skkn một số ứng dụng của định lí vi ét trong chương trình toán 9

MỤC LỤC Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề II Mục đích nghiên cứu: .1 Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .2 I Cơ sở lí luận vấn đề .2 II Thực trạng vấn đề: III Các giải pháp tiến hành để giải vấn đề: Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Ứng dụng 2: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình cho tìm nghiệm lại Ứng dụng 3: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức .7 Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số 11 Ứng dụng 5: Lập phương trình bậc hai: 12 Ứng dụng 6: Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai 14 Ứng dụng 7: Phương trình đường thẳng (d): y = ax + b(a  0) với Parabol (P):y = mx2 (m  0): 16 IV Tính giải pháp: 17 V Hiệu SKKN: 17 Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị .18 I Kết luận: .18 II Kiến nghị: 19 Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề Trong trường THCS mơn tốn xem mơn cơng cụ có tác dụng rèn luyện phát triển tư duy, đặt móng có hỗ trợ nhiều cho môn học khác Một mặt phát triển, hệ thống hóa kiến thức, kỹ thái độ mà học sinh lĩnh hội hình thành bậc tiểu học, mặt khác góp phần chuẩn bị kiến thức, kỹ thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên, học nghề vào lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi hiểu biết định tốn học Vì việc dạy tốn đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống kiến thức đồng thời sử dụng phương pháp dạy học góp phần hình thành , phát triển tư học sinh Cùng với việc học toán học sinh bồi dưỡng rèn luyện phẩm chất đạo đức, thao tác tư để giải tốn Tơi nhận thấy chương trình tốn chương phần đại số khiến thức hệ thức Vi-ét quan trọng, tính ứng dụng rộng rãi việc giải toán Kiến thức thường xuất kiểm tra chương, kiểm tra học kỳ, đề thi học sinh giỏi lớp 9, Trong tốn phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi - ét sách giáo khoa có nội dung thời lượng tương đối ít, lượng tập chưa đa dạng Trong q trình dạy tốn trường THCS Buôn Trấp năm học 2016 - 2017, 2017 - 2018 nhận thấy học sinh vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải tốn rập khn chưa linh hoạt, chưa vận dụng hệ thức Vi-ét vào vào nhiều loại toán Đứng trước thực trạng này, suy nghĩ làm để nâng cao chất lượng học tập cho em, giúp cho học sinh nắm vững kiến thức định lí Vi-ét sử dụng thành thạo chúng vào dạng tập, qua làm tăng khả tư phát triển lực tốn học, đồng thời kích thích hứng thú học tập học sinh Đó lý chọn nghiên cứu đề tài: “Một số ứng dụng định lí Vi-ét chương trình tốn 9” II Mục đích nghiên cứu: Thơng qua kiến thức ứng dụng định lí Vi-ét giúp học sinh vận dụng thành thạo ứng dụng hệ thức Vi-ét giải phương trình bậc hai, gây hứng thú cho học sinh làm tập SGK, sách tham khảo, giúp em giải số tập nâng cao Trang bị cho học sinh số kiến thức ứng dụng định lí Vi-ét nhằm nâng cao lực học mơn tốn, giúp em tiếp thu cách chủ động sáng tạo sử dụng kiến thức học để cơng cụ giải tập có liên quan Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, nghiên cứu đề tài đưa biện pháp sau: + Trang bị cho em dạng toán bản, thường gặp + Đưa tập tương tự, tập nâng cao + Rèn luyện kỹ nhận dạng đề phương pháp giải thích hợp trường hợp cụ thể + Giúp học sinh có tư linh hoạt sáng tạo + Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức học sinh thông qua kiểm tra qua kịp thời điều chỉnh nội dung phương pháp giảng dạy + Đặt tình có vấn đề nhằm giúp em biết cách tìm tòi kiến thức nhiều khơng tốn bậc hai mà dạng toán khác Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phương pháp nhận dạng, hiểu toán, áp dụng thành thạo phương pháp để giải tập Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lí luận vấn đề Chương trình giáo dục phổ thơng đáp ứng nhiệm vụ nêu Nghị số 29-NQ/TW "Xây dựng chuẩn hóa nội dung giáo dục phổ thông theo hướng đại, tinh gọn, bảo đảm chất lượng, tích hợp cao lớp học phân hóa dần lớp học trên; giảm số môn học bắt buộc; tăng môn học, chủ đề hoạt động giáo dục tự chọn" Để thực tốt Nghị Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể xác đinh mục tiêu Bậc THCSlà : giúp học sinh phát triển phẩm chất, lực hình thành phát triển cấp tiểu học; tự điều chỉnh thân theo chuẩn mực chung xã hội; biết vận dụng phương pháp học tập tích cực để hồn chỉnh tri thức kỹ tảng; có hiểu biết ban đầu ngành nghề có ý thức hướng nghiệp để tiếp tục học lên THPT học nghề tham gia vào sống lao động Nội dung hệ thức Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét : Hệ thức Vi-ét: Nếu x1 x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a  0) thì: b � x1  x2   � � a � �x x  c �1 a Ứng dụng : (trường hợp đặc biệt) + Nhẩm nghiệm: Phương trình ax2 + bx + c = (a  0) Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm: x1 = 1, x2 = c a Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm: x1 = -1, x2 = �S  u  v �P  u.v + Nếu có hai số u v thỗ mãn: � c a u v hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = Điều kiện để có hai số u v là: S2 – 4P  Nội dung hệ thức Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét nằm chương IV phần đại số 9, tiết 57 + 58 có: + Tiết lý thuyết: Học sinh học định lí Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai tìm hai số biết tổng tích chúng + Tiết Luyện tập : Học sinh làm tập củng cố tiết lý thuyết vừa học II Thực trạng vấn đề: Theo chương trình học trên, học sinh học Định lý Vi-ét khơng có nhiều thời gian sâu khai thác ứng dụng hệ thức Vi-ét nên em nắm vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Qua việc dạy tốn trường THCS Bn Trấp tơi nhận thấy em học sinh vận dụng máy móc chưa thực linh hoạt, chưa khai thác sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều dạng toán, đặc biệt dạng phương trình bậc hai có chứa tham số Các toán cần áp dụng hệ thức Vi-ét đa dạng có mặt nhiều kỳ thi quan trọng kiểm tra chương IV, thi học kỳ 2, thi học sinh giỏi, thi vào số trường THPT Số lượng học sinh tự học, tìm tòi thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…để nâng cao kiến thức chưa nhiều, nên khả học mơn Tốn em lớp học khơng đồng Bên cạnh phận khơng nhỏ học sinh yếu kỹ biến đổi biểu thức cho dạng tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai Vì găp số tốn dạng: Tìm giá trị tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước lập hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số, với học sinh đại trà, đa số em thường tỏ lúng túng, cách giải Bên cạnh tác động xã hội làm số học sinh không làm chủ nên đua đòi, ham chơi, khơng tâm vào học tập mà dẫn thân vào tệ nạn xã hội chơi game, bi da, đánh Một số gia đình có điều kiện lo làm kinh tế, khơng có thời gian quan tâm đến việc học hành em dẫn đến em có kết học tập khơng tốt Kết kiểm tra liên quan đến việc ứng dụng hệ thức Vi-ét năm học 2016 - 2017 lớp 9A5,6,7 chưa áp dụng nội dung chuyên đề: Lớp Sĩ số học sinh Điểm TL giỏi % Điểm TL % Điểm TB TL % Điểm TB TL % 9A5 40 02 07 17.5 11 27.5 19 47.5 9A6 35 02 5.7 05 14.3 13 37.1 15 42.9 9A7 36 04 11.1 05 13.9 07 19.4 20 55.6 Để giúp học sinh nắm vững kiến thức việc vận dụng hệ thức Vi-ét q trình giảng dạy, tơi củng cố phần sau tiết học lý thuyết tiết luyện tập hệ thức Vi-ét để học sinh khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho em kỹ trình bày tốn gặp dạng Rèn luyện kỹ nhận dạng, phân dạng tốn có sử dụng hệ thức Vi-ét để giải nhằm giúp học sinh nắm đề đưa phương pháp giải thích hợp trường hợp cụ thể Các em khơng gặp bất ngờ, khó khăn gặp dạng tốn có sử dụng hệ thức Vi-ét từ em cảm thấy dần hứng thú, say sưa học chuyên đề Hệ thức Vi-ét ứng dụng Khơng áp dụng sáng kiến vào q trình giảng dạy cá nhân mà tơi đưa nội dung chuyên đề cho bạn đồng nghiệp trường tham khảo Kết nhận phản hồi tích cực bạn đồng nghiệp Qua áp dụng SKKN thấy đa số học sinh vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán bản, đạt kết học tập tốt III Các giải pháp tiến hành để giải vấn đề: Trang bị cho em dạng toán bản, thường gặp Đưa tập tương tự, tập nâng cao Rèn kỹ nhận dạng đề phương pháp giải thích hợp trường hợp cụ thể Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức học sinh thông qua kiểm tra qua kịp thời điều chỉnh nội dung phương pháp giảng dạy Tạo hứng thú qua dạng toán áp dụng hệ thức giải toán phương trình bậc hai thơng qua tốn có tính tư duy, giúp học sinh có tư linh hoạt sáng tạo Cho phương trình ax2 + bx + c = (a  0) (*) Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Trường hợp 1: Phương trình bậc hai có hệ số có quan hệ đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu a + b + c =  phương trình (*) có nghiệm x1  x2  c a c b) Nếu a  b + c =  phương trình (*) có nghiệm x1  1 x2  a Ví dụ 1(Bài 26/53 Sgk Tốn 9_tập 2): Khơng giải phương trình, nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 35x2 - 37x + = ; c) x2 - 49 x - 50 = Giải: a) Phương trình: 35x2 - 37x + = Ta có a + b + c = 35 + (- 37) + = 0, nên phương trình có hai nghiệm: x1 = 1, x2 = c = a 35 c) Phương trình: x2 - 49 x - 50 = Ta có a - b + c = - 49 - 50 = 0, nên phương trình có hai nghiệm: x1= -1; x2 =  c = 50 a Lưu ý : Đối với câu a, HS thường hay nhầm lẫm phương trình có hệ số a - b + c = Vì trước hết giáo viên phải yêu cầu HS xác định rõ hệ số, đối chiếu xem thuộc trường hợp nào? Ví dụ 2(Bài 31/54 Sgk Tốn 9_tập 2): Khơng giải phương trình, nhẩm nghiệm phương trình sau: b) x   x   ; d)  m  1 x   2m  3 x  m    m �1 Giải: b) Phương trình: 3x     x       Ta có a  b  c      , nên phương trình có hai nghiệm: x1= -1; x2 =  c  = a 3 d) Phương trình:  m  1 x   2m  3 x  m    m �1 Phương trình cho phương trình bậc hai (do m �0) Ta có a  b  c  m    2m  3  m   , nên phương trình có hai nghiệm: c a x1= 1; x2   m4 m 1 Trường hợp 2: Phương trình bậc hai có nghiệm ngun đơn giản, ta nhẩm nghiệm sau: Phương pháp: b c x1.x2  a a - Bước 1: Tính x1  x2   - Bước 2: Nếu  �Z b a c �Z ta dễ dàng tìm nghiệm pt a Ví dụ 3(Bài 31/54 Sgk Toán 9_tập 2) Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x2 - 7x + 12 = ; b) x2 + 7x + 12 = Giải: a) Ta có:   b c  3.4   12 a a Vậy ta nhẩm hai nghiệm x1= 3, x2 = b) Tương tự câu a) ta có -3 + (-4) = -7 (-3)(-4) = 12 Ta nhẩm hai nghiệm x1  3; x2  4 Bài tập vận dụng: Hãy nhẩm nghiệm phương trình sau: x  500 x  507  1,5 x  1, x  0,1     x  3x      Ứng dụng 2: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình cho tìm nghiệm lại Phương pháp: + Cách 1: Thay giá trị nghiệm biết vào phương trình để tìm tham số, sau kết hợp với hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm lại + Cách 2: Thay giá trị nghiệm biết vào hai hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm lại, sau kết hợp với hệ thức Vi-ét lại để tìm giá trị tham số Ví dụ 1:(Bài 40/57SBT , Toán 9_tập 2) Dùng hệ thức Vi – ét để tìm nghiệm x phương trình tìm giá trị m trường hợp sau: a) Phương trình x2 + mx - 35 = (1), biết nghiệm x1=7 b) Phương trình x2 - 13x + m = (2), biết nghiệm x1=12,5 Giải: a) Phương trình x2 + mx - 35 = (1) Cách 1: Thay x1 = vào phương trình (1) ta m  2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có : x1.x2  35 Mà x1= nên x2  5 Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét, ta có : x1.x2  35 Mà x1 = nên x2  5 Mặt khác x1  x2  m � m  2 b) Đáp số : x2  0,5 , m  6, 25 Nhận xét : Đối với ví dụ cách giải nhanh gọn Tuy nhiên với ví dụ cách lại nhanh Vì gặp dạng tốn tùy vào vị trí tham số mà ta chọn cách giải cho phù hợp Bài tập vận dụng: (Bài 40/57SBT , Tốn 9_tập 2) c) Phương trình x  3x  m  3m  , biết nghiệm x1  2 d) Phương trình x   m  3 x   , biết nghiệm x1  Hướng dẫn: 3 � x2  4 2  m  3m m  3m � m  3m  10  Mà x1 x2  hay 2  4 Suy m1  2; m2  c) Theo hệ thức Vi-ét: 2  x2  e) Đáp số : x2  , m  11 Ứng dụng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp: Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a  0) có nghiệm x1 x2 tam thức ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) Ví dụ : (Bài 33/54 SGK Tốn 9_tập 2) Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x2 – 5x + ; b) 3x2 + 8x + Giải: a) Phương trình 2x2 – 5x + = có hai nghiệm x1 = 1, x2 = � 3� � x – x    x  1 �x  �  x  1  x  3 � 2� b) Phương trình 3x2 + 8x +2 = có hai nghiệm x1 = 4  10 4  10 , x2 = 3 �  10 � �  10 � � 3x  x   � x  � � � � � �x  � 3 � � � � Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 – 6x + ; b) 2x2 + 5x + Ứng dụng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức 4.1 Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm phương trình bậc hai cho Phương pháp: Biến đổi biểu thức dạng chứa tổng tích hai nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét ta tính giá trị biểu thức chứa nghiệm Ví dụ (Bài 6/53 Sách hướng dẫn học tốn 9_tập 2,Nhà xuất GD) Cho phương trình x2 - 5x + = Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: 1 a) A  x  x ; b) B = x12 + x22 ; c) C = x13 + x23 Giải: Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 x x S � x1  x2  5   � �x1.x2  a) A  x  x  x x  P  2 b) B  x12 +x2    x1  x2   x1 x2  52 – 2.3  19 c) C = x13  x23   x1  x2   3x1 x2  x1  x2   53  3.5.3  80 - Mở rộng toán: d) D  x14  x2 ; 1 e) E  x  x 2 ; f) F  x1  x2 52  2.3� d) D  x14  x24   x12  x22   x12 x22  (S  2P )2  2P2  � � � 2.3  343 e) E 1 x12  x22 S  P 52  2.3 19   2    x12 x22 x1 x2 P2 32 f) F  x1  x2   x1  x2    x1  x2   x1 x2    52  4.3   13  4.2 Tìm điều kiện tham số để hai nghiệm phương trình thỏa mãn đẳng thức bất bẳng thức: Phương pháp: - Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm (hoặc nhận thấy phương trình ln có nghiệm chứng minh điều đó) +Sử dụng số hệ thức thường gặp: 2 � S  x1  x2     � �P  x1.x2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x12  x22   x1  x2   x1 x2  S  P   x13  x23   x1  x2   x1 x2  x1  x2   S  3PS ; 1 x  x2 S    x1 x2 x1 x2 P x14  x24  x12  x22  x12 x22  ( S  P)  P ; 1 x12  x22 S  P   2  x12 x22 x1 x2 P2 ; x1  x2   x1  x2    x1  x2   x1 x2    S  P    + Sử dụng hệ thức biến đổi hệ thức chứa nghiệm dạng chứa tổng tích hai nghiệm, từ áp dụng hệ thức Vi-ét ta phương trình có ẩn tham số Giải phương trình vừa lập ta tìm giá trị tham số + Đối chiếu giá trị tìm tham số với điều kiện có nghiệm phương trình cho kết luận Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x + 2x + m = (m tham số) (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : Giải: 1 2 b) x  x  ; c) x1  x2  x1 x2  Phương trình x2 + 2x + m = phương trình bậc hai ẩn x nên ta có a) x12 + x22 = ;  '  1 m Để phương trình (1) có nghiệm ' �0   m �0  m �1 �x1  x2  2 �x1 x2  m Theo hệ thức Vi-ét ta có: � a) Ta có : x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 = - 2m Để x12 + x22 = � - 2m = � m = -2 (thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = � m = -2 b) Ta có Để 1 x  x2 2    x1 x2 x1 x2 m 1 2 2  3� 3� m (thoả mãn điều kiện) x1 x2 m 1 2 Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x  x  � m  c) Ta có: x12  x22  x1 x2  �  x1  x2   x1 x2  �  2   m  2 � m  � m  (t/m) Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12  x22  x1 x2  � m  Nhận xét: Nếu thay đẳng thức hai ví dụ thành bất đăng thức, ta biến đổi phần giải bất phương trình Đối với loại hệ thức bậc hai nghiệm (dạng mx �nx2 = p) dạng hiệu luỹ thừa hai nghiệm (dạng x m - xn = p ) ta thường kết hợp với hai hệ thức Vi-ét để hệ phương trình Giải hệ phương trình ta tìm hai nghiệm, thay vào hệ thức lại Vi-ét ta tìm giá trị tham số Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = (m tham số) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : a) 3x1 + 2x2 = ; b) x12 - x22 = Giải: Phương trình x2 + 2x + m = phương trình bậc hai ẩn x nên ta có  '  1 m Để phương trình có nghiệm ' �0   m �0  m �1 �x1  x2  2 �x1 x2  m Theo hệ thức Vi-ét ta có: � �x1  x2  2 (1) � a) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét ta có hệ: �3x1  x2  (2) �x x  m (3) �1 Giải hệ (1), (2) ta x1= 5; x2= -7 Thay vào (3) ta m = -35 (thoả mãn điều kiện) �x12  x22  (1) � b) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét ta có hệ: �x1  x2  2 (2) Giải hệ (1), (2) ta �x x  m (3) �1 x1=  5 ; x2 = Thay vào (3) ta m = - (thoả mãn điều kiện) 2 Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = ( m tham số) (1) Tìm giá trị m để: a) Phương trình (1) có nghiệm b) Phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 = 2x2 c) Phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + 4x2 = d) Tìm hệ thức hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài tập 2: Cho phương trình x  4mx  2m   (2) ( m tham số) Tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm x 1; x2 thỗ mãn: x  4mx2  2m   4.3 Tìm điều kiện tham số để biểu thức chứa hai nghiệm phương trình đạt giá trị cực trị: Phương pháp: +Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm + Biến đổi biểu thức dạng chứa tổng tích hai nghiệm, từ vận dụng hệ thức Vi-ét đưa biểu thức dạng chứa tham số Từ sử dụng phương pháp tìm cực trị, phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta giải toán (chú ý điều kiện có nghiệm) Ví dụ: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - = (m tham số) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Với giá trị m biểu thức: 2 a) A  x1  x2 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ 2 b) B  x1 x2  x1  x2 đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn Giải: � � 15 Ta có  '   m  1   m    m  3m   �m  �  , nên phương � 2� 2 trình ln có nghiệm với giá trị m Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+ x2 = 2(m - 1) x1x2 = m - a) Ta có: A = x12+ x22 = (x1+x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 - 2(m - 5) � 31 � = 4m - 10m +14 = �2m  � 2� � 5 � 31 31 � (2 m  ) �  m Vì , nên �2m  � � 2� 4 � 5 Dấu “=” xảy 2m   � m  (t/m) Vậy Amin = 31 m = 4 b) Ta có: B  x1 x2  x12  x22  3x1 x2   x1  x2  � B   m     m  1  4 m  11m  19  4( m  11 183 )  16 11 11 183 183 � ) �0m , nên 4(m  )  16 16 11 11 Dấu “=” xảy m   � m  (t/m) 8 183 11 �m Vậy BMa x  16 Vì 4(m  Bài tập áp dụng: 10 Bài tập 1: Cho phương trình: x2 - mx+ (m - 2)2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài tập 2: Cho phương trình: x   2m  1 x  m  0 (1) 1) Với giá trị m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt? 2) Với giá trị m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 cho biểu thức M  x1  1. x2  1 đạt giá trị nhỏ nhất? Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Phương pháp: + Với dạng cách giải chung theo hệ thức Vi-ét ta có hai hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình Từ hai hệ thức ta biểu diễn tham số theo hai nghiệm, sau vào hệ thức lại ta hệ thức cần tìm + Hoặc dùng quy tắc cộng để khử tham số từ hai hệ thức (Cần ý đến điều kiện có hai nghiệm phương trình) Các ví dụ: Ví dụ : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m = (1).Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Giải: Ta có � 1� ' =  m  1   m  m   �m  � � 2� 2 2 � 1� � 1� Vì �m  ��0m � �m  �  0m hay ' > m � 2� � 2� Phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m �x1  x2  2(m  1) (1) Theo hệ thức Vi-ét ta có � (2) �x1 x2  m Từ (1) (2) ta x1  x2   x1 x2  1 hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ = (m tham số ) Biết phương trình ln có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Giải : Phương trình cho ln có hai nghiệm nên phương trình bậc hai, m �0 Theo giả thiết phương trình ln có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có: 2(m  3) � x x   2 (1) � �1 m m � �x x  m    (2) �1 m m Ta có (2)  6x1x2 = + (3) m Cộng vế với vế (1) (3) ta x1 + x2 + 6x1x2 = 11 Vậy hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 6x1x2 = 2 Bài tập áp dụng : Cho phương trình x   m   x  m  4m   Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Ứng dụng 6: Lập phương trình bậc hai: �S  u  v �P  u.v Phương pháp: Nếu có hai số u v thỗ mãn: � u v hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = (1) Điều kiện để có hai số u v là: S2 – 4P  6.1 Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2: Phương pháp: - Tính tổng tích nghiệm đề yêu cầu - Sử dụng ứng dụng (1) để lập phương trình Ví dụ 1: Tìm u ,v biết: u + v = uv = Giải: �S  u  v  Vậy u; v nghiệm phương �P  uv  Theo hệ thức Vi-ét, ta có : � trình có dạng: x – Sx  P  hay x – x   Giải phương trình ta tìm u = 3, v = u = , v = Ví dụ 2(Bài 5/53 Sách hướng dẫn học toán 9_Tập 2, Nhà xuất GD) Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm a) – b) c)   Giải: �S  3   � (– 3) nghiệm phương trình có dạng: �P  3.7  21 a) Ta có : � x – Sx  P  � x – x  21  2 b) Đán số: x  x   3 �S      � c) Ta có : � P  1    � �      1 �   nghiệm phương trình: x  3x    1  Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm: a) -5 ; b)  3 ; c)  3 6.2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước Ví dụ 3(Bài 7/53 Sách hướng dẫn học toán 9_Tập 2, Nhà xuất GD) 12 Cho phương trình x  x  15  có nghiệm x1, x2 Khơng giải phương trình, lập phương trình có hai nghiệm hai số cho trường hợp sau: 1 a) ; b)  x1  x2 x1 x2 Giải: Phương trình x  x  15  có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Vi-ét ta có: 15 x1 x2   2 1 x1  x2 1 1 2 a) Ta có: x  x  x x  15 ; x x  x x  15 2 2 x1  x2  1 Vậy x , x hai nghiệm phương trình: x  x   hay 15 x  x   15 15 2 1 43   x1    x2     x1  x2   x1.x2     15 30 b) Ta có:   x1     x2     x1  x2     2 Vậy  x1  x2 hai nghiệm phương trình: x  x  43 0 30 1 x2  x1 x2 6.3 Giải hệ phương trình: Ứng dụng (1) thường sử dụng vào giải hệ phương trình đối xứng hai Bài tập áp dụng: x1  �f ( x, y )  �f ( y , x )  �� �g ( x, y )  �g ( y , x )  ẩn có dạng: � Để giải loại hệ ta tiến hành sau: - Biểu diễn phương trình qua x + y xy - Đặt S = x + y P = xy, ta hệ chứa hai ẩn S P - Giải hệ để tìm S P - Các số cần tìm nghiệm phương trình t  St  P  Theo yêu cầu mà giải phương trình tìm t biện luận phương trình chứa t để rút kết luận mà đề đặt Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: �x  y  �x  y  �x y 2 �x  y  34 a) �2 b) �2 Giải: a) Đặt S = x + y; P = xy , ta có hệ phương trình: � S 3  �2 �S  P  �S  � �P  �x  y  �xy  Do ta có: � Suy x, y nghiệm phương trình X2 - 3X + = Giải phương trình ta X1 = 1; X2 = 13 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm :  x1 ; y1    1;  ,  x2 ; y2    2;1 b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ phương trình: � S 2 �S  �� �2 �S  P  34 �P  15 �x  y  �xy  15 Do ta có: � Suy x + (-y) = x(-y) = -15 hay x (-y) nghiệm phương trình X2 - 2X - 15 = 0, giải ta X1 = 3; X2 = -5 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm :  x1 ; y1    3;5  ,  x2 ; y2    5;3 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: �xy ( x  1)( y  2)  2 �x  x  y  y  �x  xy  y  a) � �x  xy  y  b) � Giải: �S  P  a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ phương trình : � �S  P  � S = , P = S = -3; P = �x  y  �x  y  3 Do ta có: � � �xy  �xy  Suy x, y nghiệm phương trình X2 - 2X = (1) X2 + 3X + = (2) Giải (1) được: X1 = 0; X2 = Giải (2):   32  4.1.5  11  � phương trình (2) vơ nghiệm Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm :  x1 ; y1    0;  ,  x2 ; y2    2;0  �SP  2 �S  P  b) Đặt x2 + x = S; y2 - 2y = P ta đưa hệ đối xứng hai ẩn sau: � Suy S, P nghiệm phương trình X2 - X - =  S   S 2   P 2  P  � x2  x  (II) � �y  y  1 Giải ta X1= -1; X2 = Vậy  �x  x  1 Từ ta có (I) � �y  y  Hệ (I) vơ nghiệm Hệ (II) có hai nghiệm là:  x1 ; y1    1;1 ,  x2 ; y2    2;1 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm là:  x1 ; y1    1;1 ,  x2 ; y2    2;1 Bài tập áp dụng ( Đề thi HSG tỉnh Đăklăk năm học 2010 – 2011) �xy  x  y  Giải hệ phương trình : � 2 �x  y  x  y  11 (I) Hướng dẫn: � x 1 y 1 6 � Hệ phương trình (I) � � Đặt u = x+1; v = y-1 Ta có � �x1  y 1 13 � �  u  v   25 � uv  � Có hai trường hợp : uv 5 u 3 � u2 � � �x  �x  �� �� �� �� uv  v2 � v3 � � �y  �y  +Trường hợp 1: � 14 u  v  5 � u  3 � u  2 � �x  4 �x  3 �� �� �� �� uv  v  2 � v  3 � � �y  1 �y  2 + Trường hợp 2: � Ứng dụng 7: Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Phương pháp: Dựa vào quan hệ dấu tổng tích hai số với dấu hai số đó, kết hợp với hệ thức Vi-ét ta xét dấu hai nghiệm tìm điều kiện tham số để hai nghiệm thoả mãn điều kiện dấu  Dấu nghiệm x1 x2 S P Điều kiện chung m � Trái dấu P Cùng dấu P >  �0  �0 ; P > ; S > Cùng dương + + S > P >  �0 Cùng âm S < P >  �0  �0 , P > S < Chú ý: Trước xét dấu nghiệm, cần ý xét xem phương trình có nghiệm hay khơng Ví dụ : Khơng giải phương trình, xét dấu nghiệm phương trình sau: a) x2 - 2x + = b) x2 - 2x - = c) x2 - 5x +1 = d) x2 + 5x +1 = Giải: a) Ta có ' = -4 < nên phương trình vơ nghiệm b) Ta có P = -5 < nên phương trình có hai nghiệm trái dấu � '   � c) Ta có �S  5  nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt �P   � '   � � d) Ta có �S  5  nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt �P   � Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + (2m - 1)x + m - = (m tham số) (1) Tìm điều kiện m để phương trình (1) có: a) Hai nghiệm trái dấu b) Hai nghiệm phân biệt âm c) Hai nghiệm phân biệt dương d) Hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Giải: 2 Ta có:    2m  1   m  1  4m  4m   4m   4m  8m    m  1  Vì  m  1 �0m �  m  1   0m với m) �   0m a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu P < hay m    m < b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm 2 0 m � � � m � � �  2m  � � � m  �S  � � � � � m 1 P0 m 1  � � � 15 c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương �  � m � m � � �  2m  � � � không �S  � � �P  �m   � m 1 � � � có giá trị m thoả mãn d) Phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu tức phương trình có hai nghiệm đối � �0  - 2m =  m = �S  Phương trình có hai nghiệm đối � Ứng dụng 8: Phương trình đường thẳng (d): y = ax + b(a  0) với Parabol (P):y = mx2 (m  0): 8.1 Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (a  0) qua điểm A (xA; yA); B (xB; yB) thuộc Parabol y = mx2 (m  0) Cơ sở lý luận : Do đường thẳng Parabol có giao điểm nên hồnh độ giao điển nghiêm phương trình: mx2 = ax + b  mx2 - ax - b = Vậy m  Theo hệ thức Vi-et, ta có: a   xA  xB  m   x x   b  A B m (*) Từ (*) tìm a b  Phương trình (d) Ví dụ 1: Cho Parabol (P) có phương trình (P): y = x2 Gọi A B điểm thuộc (P) có hồnh độ xA = - ; xB = Lập phương trình đường thẳng qua A B Giải: Giả sử phương trình đường thẳng (AB): y = ax + b (a  0) Phương trình hồnh độ giao điểm (AB) (P) : x2 = ax + b  x2 - ax – b =0 (*) Ta có: xA = - ; xB = nghiệm phương trình (*)  xA  xB a  a 1 Theo hệ thức Vi- et, ta có:     b 2  xA xB  b Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + 8.2 Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) điểm M(xM; yM) Cơ sở lý luận : Do (d) (P) có giao điểm nên phương trình: mx2 - ax - b = có nghiệm kép: x1 = x2 Vận dụng hệ thức Vi-et, ta có:  x1  x2 a    b  x1x2  m Ví dụ 2: Cho (P): y  a b  phương trình tiếp tuyến x2 ; A  (P) có hồnh độ xA = lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A 16 Giải : Giả sử phương trình tiếp tuyến A (d) : y = ax + b Phương trình x2 hồnh độ giao điểm (d) (P) : = ax + b  x2 - 4ax - 4b = (*) Ta có: xA = nghiệm kép (*): x1 = x2 =  x1  x2 4a  a 1   x1x2  4b  b  Theo Viet ta có:  Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là: y = x - IV Tính giải pháp: Qua năm tham gia giảng dạy thử nghiệm sáng kiến tơi thấy khả vận dụng kiến thức ứng dụng hệ thức Vi-ét học sinh có nhiều tiến bộ, thể chỗ đa số học sinh biết cách giải toán linh hoạt, sáng tạo bước đầu chủ động tìm tòi kiến thức góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường Các ứng dụng hệ thức xếp khoa học, có tính logic, từ dạng đến mở rộng nâng cao phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Hầu hết dạng xuất phát từ tập sách giáo khoa, sách tập, sách mơ hình trường học mới, sau phát triển dần lên nhằm kích thích tính tư sáng tạo học sinh Việc phân dạng, chọn ví dụ tiêu biểu giúp hình thành đường lối tư cho học sinh tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu Sau tập tổng hợp để học sinh phân biệt dạng tìm cách giải thích hợp cho chắn học sinh nắm vững vấn đề, phát cách giải tìm phương pháp phù hợp nhất, khoa học Sáng kiến kinh nghiệm viết theo chuyên đề nên mang tính tổng quan, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Các ví dụ tập đưa bám sát theo định hướng phát triển lực học sinh, trọng hình thành rèn luyện kĩ cho em Qua việc nghiên chuyên đề người giáo viên giảng dạy tốn có nhìn tổng quát ứng dụng định lý Vi-ét chương trình tốn 9, cập nhật thường xun dạng toán, thủ thuật giải toán hiệu V Hiệu SKKN: Trên là số ứng dụng hệ thức Vi-ét chương trình tốn mà áp dụng giảng dạy thực tế trường THCS Buôn trấp, nhận thấy hiệu học tập học sinh nâng lên đáng kể đặc biệt đối tượng học sinh trung bình, q trình ơn luyện, bồi dưỡng học sinh giỏi nâng lên rõ rệt Tôi đồng nghiệp thu kết sau: + Học sinh biết vận dụng kiến thức học vào giải toán đạt hiệu cao học sinh trung bình Đối tượng học sinh giỏi biết 17 vận dụng linh hoạt kiến thức ứng dụng định lý Vi-ét để giải tốn khó, đề thi + Đã cải thiện lớn lực giải phương trình bậc hai bậc ba học sinh Học sinh phần biết cách phân dạng, sử dụng linh hoạt phương pháp biến đổi để giải toán, đặc biệt em ý việc tìm điều kiện xác định có ý thức kiểm tra lại kết có thỏa mãn điều kiện tốn hay khơng + Học sinh tiếp thu nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực học tập u thích mơn tốn + Học sinh tránh sai sót hay gặp phải q trình giải tốn liên quan đến ứng dụng hệ thức Vi-ét + Trong thời gian năm học 2017 - 2018 áp dụng SKKN vào giảng dạy thu kết kiểm tra liên quan đến việc ứng dụng hệ thức Vi-ét sau: Lớp Sĩ số học sinh Điểm TL giỏi % Điểm TL % 9A3 39 10 25 11 9A5 40 11 27 9A7 36 13 36 Điểm TB TL % Điểm TB TL % 28.2 13 33.3 05 12.8 14 35 15 09 22.5 10 27.7 19.4 06 16.6 + Qua nghiên cứu SKKN người giáo viên hệ thống, phân loại tập thành dạng, xây dựng kiến thức từ cũ đến mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức học sinh + Giáo viên có tài liệu tham khảo giảng dạy tiết tăng tiết trường ôn luyện học sinh giỏi Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị I Kết luận: “Một số ứng dụng định lí Vi-ét chương trình tốn 9” tài liệu kinh nghiệm giảng dạy có ý nghĩa quan trọng chương trình đại số Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm mang lại nhiều hiệu việc giải tốn có liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai phương trình bậc cao Qua q trình dạy giúp học sinh bước hình thành 18 phát triển tư tốn học để vận dụng hiệu vào môn học khác, vào thực tiễn sống Một số ứng dụng hệ thức Vi-ét giải tài liệu dạy học đem lại hiệu cao trình dạy nội dung chương đại số Nhưng để đạt hiệu tốt người giáo viên trước giải tốn cần cho học sinh nhận xét thử biện pháp từ dễ đến khó để tìm phương pháp phù hợp để giải Sau cho học sinh giải tập tương tự dạng tự đặt thêm số tập để khắc sâu thêm phương pháp giải Đối với chuyên đề toán học dạy theo dạng, sâu dạng tìm hướng tư duy, hướng giải phát triển toán Sau tổng hợp để học sinh phân biệt dạng tìm cách giải thích hợp cho chắn học sinh nắm vững vấn đề tơi tin tốn học niềm say mê với tất học sinh Phần đông em có hứng thú làm tập tập có phương pháp giải vận dụng phương pháp giải loại toán khác Để gặt hái thành cơng đòi hỏi em học sinh phải có nỗ lực lớn, tâm học tập hết khả thân Chính động viên, quan tâm, giúp đỡ lãnh đạo nhà trường, gia đình giáo viên lớn Nhất lứa tuổi học sinh lớp 9, mà đặc điểm tâm lí lứa tuổi em có tác động khơng nhỏ đến việc học tập em Trong trình dạy học giáo viên phải khéo léo lồng ghép tình “có vấn đề” nhằm thu hút phát huy sáng tạo cho học sinh Những ứng dụng hệ thức vấn đề tương đối mẻ khó khăn cho học sinh mức trung bình nên giáo viên cần cho em làm quen dần Vì dạng tốn SKKN có tác dụng tương hỗ, cao dần từ kiến thức sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức, biết tư sáng tạo tìm cách giải dạng tốn Do kinh nghiệm hạn chế nên q trình viết khó tránh khỏi đơn điệu hạn chế, tơi hi vọng phần giúp hiểu kỹ số ứng dụng hệ thức Vi–ét chương trình tốn Tôi thực mong muốn nhận nhiều ý kiến đóng góp xây dựng thầy giáo, bạn đồng nghiệp để đề tài thực hấp dẫn có hiệu đến với em học sinh II Kiến nghị: Giáo viên có chương trình hướng dẫn, định hướng cho học sinh chọn mua sách tham khảo tất môn học Đối với việc bồi dưỡng HSG toán nên chia mảng kiến thức cho giáo viên ôn tập để chất lượng giảng dạy nâng lên Nhà trường tiếp tục tổ chức học tăng tiết cho học sinh lớp để em ơn tập, mở rộng kiến thức 19 Phòng GD & ĐT Krơng Ana tổ chức nhiều buổi chuyên đề mảng kiến thức khó để giáo viên chia sẻ, học tập lẫn khơng ngừng nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ Phổ biến sáng kiến kinh nghiệm hay cấp huyện, cấp tỉnh thành chuyên đề để giáo viên chúng tơi học tập, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy Buôn Trấp, ngày 02 tháng 03 năm 2019 Người viết Nguyễn Thị Cẩm Linh 20 NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Sách giáo khoa, sách tập toán 2) Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn trung học sở 3) Sách Hướng dẫn giải dạng tập từ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ( Tác giả: Trần Thị Vân Anh) Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 4) Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn ( Nhóm tác giả: Nguyễn Đức Tân, Nguyễn Anh Hồng, Nguyễn Đồn Vũ, Phan Bá Trình, Nguyễn Văn Danh, Đỗ Quang Thanh…) Nhã xuất Đại học quốc gia Hà Nội 5) Sách 50 đề toán thi vào lớp 10 chuyên chọn ( Tác giả: Minh Tân ) Nhà xuất Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh 6) Sách Bài tập thực hành tốn 9, tập hai ( Tác giả: Quách Tú Chương, Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Anh Hoàng) Nhà xuất giáo dục Việt Nam 7) Các tài liệu tham khảo hệ thức Vi-ét Internet, 22 ... Một số ứng dụng định lí Vi-ét chương trình tốn 9 II Mục đích nghiên cứu: Thông qua kiến thức ứng dụng định lí Vi-ét giúp học sinh vận dụng thành thạo ứng dụng hệ thức Vi-ét giải phương trình bậc... trình: x2 – Sx + P = Điều kiện để có hai số u v là: S2 – 4P  Nội dung hệ thức Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét nằm chương IV phần đại số 9, tiết 57 + 58 có: + Tiết lý thuyết: Học sinh học định lí. .. phải trình giải tốn liên quan đến ứng dụng hệ thức Vi-ét + Trong thời gian năm học 2017 - 2018 áp dụng SKKN vào giảng dạy thu kết kiểm tra liên quan đến việc ứng dụng hệ thức Vi-ét sau: Lớp Sĩ số