Mục tiêu của đề tài Phép tính vi phân của hàm vectơ và một số ứng dụng là hệ thống hóa lại các kiến thức liên quan tới vectơ, hàm vectơ và pháp toán tích phân của hàm vectơ; nghiên cứu một số ứng dụng của phép tính tích phân của hàm vectơ khi nghiên cứu các trường vectơ trong vật lý, nghiên cứu dạng vi phân và hình học vi phân trong toán học.
Trang 1ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG DẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THÙY VÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TEN DE TAI
PHEP TINH VI PHAN CUA HAM VECTO
VA MOT SO UNG DUNG
Trang 2Mục lục LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1 Kiến thức cơ sở 11 12 13 14 15 16
Nhắc lại các kiến thức về vectơ
Giới hạn và liên tục của hàm vectơ một biến số
Đạo hàm của hàm vectơ một biến số
Các quy tắc tìm đạo hàm
Tích phân của hàm vectơ một biến số Sơ lược về hàm vectơ nhiều biến số
2 Mot số ứng dụng của phép tính vi phân của hàm yeetơ
24
22
Ứng dụng hàm vectơ trong các bài tốn hình học định lượng, 2.1.1 Độ dài cung,
2.1.2 Dộ cong của một đường
9.1.3 Vectơ pháp tuyến đơn vị 2.14 Vectơ trùng pháp tuyến
3.1.5 Pháp diện, mặt phẳng mật tiếp và đường trịn mật tiếp 2.1.6 DO cong và đường trịn mật tiếp của đường cong phẳng,
y= f(z)
Ung dung trong nghiên cứu trường vecto
Trang 32.2.4 Divecgiăng của 1 trường 2.3 Ứng dụng trong các bài tốn vật lí
3.3.1 Vectơ vận tốc, tốc độ và vectơ gia tốc của chất điểm
2.3.2 Trường vectơ một chiều trong vật lý
2.3.3 Trường vectơ hai chiều trong vật lý 24 Ung dụng trong nghiên cứu dạng vi phân
3.4.1 Vi phân của hàm vectơ một biến số
Trang 4LỜI CAM ĐOAN
Trang 5'TRANG THƠNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ
Tên đẻ tài: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM VECTO VÀ MỘT SĨ ỨNG DỤ
Ngành: TỐN GIẢI TÍCH - K38
Họ và tên học viên: VŨ THỊ THÙY VÂN
Người hướng dẫn khoa học: TS HỒNG NHẬT QUY
Cơ sở đào tạo: Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng
Tom tit:
*Những kết quả chính của luận văn:
Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học: * Phép tính vi phân của hàm veeto và một số
ứng dụng” đã đạt được một số kết quả sau đây:
~ Đã hệ thống hĩa một số khái niệm và các kết quả liên quan tới vectơ, hàm vecto, giới hạn và
tính liên tục của hàm véc tơ, đạo hàm của hàm véctơ
~ Trình bảy một số ứng dụng của hàm vectơ và phép tính vi phân của hàm vectơ trong nghiên
cứu một số trường vectơ trong vật lý, trong nghiên cứu dạng vi phân trong tốn học Các kết quả ứng dụng đưa ra trong luận văn khá nhiều
*Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn:
“Tác giả tìm hiểu và viết luận văn dựa trên việc tham khảo các kết quả mới từ các tài liệu chuyên ngành vẻ lĩnh vực, được xuất bản bởi các NXB uy tín trong nước và trên thế giới Các kết quả thu được chứng minh một cách chặt chẽ và đầy đủ, luận văn do vậy cĩ cơ sở khoa học 'Về ý nghĩa thực tiễn, đây cĩ thê là một tài liệu tham khảo bằng tiếng Việt bồ ích cho học viên
Trang 6INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS
Name of thesis: The differential calculus of vector functions and some applications
Major: Mathematical analysis
Full name of Master student: VU THI THUY VAN
Supervisors: PhD HOANG NHAT QUY
Training institution: The University of Danang, University of Education
Summary
* The main results of the thes
The research topic of the Master of Science thesis: “The differential calculus of vector functions and some applications” has achieved the following results:
- Systematized a number of concepts and results related to vectors, vector functions, limits and continuity of vector functions, derivatives of vector functions
- Presenting some applications of vector functions and differential calculus of vector functions in the study of some vector fields in physics, in the study of differential forms in mathematics The application results given in the thesis are quite numerous,
* The applicability in practice and subsequent research of the thesis:
Trang 72 =
MO DAU
1 Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình tốn học phổ thơng, chúng ta đã thấy nhiều bài tốn hình học phẳng và hình học khơng gian được giải quyết bởi các cơng cụ của vectơ Ngồi các ứng dụng trong hình học, vectơ cịn cĩ ứng dụng trong vật lí và nhiều lĩnh vực khác nữa Hàm vectơ là sự mở rộng khái niệm vectơ
bằng cách đặt tương ứng mỗi giá trị £ € Ï C IR với một vectơ trong mặt
phẳng hoặc trong khơng gian (và tổng quát hơn là một vectơ trong khơng gian vectơ nào đĩ) Khi đĩ mỗi vectơ cĩ thể xem là một hầm vectơ hằng Cĩ thể nĩi hàm vectơ là sự kết hợp của lý thuyết về phương pháp tọa độ, vectơ và lý thuyết hàm số Với sự hỗ trợ của các cơng cụ mạnh của giải tích như phép tính vi phân, phép tính tích phân, hàm vectơ trở nên hữu hiệu trong các ứng dụng trong hình học, vật lý và kỹ thuật Dưới gĩc độ tốn học, việc
nghiên cứu hàm vectơ cho chúng ta cái nhìn mới, phương pháp tiếp cận mới,
từ đĩ tìm được những lời giải hay của các bài tốn, các ứng dụng hữu ích của lý thuyết tốn học nĩi chung và lý thuyết về phép tính vi phân nĩi riêng
trong nhiều lĩnh vực khác nhau
Mặc dù phép tính vi phân nĩi chung và phép tốn đạo hàm nĩi riêng cĩ nhiều ứng dụng trong tốn cao cấp và trong các lĩnh vực khác nhau Tuy nhiên, những vai trị này của đạo hàm khơng được thể hiện rõ nét trong
chương trình tốn học phổ thơng Việc ứng dụng của đạo hầm trong một số lĩnh vực quen thuộc (vật lý, kỹ thuật, kinh tế ) khơng được đề cập đúng
Trang 8phép tính vì phân của hàm vectơ cĩ thể đem lại sự mới mẻ trong phương pháp tiệp cận khái niệm này, mang lại gĩc nhìn mới trong chương trình tốn
học phổ thơng Ngồi ra, đề tài cũng được kỳ vọng sẽ là cơ sở để xây dựng
các chuyên đề đào sâu và mở rộng các khái niệm tốn học phố thơng nhằm
đáp ứng dạy học phân hĩa theo định hướng của chương trình
thơng năm 2018 ido duc phd
Với những lý do như trên, dưới sự hướng dẫn khoa học của T8 Hồng, Nhat Quy, toi đã chọn đề tài “Phép tinh vi phan ctia ham vecto va một số ứng dụng” để thực hiện trong luận văn Thạc sĩ của mình
2 Mục tiêu nghiên cứu:
- Hệ thống lại các kiến thức cơ bản về vectơ
- Phát biểu khái niệm hàm vectơ và các kiến thức liên quan đến hàm vectơ như: hầm vectơ, tính liên tục của hàm vectơ, đạo hàm, phép tính vĩ
phân của hàm vectơ trong khơng gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều
- Ứng dụng của phép tính đạo hầm của hầm vectơ trong nghiên cứu
một số mơ hình vật lý
3 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu:
3.1 Đối tượng nghiên cứu
‘Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu một số vấn đề cơ bản về phép
tính vì phân của hàm vectơ như: hàm vectơ, tính liên tục của hàm vectơ, đạo hàm, phép tính vỉ phân của hầm vectơ trong khơng gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều và ứng dụng của phép tính vi phân của hàm vectơ
3.2 Phạm vi nghiên cứu
tích tốn học Cụ thể, đề tà
sẽ hệ thống hĩa các các kiến thức về vectơ , khái niệm hàm vectơ, tính chất
Đề tài nghiên cứu thuộc chuyên ngành gi
liên tục của hàm vectơ, đạo hàm của hàm vectơ, phép tính vỉ phân của hàm vectơ trong khơng gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều và ứng dụng của phép tính vi phân của hầm vectơ,
4 Phương pháp nghiên cứu
~ Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn
Trang 9
Định nghĩa 1.1.7 (Tổng của nhiều vectd) Gia sit cd n vectd Wy, @2, Wn Cho TỶ; được biểu diễn bởi OẢẢ, Wo duge dai di¢n bai AyAy, , „ được
biểu diễn bởi „ ¡ Ẩu
Vậy thì
mì Tư +7
Định nghĩa 1.1.8 (Phép nhân một vectơ với một số) Cho số thực
m €R,m # 0 và vectơ đ # Ũ Khi đĩ, tích của zn và vectơ đ, ký hiệu rn ,
được định nghĩa như một vectơ cĩ độ lớn bằng zna, cùng phương với @ va cùng chiều với đ nếu zw > 0, ngược chiều với đ nếu rn < 0,
Nếu m = 0 hoặc ä = Ũ thì mã = Ữ
Ta nhắc lại kết quả sau đây liên quan tới phép cộng vectơ và phép nhân
một số với một vectơ
Định lý 1.1.1 Nếu các sectơ TỶ, b được biểu diễn lần lượt bởi OB,06 va m,n la cic hing sé duong, khi dé ma? +nb = (m+n), sĩi @ được biểu
diễn bởi uectơ OỀ, R là một điểm trên PỘ sao cho mPR = nRQ
Định nghĩa 1.1.9 (Tọa độ vectơ trong mặt phẳng) Cho vectơ Z trong hệ truc toa do Oxy, Dat # = OP Goi A, B lần lượt là hình chiếu của P lên
Trang 10Đặt (Oz,7) = a, (7, Oy) = 8 Ta cĩ x Ve +¥, cosa = =,cos 8 = r Al = Tit day suy ra cos a + cos? 8 = 1,
Dinh nghia 1.1.10 (Toa độ veetơ trong khơng gian) Cho vectơ # trong hệ trục tọa độ Oxyz, Dat 7 = OP Goi A, B,C lan lượt là các hình
Dat OA =2,0B =
lây ta cĩ
chiếu vuơng gĩc của P lên các trục tọa độ Oz, Oy,
Trang 11+ = VP +H +2, cosa = =, cos 8 = Š r li Từ đây suy ra cos? « + cos? B + cos? =
Định nghĩa 1.1.11 (Tổng và hiệu các vectơ theo thành phần) Giả sử các
vectơ TỶ, TẢ, rỶ, được biểu diễn theo các thành phần của chúng trong các
_ > = >
=(i+a+s + ) Ê + (Mi + e + 9a + ) 2 + (m + 22+ 2a + ) Ê
Kết quả cho thấy phép cộng các vectơ thực hiện bằng cách cộng các thành
phần của chúng Hồn tồn tương tự khi trừ các vectơ
Định nghĩa 1.1.12 (Tích vơ hướng) Tích vơ huéng cita hai vects @ va
“TỶ tạo với nhau một gĩc Ở được định nghĩa là đại lượng vơ hướng ø.Ù.cosØ =
và được ký hiệu là ?Ẻ b
.b = abcosổ,
Trang 12Rõ ràng, phép nhân vơ hướng của các vectơ là cĩ tính giao hốn vì
> >
B.D = abcosd = ba.cos6 = 0
« Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng trong mặt phẳng: Cho các vectơ
#2, 2) Khi đĩ tích võ hướng của ấ và ỗ là
ab
122 1U3-
« Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng trong khơng gian: Cho các vectơ @ = (1,1, 21), 0 = (2, yp, 22) Khi d6 ta c6 biéu thite toa do 1a a #1#a † La + ZIZ2- © Cho @ = (x,y, 2) Khi dé ta c6 \\al| = Vai = V2?+ + z Tit Dinh nghia 1.1.12 ta cĩ kết quả sau đây Định lý 1.1.3 Cho các vecto a,b Khi đĩ ta cĩ
=llilllil < z8 < IIzilllil
Đẳng thức của bắt đẳng thức thứ nhất nà thứ hai râu ma khi lần lượt hai nectơ đ tà b là cùng phương ngược chiều tà cùng phương cùng chiều
Định nghĩa 1.1.13 (Tích cĩ hướng)
Tích cĩ hướng của 2 vectơ TỶ và Ð tạo với nhau một gĩc Ø được định
nghĩa như một vectớ (gọi là vectơ tích) cĩ độ lớn là a.b.sinØ, cĩ phương
vuơng gĩc với phương của cả 2 vectơ đ,P và cĩ chiều tuân theo quy các cái đỉnh ốc (tức là, nếu đặt các đỉnh theo phương vuơng gĩc với cả đ và b, rồi
văn đỉnh ốc theo chiều quay từ vectơ đ đến vectơ 5 thì chiều tiến của đỉnh
Ốc chính là chiều của vectơ tích cĩ hướng) Vectơ tích của 2 vectơ TỶ và
Trang 13mọi # € [a,b] ) thi j?0= Rw)? = 0) - T (a) Kí hiệu ƒ ?()dt
chỉ một nguyên hàm bất kì của làm se vecto 7
Ví dụ 1.5.2 Tìm nguyén ham cita hàm vectơ sau
P(t) =2cost? —tsin 7 +E
Giải: Theo Dịnh nghĩa 1.5.2 ta 06
[Poa =2 (feosu) ?~ (fesinear) + (/ sư) #
= (2sint +O) + (Jou + @) 7+@+@)# =2sint? + ges¿7 +OR 4G
Trong 6 C = cri + co) + ck 1A một vectơ hằng tùy ý
Định lý 1.5.1 Gid si 7, V la hai vecta lién tuc trén doan [a,b], ¢ la mot
hằng s6 va ề là một eetơ khơng ai Nhi đĩ 4) j (W(t) + #0)]4t = free + fimo, vile te Jat wef (0), 3/[2 T(t) Jư=8jtm Tỉ (t)|di, 4 <ƒI0)lle
Chứng mình Chứng mỉn Ấp dụng định nghĩa tích phân của hàm vectơ, dé
dàng chứng mỉnh được các cơng thức a), b), e) Ta chứng mỉnh d) pat C= J [TỀ()Jdt Theo câu c) ta cĩ l
ler
sao (t)dt = j [2.?0|a-
Trang 14Vì ề.?0) < I#| |IŒ)|| với mọi t € [a,b] nen
[2l< fel reo [2] frees
e Nếu Ở Z 0 thì > 0 Chia hai về của bắt đẳng thức trên cho |#l: ta cĩ được bắt đẳng thức cằn chứng min e Nếu Ở — 0 thì hiển nhiên ta cĩ bất đẳng thức cần chứng min n đẳng thức trên suy ra
1.6 Sơ lược về hàm vectơ nhiều biến số
Mục này chủ yếu giới sơ lược về hàm vectơ hai biến số nhận giá trị trong
khơng gian ba chiều Trường hợp hàm vectơ nhiều hơn hai biến số và nhận
giá trị trong các khơng gian khác ba chiều được xem xét tương tự
Định nghĩa 1.6.1 Cho 7 là một tập con của R? (D C R2) Khi đĩ, hàm (ánh xạ) #: D —> RẺ, (u,) "+ f{u, 0) được gọi là hàm vectơ xác định trên D
« Trường hợp RŸ được trang bị hệ tọa độ ba chiều Ĩzyz thì ta cĩ biểu thức tọa độ của hàm vectơ là
F(u,v) = (u,v), y(u,v), z(u, 9))
trong d6 (u,v), y(u, v), 2(u,v) là các hầm số hai biến xác định trên J và u, 0)Ÿ +} y(u, 0)Ÿ + z{u, 0)
goi là các hàm số thành phần của hàm vectơ
e Nếu hàm vectơ F(w,ø) cho bởi biểu thức tọa độ mà khơng nĩi rõ tập
xác định thì ta hiểu tập xác định của nĩ là giao của các tập xác định của
các hàm số thành phần
Trang 15Dinh lf 1.6.1 Cho ham vecto
#{u, e) = (2(u,v), y(u,v), 2(u,v)), vdi (u,v) € D va (uo, vo) € D Khi đĩ ta cĩ
(a) Ham vecta # c6 giới han tai diém (up, vo) khi tà chỉ khỉ các hàm thành phan x(u,v),y(u,v), 2(u,v) đều cĩ giới han tai (up, v9) va ta cĩ cơng thức
lim Z(wø)=( lầm (u,v), lim ÿ(m,ø), lỉm 2(u,v))
(u,v) >(wo,v0) rụ ) (eee) ( ) om HM ) (ua)—(ua.tu) ( )
(B) Hàm uectø f liên tục tại điểm (ug, v9 néu tà chỉ nếu các hàm số thành
phần z(u, t) (u, 0) z(u.0) đều liên tục tại điểm đĩ
Đạo hàm riêng của hàm vectơ cũng được định nghĩa thơng qua đạo hàm riêng của các hàm số thành phần Cụ thể ta cĩ các cơng thức sau
ðF _ 8e; Ơụr, Ơz,
Øu — 0u' ` 0u” Ÿ 8u” OF de» Oy» | de, do De * de! *
Các đạo hàm riêng cấp cao hoần toần được thực hiện tương tự
Trang 16Do đĩ Ts) = Ps) 2.1.2 Dinh Ii Cho đường trơn Ở với phương trình vects (9 =z()3 +w() + z(Ÿ Giả sử hầm vectơ TẺ cĩ đạo hàm cấp hai Khi đĩ, độ cong của C tại điểm M(x(t),y(0), 2(0)) Ia co APO ero Chứng minh Ta biết rằng độ dài cung cĩ điểm dau Mp (:r(to), y(to), 2(to)) và điểm cuối A (z(£),(£), z(£)) là s=s(t)= J II /0)||du a
Giả sử phương trình vectơ của Ở với tham số s là TỶ = TỶ(s)
Kí hiệu TỄ(s) là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường Œ tại điểm Af xác
định bởi ỘÌ = T(s) = TỈ(s(9) = 74) Khi đĩ, theo định nghĩa, độ cong
Trang 17Ta cĩ If@)lI=«: ant? asint i +a cos cử, “TPO
Pit) =— cost 7 —sint 7, J?|
Độ cong của đường trịn tại điểm Äf(acos f,ø sin £) là [Fol _ IPO a Như vậy, độ cong của đường trịn bán kính tai a tai mỗi điểm của nĩ đều su > —sin £ Ẳ + co É 7, Và K(t= là
Bán kính của đường trịn càng lớn thì đường trịn càng ít cong hơn
Từ định nghĩa của độ cong suy ra rằng độ cong của một đường thẳng tai
mọi điểm của nĩ đều bằng 0 (vì vectơ tiếp tuyến đơn vị của nĩ khơng đổi) Để tìm độ cong của một đường trong khơng gian người ta thường ấp dụng định lí sau đây
2.1.2 Định lí Giả sử Ở là một đường trơn với phương trình vectơ
(9 =z(@ +z( +z(9#
Nếu hàm vectơ TỶ cĩ đạo hàm cấp hai thì độ cong của C
Trang 18Và
(9) = s“(®0) + s()?*()
Tit d6 suy ra
?*()A 0) = (9° (@ A0)
Vì FO) A !(0) = Ẩ với mọi £ Mặt khác, ta biết rằng vì |?‹o||= =1 nên hai vectơ TÈ() và TÈ'(f) vuơng gĩc với nhau Do đĩ
IPOAPOL= (OF |(FOrTo)| = (s(t)? |Zel] A I7ø| = (s(t)? II và lữ‹ || = NP Oarrol _ IPOAPMON, (x0)? IUO Suy ra [POL _irenror PO Wor
Vi dụ 3.1.4 Tìm độ cong của đường xoắn Ốc
Trang 19Và F(A F"()|| = V4(cost + tsint)? + 4(t cost — sint)? +1 = v5+ 4P Độ cong của đường xoắn ốc tại điểm A là _|IPA®*⁄0)| _ Vora Kị = 0= POF (t+40)Ÿ
2.1.3 Vectơ pháp tuyến đơn vị
Giả sử Ở là một đường trơn với phương trình vectơ ? (9 =z0 +w() + z()#
Và hàm vectơ TP cĩ đạo hàm cấp hai Gọi T() là vectơ tiếp tuyến đơn vi cia C tai diém M(x(0), y(t), 2(0) Tit [T(O)|| = 1 voi mọi £ dễ đàng suy
ra T(t) T(t) = 0 Do d6 vecta T(t) vudng géc vai vecto T(t) Néu do
cong K(l) của tại điểm Af khác 0 thì T(t) 4 0 Khi đĩ, vectø
Đ@=xCÐ-
Là vectơ đơn vị vuơng gĩc với vects T(t) va được gọi là vectơ pháp tuyến chính đơn vị (gọi tắt là vectơ pháp tuyến đơn vị) của đường Ở tại điểm A
Trang 20Dé tìm được TỀ(z) = sa (-e? +7) an Do 6 T(0) = gi» (~7 + 7) Vectơ pháp tuyến đơn vị của Ở tại điểm AM là Su NO = 0 - 12,2 == (-7 +79) = ro et +7)
Ban kính của đường trịn mật tiếp cita C tai diém M 1a p(0) = Ry = 2V2 Tam J ciia dung trịn mật tiếp của Ở tại điểm Aƒ được xác định bởi
ØÌ = ?(0) + o(0)N(0) =F +2 (-7+7)=27 +37
Đường trịn mật tiếp cia C tai diém M c6 tam J(—2,3) và bán kính là
2V2 Phuong trinh cita n6 1a (x + 2)? + (y— 3)? =8
2.2 Ung dụng trong nghiên cứu trường vectơ
Khái niệm trường vectØ trong vật lý được mơ ta tổng quát là trong một khu
vực nào đĩ (trên mặt phẳng hoặc trong khơng gian) mà mỗi điểm trong đĩ
đặt tương ứng với một đại lượng vectơ gọi là một trường vectơ Nếu tại mỗi
điểm chỉ đặt tương ứng với một đại lượng vơ hướng thì gọi là một trường vơ hướng Ví dụ khơng gian bao quanh trái đất tồn tại trường vectơ trọng lực,
cịn mật độ vật chất tại từng điểm của một vật thể nào đĩ là một trường vơ
hướng
Qua các mơ tả trên ta thấy mơ hình hàm vectơ là rất phù hợp để nghiên cứu trường vectơ trường vơ hướng Trong mục này chúng ta sẽ đưa ra khái
niệm tốn học về trường vectơ và trường vơ hướng Và sau đĩ sẽ xây dựng
mơ hình cho một số trường vectơ cụ thể,
2.2.1 Trường vectơ và trường vơ hướng
Định nghĩa 2.1.1a_ Giả sử 7 là một tập hợp con của R2 (D C #Ẻ) Hàm
vects (x,y) + F (x,y) tit tap hgp D vao khong gian vectd hai chiều gọi là
một trường vectơ hai chiều
Trang 21Nou Fa một trường vectơ hai chiều xác định trén D C R? thi với mỗi
diém M(,y) € D, F(x,y) là một vectơ hai chiều Do đĩ ta cĩ
#(z.u) = PŒ.u) Ỷ + Q(œ,u) hay F(M) = P(M) +Q(M) Trong đĩ P và Q là hai hàm số thực xác định trên /) Đẳng thức trên được viết gọn dưới dang F = PỶ + Q
Định nghĩa 2.1.Ib Giả sử E là một tập hợp con của khơng gian
RS (E ER) Ham vectơ (z,u,z) + TỶ (z,g,z) từ tập hợp vào khơng
gian vectơ ba chiều gọi là một trường vectơ ba chiều
éu F la mot trường vectơ ba chiều xác định trên (Ee RS) thì với
a điểm M (2,y,2) € E, # (z,w,z) là một vectơ ba chiều Do đĩ ta cĩ
len P@us) +Q0 97 + RỢcg,z) FB
(Ml) = P(M)7 +Q(M) 7 + RUM) & trong đĩ P,Q và R là
ba bàn số thực xác định trên E
Đẳng thức trên viết gọn dưới dạng E = P7 + Q + RẺ
Dé dé hình dung trường vectơ ba chiều TỄ xác định trên tập hợp Z € R3,
người ta thường vẽ một số vects F(M), 06 điểm đầu M(z,,z) € E
Định nghĩa 2.1.1e Nếu là tập hợp con của RẺ hoặc Rở thì mỗi hàm số ƒ: U + Ï xác định trên U được gọi là một trường vơ hướng Một số ví dụ về trường vectơ' Ví dụ 2.3.1 Giả sử trên mặt phẳng nằm ngang Ozy được phủ một lớp nước
mỏng và lớp nước này chảy xốy quanh điểm gĩc Ĩ với vận tốc gĩc khơng, đổi œ radian/giây theo hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ Hãy
Trang 22xác định vectơ vận tốc của nước tại mỗi điểm (z,g) của mặt phẳng (hình
vẽ)
Giải Tại mỗi điểm (z,) của mặt phẳng Oz, nước chuyển động với tốc độ ø = Re theo tiếp tuyến tại điểm (z,y) của đường trịn tâm Ĩ bán kính R= JP Fy, hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ Vectơ vận tốc
của nước tại điểm (z,) được cho bởi cơng thức
Tay) =w(-v7 +27) (1)
(Dễ dàng thấy rằng vecto V (x, ) xác định bởi (1) cĩ độ daila w/a? +P =
Rú, hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ Vì T”.7” = ø(—w È +
+)-Œœ Ÿ +) = 0 nên T(z,y) là vectơ tiếp tuyến của đường trịn tâm O ban kinh OM tai diém M(c,y)
Trường vectơ TỶ xác định trên R? bởi cơng thức (1) là một trường vectơ hai chiều, được gọi là trường vận tốc của lớp nước chảy quanh điểm gốc
“Trường vận tốc +” được mỉnh họa trong hình vẽ
Vi du 2.2 dẫn Với mỗi
Ta hãy hình dung một dịng chất lỏng chảy trong một ống
liểm A1(z, , z) trong ống dẫn, ta kí hiệu T(M) = T(z, , z)
là vectơ vận tốc của dịng chất lỏng tại điểm này Trường vectơ T xác định
trên tập hợp các điểm nằm trong ống dẫn là một trường vectơ ba chiều,
được gọi là trường vận tốc của dịng chất lỏng Trong hình vẽ dưới đây Mỗi
mũi tên cĩ gốc là một điểm AM của tập hợp E biểu diễn vectơ vận tốc TÈ(Äf)
của dịng chảy tại điểm AM Hướng của mũi tên biểu thị hướng của dịng chất
lỏng tại điểm A/, độ dài của mũi tên biểu thị tốc độ ø(A) = |[È(M)|| của
đồng chất lỏng tại điểm này
Trang 232.2.3 Rơta của một trường vectơ
Định nghĩa 2.2.3, Giả sử © là một tập hợp mỡ trong f?* và hàm số thành
phần P,Q của Ê thuộc lớp C! trén © Rơta của trường vectơ F, kí hiệu là rotŸ, là trường vectơ xác định trên 9 bởi + gi a + ơi 0R\ 9 a rotẺ = (BỆ — #8) Ý + (E - 9) 7 + (2-4) Fe Để đễ nhớ, ta đưa vào một kí hiệu hình thức > 3 vaTe+ Pes RE (đọc là đel0 Ta lập một cách hình thức tích vectơ của hai “vecta” V va > #=PỶ+Q7 + RẺ aS 77 F wF=|222 PQR Như vậy rot = VAP Ví dụ 2.2.7 Cho trường vecto F (x,y,z) = Tìm rot Giải Ta cĩ > > 7 † -| 2 2 rot =| 2 z ee 2u?z + (2z + z) 62] T:| e9 2-0 + a 4| ae 7 ce 2 2 >
= (dyz — 32%y) T - 7 + 6xyek “Từ định nghia cia rota, dé dàng suy ra
Định nghĩa 2.2.4 Giả sử Q 1a mot tap hợp mỡ trong BY, FG a hai
trường vectơ thuộc lớp C! trên © và À là một số thực khơng đối Khi đĩ
a) rot (F + @) = rotŸÊ + rotổ,
b) rot(AF) = ArotF
Định lý 2.2.1 Giá sửO là một tập hợp mỏ trong RŠ Nếu hàm số f : 2+ R thuộc lớp C2 trên © (tức là ƒ cĩ đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên Q) thì
rot(Vƒ) = T trên 9
Trang 24Chitng min Vi ƒ cĩ đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên © nên các đạo
hàm, riêng SẺ, am là những hàm số thuộc lớp ` trên Q Do d6 Vf =
LT +L T+ AE la mot trường veetở thuộc lớp C" trên Q Ta cĩ 7 Ff a aL -(2L- FL) 7+ (2 #1) 74 (#L #1) ¢ ~ \azdy~ dyaz 0x) 1 * \dyar~ Dray) ** HE es = ase rot(Vf) = | |
Vì hàm số ƒ cĩ cá đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên © nên, theo định
li Svac (Schawars), từ dé suy ra rot(Vf) = 0 tren Q
Từ định nghĩa của trường thế va định lí trên suy ra
Định nghĩa 2.2.5 Giả sử Ÿ là một trường vectơ thuộc lớp C! trên tập
hợp mở © trong R3, Nếu # là một trường thể thì rotF = 0 tren Q Từ 3.4 suy ra rằng nếu rot Ê` # 0 thì #` khơng phải là một trường thé, sf Ví dụ 2.2.8 Trường vectơ (z,w,z) = #ự Ù — 2z + (3 ++z) Ê cĩ phải là một trường thế trên R3 khơng? Giải Ta cĩ > 7 7 F aa ở roth(e,y,2)=| 2 2 & | tyr: | vy =(1+w)ở-37-z#zŸ
Do đĩ Ÿ khơng phải là một trường thế trên H3
Đẳng thức rotF = trong 34 chi la điều cần chứ khơng phải là điều
kiện đủ để trường vectơ Pia một trường thế Tuy nhiên, nếu đặt thêm giả
thiết cho tập hợp 2 (chẳng hạn © là một tập hợp lồi mở) thì đĩ cũng là điều kiện đủ
'Ta nhắc lại định nghĩa của tập hợp lồi: Tập hợp E trong mặt phẳng hoặc trong khơng gian là một tập hợp lồi nếu E chứa hai điểm 4 và Ư Thì nĩ chứa cả đoạn thẳng 4 nối hai điểm 4 và Ư Ta thừa nhận định lí sau đây
Trang 25Định lý 3.3.3 Giá sửO là một tập hop lơi mở trong RŠ và TẾ là một trường
thuộc lớp C` trén Q Néu rotF =O tren Q thi F là một trường thé
Định lí này là một trường hợp đặc biệt của dink If IV.7.3 ma ta sé chứng mình trong chương TY cto Ví dụ 2.2.9 Cho trudng v - 7 —? Few) = estes? - oe - Voi moi (x,y,z) € V, trong đĩ V là hình cầu mở cĩ tâm là điểm gốc và bán kính a>0 a) Chứng mình rằng T là một trường thé tren V b) Tìm hầm số thé vi f của trường vectơ TẺ Giải @ ab on % với mọi (z,g,z) € V Tương tự ta cĩ mọi (2, Vì W là một tập hợp lồi mở nên theo định lí 3.5, từ đĩ suy ra rằng # là một trường thế b) Ta tim ham s6 f: V+ R sao cho Vf = F trén V, tite 1a vn 0) ven ()
Lay nguyên hàm (1) theo z, ta được f(x,y,
2) € V, trong dé ø là một hàm số thuộc lớp C? trên hình trim y2+2? < a? +? —w2—z2+w(z.u) - (4) Voi moi (x, trong mặt phẳng z =
Lẩy đạo hàm hai về của (4) theo , ta được 2 (x, y, =) = Tree z) (5)
Từ (5) và (2) suy ra $2(y, 2) = 0 Do đĩ o(e, y) z), trong đĩ + là hàm số thuộc lớp C! trên khoảng (—a,a) và từ (4), tacé f(x,y,2) = (a — 2 —y — 2 + (z)
Trang 26
#Œ.u.z)= Từ (3) và (6) suy ra v (z) = 0 , do db we Chối cùng ta được ƒ(œ,u,z) = Va? = —z?+ÀA,(z,0,z) € V,À = const (6) — ÀÀ là một hằng số thực
2.2.4 Đivecgiăng của 1 trường
Định nghĩa 2.2.6, Gia sit © la mot tap hợp mở trong RB va B= PT +
QŸ + RỶ là một trường vectơ thuộc lớp C! tren
Divecgiäng của trường rect Hà kí hiệu là diu Ẻ, là hàm số thực xác định
trên Q bởi divF = 92 + 92 4 98
Ta viết một cách chính thức như sau 39 39 3d) (> dP = VF = (7247 5+ BL) (P% +Q + RR = tức là xem divF là tích vo hướng của “vecto” V = 72 vects F Vi dụ 2.2.10 Cho trường vectơ
P(e,y,2) =2°y7 + (2y—y2) 7 + (202 — 2) B, (0, y, 2) e RẺ Khi d6 divF (x,y, 2) = H(z) + Ky — yz) + Ê(9+z — z?)
= Ivy + 2-24 Qe — 2z = 2zụ + 9+ — 3z +2, (,u,z) € RẺ Từ định nghĩa của đỉvecgiăng suy ra
Định nghĩa 2.2.7 Giả sit @ 1a mot tap hợp mỡ trong R3, , Ở : 0 — R# là hai trường hợp vectơ thuộc lớp C! trên © và À là một số thực Khi đĩ
a) div(F + @) = divF + divG, b) div(\F) = AdivF
Trang 27b) Gĩc Ø giữa hai vectơ +È() và #(£) được cho bởi " T().3()—_ — s8 gneteeset-sSe*cosetsinet XU TH ƯYnẽ .ờơnn Do đĩ Ø Nhận xét Dễ Dễ dàng thấy rằng Lừ đẳng thức | ()|| = œ2 + Đễ với mọi Ví dy 2.3.2 Biết vectơ vị trí của một chất điểm chuyển động tại thời tla P(t) = eT +37
a) Tìm vectơ vận tốc, tốc độ, vectơ gia tốc, độ đài củ vectơ gia tốc của chất điểm tại thời điểm í
b) Vẽ quỹ đạo của chất
t=}
Giải a) Ta cĩ ĩ (9) = 5 2e FP + 36 F ||P (t)|| = Vie 9: P(t) = 4e-27F + äe'ỷ› 2 (t)|] = VIE FO”
b) Biểu diễn tham số của quỹ đạo là z = €?!;ụ = 3e; Khử † từ hai
phương trình trên, ta được hệ thức giữa z và ự : -2 2 abra=(ey?=()%:
Do d6 xy? = 9,2 > 0, > 0
Quỹ đạo là phần cita dung cong xy” = 9 trong gĩc phần tư thứ nhất
Trang 28
Ví dụ 2.3.3 Xác định quỹ đạo chuyển động của một chất điểm cĩ khối
lượng ơm # 0 biết rằng chất điểm chuyển động tự do (tức là lye F(t) tée
dụng lên nĩ tại mỗi điểm £ đều bằng Ứ )-
Giải Vì m # 0 nên theo định luật thứ hai về ch cĩ TÈ(0) = với moi t Do 46 T(t) = ƒ TỶ (®)dt = với mọi † h động của Niutơn ở =aif+œj+e Từ đĩ ta cĩ P(t) =f PWdt = (ct +) T+ (cot + Àa) Ở + (cot +s) B= te + 3
Quỹ đạo chuyển động của chất điểm là một đường thẳng Như vậy, chất điểm chuyển động trên một đường thẳng với vận tốc khơng đổi
Trang 29Giải Ta cĩ
Vt)=f Wat =f (eV et Rat =e 7 — eR +X,
ZX ia mot vects khong déi Do dé V(0) = 7 — F +X Từ giả thiết ?È(0) = 7 +2 — Ÿ suy ra Ä = 27 Do đĩ V(t) = ¬ >
c? +3 -ett
Vì (0) = V(t) nen F(t) = f V(t)de
TỶ là một vectơ khơng đổi Do đĩ 7 (0) i + TỶ Theo giả thiết, 7 T(0) = 7 + È Từ đĩ suy ra TỶ = 0 và ta cĩ TÈ(t) = e"Ÿ +9 / +eFE + Ÿ Từ đĩ à ta cĩ TỶ) tử sa ve
aL
Ví dụ 2.3.5 Một viên dan được bắn ra với tốc độ ban dau vp > 0 tit mot
mịng súng nghiêng một gĩc œ với mặt đất Giả sử sức cản của khơng khí đối với viên đạn trong chuyển động là khơng đáng kể và viên đạn chỉ chịu tác
dụng của trọng lực
a) Xác định vectơ vị trí của viên đạn tại thời điểm £
b) Với giá trị nào của tầm bắn của viên đạn là lớn nhất? ©) Viết phương trình Dề - các của q;
đ) Tìm độ cao lớn nhất của viên đạn
Trang 30
Trong vật lí, người ta gọi đại lượng }m+(£) là động năng của chất tai diém M(x(t), y(t), 2(t)) Néu kí hiệu (AM) là động năng của chất điểm tại diém M thi cơng thức (1) cĩ dạng
W = K(B) - K(A) (2)
Cơng thức (2) cho thấy cơng được thực hiện để làm dịch chuyển chất điểm doc theo cung Œ từ điểm 4 đến điểm Ư bằng độ tăng động năng của chất điểm từ A sang Ư Bây giờ giả sử trường lực Pia một trường thế va
—E là một hàm số thé vị của trường vectơ #, Khi đĩ, theo định lí chơ bản của tích phân đường, ta cĩ we [Par = - [wear = ~[E((0)) - E(?(a))) ¿ ¿ hay W = E(A) - E(B) (3)
Cơng thức (3) cho thấy cơng thức được thực hiện để làm dịch chuyển chất điểm dọc theo cung Ở từ điểm 4A đến điểm Ư bằng độ giảm thế năng của chất điểm từ 4 sang Ư
Tit (2) va (3) suy ra
K(B) — K(A) = E(A) — E(B)
(Độ tăng động năng bằng độ giảm thế năng)
Do đĩ
E(A) + K(A) = E(B) + K(B)
Như vậy, tổng thế năng và động năng của chất điểm tại điểm A bằng tổng thế năng và động năng của chất điểm tại điểm B Vì cĩ thể thay B bởi
một diém bat ki M(x(t), y(t), z(f)) của cung C nên ta đi đến kết luận: Tổng thế năng tà động năng của chất điểm là khơng đổi khi chất điểm chuyển động
Đĩ là định luật bảo tồn năng lượng
Trang 312.3.3 Trường vectơ hai chiều trong vật lý
a) Ta xét bài tốn Vật lí đơn giản sau:
Giả sử S là một bản phẳng định hướng cĩ diện tích |S|, TỶ là trường vectơ pháp tuyến đơn vị xác định phía của S
Một dịng chất lỏng cĩ mật độ khối lượng thể tích ø khơng đổi chảy qua mặt Š sang phía xác định bởi trường vectơ TỲ Biết rằng trường vận tốc của
chất lỏng là T” khơng đổi, hãy tính khối lượng của chất lỏng chảy qua mặt
Š trong một đơn vị thời gian
Thể tích của chất lỏng chảy qua một đơn vị diện tích của mặt Š trong một đơn vị thời gian TỶ, TỶ
Thể tích của chất lỏng chảy qua mặt Š trong một đơn vị thời gian là (#, ?) |S| Do đĩ khối lượng của chất lỏng chảy qua mặt Š trong một đơn vị thời gian là ø(®, 72) |S| = ((p7), 7) |S
b) Ta xét bài tốn phức tạp hơn
Giả sử S là một mặt định hướng đơn trơn với phương trình vectơ
P(u,v) = a(u,v)t + y(u,v) Ý + z(u,) Ÿ, (u,) € D,
trong đĩ D là một miền đĩng đo được trong RẺ
Một dịng chất lỏng cĩ mật độ khối lượng thể tích /(z, y,
vectơ vận téc (x,y, 2) tai diém (x,y, 2) Biét ring hàm số ø và trường vận tốc TỶ
đều liên tục, hãy tính khối lượng của chất lỏng chảy qua mặt Š trong một đơn vị thời gian
Để đơn giản ta xét trường hợp D 1A một hình chữ nhật # : {ARi, Al,, AR,} và
Trang 32
AS), ASp, , AS, 1a cde mảnh của mặt Š t ương ứng với các hình chữ nhật Ai, AR, A Rụ, Mặt Š được chia thành các mảnh mật A8), AS, ., AS
Điện tíh mảnh A5; là |A5¡| = ff |= A FE |ldudv
Vi ham 56 (u,v) > J( A #)\t (u, | liên tục trén hinh chit nhat AR;
nên, theo định lí về giá trị trung bình của tích phan hai lớp, tồn tại một điểm
(u,0,) € AR; sao cho
lAsI = ||(Đ A %) @6;6)||ARi
Gọi điểm M, là ảnh của (w,,0,) (01 Pui, w))- Nếu đường kính d(x) của phép phân hoạch z khá nhỏ thì cĩ thể xem mảnh mặt AS; là một
mảnh phẳng cĩ vectơ pháp tuyến đơn vị là vectơ pháp tuyến đơn vị TỶ (u;, )
của mặt Š tại điểm A, Vì trường vận tốc TỶ và hàm số ø đều liên tục trên 8 nên chúng thay đổi rất ít trên A5 Vì vậy cĩ thể xem trường vận tốc TỶ và hàm số ø là khơng đổi trên A5, theo thứ tự, bằng ?(M,) = ?(? (u,¡)) và ø(M,) = p(TỀ(ui.9,) Do đĩ 'khối lượng” của chất long qua mat AS; trong mot don vj thoi gian xấp xi bằng [p(M,) 2 (M,).72 (ui, v3] |ASi| o : ? ở? ~ p(M,)-(M,) (Hes 1) 2 av = [Pen POouy) na Fae] aR, và tổng “ or or
= P (ui, vie ) ivi)| AR;
Trang 33là giá trị gần đúng của “khối lượng” chất lỏng chảy qua mặt Š trong một
đơn vị thời gian Vì hầm số
ar (u,v) > 9(u.v) = (p(TỀ(u, 9,)) (7 (, 0¡))) = A Tứ ») liên tuc trén R nén né cé kha tich trén R, va
lim o = [fortum ru, wy A OF a du,
# Az)50
Một cách tự nhiên, ta gọi tích phân này là khối lượng chất lỏng chảy qua mặt Š trong một đơn vị thời gian
Dat F = øŸ và thay hình chữ nhật ## bởi miền đồng do được D trong
RỀ, ta được tích phân hai lớp
JT #(Œ.9)) (#ế A #Ẻ)(u.)dude D
Một số bài tốn Vật lí khác cũng dẫn đến việc tính tích phân hai lớp cĩ
dạng trên Ta gọi nĩi là tích phân mặt của trường vectơ T: trên mặt định
hướng S
Định nghĩa 2.3.1 Giả sử Š là một mặt định hướng đơn trơn với phương trình vects
T(u,) = z(u,0) 3 + w(w,9) Ÿ + z(u,) Ê, (u, 0 € D,
trong đĩ D là một miền đĩng đo được trong #È và T là một trường vectơ
liên tục trên 6 Khi đĩ, tích phân mặt của trường vects F trên mặt S, kí hiệu là
II #Œ.w.z).d3 hoặc [ƒ (M).d3 hoặc [ƒ Ẻ d3
a được cho bởi cơng thức °
Trang 34Nếu 6 là mặt định hướng với phía trên thì phía của Š được xác định bởi
trường vectơ pháp tuyến đơn vị 7 ee mea | Khi d6, neu P= PT +Q7 + QE la mot trong vecto lien tục trên Š [[Ps- [72 $ [PPT 5 + QT + RR) (BT - He _p% — Qi /ˆ PH — Qh + R) dedy Nếu Š là mặt định hướng với phía dưới thì J3 = J[ (P + 8 ~ R)dody Vi dy 3.3.7 Tính thơng lượng của trường vectơ #Œ,w,z)=v?—-z?+4# qua mặt trên của mặt Š, trong đĩ Š là phần của mặt parabơlơit z = 1 —2? — y? trong gĩc phần tám thứ nhất Giải Ta khơng áp dụng cơng thức 4.5 mà giải trực tiếp bài tốn như đối với Ví dụ 1 Phương trình vectơ của mặt 9 là ?Œw)=z ~w+(L—z2~ 12) #, (œ.u) € Ð,
trong đĩ D là một phần tư hình trịn đơn vị trong gĩc phan tư thứ nhất của mặt phẳng Oz Mặt trên của Š được xác định bởi trường vectơ phấp
tuyến đơn vị
= 2s ene
Thong lugng cia trudng vecto F qua mit trén cita Š là
Trang 35JJ?s- ;e+z?+)s
“ff Qey — Quy + 4)drdụ = 4 [fers
Kí hiệu khác của tích phân mặt của một trường vectơ
Giả sử S là một mặt đơn trơn với phương trình vectơ
P(u,v) = z(u,0) Ê + y(u,v)F + 2(u,v) (u,v) € D,
trong đĩ D là một miền đĩng do được trong HỂ và Ê = P?-+Q7+RE
là một trường vectơ liên tục trên S Theo định nghĩa tích phân mặt của một trường vectơ, ta cĩ Sf Pas = if (PT +Q7 +RP) (# A F) dudv ar oe D(u,z)— „ D(z,z)> „ D(z.u)> Gu We ~ Dur)’ * Dev)? + Dev) nên uF ds = SL PBS + Opies + Rota} dude ay) = f PHAdude + fQ D ị We dud + {RE tuản Dị
Ta nhớ lại ring 725} là giacơbian của ánh xạ
(u,v) + ĩ(u,) = (0(u, 9), z(w,6)), (u,u) € D
Điều này làm ta liên tưởng đến cơng thức biến đổi số trong tích phân hai lớp và người ta đã dùng kí hiệu ([ Pdydz dé chi tích phân đầu ở về phải của 3
Trang 36Vi dy 2.3.8, Tính I = ƒƒ zdụdz + ydzdz + zdrdụ trong đĩ S là mặt ngồi s
của của mặt ngồi của mặt elipxoit 5 + B+ 5 1 Giải Theo (3), ta cĩ = 1=[œ?+w}+:#)3 š Phương trình vectơ của mặt elipxơit đã cho là ? (6,ø) = asin0cosợ Ý + bsin0sin 2 + ccosØŸ, (3) (6, ¢) € D = (0, x] x [0,27] Ở cuối bài giải, ta sẽ chỉ ra rằng trường vectơ pháp tuyến đơn vị a? a Le [ee] l5 ^ ni Xác định phía ngồi của mặt elipxơit Vì vậy, theo định nghĩa tích phân mặt của một trường vectơ, ta cĩ T= ƒ (6sản8eose + bản gần ị + ccos9) (%^#) Dé thấy > ? > 7 > R TAF =| acosdcosy beosdsing —csind —asinØsine bsindcosp > ; + 0 - inŠØ cose 7 + aein Øsin ø Ÿ + absin Ø cos F (4) Do đĩ — abe [[ (sin89cos*£ + sinŸ6sin22 + sin đcos?9)d0dz 5 3o = abe | dg J sin0đØ = 4mabe đ
Bây giờ ta chứng mình trường vectơ pháp tuyến đơn vị TỶ xác định phía
ngồi của mặt elipxơit, Thật vậy, từ (3) và (4) suy ra (4 A 2) (0 2)) ?(,£) = abesinØ > 0 Với mọi ¿ € [0,27] va moi Ø € (0,7)
Do dé vects pháp tuyén (32 A $2) (6, ) tai diém M(OM = 76,9)
(cùng hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị TỶ (9, ¿) tại điểm M ) tạo với vectơ
Trang 37
T (6,@) = ONÌ một gĩc nhọn Từ đĩ suy ra rằng trường vectơ TÈ hướng ra ngồi elipxơiL Để thấy với mọi ø € (0,25), lim TỶ(0,z) =F và 2 € (0,27), lim (8,9) = + Do đồ vectø pháp tuyển đơn vị tại điểm (0,0,c) là TẾ tạ điểm (0,0, ~¢) là -# Mặt trơn từng mảnh định hướng,
a) Gia sit mat định hướng 9 cĩ biên là một hoặc hợp của một số hữu hạn đường đơn trơn từng khúc và TỶ là trường vectơ pháp tuyến đơn vị xác định phía của mặt định hướng S Khi đĩ hướng dương của mỗi đường Ở (cầu thành biên của 9 ) cảm sinh bởi mặt định hướng Š được xác định như sau
Nếu một người đứng trên mặt S, đầu hướng theo vectơ TỶ đi trên Ở theo
hướng đương thì mặt Š luơn ở bên trái người đĩ (xem hình h45)
b) Gia sử mặt trơn từng mảnh Š là hợp của các mặt định hướng S¡, 5;, S„, (Hai mat S; va S; hoặc khơng cĩ điểm chung hoặc cĩ giao tuyến là phần biên
chung ƠS, Ø8; của chúng và nỶ, nề, , Tà là các trường vectơ pháp tuyến
đơn vị, theo thứ tự, xác định phía củaS), S¿, S„„
S; giao nhau, hướng đương của giao tuyến của chúng cảm sinh bởi hai mặt của cặp là đối nhau thì 9 được gọi là một mặt trơn từng mảnh định hướng
Phía của mặt Š được xác định bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị TỶ :
TÈ(M) = TÌi(M), M € S\AS;,i = 1, ,m
Chẳng hạn mặt Š, biên của hình lập phương là một mặt trơn từng mảnh,
gồm sau mặt trơn (đĩ là sáu hình vuơng); hai mặt bất kì hoặc khơng cĩ điểm
tu với mỗi cap Sj va
Trang 38chung hoặc cĩ một cạnh chung (xem h.46b)) Nếu cả sáu mặt đều được định hướng sao cho các vectơ pháp tuyến đơn vị TỶ của chúng đều hướng ra ngồi hình lập phương hoặc đều hướng vào trong hình lập phương thì mặt S biên của hình lập phương được định hướng Khi đĩ Š là một mặt trơn từng mảnh định hướng,
Nếu mặt trơn từng mảnh định hướng Š gồm các mặt định hướng đơn
tron Sj, ,Sm thi ta định nghĩa uF d3 = Š Ji #3 Sis
Ví dụ 2.3.9 Tính thơng lượng cũa trường vecto F(x, y,2)=27 typ +2k
qua mặt ngồi của hình trụ #? + y° < a?,0 < z< h
Giải Mặt ngồi 8 của hình trụ là bien của hình trụ với phía xác định bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngồi hình trụ Mặt ngồi S của hình trụ gồm ba mặt định hướng: Mặt xung quanh 5; của hình trụ với
trường vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngồi hình trụ, hình trịn S; tâm Ơ bán kính a trong mặt phẳng Ozy với trường vectơ pháp tuyến đơn vị — Ê`
và hình trịn 5 trong mặt phẳng z = h cĩ tâm nằm trên trục Ĩz, bán kính =
a v6i tring vecto phap tuyến đơn vị & Phương trình vecto cia mat S; 1a ?(,2) =&eosợ 7 + asingŸ +z#,0< @<9z,0 < z< h Ta cĩ oF ? TT, no? > -asing? +acosyj, ae > "ni =acospi +asing 7 Trường vectơ pháp tuyến đơn vị roar 7 7 = =
R= #evftedh2Ï — cos¿j + sin@
của mặt Š¡ hướng ra ngồi hình trụ Do đĩ Anh a
Trang 39= J[04s=0 Š Ap dụng cơng thức (2) trong 4.3, ta được JJ2s-JJfcss s = [J (ai +y7 +08).(-Bas ‘Twang JJ?8= |[eT?+v7+ss § s = [J[hdS = h|Sj| = hve’ "Thơng lượng của trường veetơ Ễ qua mặt ngồi của hình trụ là JJ?s-JJ?8: JJ?s: JJ?s = 2na?h + 0 + xa°h = 3na°h
Ứng dụng vật lí của tích phân mặt của trường vectơ
Nếu Ÿ là một điện trường trên mặt định hướng Š (xem ví dụ 4 trong 1.2, chương IÏ) ga
được gọi là thơng lượng của điện trường TỶ qua mặt S:
thì tích phân mặt
Ta nhée lai định lí Gao-xơ (Gauss), một định lí quan trọng cđa Tĩnh điện học
€ là điện tích bên trong một mặt kín Š và là điện trường của điện tích Q thì thơng
lượng của điện trường qua mặt ngồi S là Jf Bad = 2, trong 6 cy là hằng số điện mơi của chân khơng, Như ụ
y, nếu biết điện trường E trên mặt Š thì, áp dụng định lí Gao-xơ, cĩ thể tính
được điện tích bên trong mặt S
Trang 40ịG,y,z)
Dio lại, cĩ thể áp dụng định lí Gao-xơ để từ điện trường sinh ra bởi một vật tích
điện phân bố điện tích một cách đối xứng Chẳng hạn, ta phải tìm điện trường của một
soi day dai vo tận tích điện đều (một dây điên thoại lí tưởng) cĩ điện tích À (điện tích
trên một đơn vi độ dài) khơng đổi Ta chọn một hệ toa độ Ozz sao cho trục Ởz nằm
tren soi day
Giả sit M(x, y, 2) là một điểm bắt kì khơng nằm trên sợ dây Mặt phẳng di qua điểm Á và vuơng gốc với sợ dây nĩ chia thành hai nửa đơi xứng Gọi Ex(x, y, 2) và EẺ(z.w.)
theo thứ tự, là lực điện do nữa trên và nửa dưới sơi dây gây ra, tác dụng lên một don vi
điện tích đặt Lại điểm AM Vì điện tích được phân bố đều trên dây nên hai lực điện này cĩ
cùng cường độ và tạo với sợi dây cùng một gĩc nhọn Ø Vì lực điện F(z,,z) do tồn bộ
sơi dây gây ra, tác dụng lên một đơn vị điện tích đặt tai điểm A/ là hợp của hai lực điện
EX(x, y,2) va Ex(x,y,2) nen (z,,z) vuơng gĩc với sợi day Do d6 E(x, y,2) cĩ thành
ling 0 Tit tinh d6i xứng của sự phân bố điện tích trên dây
phần trên trục Oz
suy ra rằng hai lực din Ee(ry, 1,21) va Esl, yo, 22) cĩ cường độ bằng nhan nếu hai
và (za, ga, za) cách đều sợi đây Do đĩ lực điện (z,,z) chỉ phụ thuộc
điểm (2,0
vào khoảng cách tit Êm (z,w, z) đến sợi d “Từ đĩ suy ra rằng Lồn tai một hầm số thực ƒ xác định trên tâp {(z,,z) : z2 + y? > O} sao cho
Baus) = 5 (Vere) Fae (0)