Phép tính tích phân và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ LÊ THỊ THU VÂN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ LÊ THỊ THU VÂN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN Đà Nẵng – Năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Những nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn Mọi tài liệu luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Tác giả luận văn Lê Thị Thu Vân MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong 1.1.2 Định nghĩa tích phân xác định 1.1.3 Ý nghĩa hình học tích phân xác định 1.2 ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH 1.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích 1.2.2 Các tổng Darboux 1.2.3 Các tính chất tổng tích phân Darboux 1.2.4 Dấu hiệu tồn tích phân xác định 1.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN 10 1.3.1 Công thức Newton-Leibniz 10 1.3.2 Cơng thức tích phân phần 10 1.3.3 Đổi biến số 10 1.3.4 Các tính chất tích phân xác định 11 1.3.5 Các định lí giá trị trung bình 12 1.4 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VỚI TÍCH PHÂN 14 1.4.1 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 14 1.4.2 Bất đẳng thức Chebyshev 15 1.4.3 Bất đẳng thức Diaz 16 1.4.4 Bất đẳng thức Polya 17 1.4.5 Bất đẳng thức với số tự nhiên 18 1.4.6 Bất đẳng thức với số thực 19 1.5 MỘT SỐ CƠNG THỨC ỨNG DỤNG HÌNH HỌC, VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 19 1.5.1 Tính diện tích hình phẳng 19 1.5.2 Tính độ dài đường cong phẳng 21 1.5.3 Tính thể tích vật thể 21 1.5.4 Tính diện tích mặt trịn xoay 23 CHƯƠNG ÁP DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 25 2.1 ÁP DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 25 2.1.1 Áp dụng tính tích phân xác định 25 2.1.2 Tính giới hạn tổng nhờ tích phân khơng xác định 32 2.2 ÁP DỤNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 36 2.2.1 Bất đẳng thức tích phân 36 2.2.2 Áp dụng cho toán cực trị 54 2.3 ÁP DỤNG TRONG HÌNH HỌC, VẬT LÝ 57 2.3.1 Tính diện tích hình phẳng 57 2.3.2 Tính độ dài đường cong phẳng 58 2.3.3 Tính thể tích vật thể 59 2.3.4 Diện tích mặt trịn xoay 60 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Trong tốn học, giải tích chiếm vị trí vơ quan trọng Các kết nghiên cứu giải tích khơng áp dụng lĩnh vực Tốn học mà cịn áp dụng ngành khoa học khác Vật lý, Hóa học,Thiên văn học Để có kiến thức giải tích cách có hệ thống khoa học việc nắm vững hiểu sâu sắc kiến thức ban đầu giải tích: “ Phép tính tích phân” điều cần thiết quan trọng Vì lí chúng tơi lựa chọn đề tài: “Phép tính tích phân áp dụng” Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm giúp người đọc hiểu phép tính tích phân số áp dụng Một số điểm cố gắng đưa vào luận văn là: - Trình bày số định nghĩa liên quan đến phép tính tích phân, chứng minh chặt chẽ định lý liên quan - Giới thiệu số áp dụng cụ thể tích phân - Đưa nhiều ví dụ tập liên quan đến đề tài Nội dung đề tài chia thành chương phụ lục: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Áp dụng phép tính tích phân Trong phần đưa vào ví dụ tập áp dụng cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài toán áp dụng tích phân Phạm vi nghiên cứu đề tài vận dụng phương pháp giải tốn thích hợp tích phân để giải tốn bất đẳng thức giới hạn Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến phép tính tích phân Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương 1, luận văn trình bày: Các định nghĩa, khái niệm kết tích phân xác định; bất đẳng thức tích phân số ứng dụng hình học, vật lý của tích phân để làm sở cho chương sau Chương Các dạng tập áp dụng phép tính tích phân Trong chương 2, luận văn trình bày: Các tốn liên quan tính chất tổng Darboux; bất đẳng thức tích phân giới thiệu số tốn áp dụng hình học, vật lý tích phân xác định CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại số kiến thức sở tích phân,bất đẳng thức có liên quan đến việc nghiên cứu chương Các nội dung trình bày chương chủ yếu tham khảo tài liệu [1], [3], [4], [5], [7] 1.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.1.1 Bài tốn diện tích hình thang cong Cho hàm 𝑓(𝑥) liên tục không âm [𝑎, 𝑏] Miền D giới hạn đường cong 𝑦 = 𝑓(𝑥), ba đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, 𝑦 = gọi hình thang cong u cầu đặt tính diện tích hình thang Chia đoạn [𝑎, 𝑏] thành n-phần tùy ý điểm 𝑎 = 𝑥 < 𝑥0 < ⋯ < 𝑥2 = 𝑏 Ta tính diện tích hình thang cong thứ k gần cách lấy điểm 𝑀4 tùy ý [𝑥4 , 𝑥450 ] Coi diện tích hình thang cong nhỏ xấp xỉ với diện tích hình chữ nhật cạnh 𝑥4 𝑥450 , 𝑓(𝑀4 ) Tức 𝑓 𝑀4 𝑥450 − 𝑥4 Với n-điểm chia ta có n-hình thang cong nhỏ với diện tích tính xấp xỉ nên diện tích hình thang cong 𝐷 tính xấp xỉ với 2;0 𝑆2 = 𝑓 𝑀4 ∆4 , ∆4 = 𝑥450 − 𝑥4 4< Rõ ràng, công thức xấp xỉ xác số hình thang cong nhỏ nhiều Ta cho max ∆4 → khi đó 𝑛 → ∞ Nếu 𝑆2 tiến đến giới hạn hữu hạn mà không phụ thuộc cách chia [𝑎, 𝑏] cách lấy điểm 𝑀4 giới hạn gọi diện tích hình thang cong 𝐷 2;0 𝑆 𝐷 = lim 2→I JKL∆M → 4< 𝑓 𝑀4 ∆4 1.1.2 Định nghĩa tích phân xác định Cho hàm 𝑓(𝑥) xác định trên [𝑎, 𝑏] Chia [𝑎, 𝑏] thành n-phần tùy ý điểm chia (ta gọi phân hoạch đoạn [𝑎, 𝑏] 𝑎 = 𝑥 < 𝑥0 < ⋯ < 𝑥2 = 𝑏 Lấy điểm 𝑀4 ∈ 𝑥4 , 𝑥450 , lập tổng tích phân 2;0 𝑆2 = 𝑓 𝑀4 ∆4 , ∆4 = 𝑥450 − 𝑥4 Tổng Riemann 4< Ta cho max ∆𝑥4 → 𝑆2 tiến đến giới hạn hữu hạn mà không phụ thuộc cách chia [𝑎, 𝑏] cách lấy điểm 𝑀4 giới hạn gọi tích phân xác định hàm 𝑓(𝑥) [𝑎, 𝑏] kí hiệu U 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 K Khi ấy, ta nói hàm 𝑓(𝑥) khả tích 𝑎, 𝑏 1.1.3 Ý nghĩa hình học tích phân xác định Theo định nghĩa tích phân xác định vừa nói diện tích hình thang cong tính theo cơng thức U 𝑆= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 K Bây ta đưa điều kiện cần đủ để hàm khả tích 1.2 ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH 1.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích Định lí 1.1 Nếu hàm f khả tích đoạn [𝑎, 𝑏] bị chặn đoạn Chứng minh Ta giả sử ngược lại hàm 𝑓 khơng bị chặn [𝑎, 𝑏] Bởi hàm 𝑓 không bị chặn [𝑎, 𝑏] nên với phân điểm 𝑇 đoạn [𝑎, 𝑏], hàm 𝑓 khơng bị chặn đoạn Để đơn giản cho việc chứng minh, ta giả sử khơng cịn bị chặn [𝑥 , 𝑥0 ] Khi đoạn cịn lại [𝑥0 , 𝑥W ], [𝑥W, 𝑥X ], … , [𝑥2;0 , 𝑥2 ] ta chọn điểm tùy ý ξ0, ξW , … , ξ2 kí hiệu: 𝜎 ′ = 𝑓 ξW ∆𝑥W + 𝑓 ξX ∆𝑥X + ⋯ + 𝑓 ξ2 ∆𝑥2 (1.2.1) Do 𝑓 không bị chặn đoạn [𝑥 , 𝑥0 ] nên với 𝑀 > 0, ta chọn ξ0 ∈ [𝑥 , 𝑥0 ] cho 𝜎′ + 𝑀 𝑓(ξ0 ) ≥ (1.2.2) ∆𝑥0 Khi đó, 𝑓(ξ0 ) ∆𝑥0 ≥ 𝜎 ′ + 𝑀 tổng tích phân tương ứng 𝜎2 = 𝑓 ξ0 ∆𝑥0 + 𝜎 ′ ≥ 𝑓(ξ0 ) ∆𝑥0 − 𝜎 ′ ≥ 𝑀 1.2.3 Do đó, tổng tích phân 𝜎2 khơng thể có giới hạn hữu hạn, điều nghĩa tích phân xác định hàm 𝑓 khơng tồn 50 W X ln + ln + ln + ⋯ + ln 𝑛 > ln ẻ(ẻz) ă ln ẻă yz ó W 𝑛 𝑛W ⟺ ln + ln + ln + ⋯ + 𝑛 ln 𝑛 > ln 𝑛 + ln 𝑛 − + 2 4 𝑥W 𝑥W 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 − + 𝐶 Chú ý rằng Xét hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 liên tục, khơng âm 1, 𝑛 Ta có 𝑓 ¦ 𝑥 = ln 𝑥 + > ∀𝑥 > 1 và 𝑓 ¦¦ 𝑥 = ∀> 𝑥 ⇒ 𝑓 𝑥 hàm lõm 1, 𝑛 Chia đoạn [1, 𝑛] thành 𝑛 − phần điểm chia 𝑥r = 𝑖 (𝑖 = 1, 𝑛) Theo mệnh đề 1.2 ta có r 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥 Mà r ln 𝑛 − + 2 4 Hay W X ln + ln + ln + ⋯ + ln > ln ẻ(ẻz) ă ln ẻă yz ó 51 Suy 2W 3X > ẻ(ẻz) ă pcm ẻă yz ó Bi toỏn 2.28 Chng minh + 𝑥 ln(𝑥 + + 𝑥 W ) ≥ + 𝑥 W , ∀𝑥 ∈ 𝑅 Lời giải Xét hàm số 𝑓 𝑡 = ln 𝑡 + + 𝑡 W , 𝑡 ∈ 𝑅 Rõ ràng 𝑓 𝑡 > với 𝑡 > 𝑓 𝑡 = 𝑡 = Do với 𝑥 < 0, ta có L ln 𝑡 + + 𝑡 W 𝑑𝑡 > Suy 𝑡 ln 𝑡 + + 𝑡W |.L L − 𝑡𝑑𝑡 + 𝑡W > Hay 𝑥 ln 𝑥 + + 𝑥 W − + 𝑡 W |.L > Do 𝑥 ln 𝑥 + + 𝑥 W − + 𝑡 W + > Với 𝑡 < ln 𝑡 + + 𝑡 W = − ln −𝑡 + + 𝑡 W < Nên 𝑥 < 0, ta có: ln 𝑡 + + 𝑡 W 𝑑𝑥 < L suy điều phải chứng minh Với 𝑥 = bất đẳng thức thành đẳng thức 52 Bài toán 2.29 Chứng minh với 𝑥 > 𝑦 > 0, 𝑥−𝑦 2− 𝑥+𝑦 < ln 1+𝑥 1+𝑦 Lời giải Nhận xét rằng, với 𝑡 dương, > − 𝑡 1+𝑡 Vậy nên, < 𝑦 < 𝑥, ta có L ¯ L 𝑑𝑡 > 1+𝑡 (1 − 𝑡)𝑑𝑡 ¯ hay ln + 𝑡 |¯L 𝑡W L > 𝑡− | ¯ Vậy nên 1+𝑥 𝑥W − 𝑦W ln > 𝑥−𝑦 − 1+𝑦 Từ thu ln 1+𝑥 > 𝑥−𝑦 2− 𝑥+𝑦 1+𝑦 Nhận xét rằng, việc áp dụng kiến thức trình bày trên, để sử dụng tích phân xác định việc chứng minh bất đẳng thức, ta sử dụng quan trắc trực giác từ hình học Bài tốn 2.30 Chứng minh bất đẳng thức ln 𝑛 + < + 1 + ⋯ + , 𝑛 ∈ 𝑁∗ 𝑛 Lời giải trong đoạn 1, 𝑛 + 𝑥 Gọi 𝑆 diện tích hình thang cong giới hạn đường 𝑥 = 1, Xét hàm số 𝑦 = 𝑥 = 𝑛 + 1, 𝑦 = 0, 𝑦 = 𝑥 53 Khi đó: 250 𝑆 = 𝑑𝑥 = ln 𝑛 + (1) 𝑥 Gọi Aû điểm có tọa độ 𝑖, r với 𝑖 = 2,3, … , 𝑛 Ký hiệu 𝐴0 điểm có toạ độ (0,1) 𝐴250 điểm (𝑛 + 1,0) Gọi 𝐵r điểm với toạ độ 𝑖, r;0 với 𝑖 = 2,3, … , 𝑛 + 𝐵0 điểm với toạ độ (1,1) Gọi 𝑆0 diện tích đa giác 𝐴0 𝐵0 𝐵W 𝐴W 𝐵X 𝐴X … 𝐵2 𝐴2 𝐵250 𝐴250 Khi đó, ta có: 1 𝑆0 = + + + ⋯ + (2) 𝑛 Do hàm số 𝑦 = nghịch biến đoạn 1, 𝑛 + nên 𝑆0 > 𝑆 L Từ (1) (2), suy ra: ln 𝑛 + < + 1 + + ⋯+ 𝑛 Bài toán 2.31 Chứng minh 𝑛! < 𝑛 25 z ă 0;2 , \ Lời giải Xét hàm số 𝑦 = ln 𝑥 với ≤ 𝑥 ≤ 𝑛 Gọi 𝑆 diện tích hình tam giác cong giới hạn đường 𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑛, 𝑦 = ln 𝑥 Khi ta có 𝑆 = ln 𝑥𝑑𝑥 = 𝑛 ln 𝑛 − 𝑛 + (1) Gọi 𝐴r điểm có toạ độ (𝑖, ln 𝑖) , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 𝐴 điểm có toạ độ 𝑛, Khi diện tích 𝑆0 đa giác 𝐴0 𝐴W … 𝐴2;0 𝐴2 𝐴 xác định theo công thức 𝑆0 = ln + ln + ln + + ln(𝑛 − 2) + ln(𝑛 − 1) + ln(𝑛 − 1) + ln 𝑛 1 = ln + ln + ⋯ + ln 𝑛 − ln 𝑛 = ln(𝑛!) − ln 𝑛 2 Do 𝑆0 < 𝑆 nên từ (1) (2), ta thu ln(𝑛!) < 𝑛 + ln 𝑛 + − 𝑛 54 Hay 𝑛! < 𝑒 0;2 𝑒 25 z ă ỵ ! < 0;2 25 z ă 2.2.2 p dng cho bi toán cực trị Bài toán 2.32 Cho trước 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ Tìm giá trị nhỏ hàm số L 𝑓 𝑥 = 𝑥 25W 𝑡tan 𝑡𝑑𝑡 − , 𝑥 ≥ 𝑛+2 Lời giải Ta có tan 𝑡 ≥ 𝑡 nên 𝑡tan2 𝑡 ≥ 𝑡 250 Suy L L 𝑡tan 𝑡𝑑𝑡 ≥ 𝑡 250 𝑥 25W 𝑑𝑡 = 𝑛+2 Do L 𝑡tan2 𝑡𝑑𝑡 − 𝑥 25W ≥ 𝑛+2 Vậy giá trị nhỏ hàm số 𝑥 = Nhận xét: Nếu ta cố định cận 𝑥 = 𝐼2 = Ê ã Ë Ì đặt: 𝑥 tan2 𝑥𝑑𝑥, 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ 𝜋 25W 𝑛+2 Bài tốn 2.33 Cho trước 𝑚 ∈ 𝑁 ∗ Tìm giá trị nhỏ hàm số 𝐼2 > L 𝑓 𝑥 = 𝑥 J5X 𝑥 J5W 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 − + , 𝑥 ≥ 𝑚+3 𝑚+2 J W§ Lời giải Xét hàm số 𝑦 = 𝑒 WL − 𝑥 W + 𝑥 , 𝑥 ≥ Ta có 𝑦 ¦ = 2𝑒 WL − 2𝑥 + 𝑥 𝑦′ ≥ 𝑥 ≥ Từ suy 𝑦 đồng biến 𝑥 ≥ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(0) với 𝑥 ≥ Suy 𝑒 WL − 𝑥 W + 𝑥 ≥ ⇒ 𝑒 WL ≥ + 𝑥 W + 𝑥 > 𝑥 W + 𝑥 Nhân hai vế với 𝑥 J , ta thu 𝑒 WL 𝑥 J ≥ 𝑥 W + 𝑥 𝑥 J 55 Từ ta có L L J W§ 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 ≥ 𝑡 J 𝑥 J5X 𝑥 J5W 2(2𝑚 + 5) 𝑡 + 𝑡 𝑑𝑡 = + − 𝑚+3 𝑚+2 𝑚 + (𝑚 + 2) W Suy L 𝑥 J5X 𝑥 J5W 2(2𝑚 + 5) 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 − + ≥− 𝑚+3 𝑚+2 𝑚 + (𝑚 + 2) J W§ Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑓 𝑥 = − 2(2𝑚 + 5) khi 𝑥 = 𝑚 + (𝑚 + 2) Bài toán 2.34 Cho hàm số 𝑓(𝑥) liên tục nghịch biến [0, 𝑏] 𝑎 ∈ [0, 𝑏] Chứng minh K 𝑏 U 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Lời giải Bất đẳng thức cho tương đương với K 𝑏−𝑎 U 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 K Do 𝑓(𝑥) nghịch biến [0, 𝑎] [𝑎, 𝑏] nên K 𝑏−𝑎 U 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏 − 𝑎 𝑎 𝑓 𝑎 U = 𝑎 U 𝑓 𝑎 𝑑𝑥 ≥ 𝑎 K 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 K Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài tốn 2.35 Tìm giá trị lớn hàm số 𝑓 𝑥 = 2𝑥 ! + 3𝑥 Ì + 6𝑥 W − 11𝑥, 𝑥 ∈ 0,1 Lời giải Ta có 𝑔 𝑡 = 𝑡 " + 𝑡 X + 𝑡 hàm liên tục đồng biến 0,1 Do đó, theo tốn 2.34, ∀𝑥 ∈ 0,1 , ta có L " X 𝑡 + 𝑡 + 𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝑡 " + 𝑡 X + 𝑡 𝑑𝑡 hay 𝑥! 𝑥Ì 𝑥W 1 + + ≤𝑥 + + 6 56 Suy 2𝑥 ! + 3𝑥 Ì + 6𝑥 W − 11𝑥 ≤ Vậy, giá trị lớn hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 0,1 𝑥 = 𝑥 = Bài tốn 2.36 Tìm giá trị lớn hàm số 𝑔 𝑥 = sinX 𝑥 + sin 𝑥 − sin 𝑥 với 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑘 + 𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 Lời giải Đặt sin 𝑥 = 𝑡 ≤ 𝑡 ≤ Xét hàm số ℎ 𝑡 = 𝑡 ! + 3𝑡 W − 4𝑡 Ta có ℎ 𝑢 = 𝑢" + 𝑢 hàm liên tục đồng biến [0,1] Khi đó, theo tốn 2.34, ∀𝑡 ∈ 0,1 § " 𝑢" + 𝑢 𝑑𝑢 𝑢 + 𝑢 𝑑𝑢 ≤ 𝑡 hay 𝑡! 𝑡W 1 + ≤𝑡 + 6 Suy 𝑡 ! + 3𝑡 W − 4𝑡 ≤ Dấu đẳng thức xảy 𝑡 = 𝑡 = Từ đây, ta có sinX 𝑥 + sin 𝑥 − sin 𝑥 ≤ giá trị lớn Ë 𝑔(𝑥) 𝑥 = 𝑘𝜋 𝑥 = + 2𝑘𝜋 W Bài tốn 2.37 Tìm giá trị nhỏ hàm số 𝑓 𝑥 = + ln 𝑥 − 2L50 − ln 2𝑥 W , 𝑥 ∈ 0,2 Lời giải Ta có 𝑔 𝑡 = 2§ + 𝑡 hàm số liên tục đồng biến 0,2 nên theo tốn 2.34, thì: L § W + 𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝑥 2§ + 𝑡 𝑑𝑡 57 ⟺2 2§ 𝑡W L 2§ 𝑡W W + | ≤ 𝑥 + | ln 2 ln 2 2L50 4𝑥 𝑥 ⟺ + 𝑥W − ≤ + 2𝑥 − ln ln ln ln 𝑥 ⟺ 2L50 + 𝑥 W ln − ≤ 4𝑥 + 2𝑥 ln − 𝑥 ⟺ + ln 𝑥 − 2L50 − ln 2𝑥 W ≥ −2 Vậy, giá trị nhỏ 𝑓(𝑥) −2 𝑥 = 0, 𝑥 = 2.3 ÁP DỤNG TRONG HÌNH HỌC, VẬT LÝ 2.3.1 Tính diện tích hình phẳng Bài tốn 2.38 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường 𝑦 = 𝑥 W 𝑥 ≥ , 𝑦 = − 𝑥 Lời giải Giao điểm đường 𝑦 = 𝑥 W 𝑥 ≥ 𝑦 = − 𝑥 nghiệm hệ 𝑥=1 𝑦 = 𝑥 W (𝑥 ≥ 0) ⇒ 𝑦=1 𝑦 = − 𝑥 Vậy diện tích cần tìm là: 𝑆= W − 𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑥 − 𝑥 W 𝑑𝑥 = đvdt Bài tốn 2.39 Hãy tính diện tích hình giới hạn trục hồnh nhịp đường Cycloid, cho phương trình tham số 𝑥 = 𝑎(𝑡 − sin 𝑡) , ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 𝑦 = 𝑎(𝑡 − cos 𝑡) 58 Lời giải WL 𝑆= W W 𝑎 (1 − cos 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑎 WL W (1 − cos 𝑡 + cos W 𝑡)𝑑𝑡 = 3𝑎W 𝜋 Bài tốn 2.40 Tính diện tích hình trái tim giới hạn đường Cardioid (đường trái tim), hệ tọa độ cực cho phương trình 𝑟 = 𝑎(1 + cos 𝜑) Lời giải Do tính đối xứng hình qua trục Ox, L 𝑆= W W 𝑎 ( + cos 𝜑) 𝑑𝜑 = 𝑎 W L + cos 𝜑 + cos W 𝜑 𝑑𝜑 = 𝑎W 𝜋 + 𝜋 = 𝜋𝑎W 2 2.3.2 Tính độ dài đường cong phẳng Bài tốn 2.41 Tính độ dài cung đường cycloid có phương trình 𝑥 = 𝑎(𝑡 − sin 𝑡) (0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋) 𝑦 = 𝑎(1 − cos 𝑡) Lời giải Ta có 𝑥 ¦ 𝑡 = 𝑎(1 − cos 𝑡) 𝑦 ¦ 𝑡 = 𝑎 sin 𝑡 Vậy độ dài cung cần tìm WË 𝑙= WË 𝑎 (1 − cos 𝑡)W + sinW 𝑡𝑑𝑡 = 2𝑎 𝑡 sin 𝑑𝑡 = 8𝑎 59 Bài tốn 2.42 Hãy tính độ dài Astroid, phương trình tham số có dạng 𝑥 = 𝑎 cos X 𝑡 𝑎 > 0; ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 𝑦 = 𝑎 sinX 𝑡 hệ toạ Descartes cú dng ă ă ă ị + 𝑦 Þ = 𝑎Þ Lời giải Vậy độ dài cung cn tỡm = ấ ă sin 𝑑𝑡 = 6𝑎 2.3.3 Tính thể tích vật thể Bài tốn 2.43 Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn đường 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 W 𝑦 = khi: 1/ Xoay quanh trục O𝑥 2/ Xoay quanh trục O𝑦 Lời giải Ta có đường 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 W cắt trục O𝑥 𝑥 = 𝑥 = nên ta có: W 1/ 𝑉L = 𝜋 W W (2𝑥 − 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝜋 4𝑥 W − 4𝑥 X + 𝑥 Ì 𝑑𝑥 = W 2/ 𝑉¯ = 2𝜋 W W W 𝑥 2𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝜋 2𝑥 W − 𝑥 X 𝑑𝑥 = 16𝜋 15 8𝜋 60 Bài tốn 2.44 Hãy tính thể tích êlipxơít với bán trục a, b, c 𝑥W 𝑦W 𝑧W + + ≤ 𝑎W 𝑏W 𝑐 W Lời giải Thiết diện elipxơit vng góc với trục Ox hình elíp Thiết diện nằm mặt phẳng 𝑥 = 𝑥., 𝑥 ∈ [−𝑎, 𝑎], giới hạn elip có bán trục 𝑥.W 𝑥.W 𝑏 − W,𝑐 − W 𝑎 𝑎 Phương trình 𝑦W 𝑧W 𝑥.W + =1− W 𝑏W 𝑐 W 𝑎 𝑥 = 𝑥 Diện tích thiết diện biểu diễn dạng 𝑆 𝑥 𝑥.W = 𝜋𝑏𝑐 − W 𝑎 Vậy K 𝑉 = 𝜋𝑏𝑐 1− ;K 𝑥W 𝑑𝑥 = 𝜋𝑎𝑏𝑐 𝑎W 2.3.4 Diện tích mặt trịn xoay Bài tốn 2.45 Tính diện tích mặt tạo nên quay đường parabol 𝑥 = 𝑦 W quanh trục O𝑥 0≤𝑦≤1 Lời giải Ta có 𝑥 ¦ 𝑦 = 2𝑦 ⇒ 𝑦 = 𝑥 (𝑑𝑜 𝑦 ≥ 0) + 𝑥 ¦ (𝑦) W = + 4𝑦 W Vậy diện tích cần tìm 𝑆 = 2𝜋 𝑦 1+ 4𝑦 W 𝑑𝑦 𝜋 = 𝑦 + 4𝑦 W 𝑑 + 4𝑦 W = 𝜋 5−1 61 Bài tốn 2.46 Tìm diện tích mặt bán cầu R Lời giải Mặt cầu xem mặt sinh quay nửa đường tròn quanh trục Ox Phương trình đường trịn bán kính R có dạng 𝑥 W + 𝑦 W = 𝑅 W , nên phương trình nửa đường trịn phía là: 𝑅W − 𝑥 W , 𝑦 ¦ = − 𝑦= 𝑥 𝑅W − 𝑥 W Khi ta có & 𝑅W 𝑆 = 2𝜋 − 𝑥W ;& 𝑥W 1+ W 𝑑𝑥 = 2𝜋 𝑅 − 𝑥W & 𝑅𝑑𝑥 = 4𝜋𝑅 W ;& Cuối ta trình bày số ứng dụng vật lý tích phân xác định 𝐁à𝐢 𝐭𝐨á𝐧 𝟐 𝟒𝟕 Một dòng điện xoay chiều 𝑖 = sin WË / 𝑡 + 𝜑 chạy qua một đoạn mạch có điện tử 𝑅 Hãy tính nhiệt lượng 𝑄 toả mạch thời gian chu kì 𝑇 Lời giải Nhiệt lượng toả thời gian chu kì 𝑇 tính theo cơng thức: / 𝑄= 𝑅𝑖 W 𝑑𝑡 / 𝑄= 𝑅𝐼.W 𝑠𝑖𝑛 W 2𝜋 𝑅𝐼.W 𝑡 + 𝜑 𝑑𝑡 = 𝑇 𝑇 Bài toán 2.48 Đặt vào một đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều 2𝜋 𝑡 𝑇 Khi mạch có dòng điện xoay chiều 𝑢 = 𝑈 sin 𝑖 = 𝐼 sin 2𝜋 𝑡+𝜑 𝑇 62 với 𝜑 độ lệch pha dòng điện hiệu điện Hãy tính cơng dịng điện xoay chiều thực đoạn mạch thời gian chu kì 𝑇 Lời giải Cơng dịng điện nói tính theo công thức / 𝐴= / 𝑢𝑖𝑑𝑡 = 𝑈 𝐼 sin 2𝜋 2𝜋 𝑈 𝐼 𝑡 sin 𝑡 + 𝜑 𝑑𝑡 = 𝑇 cos 𝜑 𝑇 𝑇 63 KẾT LUẬN Dưới hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn tơi hồn thành luận văn tiến độ đạt mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu đề Cụ thể luận văn đạt kết sau: Luận văn trình bày cách rõ ràng, có hệ thống tổng quan kiến thức liên quan đến công thức phép tính tích phân Luận văn lựa chọn phân loại hệ thống tập phong phú từ đến nâng cao Kết luận văn nhằm giúp người đọc hiểu rõ phép tính tích phân luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên tìm hiểu thêm phép tính tích phân áp dụng Tuy nhiên, hạn chế mặt thời gian, kinh nghiệm luận văn bước đầu cho việc nghiên cứu khoa học nên kết đạt luận văn khiêm tốn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Văn Ân (2000), Toán cao cấp tập 3, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức – Định lí áp dụng, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Đình Trí (2008), Giáo trình Tốn học cao cấp, NXB Giáo dục [4] Lê Văn Trực (2007), Giải tích tốn học Tập 1, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [5] Polya, G Szego G (1978), Problems and Theorems In Analysis I Series.Integal Calculus Bulletin of the American Mathematical Society Internet [6] www.diendantoanhoc.net [7] www.mathvn.com [8] www.vntoanhoc.com ... 1.5.4 Tính diện tích mặt trịn xoay 23 CHƯƠNG ÁP DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 25 2.1 ÁP DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 25 2.1.1 Áp dụng tính tích phân xác định 25 2.1.2 Tính giới... phép tính tích phân số áp dụng Một số điểm cố gắng đưa vào luận văn là: - Trình bày số định nghĩa liên quan đến phép tính tích phân, chứng minh chặt chẽ định lý liên quan - Giới thiệu số áp dụng. .. nghĩa, khái niệm kết tích phân xác định; bất đẳng thức tích phân số ứng dụng hình học, vật lý của tích phân để làm sở cho chương sau Chương Các dạng tập áp dụng phép tính tích phân Trong chương