Luận văn Xây dựng hàm tử Ext bằng phương pháp phân hoạch các dãy khớp: khái niệm và kết quả của lý thuyết modun, phân lớp các mở rộng, tích mở rộng và các đồng cấu, cấu trúc nhóm Abel cho Ext(C,A), hàm tử Ext, xây dựng Extn(C,A). Mời các bạn cùng tham khảo.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM ooo XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN HOẠCH CÁC DÃY KHỚP NGƯỜI HƯỚNG DẪN : PTS.TRẦN HUYỀN NGƯỜI THỰC HIỆN : LÊ THỊ HOA TP.HCM 1996 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM ooo LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỔ MÃ SỐ: ĐỀ TÀI : XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN HOẠCH CÁC DÃY KHỚP NGƯỜI HƯỚNG DẪN : PTS TRẦN HUYÊN NGƯỜI THỰC HIỆN : LỀ THỊ HOA Người phản biện 1: Người phản biện 2: Luận văn bảo vệ Hổi chấm luận vân Thạc sĩ toán học trưởng ĐH Sư Phạm TP.HCM Ngày tháng năm 1996 MỤC LỤC § KIẾN THỨC CHUẨN BỊ § PHÂN LỚP CÁC MỞ RỘNG § TÍCH MỞ RỘNG VÀ CÁC ĐỒNG CẤU § CẤU TRÚC NHÓM ABEL CHO EXT(C, A) 19 § HÀM TỬ EXT 28 § XÂY DỰNG EXT n(C, A) 33 Xin chân thành cảm ơn thầy, cô trường Đại học Sư phạm Đại học Tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ chúng tơi trình học tập Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn thầy Trần Huyên, người trực tiếp đề tài hướng dẫn suốt trình hồn thành luận văn § KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục dành cho việc nhắc lại vài khái niệm kết lý thuyết modun cần dùng sau : Tổng trực tiếp hai môđun a Định nghĩa : Cho X Y R-mođun Trên tập XxY = {(X y), X ∈ X y ∈ Y} ta định nghĩa phép toán sau : (x1, y1)+ (x2, y2) = (x1 + x2 ,y1 + y2) α ∈ R :α(x,y) = (αx, αy) ∀ x , x , x ∈X.∀ y , y , y∈ Y Khi X xY với hai phép tốc lập thành R-Mođun gọi tổng trực tiếp hai mođun X Y ký hiệu X⊕ Y b Đặc trưng tổng trực tiếp • Ta gọi đồng cấu : Là phép nhúng modun thành phần vào tổng trực tiếp đồng cấu : phép chiếu xuống modun thành phần Mệnh đề 1.1 Các hệ thức: Là đặc trưng cho tổng trực tiếp hai modun X,Y c.Tổng trực tiếp hai đồng cấu Nếu f: X1 Y1, g: X2 Y2 đồng cấu modun : Cũng đồng cấu modun ta gọi đồng cấu tổng trực tiếp hai đồng cấu 2.Dãy khớp • Dãy khớp đồng cấu : Được gọi dãy khớp với n: Im fn-1 = Ker fn (từ hai đầu có) • Dãy khớp S có dạng : Được gọi A kết thúc C có độ dài n Cho dãy khớp S S’ có độ dài n Bộ đồng cấu Trong : A A’ , i : Bi B’i ; i = biểu đồ sau giao hốn : • ; 1: C C’ Được gọi cấu xạ từ S S’ Nếu T dãy khớp khác : Bắt đầu từ C kết thúc D với độ dài m Khi : tích Ionet hai dãy khớp S, T xác định dãy khớp sau : Dĩ nhiên tích S.T A qua trung gian C kết thúc D có độ dài m+n • Tổng trực tiếp hai dãy khớp độ dài n Giả sử S S’ hai dãy khớp có độ dài n : Khi tổng trực tiếp S S’ dãy khớp sau : Khái niệm dãy khớp ngắn : Cho A, B, C R –Modun x : A • Dãy E: A cấu Im = Ker • B Dãy khớp ngắn E : ; :B C R – đồng cấu gọi dãy khớp ngắn C A – đơn cấu , – toàn gọi chẻ B = Im ⊕ B’ B’ hạng tử trực liếp mođun B B Nói cách khác E chẻ Im Mệnh đề 1.2 : Cho f : X → Y g : Y →Z đồng cấu Nếu hợp thành gf : X →Z đẳng cấu thì: a ) g - tồn cấu, f đơn cấu b) Y = Imf © Kerg Mênh đề 1.3 : Cho dãy khớp E:0 A Các phát biểu sau tương dương : i) Dãy E chẻ ii) có nghịch đảo trái, tức tồn đồng cấu p : B iii) có nghịch đảo phải, tức tồn đồng cấu q : C A cho p = 1A B cho q = lC Bổ đề (5 ngắn) Cho biểu đồ R-đồug cấu R-mođun dòng khớp, hai hình vng giao hốn Khi : a) Nếu , - đơn cấu - đơn cấu b) Nếu , - tồn cấu - tồn cấu c) Nếu , - đẳng cấu - đẳng cấu Đồng cấu chéo, cấu tổng : Cho R - mođun A C Đồng cấu c Đồng cấu C :C (c, c) A C⊕C gọi đồng câu chéo :A⊕ A (a1, a2) Mệnh đề 1.4 : Giả sử , A a1 + a2 gọi đồng cấu tổng đồng cấu :A A’ ; : C’ C Thế thì: § PHÂN LỚP CÁC MỞ RỘNG Phần dành cho việc xây dựng tập Ext(C A) Gia sử A C ià mođun vành R có đơn vị Ta gọi mở rộng A nhờ c dãy khớp ngắn R-mođun R- đồng cấu : Tập hợp mở rộng A nhờ C ta ký hiệu D (C A) Một ví dụ mở rộng A nhờ C dãy khớp ngắn : i phép nhúng A vào A ⊕ C π phép chiếu A⊕ C lên C Mở rộng thực chất dãy khớp ngắn chẻ Đôi gọi mở rộng tự phân rã hay mở rộng tầm thường Về lớp mở rộng chẻ, có : Mệnh đề 2.1 : Nếu A rnođun nội xạ C mođun xạ ảnh mở rộng A nhờ C mở rộng chẻ Chứng minh: Để chứng tỏ mở rộng E : → A → B → C → mở rộng chẻ với nội xạ A C xạ ảnh ta chứng tỏ E dày khớp ngắn chẻ Trường hợp C mođun xạ ảnh, ta xét dãy khớp : Do C xạ ảnh nên đồng cấu lC : C → C phân tích qua tồn cấu σ :B → c, ∃h : C → B cho : σ.h = lC Suy h nghịch đảo phải σ Vậy dãy khớp ngắn chẻ Trường hợp A mođun nội xạ dãy khớp : A mođun nội xạ nên đồng cấu A : A A phân tích qua đơn A→ B tức ∃ g : B → A cho : g.χ = lA Suy g nghịch đảo trái χ Vậy E dãy khớp ngắn chẻ cấu Từ mở rộng Ai nhờ Ci (i = ) xử dụng khái niệm tổng trực tiếp hai mơ-đun ta xây dựng mở rộng Cụ thể với mở rộng : ta mở rộng tổng trực tiếp : (1) Định nghĩa hợp lý dãy (1) khớp Thật χ1, χ2 đơn cấu nên χ1⊕ χ2 đơn cấu, σ1 , σ2 toàn cấu nên σ1⊕ σ2 tồn cấu • Ta chứng minh : Im (χ1 ⊕ χ2) - Ker (σ1 ⊕ σ2) Trước hết (σ1⊕ σ2 (χ1 ⊕ χ2) = σ1 χ1 ⊕σ2 χ2 = Suy : Im (χ1 ⊕ χ2) ∈ Ker(σ1 ⊕ σ2) (2) Ngược lại ∀ (b1, b2) ∈ Ker (σ1 ⊕ σ2) thì: (σ1⊕ σ2)(b1, b2) = Suy (σ1 (b1), σ2 (b2)) = (0, 0) tức σ1 (b1) = σ2 (b2) = Dẫn tới : b1 ∈ Ker σ1 = Im χ1 b2 ∈ Ker σ2 = Im χ2 Vậy (b1, b2) ∈ Im(χ1 ⊕ χ2) Nghĩa : Ker (σ1⊕ σ2) ∈ Im(χ1 ⊕ χ2) (3) Từ (2) (3) suy đpcm Cho mở rộng A nhờ c ba đồng cấu : Và = (1A, , lC)- Với : B B’ gọi cấu xạ toàn đẳng biểu đồ sau giao hốn: Khi ta nói E toàn đẳng với E’ ký hiệu E ≡ E’ Ví dụ, từ sơ đồ giao hốn : Trong χ (m) = 2m, i(n) = n với (k) = k ∈ Z2 ; ∀m, n, k ∈ z Ta có E= E’ Ví dụ khơng tồn đẳng mở rộng nguồn & đích xét -2 dãy sau : Trong χ(m) = 3m ∀m ∈ Z phép chiếu tự nhiên từ Z lên Z3 Thật ∃α đẳng cấu : Z Z đế E ≡ E' Z nhóm cyclic với phân tử sinh 1,-1 nên α lz - 1z Cả đẳng cấu khơng làm cho biểu đồ giao hoán Vậy E E' Về tính chất quan hệ tồn đẳng, có mệnh đề sau : Mệnh đề 2.2 : Quan hệ toàn đẳ (C,A) quan hệ tương đương Chứng minh : Với mở rộng E : ta có cấu xạ tồn đẳng đồng nhất: tức E E’ Giả sử: Và E’ : → A B’ C →0 hai mở rộng mà E = E’ nhờ cấu xạ toàn đẳng : = (1 A , lC) Lúc ta có biểu đồ giao hốn : Vậy βχ.= χ'.1A với tích χ-1 A đơn cấu nên β đơn cấu σ' β = 1C σ , với tích lc.σ tồn cấu nên β tồn cấu Từ suy β đẳng cấu Theo bổ đề ngắn β đẳng cấu Suy tồn β-1 : B’→B ta có biểu đồ giao hốn : tức có cấu xạ tồn đẳng : = (1A β -1 lC): E'→ E Điều dẫn đến E ' E hay quan hệ toàn đẳng có tính chất đối xứng Mặt khác ta có E, E', E" ∈ D ( C , A) mà E ≡ E' E ≡ E” nhờ cấu xạ tồn đẳng : Khi : = 1=(lA, β2.β1, lC): E → E'' cấu xạ toàn đẳng E ≡ E', nghĩa quan hệ toàn đắng có tính bắc cầu Vì quan hệ tồn đẳng quan hệ tương đương (C, A) nên thưc phân lớp lặp (C A) Ta gọi tập thương (C, A) theo quan hệ toàn đẳng Ext (C, A) Đó tập lớp toàn đẳng mở rộng A nhờ C mà lớp chứa mở rộng E ta ký E Cls E Đôi không nhầm lẫn ta viết E∈ Ext(C, A) thay cho Cls E ∈ Ext( C A) 34 § XÂY DỰNG EXT n(C, A) Trong phần trên, từ tập hợp mở rộng từ A tới C, tức tập hợp dãy khớp có độ dài ta xây dựng Ext(C, A) Một vấn đề đặt ta tăng độ dài dãy khớp đến số n liệu ta có kết tương tự hay khơng ? Để tìm câu giải đáp tiến hành bước thực Ext (C, A) Ta gọi mở rộng độ dài n A kết thúc C dãy khớp S có độ dài n Các R-mođun R-đồng cấu : Tập tất mở rộng độ dài n bắt đầu A kết thúc C ta ký hiệu (C, A) Trong trường n = tập ( C, A) mà ta nói §2 Bây ta ký hiệu Ck = Ker k = Im k+1 k : Bk Im k = Ck -1 mà k (b) = Bk-1 phép nhúng ta có dãy khớp ngắn sau : k(b) ik : Ker k mở rộng S phân tích thành Ionet E1như sau : Giả sử S S' thuộc n (C A) Ta gọi S S' chập tồn cấu xạ : Hoặc cấu xạ Khi ta ký hiệu S ~ S’ Ta nhận thấy s s' có dạng phân tích : 35 S = En.En-1…… E1, S’ = E’n.E’n-1….E’1 cấu xạ dãy cấu xạ : :S S’ phân tích thành Ở β*k đồng cấu cảm sinh bời βk : Bk →B’k Rõ ràng quan hệ chập (C, A) có tính chất phản xạ đối xứng khơng có tính bắc cầu để tương đương hóa quan hệ ta cần tới định nghĩa sau : Cho S,S' ∈ n(C, A) S gọi toàn đẳng với S' tồn dãy hữu hạn mở rộng n - dài: S0 = S, S1…Sk = S' cho ∀ i ≥ i < k Si Si+1 chập Nếu S tồn đẳng S' ta viết S≡S' Quan hệ toàn đẳng n (C, A) quan hệ tương đương chứng minh : Mệnh đề 6,1 : Quan hệ toàn đẳng quan hệ tương đương n(C, A) Chứng minh : Tính chất phản xạ quan hệ ≡ hiển nhiên Tính chất đối xứng : Giả sử S ≡ S' theo định nghĩa, tồn dãy hữu hạn : S0 = S,S1 Sk = S' cho ∀ i ≥ i < k Si ~ Si+1 ta có dãy : S1 = Sk, Sk-1, S1 S0 = S ∀k > i Si+1 ~Si Suy S' ≡ S Tính chất bắc cầu : Giả sử S ≡ S' S ≡ S" tồn dãy hữu hạn : S= S0, S1, ,Sk-1.Sk = S' cho : Si ~ Sj+1 ∀ i ≥ i < k dãy hữu hạn : S'= Sk,Sk+1, .Sn-1.Sn = S" cho : Si ~ Sj+1 ∀ j ≥ 0, j< n n 36 Suy tồn dãy hữu hạn : S = S0, S1…… Sk-1 S' = Sk Sk+1……Sn = Sn cho Si~ Si+1 ∀i≥ Suy S ≡ S’’ Vì quan hệ toàn đẳng quan hệ tương đương n(C, A) nên thực phân lớp tập n(C, A) Ta gọi tập thương n(C, A) theo quan hệ tồn đẳng Extn(C A) Đó tập lớp toàn đẳng mở rộng từ A tới C có độ dài n Mỗi lớp chứa mở rộng S, ta ký hiệu , khơng sợ nhầm lẫn ta viết S ∈ Extn (C, A) thay cho : S ∈ Extn(C, A) Mệnh đề sau cho ta định nghĩa tương đương với định nghĩa toàn đẳng Mệnh đề 6.2 Cho S = En, En-1 E1 S' = E'n E'1 hai dãy n – dài, A kết thúc C đố S' suy từ S số hữu hạn thay đổi sau : i)Thay cụm Ei,Ej-i = (E γ).E' cụm E'i.E'i-1 = E.(γE') ii)Thay cụm Ej.Ei-1 = E.(γE' ) cụm E'i.E'i-1 =(Eγ).E' Khi : S ≡ S' Ngược lại có S ≡ S' S thu từ S' S' thu từ S cách sử dụng số hữu hạn thay Chứng minh a) Ta chứng minh S' suy từ S nhờ thay i) ii) S ≡ S' i )Giả sử : Khi S ~ S' theo cấu xạ : S → S’ = (1A.1Bn-1, β,β’ 1C) Trong β, β' mô tả sơ đồ sau 37 ii) Giả sử : Khi S ~ S’ theo cấu xạ : S’ → S = (1A,1Bn-1, …, β,β’….1C) Trong β,β’ mô tả sơ đồ sau : b)Ta chứng minh điều ngược lại : Nếu S ~ S' S' suy từ S hữu hạn thay i) ii) - Trong trường hợp S S’ chập theo cấu xạ : S →S’ Xét biểu đồ giao hốn sau : Do hình vng thứ (n) giao hốn nên : En = E,n βn-2 Suy En En-1 = (E’n βn-2).En-1 Ta chuyển S tới S1 nhờ thay : (E’n βn-2).En-1 E’n(β*n-2.En-1) có S1 = E’n(β*n-2.En-1).En-2… E1 Do hình vng thứ (n-1) giao hốn nên theo bổ đề mệnh đề 3.10 ta có : β*n-2 En-1 E’n-1 Β*n-3 Suy (βn-2En-1).En-2 (E’n-1 β*n-3).En-2 Ta thay (E’n-1 Β*n-3),En-2 E’n-1(β*n-3.En-2) chuyển S1 tới S2: S2 = E’n E’n-1(β*n-3.En-2) En-3….E1 Tiếp tục làm tương tự với cá khối (n-2),…., (2) ta chuyển S2 tới S3… tới Sn-1 với: Sn-1 = E’n.E’n-1….E’E’2.( β*1.E1) Do khối (1) giao hoán nên E'1 ≡ β*0E1 Thay β0*E1 E'1 ta chuyển Sn-1 tới Sn = S' = E'n.E'n-1 E'2 E1' : 38 Như n bước thay dạng1 ta có dãy S' suy từ S • Còn S S' chập theo ’: S' → S sử dụng dạng thay ii) tiến hành tương tự ta có kết mong muốn Để trang bị cho Extn (C, A) phép tốn hai ngơi, ta cần định nghĩa tích mở rộng n - dài với đồng cấu Giả sử S mở rộng n- dài : S phân tích dang: Ta gọi tích bên trái mở rộng s với đồng cấu α mở rộng mà ký hiệu α S xác định bởi: αS = (αEn).En-1 E1, α En xác định § tích bên phải S với đồng cấu α , ký hiệu Sα : Sα = En E2(E1α );E1α xác định § Từ định nghĩa dễ dàng suy với đồng cấu α : A→ A' γ: C'→ C dãy n-dài ta ln có : (α S)γ≡ α (Sγ) Các định nghĩa phát biểu lớp mở rộng Extn (C, A), nghĩa ta xác định tích đồng cấu với lớp mở rộng S hệ thức : α = γ = Định nghĩa không phụ thuộc vào lớp đại diện Điều suy từ mệnh đề sau : Mệnh đề :6.3 Nếu S S' ∈ n(C, A) mà S ≡ S' αS ~ αS' S γ ≡ S’ Α: A A’ γ: C’ C đồng cấu Chứng minh : a) Ta cần chứng minh S ~ S1 αS ~ αS' nghĩa ta phải tồn cấu xạ ( 0, n-1, … 1): αS → αS’ Thật vậy, giả sử S ~ S’ nhờ cấu xạ : ( n, n-1,… , 1) : S →S’, : n = (1A, ’’, γ) : En → E’n Do định nghĩa αEn αE’n ta có cấu xạ : Suy có cấu xạ ’ : En → αE’n = *0 n = (α, ’ ’’, γ ) 39 Theo mệnh đề 3.7 tính phổ dụng αEn cấu xạ qua * sau : = (α,β',β",γ) phân tích Nói cách khác , tồn cấu xạ = (1A’, β*, γ) : αEn → αE’n Kết hợp lại ta có cấu xạ ( 0, n-1, 1) : αS→αS '; 1A kết thúc 1C Vậv αS ~ αS ' b) Ta cần chứng minh S~ S’ Sγ ~ S'γ Để chứng tỏ Sγ~ S’γ ta phải có cấu xạ : ( n, n-1, , γ1): Sγ →S’γ Thật giả sử S ~ S’ nhờ cấu xạ : = ( n, n-1,…, 1) : S →S’ Trong : = (β*0, β0, 1C) : E1→ E1’ Theo định nghĩa E1γ E’1γ , tồn cấu xạ : * = (1Ker α0, β1,γ) : E’1 γ → E1 Và *0 = (1Ker α’0, β2,γ) : E’1 γ → E’1 Gọi ’ = * = (β*0, β1 β0, γ ): E1 →E’1 Do tính đối phổ dụng E’1 γ(mệnh đề 3.3), tồn cấu xạ : γ γ γ = E1 γ → E γ cho ’ = *0 ’1 với = (β*0, β3, 1C’) γ Do vậy, tồn cấu xạ = ( n, n-1,… , 2, 1): S γ → S’ γ mở đầu 1A kết thúc lC’ Vậy S γ ~ S’ γ Liên quan tích bên trái bên phải đồng cấu với mở rộng n -dài ta cố : Mệnh đề 6.4 : Cho cấu xạ dãy n- dài : Khi ta có : αS S’α Chứng minh : Giả sử S = En.En-1 E1 S’ = S’nE’n-1 E’= hoán sau : : S → S’là cấu xạ nên từ biểu đồ giao 40 Khi áp dụng mệnh đề 6.2 3.10 thì: Trên Extn (C, A) ta xác định phép toán cộng cho hai lớp S, S’ sau : Giả sử S,S’ Extn(C, A) ta định nghĩa : S + S’ = A(S ⊕ S’)∆C Định nghĩa hợp lý S S1 S’ S’1 hiển nhiên : S⊕ S' ≡S1⊕ S’1 Từ theo mệnh đề 6.3 ta suy kết phép tốn khơng phụ thuộc vào đại diện lớp Hơn ta có : Mệnh đề 6.5 : Extn(C, A) với phép cộng xác định nhóm Abel Chứng minh : Ta kiểm tra Extn (C, A) thỏa tiên đề : a) Tiên đề giao hoán : Giả sử S1, S2 ∈ Extn(C, A) mà: Để chúng tỏ S1 + S2 = S2 + S1 ta phải chứng minh : (1) Xét sơ đồ sau : Trong : A(a1, a2) = (a2, a1) ; C(c1, c2) = (c1, c2) k(b, b’) = (b’, b) k ∈ {0, 1, 2….}, b ∈ Bk, b’∈ B’k 41 Dễ thấy hình vng giao hốn Vì = (δA, βn-1……β0, δC) cấu xạ : S1⊕S2 → S2⊕S1 Theo mệnh đề 6.4 : δA(S1⊕S2) ≡ (S2⊕S1).δC Theo mệnh đề 6.3 Thì: δA(S1⊕S2) ≡ (S2⊕S1).δC suy : A[δA(S1⊕S2)] C ≡ A[(S2⊕S1).δC] C Tuy nhiên ta có : A δA = A δC C = C Vì A(S1⊕S2) C ≡ A (S2⊕S1) C Tức S1 + S2 = S2 + S1 b) Tiên đề kết hợp : Cho ba phần tử Extn(C, A) : Khi : : Để chứng minh tính kết hợp ta cần : A(En ⊕ ’n) ⊕ ’’n ≡ En ⊕ [ A(E’n ⊕ ’’n)] Và: {[(E1⊕ ’1) C] ⊕ ’’1} C ≡ [E1 ⊕ ’1 ⊕ ’’1) + Ta chứng minh (II) : Từ sơ đồ giao hoán : [I] C] C C] C [II] Ta lập sơ đồ giao hốn sau: Từ ta có : [(E1⊕ ’1) C ⊕ ’’1] C ≡ [(E1 ⊕ ’1 ⊕ ’’1] (*) 42 Mặt khác từ sơ đồ giao hốn : Ta có sơ đồ giao hốn sau : Từ suy : {E1 ⊕[E’1⊕E’’1) C ]} C = [E1 ⊕(E’1⊕E’’1)](1C⊕ C) C (**) Theo mệnh đề 1.3 : ( C ⊕ 1C) C = (1C ⊕ C) C tổng trực tiếp có tính chất kết hợp nên từ (*) (**) suy : +) Ta chứng minh (1): Từ định nghĩa tích bên trái ta có sơ đồ giao hốn : Từ ta có sơ đồ giao hoán sau : Sơ đồ giao hoán cho ta Tương tự từ sơ đồ giao hoán : Ta suy sơ đồ giao hoán sau : 43 Và ta có : {En ⊕[ A(E’n⊕E’’n )]} [ A(1A⊕ A)]{En ⊕(E’= ⊕E’’n)} Do tổng trực tiếp có tính chất kết hợp theo mạnh đề 1.3 thì: A( A⊕1A) = A(1A ⊕ A) Nên từ () () ta suy : () A c) Chứng minh Extn (C, A) có phần tử khơng lớp có đại diện : Để chứng minh điều ta : ∀ S ∈ Extn(C, A) S0 + S = S Giả sử: S: A Bn-1 … A = A Ta có : Khi S0 ⊕ S phân tích sau : Đặt Khi ta viết: S0 ⊕ ⊕ A Bn-1 ⊕ n-2 0) En-1… 2.(0 Đặt Khi ta viết : Vậy để chứng minh S0 + S = S ta cần chứng minh Xét sơ đồ sau : Xét sơ đồ sau : C0 ⊕ ⊕ 0) 44 Trong (a, b) = n(a) + b ; ∀a, b ∈ A ⊕ Bn-1 Sơ đồ giao hốn vì: Suy hình vng I giao hốn Suy hình vng II giao hoán Từ sơ đồ giao hoán ta suy : En.1Cn-2 = En A E’n Mặt khác xét sơ đồ : Trong (b’) = ( 0(b’), b’), ∀b’ ∈ B0 Sơ đồ giao hốn vì: Từ ta suy : E1 ≡ E'1 ∆C Suy điều phải chứng minh c) d)Ta chứng minh tồn phần tử đối : ∀ S ∈ Extn (C, A), ∃S(-1C) cho : S + S(-1C) = S0 Giả sử S = En En-1… E2.E1 45 S + S(-1C) = [ A(En ⊕En)].(En-1⊕En-1)….(E1⊕E1(1-C)) Trong : Theo mệnh đề 3.10 ta có : En Cn-2 ; Ck-1 (Ek⊕Ek) A(En ⊕En) Sử dụng hệ thức ta có : Theo kết Ext1(C, C0) : C0 [E1 ⊕ E1(-1C)] Ta coi đại diện phần tử không : Khi ta viết S + S(-1C) sau : Xét sơ đồ sau : Biểu đồ giao hỗn vị: - Hình vng thứ n giao hốn : - Hình vng thứ (n -1} giao hốn Các hình vng n-2 n-3……2 giao hốn ( dễ thấy) C phần tử không Ext(C, C0) 46 - Hình vng thứ (0) giao hốn) : Do S + S(-lC) ~ S0 suy : S + S(-lC) = S0 Như ta trang bị cho Extn(C, A) cấu trúc nhóm Abel Hơn ta xây dựng hàm tử Extn tương tự §5 Để làm điều ta cần tới mệnh đề sau : Mênh đề 6.5 Cho α : A → A' γ: C’ → C đồng cấu mođun Khi qui tắc : α * : Extn(C, A) → Extn(C, A’) S α*(S) = αS : * : Extn(C, A) → Extn(C’, A) S * (S) = S đồng cấu nhóm Chứng minh : a)Trước hết α * * ánh xạ với S ∈ Extn(C, A) ln có αS S xác định theo định nghĩa Hơn với S’ S αS αS’ S S’ (theo mệnh đề 6.3) n b) Bây ta ∀S, S’ ∈ Ext (C, A)thì : α*(S + S’) = α*(S) + α*(S’) tức : [α A(En ⊕ E’n)]…(E1 ⊕E1’) C [ A’(αEn ⊕ αE’n)]….(E1 ⊕ E’1) C Để chứug minh điều ta cần tới : α A(En ⊕ E’n) A’(αEn ⊕ αE’n) Theo mệnh đề 3.8 : α(En ⊕ E’n) (α ⊕ α).( En ⊕ E’n) nên A’(αEn ⊕ αE’n) A’(α ⊕ α).( En ⊕ E’n) theo mệnh đề : A’(α ⊕ α) = α A Vậy : α[ A( En ⊕ E’n)] hay A’(α ⊕ α).( En ⊕ E’n) α [ A( En ⊕ E’n)] A’(αEn ⊕ αE’n) Suy α* (S + S’) = α*(S) + α*(S’) 47 c ) Để chứng minh (S + S’) = *(S) + *(S’) Ta chứng minh: A(En ⊕ E’n)…[ (E1 ⊕ E’1) C] A(En ⊕ E’n)….(E1 ⊕E’1 thực chất cần chứng minh : [(E1 ⊕ E’1) C] (E1 ⊕ E’1 ) (*) C Theo mệnh đề 3.4 thì: E1 ⊕ E’1 (E1⊕E’1).( ⊕ ) Nên vế phải (*) viết VP = (E1 ⊕ E’1 ) C’ (E1⊕E’1) ( ⊕ ) Theo mệnh đề 1.4 : (E1⊕E’1).( ⊕ ) Vậy ta suy (*) tức- đpcm C’ (E1⊕E’1) C’ = VT C’ ) C’ 48 SÁCH THAM KHẢO Ngô Thúc Lanh - Đại số - Nhà xuất giáo dục - 1985 Sze-Tsen Hu - Nhập môn đại số đồng - Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp - 1973 S Maclaiie - Homology New York - 1963 SergeLang - Đại số - Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp - 1974 (Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ dịch) H - Cartan and s Eilenberg - Homological Algebra Princeton University Press - 1956 ... TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM ooo LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỔ MÃ SỐ: ĐỀ TÀI : XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN HOẠCH CÁC DÃY KHỚP NGƯỜI HƯỚNG DẪN : PTS TRẦN HUYÊN NGƯỜI THỰC... tiếp hai dãy khớp độ dài n Giả sử S S’ hai dãy khớp có độ dài n : Khi tổng trực tiếp S S’ dãy khớp sau : Khái niệm dãy khớp ngắn : Cho A, B, C R –Modun x : A • Dãy E: A cấu Im = Ker • B Dãy khớp. .. hai đồng cấu 2 2 .Dãy khớp • Dãy khớp đồng cấu : Được gọi dãy khớp với n: Im fn-1 = Ker fn (từ hai đầu có) • Dãy khớp S có dạng : Được gọi A kết thúc C có độ dài n Cho dãy khớp S S’ có độ dài