Một số dạng toán về phép tính tích phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG TẤN KHOA MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG TẤN KHOA MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS HỒNG NHẬT QUY Đà Nẵng - 2020 ii Mục lục MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 1.1 1.2 1.3 1.4 Bài tốn diện tích khoảng cách 1.1.1 Bài tốn diện tích 1.1.2 Bài toán khoảng cách 13 Định nghĩa tích phân 15 1.2.1 Định nghĩa 16 1.2.2 Các tính chất tích phân 1.2.3 Tính chất so sánh tích phân 18 Định lý tích phân 17 18 1.3.1 Định lý tích phân 18 1.3.2 Tích phân khơng xác định 19 1.3.3 Phương pháp đổi biến số 20 1.3.4 Phương pháp đổi biến số tích phân xác định 1.3.5 Phương pháp tích phân phần 23 21 Tích phân hàm hữu tỷ 24 1.4.1 Định lý tổng quát phân tích đa thức 24 1.4.2 Phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ thường gặp 25 1.5 Tích phân hàm vơ tỷ 28 1.6 Tích phân hàm lượng giác 34 iii 1.7 Tính gần tích phân 39 1.7.1 Phương pháp khai triển hàm số dấu tích phân thành chuỗi 39 1.7.2 1.8 Sử dụng quy tắc tính gần 42 Tích phân suy rộng 44 1.8.1 Tích phân suy rộng loại 44 1.8.2 Tích phân suy rộng loại 47 1.8.3 Định lý so sánh 48 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2.1 Tính diện tích thể tích 50 50 2.1.1 Tính diện tích 50 2.1.2 Thể tích vật thể 52 2.2 Tính độ dài cung 55 2.3 Tính diện tích mặt cong 58 2.4 Một số ứng dụng vật lý kỹ thuật 61 2.5 2.4.1 Tính vận tốc từ gia tốc, tính quảng đường từ vận tốc 61 2.4.2 Cơng thức tính quãng đường vận tốc 62 2.4.3 Lực thủy tĩnh 62 Một số ứng dụng kinh tế sinh học 65 2.5.1 Ứng dụng để xác định quỹ vốn dựa theo lượng đầu tư kinh tế 65 2.5.2 2.6 Ứng dụng tính cung lượng máu sinh học 66 Ứng dụng xác suất 68 KẾT LUẬN 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 68 2.6 Ứng dụng xác suất Xét biến số x nhận giá trị số khác cách ngẫu nhiên, gọi biến ngẫu nhiên liên tục Xác suất để biến ngẫu nhiên x nhận giá trị x0 tính thơng qua hàm số gọi hàm mật độ xác suất, hay hàm tần suất Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục x hàm số liên tục f (x) thỏa mãn điều kiện sau: f (x) ≥ (xác suất số không âm) Nếu miền biến thiên x khoảng [A; B] (x nhận giá trị miền biến thiên biến cố chắn) Xác suất để x nhận giá trị khoảng [a; b] tính theo cơng thức: b P (a ≤ x ≤ b) = a f (x)dx (A ≤ a ≤ b ≤ B) (2.16) Ta xét ví dụ sau: Gọi t thời gian xếp hàng để mua hàng cửa hàng lớn (đo phút) Qua số liệu thực nghiệm người ta ước lượng hàm tần suất f (t) = t (0 ≤ t ≤ 3) 81 Xác suất để khách hàng phải xếp hàng từ đến phút P = 4 t dt = t 81 81 = 15 ≈ 0, 1852 81 Tổng quát cho điều kiện thứ ta xác định hàm phân phối xác suất (F (x)) từ hàm mật độ biến ngẫu nhiên liên tục 69 sau: x F (x) = f (t)dt −∞ 70 KẾT LUẬN Luận văn thực đề tài nghiên cứu "Một số dạng tốn phép tính tích phân ứng dụng" đạt số kết cụ thể sau: • Mặc dù vấn đề nghiên cứu đề tài quen thuộc phép tính tích phân ứng dụng, điểm đạt cách thức tiếp cận Phương pháp tiếp cận phù hợp với định hướng đổi giáo dục chương trình phổ thơng năm 2018 Ý tưởng ví dụ sau: chúng tơi xây dựng khái niệm tích phân bắt nguồn từ tốn thực tế tính diện tích hình phẳng, độ dài dây cung, ; sau hình thành khái niệm tích phân tập trung nghiên cứu sâu khái niệm này; sau tìm kiếm ứng dụng tích phân nhiều lĩnh vực khác mức độ sâu Ý tưởng phù hợp với định hướng đổi giáo dục theo định hướng hình thành phát triển phẩm chất, lực người học, chủ đề dạy học thường thiết kế qua bước: Trải nghiệm; phân tích rút quy luật, học ; luyện tập kiến thức hình thành được; vận dụng kiến thức thu vào giải vấn đề thực tế Với ý tưởng vậy, chương luận văn thiết kế số toán thực tế dẫn tới khái niệm tích phân xác định, hệ thống hóa kiến thức liên quan tới phép tính tích phân trình bày số dạng tốn tính tích phân hệ thống ví dụ minh họa đa dạng • Trình bày số ứng dụng tích phân việc tính diện 71 tích mặt cong, thể tích vật thể khơng gian, tính độ dài cung, số toán ứng dụng lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, sinh học kinh tế • Hệ thống kiến thức luận văn săp xếp logic, trình bày rõ ràng, tài liệu tham khảo tốt cho công tác giảng dạy tốn học bậc phổ thơng, đặc biết việc xây dựng chuyên đề học tập đáp ứng dạy học phân hóa tích hợp thực chương trình giáo dục phổ thơng năm 2018 Tuy nhiên, lĩnh vực nghiên cứu đề tài có phạm vi ứng dụng rộng rãi, thời gian tìm tịi, nghiên cứu có giới hạn nên việc trình bày nội dung luận văn khơng thể tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả chân thành kính mong nhận góp ý, xây dựng quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Cuối cùng, lần tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Hoàng Nhật Quy tận tình hướng dẫn tơi q trình thực đề tài Xin chân thành cảm ơn! 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Quảng (2008), Một số phương pháp toán học đại quản lý kinh tế, Nhà xuất Bưu Điện [2] Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, Nhà xuất Giáo dục [3] Đồn Quỳnh (2011), Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục [4] Đoàn Quỳnh (2008), Đại số giải tích 12, Nhà xuất Giáo dục [5] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm (Giải tích đại), Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Lê Đình Thúy (2012), Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, Nhà xuất Đại học kinh tế quốc dân Tiếng Anh [7] Artin M (1991), Algebra, College of science [8] Rakesh V (2005), Advanced mathematical, Routledge, London, England [9] Rogawski J., Adam C (2015), Calculus Early Transcendental, Edi., Freeman and company (3rd) [10] Stewart J (2003), Calculus Early Transcendentals, Brooks/Cole Publishing company (6th) 73 [11] Tan S (2010), Calculus, Brooks/Code ... 1: Một số dạng tốn phép tính tích phân Chương trình bày tốn diện tích toán khoảng cách, định nghĩa số định lí tích phân, phép tính tích phân số hàm số thường gặp chương trình phổ thơng tích phân. .. MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Chương giành để xây dựng khái niệm tích phân hàm số biến số Mở đầu chương số tốn dẫn tới khái niệm tích phân Tiếp đến định nghĩa tích phân, nghiên cứu tính. .. thơng tích phân suy rộng Chương 2: Một số ứng dụng tích phân Chương trình bày tốn tính diện tích thể tích, tính độ dài cung, diện tích mặt cong số ứng dụng tích phân vật lý kỹ thuật, kinh tế sinh