Chúng ta sẽ chỉ ra rằng, dưới các điều kiện phù hợp, tính đặt chỉnh của bài toán biến phân hỗn hợp tương đương với sự tồn tại và duy nhất nghiệm của nó, tính đặt chỉnh tổng quát tương đương với sự tồn tại các nghiệm.
Định lý 2.4.1. Cho F: H → H là liên tục theo tia, đơn điệu và ϕ: H →R∪ {+∞}
là chính thường, lồi, nửa liên tục dưới. Khi đó MVI(F, ϕ) là đặt chỉnh yếu nếu và chỉ nếu nó có nghiệm duy nhất.
Chứng minh Điều kiện cần là rõ ràng, theo định nghĩa về tính đặt chỉnh yếu đối với MVI(F, ϕ). Đối với điều kiện đủ, giả sử MVI(F, ϕ) có nghiệm duy nhất x∗. Nếu
MVI(F, ϕ) không là đặt chỉnh yếu, thì tồn tại dãy xấp xỉ {xn} đối với MVI(F, ϕ), sao choxn 6* x∗. Vậy tồn tại n>0với n→0 sao cho, ∀y∈H,∀n∈N,
hF(xn), xn−yi+ϕ(xn)−ϕ(y). (2.14)
Nếu {xn} không bị chặn, không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử kxnk → ∞. Đặt tn = kx 1
n−x∗k, zn = x∗+tn(xn+x∗). Không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử tn∈(0,1]và zn * z(z 6=x∗). Lý luận tương tự Định lý 2.2.1, ta có, ∀y∈H,∀n∈N,
hF(y), z−yi ≤ hF(y), z−zni+ϕ(y)−ϕ(zn) +tnn. Ta suy ra,∀y ∈H,
hF(y), z−zni ≤ lim inf
n→∞ {F(y), z−zni+ϕ(y)−ϕ(zn) +tnn} ≤ ϕ(y)−ϕ(z).
Điều này kết hợp với Bổ đề 2.1.2 suy razlà nghiệm MVI(F, ϕ), mâu thuẫn vì MVI(F, ϕ) có nghiệm duy nhấtx∗. Vậy {xn} bị chặn.
Cho {xnk} là dãy con bất kỳ của {xn} sao cho xnk *x¯ khi k → ∞. Từ (2.14) ta suy ra, ∀y∈H,∀n∈N,
hF(xnk), xnk −yi+ϕ(xnk)−ϕ(y)≤nk. VìF là đơn điệu và ϕ là lồi, nửa liên tục dưới, nên ta có ∀y∈H,
hF(y),x¯−yi+ϕ(¯x)−ϕ(y) ≤ lim inf k→∞ {F(y), xnk −yi+ϕ(xnk)−ϕ(y)} ≤ lim inf k→∞ {F(xnk), xnk −yi+ϕ(xnk)−ϕ(y)} ≤ lim inf k→∞ nk = 0.
Điều này kết hợp với Bổ đề 2.1.2 ta suy ra x¯ là nghiệm MVI(F, ϕ). Ta có x¯ = x∗ vì MVI(F, ϕ) có nghiệm duy nhấtx∗. Vậyxnhội tụ yếu tớix∗, mâu thuẫn. Vậy MVI(F, ϕ)
là đặt chỉnh yếu.
Ví dụ 2.4.1. Cho H, F, ϕ như Ví dụ 2.1.1. Dễ thấy F là liên tục theo tia, đơn điệu, ϕ chính thường, lồi, nửa liên tục dưới và MVI(F, ϕ) có nghiệm duy nhất x∗ = 0. Theo Định lý 3.1.1, MVI(F, ϕ) là đặt chỉnh.
Định lý 2.4.2. ChoF:Rm →Rmlà liên tục theo tia, đơn điệu vàϕ:Rm →R∪{+∞}
là hàm chính thường, lồi, nửa liên tục dưới. Nếu tồn tại >0sao cho Ωα() khác rỗng bị chặn, thì MVI(F, ϕ) là α-đặt chỉnh tổng quát.
Chứng minh Cho {xn}là dãy α-xấp xỉ đối với MVI(F, ϕ). Khi đó tồn tại n>0với n→0 sao cho,∀y ∈Rm,∀n∈N,
hF(xn), xn−yi+ϕ(xn)−ϕ(y)≤ α
2kxn−yk2+n. (2.15) Cho >0sao cho Ωα() khác rỗng, bị chặn. Khi đó tồn tạin0 sao cho xn∈Ωα()với mọin > n0. Điều này suy ra xn bị chặn, do đó tồn tại dãy con{xnk}của {xn} sao cho xnk →x¯khi k→ ∞. VìF là đơn điệu vàϕ lồi, nửa liên tục dưới. Từ (2.15) ta suy ra, ∀y ∈Rm hF(y),x¯−yi+ϕ(¯x)−ϕ(y) ≤ lim inf k→∞ {hF(y), xnk−yi+ϕ(xnk)−ϕ(y)} ≤ lim inf k→∞ {hF(xnk), xnk−yi+ϕ(xnk)−ϕ(y)} ≤ lim inf k→∞ nα 2kxnk −yk2+nk o = α 2k¯x−yk2.
Với bất kỳy∈Rm, đặt yt = ¯x+t(y−x)¯ với mọit ∈(0,1). Khi đó hF(y(t),x¯−y(t)i+ϕ(¯x−ϕ(y(t))≤ α
2k¯x−y(t)k2. Do ϕ lồi, ∀y∈Rm,∀t∈(0,1)
hF(y(t),x¯−y(t)i+ϕ(¯x−ϕ(y)≤ tα
2 k¯x−y(t)k2. Cho t→0trong bất đẳng thức trên, ta có, ∀y∈Rm,
hF(y),x¯−yi+ϕ(¯x−ϕ(y)≤0.
Điều trên kết hợp với Bổ đề 2.1.2 suy rax¯là nghiệm MVI(F, ϕ). Vậy MVI(F, ϕ) là đặt
chỉnh tổng quát.
Định lý 3.1.2 không nói gì, nhưng dưới các điều kiện thích hợp, ϕ-đặt chỉnh tổng quát tương đương với tồn tại các nghiệm. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng giả sử Ωα() khác rỗng bị chặn với > 0 nào đó là cần thiết trong Định lý 3.1.2.
Ví dụ 2.4.2. Cho m = 1, F(x) = 0, và ϕ(x) = δK(x), trong đó K = [0,∞). Rõ ràng F là liên tục theo tia, đơn điệu vàϕ là chính thường, lồi, nửa liên tục dưới. Với bất kỳ >0, ta có Ωα() = [0,∞). Theo Định lý 2.1.4 ta có, MVI(F, ϕ) làα-đặt chỉnh tổng quát.
Đặt chỉnh nghiệm của bài toán tựa cân bằng vectơ và áp dụng vào các bài toán hai mức
3.1. Tính đặt chỉnh của bài toán tựa cân bằng
Chúng ta xét bài toán tựa cân bằng nhiễu sau. Cho X là không gian tôpô Hausdorff vàY là không gian vectơ tôpô Hausdorff.A⊆X là tập con khác rỗng và nón sắp thứ tự C ⊆ Y khác rỗng, lồi, đóng, đỉnh và có phần trong khác trống. Cho các tập ràng buộc phụ thuộc vàox∈X định nghĩa bởiKi:A→2A,i= 1,2. Cho mô hình bài toán được diễn tả bởif:A×A→Y. Xét hai bài toán tựa cân bằng sau
(WQEP): tìm x¯∈K1(¯x)sao cho, với mọi y∈K2(¯x), f(¯x, y)6<0; (SQEP): tìm x¯∈K1(¯x) sao cho, với mọi y∈K2(¯x),
f(¯x, y)≥0.
Ký hiệu (WQEP) và (SQEP) tương ứng là “ Bài toán tựa cân bằng yếu" và “Bài toán tựa cân bằng mạnh". Các tập nghiệm của (WQEP) và (SQEP) được ký hiệu tương ứng làSw và Ss.
Giả sử các bài toán này chịu sự nhiễu, với tham số nhiễu λ trong không gian tôpô Λ. Điều này có nghĩa là bài toán của chúng ta được nhúng vào họ sau, với mỗiλ ∈Λ, (WQEPλ): tìm x¯∈K1(¯x, λ)sao cho, với mọi y∈K2(¯x, λ),
f(¯x, y, λ)6<0;
(SQEPλ): tìm x¯∈K1(¯x, λ) sao cho, với mọi y∈K2(¯x, λ), f(¯x, y, λ)≥0.
Giả sử bài toán gốc tương ứng vớiλ = ¯λ, tức là, (WQEP) = (WQEP¯λ)và (SQEP) =(SQEP¯λ). Chúng ta đưa vào các khái niệm của các dãy cực tiểu hoá xấp xỉ và tính đặt chỉnh dưới sự nhiễu loạn được giới thiệu bởi Zolezzi đối với tối ưu không ràng buộc [45] và phát triển với nhiều bài toán khác nhau [32], [37],[46],[48] với bài toán của chúng ta như sau
Định nghĩa 3.1.1. Cho {λα} ⊆ Λ là dãy hội tụ tới ¯λ. Dãy {xα} ⊆ K1(xα, λα) được gọi là dãy nghiệm xấp xỉ đối với (WQEP) (tương ứng (SQEP)) tương ứng với {λα} nếu tồn tại{eα} ⊆intC hội tụ tới 0sao cho
f(xα, y, λα) +eα 6<0, với mọiy ∈K2(xα, λα),
(tương ứng f(xα, y, λα) +eα ≥0, với mọi y∈K2(xα, λα)).
Định nghĩa 3.1.2. Bài toán (WQEP), (tương ứng (SQEP)) được gọi là đặt chỉnh nếu:
(i) tập nghiệm Sw của (WQEP) (tương ứngSs của (SQEP)) khác rỗng;
(ii) với bất kỳ dãy {λα} ⊆Λhội tụ tớiλ¯ thì mọi dãy nghiệm xấp xỉ đối với (WQEP) (tương ứng (SQEP)) tương ứng với{λα}có một dãy con hội tụ tới một điểm nào đó thuộc Sw (tương ứng Ss).
Chúng ta cũng xét tính chất mạnh hơn sau với yêu cầu tính duy nhất như trong các định nghĩa cổ điển.
Định nghĩa 3.1.3. Bài toán (WQEP) ( tương ứng (SQEP)) được gọi là đặt chỉnh duy nhất nếu:
(i) có nghiệm duy nhất x¯ với (WQEP) (tương ứng (SQEP));
(ii) với bất kỳ dãy{λα} ⊆Λtương ứng vớiλ, mọi dãy nghiệm xấp xỉ đối với (WQEP)¯ (tương ứng (SQEP)) tương ứng với {λα} hội tụ tới x.¯
Từ giờ trở đi, với λ∈ Λ và e ∈ intC, đặt E(λ) là tập tất cả các điểm cố định của K1(., λ), tức là, tập {x∈A:x∈K1(x, λ)} và
Πw(λ, e) = {x∈K1(x, λ) :f(x, y, λ) +e6<0,∀y∈K2(x, λ)}, Πs(λ, ε) ={x∈K1(x, λ) :f(x, y, λ) +e≥0,∀y ∈K2(x, λ)}
(Πw(λ, e)vàΠs(λ, e)tương ứng là các tập nghiệme-xấp xỉ của(WQEPλ)và (SQEPλ).
Chú ý 3.1.1.
(i) Nếu (WQEP) (hoặc (SQEP)) là (duy nhất) đặt chỉnh dưới sự nhiễu loạn, nó là đặt chỉnh Tikhonov (lấy λα = ¯λ với mọi α).
(ii) Các điều sau đây phổ biến và thường sử dụng trong giải tích ([1] - [4]): Cho Q: X →2Y là ánh xạ đa trị giữa hai không gian tôpô.
(iia) NếuQ(¯x)là compact, thìQ(.)là usc tạix¯nếu và chỉ nếu với bất kỳ các dãy {¯xα} ⊆X vớixα →x¯ và{yα}với yα∈Q(xα), có dãy con {yβ}của {yα} sao cho yβ →y với y∈Q(¯x).
Vậy, định nghĩa tính đặt chỉnh dưới sự nhiễu và tính đặt chỉnh duy nhất encom- pass một dạng của nửa liên tục dưới phụ thuộc tham số của các tập nghiệm. Sự phụ thuộc này đã được nghiên cứu trong sự ổn định (các kết quả gần đây đối với bài toán tựa cân bằng [1] - [4]). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(iii) Trong [32], trường hợp đặc biệt, khi xét K1(x, λ) ≡ K2(x, λ) ≡ A. Định nghĩa tính đặt chỉnh tham số trong [32] khác với Định nghĩa 3.1.2 và 3.1.3, bởi vì các phát biểu đối với mọi λ ∈ Λ thay vì đối với ¯λ tương ứng với bài toán không nhiễu. Các định nghĩa của chúng ta tương tự như các định nghĩa [36], [39], [46], [48] và mô tả nhiều sự nhiễu của bài toán gốc. Tuy nhiên, các kết quả dưới đây có thể trình bày lại đối với định nghĩa tính đặt chỉnh [32].
(iv) Tính đặt chỉnh đối với bài toán vectơ được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau. [12], đối với các dãy nghiệm xấp xỉ, eα bị hạn chế bởi αe, với αe là số thực dương và e∈ intC, tức là, chỉ những e có hướng cố định là thoả mãn. [27] cũng sử dụng các hàm vô hướng, với y∈Y,
ξ(y) = inf{t:y≤te}
để định nghĩa tính đặt chỉnh (được gọi là tính đặt chỉnh loại III). Điều kiện đủ cho tính đặt chỉnh dưới sự nhiễu của bài toán (WQEP) được cho bởi định lý sau. Chúng ta thấy rằng cách chứng minh cơ bản dựa trên các kỹ thuật sự xét đến tính ổn định, bởi vì tính đặt chỉnh dưới sự nhiễu có quan hệ với ổn định.
Định lý 3.1.1. Giả sử (WQEP) có Sw khác rỗng và (i) f là C-usc trong A×A× {¯λ};
(ii1) K1 là usc trong A× {λ}¯ , A là compact và K2 là lsc trong A× {λ};¯
(ii2) E là usc tại λ¯ và E(¯λ) là compact và K2 là lsc trong A× {¯λ}.
Khi đó, (WQEP) là đặt chỉnh. Hơn nữa, nếu Sw là duy nhất, thì bài toán này là đặt chỉnh duy nhất.
Chứng minh Chúng ta chỉ cần xét trường hợp (ii) là đủ, bởi vì các trường hợp khác tương tự và đơn giản hơn. Trước hết chúng ta chỉ ra Πw là usc tại (¯λ,0). giả sử tồn tại tập mởU của Πw(¯λ,0), của các dãy {(λα, eα)} trongΛ×intC với(λα, eα)→(¯λ,0) và của {xα} trong Πw(λα, eα) sao cho xα ∈/ U, với mọi α. Do tính nửa liên tục dưới của E tại λ¯ và tính compact củaE(¯λ), ta suy ra xα →x0 nào đó, với x0 ∈E(¯λ). Nếu x0 ∈/ Πw(¯λ,0) =Sw(¯λ) = Sw, thì cóy0 ∈K2(x0,λ)¯ sao chof(x0, y0,λ)¯ <0. Trở lại tính liên tục củaK2, ta suy ra, tồn tạiyα ∈K2(xα, λα)sao choyα →y0. Vìxα ∈Πw(λα, eα), có
f(xα, yα, λα) +eα6<0.
ChoI :C →C là ánh xạ đồng nhất. Khi đó Mệnh đề 1.3.4 cho taC-nửa liên tục dưới của (x, y, λ, e)→f(x, y, λ) +e tại (x0, y0,λ,¯ 0). Do đó
f(x0, y0,λ)¯ 6<0.
điều này mâu thuẫn. Vì vậy,x0 ∈Πw(¯λ,0)⊆U, điều này lặp lại mâu thuẫn, vìxα ∈/ U, với mọiα. Vậy, Πw là usc tại (¯λ,0).
Tiếp theo chúng ta kiểm tra Sw compact đơn giản bằng cách chỉ ra tính đóng (vì E(¯λ)compact). Choxα ∈Sw vớixα →x0. Nếux0 ∈/ Sw, thì tồn tạiy0 ∈K2(x0,λ)¯ sao cho
Nửa liên tục dưới của K2, cho ta sự tồn tại của yα ∈ K2(xα,¯λ) sao cho yα → y0. Vì xα ∈Sw với mỗi α, ta có
f(xα, yα,¯λ)6<0. Do tính C-nửa liên tục trên của f(., .,λ),ta suy ra¯
f(x0, y0,λ)¯ 6<0,
điều này là không thể. Vậy Sw compact. Cuối cùng, theo Chú ý 3.1.1 (iia), chúng ta thấy được tính nửa liên tục củaΠw và tính compact của Sw cùng với nhau suy ra tính đặt chỉnh của (WQEP). Trong trường hợp riêng, khiSw là duy nhất, thì tính duy nhất của đặt chỉnh được suy ra bởi bởi Chú ý 3.1.1 (iib).
Chú ý 3.1.2. Trường hợp riêng, khi K1(x, λ)≡ K2(x, λ)≡A, giả thiết (i) của Định lý 3.1.1 rõ ràng có thể rút gọn C-nửa liên tục dưới của f(., y, .), với mỗi y ∈ A. Do đó, định lý này chứa đựng một phần tính đặt chỉnh của Định lý 3.3 và Hệ quả 3.1[32]. Phần còn lại của định lý là sự tồn tại các nghiệm với mọi λ ∈ Λ. Nhưng xấp xỉ của chúng ta cả trong định nghĩa tính đặt chỉnh và trong Định lý 3.1.1, chúng ta cần sự tồn tại các nghiệm chỉ với¯λ. Hơn nữa, có nhiều bài báo tồn tại nghiệm đối với bài toán tựa cân bằng (không ràng buộc, hoặc cái tương tự, phụ thuộc vào tham sốλ) cố định.¯ Vì vậy, chúng ta tập trung vào tính đặt chỉnh, xem sự tồn tại như một giả thiết.
Các ví dụ sau chỉ ra rằng, thậm chí đề cập trường hợp riêng, thì C-nửa liên tục trên trong giả thiết (i) nên được áp dụng tương ứng với cảx và λ.
Ví dụ 3.1.1. Cho X = Y = R, Λ = [0,1],λ¯ = 0, A = [0,1], C = R+, K1(x, λ) = K2(x, λ) = [0,1] và f(x, y, λ) = x−y nếu λ= 0, y−x ngược lại.
Khi đó giả thiết (ii1) thoả mãn. Bởi vì với (i), f liên tục tương ứng với x nhưng không là R+-usc tương ứng với λ. Thật vậy, lấy xn = 0, yn = 1, λn = n1 và en = 0, ta có (xn, yn, λn, en) → (0,1,0,0) và f(xn, yn, λn) +en = f(0,1,1
n) = 1 > 0, nhưng f(0,1,0) = −1<0. Ta có thể thấy ngay S(0) ={1} và, với λn= n1, en = 1n, dãy {xn} trongΠ(λn, en), với xn= 0 với mọi n, là dãy nghiệm xấp xỉ đối với (QEP) tương ứng với λn và en. Nhưngxn →0∈/S(0) và do đó (QEP) không là đặt chỉnh dưới sự nhiễu loạn.
Đối với (SQEP), chúng ta có kết quả tương tự sau.
Định lý 3.1.2. Áp dụng các giả thiết của Định lý 3.1.1 ngoại trừ (i), được thay bởi (i’) f is C-qusc in A×A× {¯λ}. Khi đó, (SQEP) là đặt chỉnh. Hơn nữa, nếu Ss là duy nhất, thì (SQEP) là đặt chỉnh duy nhất
Chứng minh Cách chứng minh tương tự với cách cách chứng minh Định lý 3.1.1. Chúng ta đưa ra ngắn gọn việc chứng minh. Trước hết, chứng minh nửa liên tục trên của Πs bằng lập luận mâu thuẫn, giả sử tồn tại tập mở U của Πs(¯λ,0) và các dãy {(λα, eα)}, {xα} trong Πs(λα, eα) sao cho (λα, eα) → (λ0,0), và xα ∈/ U, với mọi α. Theo giả thiết (ii), ta suy ra xα → x0 nào đó, vớix0 ∈ Πs(¯λ,0), mâu thuẫn. (Thay vì áp dụng Mệnh đề 1.3.4, ở đây chúng ta sử dụng quy tắc tổng trong Mệnh đề 1.3.5 (ii) với hàm f C-qusc.)
Tiếp theo giả sử với xα ∈ Ss, ta có xα → x0 nhưng x0 ∈/ Ss. Khi đó, tồn tại y0 ∈K2(x0,λ)¯ sao cho
f(x0, y0,¯λ)6≥0.
do tính nửa liên tục dưới củaK2 vàC-tựa nửa liên tục trên củaf(., .,¯λ)cùng với nhau suy ra điều mâu thuẫn là
Vậy,Ss đóng và do đó compact. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cuối cùng, theo Chú ý 3.1.1 (ii), nửa liên tục trên của Πs và compact hoặc duy nhất của Ss cùng với nhau hoàn thành việc chứng minh.
3.2. Tính tựa lồi của các hàm vectơ
Bây giờ chúng ta thảo luận một vài khái niệm tựa lồi tổng quát đối với các hàm vectơ và phát triển các tính chất của chúng để sử dụng chúng đối với việc nghiên cứu tính đặt chỉnh trong nội dung tiếp theo. Trong tiểu mục này cho X là không gian vectơ và Y là không gian vectơ tôpô sắp thứ tự bởi nón C lồi, đóng, có phần trong khác trống, choA⊆X là tập lồi và h:A→Y. Các định nghĩa dưới đây phổ biến. (Các mối quan hệ≤, <, ..., được định nghĩa bởi C.)
Định nghĩa 3.2.1. (i) h được gọi là lồi nếu, với mọi x1, x2 ∈A và t∈[0,1], h(tx1+ (1−t)x2)≤th(x1) + (1−t)h(x2).
(ii) h được gọi là lồi ngặt nếu, với mọi x1, x2 ∈A và t ∈(0,1), h(tx1+ (1−t)x2)< th(x1) + (1−t)h(x2).
(iii) h được gọi là lồi ngặt nếu, với mọi x1, x2 ∈A và t ∈[0,1], cả
h(tx1+ (1−t)x2)≤h(x1) hoặc h(tx1+ (1−t)x2)≤h(x2).
(iv) h được gọi là tựa lồi ngặt nếu, với mọi x1, x2 ∈A vàt ∈(0,1), cả h(tx1+ (1−t)x2)< h(x1) hoặc h(tx1+ (1−t)x2)< h(x2).
Đối với các định nghĩa này, bằng cách nghịch đảo bất đẳng thức, chúng ta có các khái niệm lõm tương ứng. Trong một số tài liệu,hđược gọi là lõm (tương ứng lõm ngặt, ...) nếu và chỉ nếu -h là lồi (tương ứng lồi, tựa lồi, ...).
Chú ý 3.2.1. NếuY =C∪ −C, giống như các hàm vô hướng, lồi (tương ứng lồi ngặt) suy ra tựa lồi (tương ứng tựa lồi ngặt). Tuy nhiên, điều này không đúng cho tổng quát như được chỉ ra bởi ví dụ sau.
Ví dụ 3.2.1. ChoX =A=R, Y =R2, C =R2+vàh(x) = (−1−2x,−3 + 3x). Khi đó hlồi, vì nó là tuyến tính. Nhưnghkhông là tựa lồi. Thật vậy, vớix1 = 0, x2 = 1, t= 12, ta có h(x1) = (−1,−3), h(x2) = (−3,0), nhưng h(21x1 + 12x2) = (−2,−3
2) 6≤ h(x1) và 6≤ h(x2). [22] trang 48 - 49 có khẳng định là lồi thì kéo theo tựa lồi đối với các hàm vectơ đa trị. Ví dụ sau đây chỉ ra rằng điều khẳng định này không phù hợp thậm chí đối với hàm đơn trị.
Các ví dụ sau chỉ ra rằng, đối với các hàm vô hướng, thậm chí lồi ngặt ta cũng không suy ra tựa lồi.
Ví dụ 3.2.2. Cho X =A=R, Y =R2, C =R2+ vàh(x) = (4x2+ 2x−1,4x2−10x+ 5) := (h1(x), h2(x)). Rõ ràng cảh1 vàh2 là các hàm vô hướng lồi ngặt. Do đó, với mọi x1, x2 ∈R, với mọi t∈(0,1)và với xt =tx1+ (1−t)x2, ta có
h(xt)< th(x1) + (1−t)h(x2),
tức là, h là lồi ngặt. Nhưng h không là tựa lồi. Thật vậy, với x1 = 0, x2 = 1, t = 12, ta cóh(x1) = (−1,5), h(x2) = (5,−1) và h(12x1 +12x2) = (1,1)6≤h(x1)và 6≤h(x2).
Định nghĩa 3.2.2. Cho b ∈Y cố định. Nếu, với mọi x1, x2 ∈A, mọi t∈(0,1)và với xt = (1−t)x1+tx2,
(i) h(x1)6< b, h(x2)6≤b kéo theo h(xt)6≤b, thì h được gọi là lev6≤b-lồi; (ii) h(x1)≥b, h(x2)> b kéo theo h(xt)> b, thì h được gọi là lev>b-lồi.
Chú ý rằng, nếuY =C∪−C, hai tính chất này trùng nhau. Hơn nữa, nếuhlàlev6≤b-lồi (tương ứnglev>b-lồi), thìL6≤bh(tương ứngL>bh) lồi, nhưng ngược lại không đúng được chỉ ra bởi ví dụ sau.
Ví dụ 3.2.3. Cho A = [−2,2], Y =R, C = R+ và h(x) = max{0, x} với x ∈ A. Khi đó L6≤0h = (0,2] lồi, nhưng h không là lev6≤0-lồi. Thật vậy, cho x1 = −1, x2 = 1 và t= 12. Ta cóh(x1) = 06<0, h(x2) = 16≤0, nhưngh(xt) =h(12x1+12x2) =h(0) = 0≤0.
Chú ý 3.2.2. Nếu h tựa lồi ngặt, thì h là lev6≤b-lồi, với mọi b ∈ Y. Thật vậy, cho x1, x2 ∈A sao choh(x1)6< b, h(x2)6≤b. Giả sử tồn tạic1 ∈C sao cho h(xt)−b=−c1. Vìhtựa lồi ngặt, nênh(xt)> h(x1)hoặch(xt)> h(x2), với mọit ∈(0,1). Nếuh(xt)> h(x1), thì tồn tạic2 ∈intC vớih(xt) = h(x1)+c2. Vì vậy,h(x1)−b=−c1−c2 ∈ −intC, điều này không thể, vì h(x1)6< b. Nếuh(xt) > h(x2), chúng ta điều mâu thuẫn tương tự.
Ví dụ 3.2.2 chỉ ra rằnglev6≤b-lồi cũng không thể suy ra từ lồi ngặt và lõm ngặt. Thật vậy, chúng ta biết rằngh(x) = (4x2+ 2x−1,4x2−10x+ 5)lồi ngặt (và - hlõm ngặt). Với b = 0, x1 = 0, x2 = 1 và t = 12, ta có h(x1) = (−1,5) 6< 0, h(x2) = (5,−1) 6≤ 0,