN khi diễn đạt một vănbản toán Các ký hiệu này kết hợp với các số, các chữ cái theo đúng quy tắcnhất định sẽ tạo ra một mệnh đề, một công thức toán học

Ví dô

Phép cộng kí hiệu bởi: “+”

Quan hệ bé hơn trên các số kí hiệu bởi dấu “<”

+) Ký hiệu là các dấu ngắt câu, dấu ngoặc nh: “| ”; “( ) ”; “[]”; “{}”…

dùng để diễn đạt một mệnh đề toán học theo một cấu trúc cho trước

Ví dô:

Biểu thức {x  R/ x ≤ 2}không chỉ lập bởi các chữ số, chữ cái, dấuquan hệ mà còn dùng dấu ngắt câu Biểu thức này có nội dung toán học đó làbiểu thị tập hợp các số thực không lớn hơn 2

Biểu thức số 5 + [32 – 2 (8 +1)] được lập bởi các số, các phép toán vàcác dấu ngắt câu Biểu thức này có nội dung toán học là một dãy 4 phép tính:

- Phép thứ nhất: 8 + 1

- Phép thứ hai: 2 nhân với tổng của 8 + 1

- Phép thứ ba: 32 trừ đi kết quả của 2 nhân với tổng của 8 + 1

- Phép thứ tư: 5 cộng với kết quả của 32 trừ đi tích của 2 nhân vớitổng của 8 + 1

Ngoài cách hiểu biểu thức 5 + [32 – 2 (8 + 1)] nh là dãy 4 phép tính,

ta có thể hiểu biểu thức này là một số, đó là số 19 Ý nghĩa này sẽ rất rõ khigiải bài tập sau: Điền dấu >, <, = vào ô trống: 20 5 + [ 32 – 2 (8 + 1)]

Theo chúng tôi, ba loại kí hiệu trên tạo thành phần cơ bản cho xâydựng NNTH theo quan niệm hẹp Ngoài ra, trong văn bản toán học tiểu họccòn sử dụng kí hiệu hình vẽ, biểu tượng và mô hình

* Kí hiệu là hình vẽ, biểu tượng, mô hình.

Loại kí hiệu này chủ yếu là các biểu tượng hình học, sơ đồ (sơ đồđoạn thẳng, sơ đồ Ven) Loại kí hiệu này thể hiện quan niệm rộng về NNTH

: ký hiệu cho đường tròn tâm O

: ký hiệu cho hình tam giác

hay một giá trị Các ô trống đó thường ký hiệu là hay Ο hay (…) Điềunày thể hiện rất rõ trong sách Toán 1.

Ví dô: - Hãy điền số thích hợp vào ô trống.

Ví dô: - Bài toán (líp 4): Hiệu của hai số là 36 Tỉ số giữa 2 số là 5/7 Tìm 2

* Quy tắc xây dựng biểu thức từ các ký hiệu toán học.







12

Để biểu đạt một nội dung toán học (đối tượng, tính chất, quan hệ…)người ta phải sử dụng các ký hiệu toán học theo mét quy tắc nghiêm ngặtnhất định (theo một cú pháp nhất định) tức là phải sắp đặt các ký hiệu toánhọc để có thể biểu thị một nội dung toán học nào đó

Ví dô:

- Mét dãy các ký hiệu “a, b, c, =, +” sắp xếp đúng cú pháp sẽ cho ýnghĩa toán học xác định Chẳng hạn, viết: a + b = c có thể biểu thị tổng của a

và b là c Nếu viết: + ab = c hay ab + = c hay = c + ab thì không đúng cú pháp

- Có các chữ số “ 16, 8, 3”, các kí hiệu phép toán “+, -” và dấu ngắtcâu: (); ta có thể viết được các biểu thức sau: 16 – (8 + 3) và (16 – 8) + 3.Khác nhau bởi ta thay đổi kí hiệu là dấu ngoặc sang vị trí khác (sắp xếp theomột trật tự khác) đều đúng cú pháp dù ý nghĩa của biểu thức đã thay đổi.Viết là 16 – (8 + 3) biểu thị hai dãy phép tính, trước hết là phép cộng 8 + 3sau đó là phép trừ 16 trừ đi tổng của 8 + 3; còn viết là (16 – 8) + 3 biểu thịhai dãy phép tính, trước hết là phép trừ 16 cho 8 sau đó là phép cộng kết quảcủa 16 – 8 với 3

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Trong toán học, người ta phân biệt cái

ký hiệu và cái được kí hiệu, cái biểu diễn và cái được biểu diễn Nếu xemxét phương diện những cái kí hiệu, những cái biểu diễn, đi vào cấu trúc hìnhthức và những quy tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng, thì đó làphương diện cú pháp Phương diện cú pháp của Toán học là mặt xem xét cấutrúc hình thức và sự biến đổi hình thức những biểu thức toán học, sự làmviệc theo những quy tắc xác định và nói riêng là sự làm việc theo thuật giải.[29]

Cú pháp của NNTH xem xét và nghiên cứu cấu trúc và cấu tạo bêntrong của NNTH, đảm bảo chính xác, logic và tuân thủ theo mét quy tắcnghiêm ngặt nhất định Có thể nói cú pháp trong NNTH chính là sắp đặt các

chính xác và ngắn gọn Qua đó cho phép biểu đạt được ý nghĩa của nội dungtoán học.

* Khả năng biểu thị nội dung toán học của ngôn ngữ ký hiệu toán học.

- Mỗi một từ, một ký hiệu trong NNTH đều có một ý nghĩa xác định.Các ký hiệu toán học lại nối kết với nhau tạo thành một biểu thức, một mệnh

đề, một phép toán mang mét ý nghĩa một nội dung nhất định thể hiện mặtngữ nghĩa của biểu thức

Ta có thể có kết quả sau: a, 5 x 5 + 5 x 5 + 5 = 55

b, 5 x 5 x 5 – 5 x 5 = 100

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “… Nếu xem xét phương diện nhữngcái được ký hiệu, những cái được biểu diễn, tức là đi vào nội dung, nghĩacủa những cái ký hiệu, những cái biểu diễn thì đó là phương diện ngữ nghĩa.Phương diện ngữ nghĩa của Toán học là mặt xem xét nội dung của nhữngmệnh đề toán học và nghĩa của những cách đặt vấn đề toán học” [29]

Đối với NNTH, mặt ngữ nghĩa nghiên cứu mối quan hệ giữa các kýhiệu với đối tượng (toán học) Nghĩa là các ký hiệu toán học giống nh các từnối kết nhau tạo thành “câu”, “câu” trong NNTH là một biểu thức, một mệnh

đề, một phán đoán…và các câu đó biểu thị nội dung toán học nhất định Vídụ:

∆ ABC

x  M

Điểm Đoạn thẳng AB Tam giác ABC

x là một phần tử của tập hợp M

c) Ngôn ngữ toán học trong môn toán ở trường phổ thông.

Mở rộng tiếp quan niệm về NNTH (từ các kí hiệu toán học, các kíhiệu tượng trưng…) nh đã nêu trên, trong môn toán ở trường phổ thông, ta

còn phải kể đến một thành phần rất đáng kể về NNTH là các thuật ngữ toán

học.

Thuật ngữ: Từ ngữ biểu thị một khái niệm xác định thuộc hệ thống

những khái niệm của một ngành khoa học nhất định [41]

Thuật ngữ: từ ngữ biểu đạt các khái niệm chuyên môn khoa học kỹ

thuật.[35]

Thuật ngữ khoa học là một bộ phận từ vựng đặc biệt của ngôn ngữ.Thuật ngữ bao gồm những từ, cụm từ cố định là tên gọi chính xác của nhữngkhái niệm và những đối tượng thuộc các lĩnh vực chuyên môn của conngười Như vậy, thuật ngữ toán học dùng biểu thị một cách ngắn gọn cáckhái niệm toán học bằng ngôn ngữ riêng biệt Thuật ngữ toán học là hìnhthức ngôn ngữ biểu thị các khái niệm toán học Dạng biểu hiện cụ thể củathuật ngữ toán học là những từ, cụm từ “Là hình thức của tư duy, khái niệmliên hệ mật thiết với từ…Từ là cơ sở vật chất của khái niệm…” Trong cáclĩnh vực khoa học và kỹ thuật khác nhau người ta phải sử dụng các hệ thốngthuật ngữ riêng biệt để biểu thị chính xác khái niệm [13]

Còng nh các thuật ngữ khoa học khác, mỗi thuật ngữ toán học thường

có các đặc điểm sau:

- Có tính xác định về nghĩa

- Có xu hướng một nghĩa: nếu nh ở những từ thông thường, hiệntượng nhiều nghĩa rất tự nhiên và phổ biến, thì đối với thuật ngữ, do tính xácđịnh về nghĩa, còng nh do nó nằm trong hệ thống thuật ngữ nhất định, nênmỗi thuật ngữ thường chỉ có một nghĩa Tất nhiên, một thuật ngữ cụ thể nào

đó có thể tham gia vào nhiều hệ thống thuật ngữ khác nhau, nhưng trongcùng một hệ thống, mỗi thuật ngữ thường chỉ có một nghĩa mà thôi

- Không mang sắc thái tu từ biểu cảm

- Có tính chất quốc tế cao Tính quốc tế của một thuật ngữ toán học làmột đặc trưng quan trọng, phân biệt thuật ngữ toán học với những bộ phận

từ vựng khác, biểu thị những khái niệm toán học chung, dường như làm chocác nhà toán học trên thế giới đều có ngôn ngữ chung: Ngôn ngữ toán học[14]

Ví dụ: Các thuật ngữ toán học nh: phép cộng, phép trừ, phép đếm, sốhạng, tổng, số bị trừ, số trừ …

1.1.2 Một số đặc điểm của ngôn ngữ toán học (so với ngôn ngữ tự nhiên)

Để có cái nhìn bao quát hơn về NNTH, dưới đây chúng tôi trình bàymột số đặc điểm quan trọng về NNTH nhằm có sự phân biệt với ngôn ngữthường ngày, NNTN

a, Ngôn ngữ toán học chủ yếu là các ký hiệu.

Nh vậy đã trình bày ở trên (mục 1.1.1.3, b) Ngôn ngữ toán học có cácchữ cái riêng của mình Trước hết, đó là các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9dùng để ký hiệu cho các số Nhờ các chữ số này mà ta có thể viết được tất cảcác số dù lớn đến đâu Ngoài ra, để diễn đạt các công thức, biểu thức, mệnh

đề toán người ta thường sử dụng các chữ cái a, b, c,…, x, y, z, … thay thếcho các số Đại diện cho các phép toán là các ký hiệu “+, -, *, :” Đại diệncho các quan hệ là các ký hiệu “>, <, =” Đại diện cho các líp số đó là N (kýhiệu tập hợp các số tự nhiên); Z (tập hợp các số nguyên); Q (tập hợp các sốhữu tỉ), R (tập hợp số thực)

Trong toán học còn sử dụng các ký hiệu là dấu ngoặc đơn, ngoặc kép,dấu móc vuông, móc nhọn ((); “ ”; []; {}); những biểu tượng ô trống: Ο, ;góc vuông, góc nhọn (, ), các dấu chấm, các ký tù alphabetic, các môhình, sơ đồ, bản vẽ…

Ngôn ngữ toán học chủ yếu là các ký hiệu do vậy khi biểu đạt một nộidung toán học sẽ rõ ràng, cô đọng và chính xác hơn hẳn NNTN Cụ thể:

+ Khi diễn đạt một nội dung toán học, NNTN thường dài dòng,thường thể hiện tính không đơn trị nên khiến ta khó nắm bắt được tư tưởngchính hoặc khó nắm bắt cùng một lúc nhiều tư tưởng chính Cách diễn đạtlời văn, lời văn không chỉ chứa những nghĩa cần thiết mà còn phụ thuộc vàonhững yếu tố xúc cảm liên quan tới ý nên thường xảy ra tình trạng hiểukhông thống nhất, có khi hiểu theo 2 cách gây khó khăn cho suy luận chínhxác thậm chí gây ra suy luận sai

Ví dô: Trong NNTN, có nhiều từ cùng âm nhưng nghĩa lại khác nhau: từ

“bàn” có thể hiểu là “cái bàn” hay “bàn bạc”; từ “cờ” có thể hiểu là “lá cờ ”hay “môn thể thao cờ ”

+ NNTN thiếu cô đọng, khó có thể diễn đạt tổng quát, khó tập trungđược những điểm giống nhau trong các đối tượng khác nhau Trong quátrình dạy toán, nếu ta sử dông NNTN để diễn đạt một bài toán, một phéptính, một công thức sẽ khiến cho học sinh khó hình dung và khó nắm bắtđược đâu là trọng tâm cần nhớ, cần hiểu để giải một bài toán hoặc để khắcsâu kiến thức

Ví dô: - Phép tính “3 – 1 = 2”, khi diễn đạt bằng NNTN: “ba trừ một bằng

hai”; rõ ràng là rườm rà hơn so với được diễn đạt bằng NNTH

- Mệnh đề toán học: “2 + 3 = 3 + 2” có thể diễn đạt bằng NNTN của

HS líp 1 là: “Khi đổi chỗ các số 2 và 3 trong phép cộng thì kết quả vẫnkhông thay đổi” Nếu ta chỉ phát biểu mệnh đề trên theo NNTN thì học sinh

b) Ngôn ngữ toán học chủ yếu được trình bày dưới dạng ngôn ngữ viết.

Thông thường, ngôn ngữ thể hiện ở hai hình thức chủ yếu đó là hìnhthức chữ viết và hình thức âm thanh (lời nói) Nhưng trong toán học người ta

sử dụng hình thức chữ viết là chính vì dùng ngôn ngữ viết có thể diễn đạtđược hết ý nghĩa và nội dung của ký hiệu toán học Tuy nhiên, NNTN còng

có vai trò và chức năng riêng trong dạy học toán đó là dùng NNTN để phátbiểu vấn đề hay để diễn giải một phát biểu bằng ngôn ngữ nói, hay ngôn ngữnói chỉ được dùng trong việc diễn đạt các suy luận khi cần thiết

Chẳng hạn, câu “văn viết” 2 + 3 = 5 có thể phiên dịch bằng ngôn ngữnói theo nhiều cách: - Tổng của 2 và 3 bằng 5

về mặt chữ viết nó được biểu đạt bằng từ “bảy” và biểu đạt bằng kí hiệu là

“7” Chính những điều này đã gây ra không Ýt khó khăn cho học sinh tiểuhọc khi chuyển từ ngôn ngữ nói sang ngôn ngữ viết

Ví dụ, khi nghe đọc số “Ba trăm tám mươi ba” nhiều em đã viết 300803(vốn ký hiệu là 383)

Nh vậy, khi nói NNTH chủ yếu là ngôn ngữ ký hiệu, ngôn ngữ viết,trong dạy học toán cần chú ý cho HS có thể diễn đạt một nội dung toán họcbằng 3 cách:

- Bằng âm thanh

- Bằng ngôn ngữ viết ký hiệu

- Bằng ngôn ngữ thông thường

c) Ngôn ngữ toán học có tính chất đơn trị (tính chính xác toán học).

Sử dông NNTH sẽ đảm bảo được tính chính xác và độ tường minh(mạch lạc, rõ ràng, không thể biểu đạt nhiều nghĩa trong từ…) rất phù hợpvới đặc trưng của toán học Điều này thể hiện trong hình thái cấu trúc logiccủa các công thức (biểu thức, mệnh đề…) toán học và các mối quan hệthông qua các ký tự, dấu ngoặc

Có rất nhiều từ của NNTH được lấy từ NNTN và được sử dông nhnhững thuật ngữ riêng của toán học Chẳng hạn nh từ “đường tròn” NNTNhiểu “đường tròn” là một nét vẽ tròn hay là một dạng đặc biệt của một loạihình phẳng Song trong toán học, thuật ngữ “đường tròn” được định nghĩamột cách chính xác trên cơ sở các đặc trưng về lượng đó là “tập hợp cácđiểm trong mặt phẳng cách đều một điểm khoảng xác định”.[24]

Trong một số trường NNTH được thay từ của NNTN để tránh sự nhầmlẫn Ví dụ: Từ “điểm giữa” của đoạn thẳng AB, trong toán học người ta phải

sử dụng thuật ngữ “trung điểm” hoặc điểm nằm giữa đoạn AB và cách đều A

và B hay có thể biểu thị thuật ngữ đó bằng ngôn ngữ ký hiệu:

AI = IB = ẵ AB và AI + IB = AB

Ví dụ: thuật ngữ “nhiều hơn, Ýt hơn” có thể có nhiều nghĩa trong cuộcsống nhưng trong toán học, và nói riêng trong môn toán, lại đòi hỏi nghĩaxác định Ở đầu líp 1, khi xem xét quan hệ về số lượng các từ này có nghĩa

so sánh số Đến líp 4, khi xem xét các đại lượng, các từ này lại có ý nghĩa sosánh đại lượng cùng loại Chẳng hạn: lượng nước trong cốc Ýt hơn lượngnước trong bình

Nh vậy, NNTH là sự hoàn thiện của NNTN đem đến kết quả là nộidung toán học được đảm bảo tính chính xác và hợp lôgic

d) NNTH vừa có tính chất chặt chẽ vừa uyển chuyển.

NNTH vừa có tính chặt chẽ lại vừa uyển chuyển Mỗi từ, mỗi ký hiệu

có một nghĩa xác định, khi được sắp xếp thành một nội dung toán học phải

xác lại vừa hợp lôgic Tính chặt chẽ và sự uyển chuyển của NNTH tưởng

nh là mâu thuẫn với nhau, song chúng bổ sung cho nhau và đây là một điểm

vô cùng quan trọng của NNTH

Tính chặt chẽ thể hiện ở chỗ NNTH là một hệ thống kí hiệu toán học,trong hệ thống đó, mỗi kí hiệu diễn đạt một nghĩa xác định

Tính uyển chuyển của NNTH thể hiện ở chỗ cùng một kí hiệu nhưngtrong mỗi tình huống khác nhau thì ý nghĩa của các kí hiệu đó khác nhauhoặc ngược lại các kí hiệu khác nhau nhưng đều chỉ một đối tượng toán họcxác định

diễn đạt cùng một số thì ký hiệu đó lại hoàn toàn không có hiệu quả nh nhau.Việc lùa chọn này vừa nói lên mặt uyển chuyển vừa nói lên mặt chính xáccủa ngôn ngữ ký hiệu này[24]

Tính chặt chẽ và sự uyển chuyển nói lên rằng NNTH không chỉ giớihạn ở mặt ngôn ngữ học mà bao hàm cả mặt lôgic, nó không chỉ được sửdụng để truyền đạt một ý nghĩa mà còn để giảm nhẹ tư duy làm công cụ cho

tư duy sáng tạo

Tính chặt chẽ và uyển chuyển của NNTH đòi hỏi phải dùng các kýhiệu khác nhau để chỉ các đối tượng khác nhau, hoặc ghi rõ khi có thể xảy racách hiểu khác nhau

1.1.3 Vai trò của NNTH đối với nhận thức toán học.

a, Chức năng của ngôn ngữ toán học.

* Chức năng của ngôn ngữ nói chung: là phương tiện giao tiếp và là công cụ để tư duy.

- “Ngôn ngữ là phương tiện giao tiếp quan trọng nhất của xã hội loài người” (Lê Nin).

Sở dĩ ngôn ngữ là phương tiện giao tiếp quan trọng và ưu việt nhất vìtrên góc độ lịch sử và toàn diện mà xét, không một phương tiện giao tiếp nào

có thể sánh được với nó Khi giao tiếp bằng ngôn ngữ sẽ có những thuận lợisau:

+ Cho dù ngôn ngữ bằng lời có bị hạn chế về không gian và thời gian,cho dù ngoài ngôn ngữ ra, con người còn dùng nhiều phương tiện giao tiếpkhác nữa như cử chỉ, các loại ký hiệu… nhưng ở vị trí trên hết và trước hết

là ngôn ngữ vì ngôn ngữ có tính chặt chẽ, đa dạng, phức tạp Điều này thoảmãn những nhu cầu giao tiếp phong phó sinh động của con người

+ Ngôn ngữ không có tính giai cấp, phổ biến tiện lợi, mọi thành viêntrong xã hội đều sử dụng bình đẳng Vì không mang tính giai cấp nên ngônngữ vừa có khả năng sử dụng những nét tinh tế, sâu sắc, kín đáo trong tâm tưtình cảm con người mà không một phương tiện giao tiếp nào có thể làmđược [14]

- Ngôn ngữ là công cụ của tư duy.

Ngôn ngữ là phương tiện ghi lại sản phẩm, kết quả của quá trình tư duycon người

Khi ta đọc nhẩm, nghĩ thầm hay những khi ta thường nói “bụng bảo dạ”

ta vẫn cần đến ngôn ngữ Thứ ngôn ngữ dùng để suy nghĩ Êy là ngôn ngữbên trong, ngôn ngữ thầm dạng rút gọn của ngôn ngữ bên ngoài Vì vậy, ởgóc độ này ngôn ngữ được hiểu là một phương tiện để tư duy

Ngôn ngữ không chỉ tham gia quá trình hình thành tư duy mà có còn tạođiều kiện cho tư duy phát triển

Ngôn ngữ là chất liệu đặc biệt để biểu hiện tư duy Người ta có thể nhậnbiết ngôn ngữ bằng cảm giác (thính giác đối với ngôn ngữ nói, thị giác vớingôn ngữ viết) Ngôn ngữ có tính vật chất là vậy Nhờ có ngôn ngữ ta mớitiếp nhận được với tư tưởng, tình cảm vốn là sản phẩm tinh thần của tư duy.Với ý nghĩa này, người ta nói ngôn ngữ là vỏ vật chất của tư duy.[14]

* Chức năng của ngôn ngữ toán học:

nhà toán học không những xuất phát từ dữ kiện thực tế để có được ký hiệu

đó (từ cái được biểu đạt đến cái được biểu đạt) mà còn từ các hình thức kýhiệu đã cho để tìm ra các hệ thức thực tiễn tương đương với chúng (từ cáibiểu đạt đến cái được biểu đạt) Nhờ vậy, vai trò của ký hiệu có sự thay đổi

cơ bản: từ biện pháp ghi lại, diễn tả các đối tượng, hiện tượng đã biết, kýhiệu trở thành biện pháp để tìm ra cái chưa biết Đó là chức năng tác chiến

và cũng là chức năng phát kiến của ngôn ngữ toán học.[24]

Nhiều ngành khoa học cần đến sự hỗ trợ của NNTH, nói cách khácNNTH thâm nhập vào các ngành khoa học, thúc đẩy sự tiến bộ của cácngành khoa học Tất cả các công thức mệnh đề, các phương trình phảnứng… đều phải sử dụng đến ngôn ngữ ký hiệu toán học Bởi vậy, lời nói đầucho cuốn “Mở đầu về toán học hiện đại” của Shi – khanovich –Matxcơva

1965 có viết: “Toán học không chỉ là tập hợp các sự kiện, trình bày dướidạng các định lý, mà trước hết đó là hệ thống các phương pháp trong cáclĩnh vực rất khác nhau của khoa học và hoạt động thực tiễn”

b) Vai trò của NNTH đối với nhận thức toán học

Những phân tích về chức năng ngôn ngữ toán học nêu trên cho tathấy, NNTH có vai trò quan trọng và không thể thiếu trong quá trình nhậnthức toán học đặc biệt là đối với học sinh NNTH làm nhiệm vụ chuyên chởcác thông tin của khái niệm đến người học một cách logic, chính xác, ngắngọn giúp người học nắm được tư tưởng chính của khái niệm toán học từ đó

sẽ dễ hiểu, ghi nhí nhanh và dễ dàng áp dụng để hình thành các khái niệmtoán học khác hoặc giải các bài toán liên quan

trực quan, vừa thể hiện tính logic, từ đó có thể hình dung được các tính chấtkhác của phép cộng.

Ngôn ngữ toán học giúp HS phát triển tư duy logic và ngôn ngữ chínhxác thông qua việc hình thành khái niệm toán học NNTH có tác dụng pháttriển năng lực tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian của HS.Thông qua quá trình nhận thức và sử dụng NNTH, học sinh có thể vẽ hình,

sử dụng hình vẽ, sơ đồ… để minh hoạ các khái niệm trừu tượng và để giảicác bài toán

Hơn nữa, NNTH giúp HS tiếp cận nhanh hơn với ngôn ngữ của cácngành khoa học khác như vật lý, hoá học, sinh học (các công thức tính toánđường đi trong vật lý, các tỉ lệ về loại trong bài toán sinh học về di truyền …).Các ngành khoa học khác cố gắng vươn tới “sự chính xác toán học” cố gắngđạt tới sự chính xác cao hơn nhờ sử dụng công cụ toán học Các Mác đãtừng tiên đoán “một khoa học thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng đượcphương pháp của toán học”

Lịch sử phát triển toán học và quá trình hình thành NNTH đặc biệt làngôn ngữ kí hiệu đã minh chứng những điều trên Hơn nữa, toán học vàngôn ngữ của nó có tác dụng quan trọng đối với sự phát triển khoa học

1.1.4 Ngôn ngữ toán học trong dạy học môn toán ở trường phổ thông.

Sử dông NNTH cần có sù kết hợp đúng đắn của 2 phương pháp tiếpcận ngữ nghĩa và cú pháp Sự kết hợp phụ thuộc vào việc xem xét các vấn đềdạy học toán và các giai đoạn dạy học toán Đó là mét nhiệm vô quan trọngcủa giáo dục toán học[19] liên quan đến việc kết hợp hai phương pháp tiếpcận ngữ nghĩa và cú pháp của NNTH trong giảng dạy ở trường phổ thông.Nhà giáo dục toán học A A Stôliar cho rằng: “Mặt ngữ nghĩa nói chungphải trội hơn trong tất cả các giai đoạn của quá trình giảng dạy, mặt cú phápnên áp dụng chỉ ở chỗ mà ở đó cần phải nắm vững các angôrit xác

đây là nguyên nhân dẫn đến sự tiếp nhận kiến thức toán học một cách hìnhthức của học sinh.

Nếu bị hạn chế về mặt ngữ nghĩa thì học sinh sẽ không hiểu được cách

sử dụng ngôn ngữ ký hiệu toán học để thể hiện nội dung toán học cần trìnhbày, nghĩa là sẽ rất khó khăn khi nắm yếu tố cơ bản của lý thuyết để hiểumột bài toán và vận dụng lý thuyết để giải bài toán đó

Nếu bị hạn chế về mặt cú pháp thì học sinh sẽ không hiểu được tưtưởng biểu đạt của ngôn ngữ toán và từ đó khó có thể thực hiện được thaotác chuyển dịch bài toán

Vì vậy, cần thường xuyên tập dượt phiên dịch theo hai chiều từ thựctiễn đến mô hình toán học và ngược lại

Theo Hoàng Chúng, việc giảng dạy tốt các định nghĩa góp phần làmgiàu thêm vốn thuật ngữ toán học và kí hiệu toán học của học sinh nghĩa làphát triển NNTH – một điều kiện rất quan trọng để phát triển năng lực nhậnthức, năng lực vận dụng toán học vào thực tế, vào các khoa học khác Cũnggiống như thày giáo dạy ngoại ngữ, thày giáo phải luôn luôn quan tâm đếnvốn từ vựng, vốn kí hiệu của học sinh Trong cả năm học, trong chươngtrình, trong từng bài phải quan tâm đến vốn kí hiệu, vốn thuật ngữ của HS đểbiết được cái gì đã chính xác, cái gì chưa chính xác? Cái gì vững chắc và cái gìchưa vững chắc? Cần củng cố thuật ngữ gì? Kí hiệu gì? Cần đạt yêu cầu gì? [11]

Ví dô: Trong bài “Góc” cần xác định: Thuật ngữ “Góc”: góc bẹt, gócvuông, góc nhọn, góc tù, hai góc kề nhau

Khi dạy bài: “Bé hơn Dấu <” GV phải chú ý sử dụng thuật ngữ ‘béhơn’ chứ không dùng từ ‘nhỏ hơn’

1.2 Cơ sở toán học của môn toán líp 1

Ngôn ngữ toán học nhằm để biểu thị nội dung toán học Để có cơ sở

đề xuất những nguyên tắc, biện pháp nhằm hình thành và rèn luyện NNTH ởlíp 1, dưới đây chúng tôi giới thiệu sơ lược về một số cơ sở toán học củamôn toán líp 1

1.2.1 Hệ thống số

1.2.1.1 Sè

a, Sè theo quan điểm bản số tập hợp hữu hạn

Trong toán học hiện đại, số tự nhiên được hình thành theo quan điểmbản số tập hợp hữu hạn thông qua các bước sau:

+ Thứ nhất: Lực lượng của một tập hợp

Định nghĩa: Cho X và Y là hai tập hợp Ta nói tập hợp X tương đương với

tập hợp Y, kí hiệu X  Y khi và chỉ khi có một song ánh từ X lên Y

Hai tập hợp tương đương còn được gọi là hai tập hợp có cùng lực lượng

Ví dô: Cho X = {1,2,3,4} và Y = {a, b, c, d}; U = { m, n, p} Ta thấy X và Y

có cùng lực lượng vì có thể thiết lập được song ánh từ X lên Y, chẳng hạnsong ánh f cho bởi bảng f:

Khi các tập hợp A và B tương đương với nhau thì ta nói rằng chúng

có cùng một lực lượng hay cùng một bản số (bản số là số các phần tử trongmột tập hợp) Kí hiệu lực lượng của tập A là Card(A) Vậy A  B 

1 2 3 4

a b c d

1 2 3

m n p

Nếu nói a là một bản số thì  mét tập A: Card(A) = a.

+ Thứ ba: Tập hữu hạn và tập vô hạn

Một tập hợp mà tương đương với một bộ phận thực sự của nó gọi làtập vô hạn Hay nói một cách khác, tập A là vô hạn   f: AA là đơn ánhsao cho f(A)  A

Một tập hợp không phải là tập hợp vô hạn gọi là tập hợp hữu hạn Nóimột cách khác, tập hợp A là hữu hạn nếu mọi đơn ánh f: AA đều là toànánh

Ví dô: Tập  là một tập hợp hữu hạn vì  không có bộ phận thực sự nào.

- Tập đơn tử {a}là một hữu hạn vì  là bộ phận thực sự duy nhất của

nó nhưng rõ ràng {a} không tương đương với 

- Tập hợp các điểm trên mộtt đoạn thẳng là tập vô hạn

+ Thứ tư: Định nghĩa số tự nhiên

Định nghĩa: Bản số của một tập hợp hữu hạn được gọi là một số tự nhiên.

Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là N Nh vậy, nếu x là số tự nhiên(xN) thì tồn tại một tập hữu hạn X sao cho Card(X) = x

Ví dô:  là một tập hợp hữu hạn nên Card() là một số tự nhiên Ta kí hiệu

Card() = 0 và gọi là số không

- Tập đơn tử A = {a} là một tập hữu hạn nên Card({a}) là một số tự nhiên ta

kí hiệu Card({a}) = 1 và gọi đó là số 1 Rõ ràng 0  1.[9]

Như vậy, trong môn toán ở tiểu học, đặc biệt là ở líp 1, khái niệm số

tự nhiên đã được xây dựng dùa theo tinh thần của lí thuyết tập hợp nhưngkhông dùng ngôn ngữ của lí thuyết tập hợp, mà sử dụng các hình ảnh trựcquan để giới thiệu về từng líp các tập hợp có từng phần tử (líp các tập hợp cócùng lực lượng) từ đó giới thiệu khái niệm ban đầu về số Chẳng hạn, cáckhái niệm tập hợp, phần tử của tập hợp, lực lượng một tập hợp không nêu ramột cách tường minh mà thể hiện Èn tàng dưới các tranh vẽ Đối với họcsinh líp 1, mới chỉ hình thành ý niệm đầu tiên về tập hợp và về phần tử củatập hợp thông qua việc kể tên đồ vật của tập hợp sau đó dùng các từ quen

thuộc, tương đương để nói về tập hợp Ví dụ: “có 3 con vịt hợp thành mộtđàn vịt”.

Khái niệm về lực lượng của một tập hợp, tập hợp tương đương đượcthể hiện rất rõ trong việc hình thành các sè

Ví dụ: ở bài “Các số 1, 2, 3”, khi giới thiệu về số 1, sách giáo khoa đưa racác tập hợp khác nhau nhưng cùng một lực lượng (cùng số lượng là mét) Ởđây, các tập “con chim”; “em bé”; “chấm tròn”; “con tính” là tương đươngnhau và chúng có cùng một lực lượng hay cùng một bản số

Trong môn toán 1, nội dung ánh xạ cũng đã được giới thiệu ở mức độđơn giản nhất thông qua việc hình thành cho các em khái niệm “tương ứng 1

- 1” giữa các phần tử của 2 tập hợp Ví dụ, trong bài “Nhiều hơn, Ýt hơn”,khi học sinh so sánh “số thìa” và “số cốc” bằng cách đặt 1 chiếc thìa vàotrong một chiếc cốc tức là học sinh đã tiến hành thiết lập được tương ứng 1 -

1 Đây chính là việc xác lập một đơn ánh từ tập “số thìa” lên tập “số cốc” Ởtiểu học, việc nhận thức về số tự nhiên của các em học sinh dùa trên 2 mặtđan xen với nhau, tức là ngoài mặt bản số (đặc trưng của líp các tập hợptương đương), các em còn dùa trên mặt số thứ tự (theo quan điểm thứ tù)

b, Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên

Năm 1888, Đi đơ kim, và sau đó một năm, Pêanô đã nêu ra một cách

mô tả đơn giản về số tự nhiên mà đến nay vẫn gọi là hệ tiên đề Pêanô về các

số tự nhiên, trong đó, “số tự nhiên” và quan hệ “liền sau” được coi là kháiniệm cơ bản

Tập hợp N mà các phần tử gọi là số tự nhiên với quan hệ số liền sau sẽ đượcgọi là tập hợp số tự nhiên nếu nó hoàn toàn thoả mãn 4 tiên đề sau:

1 Có số tự nhiên được kí hiệu là 0

2 Mỗi số tự nhiên đều có một và chỉ một số liền sau

3 Sè 0 không đứng liền sau bất kì số nào

- nếu x Є A thì số liền sau x, của x cũng thuộc A Khi đó A trùng với N(A = N).(Tiên đề này thường gọi là tiên đề quy nạp).

Với những tiên đề này ta có thể thiết lập được tất cả các tính chất quen thuộccủa tập hợp số tự nhiên [9]

Trong tập hợp các số tự nhiên ta xác định một quan hệ kí hiệu ≤ nhưsau: Cho a, b là 2 số tự nhiên gọi A, B là những tập hợp mà Card(A) = a,Card(B) = b ta viết a ≤ b ↔ f: A  B là một đơn ánh hay a ≤ b ↔  A

Cách ghi số hiện nay do người Ên Đé phát minh ra từ thế kỉ VIII và

IX, sau đó được truyện sang Ả Rập và phổ biến ở Châu Âu ở thế kỉ XII.Cách ghi số này nhanh chóng được tất cả các dân téc thừa nhận vì tính ưuviệt của nó so với cách ghi số trước đó Cụ thể, để ghi các sè: "không, mét,hai, ba, bốn, năm, sáu, bảy, tám, chín" người ta dùng 10 kí hiệu chữ số: 0, 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Với 10 chữ số này, ta có thể ghi được mọi số tự nhiêntheo các quy tắc sau:

+ Giá trị của mỗi chữ số chẳng những phụ thuộc vào chữ số đó màcòn phụ thuộc vào vị trí của nó trong số đã ghi Mỗi vị trí được gọi là mộthàng

+ Mét đơn vị của mỗi hàng gấp 10 lần đơn vị của hàng liền sau nó,tính từ trái sang phải

Ví dô: 55 = 5 * 10 + 5.

Tổng quát, mọi số tự nhiên n đều có thể viết trong hệ thập phân dướidạng: n = ak.10k+ ak - 1.10k - 1 + …+ a1.10 + ao Trong đó, ao, a1, …, ak - 1 có thểlấy các giá trị 0, 1, 2, …9 Và ak có thể lấy giá trị 1, 2, …, 9.

Cách viết theo vị trí của số n là : n = akak - 1ak - 2…a2a1a0

Để đọc một số tự nhiên ta tách các số đó thành từng líp (líp đơn vị, lípnghìn, líp triệu, líp tỉ…) mỗi líp gồm 3 hàng (hàng đơn vị, hàng chục, hàngtrăm) nh sau:

Hàng Trăm

tỉ

Chục tỉ

Tỉ Trăm triệu

Chục triệu

Triệu Trăm

nghìn

Chục nghìn

Hai Một

trăm

Hai mươi

Bèn Sáu

trăm

Tám mươi

1.2.1.2.1 Phép toán hai ngôi và các phép tính cộng trừ

a, Phép toán hai ngôi trong một tập hợp.

Định nghĩa: Cho X là một tập hợp khác rỗng Ta gọi là phép toán hai ngôi T

trong tập X một ánh xạ từ X x X đến X:

T: X x X  X

Nói khác đi, một phép toán hai ngôi (thường gọi tắt là phép toán)trong tập X là một quy tắc cho ứng với mỗi cặp sắp thứ tự (x, y) các phần tửcủa X với một phần tử xác định T (x, y) của X Ảnh của (x, y) qua ánh xạ T(tức là qua phép toán T) gọi là cái hợp thành của x với y và thay cho T(x, y)

nó thường được kí hiệu là xTy Mỗi phép toán có kí hiệu xác định Thôngthường ta hay dùng:

+ Kí hiệu + (không nhất thiết là phép cộng thông thường trong các tậphợp số); lóc đó cái hợp thành của x với y, kí hiệu là x + y, gọi là tổng của x và y

+ Kí hiệu “.” (không nhất thiết là phép nhân thông thường trong cáctập hợp số) lúc đó cái hợp thành của x với y, kí hiệu là x.y, đọc x nhân với y

và gọi là tích của x và y

Ví dô: Trong tập hợp số tự nhiên N, phép cộng và phép nhân thông

thường) hai số tự nhiên là 2 phép toán trong N Trái lại, phép trừ không phải

là phép toán trong N vì tương ứng (a, b)  a - b không xác định một ánh xạ

Từ đó, người ta chứng tỏ được a + b + c+ … + e không phụ thuộc thứ

tự thực hiện phép cộng và do đó, kết quả của chúng là duy nhất và gọi là kếtquả phép cộng nhiều sè

+ Trường hợp cộng với số 0: Sè 0 đặc trưng cho bản số tập hợp rỗng Nếu 

là một tập hợp rỗng thì trong các phép tính về tập hợp ta có:

A   =   A = A    =

Tương tự với các số ta có: a + 0 = 0 + a = a

0 + 0 = 0

b, Phép trừ trên N

Cho 2 số tự nhiên a và b với a  b có tồn tại một số tự nhiên c sao

cho b + c = a Ta có định nghĩa: Phép trừ là phép tính nhờ đó khi biết tổng

(a) và mét trong hai số hạng (b) ta tìm được số hạng kia (c), và được kí hiệu

a - b = c với a b Trong đó, a gọi là số bị trừ, b gọi là số trừ, c gọi là hiệu giữa

a và b

Từ đó ta có : a - b = c và b + c = a là 2 đẳng thức tương đương vàphép trừ là phép tính ngược của phép cộng [9]

Trong môn toán líp 1, khái niệm ban đầu về phép cộng được giới thiệuvới học sinh trên cơ sở của phép toán hai ngôi Chẳng hạn, trong bài “Phépcộng trong phạm vi 3”, tương ứng (1, 2)  1 + 2 = 3[Card (tập rùa bên trái

 tập rùa bên phải)] Dấu + được giới thiệu là dấu cộng của phép cộng

Mặt khác, việc hình thành khái niệm ban đầu về phép cộng được tiếnhành trên quan điểm bản số quy về phép hợp của 2 tập hợp rời nhau (không

có phần tử chung nào) Chẳng hạn, 2 và 3 là đặc trưng của 2 tập hợp (đạidiện cho 2 tập hợp tương đương) rời nhau thì đặc trưng cuả 2 tập hợp chúng

sẽ tương ứng với 1 số tự nhiên (gọi là tổng của 2 và 3) mà ta kí hiệu là 2 + 3hay viết gọn là 5

Trong sách toán 1, đã có những bài tập tính tổng của 3 số dưới dạngtính có đến 2 phép cộng liền nhau

Phép trừ được xây dựng trên cơ sở xét phần bù của một tập hợp đốivới một tập con của nã

Ví dô: Có 5 que tính, bớt 2 que tính còn lại 3 que tính

Tuy nhiên, về mặt toán học các tập hợp nêu trên có thể gồm những phần tửtuỳ ý, song ở líp 1, các em chỉ xét các tập hợp “ngây thơ” (gồm những phần

Học sinh sử dụng kết quả của các phép tính trong phạm vi 10 để thựchiện các phép cộng, trừ không nhớ trong phạm vi 100.

Trong môn toán 1, ngay từ các phép cộng, trừ trong phạm vi 10 đãchú ý hình thành cho học sinh làm quen với cả 2 cách viết:

1.2.1.3 Liên hệ giữa so sánh số với phép tính

Ở líp 1, việc so sánh số không chỉ với các số đơn lẻ mà còn kết hợpvới các phép tính Chẳng hạn, bài 3/ 53, nội dung bài tập nh sau:

Rõ ràng, học sinh phải thực hiện tính kết quả của từng phép tính rồimới so sánh

Do líp 1 mới trình bày phép cộng và phép trừ số tự nhiên nên phần cơ

sở toán học co thể nêu ra tính chất sau:

Với a, b, c là số tự nhiên: nếu a < b thì a + c < b + c

a - c < b - c

Tuy nhiên, những tính chất này còn chưa phải là yêu cầu phổ cập chohọc sinh líp 1 Ví dụ: loại bài tập về so sánh sè nh bài 3/ 53 trên thường cónhiều nhưng loại bài sau: 2 + 3 2 + 5 thì lại có rất Ýt, thậm chí không có

ở líp 1

1.2.1.4 Lưu ý

11+2

21+3

31-2

4512+57

Quan điểm thứ tự về các số tự nhiên thể hiện ở môn toán líp 1 là các

em sử dụng phép đếm Phép đếm được xem nh là sự thiết lập tương ứng 1

-1 mỗi phần tử của tập hợp (bỏ qua bản chất và thứ tự của các phần tử của tậphợp) với các từ (lời nói) liên kết trong dãy (bắt đầu từ 1) Từ cuối cùng được

sử dụng nói lên bản số của tập hợp đã cho Phép đếm được sử dụng tronghình thành số và phép cộng [37] Chẳng hạn, khi hình thành các số từ 6  9,

ở bước lập số, ta dụng cách thêm 1 vào số vừa học để có số mới, nghĩa làdùng quan hệ “liền sau” để hình thành số Hơn nữa, ở môn toán líp 1, vấn đềquan hệ liền sau, liền trước của một số và phần tử lớn nhất, bé nhất của mộttập hợp số đã được chú ý đến

1.2.2 Hình học

1.2.2.1 Một số hình dạng hình học: hình vuông, hình tròn, hình tam giác

Trong hình học Ơclít, thông thường người ta có thể định nghĩa cáchình (hình vuông, hình tròn, hình tam giác) trên sơ sở đưa ra một số các dấuhiệu đặc trưng của hình đó

Chẳng hạn:

* Hình vuông là hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau (do đó có 4

cạnh bằng nhau) Nã còn được đặc trưng bởi 1 số tính chất sau:

- Hình thoi có 1 góc vuông

- Tứ giác lồi có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau

- Tứ giác lồi có 2 đường chéo và 2 đường thẳng nối trung điểm 2 căpjcạnh đối diện là 4 trục đối xứng

- Tứ giác lồi nội tiếp một đường tròn  và ngoại tiếp một đường tròn ,

mà  và , cùng tâm

- Tứ giác đều [32]

* Hình tròn: (hay đường tròn, vòng tròn) là một đường cong khép kín,

vẽ trên mặt phẳng gồm toàn thể những điểm cách đều một điểm cố định

* Hình tam giác: là một đa giác có 3 cạnh Một tam giác bao giê cũng

là một hình lồi Tam giác ABC có 6 phần tử: 3 góc và 3 cạnh Đó là 3 góc ABC,BCA, CAB; 3 cạnh là 3 đoạn AB, BC, CA Cạnh BC gọi là cạnh đối diệnvới góc A, nó là cạnh kề với hai góc B và C [36]

Hay, tam giác được nêu trong từ điển toán học thông dông - Ngô ThúcLanh đó là hình tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng (3 đỉnh ) và 3 đoạn thẳngnối 3 điểm đó (3 cạnh) Từ “tam giác”, “hình tam giác” thường dùng để chỉđồng thời hệ 3 đỉnh, hệ 3 cạnh hay miền tam giác giới hạn bởi tam giác.[32]

1.2.2.2 Một số hình hình học đơn giản khác: điểm, đoạn thẳng

a, Điểm là mét trong những khái niệm cơ bản của hình học Trong bài

trình bày có hệ thống của hình học, điểm thường được lấy làm một trongnhững khái niệm ban đầu.- Trong toán học hiện đại, điểm là những phần tửrất đa dạng cấu thành các không gian khác nhau, chẳng hạn trong không gianEuclide, n chiều, điểm là một tập hợp n số được sắp thứ tự

Trong cuốn hình học líp 6, người ta mô tả như sau: Ta lấy một đầuviết chì gọt nhọn rồi Ên nhẹ lên tờ giấy trắng ta được một cái chấm tròn rấtnhỏ: gọi tạm đó là điểm Ta tạm gọi cái chấm tròn đó là 1 điểm vì đối vớihình học, 1 điểm không có bề dày, không có kích thước Trong thực tế, tachỉ có những cái chấm rất gần giống nh 1 điểm, 1 điểm theo đúng nghĩa hìnhhọc chỉ có trong trí tưởng tượng mà thôi Để cho tiện ta đặt 1 chữ ở bên cạnhđiểm ví dụ chữ A Ta đọc điểm A [36]

b, Đoạn thẳng: là một phần của đường thẳng, giới hạn bởi 2 điểm A

và B bao hàm cả 2 điểm đó

Các điểm giới hạn đoạn thẳng gọi là điểm mót của nó Đoạn thẳngchứa điểm A và B và tất cả các điểm của đường thẳng nằm giữa A và B kíhiệu: AB hoặc BA [32]

Trong sách giáo khoa hình học líp 6, đoạn thẳng được định nghĩa nhưsau: Ta coi một phần đường thẳng (D) Trên đường thẳng đó, ta lấy 2 điểm

A, B Phần của đường thẳng giới hạn từ A B được gọi là đoạn thẳng AB.Hai điểm A, B là 2 đầu của đoạn thẳng AB.

Để đi từ A B, nếu ta đi theo đoạn thẳng AB thì quãng đường ngắnnhất còn đi theo bất cứ đường cong nào thì con đường cũng dài hơn đoạnAB

Các khái niệm, định nghĩa về các hình hình học nêu trên rất phức tạp,tuy nhiên với HS líp 1, cụ thể trong SGK toán 1, không hình thành theo trình

tự đó mà theo một trình tự khác phù hợp với đặc điểm tâm lý của học sinhlíp 1 Chẳng hạn, các hình: hình vuông, hình tròn, hình tam giác là nhữnghình thể được giới thiệu trước và giới thiệu theo khối liền để HS có thể cảmnhận được bằng trực giác Các hình như: điểm, đoạn thẳng được giới thiệusau và được mô phỏng thông qua hình ảnh cụ thể để HS có thể nhận biếtđược Điều này phù hợp với trình độ thứ nhất- trình độ thấp nhất (trong tâm

lý tư duy người ta phân biết rõ 5 trình độ phản ánh hình học) đó là các hìnhhình học được xem xét như những “cái toàn thể” chỉ được phân biệt vớinhau với hình dạng của chúng Ví dụ nếu chỉ cho học sinh líp 1 những hìnhthoi, chữ nhật, hình vuông, hình bình hành và gọi tên những hình Êy thì sauvài lần nhắc lại, HS có thể phân biệt các hình Êy theo hình dạng của chúng(trong toàn thể không phân tích) và ở trình độ này, HS chưa thể “nhìn thấy”hình bình hành trong hình thoi cũng như “nhìn thấy” hình chữ nhật tronghình vuông.[19]

1.2.3 Đại lượng.

Khi nghiên cứu các sự vật và hiện tượng của thế giới xung quanh,người ta có thể xét nó về nhiều tính chất trong đó có các tính chất có thểquan sát và nghiên cứu về mặt định lượng Các tính chất này là những đạilượng vật lý, nói tắt là những đại lượng Ở đây, chúng tôi mô tả đại lượngtheo cách hiểu của tác giả Phạm Văn Hoàn, Hà Sĩ Hồ, Nguyễn Văn Tiến

Chẳng hạn, xét trường hợp độ dài của đoạn thẳng Độ dài của cácđoạn thẳng là 1 đại lượng và nó là một đại lượng vô hướng (vì các giá trị của

nó có thể sắp xếp theo một thứ tự nào đó) Nhưng đối với đại lượng độ dài ta

có thể xác định được phép cộng, ví dụ, nếu cho 2 đoạn thẳng a và b ta có thểthành lập 1 đoạn thẳng thứ ba bằng cách đặt nối tiếp chúng lại theo 1 đườngthẳng, sao cho chúng có 1 điểm chung Đoạn thẳng mới này gọi là tổng của

2 đoạn thẳng kia Nếu ta cho các đoạn thẳng a và b ứng với các số m và n thìđoạn thẳng tổng kia sẽ ứng với số m + n Một đại lượng có tính chất đó gọi

là 1 đại lượng cộng được Vì thế, độ dài của đoạn thẳng là một đại lượng vôhướng và cộng được Các đại lượng có 2 tính chất này gọi là các đại lượng

đo được

Ta có thể định nghĩa phép đo đại lượng nh sau:

- Đo đại lượng là cho mỗi phần tử của tập hợp các đại lượng cùng loại đóứng với một số (gọi là số đo) số này thoả mãn 2 điều kiện sau:

+ Các phần tử bằng nhau thì ứng với cùng một số Các phần tử khôngbằng nhau thì ứng với các số khác nhau, sao cho phần tử lớn hơn ứng với sốlớn hơn

+ Phần tử hợp thành bởi nhiều phần tử thành phần thì ứng với 1 sốbằng các số ứng với các phần tử thành phần

Một số lưu ý: + Việc chọn các số này tuy có 1 số điều kiện hạn chế

song vẫn còn một tính chất tuỳ ý Chẳng hạn, trong vấn đề đo các đoạnthẳng nếu ta cho các đoạn thẳng bằng 1 gang tay ứng với số 1, thì theo địnhnghĩa các đoạn thẳng bằng 2, 3, 4 gang tay sẽ ứng với các số 2, 3, 4…, các

số đo hợp thành 1 hệ số đo của các đoạn thẳng nói trên Song nếu ta chọnđoạn thẳng bằng 1 gang tay ứng với số 5, các đoạn thẳng bằng 2, 3, 4…gang tay ứng với các số 10, 15, 20… thì rõ ràng tập hợp các số 5, 10, 15,20… cũng thoả mãn các điều kiện nêu ra trong phép đo và do đó, chúngcũng là 1 hệ số đo khác của các đoạn thẳng nói trên Sở dĩ, có tình trạng đó

là vì ta chưa xác định đơn vị của phép đo tức là chưa chọn 1 đoạn thẳng nào

đó làm chuẩn, đoạn thẳng chuẩn này cho ta ứng với số 1, trong ví dụ trên,nếu chọn đoạn thẳng bằng 1 gang tay làm đơn vị đo, khi đó phép đo sẽ hoàntoàn xác định các đoạn dài 2, 3, 4…gang tay sẽ ứng với các số 2, 3, 4.

+ Các đơn vị đo có thể chọn tuỳ ý và rõ ràng là số đo của các đạilượng cùng loại phụ thuộc vào độ lớn đại lượng chọn làm đơn vị đo

* Hệ mét

Là một hệ vì trong đó các đơn vị đo có quan hệ hữu cơ với nhau, từ 1

số đơn vị chọn làm đơn vị cơ bản (hay đơn vị chính) ta có thể suy ra các đơn

vị khác gọi là đơn vị dẫn xuất (hay đơn vị phụ)

Gọi là hệ mét vì cơ sở của hệ này là mét

Sáng kiến vĩ đại của những người sáng lập ra hệ mét tập trung vào 2điểm sau:

+ Để đảm bảo cho đơn vị cơ bản của hệ này là đơn vị dài có tính chấtkhông đổi người ta đã chọn một khoảng cách trong thiên nhiên làm đơn vịdài Khoảng cách đó là 1/40 000 000 của kinh tuyến quả đất đi qua Pari (thủ

đô nước Pháp) Khoảng cách đó được gọi là mét Đó là một chuẩn tự nhiênbất di bất dịch

+ Từ mét người ta xây dựng những đơn vị bội và ước của mét, cácđơn vị bội và ước kế tiếp nhau hơn nhau 10 lần

Nh vậy, các đơn vị dẫn xuất của mét cũng được cấu tạo theo hệ thậpphân là hệ tiện dùng nhất trong thực hành tính toán

Trong sách toán 1, đơn vị dẫn xuất trong hệ mét được giới thiệu vớihọc sinh là đơn vị xăngtimét (cm) Sở dĩ, giới thiệu đơn vị cm vì nó thíchhợp với việc đo độ dài các dụng cụ học tập gần gũi với học sinh nên học sinh

có điều kiện để thực hành đo và vẽ các độ dài đoạn thẳng trong phạm vi 10

cm, 20 cm… Nội dung đại lượng trong sách toán 1 là giới thiệu cho học sinhcác đại lượng hình học: độ dài đoạn thẳng, đơn vị đo số đo và cách đo đoạn

đơn vị đo khác nhau: bằng gang tay, bước chân, sải tay…và tiếp đến bài

“Xăngtimet Đo độ dài” nhằm giới thiệu với học sinh đơn vị để đo độ dài

* Số đo thời gian: Việc học phép đo thời gian gặp nhiều khó khăn hơn bởi 2

lÝ do:

+ Hệ này so với hệ mét thì khác hẳn, các đơn vị kế tiếp không phảihơn kém nhau 10 lần hoặc luỹ thừa của 10 nh hệ mét

+ Nếu khi đo chiều dài, chẳng hạn, ta có thể tạo ra 1 mẫu đơn vị rồi

so sánh trực tiếp khoảnh cách cần đo với đơn vị đó (bằng cách đặt liên tiếpcái mét mẫu lên trên khoảng cách cần đo, nói cách khác ta có thể tiến hànhphép đo trực tiếp thì trái lại trong phép đo thời gian ta không thể tạo ra đượcmột đơn vị đo thời gian cụ thể, chẳng hạn, một mẫu cụ thể của 1 giê, rồi sosánh nó 1 cách trực tiếp với thời gian cần đo Ngay cả mẫu giê mà ta có thểtạo ra bằng đồng hồ đối với học trò vẫn là 1 khái niệm khá trừu tượng

Trong sách toán 1, đại lượng thời gian được giới thiệu với học sinh đó

là cách xem giê đúng, các ngày trong tuần, đồng hồ, lịch Yêu cầu học sinhbiết cách xem và đọc được giê đúng trên mặt đồng hồ và biết cách xem vàđọc được trên tờ lịch ghi ngày mấy tháng mấy, thứ mấy…

1.3 Tình hình dạy và học ngôn ngữ toán học ở môn toán tiểu học

1.3.1 Một số vấn đề về ngôn ngữ toán học trong SHS và SGV toán líp 1

1.3.1.1 Sách giáo khoa

a, Những ưu điểm

Có thể thấy rằng NNTH xuất hiện ở hầu hết các bài trong SGK Đểtrình bày một nội dung toán học, SGK có thể sử dụng rất nhiều ngôn ngữkhác nhau (hình ảnh, mô hình…) nhưng đều có ý sử dông là ngôn ngữ kíhiệu toán học (nếu không phức tạp)

Ngay ở líp 1, ở những bài học đầu tiên trẻ đã làm quen với các thuậtngữ toán học như “nhiều hơn”, “ít hơn”… hay những thuật ngữ phản ánh cáckhái niệm toán học tương ứng như: “hình vuông, hình tròn, hình tam giác…”tiếp đó là đến các kí hiệu toán học, đó là các chữ số để ghi số lượng của một