Một số phương pháp của lý thuyết phát triển trong giải tích phức và giải tích clifford nhiều biến

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP CHUYÊN NGÀNH TOÁN TIN ỨNG DỤNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CỦA LÍ THUYẾT THÁC TRIỂN TRONG GIẢI TÍCH PHỨC VÀ GIẢI TÍCH CLIFFORD NHIỀU BIẾN Thầy hướng dẫn: GS.TSKH Lê Hùng Sơn Sinh viên thực hiện: Vũ Vệt Hùng Lớp: Toán Tin KSTN - K51 MỤC LỤC Mở đầu Chương 0: Một số kiến thức giải tích thực Chương 1: Đại số Clifford Chương 2: Đa tạp và dạng vi phân Phần I: Các phương pháp của lí thuyết thác triển trong giải tích phức nhiều biến Chương 2: Giải tích phức một biến 1. Công thức tích phân Cauchy 2. Định lí duy nhất 3. Định lí Runge và phương trình Cauchy-Riman không thuần nhất Chương 3: Các định lí thác triển kiểu Hactog 1. Hàm chỉnh hình và định lí thác triển Hagtog 2. Biểu diễn tích phân và định lí Xevery 3. Lược đồ Homander Chương 4: Bài toán Cudanh 1. Hàm phân hình và bài toán Cudanh 2. Giải bài toán trong trên miền đa tròn 3. Lí thuyết bó và ứng dụng Phần II: Giải tích Quaternion và giải tích Clifford Chương 5: Định lí thác triển Hactog cho hàm chính quy Qaternion nhiều biến 1. Toán tử vi phân và hàm chính quy 2. Công tức Cauchy-Pompeu và toán tử tích phân Teodorescu 3. Định lí thác triển Chương 6: Áp dụng lí thuyết bó trên đa tạp giải tích Clifford nhiều chiều 1. Bài toán Cudanh 2. Phần III: Một số vấn đề liên quan và mở rộng Chương 7: Toán tử vi phân và bài toán thác triển Chương 8: Trường Vecto điện từ Mở đầu Chương 0: Một số kiến thức giải tích thực 1. Kí hiệu Cho n RΩ ⊂ (i)Hàm nhiều biến :u RΩ → ta viết là ( ) ( ) 1 , , , n u x u x x x= ∈Ω (ii)Hàm véc tơ : m u RΩ → ta viết là ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , , m u x u x u x x= ∈Ω (iii)Nếu Ω là mặt trơn (n-1) chiều trong n R ta viết fdS Ω ∫ để kí hiệu tích phân của f trên Ω với độ đo (n-1) chiều. (iv)Trung bình ( ) ( ) ( ) , , 1 n B x r B x r fdy fdy n r α = ∫ ∫ Ñ Là trung bình của f trên hình cầu B(x,r) và ( ) ( ) ( ) 1 , , 1 n B x r B x r fdS fdS n n r α − ∂ ∂ = ∫ ∫ Ñ Là trung bình của f trên mặt cầu đó (v)Tích chập ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) *f g x f y g x y dy f x y g y dy= − = − ∫ ∫ (vi)Đạo hàm riêng :u R Ω → ( ) ( ) ( ) 0 lim i i x h i u x he u x u u x x h → + − ∂ = = ∂ , nếu giới hạn này tồn tại. 2 , i j x x i j u u x x ∂ = ∂ ∂ (vii)Véc tơ Gradient ( ) 1 , , n x x Du u u= (viii)Ma trận Hessian 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 n n n n n u u x x x D u u u x x x ×   ∂ ∂   ∂ ∂ ∂     =   ∂ ∂     ∂ ∂ ∂   (ix)Laplacient ( ) 2 1 i i n x x i u u tr D u = ∆ = = ∑ (x)Các không gian hàm ( ) { : \C u u R= Ω → u liên tục} ( ) { : \ k C u u R= Ω → u liên tục khả vi k lần} ( ) { : \C u u R ∞ = Ω → u khả vi vô hạn lần} ( ) 0 { : \C u u R= Ω → u có giá com pắc} (xi) Cho : m u RΩ → ta kí hiệu 1 1 1 1 n m m n m n u u x x Du u u x x ×   ∂ ∂   ∂ ∂     =   ∂ ∂     ∂ ∂   là ma trận gradient Nếu m = n ta có ( ) 1 i n i x i divu tr Du u = = = ∑ là divergence 2. Giải tích thực a. Đạo hàm pháp tuyến Cho n RΩ ⊂ là một tập mở bị chặn Định nghĩa: Giả sử trên ∂Ω xác định một trường pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài ( ) 1 , , n v v v= Cho ( ) 1 u C∈ Ω .Ta gọi : . u v Du v ∂ = ∂ Là đạo hàm pháp tuyến hướng ra ngoài của u b. Định lí Gauss-Green Định lí :( Gauss-Green).Giả sử ( ) 1 u C∈ Ω khi đó , 1, , i i x u dx uv dS i n Ω ∂Ω = = ∫ ∫ Áp dụng định lí trên ta có công thức tích phân từng phần Định lí :( Công thức tích phân từng phần).Cho ( ) 1 ,u w C∈ Ω khi đó , 1, , i i i x x u wdx uw dx uwv dS i n Ω Ω ∂Ω = − + = ∫ ∫ ∫ Từ các công thức trên dễ dàng chứng minh được các công thức Green sau Định lí :( Công thức Green).Cho ( ) 2 ,u w C∈ Ω khi đó (i) u udx dS v Ω ∂Ω ∂ ∆ = ∂ ∫ ∫ (ii) w DuDwdx u wdx u dS v Ω Ω ∂Ω ∂ = − ∆ + ∂ ∫ ∫ ∫ (iii) ( ) w u u w w u dx u w dS v v Ω ∂Ω ∂ ∂   ∆ − ∆ = −  ÷ ∂ ∂   ∫ ∫ c. Định lí Lebesgue Định lí :(Lebesgue).Cho : n f R R→ là khả tổng địa phương.Khi đó với hầu hết 0 n x R∈ ta có ( ) ( ) 0 0 , , 0. B x r fdx f x r→ → ∫ Ñ 3. Phương trình Laplace và phương trình Poisson a. Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace Phương trình Laplace là phương trình đạo hàm riêng sau 0u ∆ = với :u RΩ → là hàm chưa biết.Ta sẽ tìm nghiệm dưới dạng u(x)=v(r) ở đây ( ) 1/2 2 2 1 n r x x x= = + + Định nghĩa: Hàm số ( ) ( ) ( ) 2 1 log , 2 2 1 1 , 2 2 n x n x n n n n x π α −  − =   Φ =   > −   với ( ) , 0, n x R x n α ∈ ≠ là thể tích của hình cầu đơn vị trong n R được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace Có thể kiểm tra ( ) 0, 0x x∆Φ = ∀ ≠ dễ dàng b. Nghiệm của phương trình Poisson Phương trình Poisson là phương trình đạo hàm riêng sau u f∆ = với :u RΩ → là hàm chưa biết, và :f RΩ → là hàm đã biết Ta cho nghiệm ở dạng tích chập ( ) ( ) ( ) n R u x x y f y dy= Φ − ∫ Áp dụng các định lí đã giới thiệu ta có thể chứng minh định lí sau Định lí: Định nghĩa u như công thức trên và giả thiết ( ) 2 0 f C∈ Ω .Khi đó (i) ( ) 2 n u C R∈ và (ii) u f−∆ = trong n R . Chứng minh. Xem [1, tr 3] Chương 1: Đại số Clifford 1. Số phức Nhắc lại rằng { } / ,C z x iy x y R= = + ∈ trong đó i là đơn vị ảo.Ta có 2 1i = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 .z z x iy x iy x x y y i x y x y= + + = − + + 2 2 ;z x iy z zz x y= − = = + 2. Đại số Quaternion Mỗi phần tử của một đại số Quaternion H tương ứng với một véc tơ trong không gian 4 R .Các phần tử cơ sở của một đại số Quaternion H là: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 3 1,0,0,0 0,1,0,0 0,0,1,0 0,0,0,1 e e e e ↔  ↔   ↔   ↔  Người ta còn đồng nhất 0 e với phần tử đơn vị 1.Một phần tử x của đại số Quaternion H có dạng: ( ) 0 1 1 2 2 3 3 0 1 2 3 , , ,x x x e x e x e x x x x= + + + ↔ Tích các phần tử cơ sở: 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1, 1,2,3 , , 0, , 1,2,3; i i j j i e i e e e e e e e e e e e e e i j i j = − = = = = + = = ≠ Phần tử liên hợp của x là 0 1 1 2 2 3 3 x x x e x e x e= − − − Ta có 2 2 2 2 0 1 2 3 xx xx x x x x= = + + + Chuẩn của x là x xx= 3. Đại số Clifford Cho trường số K và không gian vec tơ n chiều V trên K có hệ cơ sở trực chuẩn: { 1 2 , , , n e e e }. Kí hiệu K là 0 V , V là 1 V và Λ là tích ngoài.Ta định nghĩa tích ngoài 2 phần tử đồng thời xây dựng 1 không gian vec tơ mới 2 V từ V: ( ) 2 , i j i j V V V e e e e × → Λa Tiếp tục 3 V từ V: ( ) 3 , , i j k i j k V V V V e e e e e e × × → Λ Λa .v.v…. Cuối cùng là 1 2 {k /k K} n n V e e e= Λ Λ ∈ vì tích ngoài của nhiều hơn n phần tử luôn bằng không do tính phản xứng. Bây giờ đặt 0 1 2 n A V V V V= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ . Một phần tử a thuộc A có dạng: , ,a a e a F α α α α = ∈ ∑ với 1 { , , } h α α α = là 1 tập con của {1,…,n} và 1 2 h e e e e α α α α = Λ Λ Λ , 0 1e ≡ Do đó ta cần định nghĩa tích Clifford của các phần tử cơ sở. Trước hết xét tích của 2 phần tử thuộc 1 V .Ta lấy: 2 0( ), 1. i j i j i j j i i e e e e e e e e i j e = Λ ⇒ + = ≠ = − Tổng quát: 1 2 1 2 h h e e e e e e e α α α α α α α = Λ Λ Λ = , Và: 1 2 1 2 h k e e e e e e e e α β α α α β β β = Từ đó có thể thấy phép nhân Clifford kết hợp nhưng không giao hoán. Công việc còn lại ta chỉ cần chú ý tới cấu trúc không gian vec tơ tự nhiên trên A.Ta gọi A là một đại số Clifford. Ta kết thúc phần này bằng việc nói tới khái niệm liên hợp trên A.Ta gọi là liên hợp và kí hiệu: 0 0 1 1 ,e e e e= = − , Tổng quát: 1 2 1 1 ( 1) h h h h e e e e e e e α α α α α α α − = = − , Hay 1e e α α = Và : a a e α α α = ∑ . Phần I: Các phương pháp của lí thuyết thác triển trong giải tích phức nhiều biến Chương 2: Giải tích phức một biến 1. Mở đầu Cho u là một hàm nhận giá trị phức, ( ) 1 u C∈ Ω , ở đây Ω là một tập mở trên C. Cho z là một số phức bất kì, z x iy= + .Ta có , 2 2 z z z z x y + − = = Nên vi phân của u có thể biểu diễn như tổ hợp tuyến tính của dz và dz u u u u du dx dy dz dz x y z z ∂ ∂ ∂ ∂ = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ở đây ta kí hiệu 1 1 , 2 2 u u u u u u i i z x y z x y     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − = +  ÷  ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     Định nghĩa: Hàm ( ) 1 u C∈ Ω được gọi là chỉnh hình nếu / 0u z ∂ ∂ = trên Ω .Tập các hàm chỉnh hình trên Ω kí hiệu là ( ) A Ω . Nếu u là một hàm chỉnh hình thì: ' u du dz u dz z ∂ = = ∂ . Ví dụ: 1 ; ( ) z z n n de e dz dz z dz n Z − = = ∈ Các hàm nói tới xét trên tập xác định của chúng. 2. Công thức tích phân Cauchy Cho ω là một tập mở bị chặn trên C.Giả sử rằng 1 C ω ∂ ∈ . Định lí: (Cauchy) Nếu ( ) 1 u C ω ∈ ta có: /1 ( ) ( ) , 2 u z z u dz dz dz i z z u ω ω ζ ζ ω π ζ ζ ∂   ∂ = + Λ ∈  ÷ − −   ∂ ∫ ∫∫ Chứng minh.Xem [1, tr 3] Ngược lại ta có Định lí: Cho hàm ( ) ( ) 0 , 1 k CC k ϕ ∈ ≥ , xét tích phân 1 ( ) ( ) , 2 z u dz dz i z ϕ ζ π ζ = Λ − ∫∫ Ta có ( ) k u C C∈ và /u z ϕ ∂ ∂ = .Hiển nhiên u là hàm chỉnh hình ngoài giá của ϕ . Chứng minh. Xem [1, tr 3] Hệ quả: Cho ( ) u A∈ Ω ta có ( ) u C ∞ ∈ Ω , đồng thời ( ) 'u A∈ Ω . Hệ quả: Phương trình /u z ϕ ∂ ∂ = với ( ) ( ) 0 , 1 k CC k ϕ ∈ ≥ có một nghiệm ( ) k u C C∈ 3. Định lí duy nhất Định lí: Cho u là hàm chỉnh hình trên { } \z z rΩ = < , ta có ( ) ( ) ( ) 0 0 ! n n z u z u n ∞ = ∑ Chuỗi vế phải hội tụ đều trên mọi tập con compac của Ω Chứng minh. Xem [1, tr 5] Hệ quả: (Định lí duy nhất) Nếu ( ) u A∈ Ω và có một điểm z trên Ω sao cho ( ) ( ) 0, 0 k u z k= ∀ ≥ Thì u = 0 trên Ω nếu Ω liên thông. [...]...4 Định lí Runge và phương trình Cauchy-Riman không thuần nhất Định lí: Cho Ω là một tập mở trong C và K là một tập con compac của Ω sao cho Ω \K liên thông.Khi đó mọi hàm chỉnh hình trong một lân cận của K có thể xấp xỉ trên K bởi những hàm chỉnh hình trên Ω Chứng minh Xem [1,tr 6] ∞ Định lí:Với mọi f ∈ C ( Ω ) phương trình ∂u / ∂z = f có một nghiệm u ∈ C∞ ( Ω) Chứng minh Xem... minh Xem [1, tr 12] Chương 3: Các định lí thác triển kiểu Hactog 1 Hàm chỉnh hình nhiều biến và định lí thác triển Hactog a Hàm chỉnh hình Cho miền D ∈ C n xét hàm phức: f :D→C Giả sử rằng f khả vi tại z hữu hạn thuộc D theo nghĩa giải tích thực ( R 2n -khả vi) tức là tồn tại vi phân: ∂f ∂f ∂f df = dx1 + dx2 + dx2 n ∂x1 ∂x2 ∂x2 n Khi đưa vào các biến phức zv và zv theo các công thức: z v + zv z −z , xv... minh.Xem [1, tr 84] Ta phát biểu lại hệ quả dưới dạng định lí Định lí: Nếu hàm u chỉnh hình khắp nơi trong miền D ⊂ C n (n>1), có thể trừ ra 1 tập con compac K của D, thì u thác triển được lên toàn miền D Chứng minh ∞ Lấy ϕ ∈ C0 ( D ) mà nó bằng 1 trong một lân cận của K.Đặt u0 = ( 1 − ϕ ) u ∈ C ∞ ( D ) và ∞ f = ∂u0 = −u ∂ϕ ∈ C0 ( D ) Gọi v là một nghiệm của phương trình ∂u = f và đặt U = u0 − v Ta có... hỏi là bài toán Cousin có giải được hay không tức là có tồn tại hàm f hay không Trong trường hợp một chiều ta có Định lí: (Mittac-Lefler) Với mọi miền phẳng D bài toán Cousin giải được Chứng minh.[xem 1, tr 11] Tuy nhiên trong trường hợp nhiều chiều vấn đề không hoàn hảo như thế Bài toán Cousin nhân tính: Cho miền D thuộc đa tạp giải tích M và phủ mở U = { Uα } α ∈A của miền đó .Trong mỗi Uα cho hàm phân... Bó của những cấu trúc đại số nào đó trên không gian tôpô X (cơ sở của bó) là cặp ( ℘, σ ) lập nên từ không gian tôpô℘ và ánh xạ σ :℘→ X (gọi là phép chiếu) nếu thực hiện được các điều kiện sau đây i) Hình chiếu σ là đồng phôi địa phương khắp nơi trên ℘ −1 ii) Đối với mỗi điểm P thuộc X ,trong nghịch ảnh ℘P = σ ( P ) gọi là thớ của bó trên P, đã đưa vào cấu trúc đại số iii) Các phép tính đại số trong. .. trong thớ liên tục trong tôpô ℘ Ví du: 1 Cho đa tạp giả tích phức V.Đặt O = z∪ Oz là tập các mầm hàm chỉnh ∈V hình trên V.Trên O ta đưa vào tôpô trong đó lân cận là tập các mầm thuộc một hàm chỉnh hình.Điều đó được làm như sau.Xét mầm tùy ý f z ∈ O và hàm tùy ý f biểu diễn nó.giả sử U là một lân cận tùy ý của % điểm z trong đó f chỉnh hình.Tập các mầm U = η∪ fη được gọi là lân ∈U cận của f z Phép chiếu... được thác triển chỉnh hình khắp nơi trong G2 Ta hoàn thành chứng minh 3 Lược đồ Homander Hệ quả trên có thể chứng minh trực tiếp nhờ lược đồ Homander như sau Trước hết xét hệ phương trình Cauchy-Riman ∂u = f ở đây f là dạng vi phân song bậc (0,1) và n ∂u = ∑ 1 ∂u dzv ∂zv Chú ý rằng ∂f = 0 là điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm của phương trình Thực chất của bài toán là ta muốn giải một hệ phương trình... nhóm đối đồng điều với hệ số trong nhóm các dạng vi phân.Định lí ( ) cho ta biết rằng trên đa đĩa D thì nhóm đối đồng điều đó là tầm thường.Lời giải của bài toán Cousin nằm ở định lí sau Định lí: Nhóm đối đồng điều chỉnh hình của phủ U bất kì của miền đa 1 đĩa H ( U ) đẳng cấu với nhóm H 1 Chứng minh.Xem [1, tr 260] 3 Lí thuyết bó và ứng dụng Mục này sẽ áp dụng lí thuyết bó để giải quyết bài toán Cousin... hàm chỉnh hình trong một lân cận của z.Trên H z xét quan hệ tương đương sau f ~ g nếu f = g trong một lân cận của z.Lớp tương đương tùy ý theo quan hệ này được gọi là mầm hàm chỉnh hình tai z kí hiệu qua f z Kí hiệu Oz = H z / ~ Với các phép toán trên các hàm được cảm sinh lên Oz có thể xét như là vành giao hoán có đơn vị và không có ước của 0 .Và do đó có thể xây dựng trường thương của Oz mà ta kí hiệu... các phần chính của nó Bài toán Cousin cộng tính: Cho miền D thuộc đa tạp giải tích M và phủ mở U = { Uα } α ∈A của miền đó .Trong mỗi Uα cho hàm phân hình fα sao cho thực hiện được điều kiện tương thích sau: Trong giao Uαβ = Uα ∩ U β tùy ý, hiệu fα − f β là hàm chỉnh hình Hãy xây dựng hàm phân hình f trong D sao cho trong mỗi Uα hiệu fα -f là hàm chỉnh hình Giống như các định lí thác triển ta sẽ tìm . 0: Một số kiến thức giải tích thực Chương 1: Đại số Clifford Chương 2: Đa tạp và dạng vi phân Phần I: Các phương pháp của lí thuyết thác triển trong giải tích phức nhiều biến Chương 2: Giải tích. e α α = Và : a a e α α α = ∑ . Phần I: Các phương pháp của lí thuyết thác triển trong giải tích phức nhiều biến Chương 2: Giải tích phức một biến 1. Mở đầu Cho u là một hàm nhận giá trị phức, . ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP CHUYÊN NGÀNH TOÁN TIN ỨNG DỤNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CỦA LÍ THUYẾT THÁC TRIỂN TRONG GIẢI TÍCH PHỨC VÀ GIẢI TÍCH CLIFFORD NHIỀU BIẾN Thầy hướng dẫn: GS.TSKH Lê Hùng Sơn Sinh viên