Định nghĩa 1.4.1. Giả sử D là một tập hợp con của R2 D ⊂ R2
. Hàm (ánh xạ)⃗r : (u, v) 7→⃗r(u, v) từ tập hợp D vào không gian các vectơ ba chiều được gọi là một hàm vectơ trên D. Nếu vectơ ⃗r(u, v) có các thành phần là
x(u,v),y(u,v) và z(u,v) thì x,y,z là những hàm số thực xác định trên D. Ta gọi đó là các hàm số thành phần của hàm vectơ ⃗r. Khi đó, ta viết
⃗r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
= x(u, v)⃗i+y(u, v)⃗j+ z(u, v)⃗k.
Hoặc ⃗r = (x, y, z) =x⃗i+y⃗j +z⃗k.
Hàm vectơ−→r được gọi là liên tục trên D nếu các hàm số thành phần của nó
liên tục trên D.
NếuD là một tập hợp mở thì các đạo hàm riêng của hàm vectơ −→r được định
nghĩa như sau :
∂⃗r
∂u(u, v) = ∂x
∂u(u, v)⃗i+ ∂y
∂u(u, v)⃗j + ∂z ∂u(u, v)⃗k. ∂⃗r ∂v(u, v) = ∂x ∂v(u, v)⃗i+ ∂y ∂v(u, v)⃗j + ∂z ∂v(u, v)⃗k.
Hàm vectơ ⃗r được gọi là thuộc lớp C1 trên D nếu các hàm số thành phần của nó thuộc lớp C1 trên D, tức là có các đạo hàm riêng liên tục trên D.
Định nghĩa 1.4.2. (Mặt tham số) Giả sử D là một tập hợp con của R2 và
⃗
r(u, v) = x(u, v)⃗i+ y(u, v)⃗j +z(u, v)⃗k,(u, v) ∈ D (1)
là một hàm vectơ liên tục trên D. Tập hợp các điểm
S = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : (u, v) ∈ D} ⊂ R3
gọi là một mặt tham số. Các phương trình
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ D
được gọi là một biểu diễn tham số của mặt S. Các biến số u,v được gọi là các tham số.
ta cũng gọi (1) là một biểu diễn tham số của mặt S. Gọi M là ảnh của (u,v) ∈ D qua ánh xạ
(u,v) 7→(x(u,v),y(u,v),z(u,v)).
Ta có −−→
OM = −→r (u,v). Có thể xem măt S được tạo nên bởi điểm cuối M của
vectơ −→r(u,v) khi (u,v) chạy trên D. Để cho tiện người ta cũng nói điểm
⃗r(u, v) thay cho điểm M(x(u, v), y(u, v), z(u, v)).
S được gọi là một mặt đơn nếu ánh xạ
(u,v) 7→M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v) ∈ D
là một đơn ánh.
Ví dụ 1.4.1. Viết một biểu diễn tham số của nửa trên của mặt nón tròn xoay có đỉnh O, trục Oz và đường sinh tạo với trục góc π
4.
Giải. Giả sử M(x,y,z) là một điểm bất kì của nửa mặt nón đã cho và N
là hình chiếu củaM trên mặt phẳng Oxy. Khi đó z ≥ 0. Nếu z > 0thì OMN là một tam giác cân. Do đó ON = z. Gọi φ là số đo của góc định hướng
(Ox,−→
ON),0≤ φ ≤2π. Ta có
x = zcosφ,y = z sinφ,z = z, 0 ≤ φ≤ 2π,z ≥ 0 (2)
Đảo lại, nếu điểm M có các toạ độ x, y, z thoả mãn (3) thì x2+y2 = z2. Từ đó dễ dàng chứng minh được rằng −−→
OM tạo với trục Oz góc π
4. Do đó M nằm
trên nửa măt nón tròn xoay đã cho.
Vậy các phương trình trong (2) là một biểu diễn tham số của nửa mặt nón tròn xoay đã cho.
Ví dụ 1.4.2. Xác định măt S với phương trình vectơ
⃗
r(u, v) = 2u⃗i+ 3cosv⃗j+ 3sinv⃗k, u ∈ R,0 ≤v ≤ 2π.
Giải. Biểu diễn tham số của măt S là
Nếu M(x, y, z) là một điểm bất kì của măt S thì
y2 + z2 = (3cosv)2 + (3sinv)2 = 9. Do đó điểm M nằm trên mặt trụ tròn xoay có đường chuẩn là đường tròn tâm O bán kính R = 3 trong mặt phẳng Oyz. Đảo lại, nếu M(x, y, z) là một điểm của mặt trụ tròn xoay y2+z2 = 9
thì tồn tại góc v ∈ [0; 2π] sao cho y = 3 cosv, z = 3 sinv và tồn tại số thực u sao cho x = 2u. Vậy S là mặt trụ tròn xoay y2 +z2 = 9.