Phép tính tích phân của hàm vectơ và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— HỒ ANH ĐIỀN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM VECTƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— HỒ ANH ĐIỀN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM VECTƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học : TS Hoàng Nhật Quy Đà Nẵng - 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Phép tính tích phân hàm vectơ số ứng dụng" khơng có trùng lặp với đề tài luận văn khác Tôi xin khẳng định luận văn cơng trình nghiên cứu tổng quan tơi hướng dẫn TS Hồng Nhật Quy Các kết luận văn tổng hợp từ tài liệu có nguồn gốc rõ ràng Tác giả Hồ Anh Điền LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Hồng Nhật Quy, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng Nhân dịp tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán, quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học K39 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Tác giả Hồ Anh Điền TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Phép tính tích phân hàm vectơ số ứng dụng Ngành: Tốn giải tích Họ tên học viên: Hồ Anh Điền Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Nhật Quy Cơ sở đào tạo: Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng Tóm tắt   Những kết luận văn: - Đã hệ thống hóa số khái niệm kết liên quan tới vectơ, hàm vectơ phép tính tích phân hàm vectơ - Trình bày số ứng dụng hàm vectơ phép tính tích phân hàm vectơ nghiên cứu số trường vectơ vật lý (như trường điện từ, trường hấp hẫn, ), nghiên cứu dạng vi phân hình học vi phân toán học Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn: - Luận văn viết sở tham khảo kết từ 06 tài liệu tham khảo Tiếng Việt 02 tài liệu tham khảo Tiếng Anh sách chuyên khảo nhà xuất uy tín nước giới Do vậy, tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên cao học ngành Tốn Giải Tích độc giả quan tâm lĩnh vực Xác nhận giáo viên hướng dẫn Người thực đề tài INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: Integral calculus of vector functions and some applications Major: Mathematical analysis Full name of Master student: Ho Anh Dien Supervisors: PhD Hoang Nhat Quy Training institution: The University of Danang - University of Education Summary   The main results of the thesis: - Systematically presenting some concepts and results related to vectors, vector functions and integral calculus of vector functions - Presenting some applications of vector functions and integral calculus of vector functions in the study of some vector fields in physics (such as electromagnetic fields, gravitational fields, ), in the study of differential forms and geometry differential in mathematics The applicability in practice and subsequent research of the thesis: - The thesis is written on the basis of referencing results from 06 references in Vietnamese and 02 references in English, which are monographs of prestigious domestic and international publishers Therefore, this can be a useful reference for graduate students majoring in Calculus and readers interested in this field Supervior’s confirmation Student Mục lục MỞ ĐẦU Kiến thức sở 1.1 1.2 Một số kiến thức vectơ mặt phẳng không gian Hàm vectơ 12 1.3 Đạo hàm tích phân hàm vectơ 1.3.1 Đạo hàm hàm vectơ 15 15 1.4 1.3.2 Tích phân hàm vectơ Mặt tham số 19 20 1.5 1.6 Trường vectơ Sơ lược dạng vi phân 23 37 Một số ứng dụng phép tính tích phân hàm vectơ 40 2.1 Tích phân đường hàm vectơ ứng dụng 40 2.2 2.3 Tích phân mặt hàm vectơ ứng dụng Tích phân dạng vi phân 59 67 2.4 Một số ứng dụng hình học vi phân 70 Tài liệu tham khảo 74 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn học phổ thông, phương pháp tọa độ vectơ đề cập mức độ bản, mang lại phương pháp tiếp cận mới, lời giải hay cho nhiều tốn hình học Dựa lý thuyết tọa độ, vectơ hàm số, khái niệm hàm vectơ xây dựng nghiên cứu Tiếp cận lý thuyết hàm số theo hướng giúp có nhìn đa dạng khái niệm tốn học, mang lại mẻ tìm ứng dụng hữu ích cho nội dung tốn học nói chung nội dung phép tính tích phân nói riêng Phép tính tích phân hàm vectơ có nhiều ứng dụng nghiên cứu trường vectơ vật lý (như trường điện từ, trường hấp dẫn, dòng chất lỏng, ), nghiên cứu dạng vi phân hình học vi phân tốn học Là giáo viên dạy tốn trường phổ thơng với mong muốn tìm hiểu sâu phép tính tích phân hàm vectơ ứng dụng nó, mong muốn có cách tiếp cận mẻ để từ đưa cách truyền đạt để học sinh nắm bắt tiếp cận kiến thức tích phân cách dễ dàng thú vị hơn, hướng dẫn khoa học TS Hoàng Nhật Quy, tơi chọn đề tài “Phép tính tích phân hàm vectơ số ứng dụng” để thực luận văn Thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài là: • Hệ thơng hóa lại kiến thức liên quan tới vectơ, hàm vectơ phép tốn tích phân hàm vectơ • Nghiên cứu số ứng dụng phép tính tích phân hàm vectơ nghiên cứu trường vectơ vật lý, nghiên cứu dạng vi phân hình học vi phân tốn học Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Trong luận văn này, nghiên cứu số vấn đề phép tính tích phân hàm vectơ: khái niệm, số tính chất ứng dụng phép tính tích phân hàm vectơ b Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu thuộc chun ngành giải tích tốn học Cụ thể, đề tài hệ thống hóa khái niệm, kết mở rộng khái niệm hàm vectơ, tích phân hàm vectơ, trường vectơ nghiên cứu số ứng dụng phép tính tích phân hàm vectơ số lĩnh vực vật lý toán học Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm phần sau đây: • Mở đầu: Phần nhằm giới thiệu sơ lược đối tượng nghiên cứu chun ngành Giải tích vectơ nói chung hàm vectơ nói riêng • Phần nội dung: Nội dung luận văn gồm có chương cụ thể sau: Chương Kiến thức sở: Chương trình bày số kiến thức vectơ mặt phẳng khơng gian, định nghĩa hàm vectơ,trường vectơ, tích phân hàm vectơ sơ lược dạng vi phân Chương Một số ứng dụng phép tính tích phân hàm vectơ: Chương giành để giới thiệu tích phân đường hàm vectơ ứng dụng, tích phân mặt hàm vectơ ứng dụng Ngồi cịn giới thiệu sơ lược tích phân dạng vi phân số ứng dụng hình học vi phân • Kết luận • Tài liệu tham khảo Nếu ω = Pdx+ Qdy dạng vi phân bậc liên tục tập hợp mở U R2 C cung phẳng định hướng trơn chứa U với biểu diễn tham số r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] b ω= C Pdx + Qdy = C [P(r(t))x′ (t) + Q(r(t))y′ (t)] dt a Ví dụ 2.3.1 Cho dạng vi phân bậc ω tập hợp mở U = R2 \(0, 0) xác định xdy − ydx ω(x, y) = x2 + y ω , C đường trịn tâm O, bán kính a theo hướng ngược với chiều quay kim đồng hồ Tính Giải Hiển nhiên C ⊂ U Biểu diễn tham số đường tròn định hướng C r(t) = ( acost, asint ), t ∈ [0, 2π] Chuyển dịch dạng vi phân ω qua ánh xa r a cos td(a sin t) − a sin td(a cos t) a2 cos2 t + a2 sin2 t a cos t(a cos t)dt − a sin t(−a sin t)dt = a2 (j)(s) (r∗ ω) (t) = t ∈ [a, b] = dt, Do 2π ω= C dt = 2π Định nghĩa 2.3.2 (Tích phân đường dạng vi phân đúng) Giả sử U tập hợp mở không gian R3 , ω = Pdx + Qdy + Rdz dạng vi phân U C cung định hướng trơn chứa U với biểu diễn tham số r(t) = (x(t), y(t), z(t)), 68 t ∈ [a, b] Khi đó, tồn nguyên hàm g : U → R ω U , tức g hàm số thuộc lớp C1 U cho ω = dg = ∂g ∂g ∂g dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z Do (r∗ ω) (t) = Cω = C dg ∂g ∂g ∂g (r(t))x′ (t) + (r(t))y′ (t) + (r(t))z′ (t) dt = (g0 r)′ (t)dt, ∂x ∂y ∂z = b a (g ◦ r)′ (t)dt = (g ◦ r)(t)|ba = g(r(b)) − g(r(a)) = g(B) − g(A) A = r(a) điểm đầu B = r(b) điểm cuối cung C Dễ dàng thấy đẳng thức trường hợp C cung định hướng trơn khúc Định nghĩa 2.3.3 (Tích phân mặt dạng vi phân bậc 2) Nếu hàm số f khả tích tập hợp D ta nói dạng vi phân ω khả tích mặt đinh hướng S gọi tích phân f(u, v) dudv tích phân mặt dạng vi phân ω mặt định D hướng S kí hiệu ω= S S ω Như f (u, v)dudv D Định nghĩa 2.3.4 (Mở rộng) Giả sử U tập hợp mở không gian R3 , ω dạng vi phân bậc U S mặt định hướng chứa U với biểu diễn tham số r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D D tập hợp đo R2 cho phần D tập hợp liên thơng Khi đó, D miền đo R2 Giả sử mặt S0 với biểu diễn tham số (u, v) → r|0D (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), 69 (u, v) ∈ D mặt định hướng đơn trơn (hiển nhiên S0 ⊂ S ) Khi đó, ω khả tích S0 ta nói ω khả tích mặt S định nghĩa ω= S ω S0 ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy , mặt ngồi mặt cầu với biểu diễn tham số Ví dụ 2.3.2 Tính I = Σ xdy la r(θ, φ) = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ), (θ, φ) ∈ ∆ = [0, π] × [0, 2π] Giải Trong tập hợp D = (0, π) × (0, 2π) thay tập hợp ∆ = [0, π] × [0, 2π] Vì = D nên, theo định nghĩa mở rộng tích phân ∆ mặt, ta có I= ω= Σ 2.4 ω = 4π S Một số ứng dụng hình học vi phân I Phương trình tiếp tuyến  pháp diện đường cong cho   x = x(t) M (x0 , y0 , z0 ) điểm dạng tham số Cho đường cong y = y(t)   z = z(t) quy - Phương trình tiếp tuyến M x − x (t0 ) y − y (t0 ) z − z (t0 ) = = x′ (t0 ) y ′ (t0 ) z ′ (t0 ) - Phương trình pháp diện M (P ) : x′ (t0 ) · (x − x (t0 )) + y ′ (t0 ) · (y − y (t0 )) + z ′ (t0 ) · (z − z (t0 )) = II Phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt cong Cho mặt cong S xác định phương trình f (x, y, z) = M (x0 , y0 , z0 ) điểm quy S - Phương trình pháp tuyến M y − y0 z − z0 x − x0 = = fx′ (M ) fy′ (M ) fz′ (M ) 70 - Phương trình tiếp diện M (P ) : fx′ (M ) · (x − x0 ) + fy′ (M ) · (y − y0 ) + fz′ (M ) · (z − z0 ) = Đặc biệt, mặt cong cho phương trình z = z(x, y) phương trình tiếp diện M (P ) : z − z0 = zx′ (M ) · (x − x0 ) + zy′ (M ) · (y − y0 ) Vídụ 2.4.1 Viết phương trình tiếp tuyến pháp tuyến đường thẳng    x = a sin t π y = b sin t cos t điểm ứng với t = , (a, b, c > 0) a    z = c cos2 t   et sin t   √ x =    b y = điểm ứng với t =    et cos t   √ z =  a b c y− z− = = Giải a Phương trình tiếp tuyến: (d) : a −c a c Phương trình pháp diện: (P ) : a x − −c z− = 2 √ z − x y−1 b Phương trình tiếp tuyến: (d) : √ = = √ 2 √ √ √ 2 2 x+ z− = Phương trình pháp diện: (P ) : 2 x− Ví dụ 2.4.2 Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt cong: a) x2 − 4y + 2z = điểm (2, 2, 3) b) z = 2x2 + 4y điểm (2, 1, 12) c) z = ln(2x + y) điểm (−1, 3, 0) x−2 y−2 z−3 = = −16 12 Phương trình tiếp diện: (P ) : 4(x − 2) − 16(y − 2) + 12(z − 3) = x − y − z − 12 b Phương trình pháp tuyến: (d) : = = 8 −1 Giải a Phương trình pháp tuyến: (d) : 71 Phương trình tiếp diện: (P ) : 8(x − 2) + 8(y − 1) − (z − 12) = x+1 y−3 z c Phương trình pháp tuyến: (d) : = = −1 Phương trình tiếp diện: (P ) : 2(x + 1) + (y − 3) − z = Ví dụ 2.4.3 Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường: x2 + y = 10 a điểm A(1, 3, 4) y + z = 25 b 2x2 + 3y + z = 47 điểm B(−2, 6, 1) x2 + 2y = z f (x, y, z) := x2 + y − 10 = nf = (2, 6, 0) Giải a Ta có nên g(x, y, z) := y + z − 25 = ng = (0, 6, 8) Do nf ∧ ng = 2(21, −8, 3) x−1 y−3 z−4 Vậy: Phương trình tiếp tuyến (d) : = = 21 −8 Phương trình pháp diện (P ) : 21(x − 1) − 8(y − 3) + 3(z − 4) = nf = (−8, 6, 12) b Tương tự, , nf ∧ ng = −2(27, 27, 4) ng = (−4, 4, −1) nên x+2 y−1 z−6 Phương trình tiếp tuyến (d) : = = 27 27 Phương trình pháp diện (P ) : 27(x + 2) + 27(y − 1) + 4(z − 6) = 72 KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu "Phép tính tích phân hàm vectơ số ứng dụng" đạt số kết sau đây: • Hệ thống hóa số khái niệm kết liên quan tới vectơ, hàm vectơ phép tính tích phân hàm vectơ • Trình bày số ứng dụng hàm vectơ phép tính tích phân hàm vectơ nghiên cứu số trường vectơ vật lý (như trường điện từ, trường hấp dẫn, ), nghiên cứu dạng vi phân hình học vi phân tốn học Ngồi ra, qua nghiên cứu chung ta thấy hàm số đưa mơ hình hàm vectơ Như cách tiếp cận mẻ thiết thực chương trình tốn phổ thơng Vì vậy, kết đề tài sở quan trọng cho việc đổi nội dung phương pháp dạy học tốn phổ thơng theo định hướng chương trình giáo dục phổ thơng 2018 Mặc dù có nhiều cố gắng để thực luận văn Nhưng lực thân quý thời gian nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến phản biện góp ý quý Thầy Hội đồng để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn Hội đồng! 73 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (2009), Giải Tích Vectơ, NXB Giáo Dục Việt Nam [2] Nguyễn Xuân Liêm (1998), Giải Tích (Tập 1, 2), NXB Giáo Dục Việt Nam [3] Đoàn Quỳnh (2000), Hình Học Vi Phân, NXB Giáo Dục Việt Nam [4] Trần Bình (2000), Phép Tính Vi Phân Và Tích Phân (Tập 1, 2), NXB Khoa Học - Kĩ Thuật Tiếng Anh [5] James Stewart (2008), Calculus , Book/Cole Publishing Company, 2nd edition [6] George F Simmons (1996), Calculus with analytic geometry, McGraw Hill Inc 74 75 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc BẢN TƯỜNG TRÌNH BỔ SUNG, SỬA CHỮA LUẬN VĂN Họ tên học viên: Hồ Anh Điền Ngành: Tốn giải tích Khóa: K39 Tên đề tài luận văn: Phép tính tích phân hàm vectơ số ứng dụng Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Nhật Quy Ngày bảo vệ luận văn: 28/11/2021 Sau tiếp thu ý kiến Hội đồng bảo vệ luận văn họp ngày 28/11/2021, chúng tơi giải trình số nội dung sau: 1.Những điểm bổ sung, sửa chữa: - Sửa lại số lỗi tả - Đánh số đề mục ví dụ lại cho hợp lý - Định dạng lại tên chương (tên chương chữ in hoa canh giữa) Những điểm bảo lưu ý kiến, khơng sửa chữa, điều chỉnh (nếu có) lý sau: ……………………………………………………………………………………………… Đà Nẵng, ngày 31 tháng 12 năm 2021 Cán hướng dẫn xác nhận Học viên Xác nhận BCN Khoa ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Phép tính tích phân hàm véctơ số ứng dụng Ngành: Toán giải tích Lớp K39.TGT Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ 2041/QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021 Danh sách thành viên Hội đồng: HỌ VÀ TÊN STT CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG TS Lương Quốc Tuyển Chủ tịch TS Lê Văn Dũng Thư ký TS Nguyễn Thị Thùy Dương Phản biện TS Lê Quang Thuận Phản biện PGS.TS Nguyễn Văn Đức a Thành viên có mặt: Ủy viên b Thành viên vắng mặt: Thư ký Hội đồng báo cáo trình học tập, nghiên cứu học viên cao học đọc lý lịch khoa học (có văn kèm theo) Học viên cao học trình bày luận văn Các phản biện đọc nhận xét nêu câu hỏi (có văn kèm theo) Học viên cao học trả lời câu hỏi thành viên Hội đồng 10 Hội đồng họp riêng để đánh giá 11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết 12 Kết luận Hội đồng a) Kết luận chung: Luận văn đạt yêu cầu Đề nghị hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng công nhận kết chấm luận văn Hội đồng cấp thạc sĩ cho học viên b) Yêu cầu chỉnh, sửa nội dung: Sửa luận văn theo góp ý thành viên Hội đồng, đặc biệt nhận xét góp ý phản biện c) Các ý kiến khác: không d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8,3 Bằng chữ: tám ba 14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Lương Quốc Tuyển Lê Văn Dũng CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc -o0o BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (Dùng cho thành viên hội đồng phản biện) Tên đề tài luận văn: Phép tính tích phân hàm vectơ số ứng dụng Ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 8460102 Họ tên học viên: Hồ Anh Điền Người nhận xét: TS Lê Quang Thuận Đơn vị công tác: Trường Đại học Quy Nhơn NỘI DUNG NHẬN XÉT Tính cấp thiết đề tài: Trong Giải tích tốn học, hàm véctơ hàm nhận giá trị khơng gian véctơ Các hàm véc tơ hàm biến nhiều biến Các hàm véc tơ công cụ hữu dụng để mô tả đường cong dạng phương trình tham số Các hàm véc tơ có nhiều ứng dụng lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, hình học vi phân, … Do vậy, kết phép tính vi phân tích phân hàm biến mở rộng nghiên cứu cho hàm véctơ Đề tài nghiên cứu số kết pháp tính tích phân hàm vec tơ số ứng dụng nghiên cứu trường véc tơ, dạng vi phân, Việc nghiên cứu đề tài việc làm có ý nghĩa thiết thực học viên thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích Cơ sở khoa học thực tiễn: Luận văn viết sở tham khảo kết từ 06 tài liệu tham khảo tiếng Việt tài liệu tham khảo tiếng Anh sách chuyên khảo nhà xuất uy tín nước giới Luận văn chọn lọc trình bày kết theo chủ đề mà tác giả quan tâm theo quan điểm Do vậy, tài liệu tham khảo tiếng Việt bổ ích cho học viên cao học ngành Tốn Giải tích độc giả quan tâm lĩnh vực Phương pháp nghiên cứu: Học viên sử dụng phương pháp sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài đọc hiểu, làm rõ Học viên tổng hợp làm rõ tường minh kết liên quan đến chủ đề nghiên cứu, trình bày lại rõ ràng hệ thống dựa vào kiến thức tảng trang bị Giải tích cổ điển Phương pháp nghiên cứu phù hợp với loại đề tài Kết nghiên cứu: - Đã hệ thống hóa số khái niệm kết liên quan tới vectơ, hàm vectơ phép tính tích phân hàm vectơ - Trình bày số ứng dụng hàm vectơ phép tính tích phân hàm vectơ nghiên cứu số trường vectơ vật lý (như trường điện từ, trường hấp dẫn, ), nghiên cứu dạng vi phân hình học vi phân tốn học Hình thức luận văn: - Nội dung luận văn trình bày chương Trong Chương 1, tác giả trình bày số kiến thức sở hàm véc tơ, đạo hàm tích phân hàm véc tơ, trường véc tơ Chương tác giả dành cho việc trình bày số ứng dụng phép tính tích phân hàm véc tơ - Luận văn có bố cục hợp lý hình thức trình bày đạt yêu cầu luận văn thạc sĩ - Tuy nhiên, luận văn số sai sót nhỏ câu chữ, lỗi tả, cách viết cần phải sửa chữa: + Các ví dụ đơi khơng đánh số luận văn + Việc đánh số phương trình chưa hợp lý Đánh giá chung (Nêu rõ đồng ý hay không đồng ý cho học viên bảo vệ luận văn trước Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ) a) Đề tài phù hợp với chun ngành Tốn Giải tích Luận văn học viên Hồ Anh Điền đáp ứng đầy đủ yêu cầu nội dung hình thức luận văn thạc sĩ toán học để bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng b) Tôi đồng ý cho Học viên bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ tác giả luận văn xứng đáng nhận học vị thạc sĩ tốn học chun ngành Tốn Giải tích Bình Định, ngày 15 tháng11 năm 2021 Người nhận xét TS Lê Quang Thuận CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc - - BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (dùng cho thành viên hội đồng phản biện) Tên đề tài luận văn: Phép tính tích phân hàm vectơ số ứng dụng Chun ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 8.46.01.02 Họ tên học viên: Hồ Anh Điền Người nhận xét: TS Nguyễn Thị Thùy Dương Đơn vị công tác: Trường Đại học Sư phạm – ĐH ĐN NỘI DUNG NHẬN XÉT Học viên hoàn thành luận văn theo đề cương duyệt Tính cấp thiết đề tài: đề tài luận văn mang tính thời nhiều người quan tâm nghiên cứu Cơ sở khoa học thực tiễn: Luận văn tổng hợp từ tài liệu khoa học đáng tin cậy làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, đối tượng quan tâm Phương pháp nghiện cứu: Nghiên cứu lí thuyết Kết nghiên cứu: Tổng quan kết trước Tác giả hệ thống kiến thức sở: hàm vectơ, phép tính tích phân hàm vectơ ứng dụng Tuy nhiên phần ứng dụng trình bày chưa rõ nét mà tác giả cho nhiều ví dụ tính tích phân đường, tích phân mặt… Hình thức luận văn: Luận văn biên soạn Word dài 70 trang, gồm chương: Chương I: Kiến thức sở Chương II: Một số ứng dụng phép tính tích phân hàm vectơ Trong luận văn cịn vài lỗi cần chỉnh sửa gồm: có nhiều khoảng trống, định dạng tên chương chưa quy định (tên chương chữ in hoa canh giữa), định lý phải viết tên (ví dụ Định lý 2.1.2 công thức Green, trang 52) Các đề mục 1.3.1 Đạo hàm hàm vecto 1.5 Trường vecto: gradian trường vô hướng, Rota trường vơ hướng… thuộc phần phép tính vi phân hàm vecto học viên đưa vào luận văn chưa thực phù hợp với tên đề tài phép tính tích phân hàm vectơ ứng dụng Đánh giá chung: Các vấn đề đưa luận văn phù hợp với chun ngành tốn giải tích Kết luận: Tơi đồng ý cho học viên bảo vệ luận văn trước hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Đà Nẵng, ngày 21 tháng 11 năm 2021 Người nhận xét TS Nguyễn Thị Thùy Dương ... nghĩa hàm vectơ, trường vectơ, tích phân hàm vectơ sơ lược dạng vi phân Chương Một số ứng dụng phép tính tích phân hàm vectơ: Chương giành để giới thiệu tích phân đường hàm vectơ ứng dụng, tích phân. .. dụng phép tính tích phân hàm vectơ 40 2.1 Tích phân đường hàm vectơ ứng dụng 40 2.2 2.3 Tích phân mặt hàm vectơ ứng dụng Tích phân dạng vi phân 59 67 2.4 Một số. .. Đã hệ thống hóa số khái niệm kết liên quan tới vectơ, hàm vectơ phép tính tích phân hàm vectơ - Trình bày số ứng dụng hàm vectơ phép tính tích phân hàm vectơ nghiên cứu số trường vectơ vật lý (như