luận văn một số nội dung của lý thuyết xác suất trong chương trình toán thpt

mở đầu Lý chọn đề t i Thời đại ng y l thời đại công nghệ thông tin đại với phát triển nh vũ b o cđa c¸c ng nh khoa häc kü tht nghiệp giáo dục cần phải đáp ứng đòi hỏi cách mạng khoa học công nghệ Đóng góp cho phát triển có phần không nhỏ toán học Toán học nảy sinh từ thùc tiƠn v øng dơng réng r i thùc tiễn l toán ứng dụng, loại toán ứng dụng phải kể đến xác suất thống kê Nó đợc th từ trao đổi hai nh toán học vĩ đại ngời pháp l Pa-xcan(1623-1662) v Phec-ma(1601-1665) xung quanh cách giải đáp số vấn đề rắc rối nảy sinh trò chơi cờ bạc m nh quý tộc pháp Đờmê-rê đặt cho Pa-xcan Năm 1812 nh toán học pháp Laplaxơ đ dự báo rằng: Môn khoa học việc xem xét trò chơi may rủi n y hứa hẹn trở th nh đối tợng quan trọng tri thức lo i ngời Đặc biệt l v o năm 1933 Kolmogrov đ đa hệ tiên đề để xây dựng xác suất thống kê th nh khoa học xác v trừu tợng Kể từ xác suất thống kê trở th nh ng nh toán học đa diện gồm chiều sâu lí luận lÉn néi dung øng dông Ng y lÝ thuyÕt xác suất đ trở th nh ng nh toán học ®−ỵc øng dơng rÊt nhiỊu lÜnh vùc cđa khoa học tự nhiên, khoa học x hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, Không đóng góp cho hình th nh v phát triển giới quan khoa học xác suất thống kê đ đợc đa v o dạy cho học sinh THPT ë líp 10, líp 11 ViƯc hiĨu v vận dụng kiến thức đợc trang bị trờng Đại học v o công tác giảng dạy sau trờng l yêu cầu v l nhiệm vụ ngời sinh viên ngồi ghế trờng đại học Ngo i việc đợc học kiến thức giảng viên cung cấp, thân sinh viên cần phải tự tìm hiểu, tự nghiên cứu để thấy đợc mối liên hệ kiến thức bậc học đại học v kiến thức đợc giảng dạy sau n y trờng phổ thông Từ tính chất, định lý đợc học trờng phổ thông tổng quát lên hay không? hay tính chất, định lý đợc học trờng đại học đặc biệt hoá cho ta gì? Việc liên hệ gi÷a kiÕn thøc ë tr−êng THPT víi kiÕn thøc ë trờng đại học để phục vụ cho công tác giảng dạy sau n y l việc l m cần thiết sinh viên Do định chän ®Ị t i “Mét sè néi dung cđa lÝ thuyết xác suất chơng trình Toán THPT" Mục đích nghiên cứu - Mục tiêu khoa học công nghệ: + HƯ thèng ho¸ mét sè néi dung cđa lý thuyết xác suất thống kê trờng đại học + Xây dựng, chọn lọc v tìm mối liên hệ nội dung xác suất thống kê trờng đại học với trờng THPT - Sản phẩm khoa học công nghệ: §Ị t i cã thĨ l t i liƯu tham khảo cho học sinh, giáo viên toán trờng THPT v sinh viên toán trờng Đại học Hùng Vơng Đối tợng v phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu mét sè néi dung lÝ thut cđa x¸c st thèng kê v thể chơng trình toán THPT - Nghiên cứu số b i tập v nâng cao Phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Đọc t i liệu, giáo trình, sách giáo khoa, sách tham khảo xác suất thống kê - Phơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Tìm hiểu kinh nghiệm giảng dạy giáo viên hớng dẫn v giảng viên môn toán khoa Toán - Công nghệ - Phơng pháp tổng kÕt kinh nghiÖm ý nghÜa khoa häc v thùc tiƠn §Ị t i cã thĨ l t i liƯu tham khảo cho học sinh, giáo viên toán THPT l với sinh viên s phạm toán thấy đợc mối liên hệ kiến thức chơng trình Đại học víi kiÕn thøc ë tr−êng Phỉ th«ng phơc vơ cho công tác giảng dạy sau n y Với thân viƯc nghiªn cøu gióp em bỉ sung ho n thiƯn kiến thức đ học xác suất thống kê đ học đồng thời nâng cao khả kiến thức nghiệp vụ s phạm trình học tập 6 Bố cục khoá luận Ngo i lời cảm ơn, mở đầu, mục lục, t i liệu tham khảo, nội dung đề t i gồm có chơng: Chơng I: Biến cố v xác suất biến cố 1.1 Biến cố 1.1.1 Một số khái niệm mở đầu 1.1.2 C¸c phÐp to¸n vỊ biÕn cè 1.2 X¸c st biến cố 1.2.1 Nhắc lại số kiến thức tổ hợp 1.2.2 Các định nghĩa xác suất 1.2.3 TÝnh chÊt cđa x¸c st 1.2.4 X¸c st cã điều kiện 1.2.5 Liên hệ xác suất v độc lập biến cố 1.2.6 Các quy tắc tính xác suất Chơng II: Biến ngẫu nhiên 2.1 Biến ngẫu nhiên 2.1.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 2.1.2 H m phân phối xác suất biến ngẫu nhiên 2.2 Các số đặc trng biến ngẫu nhiên 2.2.1 Kỳ vọng 2.2.2 Phơng sai 2.2.3 Bản chất v ý nghÜa cđa kú väng v ph−¬ng sai 2.2.4 Mét sè số đặc trng khác 2.3 Các bất đẳng thức moment 2.3.1 Định nghĩa moment 2.3.2 Các bất đẳng thức moment Chơng III: B i tập 3.1 Xác suất 3.2.Các qui tắc tính xác suất 3.3 Đánh giá xác suất, số lần 3.4 Xác suất điều kiện 3.5 Xác suất mở rộng 3.6 Bất đẳng thức xác suất 3.7 Biến ngẫu nhiên rời rạc Chơng I biến cố xác suất biến cố 1.1 biến cố 1.1.1 Một số khái niệm mở đầu 1.1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên đợc hiểu l thực nhóm điều kiện n o để quan sát tợng n o xảy hay không xảy Các kết phép thử đợc gọi l kết Tập hợp tất kết phép thử ngẫu nhiên l không gian biến cố sơ cấp ứng với phép thử ngẫu nhiên Mỗi kết gọi l biến cố sơ cấp Nhận xét: trờng THPT, không gian biến cố sơ cấp l không gian mẫu, kí hiệu l : 1.1.1.2 BiÕn cè a, BiÕn cè ngÉu nhiªn: Biến cố ngẫu nhiên l biến cố xảy không xảy phép thử ngẫu nhiên đợc thực Kí hiệu: A, B, C b, BiÕn cè ch¾c ch¾n: BiÕn cè ch¾c ch¾n l biến cố định xảy phép thử đợc thùc hiƯn KÝ hiƯu: c, BiÕn cè kh«ng thĨ cã: BiÕn cè kh«ng thĨ cã l biÕn cè nhÊt định không xảy phép thử đợc thực Kí hiệu: ỉ d, Mối quan hệ biến cố: - Biến cố thuận lợi: Biến cố A đợc gọi l thuận lợi (thích hợp) biến cố B A xảy B xảy Kí hiÖu: A ⊂ B - BiÕn cè b»ng nhau: Hai biến cố A v B đợc gọi l biến cố A l thuận lợi biến cố B v biến cố B l thuận lợi đối víi biÕn cè A: A ⊂ B A=B ⇔  B ⊂ A 1.1.2 C¸c phÐp to¸n vỊ biÕn cè 1.1.2.1 C¸c phÐp to¸n vỊ biÕn cè a, PhÐp giao: Giao cña n biÕn cè A1, A2, , An l mét biÕn cè nã x¶y n A1 , A , , A n đồng thời xảy Kí hiệu: A i i =1 Đặc biệt: Khi n = 2, giao cña hai biÕn cè A v B l mét biÕn cè x¶y A v B xảy Kí hiệu: AB A B b, PhÐp hỵp: Hỵp cđa n biÕn cè A1, A2, , An l mét biÕn cè nã x¶y Ýt n nhÊt mét n biÕn cè A1, A2, , An x¶y KÝ hiƯu: ∪A i i =1 Đặc biệt: Khi n=2, hợp hai biến cố A v B l mét biÕn cè x¶y A B xảy Kí hiệu: A B c, HiƯu cđa hai biÕn cè: HiƯu cđa hai biÕn cè A v B l mét biÕn cè x¶y A xảy v B không xảy Kí hiƯu: A \ B d, BiÕn cè xung kh¾c: Hai biến cố A, B đợc gọi l xung khắc A, B không xảy phép thử đợc thùc hiÖn Hay A ∩ B = Ø e, BiÕn cè ®èi lËp: A, B l hai biÕn cè xung khắc v hợp hai biến cố A v B l biến cố chắn A đợc gọi l biÕn cè ®èi lËp cđa biÕn cè B A ∩ B = ∅ A, B ®èi lËp ⇔  A ∪ B = Ω Ký hiƯu biÕn cè ®èi lËp cđa biÕn cè A l Ac hc A 1.1.2.2 Mét sè tÝnh chÊt cđa phÐp to¸n vỊ biÕn cè a, (Ac)c = A b, A ∩ Ac = Ø c, A ∩ B = B ∩ A d, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) e, A ∪ B = B ∪ A f, ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) g, A ∪ Ac = Ω h, A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) i, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) j, A ⊂ B ⇒ Bc ⊂ Ac k, A ∪ B = A ∪ (B ∩ Ac) n l, ( n ∩A ) = ∪ c i i =1 n m, ( i =1 n ∪A ) = ∩ c i i =1 ( Ai)c (Ai)c i=1 Đặc biệt Khi n = ta cã : (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc 1.2 X¸c st cđa biến cố 1.2.1 Nhắc lại số kiến thức tổ hợp 1.2.1.1 Hoán vị: Cho tập hợp X gồm n phần tử Một d y tất n phần tư cđa X s¾p xÕp theo mét thø tù nhÊt định, gọi l hoán vị X Số hoán vị X l : Pn = n! 2.1.2 Chỉnh hợp lặp : Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi d y có độ d i k phần tử X, phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định, gọi l chỉnh hợp lặp chập k n phần tử X Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử l : Fnk = nk 1.2.1.3 Chỉnh hợp không lặp: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi d y gồm k phần tử khác X ( k ≤ n ) s¾p xÕp theo mét thø tù định gọi l chỉnh hợp không lặp chập k cđa n phÇn tư cđa X (Ta qui −íc gọi chỉnh hợp không lặp l chỉnh hợp) n! (n − k)! 1.2.1.4 Tỉ hỵp: Cho tËp hỵp X gồm n phần tử v số tự nhiên k ( k n ) Ta Số chỉnh hợp (không lặp ) chËp k cđa n phÇn tư l : A k = n gọi tập gồm k phần tư cđa X l mét tỉ hỵp chËp k cđa n phần tử X Số tổ hợp chập k cđa n phÇn tư cđa X l : Ck = n 10 n! k!(n k)! 1.2.2 Các định nghĩa xác suất 1.2.2.1 Định nghĩa 1: Xác suất l số không âm biểu thị khả xuất khách quan biến cố Kí hiệu: P(A) 1.2.2.2 Định nghĩa (theo quan điểm thống kê): Giả sử A l biến cố liên quan tới phép thử ngẫu nhiên xét Khi ta tiến h nh n lÇn phÐp thư, biÕn cè A xt m lần ngời ta gọi tỉ số m l tÇn st xt n hiƯn biÕn cè A Víi biến cố ngẫu nhiên A, số p gọi l x¸c st cđa biÕn cè A v chØ tần suất xuất biến cố A sai khác p không đáng kể, c ng gần p số lần thử nghiệm c ng lớn 1.2.2.3 Định nghĩa (theo quan điểm hình học): Giả sử điểm rơi ngẫu nhiên v o miền D, A l miền D Khi xác suất để điểm rơi v o miền A l : số đo A P(A) = số đo D Số đo đợc hiểu: D l đoạn thẳng số đo l độ d i D l hình phẳng số đo l diện tích D l hình không gian số đo l thể tích 1.2.2.4 Định nghĩa (theo quan điểm cổ ®iÓn): NÕu A l biÕn cè cã n(A) biÕn cè sơ cấp thích hợp với không gian biÕn cè s¬ cÊp gåm n( Ω ) biÕn cè khả xuất tỉ số P(A) = n(A) đợc gọi l n() xác suất A Nhận xét - Trong chơng trình THPT không gian biến cố sơ cấp l không gian mẫu , n( Ω ) = Ω v n(A) = Ω A Khi xác suất A đợc xác định bởi: P(A) = A 11 - Định nghĩa cổ điển xác suất có u điểm cho phép ta tìm đợc cách xác giá trị xác suất - Định nghĩa cổ điển xác suất có hạn chế áp dụng đợc số kết cục phép thử l hữu hạn - Định nghĩa hình học xác suất xem mở rộng tơng ứng định nghĩa cổ điển xác suất, khắc phục hạn chế định nghĩa cổ điển xác suất - Định nghĩa thống kê xác suất có u điểm lớn không đòi hỏi điều kiện áp dụng nh định nghĩa cổ điển, ho n to n dựa quan sát thực tế để l m sở kết luận xác suất xảy biến cố - Định nghĩa thống kê xác suất có hạn chế áp dụng đợc tợng ngẫu nhiên m tần suất có tính ổn định v ta phải tiến h nh thực tế số đủ lớn c¸c phÐp thư Song thùc tÕ nhiỊu b i toán khó tiến h nh nhiỊu phÐp thư ®Ĩ dùa v o ®ã m tÝnh xác suất biến cố Để khắc phục hạn chế định nghĩa xác suất ngời ta sử dụng định nghĩa xác suất theo tiên đề Kolmogorov 1.2.2.5 Định nghĩa 5: Định nghĩa theo hệ tiên ®Ị cđa Kolmogorov a, HƯ tiªn ®Ị * Cã tËp ỉ gọi l không gian biến cố sơ cấp Mỗi đợc gọi l biến cố sơ cấp * Có - đại số A tập Mỗi A A đợc gọi l biến cố ngẫu nhiên * Với A ∈ A cã mét sè thùc P(A) ≥ gäi l x¸c st cđa A * P( ) = * NÕu {A i ;i ≥ 1} l hä vô hạn biến cố ngẫu nhiên đôi xung khắc thì: P ( Ai ) = i =1 P(A ) (tiên đề - céng tÝnh) i =1 i Bé ba ( , A , P) đợc gọi l không gian xác suất Kolmogorov 12 b, Mô hình rời rạc lý thuyết xác st Gi¶ sư = ( ω 1, ω 2, , n) l tập hợp có không đếm đợc phần tử, lấy A l tập gồm mäi tËp cđa LÊy mét d y sè kh«ng ©m p1, p2, , pn tho¶ m n: p1 + p2 + + pn = Đặt P(A )= ∑ pi (1) i∈I Khi ®ã ( , A , P) thoả m n tiên đề hệ tiên đề Kolmogorov Không xác suất đợc gọi l mô hình rời rạc lý thuyết xác suất c, Mối liên quan định nghĩa cổ điển xác suất v định nghĩa tiên đề xác suất Đặc biệt, gi¶ sư = ( ω 1, ω 2, , ω n) l tập hữu hạn , A A đợc gọi l biÕn cè LÊy A l tËp gåm mäi tËp n Đặt p1 = p2 = = pn = (2) n(A) = n n i∈I Đây l định nghĩa cổ điển xác suất Khi ®ã theo (1), P(A) = ∑ pi = n(A) (3) Hơn từ (2) v (3) suy : n Điều nói kết phép thử l đồng khả xuất P( 1) = P( ω 2) = = P( ω n) = Nh định nghĩa cổ điển xác suất l trờng hợp riêng định nghĩa tiên đề cđa x¸c st 1.2.3 TÝnh chÊt cđa x¸c st 1.2.3.1 Mệnh đề Cho không gian xác suất ( , A , P) ta cã: i, P(Ø) = ii, Nếu A1, A2, , An l họ hữu hạn biến cố ngẫu nhiên đôi xung khắc thì: n P ( ∑ Ai ) = i =1 n ∑ P(A ) i i =1 13 Đặc biệt Khi n = 2: A, B l hai biÕn cè xung kh¾c th×: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Khi n = 3: A, B, C l ba biến cố đôi xung khắc thì: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) Đây l qui tắc cộng xác suất chơng trình THPT 1.2.3.2 Mệnh đề Cho không gian xác suất ( , A , P): i, Ai l hä biÕn cè bÊt k× th×: n n P ( ∪ A i ) = ∑ P(Ai ) i =1 i =1 ∑ P(A 1≤i, j≤ n n ∩ A j ) + + (-1) P( ∩ A i ) n-1 i i =1 ii, NÕu A ⊂ B th× P(A) ≤ P(B) iii, ≤ P(A) ≤ 1, ∀ A ∈ A ; P( ) = 1, P(Ø) = 0, v P( Α ) = - P(A) Trong tÝnh chÊt i, víi n = ta cã : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB) (*) Ta cã thÓ chøng minh trùc tiÕp tÝnh chÊt (*) ThËt vËy víi A,B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A ⇒ A ∪ B = A ∪ B Α P(A ∪ B) = P(A) + P(B Α ) Suy ra: M : B = B ∩Ω = B ∩ ( A ∪ Α ) = BA ∪ B Α P(B) = P(BA) + P(B Α ) ⇒ P(B Α ) = P(B) - P(AB) Suy ra: ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB) Đặc biệt Khi A, B xung khắc, tøc AB = Ø ⇒ P(AB) = Suy ra: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 1.2.3.3 MƯnh ®Ị Trong không gian xác suất ( , A , P) cho hä biÕn cè ngÉu nhiªn {A n ;n 1} thoả m n điều kiện: i, A1 A ⊃ ⊃ A n ⊃ ∞ ii, ∩A k =Ø k =1 Khi ®ã: P(An) → ( n → ∞ ), ( tÝnh liªn tơc xác suất) 14 Giải Đặt A: Mục tiêu bị phá huỷ Bi: Có i viên đạn trúng mục tiêu (i=1, 2, 3) Ck: Viên đạn thứ k trúng mục tiêu (k=1, 2, 3) Vì mục tiêu bị phá huỷ có viên đạn trúng mục tiêu VËy: A ⊂ B1 ∪ B2 ∪ B3 Nªn P(A)=P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + P(B3)P(A/B3) (*) Để tìm xác suất P(Bi) ta chó ý r»ng hä {C1, C2, C3} ®éc lËp, nªn tõ biĨu c c c c diƠn: B1 = C1 Cc C3 ∪ C1 C2C3 ∪ C1 Cc C3 2 c c c c Ta cã: P(B1) = P(C1 )P(Cc )P(C3 ) + P(C1 )P(C2 )P(C3 ) + P(C1 )P(Cc )P(C3 ) 2 = 0,2.0,7.0,5 + 0,8.0,3.0,5 +0,8.0,7.0,5 ≈ 0.47 c c B2 = C1 C2C3 ∪ C1 Cc C3 ∪ C1 C2C3 VËy P(B2) = 0,2.0,3.0,5 + 0,2.0,7.0,5 + 0,8.0,3.0,5 ≈ 0,22 B3 = C1C2C3 nªn P(B3) = P(C1)P(C2)P(C3) = 0,2.0,3.0,5 ≈ 0,03 Thay P(Bi) (i=1, 2, 3) v o (*) Ta đợc: P(A) = 0,47.0,4 + 0,22.1 + 0,03.1 = 0,438 B i X¸c st xt hiƯn k tiÕng gäi tõ trạm điện thoại khoảng thời gian t l Pt(k) Giả sử xuất tiếng gọi khoảng thời gian l độc lập Tìm xác st xt hiƯn s tiÕng gäi kho¶ng thêi gian 2t liên tiếp 47 Giải Đặt A k : Trong kho¶ng thêi gian t cã k tiÕng gäi” VËy ta cÇn tÝnh P( A s ) t 2t Râ r ng ta cã biĨu diƠn: A = k t s ∪A A i t s −i t , v { A k , A it } l c¸c biÕn cè ®éc lËp t i =0 n s 2t Do ®ã ta cã: P( A ) = ∑ P(A )P(A i =0 i t s −i t n )= ∑ P (i)P (s − i) i =0 t t B i Một hộp đựng 15 bóng b n có Lần đầu ngời ta lấy ngẫu nhiên để thi đấu Sau lại trả v o hộp Lần hai lấy ngẫu nhiên Tìm xác suất để lần sau Giải Đặt A: lấy lần sau Bi: Trong lấy để thi đấu có i (i= 0,1, 2, 3) Râ r ng hÖ { Bi, i = 0,1, 2, 3} l đầy đủ, có xác suất dơng, theo công thức xác suất to n phần ta có: P(A) = P(B0)P(A/B0) + P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) 2 2 C2 C9 C1 C1 C1 C10C1 C8 C11C1 2 = + + 3 C10 C12 C10 C12 C10 C12 = 36.3 8.2 45.2 28 55 + + ≈ 0, 2552 45 220 45 220 45 220 3.5 X¸c st më réng B i Hai ng−êi hĐn gỈp th viện từ đến Ngời đến trớc chờ 10 phút m không gặp bỏ Tìm xác suất để hai ngời ngẫu nhiên m gặp 48 Giải Gọi x (phút) l thêi gian m b¹n A chê ë th− viƯn ≤ x ≤ 60 Gäi y (phót) l thêi gian m b¹n B chê ë th− viƯn ≤ y 60 Chọn hệ toạ độ Oxy Khi thời gian đến chỗ hẹn hai ngời l x 60 điểm hình vuông D  0 ≤ y ≤ 60 y Do hai ng−êi chê 10 60 Khi ®ã hai ng−êi gỈp x − y ≤ 10 A 10 Gọi A l miền hai ngời gặp đợc 60 10 x Do x − y ≤ 10 ⇔ x-10 ≤ y ≤ x+10 A={(x,y): x-10 ≤ y ≤ x+10} Khi miền A l miền giới hạn hai đờng y=x+10 v y=x-10 v hình vuông D Xác suất để hai ngời gặp l : diện tích A P(A) = diƯn tÝch D DiƯn tÝch cđa D l : SD =60.60 = 3600(đơn vị) Diện tích A l : SA = SD-50.50 = 1100( đơn vị)Vậy xác suất để hai ngời S 1100 gặp l :P= D = ≈ 30,5 % SA 3600 B i Một đoạn thẳng có độ d i l Bẻ g y ngẫu nhiên th nh đoạn Tìm xác suất để đoạn tạo th nh tam giác Giải Gọi x, y, l-x-y l độ d i khúc Khi cặp điểm (x,y) mặt phẳng  x>0  tho¶ m n  y > thuéc kh«ng gian mÉu x + y < l  49 Để tạo th nh tam giác x, y ph¶i tho¶ m n y l  x<   x < y + (l − x − y)  l    y < x + (l − x − y) ⇔  y <  l−x−y< x+ y   l  x + y >  l l l2 l = A O Biểu diễn Oxy ta đợc S P= A = SD l x l B i Tìm xác suất để phơng trình: x2+2ax+b = cã nghiƯm thùc nÕu c¸c hƯ sè a, b có khả đợc chọn miền a < 1; b < Giải Nếu hệ số a, b đợc chọn với khả hình vuông a < 1; b < không gian biến cố sơ cấp l tập y điểm thuộc hình vuông b=a2 < a < D:  −1 < b < Biến cố A: Phơng trình bậc hai -1 A đ cho cã nghiÖm thùc” cã nghÜa l biÖt thøc -1 ∆ ' =a2-b ≥ Ta cã diƯn tÝch cđa hình vuông D: SD = (đơn vị diện tích) DiƯn tÝch miỊn A:SA = 2+2 ∫ a 2da = VËy P(A) = = 3.4 50 (đơn vị diện tích) x B i (B i toán Butffon) Trên mặt phẳng có hai đờng thẳng song song cách khoảng 2a Gieo ngẫu nhiên kim có chiều d i 2l (l1] c, TÝnh kú vọng, phơng sai v độ lệch chuẩn X Giải a, Gieo đồng tiền ba lần không gian mẫu có 23 =8 phần tử Tập giá trị X l {0, 1, 2, 3} Ta cã: P[X=0] = ; P[X=1] = ; P[X=2] = ; P[X=3] = ; Do ®ã ta có bảng phân phối xác suất X l : X P 8 b, P[X>1] = P[X=2]+P[X=3] = c, Kú väng E(X) = + = 8 3 +1 +2 +3 = 1,5 8 8 53 8 Ph−¬ng sai V(X) = 02 §é lƯch chn 3 +12 +22 +32 - (1,5)2 = 0,75 8 8 σ (X) = V(X) = 0,75 ≈ 0,866 B i Cã hai tói, tói thø nhÊt chøa ba thẻ đánh số 1, 2, v túi thứ hai đánh số 4, 5, 6, Rút ngẫu nhiên từ túi thẻ cộng hai số ghi hai thẻ với Gọi X l số thu đợc a, Lập bảng phân phối xác suất thu đợc b, Tính E(X) Giải Không gian mẫu: = {(x;y)/ x∈ (1, 2, 3); y∈ (4, 5, 6, 8)} Nên =3.4 = 12 Ta có X nhận giá trị {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Gäi A l biÕn cè: “Céng sè ghi trªn hai tÊm thỴ b»ng 5” a, Ta cã A= {(1;4)} ⇒ P[X=5] = 12 BiÕn cè “X = 6” cã hai kết thuận lợi l (1;5) v (2;4) nên P[X=6]= = 12 BiÕn cè “X = 7có ba kết thuận lợi l (1;6); (2;5); (3;4) nªn P[X=7]= = 12 BiÕn cè “X = có hai kết thuận lợi l (3;5) v (2;6) nªn P[X=8]= = 12 BiÕn cố X = có hai kết thuận lợi l (3;6) v (1;8) nªn P[X=9]= = 12 BiÕn cè “X = 10” chØ cã mét kÕt thuận lợi l (2;8) nên P[X=10] = 54 12 BiÕn cè “X = 1” chØ cã mét kÕt thuận lợi l (3;8) nên P[X=11] = 12 Bảng phân phối xác suất X l : X 10 11 P 12 6 12 12 b, E(X) = 1 1 1 +7 +6 +8 +9 +10 +11 = 7,75 12 12 12 6 B i Anh A h ng ng y ®i tõ nh đến quan phải qua bốn ng t có cột đèn tín hiệu giao thông, xác suất gặp đèn đỏ ng t l 0,4 v thời gian chờ đèn đỏ trung bình lần l ba phút a, Lập bảng phân phối xác suất theo số lần anh A gặp đèn đỏ b, Hỏi trung bình lần từ nh đến quan anh a phải chờ đèn đỏ phút Giải a, Gọi X l biÕn ngÉu nhiªn chØ sè ng t− anh A gặp đèn đỏ lần từ nh đến quan, X nhận giá trị l : {0, 1, 2, 3, 4,} Ta cã: P[X=k] = Ck4(0,4)k(0,6)4 - k Nªn P[X=0] = C04(0,4)0(0,6)4 = 0,1296 P[X=1] = C14(0,4)1(0,6)3 = 0,3456 P[X=2] = C24(0,4)2(0,6)2 = 0,3456 P[X=3] = C34(0,4)3(0,6)1 = 0,1536 P[X=4] = C44(0,4)4(0,6)0 = 0,0256 Bảng phân phối x¸c st cđa x l : 55 X P 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256 b, Kú väng E(X) = 0,1296+1 0,3456+2 0,3456+3 0,1536+4 0,0256 = 1,6 Vậy thời gian trung bình lầnđi từ nh đến quan anh A phải chờ đèn đỏ l : 1,6.3 = 4,48 (phót) B i Chøng minh r»ng: E XY ≤ EX EY (1) Giải Xét trờng hợp Trờng hợp 1: X = X = X ≠ hc  hc   Y = Y ≠ Y = thay v o (1) tho¶ m n X ≠ Trờng hợp 2: Y r a b áp dụng bất đẳng thức ab + r s Đặt a = X r (E X ) r v b= s 1 + =1 s r víi s, r >1 v Y s (E Y ) s áp dụng bất đẳng thức ta cã: X ( Y (E X ) (E Y ) r r   X   E Xr  ≤  r s s r )    r    + 56   Y   E Ys   s ( )   1 s    s ⇔ X Y (E X ) (E Y ) r r s s ≤ X r rE X r + Y s sE Y s LÊy kú väng hai vế ta đợc : X E E Xr   ( )( r ⇔ E XY ≤  r s Y  1 E X  1 E Y  ≤  +   =1    r E Xr  s E Ys  s s    EY   ) (E X ) (E Y ) r r s s Víi r = s = bất đẳng thức đợc chứng minh Kết luận chơng Chơng gồm b i tập đ đợc phân dạng, nhằm củng cố kiến thức lý thuyết chơng v chơng Đó l b i tập v nâng cao đợc chọn lọc thể tính bao quát nội dung lý thuyết đ đợc trình b y hai chơng v xếp với mức độ từ dễ đến khó để phù hợp với đối tợng học sinh, sinh viên v yêu cầu chơng trình Ngo i tác giả đ ®−a mét sè b i tËp mang tÝnh ph¸t triĨn nh»m cđng cè nh÷ng kiÕn thøc më réng hai chơng từ giúp ngời đọc có cách nhìn tổng quan xác suất 57 Kết luận Mạch toán ứng dụng nói chung v xác suất thống kê nói riêng l phận toán học, nã cã vai trß to lín thùc tiƠn cc sèng còng nh− khoa häc kü thËt, nã gãp phần thực lý luận liên hệ với thực tiễn, học đôi với h nh, nh trờng gắn liền với sống Chơng trình Xác suất trờng THPT hiƯn míi chØ gióp häc sinh tiÕp cËn mét cách với xác suất Trên sở tìm hiĨu mét sè néi dung cđa lý thut x¸c st chơng trình toán THPT khoá luận đ trình b y 35 định nghĩa, 26 tính chất, 20 trờng hợp đặc biệt, hệ nhận xét,các công thức khác v 29 b i tËp Víi khèi l−ỵng kiÕn thøc nh vậy, khoá luận đ tập trung nghiên cứu vấn đề sau: - Nghiên cứu số nội dung lí thuyết xác suất thống kê v thể chơng trình toán THPT - Nghiên cứu số b i tập v nâng cao Kết khoá luận đ đạt đợc: + Hệ thống hoá đợc số nội dung xác suất chơng trình Đại học + Xây dựng, chọn lọc v tìm mối liên hệ nội dung xác suất thống kê trờng Đại học với trờng THPT + Lựa chọn, phân loại hệ thống b i tập từ đến nâng cao theo hớng phát triển nhằm mở rộng tầm nhìn xác suất cho độc giả Căn v o mục tiêu, nội dung nghiên cứu v sử dụng hợp lý phơng pháp nghiên cứu, tác giả đ tiến h nh nghiên cứu hớng v ho n th nh khoá luận Khoá luận đ thể đợc phần n o cân nhắc lựa chọn việc kết hợp kiến thức Đại học với kiến thức liên hệ Phổ thông Đề t i l t i liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên ng nh Toán nói chung v sinh viên s phạm toán trờng Đại học Hùng Vơng nói riêng Tuy nhiên hạn chế mặt thời gian, kiến thức, kinh nghiệm v l lần nghiên cứu khoa học nên khoá luận không tránh khỏi 58 thiếu sót Tác giả mong nhận đợc bảo tận tình thầy cô giáo v góp ý bạn bè để khoá luận đợc ho n chỉnh Phú Thọ, tháng năm 2010 Sinh viên Vũ Thị Thanh Nh n 59 Tài liệu tham khảo Nguyễn Huy Đoan - Nguyễn Xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh - Đo n Quỳnh Ngô Xuân Sơn - Đặng Hùng Thắng LuXuân Tình B i tập đại số v giải tích 11(nâng cao) NXBGiáo dục 2007 Đinh Văn Gắng Lý thuyết xác suất thống kê NXB Giáo duc 2005 Đ o Hữu Hồ Xác suất thống kê NXB Đại học Quốc Gia H Nội 2007 Phạm Văn Kiều - Lê Thiên Hơng Xác suất thống kê NXB Giáo dục 2000 Phạm Văn Kiều Xác suất thống kê (giáo trình đ o tạo đại học s phạm) NXB Đại học S Phạm 1998 Nguyễn Văn Ngọc Nhập môn lý thuyết tập hợp v logic toán NXB Đại học S Phạm 1994 Lê Ho nh Phò Phân dạng v phơng pháp giải toán tổ hợp xác suất NXB Đại học Quốc Gia H Nội 2007 §o n Qnh - Ngun Huy §oan - Nguyễn Xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh Đặng Hùng Thắng Đại số giải tích 11(nâng cao) NXB Giáo dục 2007 Đặng Hùng Thắng B i tập xác suất NXB Giáo dục 1997 10 Nguyễn Cao Văn Trần Thái Ninh Giáo trình lý thuyết xác suất v thống kê toán NXB Đại học Kinh Tế Quốc Dân 2008 60 61 ... moment Chơng III: B i tập 3.1 Xác suất 3.2.Các qui tắc tính xác suất 3.3 Đánh giá xác suất, số lần 3.4 Xác suất điều kiện 3.5 Xác suất mở rộng 3.6 Bất đẳng thức xác suất 3.7 Biến ngẫu nhiên rời... - Nghiên cứu số nội dung lí thuyết xác suất thống kê v thể chơng trình toán THPT - Nghiên cứu số b i tập v nâng cao Phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Đọc t i liệu, giáo trình, sách... chọn ®Ị t i “Mét sè néi dung cđa lÝ thut xác suất chơng trình Toán THPT" Mục đích nghiên cứu - Mục tiêu khoa học công nghệ: + HƯ thèng ho¸ mét sè néi dung cđa lý thut xác suất thống kê trờng đại