Phối hợp rốn luyện kỹ năng giải toỏn phương trỡnh với phỏt triển tư duy hàm cho học sinh THPT
2.2.1. Rốn kỹ năng vận dụng cỏc dạng phương trỡnh mẫu
Xột theo quan điểm vận dụng cỏc tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm, chỳng tụi nhấn mạnh đến việc thiết lập sự tương ứng giữa tỡnh huống được đưa ra trong mỗi bài toỏn phương trỡnh với tập hợp cỏc dạng phương trỡnh mẫu học sinh đó được học. Đối với đa số bài toỏn cú thuật giải được đưa ra trong sỏch giỏo khoa thỡ việc thiết lập sự tương ứng này được thực hiện trực tiếp thụng qua hoạt động nhận dạng. Cú hai cấp độ thực hiện hoạt động nhận dạng khi khai thỏc cỏc bài tập loại này:
- Nhận dạng bài toỏn thụng qua thiết lập sự tương ứng giữa cỏc số hay tham số cho trong bài toỏn (tham số thực) với cỏc tham số cho trong kiến thức lý thuyết về dạng phương trỡnh đó học (tham số hỡnh thức).
- Nhận dạng sự chuyển loại của bài toỏn khi bài toỏn cú chứa tham số dựa theo sự biến thiờn giỏ trị của tham số.
Vớ dụ 1: Giải và biện luận bất phương trỡnh:
(m2 −1 x m 1 0) + − >
Yờu cầu học sinh xỏc định được dạng bất phương trỡnh? ax + b > 0
Xỏc định được cỏc hệ số a, b? 2
a m= −1, b m 1= −
Rồi tiến hành thực hiện cỏc bước giải. Tất nhiờn khi xõy dựng quy tắc giải cần cho học sinh lập luận cú căn cứ trong từng phộp biến đổi, để đi đến quy tắc giải cho từng dạng toỏn nào đú.
Việc học sinh nhận dạng đỳng bài toỏn cần giải là họ đó thiết lập được sự tương ứng giữa bài toỏn đú với bài toỏn tổng quỏt đó cú sẵn thuật giải. ở vớ dụ trờn khi a thay đổi, a nhận giỏ trị dương, õm hoặc bằng khụng thỡ nghiệm của bất phương trỡnh cũng thay đổi theo. Như vậy, là đó tiến hành đỏnh giỏ sự biến thiờn của giỏ trị ra khi cho thay đổi giỏ trị vào.
Vớ dụ 2: Cho phương trỡnh (m 2 x− ) 2 −2 m 1 x m 0( + ) + = (1) a. Giải phương trỡnh khi m = 3
b. Giải và biện luận phương trỡnh
- Yờu cầu học sinh xỏc định dạng phương trỡnh, cỏc hệ số a, b, c của phương trỡnh trong trường hợp m = 3? Cỏch giải?
- Đưa ra những cõu hỏi gợi ý như:
Hỏi: Phương trỡnh (1) là phương trỡnh bậc hai khi nào?
a m 2 0= − ≠
Hỏi: Khi đú cho biết mối quan hệ khi thay đổi giỏ trị m với số nghiệm của
phương trỡnh? ' 0 ∆ < : phương trỡnh vụ nghiệm ' 0 ∆ = : phương trỡnh cú nghiệm kộp ' b x a = − ' 0
∆ > : phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x1,2 b' ' a
− ± ∆ =
Như vậy, sự biến thiờn giỏ trị m dẫn đến sự thay đổi về dấu của biệt thức ∆' , điều này kộo theo sự thay đổi về số nghiệm và giỏ trị nghiệm của phương trỡnh.
Hỏi: Phương trỡnh (1) suy biến khi nào? Giải phương trỡnh trong trường hợp này?
Sự thay đổi của tham số cú thể kộo theo về sự thay đổi về số nghiệm của phương trỡnh, cú thể sự thay đổi của tham số trong một khoảng nào đú khụng làm thay đổi về số nghiệm mà cú thể chỉ thay đổi về giỏ trị nghiệm.
Bờn cạnh việc luyện tập cho học sinh ỏp dụng thành thạo một quy tắc tổng quỏt nào đú ỏp dụng cho mọi bài toỏn cựng loại, cần lựa chọn một số bài toỏn dựa vào sự phõn tớch tớnh đặc thự riờng cú thể giải được bằng phương phỏp riờng đơn giản hơn khi ỏp dụng giải theo quy tắc tổng quỏt.
Chẳng hạn sau khi học cụng thức giải phương trỡnh bậc hai và sau khi cho học sinh luyện tập ỏp dụng cụng thức đú, ta cho học sinh giải phương trỡnh:
Nhiều học sinh giải bằng cỏch tớnh ∆' mà khụng dựa trờn nhận xột
a b c 0− + = nờn x 1, x 3 2 3
= − = −
+ . Hay bài toỏn giải phương trỡnh tớch:
( ) 2 x 3x 1 0 3 − + = ữ
Cú khi học sinh sẽ mở dấu ngoặc, đưa phương trỡnh về dạng bậc hai rồi ỏp dụng cụng thức nghiệm mà khụng thấy ở đõy là một phương trỡnh tớch A.B
= 0 thỡ A = 0 hoặc B = 0, để cú ngay nghiệm x1 2 3
= và x2 1 3
= − . Những trường hợp như vậy nhằm khắc phục thúi quen ỏp dụng mỏy múc cụng thức, khụng làm thay đổi phự hợp với điều kiện mới và rốn luyện tư duy linh hoạt cho học sinh.
Cỏc yờu cầu cơ bản khi tiến hành rốn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng phương trỡnh mẫu đú là:
- Nắm vững quy tắc giải
- Nhận dạng đỳng bài toỏn cú quy tắc giải xỏc định - Tiến hành giải bài toỏn theo quy tắc đó học
Như vậy, nếu phương trỡnh cho ở dạng mẫu mực, cơ bản học sinh chỉ cần nhận dạng, chọn cỏch giải ứng với mỗi dạng phương trỡnh. Nhưng cú những phương trỡnh mới chỉ nhỡn qua học sinh chưa nhỡn ra dạng chuẩn mực, thỡ cần biến đổi đơn giản (cú thể) đưa về dạng chuẩn mực đó học. Chẳng hạn như cỏc bài toỏn phương trỡnh qui về phương trỡnh bậc nhất, bậc hai ...
Vớ dụ 3: Giải phương trỡnh: cos2x + 3sin2x = 2
Mới nhỡn qua bài toỏn này hoặc sinh chưa nhỡn thấy ngay dạng đó học, nhưng chỉ cần biến đổi lượng giỏc đơn giản nhờ nhớ lại cụng thức
cos2a =1 - 2sin2a thỡ lại cú thể đưa về dạng đó học.
Cần đưa ra những bài toỏn mà khi giải học sinh khụng chỉ cần vận dụng một dạng phương trỡnh mẫu mà phải vận dụng kết hợp cỏc dạng phương
trỡnh mẫu mới giải được. Bờn cạnh cỏc dạng toỏn đó cú sẵn thuật giải như SGK đó trỡnh bày, cần hỡnh thành cho học sinh thúi quen tự tỡm tũi cỏc dạng phương trỡnh, bất phương trỡnh (nếu cú thể) từ bài toỏn cụ thể, đề xuất bài toỏn tổng quỏt, xõy dựng qui tắc làm, rừ ràng xỏc định. Vỡ việc nờu ra tất cả cỏc dạng phương trỡnh mẫu là điều khụng thể thực hiện được, hơn nữa làm như vậy sẽ tạo ra ''sức ỳ '' cho học sinh.
Vớ dụ 4: Giải phương trỡnh:
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9
Hướng dẫn học sinh giải:
ở bài toỏn này, chắc chắn ý định khai triển vế trỏi, biến đổi đưa phương trỡnh về dạng : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a ≠ 0), rồi thực hiện giải. Như vậy học sinh sẽ gặp nhiều khú khăn vỡ học sinh mới chỉ học giải phương trỡnh trựng phương.
- Hóy nhận xột cỏc hệ số cú mặt trong cỏc thừa số ở vế trỏi ? 1 + 7 = 3 + 5 = 8.
- Hóy đưa ra cỏch biến đổi thớch hợp để cỏc biểu thức gần nhau hơn! ở vế trỏi, ghộp cỏc thừa số thứ nhất với thừa số thứ tư, thừa số thứ hai với thừa số thứ ba ta được: (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) = 9
- Quan sỏt cỏc thừa số ở vế trỏi và đưa ra cỏch làm? Đặt t = (x2 + 8x +7), phương trỡnh trở thành: (t 7 t 15+ ) ( + ) =9 2 t 16 t 22t 96 0 t 6 = − ⇔ + − = ⇔ = − - Hóy làm tiếp tỡm x? Khi t =-6 ta được x2 + 8x + 6 = 0 x 4 10 x 4 10 = − − ⇔ = − + Khi t = - 16 ta được x2 + 8x + 16 = 0 ⇔ = −x 4
Bằng cỏch trừu tượng hoỏ cỏc số cụ thể, yờu cầu học sinh đề xuất bài toỏn tổng quỏt và xõy dựng cỏch giải dạng toỏn này?
Bài toỏn tổng quỏt: Giải phương trỡnh dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e (2)
Với giả thiết a + d = b + c = α
Cỏch giải: (2) ⇔[(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] = e ⇔[x2 + (a + d)x + ad][x2 + (b + c)x + bc] = e ⇔(x2 +αx + ad)(x2 + αx + bc) = e Đặt t = x2 +αx (vỡ x2 + αx = (x + 2 2 2 2 ) Điều kiện t 2 4 4 4 α −α ≥ −α ⇒ ≥ −α )
Khi đú (2) ⇔ (t + ad)(t + bc) = e (Đõy là phương trỡnh bậc 2).
Vớ dụ 5: Từ việc giải cỏc phương trỡnh: a. x4 - 4x3 + 5x2 - 4x + 1 = 0 b. x4 - 2x3 + 5x2 - 2x + 1 = 0
Hướng dẫn học sinh tự đưa ra dạng toỏn tổng quỏt và xõy dựng cỏch giải cho dạng toỏn này?
Loại 1: Phương trỡnh dạng: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a≠0) (3)
Vỡ a≠0 nờn x = 0 khụng là nghiệm của (3). Chia cả hai vế của (3) cho x2 ta được phương trỡnh : ax2 + bx + c + b a2 x x+ = 0 ⇔a(x2 + 12 x ) + b(x + 1 x ) + c = 0 Đặt t = x + 1
x (Điều kiện t ≥2). Khi đú (3) trở thành:
a(t2 - 2) + bt + c = 0 ⇔at2 + bt + c - 2a = 0. Đõy là phương trỡnh bậc hai
Loại 2: Phương trỡnh dạng: ax4 - bx3 + cx2 - bx + a = 0 , (a ≠0) (4) Cỏch giải tương tự như loại 1: Vỡ a≠0 nờn x = 0 khụng là nghiệm của (4). Chia cả hai vế của (4) cho x2 và đặt t = x - 1
x ta được phương trỡnh 2
Khi đó xõy dựng được tường minh cỏch giải cho loại toỏn này thỡ vịờc ỏp dụng giải cỏc bài toỏn cụ thể là khụng khú khăn. Tuy nhiờn là giỏo viờn chỳng ta khụng dừng lại ở đú mà tiếp tục khai thỏc, mở rộng dạng toỏn.
Chẳng hạn giải phương trỡnh : 16x4 - 32x3 + 8x2 + 8x + 1 = 0. Rừ ràng phương trỡnh khụng thuộc dạng phương trỡnh loại 1 hay loại 2 (hay phương trỡnh hồi quy hoặc phương trỡnh phản hồi quy) nhưng cú thể bắt chước cỏch giải hai loại phương trỡnh này.
Thật vậy: Vỡ x = 0 khụng là nghiệm của phương trỡnh đó cho nờn chia
cả hai vế cho x2 ta được : (16x2 + 12
x ) - 8(4x - 1 x) + 8 = 0 Đặt t = 4x - 1 x, khi đú phương trỡnh trở thành: t 2 - 8t + 16 = 0 ⇔t = 4 Trở về giải x ta được : x 1 2 2 ± =
Tổng quỏt hoỏ dạng toỏn? Cú thể nờu ra cỏch giải cho dạng toỏn này được khụng?
Căn cứ vào mối quan hệ giữa cỏc hệ số của phương trỡnh cụ thể trờn 1 16= 2
8 ( )
32
− , cú thể tổng quỏt hoỏ bài toỏn :
Giải phương trỡnh ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (abe ≠0) với giả thiết 2
e d ( )
a = b . Yờu cầu học sinh nờu cỏch giải ? (Đưa về phương trỡnh bậc hai bằng cỏch đặt t x d )
bx
= + .
Lớp cỏc bài toỏn cú thể tổng quỏt hoỏ từ bài toỏn cụ thể, từ đú xõy dựng cỏch giải tương ứng cho dạng toỏn đú là đa dạng và phong phỳ. Giỏo viờn cần khớch lệ học sinh tự tỡm tũi, khỏm phỏ, giỳp họ lĩnh hội kiến thức một cỏch chủ động, sỏng tạo.