Phép tính vi phân của hàm vectơ và một số ứng dụng

✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖ ❱Ơ ❚❍➚ ❚❍Ị❨ ❱❹◆ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚➊◆ ✣➋ ❚⑨■ P❍➆P ❚➑◆❍ ❱■ P❍❹◆ ❈Õ❆ ❍⑨▼ ❱❊❈❚❒ ❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ Ù◆● ❉Ö◆● ❈❍❯❨➊◆ ◆●⑨◆❍✿ ❚❖⑩◆ ●■❷■ ❚➑❈❍ ▼➣ sè✿ ữớ ữợ ◗❯❨ ✣⑨ ◆➂◆● ✲ ◆❿▼ ✷✵✷✶ ▼ö❝ ❧ö❝ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ▼Ð ✣❺❯ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð ✹ ✺ ✽ ✶✳✶ ◆❤➢❝ ❧↕✐ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✈❡❝tì ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✷ ●✐ỵ✐ ❤↕♥ ✈➔ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♠ët ❜✐➳♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✶✳✸ ✣↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♠ët ❜✐➳♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✶✳✹ ❈→❝ q✉② t➢❝ t➻♠ ✤↕♦ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✶✳✺ ❚➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♠ët ❜✐➳♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✶✳✻ ❙ì ❧÷đ❝ ✈➲ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✷ ▼ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ✷✳✶ Ù♥❣ ❞ư♥❣ ❤➔♠ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤à♥❤ ❧÷đ♥❣ ✳ ✷✹ ✷✳✶✳✶ ✣ë ❞➔✐ ❝✉♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✷✳✶✳✷ ✣ë ❝♦♥❣ ❝õ❛ ♠ët ✤÷í♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✷✳✶✳✸ ❱❡❝tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ ✤ì♥ ✈à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷ ✷✳✶✳✹ ❱❡❝tì trị♥❣ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✷✳✶✳✺ P❤→♣ ❞✐➺♥✱ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♠➟t t✐➳♣ ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♠➟t t✐➳♣ ✸✺ ✷✳✶✳✻ ✣ë ❝♦♥❣ ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♠➟t t✐➳♣ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ♣❤➥♥❣ y = f (x) ✷✳✷ ✷✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ Ù♥❣ ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr÷í♥❣ ✈❡❝tì ✸✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ✷✳✷✳✶ rữớ tỡ trữớ ổ ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ✷✳✷✳✷ r ởt trữớ ổ ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷ ✷✳✷✳✸ ❘æt❛ ❝õ❛ ♠ët tr÷í♥❣ ✈❡❝tì ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻ ✷ ✷✳✷✳✹ ✷✳✸ ✷✳✹ ✣✐✈❡❝❣✐➠♥❣ ❝õ❛ ✶ tr÷í♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾ Ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟t ❧➼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸ ✷✳✸✳✶ ❱❡❝tì ✈➟♥ tè❝✱ tè❝ ✤ë ✈➔ ✈❡❝tì ❣✐❛ tè❝ ❝õ❛ ❝❤➜t ✤✐➸♠ ✳ ✺✸ ✷✳✸✳✷ ❚r÷í♥❣ ✈❡❝tì ♠ët ❝❤✐➲✉ tr t ỵ ✳ ✳ ✳ ✺✽ ✷✳✸✳✸ ❚r÷í♥❣ ✈❡❝tì ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ tr♦♥❣ t ỵ ✳ ✳ ✻✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✺ Ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❞↕♥❣ ✈✐ ♣❤➙♥ ✷✳✹✳✶ ❱✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♠ët ❜✐➳♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✺ ✷✳✹✳✷ ❱✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ✈❡❝tì ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✼ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✽✷ ✸ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ r✐➯♥❣ tæ✐✳ ❈→❝ sè ❧✐➺✉✱ ❦➳t q✉↔ ♥➯✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷đ❝ ❛✐ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜➜t ❦➻ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥➔♦ ❦❤→❝✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❱ơ ❚❤à ❚❤ị② ❱➙♥ ✹ TRANG THƠNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM VECTO VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH – K38 Họ tên học viên: VŨ THỊ THÙY VÂN Người hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG NHẬT QUY Cơ sở đào tạo: Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng Tóm tắt: *Những kết luận văn: Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học: “ Phép tính vi phân hàm vecto số ứng dụng” đạt số kết sau đây: - Đã hệ thống hóa số khái niệm kết liên quan tới vectơ, hàm vectơ, giới hạn tính liên tục hàm véc tơ, đạo hàm hàm véctơ - Trình bày số ứng dụng hàm vectơ phép tính vi phân hàm vectơ nghiên cứu số trường vectơ vật lý, nghiên cứu dạng vi phân toán học Các kết ứng dụng đưa luận văn nhiều *Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn: Tác giả tìm hiểu viết luận văn dựa việc tham khảo kết từ tài liệu chuyên ngành lĩnh vực, xuất NXB uy tín nước giới Các kết thu chứng minh cách chặt chẽ đầy đủ, luận văn có sở khoa học Về ý nghĩa thực tiễn, tài liệu tham khảo tiếng Việt bổ ích cho học viên cao học ngành Tốn Giải tích độc giả quan tâm lĩnh vực hàm véctơ ứng dụng Xác nhận giáo viên hướng dẫn TS HOÀNG NHẬT QUY Người thực đề tài VŨ THỊ THÙY VÂN INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: The differential calculus of vector functions and some applications Major: Mathematical analysis Full name of Master student: VU THI THUY VAN Supervisors: PhD HOANG NHAT QUY Training institution: The University of Danang, University of Education Summary * The main results of the thesis: The research topic of the Master of Science thesis: “The differential calculus of vector functions and some applications” has achieved the following results: - Systematized a number of concepts and results related to vectors, vector functions, limits and continuity of vector functions, derivatives of vector functions - Presenting some applications of vector functions and differential calculus of vector functions in the study of some vector fields in physics, in the study of differential forms in mathematics The application results given in the thesis are quite numerous * The applicability in practice and subsequent research of the thesis: The author researches and writes the thesis based on the reference to new results from the documents specialized in the field, published by prestigious domestic and international publishers The obtained results are rigorously and fully demonstrated, thus the thesis has a scientific basis In terms of practical significance, this can be a useful reference in Vietnamese for graduate students majoring in Analytical Mathematics and interested readers in the field of vector functions and applications Supervior’s confirmation PhD HOANG NHAT QUY Student VU THI THUY VAN ▼Ð ✣❺❯ ỵ t r ữỡ tr t ❤å❝ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤➣ t❤➜② ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣ ✈➔ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❜ð✐ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝õ❛ ✈❡❝tì✳ ◆❣♦➔✐ ❝→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ✈❡❝tì ❝á♥ ❝â ù♥❣ ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ✈➟t ❧➼ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤→❝ ♥ú❛✳ ❍➔♠ ✈❡❝tì ❧➔ sü ♠ð rë♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈❡❝tì ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤➦t t÷ì♥❣ ù♥❣ ♠é✐ ❣✐→ trà t ∈ I ⊂ R ✈ỵ✐ ♠ët ✈❡❝tì tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❤♦➦❝ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✭✈➔ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥ ❧➔ ♠ët ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ♥➔♦ ✤â✮✳ ❑❤✐ ✤â ♠é✐ ✈❡❝tì ❝â t❤➸ ①❡♠ ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✈❡❝tì ❤➡♥❣✳ ❈â t❤➸ ♥â✐ ❤➔♠ ✈❡❝tì sỹ t ủ ỵ tt ữỡ tồ tỡ ỵ tt số ợ sỹ ❤é trđ ❝õ❛ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ ❝ư ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♥❤÷ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ♣❤➨♣ t➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥✱ ❤➔♠ ✈❡❝tì trð ♥➯♥ ❤ú✉ ❤✐➺✉ tr♦♥❣ ❝→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ tr♦♥❣ t ỵ tt ữợ õ t♦→♥ ❤å❝✱ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤➔♠ ✈❡❝tì ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ t❛ ợ ữỡ t ợ tứ õ t➻♠ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❤❛② ❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥✱ ự ỳ ỵ tt t õ ỵ tt t ♥â✐ r✐➯♥❣ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ▼➦❝ ❞ò ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ✈➔ ♣❤➨♣ t♦→♥ ✤↕♦ ❤➔♠ ♥â✐ r✐➯♥❣ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ t♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣ ✈➔ tr♦♥❣ ❝→❝ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ♥❤ú♥❣ ✈❛✐ trá ♥➔② ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ❦❤ỉ♥❣ ✤÷đ❝ t❤➸ ❤✐➺♥ rã ♥➨t tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ❤å❝ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✳ ❱✐➺❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ tr♦♥❣ ♠ët sè ❧➽♥❤ ỹ q tở t ỵ tt t ✳ ✳ ✮ ❦❤ỉ♥❣ ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ ✤ó♥❣ ♠ù❝ ✈ỉ t➻♥❤ ✤➣ ❣➙② r❛ sü ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♥➔② ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣➙② ✤÷đ❝ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ✈➔ ♥✐➲♠ ✤❛♠ ♠➯ ❦❤✐ ❤å❝ t♦→♥ ❝õ❛ ❤å❝ s✐♥❤✳ ❱✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✺ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì õ t sỹ ợ tr ữỡ t✐➺♣ ❝➟♥ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♥➔②✱ ♠❛♥❣ ❧↕✐ ❣â❝ ♥❤➻♥ ♠ỵ✐ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ❤å❝ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ✤➲ t➔✐ ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ❦ý ✈å♥❣ s➩ ❧➔ ❝ì sð ✤➸ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ✤➔♦ s➙✉ ✈➔ ♠ð rë♥❣ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t♦→♥ ❤å❝ ♣❤ê t❤æ♥❣ ♥❤➡♠ ✤→♣ ù♥❣ õ t ữợ ữỡ tr tổ ợ ỳ ỵ ữ tr ữợ sỹ ữợ t ◗✉② ✱ tæ✐ ✤➣ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣✑ ❚❙✳ ❍♦➔♥❣ ✏P❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ✈➔ ✤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ✷✳ ▼ö❝ t✐➯✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ✲ ❍➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ✈❡❝tì✳ ✲ P❤→t ❜✐➸✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ ✈❡❝tì ✈➔ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♥❤÷✿ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ ✤↕♦ ❤➔♠✱ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳ ✲ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè ♠ỉ ❤➻♥❤ ✈➟t ỵ ố tữủ ự ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♥❤÷✿ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ ✤↕♦ ❤➔♠✱ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✳ ✸✳✷✳ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✣➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t❤✉ë❝ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤ t♦→♥ ❤å❝✳ ❈ö t❤➸✱ ✤➲ t➔✐ s➩ ❤➺ t❤è♥❣ ❤â❛ ❝→❝ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✈❡❝tì ✱ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✳ ✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✲ ❚❤✉ t❤➟♣✱ tê♥❣ ❤đ♣✱ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ✲ ✣å❝✱ tr❛ ❝ù✉ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠ët ❝→❝❤ ❧♦❣✐❝ ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣✳ ✻ ✲ ❚r❛♦ ✤ê✐✱ t❤↔♦ ❧✉➟♥✱ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ỵ ữớ ữợ ị ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❑➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❣✐ó♣ tỉ✐ ❤✐➸✉ s➙✉ s➢❝ ❤ì♥ ✈➲ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ ❣â♣ ♣❤➛♥ ♥➙♥❣ ❝❛♦ ❝❤➜t ❧÷đ♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ♠ỉ♥ ❜➟❝ ❚❍P❚ ♠➔ tæ✐ ✤❛♥❣ ✤↔♠ ♥❤➟♥✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤÷đ❝ s➩ trð t❤➔♥❤ t÷ ❧✐➺✉ ❝❤➼♥❤ ✤➸ tỉ✐ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ tü ❝❤å♥ ✈➔ ❝→❝ ❤♦↕t ✤ë♥❣ tr↔✐ ♥❣❤✐➺♠ s→♥❣ t↕♦ t❤❡♦ ②➯✉ ❝➛✉ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❤ê t❤ỉ♥❣ ♠ỵ✐ s➩ tr✐➸♥ ❦❤❛✐ ❜➢t ✤➛✉ tø ♥➠♠ ✷✵✷✵✳ ✻✳ ❈➜✉ tró❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ✷ ❝❤÷ì♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❞➔♥❤ ✤➸ tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ✈❡❝tì✱ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❧➔ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè ♠ỉ ❤➻♥❤ ✈➟t ỵ q ự tr t♦→♥ ❤å❝✳ ✼ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ ❞➔♥❤ ✤➸ ❤➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ tỵ✐ ✈❡❝tì❀ ❤➔♠ ✈❡❝tì❀ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥✱ ✤↕♦ ❤➔♠ ✈➔ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✳ ✣➙② ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝➛♥ t❤✐➳t ❝❤♦ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✷✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ð ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶❪✱ ❬✷❪✱ ❬✹❪✱ ❬✺❪✱ ❬✻❪✳ ✶✳✶ ◆❤➢❝ ❧↕✐ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✈❡❝tì ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✱ ✈❡❝tì ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ♠ët ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ tr♦♥❣ ✤â q✉② ✤à♥❤ ♠ët ✤➛✉ ♠ót ❧➔ ✤✐➸♠ ✤➛✉ ✭✤✐➸♠ ❣è❝✮ ✈➔ ✤➛✉ ♠ót ❝á♥ ❧➔ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝✉è✐ ✭✤✐➸♠ ♥❣å♥✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✤ë ❞➔✐ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ✤â ợ tỡ ữớ t ❝❤ù❛ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ✤â ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ ❝❤✐➲✉ tø ✤✐➸♠ ✤➛✉ ✤➳♥ ✤✐➸♠ ❝✉è✐ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ ✈❡❝tì✳ P tỡ t ởt tỡ ợ ữủ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ q✉② t➢❝ ❜❛ ✤✐➸♠ ❤♦➦❝ q✉② t➢❝ P ởt số tỹ ữỡ ợ a õ ữủ ợ a λ ✈ỵ✐ ♠ët ✈❡❝tì ⃗a ❝❤♦ t❛ ♠ët ✈❡❝tì ♠ỵ✐ ❝ị♥❣ |λ||⃗a| ✈➔ ❝â ❝❤✐➲✉ ❝ị♥❣ ❝❤✐➲✉ ✈ỵ✐ ⃗a ♥➳✉ λ > 0✱ λ < 0✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣✱ ✈❡❝tì ✤÷đ❝ ❤✐➸✉ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ K ∈ {R, C}✳ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì tr➯♥ tr÷í♥❣ sè tr➯♥ tr÷í♥❣ K ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣ V ̸= ∅ Ð ✤➙②✱ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ♠➔ tr➯♥ ✤â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ✽ ◆❤÷ ✈➟② df (t0) ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ tø R ✈➔♦ Rq ✈➔ f (t0 + h) − f (t0 ) − df (t0 )(h) = h→0 h lim ◗✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ✈➔ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♠ët ❜✐➳♥ sè ●✐↔ sû I ❧➔ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ ♠ð ❝õ❛ R ✈➔ f : I → Rq ❧➔ ♠ët ❤➔♠✳ ❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ✈➔ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì s✉② r❛ r➡♥❣ ♥➳✉ ❤➔♠ f ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐ ✤✐➸♠ t0 ∈ I t❤➻ ♥â ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ ✤✐➸♠ t0 ✈➔ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ ✤✐➸♠ t0 ❧➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ df (t0) : R → Rq ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ df (t0)(h) = hf ′(t0) ✣↔♦ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû ❤➔♠ f : I → Rq ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ ✤✐➸♠ t0 ∈ I, ✈➔ df (t0) ❧➔ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ ✤✐➸♠ t0 ❚❛ ❝â df (t0 ) ∈ L(R, Rq )(L(R, Rq ) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ tø R ✈➔♦ Rq ✮ ✈➔ f (t0 + h) − f (t0 ) − df (t0 )(h) = (3) h→0 h lim ❱➻ df (t0) ❧➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥➯♥ tø ✭✸✮ s✉② r❛ f (t0 + h) − f (t0 ) = df (t0 ) (1) h→0 h lim ❱➟② ❤➔♠ f ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐ ✤✐➸♠ t0 ✈➔ f ′(t0) = df (t0) ❚â♠ ❧↕✐ t❛ õ t q s ỵ sỷ I ❧➔ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ ♠ð ❝õ❛ R ✈➔ f : I → R ❧➔ ♠ët ❤➔♠✳ ❍➔♠ f ❦❤↔ q ✈✐ t↕✐ ✤✐➸♠ t0 ∈ I ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ f ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐ ✤✐➸♠ t0 ❱✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ ✤✐➸♠ t0 ❧➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ df (t0 ) : R → Rq ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ df (t0 )(h) = hf ′ (t0 ) ❱➼ ❞ö ✷✳✹✳✶✳ ❈❤♦ ❤➔♠ f : R → R ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ f (t) = (cos t, sin t) ❚➻♠ ✤↕♦ ❤➔♠ ✈➔ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ ✤✐➸♠ t = π6 ●✐↔✐✳ ❚❛ ❝â f ′(t) = −(sin t, cos t) ✈ỵ✐ ♠å✐ t ∈ R; f′ π = − sin π6 , cos π6 = − 12 , √ ❱✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ ✤✐➸♠ t = π6 ❧➔ →♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ df h → df π (h) = hf ′ π = h − 12 , √ = − h2 , ✼✻ √ h π : R → R2 ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✷✳✹✳✷ ❱✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ✈❡❝tì ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ sè ❚r♦♥❣ ♠ö❝ tr➯♥✱ t❛ ✤➣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♠ët ❜✐➳♥ sè✳ ❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔②✱ t❛ s➩ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ sè✱ tù❝ ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rp ✭ p ♥❣✉②➯♥✱ p > ✮ ✈➔ ❧➜② ❝→❝ ❣✐→ trà ✭↔♥❤✮ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rq ✭ q ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✮✳ ❈→❝ ❤➔♠ sè t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ sè ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ Rp ✭p ♥❣✉②➯♥ ✱ p > ✮ ✈➔ f : Ω → Rq q ữỡ ởt ợ ♠é✐ x = (x1, x2, , xp) ∈ Ω, f (x) = f (x1, x2, , xp) ❧➔ ♠ët ✈❡❝tì ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rq ❉♦ ✤â f (x) = (f1 (x), f2 (x), , fp (x)) ❍❛② f (x1, x2, , xp) = (f1(x1, , xp), , fq (x1), , xp)), ❚r♦♥❣ ✤â f1(x) = f1(x1, , xp), i = 1, , q ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè t❤ü❝❀ f1, f2, , fq ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❤➔♠ sè t❤ü❝ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ ❤ñ♣ Ω; ✤â ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❤➔♠ sè p ❜✐➳♥ sè✳ ❚❛ ❣å✐ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ sè t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì f ✈➔ ✈✐➳t f = (f1 , f2 , , fq ) ✣↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝ tì ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ sè ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✹✳✶✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣ ♠ð tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ R ✭ p ♥❣✉②➯♥ ✈➔ ❧ỵ♥ p ❤ì♥ ✶✮ ✈➔ f = (f1, f2, , fq ) : Ω → Rq ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✭✈❡❝tì✮✳ ◆➳✉ ❝→❝ ❤➔♠ sè t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ (x0 ), ∂f (x0 ), , ∂f (x0 ) f1 , f2 , , fq ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì f ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ∂f ∂x ∂x ∂x ❚❤❡♦ ❜✐➳♥ sè ✭t❤ù ✐✮ xi(i ∈ {1, 2, , p}) t↕✐ ✤✐➸♠ x0 ∈ Ω t❤➻ ✈❡❝tì ∂f∂x (x0), ∂f∂x (x0), , ∂f∂x (x0) Rq ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t❤❡♦ ❜✐➳♥ sè t❤ù i ❝õ❛ f t↕✐ ✤✐➸♠ x0 , ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ∂f (x0 ) ❤♦➦❝ f ′x (x0 ) ❤♦➦❝ Di f (x0 ) ∂x ◆❤÷ ✈➟② q i i i q i i i i i ∂f (x0 ) ∂xi = ∂f1 q (x0 ), , ∂f (x0 ) ∂xi ∂xi ●å✐ {e1, e2, , ep} ❧➔ ❝ì sð tü ♥❤✐➯♥ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ Rp ❱➻ Ω ❧➔ t➟♣ ❤đ♣ ♠ð ✈➔ x0 ∈ Ω ♥➯♥ ✈ỵ✐ t ∈ R, |t| ✤õ ♥❤ä✱ x0 + tei ∈ Ω ❉➵ t❤➜② ∂f (x0 ) ∂xi = lim x→∞ f (x0 +tei )−f (x0 ) t ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♠ët ❜✐➳♥ sè tr♦♥❣ ✷✳✸ ✤÷đ❝ ♠ð rë♥❣ ♠ët ❝→❝❤ tü ♥❤✐➯♥ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ sè✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ sè ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ♠ð tr♦♥❣ Rp ✭p ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✮ ✈➔ f : Ω → Rq ✭ q ♥❣✉②➯♥ ✼✼ ∈ ❞÷ì♥❣✮ ❧➔ ♠ët ❤➔♠✳ ❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ ❤➔♠ f ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ ✤✐➸♠ a ∈ Ω tỗ t ởt t t A : Rp → Rq s❛♦ ❝❤♦ lim h→0 ∥f (a+h)−f (a)−A(h)∥ ∥h∥ = ❑❤✐ ✤â✱ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ A ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ ✤✐➸♠ a, ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ df (a) (a)−df (a)(h)∥ ◆❤÷ ✈➟② df (a) ∈ L(Rp, Rq ) ✈➔ h→0 lim ∥f (a+h)−f∥h∥ = ❍➔♠ f ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥ t➟♣ ❤ñ♣ U ⊂ Ω ♥➳✉ ♥â ❦❤↔ ✈✐ t U ữợ tữỡ ữỡ ỵ ✷✳✹✳✷✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ♠ð tr♦♥❣ Rp, f : Ω → Rq ❧➔ ♠ët ❤➔♠✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ ❛✮ f ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ ✤✐➸♠ a ∈ Ω ✈➔ df (a) = A L(Rp, Rq ) ỗ t ởt ❤➔♠ r : V → Rq ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ V ❝õ❛ ✤✐➸♠ ∈ Rp ✈➔ ❧➜② ❝→❝ ↔♥❤ tr♦♥❣ Rq s❛♦ ❝❤♦ (∀h ∈ V )f (x + h) − f (a) − Ah = ∥h∥ r(h) ✈➔ h→0 lim r(h) = 0, ❤❛② f (a + h) − f (a) − Ah = 0(∥h∥) ❦❤✐ h ợ ởt số ữỡ t trữợ tỗ t ởt số ữỡ s ❝❤♦ (∀h ∈ Rp ) ∥h∥ ≤ δ ⇒ ∥f (a + h) − f (a) − Ah∥ ≤ δ ∥h∥ ✭ð ✤➙② t❛ ✤➣ sû ❞ö♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ Ah t❤❛② ❝❤♦ A(h)) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ a) ⇒ b) ❚❛ ❝â lim h→0 ∥f (a+h)−f (a)−A(h)∥ ∥h∥ = ❱➻ Ω ❧➔♠ët t➟♣ ❤đ♣ ♠ð tr♦♥❣ Rp ♥➯♥ ✈ỵ✐ ∥h∥ ✤õ ♥❤ä (h ∈ Rp), t❛ ❝â a + h ∈ Ω ✣➦t r(h) =   f (a+b)−f (a)−Ah ∥h∥ (h ̸= 0) (h = 0) t❛ ✤÷đ❝ ❤➔♠ r ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ✤õ ♥❤ä V ❝õ❛ ∈ Rp ✈➔ ❧➜② ❝→❝ ↔♥❤ tr♦♥❣ Rq ❚ø ✤â s✉② r❛ f (a + h) − f (a) − Ah = ∥h∥ r(h) ✈➔ lim f (h) = h→0 ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ b) ⇒ a) ❱➻ h→0 lim f (h) = ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ợ ởt số ữỡ t trữợ tỗ t ởt số ữỡ s h r(h) tữỡ ữỡ ợ ỵ sỷ ởt t ❤đ♣ ♠ð tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ Rp ✈➔ f : Ω → Rq ❧➔ ♠ët ❤➔♠✳ ◆➳✉ f ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ ✤✐➸♠ a ∈ Ω t❤➻ ✈✐ ♣❤➙♥ df (a) ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ ✤✐➸♠ a ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû ❤❛✐ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ A, B : Rp → Rq ✤➲✉ ❧➔ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ f t a õ tỗ t r ✈➔ s ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ V ❝õ❛ ✤✐➸♠ ∈ Rp ✈➔ ❧➜② ❝→❝ ↔♥❤ tr♦♥❣ Rq s❛♦ ❝❤♦ ✼✽ f (a + h) − f (a) − Ah = ∥h∥ r(h), f (a + h) − f (a) − Bh = ∥h∥ s(h), ✈➔ h→0 lim r(h) = 0, lim s(h) = ❚ø ❤❛✐ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ s✉② r❛ h→0 (A − B) = ∥h∥ [s(h) − r(h)] ✭✶✮ ●✐↔ sû A ̸= B õ tỗ t h0 Rp s (A − B)h0 ̸= ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ th0 ∈ V ợ số ữỡ t ọ r t h ❜ð✐ th0 t❛ ✤÷đ❝ (A − B)(th0 ) = ∥th0 ∥ [s(th0 ) − r(th0 )] ❍❛② ✭✷✮ ❱➻ lim r(th0 ) = ✈➔ lim s(th0 ) = ♥➯♥ tø ✭✷✮ s✉② r❛ (A − B)h0 = t→0 t→0 ❚❛ ✤✐ ✤➳♥ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ (A − B)(h0 ) = ∥h0 ∥ [s(h0 ) − r(h0 )] ❱➼ ❞ư ✷✳✹✳✷✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣ ♠ð tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ R , b ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❝è ✤à♥❤ p ❝õ❛ Rq ✈➔ f : Ω → Rq ❧➔ ❤➔♠ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ f (x) = b ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ Ω ◆➳✉ x ∈ Ω ✈➔ A : Rp → Rq ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣✱ tù❝ ❧➔ Au = ✈ỵ✐ ♠å✐ u ∈ Rp t❤➻ ✈ỵ✐ ♠å✐ h ∈ Rp, ∥h∥ ✤õ ♥❤ä✱ t❛ ❝â f (x + h) − f (x) − Ah = b − a − = ❉♦ ✤â ❤➔♠ ❤➡♥❣ f ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ ♠é✐ ✤✐➸♠ x ∈ Ω ✈➔ df (x) ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ tø Rp ✈➔♦ Rq ❱➼ ❞ö ✷✳✹✳✸✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣ ♠ð tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ R , A : R p p → Rq ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ f = A |Ω , tù❝ ❧➔ f : Ω → Rq ❧➔ ❤➔♠ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ f (x) = Ax ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ Ω ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ Ω ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ h ∈ Rp, ∥h∥ ✤õ ♥❤ä✱ t❛ ❝â f (x + h) − f (x) − Ah = A(x + h) − Ax − Ah = ❉♦ ✤â f ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x ✈➔ df (x) = A ◆❤÷ ✈➟② ❤➔♠ f, t❤✉ ❤➭♣ ❝õ❛ ♠ët →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ A : Rp → Rq tr➯♥ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ♠ð Ω tr♦♥❣ Rp, ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥ Ω ✈➔ ∀x ∈ Ω, df (x) = A ✼✾ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ✣➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✧P❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì ✈➔ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣✧ ✤➣ ✤↕t ✤÷đ❝ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙②✿ ❍➺ t❤è♥❣ ❤â❛ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ tỵ✐ ✈❡❝tì✱ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ✈➔ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✱ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì✳ • ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ tr÷í♥❣ ✈❡❝tì ✈➔ trữớ ổ ữợ tr ởt số t t ỵ tr ự tr t ❤å❝✳ • ◆❣♦➔✐ r❛✱ q✉❛ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤✉♥❣ t❛ ❝ơ♥❣ t❤➜② r➡♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ sè ✤➲✉ ❝â t❤➸ ✤÷❛ ✈➲ ♠ỉ ❤➻♥❤ ❤➔♠ ✈❡❝tì✳ ◆❤÷ ✈➟② ✤➙② ❧➔ ❝→❝❤ t✐➳♣ ợ tt tỹ ố ợ ữỡ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ s➩ ❧➔ ❝ð sð q✉❛♥ trå♥❣ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ✤ê✐ ợ ữỡ t ♣❤ê t❤ỉ♥❣ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❣✐→♦ ❞ư❝ ♣❤ê t❤ỉ♥❣ ✷✵✶✽✳ ▼➦❝ ❞ị ✤➣ ❝â ♥❤✐➲✉ ❝è ❣➥♥❣ ✤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ◆❤÷♥❣ ❞♦ ♥➠♥❣ ❧ü❝ ❝õ❛ t qỵ tớ t ❦❤â tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❊♠ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ữủ ỵ õ ỵ qỵ tr ỗ ữủ t ỡ tr trồ ỡ ỗ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ ◆❣✉②➵♥ ❳✉➙♥ ▲✐➯♥ ✭✷✵✵✾✮✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ✈❡❝tì✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ư❝ ❱✐➺t ◆❛♠✳ ❬✷❪ ◆❣✉②➵♥ ❳✉➙♥ ▲✐➯♥ ✭✶✾✾✽✮✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ✭t➟♣ ✶✱ ✷✮✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ö❝ ❱✐➺t ◆❛♠✳ ❬✸❪ ✣♦➔♥ ◗✉ý♥❤ ✭✷✵✵✵✮✱ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ö❝ ❱✐➺t ◆❛♠✳ ❬✹❪ ❚r➛♥ ❇➻♥❤ ✭✷✵✵✵✮✱ P❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✈➔ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✭❚➟♣ ✶✱ ✷✮✱ ◆❳❇ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ❑ÿ t❤✉➟t✳ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✺❪ ❏❛♠❡s ❙t❡✇❛rt ✭✷✵✵✽✮✱ ❈❛❧❝✉❧✉s ✭✷♥❞ ❡❞✐t✐♦♥✮✱ ❇♦♦❦s✴❈♦❧❡ P✉❜❧✐s❤✐♥❣ ❈♦♠♣❛♥②✳ ❬✻❪ ●❡♦r❣❡ ❋✳ ❙✐♠♠♦♥s ✭✶✾✾✻✮✱ ❈❛❧❝✉❧✉s ✇✐t❤ ❛♥❛❧②t✐❝ ❣❡♦♠❡tr②✱ ▼❝●r❛✇ ❍✐❧❧ ■♥❝✳ ✽✶ ✽✸ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Độc lập - Tự - Hạnh phúc BẢN TƯỜNG TRÌNH BỔ SUNG, SỬA CHỮA LUẬN VĂN Họ tên học viên: VŨ THỊ THÙY VÂN Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Khóa: K38 Tên đề tài luận văn: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM VECTO VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Người hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG NHẬT QUY Ngày bảo vệ luận văn: 28 tháng 11 năm 2021 Sau tiếp thu ý kiến Hội đồng bảo vệ luận văn họp ngày 28/11/2021, chúng tơi giải trình số nội dung sau: Những điểm bổ sung, sửa chữa: 1- Chỉnh sửa sai sót câu chữ, lỗi tả luận văn 2- Trong chương II, đánh số định lí, ví dụ, phương trình theo yêu cầu giáo viên phản biện Cụ thể: Trang 26, Đánh lại ví dụ thành ví dụ 2.1.1 Trang 27, Đánh lại ví dụ thành ví dụ 2.1.2 Trang 29, Đánh lại ví dụ thành ví dụ 2.1.3 Trang 31, Đánh lại ví dụ thành ví dụ 2.1.4 Trang 32, Đánh lại ví dụ thành ví dụ 2.1.5 Trang 34, Đánh lại ví dụ thành ví dụ 2.1.6 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Phép tính vi phân hàm véctơ số ứng dụng Ngành: Toán giải tích Lớp K38.TGT Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2054/QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021 Danh sách thành viên Hội đồng: HỌ VÀ TÊN STT CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG TS Phạm Quý Mười Chủ tịch TS Tôn Thất Tú Thư ký TS Nguyễn Thị Thùy Dương Phản biện TS Lê Quang Thuận Phản biện PGS.TS Nguyễn Văn Đức a Thành viên có mặt: 05 Ủy viên b Thành viên vắng mặt: Thư ký Hội đồng báo cáo trình học tập, nghiên cứu học viên cao học đọc lý lịch khoa học (có văn kèm theo) Học viên cao học trình bày luận văn Các phản biện đọc nhận xét nêu câu hỏi (có văn kèm theo) Học viên cao học trả lời câu hỏi thành viên Hội đồng 10 Hội đồng họp riêng để đánh giá 11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết 12 Kết luận Hội đồng a) Kết luận chung: - Luận văn trình bày rõ ràng, nội dung phù hợp, kiến thức trình bày có hệ thống, nhiều kết ứng dụng - Đề nghị Trường ĐHSP-ĐH Đà Nẵng công nhận kết bảo vệ cấp thạc sỹ chun ngành Tốn Giải tích cho học viên b) Yêu cầu chỉnh, sửa nội dung: Chỉnh sửa theo góp ý hội đồng Đặc biệt theo ý kiến hai phản biện Học viên gửi luận văn sau sửa chữa cho cô Nguyễn Thị Thuỳ Dương để xác nhận c) Các ý kiến khác: Khơng có d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8.5 Bằng chữ: Tám phẩy năm 13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến 14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TS Tôn Thất Tú TS Phạm Quý Mười CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc - - BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (dùng cho thành viên hội đồng phản biện) Tên đề tài luận văn: Phép tính vi phân hàm vecto số ứng dụng Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 8.46.01.02 Họ tên học viên: Vũ Thị Thùy Vân Người nhận xét: TS Nguyễn Thị Thùy Dương Đơn vị công tác: Trường Đại học Sư phạm – ĐH ĐN NỘI DUNG NHẬN XÉT Học viên hoàn thành luận văn theo đề cương duyệt Tính cấp thiết đề tài: Lý chọn đề tài phù hợp với nhu cầu nghiên cứu Cơ sở khoa học thực tiễn: Luận văn tổng hợp từ tài liệu khoa học đáng tin cậy làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học độc giả quan tâm đến lĩnh vực Phương pháp nghiện cứu: nghiên cứu lý thuyết Kết nghiên cứu: Tổng quan kết trước Tác giả hệ thống lại kiến thức sở: hàm vecto, phép tính vi phân hàm vecto ứng dụng Hình thức luận văn: Luận văn biên soạn Latex dài 50 trang, gồm chương: Chương I: Kiến thức sở Chương II: Một số ứng dụng phép tính tích phân hàm vecto Trong luận văn lỗi chế Tuy nhiên, cịn vài chỗ cần chỉnh sửa: mục 1.4 quy tắc tính đạo hàm nằm mục 1.3, cần đồng cách đánh số thứ tự định nghĩa, định lí ví dụ chương với Đánh giá chung: Tôi đồng ý cho học viên bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Đà Nẵng, ngày 21 tháng 11 năm 2021 Người nhận xét TS Nguyễn Thị Thùy Dương CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc -o0o BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (Dùng cho thành viên hội đồng phản biện) Tên đề tài luận văn: Phép tính vi phân hàm vectơ số ứng dụng Ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 8460102 Họ tên học viên: Vũ Thị Thùy Vân Người nhận xét: TS Lê Quang Thuận Đơn vị công tác: Trường Đại học Quy Nhơn NỘI DUNG NHẬN XÉT Tính cấp thiết đề tài: Trong Giải tích tốn học, hàm véctơ hàm biến nhiều biến nhận giá trị không gian véctơ Các hàm véctơ công cụ hữu dụng để xác định phương trình tham số đường cong có nhiều ứng dụng lĩnh vực vật lý, kỹ thuật Các phép tính vi phân tích phân hàm biến mở rộng nghiên cứu cho hàm véctơ Trong luận văn, học viên Vũ Thị Thùy Vân tìm hiểu phép tính vi phân hàm véc tơ tìm hiểu ứng dụng phép tính tích phân hàm véctơ tốn hình học định lượng, nghiên cứu trường véc tơ, đặc biệt ứng dụng vật lý Việc nghiên cứu đề tài việc làm có ý nghĩa cấp thiết có đam mê hướng nghiên cứu Cơ sở khoa học thực tiễn: Tác giả tìm hiểu viết luận văn dựa việc tham khảo kết từ tài liệu chuyên ngành lĩnh vực, xuất NXB uy tín nước giới Các kết thu chứng minh cách chặt chẽ đầy đủ, luận văn có sở khoa học Về ý nghĩa thực tiễn, tài liệu tham khảo tiếng Việt bổ ích cho học viên cao học ngành Tốn Giải tích độc giả quan tâm lĩnh vực hàm véctơ ứng dụng Phương pháp nghiên cứu: Trên sở phương pháp kỹ thuật nghiên cứu trang bị từ lĩnh vực Giải tích hàm biến nhiều biến, Đại số tuyến tính, học viên sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài đọc hiểu, tổng hợp làm rõ tường minh kết liên quan đến chủ đề nghiên cứu Đây cách hợp lý để nghiên cứu hoàn thiện luận văn Kết nghiên cứu: - Đã hệ thống hóa số khái niệm kết liên quan tới vectơ, hàm vectơ, giới hạn tính liên tục hàm véc tơ, đạo hàm hàm véctơ - Trình bày số ứng dụng hàm vectơ phép tính vi phân hàm vectơ nghiên cứu số trường vectơ vật lý, nghiên cứu dạng vi phân toán học Các kết ứng dụng đưa luận văn nhiều Hình thức luận văn: - Luận văn có bố cục hợp lý hình thức trình bày đạt yêu cầu luận văn thạc sĩ Nội dung luận văn trình bày chương với 84 trang A4 Trong Chương 1, tác giả trình bày số kiến thức sở hàm véc tơ, đạo hàm tích phân hàm véc tơ, trường véc tơ Chương tác giả dành cho việc trình bày số ứng dụng phép tính vi phân hàm véctơ - Tuy nhiên, luận văn số sai sót nhỏ câu chữ, lỗi tả, cách viết cần phải sửa chữa Đặc biệt chương 2, việc đánh số định lý, ví dụ, phương trình chưa chuẩn Nhiều chỗ bị tràn trang Đánh giá chung a) Đề tài phù hợp với chun ngành Tốn Giải tích Luận văn học viên đáp ứng đầy đủ yêu cầu nội dung hình thức luận văn thạc sĩ toán học để bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng b) Tôi đồng ý cho Học viên bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ tác giả luận văn xứng đáng nhận học vị thạc sĩ toán học chuyên ngành Tốn Giải tích Bình Định, ngày 15 tháng11 năm 2021 Người nhận xét TS Lê Quang Thuận ... khoa học: “ Phép tính vi phân hàm vecto số ứng dụng? ?? đạt số kết sau đây: - Đã hệ thống hóa số khái niệm kết liên quan tới vectơ, hàm vectơ, giới hạn tính liên tục hàm véc tơ, đạo hàm hàm véctơ... đạo hàm hàm véctơ - Trình bày số ứng dụng hàm vectơ phép tính vi phân hàm vectơ nghiên cứu số trường vectơ vật lý, nghiên cứu dạng vi phân toán học Các kết ứng dụng đưa luận văn nhiều *Ý nghĩa... ❱➙♥ ✹ TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM VECTO VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Ngành: TỐN GIẢI TÍCH – K38 Họ tên học vi? ?n: VŨ THỊ THÙY VÂN Người hướng dẫn khoa học: TS