Tích phân của dạng vi phân

2 Một số ứng dụng của phép tính tích phân hàm vectơ

2.3 Tích phân của dạng vi phân

Phần này giới thiệu tích phân của các dạng vi phân bậc 1, 2, 3, theo thứ tự, dọc theo một cung định hướng trong R3, trên một mặt định hướng trong R3 và trên một tập hợp trong R3.

Định nghĩa 2.3.1. (Tích phân đường của dạng vi phân bậc 1)

ω = Pdx + Qdy + Rdz

dọc theo cung định hướng trơn C, kí hiệu là R ω, được cho bởi công thức

Z C ω = Z b a f(t)dt = Z b a (r∗ω) (t) = Z b a [P(r(t))x′(t) + Q(r(t))y′(t) + R(r(t))z′(t)] dt

Nếu ω = Pdx+ Qdy là một dạng vi phân bậc 1 liên tục trên tập hợp mở U trong R2 và C là một cung phẳng định hướng trơn chứa trong U với biểu diễn tham số r(t) = (x(t),y(t)),t ∈ [a,b] thì Z C ω = Z C Pdx + Qdy = Z b a [P(r(t))x′(t) + Q(r(t))y′(t)] dt

Ví dụ 2.3.1. Cho dạng vi phân bậc một ω trên tập hợp mở U = R2\(0,0)

xác định bởi

ω(x, y) = xdy −ydx x2 +y2

Tính R ω, trong đó C là đường tròn tâm O, bán kính a theo hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ.

Giải. Hiển nhiên C ⊂ U. Biểu diễn tham số của đường tròn định hướng C là

r(t) = ( acost, asint ), t ∈ [0,2π]

Chuyển dịch của dạng vi phân ω qua ánh xa r là

(r∗ω) (t) = acostd(asint)−asintd(acost)

a2cos2t+a2sin2t

= acost(acost)dt−asint(−asint)dt a2(j)(s) = dt, t ∈ [a, b]. Do đó Z C ω = Z 2π 0 dt= 2π.

Định nghĩa 2.3.2. (Tích phân đường của một dạng vi phân đúng)

Giả sử U là một tập hợp mở trong không gian R3, ω = Pdx + Qdy + Rdz

là một dạng vi phân đúng trên U và C là một cung định hướng trơn chứa trong U với biểu diễn tham số

Khi đó, tồn tại một nguyên hàm g : U → R của ω trên U, tức là g là một hàm số thuộc lớp C1 trên U sao cho

ω = dg = ∂g ∂xdx+ ∂g ∂ydy+ ∂g ∂zdz Do đó (r∗ω) (t) = ∂g ∂x(r(t))x ′(t) + ∂g ∂y(r(t))y ′(t) + ∂g ∂z(r(t))z ′(t) dt = (g0r)′(t)dt, R Cω = R Cdg = Rb a (g◦r)′(t)dt = (g◦r)(t)|ba = g(r(b))−g(r(a)) = g(B)−g(A)

trong đó A = r(a) là điểm đầu và B = r(b) là điểm cuối của cung C.

Dễ dàng thấy rằng đẳng thức trên vẫn đúng trong trường hợp C là một cung định hướng trơn từng khúc.

Định nghĩa 2.3.3. (Tích phân mặt của một dạng vi phân bậc 2)Nếu hàm số f khả tích trên tập hợp D thì ta nói rằng dạng vi phân ω khả tích trên mặt đinh hướng S và gọi tích phân RR f(u,v) dudv là tích phân mặt của dạng vi phân ω trên mặt định D hướng S và kí hiệu nó là RRSω. Như vậy

Z Z S ω = Z Z D f(u, v)dudv

Định nghĩa 2.3.4. (Mở rộng) Giả sử U là một tập hợp mở trong không gian R3, ω là một dạng vi phân bậc 2 trên U và S là mặt định hướng chứa trong U với biểu diễn tham số

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D

trong đó D là một tập hợp đo được trong R2 sao cho phần trong D của nó là một tập hợp liên thông. Khi đó, D là một miền đo được trong R2. Giả sử mặt S0 với biểu diễn tham số

là một mặt định hướng đơn trơn (hiển nhiên S0 ⊂ S ). Khi đó, nếu ω khả tích trên S0 thì ta nói rằng ω khả tích trên mặt S và định nghĩa

Z Z S ω = Z Z S0 ω

Ví dụ 2.3.2. Tính I = RRΣxdy ∧dz+ydz∧dx+zdx∧dy, trong đó P

la mặt ngoài của mặt cầu với biểu diễn tham số

r(θ, φ) = (sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ),

(θ, φ) ∈ ∆ = [0, π]×[0,2π]

Giải. Trong đó tập hợp D = (0, π) × (0,2π) được thay bởi tập hợp

∆ = [0, π]×[0,2π]. Vì 0

∆ = D nên, theo định nghĩa mở rộng của tích phân

mặt, ta có I = Z Z Σ ω = Z Z S ω = 4π. 2.4 Một số ứng dụng trong hình học vi phân

I. Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng tham sốCho đường cong

     x = x(t) y = y(t) z = z(t) vàM (x0, y0, z0) là một điểm chính quy. - Phương trình tiếp tuyến tại M

x−x(t0) x′(t0) = y −y(t0) y′(t0) = z −z(t0) z′(t0) .

- Phương trình pháp diện tại M.

(P) : x′(t0)·(x−x(t0)) +y′(t0)·(y −y(t0)) +z′(t0)·(z−z(t0)) = 0.

II. Phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong. Cho mặt cong S xác định bởi phương trình f(x, y, z) = 0 và M (x0, y0, z0) là một điểm chính quy của S. - Phương trình pháp tuyến tại M

x−x0 fx′(M) = y −y0 fy′(M) = z−z0 fz′(M).

- Phương trình tiếp diện tại M

(P) : fx′(M)·(x−x0) +fy′(M)·(y −y0) +fz′(M)·(z −z0) = 0.

Đặc biệt, nếu mặt cong cho bởi phương trình z = z(x, y) thì phương trình tiếp diện tại M là (P) : z−z0 = zx′(M)·(x−x0) +zy′(M)·(y−y0).

Ví dụ 2.4.1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường thẳng

a.        x = asin2t

y = bsintcost tại điểm ứng với t= π

4,(a, b, c > 0) . z = ccos2t b.              x= e tsint √ 2

y = 1 tại điểm ứng với t= 2. z = e

tcost

√ 2

Giải. a. Phương trình tiếp tuyến: (d) :

x− a 2 a = y − b 2 0 = z − c 2 −c . Phương trình pháp diện: (P) : ax− a 2 −cz − c 2 = 0.

b. Phương trình tiếp tuyến: (d) : √x 2 2 = y −1 0 = z − √ 2 2 √ 2 2 . Phương trình pháp diện: (P) : √ 2 2 x+ √ 2 2 z − √ 2 2 ! = 0.

Ví dụ 2.4.2. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong: a) x2 −4y2 + 2z2 = 6 tại điểm (2,2,3).

b) z = 2x2 + 4y2 tại điểm (2,1,12). c) z = ln(2x+y) tại điểm (−1,3,0)

Giải. a. Phương trình pháp tuyến: (d) : x−2 4 =

y −2 −16 =

z−3 12 .

Phương trình tiếp diện: (P) : 4(x−2)−16(y −2) + 12(z −3) = 0. b. Phương trình pháp tuyến: (d) : x−2 8 = y −1 8 = z −12 −1 .

Phương trình tiếp diện: (P) : 8(x−2) + 8(y −1)−(z−12) = 0. c. Phương trình pháp tuyến: (d) : x+ 1 2 = y −3 1 = z −1 .

Phương trình tiếp diện: (P) : 2(x+ 1) + (y −3)−z = 0.

Ví dụ 2.4.3. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường: a. ( x2 +y2 = 10 y2 +z2 = 25 tại điểm A(1,3,4) b. ( 2x2 + 3y2 +z2 = 47 x2 + 2y2 = z tại điểm B(−2,6,1) Giải. a. Ta có ( f(x, y, z) := x2 +y2 −10 = 0 g(x, y, z) := y2 +z2 −25 = 0 nên ( nf = (2,6,0) ng = (0,6,8) . Do đó nf ∧ng = 2(21,−8,3).

Vậy: Phương trình tiếp tuyến (d) : x−1 21 = y −3 −8 = z −4 3 . Phương trình pháp diện (P) : 21(x−1)−8(y −3) + 3(z −4) = 0. b. Tương tự, ( nf = (−8,6,12) ng = (−4,4,−1) , nf ∧ng = −2(27,27,4) nên

Phương trình tiếp tuyến (d) : x+ 2 27 = y −1 27 = z −6 4 . Phương trình pháp diện (P) : 27(x+ 2) + 27(y−1) + 4(z −6) = 0.

KẾT LUẬN

Đề tài nghiên cứu "Phép tính tích phân của hàm vectơ và một số ứng dụng" đã đạt được một số kết quả sau đây:

• Hệ thống hóa một số khái niệm và các kết quả liên quan tới vectơ, hàm vectơ và phép tính tích phân của hàm vectơ

• Trình bày một số ứng dụng của hàm vectơ và phép tính tích phân của hàm vectơ trong nghiên cứu một số trường vectơ trong vật lý (như trường điện từ, trường hấp dẫn,...), trong nghiên cứu dạng vi phân và hình học vi phân trong toán học.

Ngoài ra, qua nghiên cứu chung ta cũng thấy rằng các hàm số đều có thể đưa về mô hình hàm vectơ. Như vậy đây là cách tiếp cận khá mới mẻ và thiết thực đối với chương trình toán phổ thông. Vì vậy, kết quả của đề tài sẽ là cơ sở quan trọng cho việc đổi mới nội dung và phương pháp dạy học toán ở phổ thông theo định hướng của chương trình giáo dục phổ thông 2018.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện luận văn. Nhưng do năng lực của bản thân và quý thời gian ít nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được các ý kiến phản biện và góp ý của quý Thầy trong Hội đồng để luận văn được hoàn thiện hơn.

Tài liệu tham khảo Tiếng Việt

[1] Nguyễn Xuân Liêm (2009), Giải Tích Vectơ, NXB Giáo Dục Việt Nam. [2] Nguyễn Xuân Liêm (1998), Giải Tích (Tập 1, 2), NXB Giáo Dục Việt

Nam.

[3] Đoàn Quỳnh (2000), Hình Học Vi Phân, NXB Giáo Dục Việt Nam. [4] Trần Bình (2000), Phép Tính Vi Phân Và Tích Phân (Tập 1, 2), NXB

Khoa Học - Kĩ Thuật.

Tiếng Anh

[5] James Stewart (2008), Calculus , Book/Cole Publishing Company, 2nd

edition.

[6] George F. Simmons (1996), Calculus with analytic geometry, McGraw Hill Inc.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

BẢN TƯỜNG TRÌNH BỔ SUNG, SỬA CHỮA LUẬN VĂN

Họ và tên học viên: Hồ Anh Điền

Ngành: Toán giải tích Khóa: K39

Tên đề tài luận văn: Phép tính tích phân của hàm vectơ và một số ứng dụng Người hướng dẫn khoa học: TS. Hoàng Nhật Quy

Ngày bảo vệ luận văn: 28/11/2021

Sau khi tiếp thu ý kiến của Hội đồng bảo vệ luận văn họp ngày 28/11/2021, chúng tôi giải trình một số nội dung sau:

1.Những điểm đã bổ sung, sửa chữa: - Sửa lại một số lỗi chính tả

- Đánh số các đề mục và ví dụ lại cho hợp lý

- Định dạng lại tên chương (tên chương chữ in hoa và canh giữa)

2. Những điểm bảo lưu ý kiến, không sửa chữa, điều chỉnh (nếu có) bởi những lý do sau: ……… Đà Nẵng, ngày 31 tháng 12 năm 2021 Cán bộ hướng dẫn xác nhận Học viên Xác nhận của BCN Khoa

BIÊN BẢN

HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ

1. Tên đề tài: Phép tính tích phân của hàm véctơ và một số ứng dụng

2. Ngành: Toán giải tích Lớp K39.TGT

3. Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ 2041/QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021

4. Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021

5. Danh sách các thành viên Hội đồng:

STT HỌ VÀ TÊN CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG

1. TS. Lương Quốc Tuyển Chủ tịch 2. TS. Lê Văn Dũng Thư ký 3. TS. Nguyễn Thị Thùy Dương Phản biện 1 4. TS. Lê Quang Thuận Phản biện 2 5. PGS.TS. Nguyễn Văn Đức Ủy viên a. Thành viên có mặt: 5 b. Thành viên vắng mặt: 0

6. Thư ký Hội đồng báo cáo quá trình học tập, nghiên cứu của học viên cao học và đọc lý lịch khoa học (có văn bản kèm theo)

7. Học viên cao học trình bày luận văn

8. Các phản biện đọc nhận xét và nêu câu hỏi (có văn bản kèm theo) 9. Học viên cao học trả lời các câu hỏi của thành viên Hội đồng 10. Hội đồng họp riêng để đánh giá

11. Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết quả 12. Kết luận của Hội đồng

a) Kết luận chung:

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Luận văn đạt yêu cầu. Đề nghị hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng công nhận kết quả chấm luận văn của Hội đồng và cấp bằng thạc sĩ cho học viên.

b) Yêu cầu chỉnh, sửa về nội dung:

Sửa luận văn theo góp ý của các thành viên trong Hội đồng, đặc biệt là nhận xét góp ý của 2 phản biện. c) Các ý kiến khác: không d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8,3 Bằng chữ: tám ba 14. Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG Lê Văn Dũng CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

---o0o---

BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ

(Dùng cho thành viên hội đồng là phản biện)

Tên đề tài luận văn: Phép tính tích phân của hàm vectơ và một số ứng dụng. Ngành: Toán giải tích Mã ngành: 8460102 Họ và tên học viên: Hồ Anh Điền

Người nhận xét: TS. Lê Quang Thuận. Đơn vị công tác: Trường Đại học Quy Nhơn.

NỘI DUNG NHẬN XÉT 1. Tính cấp thiết của đề tài:

Trong Giải tích toán học, một hàm véctơ là một hàm nhận giá trị trên một không gian véctơ. Các hàm véc tơ có thể là hàm một biến hoặc nhiều biến. Các hàm véc tơ là một công cụ hữu dụng để mô tả các đường cong dưới dạng các phương trình tham số. Các hàm véc tơ có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, hình học vi phân, … Do vậy, các kết quả của phép tính vi phân và tích phân của hàm một biến đã được mở rộng nghiên cứu cho các hàm véctơ. Đề tài này nghiên cứu một số kết quả về pháp tính tích phân của hàm vec tơ và một số ứng dụng trong nghiên cứu trường véc tơ, dạng vi phân,.. Việc nghiên cứu đề tài là một việc làm có ý nghĩa và thiết thực đối với một học viên thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích.

2. Cơ sở khoa học và thực tiễn:

Luận văn được viết trên cơ sở tham khảo các kết quả từ 06 tài liệu tham khảo bằng tiếng Việt và 2 tài liệu tham khảo bằng tiếng Anh là các sách chuyên khảo của các nhà xuất bản uy tín trong nước và trên thế giới. Luận văn chọn lọc và trình bày các kết quả theo chủ đề mà tác giả quan tâm theo quan điểm của mình. Do vậy, đây có thể là một tài liệu tham khảo bằng tiếng Việt bổ ích cho học viên cao học ngành Toán Giải tích và các độc giả quan tâm về lĩnh vực này.

3. Phương pháp nghiên cứu:

Học viên đã sử dụng phương pháp sưu tầm các tài liệu liên quan đến đề tài và đọc hiểu, làm rõ. Học viên đã tổng hợp và làm rõ tường minh các kết quả liên quan đến chủ đề nghiên cứu, trình bày lại rõ ràng hệ thống dựa vào những kiến thức nền tảng đã được trang bị của Giải tích cổ điển. Phương pháp nghiên cứu phù hợp với loại đề tài.

4. Kết quả nghiên cứu:

- Đã hệ thống hóa một số khái niệm và các kết quả liên quan tới vectơ, hàm vectơ và phép tính tích phân của hàm vectơ.

- Trình bày một số ứng dụng của hàm vectơ và phép tính tích phân của hàm vectơ trong nghiên cứu một số trường vectơ trong vật lý (như trường điện từ, trường hấp dẫn,...), trong nghiên cứu dạng vi phân và hình học vi phân trong toán học.

5. Hình thức luận văn:

- Nội dung của luận văn được trình bày trong 2 chương. Trong Chương 1, tác giả trình bày một số kiến thức cơ sở về hàm véc tơ, về đạo hàm và tích phân hàm véc tơ, trường véc tơ. Chương 2 tác giả dành cho việc trình bày một số ứng dụng của phép tính tích phân hàm véc tơ.

- Luận văn có bố cục hợp lý và hình thức trình bày đạt yêu cầu của một luận văn thạc sĩ.

- Tuy nhiên, luận văn còn một số sai sót nhỏ về câu chữ, lỗi chính tả, về cách viết cần phải sửa chữa:

+ Các ví dụ đôi khi không được đánh số trong luận văn. + Việc đánh số phương trình chưa hợp lý.

6. Đánh giá chung (Nêu rõ đồng ý hay không đồng ý cho học viên bảo vệ luận văn trước Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ)

a) Đề tài phù hợp với chuyên ngành Toán Giải tích. Luận văn của học viên Hồ Anh Điền đáp ứng đầy đủ các yêu cầu về nội dung và hình thức của một luận văn thạc sĩ toán học để được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ của Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

b) Tôi đồng ý cho Học viên được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ và tác giả của luận văn xứng đáng nhận được học vị thạc sĩ toán học chuyên ngành Toán Giải tích.

Bình Định, ngày 15 tháng11 năm 2021

Người nhận xét

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

- - -  - - -

BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ

(dùng cho thành viên hội đồng là phản biện)

Tên đề tài luận văn: Phép tính tích phân của hàm vectơ và một số ứng dụng

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã ngành: 8.46.01.02 Họ và tên học viên: Hồ Anh Điền

Người nhận xét: TS. Nguyễn Thị Thùy Dương

Đơn vị công tác: Trường Đại học Sư phạm – ĐH ĐN

NỘI DUNG NHẬN XÉT

Học viên hoàn thành luận văn theo đề cương đã được duyệt

1. Tính cấp thiết của đề tài: đề tài luận văn mang tính thời sự và được nhiều người quan tâm nghiên cứu.

2. Cơ sở khoa học và thực tiễn: Luận văn được tổng hợp từ các tài liệu khoa học đáng tin cậy và có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, và các đối tượng quan tâm.

3. Phương pháp nghiện cứu: Nghiên cứu lí thuyết.