Đề tài Hàm lồi trên không gian tuyến tính định chuẩn đưa ra những kiến thức cơ bản về hàm lồi và không gian tuyến tính định chuẩn, tập trung nghiên cứu sâu về các tính chất của hàm hồi trên không gian tuyến tính định chuẩn. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1
DAI HOC DA NẴNG
TRUONG DAI HOC SU PHAM
NGO HOANG THUY HIEN
HAM LOI
TREN KHONG GIAN TUYEN TINH DINH CHUAN
LUAN VAN THAC Si KHOA HOC
Da Nang - Nam 2020
Trang 2DAL HQC DA NANG
TRUONG DAI HOC SU PHAM
NGO HOANG THUY HIEN HAM LOI TREN KHONG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN Ngành: Toán Giải tích Mã số: 8.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Nhật Quy
Trang 3Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công
Trang 4TRANG THONG TIN LUAN VAN THAC Si
Tên đề tài: HÀM LỎI TRÊN KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẦN
Ngành: Tốn Giải tích
Họ và tên học viên: NGƠ HỒNG THÚY HIEN
Người hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG NHẬT QUY Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng
Tóm tắt:
* Những kết qua chính của luận văn
„ Đề tài “Hàm lồi trên không gian tuyến tính định chuẩn” đã đạt được một
Ố kết quả sau đây:
~ Hệ tỈ quả về không gian tuyến
tính, chuẩn, không gian tuyến tính định chuẩn và tập lồi, hàm lồi và một số kết quả liên quan trên trên không gian tuyến tính định chuẩn Các kết quả được trình
bày ngắn gọn, logic với các chứng minh rõ ràng
- Nghiên cứu các tính chất của hàm lồi trên không gian tuyến tính định chuẩn như tính liên tục, tính chất của dưới vi phân, đạo hàm theo hướng của hàm
* Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Kết quả nghiên cứu của luận văn sẽ là tài liệu tham khảo tốt cho các bạn sinh viên và học viên cao học muốn nghiên cứu về hàm lồi và các tính chất của nó trên các không gian khác nhau mà đặc biệt là không gian tuyến tính định chuẩn
* Hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài
Tập trung tìm hiểu chuyên sâu về từng tính chất của hàm lồi trên không gian tuyến tính định chuẩn
Từ khóa: hàm lồi, tuyến tính định chuẩn, khả vi, dưới vi phân, hàm lồi trên
không gian tuyến tính định chuẩn
Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Người thực hiện đề tài
h4
⁄⁄“— ae
Trang 5Major: Mathematical Analysis
Full name of Master student: NGO HOANG THUY HIEN Supervisors PhD HOANG NHAT QUY
Training institution: The Univesity of Danang — Univesity of Science and
Education
Abstract
* The main results of the thesis
The topic "Convex function on a normed linear space" has achieved the following results:
- Systematize the definition, give examples and some results about linear space, norm, normed linear space and convex set, convex function and some related results on normed linear space The results are presented in a concise, logical manner with clear proof
- Research on the properties of convex function on normed linear space such as
continuity, subdifferential properties, derivative direction of convex function
* The scientific and practical significance of the topic:
The research results of the thesis will be a good reference for the students and graduated students who want to study the convex function and its properties on
different spaces, especially normed linear space
*The next research direction of the topic:
Focus on in-depth research on each property of a convex function on a normed linear space
Key words: convex function, normed linear space, differential, diferentiability, convex function on a normed linear space
Supervior’s confirmation Student
fle
Trang 6LOI CAM ON
Lời đầu tiên của luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Hoàng Nhật Quy đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá
trình thực hiện để em có thể hoàn thành được luận văn này
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô giáo đã tận tình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập của khóa học
Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị, các bạn trong lớp Toán Giải tích K36 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp
Mw
Trang 7MUC LUC
Chương 1 Một số khái niệm mở đầu 4 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn cài " 4
1.1.1 Không gian tuyến tinh 4 1.1.2 Chuẩn : : 7 8 1.1.3 Không gian tuyến tính định chuẩn sọ " 10 1.2 Tập lồi - Hàm lồi " " " 13 1.2.1 Tập lồi 13 1.2.2 Hàm lồi 16 Chương 2 Tinh chất của hàm lồi trên không gian tuyến tính định chuẩn cv cv vn vs ra 22
2.1 Tính liên tục của hàm lồi „99
2.2 Dưới vi phân của hàm lồi cà " " 26
2.3 Hàm lồi thuần nhất dương, " se tê 32
2.4 Dạo hàm theo hướng 37
2.5, Tinh khả vi của hàm lồi 44
Trang 81 DANH MỤC KÝ HIỆU ” § =|-œ, +œ] H OA A intA E ri(A) B,(a) af f(A) Co(A) B,(a) B,(a) dom(/) epi(f) grap h(f) af(a) Tập hợp các số thực Bao đóng của tập hợp các số thực Ánh xạ đồng nhất trong R" Biên của 4 Bao đóng của A Phần trong của 4 Không gian đối ngẫu
Phần trong tương đối của A Hình cầu mở tâm a bán kính r
Bao affine cia A Bao lồi của 4
Trang 9MỞ ĐẦU
1 Tính cấp thiết của đề tài
Lý thuyết về các tập lồi và hàm lồi có một vai trò và vị trí quan trọng, trong Toán học, nó liên quan đến hầu hết các ngành của Toán học như
giải tích hàm, toán kinh tế, giải tích lồi, hình học, Hàm lỗi là một chủ
đề hấp dẫn với nhiều kết quả phong phú và luôn thu hút sự quan tâm của
nhiều nhà nghiên cứu Toán học
Các tính chất của hàm lồi trên không gian I cũng đúng đối với không gian Eclide n—chiéu JR" Tuy nhiên đây chỉ là một điển hình tiêu biểu cho
các không gian n—chiều khác, và không gian tuyến tính định chuẩn là phù
hợp hơn hẳn để nghiên cứu và khái quát các tính chất của hàm lồi một cách tối ưu Và điều này còn có ý nghĩa hơn khi lý thuyết về không gian
tuyến tính định chuẩn được phát triển một cách mạnh mẽ trong thời gian gần đây Do đó, tôi đã chọn đề tài "Hàm lỗi trên không gian tuyến
tính định chuẩn", với mục đích nghiên cứu và khám phá vẻ đẹp của hàm lồi cũng như giúp độc giả có được góc nhìn tổng quát về các tính chất của
hầm lồi trên các không gian khác nhau
Trong luận văn này, tôi đưa ra những kiến thức cơ bản về hàm lồi và không gian tuyến tính định chuẩn, tập trung nghiên cứu sâu về các tính
chất của hàm lồi trên không gian tuyến tính định chuẩn
Hy vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên các trường Đại học, Cao đẳng
3, Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là:
~ Tính liên tục của hàm lồi trên không gian tuyến tính định chuẩn
~ Dưới vi phân của hàm lồi
~ Hàm lồi thuần nhất dương
- Dao ham theo hướng của hầm lồi ~ Tính khả vi của hàm lồi
4 Phạm vi nghiên cứu
Trang 103
hệ thống các khái niệm và tính chất của hàm lồi, không gian tuyến tính định chuẩn, và nghiên cứu về một số tính chất của hàm lồi trên không gian tuyến tính định chuẩn
5 Phương pháp nghiên cứu
e Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu
tiếng anh, tiếng việt, và các bài báo mới
e Trao đối, thảo luận với cán bộ hướng dẫn, để cải tiến, thiết lập các
kết quả tốt hơn
6 Tổng quan tài liệu nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu thuộc chuyên ngành toán giải tích Cụ thể, đề tài sẽ
hệ thống các khái niệm và tính chất của hàm lồi, không gian tuyến tính
định chuẩn, và nghiên cứu về một số tính chất của hàm lồi trên không gian tuyến tính định chuẩn
Luận văn có thể giúp các bạn sinh viên xem như tài liệu tham khảo
những kiến thức liên quan đến hàm lồi trong quá trình học tập bộ môn
Trang 11Chương 1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
Chương này sẽ trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho việc trình bày các kết quả ở chương sau bao gồm: nhắc lại khái niệm và cho một số ví dụ
về không gian tuyến tính, chuẩn trên không gian tuyến tính và không gian
tuyến tính định chuẩn; trình bày khái niệm tập lồi, hàm lồi và một số kết quả liên quan trong ngữ cảnh của không gian tuyến tính định chuẩn Một số ví dụ mỉnh họa sẽ được cho trên các không gian tuyến tính định chuẩn
cơ bản như R", L?, , Các kết quả của chương này được tham khảo từ các
tài liệu [1, 2, 3, 4|
1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn
1.1.1 Không gian tuyến tính
Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X khác rỗng và trường số K € {R,C} Ta định nghĩa hai phép toán như sau
Với mọi z,u € X;œ € EK, ta có phép cộng: XxX3X (#,9) arty và phép nhân vô hướng: KxX3X (a,2) 4 ae
Tập hợp X cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian tuyến
tính nếu thỏa mãn các tiên đề sau:
Trang 125 2 (z+)+z=z+(W+z) VayzEX 3 30€ X;z+0=U+z=z.Vr€eX 4.Vre€X,3-z€X:z+(-z)=0 5, a(# +) = a# + au,V+, € X,Va €K 6 (œ+)z = a+ + Br, Vr € X,Va,8 €K 7 (a8)a 8 le=a2,Vr EX =a(đz).Vz € X,Va, 8 eK
- Nếu K —R thì X được gọi là không gian tuyến tính thực - Nếu K =C thì X được gọi là không gian tuyến tính phức Ví dụ 1.1.1 Không gian R", với x = (21, 22, 2n),Y = (yi, Yor -s Yn)
cùng với hai phép toán cộng và nhân vô hướng được định nghĩa như sau: BH y= (er + Yrs n+ Yn) œz„),Va € K ar = (az, Ta có thể ki:
gian vectơ, thật vây: với mọi # = (ZI.Z2,
Trang 13=a(ri+yi,- ,2n + Yn) + (tn + Yn)) (8n + đa) ++;n) -F đ(I, - ‹ › Yn) 6 (œ+)z + +52n) =((a+)zì, , (w + 8)#a) = (ai + đi, đen + 8zn) = ar + Br 1 (a8)# = (a8)(u, - #n) = (ađãi, ,aÖza)
Ví dụ 1.1.2 Không gian l° = {z = (z,) : z„ € R.) 2P, |za|?P < +00},
ở đây 1< p< +, với hai phép toán cộng dãy số và nhân vô hướng với
dãy số được định nghĩa như sau:
++ự = (8, + tu) và a+ = (san), Va € K
Khi đó, i” là là một không gian tuyến tính Trước hết ta chứng mỉnh với
+ = (#n), = (na) € ÍP thì z + = (#„ + yn) cũng thuộc /?, that vậy, ta có
n+ Ynl < lanl + lưa| < 2max(|zn|, |y|) Suy ra
len + 0|" < 2f[max(|za| |a|)Ì? < 2f(|za|P + lun|P)-
Vậy ta có
Dore tụi < (Sen + Š lái ) <
Trang 141 r+y= (an) + (yn) = (yn) + (@n) = y +2 2 (+) +z= ((en) + (yn) + (Zn) = (tn) + ((Yn) + (2n)) =z+(+z) 3 30€X:z+0=(z„)+0 =0+(n) =+z=r 4 Vre€X,3—z€X:z+(T#z) = (#u) + (—zn) =0 5 a(z +) = a((n) + (wa)) = a(t) + a(Yn) =ar+ay 6 (a+ B)x = (a+ B)(an) = a(n) + (2n) =ar + Br 1 (a8)z = (a8)(#a) = (a(đ(z„))) =a(8z) § lư=
Ví dụ 1.1.3 Cho © là một tập mở trong R* và ¿ là độ đo Lebesgue trên R" Khơng gian /(©) là họ các hàm số ƒ(z) có lũy thừa bậc p (1 < p < %)
khả tích theo độ đo ø trên © tức là
[162004 << d
Trén L?(Q) xét hai phép toán cộng các hàm và nhân vô hướng một số và một hàm t heo nghĩa bình thường Khi đó, có thể kiểm tra lại rằng ?(©) là
khơng gian tuyến tính Chú ý rằng, với ƒ(z).ø(z) € (9) thì ƒ(z) + ø(z) cũng thuộc vào I"(9) Thật vây
|/(z) + ø(z)| < 2max{|/(z)| |ø(z)|}
Trang 15Do 46, |f(x)|?,|g(x)|? khả tích thi |ƒ(2) + g(x)|? cũng khả tích, hay F(x) + g(x) € (9) Mặt khác, nếu ƒ(z) € L°(Q), a € R thi laf (z)|? = |a|P - |ƒ(z)|? khả tích nén af(x) € 1(9) Từ đó suy ra 17(O) là không gian tuyến tính
Ví dụ 1.1.4 Tương tự các ví dụ trên, không gian C[a,b] = {z : [a,b] + R, z là liên tục}, cùng với hai phép toán cộng hai hàm số và nhân vô hướng giữa một số và một hàm số theo nghĩa bình thường cũng là một không gian tuyến tính 1.1.2 Chuẩn Sau đây ta sẽ định nghĩa khái niệm chuẩn trên không gian tuyến tính thực
Định nghĩa 1.1.2 Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường số thực R Mot chuẩn trên X là ánh xạ, ký hiệu ||.||, xác định trên X và nhận
giá trị thực thỏa mãn các tính chất sau: 6) llzl| >0.Vz e X llzll=0 œz=0 (i) lex] (iii) [Je + yl] < lll] + llyl] Var, y € X + |v], Wa € X,Va ER
Hai chuẩn ||.|| và ||.||s trên không gian tuyến tính X được gọi là tương
đương nếu tồn tại hai số mm, M > 0 sao cho
mllzlli < |le|b < Mllz|li,Vz X
Sau đây là một số ví dụ về chuẩn trên một số không gian tuyến tính
quen thuộc
Trang 166) Mell = Jaa] + [ea]
That vậy, ta kiểm tra 3 tinh chất của chuẩn Với z = (z\.Z2), =
(y1,y2) € RP
1
Wiel]: = lea] + [ea] > 0,Vz e RẺ
lzlli =0 @ |zi| + |za| = 0 2 = 22 =0 2 =0
2
llazlli = lla(zi.z2)lli = |aza| + |aza|
=lallzal # lallza|
=lal(lzI + |za|) = lalllzlli-
3 llr+lli = lẽitwi|+|ra+ga| < |ei|+|g|+|+a|+|w| = llzlli+llgllì
(ñ) llz|ls = max{|z:| |za|} Thật vậy, ta kiểm tra 3 tính chất của chuẩn
Trang 17War + yll3 = (er + yn)? + (@2 + yp)? = 1Ï + z? + 2m + Qroye + yt + yo 2 2 < (vi +8) +2V? +zavVM +›+ (via + 2) 2 < (/4+4+ vit +#) = (lzlls + llvlls)? Vậy ta có || + ylls < |lzlls + |lv|ls-
Chú ý 1.1.3 Có thể chứng minh được rằng các chuẩn ||.|lu, ||-|Ìs ||.|ls trên
R? ở trên là tương đương, cụ thể:
lzlls < llzls
< lelh < ?lzlls
Các chuẩn này và sự tương đương giữa chúng có thể được mở rộng một
cách tự nhiên cho không gian R",Vn > 1
Ví dụ 1.1.6 Sau đây là một số chuẩn trên các không gian tuyến tính quen thuộc khác i Không gian l",1< p< œ: Với z = (z„) € Í? ta có chuẩn Hall? = So lanl’ ii, Khong gian L?(Q),1 < p < co: Véi f(x) € L7() ta có chuẩn is = fisceyPan iii Không gian các hàm số liên tục Ca,ð]: Với x(t) € Cla, b] ta có chuẩn lle = max{|z(0)|.t € [a, ð]}
1.1.3 Không gian tuyến tính định chuẩn
Định nghĩa 1.1.4 Một không gian tuyến tính với chuẩn || - || được xác định trên nó được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn Kí hiệu (X, ||-||)
Trang 1811
Ví dụ 1.1.7 (ï) Không gian tuyến tính R*" với chuẩn
llell =, ts
lập thành một không gian tuyến tính định chuẩn
(i) Không gian tuyến tính C[a,b với chuẩn
lzll= max Je0)
lập thành một không gian tuyến tính định chuẩn
(ii) Không gian tuyến tính Cứ „ với chuẩn 6 J0 lập thành một không gian tuyến tính định chuả lle ) Không gian 1?,1 <p < %, # = (z„) € ÍP với chuẩn ill? = So Leal’, n=l
lập thành một không gian tuyến tính định chuẩn
(v) Không gian /7(9),1< p< so, f(x) € L"(Q) với chuẩn
FIP = Is |/(z)|?du
lập thành một không gian tuyến tính định chuẩn Trong trường hợp 2 = [a,b] và p= 1 thi ta 6 L'((a,0)) = Ch»
Trang 19Ví dụ 1.1.8 Các không gian tuyến tính định chuẩn
RB", Cla,b], Chi, É", J/(9) với (L<p< %)
như trong Ví dụ 1.17 đều là các không gian Banach
Định nghĩa 1.1.6 Cho không gian tuyến tính định chuẩn (X, ||:||) va Xo
là một không gian vectơ con của X, Kí hiệu ||- || là thu hẹp của ||- || trên
Xp thi ||- |[ạ là một chuẩn trên Xọ Khi d6 (Xo, || - |u) được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn con của (X, || ||)
Định nghĩa 1.1.7 Cho X,Y là các không gian tuyến tính định chuẩn Ánh xạ A: X —> Y gọi là một phép đồng phôi tuyến tính nếu nó là ánh xạ tuyến tính và là một phép đồng phôi, tức là 4 là một song ánh và A, 4“ là các ánh xạ liên tục
Hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Ÿ' được gọi là đồng phôi với nhau nếu tồn tại một phép đồng phôi từ không gian này lên không gian kia
Kết quả sau đây cho ta mỗi quan hệ giữa các không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều
Định lý 1.1.9 Mọi không gian tuyến tính định chuẩn thực n chiều đều đồng phôi tuyến tính uới không gian R"
Trang 2013 là phép đồng phôi Thật vậy, với # = (x, Seve <5 =1 la < (Sie)! (Si) Mill ¿=1 tn) € ÏR" ta có II4(2)|| = llzll = trong đó, M= (x Iai?) Vậy 4 là ánh xạ tuyến tính bị chặn Theo Dinh ly 7.2 trong [2| thì 4 là ánh xạ tuyến tính liên tục Gọi / là hình cầu đơn
rong không gian R" Xét hàm số
ƒ(#) = f(m za) = ||4(®)|| = lx|| = |I $2z¡ei|,Vẽ eR" ra
Theo tính chất của chuẩn nên ƒ là hàm số liên tuc trén B Do d6, f dat
giá trị nhỏ nhất là m trên Ö và từ định nghĩa của ƒ suy ra mm > 0 Vậy ta có
|LA(Z)l| > mm, với mọi # € B
Giả sử z € R",z # 0 Khi đó € B Do dé ta c6
Hiển nhiên, bất đẳng thức trên đúng khi # = 0 Tit d6 suy ra AW! 1a Anh xạ tuyến tính liên tục Vậy 4 là một phép đồng phôi n
Từ Định lý 1.1.9 ta có thể đồng nhất các không gian tuyến tính định chuẩn n chiều với không gian R»
1.2 Tập lồi - Hàm lồi
1.2.1 Tập lồi
Trang 21Hình 1.1: Tập lồi và tap không lồi
Định nghĩa 1.2.1 Tập U C X được gọi là lồi nếu
Yz, € U,VA € [0; 1] = (1— A)# + Ay EU
Định nghĩa 1.2.2 Giả sử U C X;z là hai 2 điểm trong U Tập hợp
các điểm z thỏa mãn
2=(1-A)r+y,
véi \ € [0; 1] 1a doan thẳng nối hai điểm x va y
y, tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn có thể được phát biểu là: Tập U được gọi là lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bắt kỳ trong U cũng chứa trong U
Trong Hình 1.1 cho ta các hình ảnh ví dụ về tập lồi và tập không lồi Sau đây là một số ví dụ khác
Ví dy 1.2.1 (i) RY, 0, {2} 1a cde tập lồi
(ii) Nữa không gian z; > 0 là các tập lồi trong khong gian R" (iii) Các đa giác lồi và hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi
(v) Hình cầu đóng đơn vị B(0, 1) = {z € X : ||z|| < 1} trong không gian Banach X là một tập lồi
(v) Tổng đại số của các tập lồi cũng là một tập lồi Thật vậy: giả sử
Trang 22* ©
Hình 1.2: Tổng đại số của các tập
C= A+B={at+b:a€ A,be BỊ Lẫy eị = ai+b\, cạ = aa+bạ € Œ
và À € [0, 1] Ta có
Ac + (1 = A)eg = A(ay + b1) + (1 — À)(aa + bạ)
= [Ai + (L— d)ag] + [Ay + (1 — A)bo] € C
Vậy Œ là một tập lồi
Hình 12 cho ta hình ảnh của tổng đại số của hai tập lồi Đặc biệt,
tập lồi bất biến qua phép tịnh tiến
Mệnh đề 1.2.2 Giả sử U„ € X, a € I là các tập lồi, sới Ï là tập chỉ số
bat ki Khi đó U = ( „¿¡ Ủa cũng lôi
Chứng minh Lay z,ụ € U Khi đó, z,ụ € Ua Với œ € 1, vì Ua lồi, nên
(1—À)# + Aụ € Ứa,Va € I > (1— À)z + Àụ € U
y U 1a tập lồi n
Từ Dịnh nghĩa (1.2.1) ta nhận được các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2.3 Giá sử U, € X lài À €R,¡ = 1, m Khi đó, MU, + - + Am, là tập lồi
Mệnh đề 1.2.4 Giá sử X; là các không gian tuyến tính định chuẩn, tập U, lài, (¡ m) Khi đó, tích Desearle U\ x < Um là tập lôi trong
Trang 23Ménh dé 1.2.5 Gid sử X,Y là các không gian tuyến tính định chuẩn,
A:X — Y là toán tử tuyến tính Khi đó
a) Nếu U C X tập lồi thì A(U) cũng là tập lồi;
b) Nếu V CY tập lồi thì nghịch ảnh A~'(V) của V cũng là tập lồi
Định nghĩa 1.2.3 Vectơ x € X được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ
xị € X (¡= 1, n), nếu 3A, (¡ = 1, ,n) 3À; = 1, sao cho x =
MÀ:
Sau đây ta đưa ra khái niệm bao lồi của một tập hợp
Định nghĩa 1.2.4 Cho 4 là một tập hợp trong không gian X Khi đó, giao của tất cả các tập lồi trong X chứa tập 4 gọi là bao lồi của 4, ký
hiệu là Co(A)
Theo Mệnh đề 1.2.2, thì Œø(4) là một tập lồi trong X và đó là tập lồi nhỏ nhất trong X và chứa tập hợp 4 Hơn nữa, bao lồi của tập A tring
với tập tất cả các tổ hợp lồi của một số hữu hạn bất kỳ các phần tử của A, tức là
k k
Co(A) = { So Aa sk > La; € AA 20,0 = i}
= =
Ví dụ 1.2.6 Một số ví dụ về bao lồi trong không gian R"; i Bao lồi của hai điểm phan bi¢t M,N 1a doan thing MN
ii Bao lồi của ba điểm khong thang hang M, N, P 1A mién tam giéc MNP
bao gồm cả biên 1,2,2, Hàm lồi
Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn và U C X là một tập lồi Định nghĩa 1.2.5 Hàm ƒ : U —> R được gọi là hàm lồi nếu
ƒ(1~À)x+Ay) <(1~A)ƒf(x) +A/(y), (1.1)
với mọi x,y € U, À € |0: 1]
e Hàm ƒ được gọi là lồi chặt nếu với mọi x # y và À € (0; 1) ta có
Trang 24AF(Y)-17 (1-6)fx)+6f(y)„ f(x) £((1-0)x+8y) Hình 1.3: Hàm lồi f
« Hàm ƒ được gọi là hàm lõm nếu hàm —/ là hàm lồi, tức là
/(—A)x+ Ay) >(L— A)ƒ(x) +Aƒ(y), Vx,y € U,À € [0: 1) « Hàm ƒ được gọi là lõm chặt nếu hàm —ƒ là lồi chặt, tức là
((— À)x+Ay) > (1— À)ƒ(x) +Àƒ(y), Vx # y € U,À € (0; 1)
Ví dụ 1.2.7 (0) Hàm ƒ(z) = z? là hàm lồi trong R
(ii) Ham f(x,y) = #? + y2 là hàm lồi trong RẺ, =
n 12
(ii) Chuẩn Euclide |lz|| (= #) là hàm lồi trong lân (iv) Ham f(x) = —V7 là hàm lồi trong Rạ
Mệnh đề 1.2.8, Hàm ƒ : U —› R là lôi (tương ứng lồi chặt, lâm ) khi uà chỉ khi mọi cặp x tà y trong U, hàm
@: (0; 1] + R, o(t) = f((1 — t)x + ty),
Trang 25
Hình 1.4: Trên dé thi cha ham f
Dat v = y — x, ta có thể định dang lại Mệnh đề (1.2.8) thay đổi điều kiện lồi tương ứng của hàm
u(t) = f(x+tv),t € domy = {te R:x+tv €U},
trong đó, x € U và ø€ E
Hệ quả 1.2.9 (Mở rộng tiêu chí lồi của Jensen) Hàm liên tục ƒ : U —> R là lôi nếu à chỉ nếu nó là lồi trung điểm, nghĩa là
(2) < fo + S09 (12)
tới mọi x, y € U
Định nghĩa 1.2.6 Cho ham f : U + R, kí hiệu epi(ƒ) là trên đồ thị của
hàm ƒ, tức là
epi(f) = {(x,a):x €U,a ER va f(x) <a}
Định ly 1.2.10 Ham giá trị thực ƒ zác định trên tap con lai U (ctia không gian tuyến tính định chuẩn E) là lồi nếu tà chỉ nếu epi(ƒ) lồi trên
Trang 2619
Hinh 1.5: Dưới đồ thị của ham lom f
Dinh nghĩa 1.2.7 Cho hàm lõm f : U R, ki hieu hyp(f) là đưới dé thị của hầm ƒ, tức là
hyp(f) = {(x,a):x €U,aeRvaa< f(x)}
Như chúng ta đã nhận thấy, trường hợp rời rạc của bắt đẳng t hức Jensen
(cũng như trường hợp đối số của nó ) mở rộng nguyên văn cho trường hợp
các hàm lồi một biến vectơ Định lý (1.2.10) đưa ra một đối số đơn giản
thay thế
Hệ quả 1.2.11 (Trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Jensen) Nếu ƒ:U — R là hàm lồi vd ON, Aexe là tổ hợp lồi các điểm trong U, thì
FID Awe) < YO uF): = =
Đái vdi ham lam, bat dang thite ngược lại sẽ đúng
Chứng mình Ta có ƒ lồi, nên epi(ƒ) là tập lồi Xét n diém (x1, f(X1)), -5 (ns F(%n)) trên cpi(ƒ), khi đó bất kì tổ hợp lồi của chúng
Trang 27cũng nằm trong epi(ƒ) Theo định nghĩa của trên đồ thị, điều này ta có
bất đẳng thức Jensen Qa
He qua 1.2.12 Néu f :U RB la ham Idi vax;
U thi xạ là các điểm trong
F(x) < max{ƒ(xi) ,ƒ(xu)} — Yx € cone({Xi, Xa})
Khi đó, hàm ƒ đạt cận trên của nó trên conw({x Xu}) tai một trong
các điểm Xị Xa:
Tính chất được phát biểu ở Hệ quả (1.2.12) chính là đặc trưng của hàm tựa lồi, tức là hàm ƒ : U + RB sao cho
ƒ(Œ=A)x+Ay) < max{ƒ() ƒ(y)}, (13)
Cho hàm ƒ : U + R và số thực œ, tập mức œ của ƒ được xác định như sau:
level, f(x) = {x € U : f(x) < a}
Bỗ đề 1.2/13 Hàm tựa lôi là hàm mà tập mức của nó lồi
Nếu bất đẳng thức (L3) thay max thành min thì ƒ là hàm tựa lôm Mọi hàm lồi (lõm) là một hàm tựa lồi (tựa lõm)
Sau đây ta xét các hàm giá trị thực mở rộng trên tồn bộ khơng gian tuyến tính định chuẩn Z
Định nghĩa 1.2.8 Một hàm giá trị mở suy rong ƒ : £ —> Ê được gọi là lồi nếu trên đồ thị của nó
epi(f) = {Œ.a) :x€ E,a €R và f(x) <a},
là tập con lồi của E x R
Miền hữu hiệu của hàm lồi ƒ : E —> E là tập domf = {x: f(x) < co}
Tit x € domf tuong duong ton tai a € R sao cho (x, a) € epi(f), tap hữu
Trang 28321
Hàm chính thường là hàm ƒ : E —› R không bao gồm 2 gia tri too
Trong trường hợp này, tính chất lồi có thể được viết dưới dạng
F((L=A)x + Ay) < (=A) F(x) + Àƒ/(y)
Wx,y € E,VA € (0,1)
Hàm ƒ: £ — RU{—oc} được gọi là hàm lõm chính thường nếu —ƒ là lồi chính thường
Nếu U là tập con lồi trong không gian tuyến tính E, thì mọi hàm lồi
f:U 9R mở rộng đến hàm lồi chính ƒ trên B, dat f(x) = 00,2 € E\U
Ham chỉ của tập con khác rỗng U của £ được xác định bởi dạng
0 nếuz€U,
¬
co nếuz€#\U
Trang 29Chương 2
TÍNH CHẤT CỦA HAM LOI
TRÊN KHƠNG GIAN TUYẾN
TÍNH ĐỊNH CHUẨN
Chương này trình bày một số kết quả về tính liên tục, dưới vi phân, đạo hàm theo hướng của hàm lồi trên không gian tuyến tính định chuẩn hữu
hạn chiều và vô hạn chiều Tuy nhiên, theo Định
tuyến tính định chuẩn n chiều có thể đồng nhất với không gian R" thông qua phép đồng phôi tuyến tính Do đó, không mắt tính tổng quát, các kết
1.1.9, các không gian
quả ở chương này trên không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều sẽ
phát biểu và chứng minh trong ngữ cảnh của không gian R" Trong trường,
hợp vô hạn chiều, các kết quả vẫn được trình bày và chứng mỉnh trực tiếp
trên không gian tuyến tính định chuẩn Các kết quả của chương này được
tham khảo trong các tài liệu |5, 6, 7, 8|
2.1 Tính liên tục của hàm lồi
Bồ đề 2.1.1 Mỗi hàm lài ƒ zác định trên lập lồi mở U C TR" đều bị chặn
địa phương (nghĩa là, mỗi a U có một lân cận mà trên đó ƒ bị chặn)
Trang 3023 Do hầm ƒ lồi nên ta có
”
f(x) = (Sam) <M
Vay hàm ƒ bị chặn trên địa phương trong Ñ
Ta sẽ chứng mỉnh hàm ƒ bị chặn dưới địa phương trong #, từ đó suy ra hàm ƒ bị chặn địa phương trên #Ý Thật vậy, do tính đối xứng của K nên x+y ‘ X*Y Ta 06 sup{f(vi),i = 1,2, , 2P} với mọi x € K, ton tai y € K sao choa= sla) < 3( 40) +10) Từ đó suy ra
F(x) 2 2f(a) = fly) 2 2f(a) — AM
Vậy hàm ƒ bị chặn dưới địa phương trên K a
Két qua sau day là sự mở rộng của hàm lồi trên trên đường thẳng thực Cụ thể, nếu hàm ƒ là lồi trên tập một tập con lồi 7 trong R thì nó liên tục trên phần trong intÏ của I
Mệnh đề 2.1.2 Cho ƒ là hàm lồi trên tập lồi mở U trong R" Khi đó ƒ Lipschitz dia phuong va tit dé suy ra ƒ liên tục trên U
Chứng mình Theo bỗ đề trước, lấy diém a € U, ta có thể tìm một hình
cầu Ø»„(a) C mà ƒ bị chặn trên bởi A Với x # y trong Ö,(a), đặt
Trang 31xll-Hoán đổi vai trò x và y cho nhau và lập luận tương tự ta có 2M ƒ@) ~ Fly) < lly — xl) Vậy ta có điều phải chứng mình 2M J/(x) = f(y)| < ——ly - xỈ: ữ
Định nghĩa 2.1.1 Cho tập A C , 4 được gọi là tập affine nếu Àz +
(1—À)u€ A.Vz,u € A,VA €R
Định nghĩa 2.1.2 Cho 4 là một tập con của Z Khi đó, giao của tất cả các tập affine chứa tập ‹ được gọi là bao affine của 4, kí hiệu aƒ ƒ(4)
Phần trong tương đối của tập 4, ký hiệu là ri(4), là phần trong của A trong aƒƒ(4), tức là, a € ri(4) nếu và chỉ nếu tồn tại € > 0 sao cho
Ba) Naf f(A) CA
Kết quả về tính liên tục của hàm lồi trên zi(4) là hệ quả của Mệnh đề 212
Hệ quả 2.1.3 Cho ƒ là hàm lồi zác định trên tập lãi A trong R" Khi đó ƒ Lipschitz trên mỗi tập con lồi compaet của ri(A) và đo đó ƒ liên tục trên ri(A)
Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta c6 thé gid sit aff(A) = R" Khi đó ri(A) — int(A), Khi đó áp dụng Mệnh đề 2.1.2 ta suy ra điều cần
chứng mình a
Kết quả sau đây là sự mở rộng của Mệnh đề 3.1.2 trong không gian tuyến tính định chuẩn vô hạn chiều
Mệnh đề 2.1.4 Cho ƒ là hàm lồi trên lập mở U trong không gian tuyến
tính định chuẩn Nếu ƒ bị chặn trên trong một lân cận của một điểm nằm
trong U thi f Lipschitz dia phuong trên U va suy ra f là hàm liên tục trên
U
Bồ đề 2.1.5 Cho ƒ là hàm lồi trên tập cơn lỗi mở U trên không gian tuyến tính định chuẩn Nếu ƒ bị chặn trên trong một lân cận của điểm a
Trang 3235
Chứng mình Giả sử ƒ bị chặn trên bởi AM trên hình cầu Ö,(a) Lấy x € U
và >1 sao cho 2 = a+ p(x—a) € U Now A= = eh
V ={vly=(1—A)y +Az,y € B;(a)}
là lân cận của x = (1— À)a + Àz, với bán kính (1 — À)z Hơn nữa, với v€Vtacó
ƒ(v) < (1—A)ƒf(y) +A/(2) < (L— À)M + Aƒ(2)
Dé ching minh ƒ bị chặn dưới trong lân cận tương tự, chọn v € V tùy ý, và lưu ý rằng 2x — v € W/ Kết quả là f6), /0x=v), t6) << OS ƒ(v) > 2ƒ(x) — ƒ(2x~ v) > 2ƒ(x) — ƒ(M) a
Định nghĩa 2.1.3 Một hàm giá trị thực mở rộng ƒ xác định trên không gian topo Hausdorff X được gọi là nửa liên tục dưới nếu
ƒ(x) < limint fly), Vx € X
Mot ham ø được gọi là trên nửa liên tục nếu —ø là nửa liên tục dưới Khi X là không gian tuyến tính định chuẩn, điều kiện nửa liên tục dưới được hình thành theo ngôn ngữ chuỗi:
X, 9x EX => f(x) < lim inf f (Xn)
Định lý 2.1.6 Cho ham f : B+ RU {oo} cdc ménh đề sau là tương
đương:
(a) Trén dé thi cia f déng tren ExR, nghia la, mỗi chuỗi điểm (X„ y„) €
epi(ƒ) hội tu dén (x,y) © Ex R ta cd (x,y) € epi(f); (b) Mọi lập mức của ƒ đóng;
Trang 33Chitng minh (a)=> (b) Lay a € R bat kì
Néu levela(f) = 0, thi n6 1a tap dong
Néu levela(f) 4 0, khi d6, chon (2,)n 1a chudi trong levela(f) sao cho Xn 3 xX € E Ta 06 f(Xn) < a với mọi n, do đó (x„,a) € epi(ƒ),Vn
Từ (x„,a) — (x,q) va trén dd thj cia ham f 1a tap dong, ta suy ra
(x, a) € epi(f), vi vay x € levela(f)
(b)= (c) Ta chting minh bing p han chting
Giả sử hàm ƒ không nửa liên tục dưới, thì ton tai x € E va chudi (Xn)n
sao cho X„ => X trong và
F(x) > lim inf ƒ(xu)
Điều này cho ra một số e và mọi chuỗi con (X;(„))„ sao cho ƒ(x) > e > F(Xtin)) Khi d6 x4(n) € Level,(f), Yn Từ xuú) —> x và mỗi tập mức của ƒ đóng cho thấy rằng x € leuel.(ƒ) Vì vậy, ƒ(x) < e, điều này mâu thuẫn
Do đó, ƒ nửa liên tục dưới trên E
(c)= (a) Gia sit ring epi(f) không đóng Điều này chỉ ra rằng tồn tại một chuỗi các phần tử (xạ, y„) € epi(ƒ) sao cho (Xu.y„) —> (X,y) trong E và
(x,y) £ epi(ƒ) Từ ƒ(xu) < ya,Vn, ta kết luận rằng
liminf ƒ(xu) < lim yn =
Mặt khác, y < ƒ(x) vì (x.y) £ epi(ƒ) Hơn nữa liminf f(X») < f(x),
mâu thuẫn với điều kiện nửa liên tục dưới của hàm ƒ Vậy epi(f) là tập
đồng In)
2.2 Dưới vi phân của hàm lồi
Cho là không gian tuyến tính định chuẩn và hàm ƒ : E > RU {oo}
là hầm lồi trên # Dé chuẩn bị cho việc phát biểu và chứng mỉnh các kết quả trong mục này, ta đưa ra một số các khái niệm sau:
« Miền xác định thực sự của hàm ƒ, ký hiệu là đơm(ƒ), xác định như sau
Trang 3427
Các hầm lồi trong mục này ta luôn giả sử đom(ƒ) # Ú
« Gọi E* đối ngẫu tô pô của không gian E, tức là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên Z Cho ø € E và z* € E* Khi d6, ham affine
h(x) = f(a) +2"(x—a), Vx EB
được gọi là giá của hàm ƒ tại a
Ý nghĩa hình học của ham affine h 1a tap {(x,h(x)) :x € E} 1a mot siêu phẳng đỡ và tiếp xúc với epi(f) tai diém (a, f(a))
Ta có kết quả sau đây về giá của hàm lồi trên không gian tuyến tính định chuẩn
Định lý 2.2.1 Cho f : E+ RU{oo} là hàm lồi nửa liên tục dưới zác định trên không gian tuyến tính định chuẩn E Khi d6, moi a € int(dom(f))
tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục #* € E* sao cho ƒ(x) > ƒ(a) +z*(x— a),Vx € E
Chứng mình Ta có đồ thị của hầm ƒ là tập lồi đóng trong # xR, và khác rỗng vì ƒ chính thường Nếu a € int(dom)(f) thi f liên tục tại a Điều này có nghĩa là (a, ƒ(a) +) € inf(epi(ƒ)).Ve > 0 và (a, ƒ(a)) là điểm biên
của ep(ƒ) Ngược lại của định lý tách cho thấy sự tồn tại của một phần
tử khác không trong đối ngẫu của E x R (đó là,cặp (w*,À) € E* xR với (y*, A) # (0.0)) sao cho
*(x) + Ar < y*(a) + Af(a), V(x, r) € epi/
Từ a € int(dom/), suy ra À z 0 Mặt khác, đặt r —› so ta suy ra À < 0 Vì vậy, À < 0, cho ta
Chọn z* = = ,ta được điều phải chứng mình a
Định lý 2.2.2 Mọi hàm lồi nửa liên tục dưới ƒ : E => RU {se} là cận
Trang 35Chitng mink Ta sé chitng minh, Vxo € E,Va € R sao cho a < f(xo) thi
tồn tại một hàm affine liên tục h của ƒ thỏa a < h(x) < ƒ(Xo)
Vì epi(ƒ) là tập lồi đóng trong E x R và (xạ,a) ¢ epi(f), theo dinh ly
tách, tồn tại một phần tử (z*,A) € E* x ïR và số € > 0 sao cho
#*(x) + Ar < #*(Xo) + À —€ (21)
trong đó (x,r) € epi(ƒ)(có nghĩa là Vz € domƒ và r > ƒ(x))
Nếu (xo, ƒ(xo)) €epi(ƒ), thì bất đẳng thức (2.1) áp đặt A < 0 và trong trường hợp này 7) > h(x) = (—)#*'Œ)+a+ Sứ") ~—©),Vx € dom/ À
Dé dàng thấy được h liên tục và affine, h(xo) > œ và ƒ(x) > h(x).Vx € E Nếu ƒ(xạ) = se và À # 0, cho r => œ trong bất đẳng thức (2.1), ta suy ra À < 0 và chứng mỉnh kết thúc như trong trường hợp trên
Nếu ƒ(xo) = % và A = 0, thì bất đẳng thức (2.1) cho thấy rằng hàm afne
liên tục
P(x) = #*(x) — #*(Xu) +€
là hầm âm chặt tại x cdomƒ Vì domƒ là tập khác rỗng, nên tồn tại hàm non liên tục affine q với ƒ Vì vậy
hụ(x) = q(x) + n[z"(x) — +*(Xo) + €],
với n đủ lớn, cho một ví dụ về hàm affine liên tục tại điểm xp dat gid trị
lớn hơn œ, Ta đã chứng mỉnh xong a
Từ định lý (2.3.1) ta có định nghĩa sau
Định nghĩa 2.2.1 Một hàm z* € E* được gọi là dưới gradient của hàm ƒ tại điểm a € đom(ƒ) nếu
ƒ(x) > f(a) + z*(x = a),Yx (22) ta gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức dưới gradient
Trang 3629
Anh xa da trị Ôƒ : a —> Ø/(a) được gọi là dưới vi phan cita f
Nói chung, Ô/(a) có thể là tập rỗng, có một hoặc nhiều phần tử Nếu ؃(a) là tập khác rỗng, thì ƒ được gọi là dưới vi phân tại a
Ta kí hiệu domØ/(a) là tập xác định của ؃, nghĩa là tập tất cả các điểm a€ dom ƒ sao cho Öƒ(a) # 0 Theo định lý (2.2.1),
inf(dom(ƒ)) C dom(؃) C dom(ƒ) (2.3)
Dinh ly 2.2.3 Cho E la khong gian tuyến tính định chuẩn và ƒ : E —
RU {se} là hàm không đồng nhất so nghĩa là đưới gmdient tại điểm x €
dom(ƒ) bắt kì Khi đó, ƒ lồi uà nửa liên tục dưới
Chứng mình Cho điểm + € domƒ bắt động tùy ý và z* € ؃(x) Khi đó,
với XỊ, Xạ € dømƒ ta có:
ƒŒi) > ƒ(x) + +ˆ(xị — x) và ƒ(xa) > ƒ(x) + zˆ(X; — x)
Nhân bất đẳng thức thứ nhất với À và bất đẳng thức thứ hai với (1 — A)
rồi cộng về theo về ta được
Af (x1) + (1 — A) f (x2) > ƒŒ) +z+*(Axi + (L— À)xz — x) chon x = Ax; + (1 — À)Xa, ta suy ra hàm f lồi
Dé chứng mình ƒ nửa liên tục dưới, giả sử rằng x„ + x trong EB va +*€Øƒ(x) Khi đó ƒ(xu) > f(x) + #*(xa — x), Yn, ta suy ra được ƒ(x) >
liminf f(x,) Vậy ƒ nữa liên tục dưới n
Dưới vi phân của hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới ƒ : R" >
TRU {se} được xác định như ánh xạ đa trị Ôƒ liên kết với mỗi điểm x € R"
là tập con Of(x) CR" Tuong ty, Of 06 thể được xem như là đồ thị trong
R"xR"
Cho anh xa da tri u: R" + P(R"), ta định nghĩa:
Tập giá trị của u, domw = {x : u(x) 4 0};
Đồ thị của u, graphu : {(x,y) :x € domu va y € u(x)};
Trang 37Nếu u,ø : R* —> (R") là các ánh xạ đa trị, thì ta viết w C ø nếu đồ thị
của w chứa trong đồ thị của ø
Định nghĩa 2.2.2 Ánh xạ đa trị u : 8" —› (E") được gọi là đơn điệu nếu nó nghiệm đúng
(x1 —Xa.yi — Y2) 20
với mọi Xị, Xạ € JR",yị € u(x1), y2 € u(x2) Mot ham don diéu u duge goi
là đơn điệu cực đại khi nó đạt cực đại với các lớp hàm đơn điệu, nghĩa là nếu ø 2 ứ và ø đơn điệu thì ø = ứ
Dưới vi phân của mọi hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới ƒ : R — R"U {oe} là đơn điệu
Chú ý 2.2.3 Dồ thị của ánh xạ đa trị cực đại bất kì u : R" —› P(R") đồng, và do đó nó thỏa mãn các điều kiện của tính trên nửa liên tục sau:
X¿ —> X,y¿ —> Y và y¿ € u(x¿)Vk € Ñ —= y € u(x)
Ta sẽ chứng mình tồn tại tương ứng 1-1 giữa đồ thị của ánh xạ đơn điệu cực đại và đồ thị của ánh xạ không mở rộng Ta gọi hàm Ù : R" —› R" là hầm không mỏ rộng nếu nó là hằng Lipschitz thỏa man Lip(h) < 1
Định lý 2.2.4 Giá sử A CR" va f : A R™ Ia ham Lipschitz Khi đó, lồn lại mot ham Lipschitz f : R” + R™ sao cho f = f trên A tà
Lip(f) = Lip(f) Hơn nữa, Ta có thể chọn ƒ lồi khỉ A tà ƒ cũng lồi
Chứng mình Khi mm — 1, ta có thể chọn
Fx) = inf {4(y) + Liv() «lb yl}-
Tổng quát, chú ý này ở mức độ các thành phần của ƒ dẫn đến mé rong fF với Lip(f) < VmLip(f) o
Sự tương ứng đã nói ở trên giữa các đồ thị được thực hiện bằng phép
biến đổi Cayley, nghia la bằng phép đo tuyến tính
1
®:R" xR" BR" x BR", ®(x,y) = v2 —=(X+y.—x+y)
Trang 3831
Định lý 2.2.5 Chow: R" + P(R") là ánh zạ đơn điệu cực đại Khi đó J=(T+u)=! được xác định tren R” va ®(graph u) là đồ thị của hàm khong md rong v: R" + R", cho bai
v(x) = x — V2(1 + u)~!(v2x) (2.4)
:R" + R" la ham không mở rộng, thì ảnh ngược của đỗ hị của ánh zạ cực đại trên RÈ"
Ngược lại, nếu
thịu dưới ® là
Ở đây ï là ánh xạ đồng nhất của R"
Chứng mình Cho u là ánh xạ đơn điệu và ø là hàm đa trị mà đồ thị của nó là Ø(graph u) Ta sẽ chứng minh rằng ø không mở rộng trên tập xác định của nó (và vì vậy nó là hàm đơn trị) Thật vậy, lấy x € R" ta có
y € v(x) nếu và chỉ nốu = € (22); (2.5)
và điều này cho thấy rằng y € x — V2(I + w)~!(v2x) với mọi y € v(x)
Bây giờ, nếu x¿ € R* và yè € 0(x¿),k = 1,2 khi đó ta suy luận từ (3.5) rằng
(1 — y1) — (Xa — V3): Xi + y1) — (Xa + y2)) > 0,
vì vậy lly: — yall? < ||xì — xa|lÊ Điều này chứng tỏ rằng ø thật sự là hàm không mở rộng
Lập luận tương tự để chứng tỏ rằng ®~! là ánh xạ đồ thị của hàm không mở rộng vào đồ thị của hàm đơn điệu Giả sử rằng ư là hàm đơn điệu cực đại, ta sẽ chứng mỉnh rằng tập xác định của ø là R" Thật vậy, nếu điều ngược lại là đúng, ta có thể áp dụng định lý (3.2.4) để mở rộng hàm ø đến hàm không mở rộng Ø xác định trên chính R", và khi đó ®~!(graph 7) cho ta một ánh xạ đơn điệu mở rông t, điều này mâu thuẫn với tính cực đại của u, Do đó, ®=! là ánh xạ đồ thị của hàm không mở rộng vào đồ thị của
hàm đơn điệu a
Hệ quả 2.2.6 Cho u: R" —› P(R") là ánh za đơn điệu cực đại Khi đó J=(T+u)*` là một ánh zạ không mở rộng của RÈ" rào chính nó
Chứng mình Dễ dàng thấy được rằng I + u (và (J + u)~!) 1a don điệu
Trang 39
vậy dom(I+w)”` = IR", Để chứng mình rằng (+u)~' cũng là hàm không mổ rộng, ta xét điểm x; € R" và y„ € u(x¿), với k = 1;2, Khi đó,
lIxi — xa|Ê < (Xi — Xa.Xi — X2 + y1 — Y2) (26)
|xi — xe||- lÌri + yì — (xa + y2)||, (27)
suy ra ||Xi—Xa|| < ||(Kì+yš)— (Xa+y2)|| Đặc biệt, nếu xị + yị = Xe+y2, thi x; = xa, và điều này chứng tỏ rằng (L+u)”! là hàm đơn trị Do đó, ([tu)= (xạ + y¿) = xe với k = 1;2 và vì vậy (2.6) cho thấy (Eru)1 là
hàm không mở rộng, a
Một lớp các ánh xạ đơn điệu cực đại quan trọng được cho bởi dưới vi phân của hàm lồi
Định lý 2.2.7 Nếu ƒ: R" —› RU {se} là hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới thì Öƒ là ánh zạ đơn điệu cực đại
Chứng mình Ta lưu ý rằng ؃ là ánh xạ đơn điệu Theo Dịnh lý (2.2.5),
tính cực đại của hàm ƒ tương đương tính toàn ánh của ؃ + I a
2.3 Hàm lồi thuần nhất dương
Một hàm ƒ xác định trên hình nón Œ được gọi là thuần nhất dương nếu
FAX) =Af(x) Yx€CvàA>0
Mot ham p: E > R duge goi la cong tính dưới nếu
P(x +y) < p(x) + ply), Vx y € E
và cộng lính trên nếu —p là cộng tính dưới, p được gọi là tuyến tính dưới
nếu nó vừa thuần nhất dương vừa cộng tính dưới
Một hàm tuyến tính dưới là nứa chuẩn nếu p(Ax) = |A|p(x),VA € R Hàm nửa chuẩn là chuẩn nếu p(x) = 0 => x = 0
Nữa chuẩn là công cụ trong lý thuyết không gian lồi địa phương
Trang 4033
Chứng mình Giả sử rằng ƒ lồi và x,y € Ơ
Khi đó, vì ƒ thuần nhất dương nên ta có: š/x+v)=/(*‡*) <3(16)+ 70) Do đó, ƒQx+ y) < /x) + (3) Vậy ƒ cộng tính dưới Ngược lại, giả sử ƒ là cộng tính dưới Khi đó, vì ƒ thuần nhất dương nên Ÿx, y € Œ và À € (0,1) ta có: ƒ(Œ~A)x+ Ay) < ƒ((~ À)x) + ƒ(Ax) = (1~A)ƒ(x+ A/(y)) suy ra ƒ(~A)x+Ay) <(L=A)ƒ(x+Aƒ/(y)) Vậy ƒ lồi Đối với hàm lõm, ta chứng mình tương tự như sau: Giả sử rằng ƒ lõm và x,y € C Khi đó, vì ƒ thuần nhất đương nên ta có: ¿/«+v)=/(*‡*) >š(16) + 70)
Do đó, ƒ(x + y) > ƒ(x) + ƒ(y) => =ƒ(x+y) < =ƒ(x) = ƒ(y)
Vậy —ƒ cộng tính dưới = ƒ cộng tính trên
Ngược lại, giả sử ƒ là cộng tính trên, tức là — ƒ cộng tính đưới Khi đó, vì ƒ thuần nhất dương nên Vx,y € Œ và À € (0,1) ta có:
ƒ(~A)) + ƒ(Ay) = (1~A)ƒ(x) + Aƒ(y)
>(=Ø(0=A)x) +(—/)0y) = (1~A)(—f)) +A(—/)(0y)-
vì —ƒ cộng tính dưới nên
(/7(=A)x+Ay) <(—/)(Œ =A)x) +(=/)(@y) =f ((1=A)x + dy) > F(A = »)x) + FAY)
suy ra
J((L = A)x + Ay) > (1 =A) F(x) + Fy)