Một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN TUẤN ANH MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN TUẤN ANH MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG Đà Nẵng – Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Người cam đoan Nguyễn Tuấn Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN 1.1 TÍCH PHÂN VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1.1.1 Nguyên hàm tích phân bất định 1.1.2 Tích phân xác định 1.1.3 Tích phân số hàm số sơ cấp 1.2 MỘT SỐ DẠNG ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN KHÁC 22 1.2.1 Tích phân hàm chẵn, hàm lẻ 22 1.2.2 Tích phân hàm tuần hồn 26 1.2.3 Tích phân hàm số đặc biệt khác 27 1.3 CÁC DẠNG TỐN KHÁC CỦA TÍCH PHÂN 34 1.3.1 Phương trình chứa tích phân 34 1.3.2 Tìm giới hạn tích phân 36 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CƠ BẢN 38 2.1 ƯỚC LƯỢNG MỘT SỐ LỚP TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 38 2.2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CỔ ĐIỂN 44 2.2.1 Một số bất đẳng thức tích phân cổ điển 44 2.2.2 Các bất đẳng thức tích phân khác 57 2.3 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH 60 2.3.1 Định lý đại lương trung bình 60 2.3.2 Lớp tốn sử dụng định lý đại lượng trung bình 62 CHƯƠNG MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 68 3.1 KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH 68 3.1.1 Về tồn nghiệm phương trình 68 3.1.2 Giải phương trình 70 3.2 KHẢO SÁT BẤT PHƯƠNG TRÌNH 74 3.2.1 Chứng minh bất đẳng thức 74 3.2.2 Tìm cực trị hàm số 79 3.3 MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC 82 3.3.1 Ứng dụng cho số toán tổ hợp 82 3.3.2 Tính diện tích hình phẳng 85 3.3.3 Phương pháp tích phân tốn tính thể tích 91 KẾT LUẬN 101 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 102 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (bản sao) PHỤ LỤC 104 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tích phân có vị trí đặc biệt Tốn học, khơng đối tượng nghiên cứu trọng tâm giải tích mà cịn cơng cụ đắc lực Lý thuyết hàm, Lý thuyết phương trình hàm nhiều lĩnh vực khác: Xác suất, Thống kê, Thiên văn học, Cơ học, Y học, Ngồi ra, kì thi học sinh giỏi Tốn quốc gia, Olympic Tốn sinh viên tồn quốc tốn liên quan đến tích phân hay đề cập đến xem dạng tốn khó Đồng thời tốn liên quan đến phép tính tích phân nằm chương trình quy định Hội Tốn học Việt Nam kì thi Olympic tốn sinh viên thường niên trường Đại học Cao đẳng Toán Cao cấp Lý thuyết toán phép tính tích phân đề cập hầu hết giáo trình giải tích Tuy nhiên, tài liệu hệ thống phép tính tích phân chuyên đề chọn lọc cho giáo viên, học sinh lớp 12 sinh viên trường kĩ thuật hạn chế chưa hệ thống theo dạng toán phương pháp giải, đặc biệt hệ thống dạng toán ứng dụng đẳng thức bất đẳng thức tích phân Nhằm thực mong muốn đóng góp thân việc tìm hiểu dạng toán đẳng thức bất đẳng thức tích phân gợi ý thầy giáo, TS Lê Hải Trung, tác giả mạnh dạn lựa chọn Một số dạng toán đẳng thức bất đẳng thức tích phân cho đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu – Hệ thống lý thuyết phép tính tích phân hàm biến – Xem xét nghiên cứu số dạng toán đẳng thức bất đẳng thức tích phân thơng qua ví dụ cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài số dạng tốn đẳng thức bất đẳng thức tích phân 3.2 Phạm vi nghiên cứu Lý thuyết phép tính tích phân hàm biến số dạng tốn đẳng thức bất đẳng thức tích phân Phương pháp nghiên cứu Trong trình thực luận văn, tác giả có sử dụng kiến thức liên quan đến lĩnh vực sau đây: Giải tích hàm biến, Đại số Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn tài liệu tham khảo có giá trị cho giáo viên học sinh khối PTTH việc học tập, nâng cao kiến thức bồi dưỡng học sinh giỏi Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu Kết luận, luận văn chia thành ba chương đề cập đến vấn đề sau đây: • Chương – Trình bày tính chất ngun hàm tích phân hàm biến thực, số dạng tốn tích phân • Chương – Trình bày số bất đẳng thức tích phân • Chương – Trình bày số ứng dụng đẳng thức bất đẳng thức tích phân • Tài liệu tham khảo – Bao gồm 10 đề mục sách • Phụ lục – Trình bày bảng nguyên hàm Các định nghĩa, định lý, ví dụ chương đánh theo quy tắc: số chương số định nghĩa (hoặc định lý, ví dụ) CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN 1.1 TÍCH PHÂN VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1.1.1 Nguyên hàm tích phân bất định Định nghĩa 1.1 Giả sử hàm số y = f (x) xác định khoảng Ω ⊂ R, hàm số F (x) nguyên hàm hàm số y = f (x) F (x) = f (x), ∀x ∈ Ω Định lý 1.1 (Về tồn nguyên hàm) Mọi hàm liên tục [a; b] có nguyên hàm (a; b) Định lý 1.2 Nếu F (x) nguyên hàm f (x) F (x) + C, C ∈ R nguyên hàm f (x) Định nghĩa 1.2 Tập hợp nguyên hàm hàm số y = f (x) khoảng Ω gọi tích phân bất định hàm số y = f (x) khoảng kí hiệu f (x)dx Chú ý 1.1 Nếu khơng có thích thêm ngun hàm tích phân bất định hàm số khảo sát xét tập xác định D cho trước hàm số hàm nhận giá trị thực 1.1.2 Tích phân xác định Định nghĩa 1.3 Cho hàm số y = f (x) xác định [a; b] Chia đoạn [a; b] thành n đoạn nhỏ điểm chia xi (i = 0, , n) : a = xo < x1 < x2 < x3 < < xn−1 < xn = b (Mỗi phép chia gọi phép phân hoạch đoạn [a; b], kí hiệu ) Đặt ∆xi = xi − xi−1 d( ) = max ∆xi , ≤ i ≤ n Trên đoạn [xi−1 ; xi ], ta lấy điểm tùy ý ξi (i = 1, , n) lập tổng n σΠ = f (ξi )∆xi (1.1) i=1 Tổng (1.1) gọi tổng tích phân hàm số y = f (x) ứng với phép phân hoạch Nếu giới hạn n I = lim σΠ = lim d(Π) →0 d(Π) →0 f (ξi ) ∆xi i=1 tồn tại, không phụ thuộc vào phép phân hoạch đoạn [a;b] cách chọn điểm ξi giới hạn gọi tích phân xác định hàm số y = f (x) [a; b] kí hiệu b I= n f (x)dx = lim d( a ) →0 f (ξi )∆xi i=1 Khi hàm số y = f (x) gọi khả tích [a;b] Định lý 1.3 (Điều kiện khả tích) Các hàm liên tục [a; b], hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn [a; b] hàm đơn điệu bị chặn [a; b] khả tích [a; b] Định lý 1.4 (Công thức Newton-Leibnitz) Nếu hàm số y = f (x) liên tục [a; b] F (x) ngun hàm đoạn b f (x)dx = F (b) − F (a) a Chứng minh Theo Định lý 1.2, tồn C ∈ R cho F (x) = φ(x) + C , x φ(x) = f (t)dt Khi a b F (b) = φ(b) + C = f (t)dt + C a F (a) = φ(a) + C = C b f (x)dx = F (b) − F (a) Vậy a Chú ý 1.2 Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào việc lựa chọn biến lấy tích phân, nghĩa là: b b f (x)dx = a f (t)dt a Định lý 1.5 (Một số đẳng thức tích phân bản) a f (x)dx = 0; 1) a b a f (x)dx = − f (x)dx; 2) a b b c f (x)dx = 3) a b b c b [f (x) ± g(x)] dx = 4) a b b f (x)dx ± a g(x)dx; a b f (x)dx, ∀k = kf (x)dx = k 5) f (x)dx, ∀c ∈ (a; b) ; f (x)dx + a a a Định lý 1.6 (Quy tắc đổi biến số) Cho y = f (x) liên tục [a; b] hàm x = ϕ(t) khả vi, liên tục [α; β] ϕ(t) = a; max ϕ(t) = b; ϕ(α) = a; ϕ(β) = b Khi t∈[α,β] t∈[α,β] β b f (x)dx = a f [ϕ(t)]ϕ (t)dt α 90 Lời giải Dễ thấy, đường cong cho (với ≤ t ≤ 2π ) đường kín trơn phần, chạy ngược chiều kim đồng hồ giới hạn diện tích S phía trái Khi đó, áp dụng cơng thức (3.5), ta có 2π S= [x(t)y (t) − y(t)x (t)] dt 2π = 3a2 [1 − (cos t cos 2t + sin t sin 2t)] dt 2π (1 − cos t) dt = 3a2 (1 − sin t)|2π = 6πa = 3a2 Ví dụ 3.30 Tìm diện tích hình giới hạn đường ốc sên Pascal có phương trình r = b + acosϕ Lời giải Ta có 2π 2π (b + a cos ϕ)2 dϕ = S= 2π = b2 + 2ab cos ϕ + a2 cos2 ϕ dϕ b2 + 2ab cos ϕ + a2 (1 + cos 2ϕ) dϕ 2π = a2 + 2b2 + 4ab cos ϕ + a2 cos 2ϕ dϕ a2 2 = a + 2b ϕ + 4ab sin ϕ + sin2ϕ a2 + 2b2 π = 2π Ví dụ 3.31 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đường cong x2 + y 2 = 4axy (3.6) 91 Lời giải Trước hết, ta chuyển (3.6) sang tọa độ cực cách đặt x = r cos ϕ , với ≤ ϕ < 2π, r ≥ Khi y = r sin ϕ (3.6) ⇒ r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ = 4ar cos ϕr2 sin2 ϕ ⇔r4 = 4ar3 cos ϕsin2 ϕ ⇔r = 4a cos ϕsin2 ϕ Từ đó, suy 2π S= 2π 16a2 cos2 ϕsin4 ϕdϕ = 2a2 a2 = − cos 4ϕ − cos 2ϕ dϕ 2π (1 − cos 2ϕ − cos 4ϕ + cos 2ϕ cos 4ϕ) dϕ a2 = 2π 1− 1 cos 2ϕ − cos 4ϕ + cos 6ϕ dϕ 2 a = 1 ϕ − sin2ϕ − sin4ϕ + sin12ϕ 4 12 2π = πa2 3.3.3 Phương pháp tích phân tốn tính thể tích a Tính thể tích phương pháp đĩa tròn Nhận xét rằng, miền nằm đường cong y = f (x) hai điểm x = a x = b quay xung quanh trục Ox sinh hình khối gọi hình khối trịn xoay Dạng đối xứng hình cho ta phương pháp tính thể tích cách dễ dàng Phía trái miền cho với dải đứng đại diện có độ dày dx đáy nằm trục Ox Khi miền quay xung quanh trục Ox, dải đại diện cảm sinh đĩa mỏng trịn có dạng đồng xu với bán kính y = f (x) độ dày dx Thể tích đĩa phần tử thể tích dV 92 Bởi đĩa hình trụ, thể tích diện tích mặt trịn nhân với bề dày dV = πy dx = π[f (x)]2 dx Bây ta hình dung khối trịn xoay lấp đầy số lớn đĩa mỏng vậy, thể tích tồn phần tổng tất phần tử thể tích cho đĩa đại diện quét qua hình lập thể từ trái sang phải, nghĩa cho x chạy từ a sang b b b V = π[f (x)]2 dx πy dx = dV = a (3.7) a Đó công thức không bắt buộc phải nhớ Thay vào đó, điều tốt hết nên hiểu cách tường tận ý nghĩa Ta có cảm giác cơng thức (3.7) khơng cho kết thể tích xác hình lập thể, khơng tính tốn thể tích phần vỏ mỏng nằm bao quanh phía ngồi đĩa Tuy nhiên, tính tốn diện tích, sai số nhỏ phù hợp với việc sử dụng đĩa thay cho nhát cắt - biến kết trình giới hạn phần có ý nghĩa biểu diễn tích phân Do đó, ta tính thể tích nhờ cơng thức (3.7) hồn tồn tin tưởng kết xác xấp xỉ ln (1 + x3 ), trục Ox x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành cho miền quay quanh trục Ox Lời giải Theo đề ta có Ví dụ 3.32 Cho miền phẳng giới hạn y = x + x3 > ⇔ ln + x3 ≥ x > −1 ⇔ x ≥ ⇒ y ≥ + x3 ≥ Hơn x ln (1 + x3 ) = ⇔ x = 93 Khi 1 x2 ln + x3 dx x ln (1 + x3 ) dx = π V =π 0 ln + x3 d + x3 =π π + x3 ln + x3 = π − + x3 d ln + x3 2π ln π = − 3 + x3 = 2π ln π − x 3 3x2 2π ln dx = −π + x3 x2 dx = π (2 ln − 1) Ví dụ 3.33 Tính thể tích cầu dài cảm sinh Elip y2 x2 quay quanh trục Ox, biết phương trình Elip + = a b 1, (a > b > 0) Lời giải Ta có  b√ 2 2 a − x2 y = x y b  2 a + =1⇔y = a −x ⇔ b√ a2 b a y=− a − x2 a b√ b√ Do y = a − x2 y = − a − x2 đối xứng qua trục a a Ox nên phần tử thể tích dV = πy dx = πb2 a − x2 a Hơn nữa, tính đối xứng cầu dài nên ta cần tìm thể tích tồn phần cách lấy tích phân dV từ x = đến x = a sau nhân với Khi a V = −a a πb2 2πb2 a − x dx = a2 a a2 − x2 dx 94 2πb2 = a x3 a x− a 4πab2 = Ví dụ 3.34 Tính thể tích hình nón chiều cao h bán kính r cảm sinh phép quay tam giác vng có đáy trục Ox nằm góc phần tư thứ Lời giải Theo giả thiết, cạnh huyền tam giác vuông đoạn r đường thẳng y = x, đó, phần tử thể tích h πr2 dV = πy dx = x dx h Khi đó, thể tích tồn phần lấy tích phân dV từ x = đến x = h, tức h V = πr2 x3 πr2 x dx = h2 h2 h = πr2 h Nhận xét 3.6 Phương pháp sử dụng toán gọi phương pháp đĩa Chính tư tưởng áp dụng cho loại hình lập thể khác, phần tử thể tích khơng thiết phải đĩa trịn Nhận xét 3.7 Nếu lát mỏng quay xung quanh trục tạo phần tách xung quanh trục khoảng cách định phần tử thể tích trường hợp sinh lát mỏng đĩa có lỗ hổng giữa, mơ tả vịng đĩa Do đó, phần tử thể tích dV = π y12 − y22 dx Khi đó, thể tích tồn phần b V = π y12 − y22 dx, dV = a đó, y1 y2 bán kính tương ứng vịng ngồi vịng vịng đĩa Từ điều kiện cho toán, chúng xác định 95 hàm x Theo cách thức đó, phương pháp tính thể tích gọi phương pháp vòng đĩa phương pháp áp dụng để tính thể tích hình khối trịn xoay có lỗ hổng bên Ví dụ 3.35 Tìm thể tích hình xuyến sinh đường trịn x2 + (y − b)2 = a2 , (b > a) quay quanh trục Ox Lời giải Đường tròn cho hợp đồ thị hai hàm số y =b− a2 − x , y =b+ a2 − x2 Do đó, thể tích hình trịn quay xung quanh trục Ox cho a a y12 − y22 dx = 2π Vx = π −a a y12 − y22 dx = 2π 4b a2 − x2 dx Bằng cách đặt x = a sin t, ta dễ dàng tính a 4b a2 − x2 dx = πa2 b Khi đó, ta Vx = 2π a2 b Ví dụ 3.36 Cho hình trịn có tâm I(a; 0) bán kính R (với a > R) quay quanh trục Oy Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo nên Lời giải Đường tròn cho hợp đồ thị hai hàm số x=a− R2 − y , x=a+ R2 − y 96 Khi đó, thể tích hình trịn quay quanh trục Oy cho R Vy = π R x21 − x22 dy = 2π −R R x21 − x22 dy = 8πa R2 − y dy Bằng cách đặt y = R sin t, ta dễ dàng tính R R2 − y dy πR2 = Suy Vy = 2π R2 a b Tính thể tích phương pháp bao trụ Xét miền góc vng thứ giới hạn hệ trục tọa độ đồ thị y = f (x) Nếu miền quay xung quanh trục Ox dải đứng tạo thành đĩa với thể tích hình khối tổng (hoặc lấy tích phân) thể tích đĩa từ x = đến x = b Tuy nhiên, miền quanh xung quanh trục Oy ta nhận hình khối hoàn toàn khác hẳn dải đứng sinh bao trụ mỏng Thể tích dV diện tích bề mặt trụ phía bên (2πxy) nhân với chiều cao bao trụ dx, tức dV = 2πxydx (3.8) Do bán kính x bao mở rộng dần từ x = đến x = b nên bao trụ lấp đầy khối trịn xoay từ trục phía ngồi giống phát triển thành lớp cành từ trục phía ngồi Thể tích tồn phần khối tổng (hay tích phân) phần từ thể tích dV , tức b V = dV = b 2πxydx = a 2πxf (x)dx (3.9) a Về ngun tắc, thể tích V có tính cách sử dụng phương pháp đĩa ngang tạo thành dải ngang mỏng Tuy nhiên, điều 97 khó khăn, cần phải giải phương trình y = f (x) để biểu diễn x qua y Ngay áp dụng khác phép tích phân, cơng thức (3.8) (3.9) biểu diễn tóm tắt trình phức tạp tìm giới hạn tổng thường lệ, nên ta thường bỏ qua chi tiết trình Cách tiếp cận có ưu điểm đáp ứng việc áp dụng cho hình khối quay xung quanh trục khác mà không bị ràng buộc trường hợp riêng biệt Ví dụ 3.37 Một ống hình trụ rỗng đường kính a đặt xun qua tâm hình cầu bán kính a Tìm thể tích phần cịn lại hình cầu Lời giải Ta coi hình cầu sinh quay hình trịn x2 + y = a2 quanh Oy hình trụ sinh phần mặt phẳng hai đường thẳng a x = 0, x = Ta có √ y = a2 − x2 √ x + y = a2 ⇔ y = a2 − x ⇔ y = − a2 − x Khi đó, lấy tích phân dV theo bán kính x bao chạy từ x = a đến x = a, ta a a a2 − x2 d a2 − x2 x a2 − x2 dx = −2π Vy = 4π a −4π a − x2 = 3 √ a a = a π 3 a Nhận xét 3.8 Bài tốn giải phương pháp vòng đĩa phương pháp bao trụ thuận lợi Ví dụ 3.38 Một miền góc phần tư thứ I giới hạn y = x2 y = − x2 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành cho miền quay quanh trục Oy 98 Lời giải Chiều cao bao trụ đại diện (2 − x2 ) − x2 = − 2x2 Khi dV = 2πx(2 − 2x2 )dx = 4π(x − x3 )dx Hơn nữa, hai đường cong cắt x = nên ta có x2 x4 − x − x dx = 4π V = 4π = π Nhận xét 3.9 Bài toán giải phương pháp đĩa: tính hai tích phân riêng biệt - tích phân tính thể tích phần giao điểm hai đường cong, tích phân khác tính thể tích phần c Tính thể tích theo thiết diện thẳng Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho vật thể có hình khối giới hạn đường cong hai mặt phẳng x = a, x = b (a < b) Giả sử ta biết diện tích S thiết diện giao vật thể với mặt phẳng (α) vng góc với trục Ox: S = S(x), x hoành độ giao điểm mặt phẳng (α) với trục Ox Giả sử S(x) hàm liên tục [a; b] Khi đó, thể tích V b vật thể tồn V = S(x)dx a Ví dụ 3.39 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt Elipxoit x2 y z + + = a2 b2 c2 Lời giải Cắt Elipxoit mặt phẳng (α) vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x thiết diện tạo thành hình Elip có phương trình y2 z2 x2 + =1− ⇔ b2 c2 a y2 x2 b 1− a + z2 x2 c 1− a = 99 x2 Suy S(x) = πbc − Khi a a V = a x2 1− a S(x)dx = πbc −a −a a = 2πbc x − x 3a2 a dx = 2πbc x2 1− a dx = 4πabc Ví dụ 3.40 Tính thể tích vật thể giới hạn hai mặt trụ x2 + z = a2 ; y + z = a2 Lời giải Vật thể đối xứng qua mặt z = Nếu cắt vật thể mặt phẳng (α) vng góc với trục Oz điểm có hồnh độ z điểm (x; y) biên thiết diện tạo thành thỏa mãn hệ √ x + z = a2 x = ± a2 − z √ ⇔ y + z = a2 y = ± a2 − z (−a ≤ z ≤ a) √ Do đó, thiết diện nhận hình vng có cạnh a2 − z Suy S(z) = a2 − z Khi a a a2 − z dz = S(z)dz = V = −a = a2 z − z a −a a −a = a2 − z dz 16a Ví dụ 3.41 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt sau x2 y c + = 1; z = x; z = a2 b a Lời giải Nếu cắt vật thể mặt phẳng (α) vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x thiết diện hình chữ nhật có chiều dài x2 cx 2b − chiều rộng a a 100 x2 cx 2bc x2 Suy S(x) = 2b − = x − Khi a a a a a V = a S(x)dx = −2abc = 2bc x2 x − dx a a x2 1− a a = abc Kết luận chương Trong chương 3, tác giả đưa số ứng dụng đẳng thức bất đẳng thức tích phân như: khảo sát tồn nghiệm phương trình, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị hàm số, ứng dụng cho số tốn tổ hợp, tính diện tích hình phẳng ứng dụng tốn tính thể tích 101 KẾT LUẬN Luận văn Một số dạng toán đẳng thức bất đẳng thức tích phân hệ thống lý thuyết phép tính tích phân hàm biến, xem xét nghiên cứu số dạng toán đẳng thức bất đẳng thức tích phân Trong chương 1, tác giả hệ thống số kiến thức nguyên hàm tích phân bất định, hệ thống số đẳng thức tích phân ứng dụng việc tính tích phân số hàm số sơ cấp Ngoài ra, tác giả đưa số dạng tốn để luyện tập tính tích phân như: giải phương trình chứa tích phân tìm giới hạn tích phân Trong chương 2, tác giả hệ thống số bất đẳng thức tích phân bản, số bất đẳng thức tích phân cổ điển, đồng thời ứng dụng bất đẳng thức tích phân để chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt việc sử dụng bất đẳng thức tích phân Cauchy - Schwarz, bất đẳng thức tích phân Holder bất đẳng thức tích phân Minkowski Ngồi ra, tác giả cịn hệ thống số mở rộng đại lượng trung bình tích phân lớp tốn sử dụng định lý đại lượng trung bình tích phân như: chứng minh bất đẳng thức tích phân tính giới hạn tích phân Trong chương 3, tác giả đưa số ứng dụng đẳng thức bất đẳng thức tích phân như: khảo sát tồn nghiệm phương trình, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị hàm số, ứng dụng cho số toán tổ hợp, tính diện tích hình phẳng ứng dụng tốn tính thể tích Mặc dù cố gắng nỗ lực lực có hạn thời gian hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp nhận xét quý thầy cô, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Đồng thời tác giả gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến giáo viên hướng dẫn TS Lê Hải Trung có gợi ý đóng góp quý báu cho đề tài 102 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết tốn tử phương trình tích phân kỳ dị, NXB ĐHQGHN, Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Các đề thi Olympic toán sinh viên, NXB GD, Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức - Định lý áp dụng, NXB GD, Hà Nội [4] Nguyễn Văn Mậu (2004), Một số vấn đề chọn lọc tích phân, NXB GD, Hà Nội [5] Nguyễn Văn Mậu, Đặng Huy Ruận, Nguyễn Thủy Thanh (2000), Phép tính vi phân tích phân hàm biến, NXB ĐHQGHN, Hà Nội [6] Trần Phương (2011), Tuyển tập chuyên đề kỹ thuật tính tích phân, NXB ĐHQGHN, Hà Nội [7] Nguyễn Thủy Thanh (2007), Bài tập toán cao cấp - Tập 3, NXB ĐHQGHN, Hà Nội [8] Nguyễn Thủy Thanh (2010), Phương pháp giải dạng toán Tập - Giải tích, NXB GD, Hà Nội [9] Nguyễn Đình Trí (2007), Bài tập tốn cao cấp - Tập 2, NXB GD, Hà Nội Tiếng Anh [10] Pl Kannappan (2009), Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer Dordrecht Heidelberg London New York 103 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ 104 PHỤ LỤC Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp adx = ax + C xm+1 m 2) x dx = + C (m = −1) m+1 dx 3) = ln |x| + C x ax x 4) a dx = + C (0 < a = 1) ln a 5) ex dx = ex + C 6) sin xdx = − cos x + C; cos xdx = sin x + C dx dx = − cot x + C = tan x + C; 7) cos2 x sin2 x 8) tan xdx = − ln |cos x| + C; cot xdx = ln |sin x| + C dx x 9) = arctan + C 2 a +x a a dx = arcsin xa + C 10) √ 2 a −x dx x−a = 11) ln + C x − a2 2a x+a √ dx 12) √ = ln x + x2 ± a2 + C x ± a2 1) ... tính chất nguyên hàm tích phân hàm biến thực, số dạng tốn tích phân • Chương – Trình bày số bất đẳng thức tích phân • Chương – Trình bày số ứng dụng đẳng thức bất đẳng thức tích phân • Tài liệu tham... theo dạng toán phương pháp giải, đặc biệt hệ thống dạng toán ứng dụng đẳng thức bất đẳng thức tích phân Nhằm thực mong muốn đóng góp thân việc tìm hiểu dạng tốn đẳng thức bất đẳng thức tích phân. .. PHÂN XÁC ĐỊNH 38 2.2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CỔ ĐIỂN 44 2.2.1 Một số bất đẳng thức tích phân cổ điển 44 2.2.2 Các bất đẳng thức tích phân khác 57 2.3 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA CÁC ĐẠI