Biểu diễn số tự nhiên thành tổng các lũy thừa và một số dạng toán liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐỖ THỊ KIM THU BIỂU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CÁC LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐỖ THỊ KIM THU BIỂU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CÁC LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Đà Nẵng - Năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết luận văn trung thực Nếu có sử dụng tài liệu khác trích dẫn rõ ràng phần tài liệu tham khảo Đà Nẵng, tháng năm 2016 Học viên Đỗ Thị Kim Thu MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Mục đích nghiên cứu: Đối tượng phạm vi nghiên cứu: 3.1 Đối tượng nghiên cứu: 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: Cấu trúc luận văn: CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 SỐ LŨY THỪA VÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Một số tính chất lũy thừa 1.2 ĐỒNG DƯ THỨC 1.2.1 Định nghĩa đồng dư thức 1.2.2 Các tính chất đồng dư thức 1.3 CÁC LỚP THẶNG DƯ 1.3.1 Hệ thặng dư đầy đủ 1.3.2 Tính chất 1.3.3 Hệ thặng dư thu gọn 1.3.4 Thặng dư toàn phương 1.4 ĐỊNH LÍ EULER VÀ ĐỊNH LÍ FERMAT 1.4.1 Định lí Euler 1.4.2 Định lý nhỏ Fermat 1 1 1 2 3 3 9 10 10 11 11 11 20 20 23 CHƯƠNG BIỂU DIẾN SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CÁC LŨY THỪA 2.1 BIỂU DIẾN SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG 2.1.1 Tổng hai bình phương 2.1.2 Tổng ba bình phương 2.1.3 Tổng ba bình phương với hai bình phương 2.1.4 Tổng bốn bình phương 2.1.5 Tổng năm bình phương 2.1.6 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng m ≥ bình phương dương 2.2 BIỂU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CÁC LUỸ THỪA CÓ SỐ MŨ BẰNG BA HOẶC LỚN HƠN BA 2.2.1 Một số kết biểu diễn số tự nhiên thành tổng lũy thừa bậc cao 2.2.2 Bài toán Waring CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN 3.1 ỨNG DỤNG VÀO GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐỒNG DƯ 3.1.1 Tìm dấu hiệu chia hết 3.1.2 Chứng minh chia hết 3.1.3 Xác định chữ số tận 3.2 ỨNG DỤNG VÀO GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH 3.2.1 Phương trình nghiệm nguyên 3.2.2 Phương trình vơ định 3.3 Bài tập tương tự 24 24 24 24 37 39 42 45 45 47 47 47 48 52 52 52 52 56 57 59 59 62 63 KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) BẢNG KÝ HIỆU R C N N∗ Z Q a p ϕ(n) gcd(a, b) (a, b) Trường số thực Trường số phức Tập số tự nhiên Tập số nguyên dương Tập số nguyên Tập số hữu tỷ Ký hiệu Lagrange Phi - hàm Euler Ước chung lớn a, b MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Chuyên đề số học liên quan đến biểu diễn số tự nhiên thành tổng số thừa có vị trí đặc biệt toán chia hết (đồng dư đồng dư bậc hai), biểu diễn số tự nhiên đa thức với hệ số nguyên Trong kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Toán quốc tế tốn liên quan đến số học, dạng tốn đồng dư, phương trình Diophant dạng toán đa thức nguyên hay đề cập xem dạng tốn thuộc loại khó bậc trung học sở (THCS) trung học phổ thơng (THPT) Các tốn thuộc dạng thường đề cập chương trình tốn đại trà mà thường xuất dạng toán chuyên đề áp dụng Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề số học, luận văn "Biểu diễn số tự nhiên thành tổng lũy thừa số dạng toán liên quan" nhằm cung cấp số phương pháp có tính hệ thống để tiếp cận dạng toán chuyên đề số học vấn đề liên quan Mục đích nghiên cứu: Hệ thống hóa lý thuyết, ứng dụng định lý Gauss, Lagrange, Euler Fermat, giải phương trình vơ định cách biểu diễn số nguyên thành tổng lũy thừa đồng thời nắm số phương pháp, số kỹ thuật tính tốn liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu: 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Một số dạng toán biểu diễn số tự nhiên thành tổng luỹ thừa; ứng dụng định lý Gauss, Langrangue, Euler Fermat để giải phương trình nghiệm ngun, phương trình vơ định 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Các định lý Gauss, Lagrange, Euler Fermat biểu diễn số tự nhiên thành tổng lũy thừa, giải phương trình nghiệm ngun, phương trình vơ định số kỹ thuật tính tốn liên quan Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, phân tích, giải thích, đánh giá, tổng hợp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: Kết nghiên cứu luận văn hướng tới việc bồi dưỡng học sinh giỏi bậc THCS, THPT tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh THCS, THPT; đóng góp thiết thực cho việc học dạy chuyên đề toán trường THCS, THPT Cấu trúc luận văn: Ngoài phần Mở đầu Kết luận, luận văn chia thành ba chương đề cập đến vấn đề sau đây: Chương Cơ sở lý thuyết Chương Biểu diễn số tự nhiên thành tổng lũy thừa Chương Một số dạng toán liên quan CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 SỐ LŨY THỪA VÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 (Số lũy thừa) Ta gọi lũy thừa bậc n(n ≥ 2) số tự nhiên a, tức số an , số lũy thừa Định nghĩa 1.2 (Số phương) Ta gọi bình phương số tự nhiên a, tức số a2 , số phương, số phương số lũy thừa bậc hai Định nghĩa 1.3 (Số phi phương) Số nguyên lớn mà khơng chia hết cho số phương lớn gọi số phi phương Ví dụ 1.1 Các số sau số phương: 4; 9; 25; 36; 49 Các số sau số phi phương: 2; 3; 5; 7; = 2.3; 10 = 2.5; 15 = 3.5; 30 = 2.3.5 Các số sau khơng số phương khơng số phi phương: 12 = 22 3; 18 = 2.32 ; 60 = 22 3.5 Chú ý 1.1 Số 0, số số phương số lũy thừa bậc tuỳ ý Các tên gọi số lũy thừa, số phương, số phi phương sử dụng cho số nguyên khơng âm 1.1.2 Một số tính chất lũy thừa Định lý 1.1 a Số phi phương số nguyên tố, tích số nguyên tố phân biệt có số mũ b Mọi số nguyên dương a biểu diễn dạng tích số phương số phi phương, tức có dạng a = b2 c, c số phi phương Chứng minh a Gọi p ước số ngun tố số phi phương c với số mũ s Nếu s ≥ c chia hết cho p2 , trái với định nghĩa số phi phương, s = b Gọi p số nguyên dương lớn thoả mãn b2 ước a a = b2 c Nếu số c khơng số phi phương phải chia hết cho số phương e2 với e > 1, lúc c = e2 d nên a = b2 c = b2 e2 d = (be)2 d mà be > b, trái với xác định số b Giả sử a có hai cách biểu diễn a = b2 c = e2 d, c, d số phi phương Đặt (b, e) = n b = nb1 , e = ne1 (b1 , e1 ) = Khi đó, (b21 , e21 ) = nên e21 ước số c Do c số phi phương e1 = Hồn tồn tương tự ta có b1 = Suy b = e c = d Vậy cách biểu diễn a = b2 c Định lý 1.2 a Nếu số lũy thừa bậc n chia hết cho số nguyên tố p số chia hết cho pn b Nếu số phương chia hết cho số nguyên tố p số chia hết cho p2 Chứng minh a.Giả sử cn chia hết cho số nguyên tố p với n ≥ Nếu (c, p) = (cn , p) = 1, điều mâu thuẫn với giả sử nên khơng xảy Do (c, p) = p, tức c chia hết cho p, cn chia hết cho pn b Khi n=2 có câu b Định lý 1.3 a Nếu số lũy thừa bậc n tích hai số nguyên tố nhau, tức cn = a.b với (a, b) = 1, thừa số a, b số lũy thừa bậc n b Nếu số phương tích hai số nguyên tố nhau, tức c = a.b với (a, b) = 1, thừa số a, b số phương Chứng minh a Đặt (a, c) = e a = ed c = em với (d, m) = Từ cn = a.b với n ≥ có en mn = edb ⇔ en−1 mn = db Vì (a, b) = nên (e, b) = 1, đồng thời có en−1 mn = db nên b ước mn Từ (d, m) = suy (d, mn ) = 1, đồng thời có en−1 mn = db nên mn ước b Suy b = mn d = en−1 Từ có a = ed = dn 56 Áp dụng lần vào 3742 ta được: a = 372 b = a − 5b = 372 − 35 = 337 Áp dụng lần thứ ba vào 337 ta được: a” = 33 b” = a” − 5b” = 33 − 35 = −2 Vậy A không chia hết cho 17 Chú ý thực -2 số dư phép chia A cho 17, mà số dư phép chia 53 A cho 17 (vì ta áp dụng ba lần cách biến đổi A, với s = 5) Bài toán 3.2 Chứng minh với số nguyên a ta có a2 + khơng chia hết cho 19 Chứng minh Ta phải chứng minh phương trình đồng dư x2 +1 ≡ (mod 19) vô nghiệm Thật vậy, cho x chạy qua hệ thặng dư đầy đủ modulo19 sau: 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±7, ±8, ±9 Ta có giá trị tương ứng x2 + 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82 không chia hết cho 19 3.1.2 Chứng minh chia hết Ví dụ 3.5 Chứng minh tổng lập phương ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Chứng minh A = (n − 1)3 + n3 + (n + 1)3 (n ∈ N ) = 3n3 − 3n + 18n + 9n2 + = 3(n − 1)n(n + 1) + 9(n2 + 1) + 18n Vì 3(n−1)n(n+1) ≡ (mod 9), 9(n2 +1) ≡ (mod 9), 18n ≡ (mod 9) nên A ≡ (mod 9) Ví dụ 3.6 Chứng minh số 111 111 (mod 81) Chứng minh Ta có 111 111 = 111111111(1072 +1063 + +109 +1) mà 111111111 ≡ (mod 9) 1072 + 1063 + + 109 + có tổng chữ số (mod 9) Do 111 111 ≡ (mod 81) 57 Ví dụ 3.7 Chứng minh A = 7.52n + 12.6n 19, ∀n ∈ N Chứng minh Ta có: A = 7.52n + 12.6n Vì 25 ≡ (mod 19) ⇒ A ≡ 7.6n + 12.6n (mod 19) ⇒ A ≡ 19.6n (mod 19) ⇒ A 19 2n Ví dụ 3.8 Chứng minh A = 22 + 7, ∀n ≥ Chứng minh Ta có 23 = ≡ (mod 7) Ta tìm số dư 22n chia cho Ta có: 22n = 4n Vì ≡ (mod 3) nên 4n ≡ (mod 3) Vậy 22n viết dạng 22n = 3k + 1(k ∈ N ∗ ) ⇒ A = 23k+1 + = 2.8k + ≡ + ≡ (mod 7) ⇒ A 2004n Ví dụ 3.9 Chứng minh 19242003 +1920124 124, (∀n ∈ N∗ ) 2004n + 1920124 Chứng minh Ta có 124 = × 31 Đặt A = 19242003 2004n Vì 1924 ≡ (mod 31), 1920 ≡ −2 (mod 31) nên A ≡ 22003 −2 (mod 31) (*) n Mặt khác 25 = 32 ≡ (mod 31) Ta cần tìm số dư 20032004 chia cho n Ta có: 2004n ⇒ 2004n = 4k(k ∈ N∗ ) ⇒ 20032004 = 20034k Vì 2003 ≡ (mod 5) nên 20034k ≡ 34k ≡ 81k ≡ (mod 5) n n Vậy 20032004 ≡ (mod 5), 20032004 = 5m + 1(m ∈ N∗ ) 2004n = 25m+1 = 2(25 )m ≡ (mod 31) Thay vào (*) suy Từ ta có: 22003 A ≡ (mod 31) hay A 31 Hơn nữa, dễ thấy A chia hết cho 4, nên ta suy điều phải chứng minh Bài tốn 3.3 Tìm số tự nhiên n nhỏ có ba chữ số cho n + chia hết cho 11 Chứng minh Trước hết ta tìm số nguyên x cho x3 + chia hết cho 11, tức giải phương trình đồng dư x3 + ≡ (mod 11) Thử qua hệ thặng dư đầy đủ 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5 ta thấy phương trình có nghiệm x ≡ −1 (mod 11), tập hợp số nguyên x = −1 + 11t, t ∈ Z Bởi x số tự nhiên gồm ba chữ số nên phải có −1 + 11t ≥ 100 nghĩa t = 10, 11, 12, Vậy số tự nhiên n nhỏ cần tìm 109 3.1.3 Xác định chữ số tận 58 Ví dụ 3.10 a) Tìm hai chữ số tận số A = 22004 b) Tìm ba chữ số tận A Chứng minh a) Nhận xét: Tìm hai chữ số tận A thực chất tìm số dư A chia cho 100 Ta có 100 = × 25 Trước hết ta tìm số dư A chia cho 25 Ta có: 210 = 1024 ≡ −1 (mod 25) ⇒ A = 24 (210 )200 ≡ 16 (mod 25) Vậy A viết dạng: A = 25k + 16(k ∈ N) Mặt khác, hiển nhiên ta có A chia hết cho 4, suy k 4, hay k = 4m(m ∈ N) ⇒ A = 100m + 16 ≡ 16 (mod 100) Vậy hai chữ số tận A 16 b) Cũng vậy, ta tìm số dư A chia cho 1000 Ta có 1000 = × 125 Xét số dư A chia cho 125 Nhận xét: Ta có đẳng thức: (a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 Như vậy, a 25 (a + b)5 ≡ b5 (mod 125) Trở lại với toán: 250 = (210 )5 = (25k − 1)5 ≡ −1 (mod 125) Vậy A = 16(250 )40 ≡ 16 (mod 125) ⇒ A = 125k + 16(k ∈ N) Mặt khác, A ⇒ k hay k = 8m(m ∈ N) Vậy A có dạng: A = 1000m + 16, hay ba chữ số tận A 016 Nhận xét 3.1 Tìm n chữ số tận số A thực chất tìm số dư A chia cho 10n Để tìm dư A chia cho 10n ta đưa việc tìm dư A chia cho 2n 5n Bài tốn 3.4 Tìm số dư phép chia 109345 cho 14 Chứng minh Bởi 109 ≡ −3 (mod 14) nên 109345 ≡ (−3)345 (mod 14) ƯCLN(-3, 14) = 1, áp dụng định lý Euler ta có (−3)ϕ(14) ≡ (mod 14) Nhưng ϕ(14) = nên (−3)6 ≡ (mod 14), 345 = 6.57 + cho 59 nên: (−3)345 = [(−3)6 ]57 (−3)3 ≡ −27 (mod 14) từ −27 ≡ (mod 14) ta được: 109345 ≡ (mod 14) Vậy số dư phép chia 109345 cho 14 Bài tốn 3.5 Tìm hai chữ số tận bên phải viết số 21954 hệ thập phân Chứng minh Thực chất tốn tìm số dư r phép chia 21954 cho 100, nghĩa tìm số tự nhiên r thỏa mãn: 21954 ≡ r (mod 100), ≤ r < 100 Ta thấy ƯCLN(2, 100) = nên ta chưa áp dụng định lý Euler trực tiếp Bởi (21954 , 100) = nên ta đặt r = 4x toán chuyển tìm số dư x phép chia 21952 cho 25 Từ ƯCLN(2, 25) = 1, theo định lý Euler ta có: 2ϕ(25) ≡ (mod 25)nghĩa 220 ≡ (mod 25) Nhưng 1952 = 20.97 + 12 nên 21952 = (220 )97 212 ≡ 212 (mod 25) suy 21952 ≡ 21 (mod 25) Bằng cách nhân hai vế modulo đồng dư thức cuối với ta được: 21954 ≡ 84 (mod 100) Vậy hai chữ số tận bên phải viết số 21954 hệ thập phân 84 3.2 ỨNG DỤNG VÀO GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH 3.2.1 Phương trình nghiệm ngun Bài tốn 3.6 Tìm tất cặp số nguyên dương (x, y) cho x + y2 số nguyên dương ước 1995 x−y 5x − 5k − Chứng minh Từ điều kiện ra, ta được: y = = 5(k + + 3t) − 5k − = + 5t Vậy x = k + + 3t, y = + 5t(t ∈ Z) Suy ra: + Nếu m = 3k + 1, k ∈ Z phương trình cho có nghiệm tổng qt là: 60 x = k + + 3t, y = + 5t(t ∈ Z) + Nếu m chia cho dư khác phương trình cho khơng có nghiệm nguyên Bài toán 3.7 (Mathlinks Contest) Giả sử a1 , a2 , , a2014 số nguyên không âm thỏa mãn an1 + an2 + · · · + an2014 số phương với số nguyên dương n Tìm số nhỏ số số a1 , a2 , , a2014 Lời giải Chọn số nguyên tố p > N = max{2014, } với i = 2014 1, 2, , 2014 lấy n = p−1 Khi ta có i=1 ani = 2014 i=1 ap−1 ≡ k (modp) i Trong k số hạng dãy a1 , a2 , , a2014 không chia hết cho p 2014 n Theo cách chọn < k < p Mà i=1 số phương k nên ta có = 1, ∀p ∈ ℘, p > N Do k số phương Đặt p k = l2 ⇒ l2 ≤ 2014 ⇒ l ≤ 44 ⇒ k ≤ 442 = 1936 Do có 2014 − 1936 = 78 số dãy a1 , a2 , , a2014 Bài toán 3.8 (Taiwan TST 1999) Tìm tất số nguyên dương m, n cho (m, n) = ϕ(5m − 1) = 5n − Lời giải Gọi 5m −1 = 2α pα1 ···pαk k (pi ∈ ℘, pi > 2, α ∈ N∗ , αi ∈ N∗ , i = 1, , k Từ điều kiện toán suy 5n − = ϕ (5m − 1) = 2α−1 pα1 −1 · · · pαk k −1 (p1 − 1) · · · (pk − 1) Do (5m − 1, 5n − 1) = 5(m,n) − = − = Từ suy αi = ∀i = 1, 2, , k Khi 5m − = 2α p1 p2 · · · pk 5n − = 2α−1 (p1 − 1) (p2 − 1) · · · (pk − 1) • Nếu s > | (5m − 1, 5n − 1) = (vơ lý) • Nếu s = k = (ngược lại k ≥ ⇒ (p1 − 1) ⇒ | (5m − 1, 5n − 1) = (vơ lý)) Khi ta có 5m − = 5n − = (vơ lý) 61 • Nếu s = cho ta 5m − = 4p1 p2 pk (1) n − = (p1 − 1) (p2 − 1) (pk − 1) (2) Khả Nếu n lẻ suy k = (ngược lại suy vế trái (2) chia hết cho 8, vơ lý) Khi 5m − = 4p1 m n m n 5n − = (p1 − 1) ⇒ −1 = (5 − 1)+4 ⇔ = 2.5 +3 (vô lý) Khả Nếu n chẵn, n ≥ suy (5n − 1) 8, mà m > n, (m, n) = nên m số lẻ Từ ta có 5m − ≡ (mod 8) Và 5m − ≡ (mod pi ) ⇔ 5m ≡ (mod pi ) ⇒ 5m+1 ≡ ( (mod pi )) ⇔ =1⇒ pi pi = ⇔ pi ≡ −1 ( (mod 5)) ∀i = 1, 2, , k (nếu pi ≡ ( (mod 5)) vế trái (2) 5, vế phải (2) 5, vơ lý) Khi xét modulo (1) (2) (1) ⇔ ≡ 5m = 4p1 p2 pk + ≡ 4.(−1)k + ( (mod 5)) ⇔ k chẵn (2) ⇔ ≡ 5n = (p1 − 1) (p2 − 1) (pk − 1) + ≡ 2.(−2)k + ( ⇔ k ≡ 3( (mod 5)) (mod 4)) Hai điều mâu thuẫn với Vậy không tồn số nguyên dương m, n cho (m, n) = 1, ϕ(5m − 1) = 5n − Bài toán 3.9 (Serbia Mathematical Olympiad 2007) Tìm tất cặp số nguyên dương (x, n) cho x3 + 2x + = 2n Lời giải Giả sử x, n số nguyên dương thỏa mãn x3 + 2x + = 2n (3.4) • n = phương trình (3.4) trở thành x3 + 2x + = vơ nghiệm (do VT ≥ > VP) • n = phương trình (3.4) trở thành x3 + 2x + = ⇒ x = • n ≥ từ phương trình (3.4) suy x lẻ 62 Từ (3.4) ⇔ x(x2 +2) = 2n −1 Vì x(x2 +2) ln chia hết cho với x nên n chẵn Từ (3.4) ⇔ x3 + 2x + = 2n + ⇒ (x + 1) x2 − x + = 2n + Giả sử p ước nguyên tố x2 − x + ⇒ p lẻ Từ 2n + −2 ≡ (mod p), 2n ≡ −2 (mod p) Do n chẵn nên ⇒ = = p p2 −1 p−1 −1 2 = (−1) (−1) ⇒ p có dạng 8m + 8m + (m ∈ p p N∗ ) Mặt khác, x3 + 2x + ≡ ( (mod 8)) ⇒ x ≡ ( (mod 8)) ⇒ x2 − x + ≡ ( (mod 8)) (vô lý) Vậy có cặp số nguyên dương thỏa mãn (x, n) = (1, 2) Bài toán 3.10 Chứng minh phương trình x2 + = y khơng có nghiệm ngun Lời giải Giả sử phương trình x2 + = y có nghiệm nguyên (x, y) Nếu y chẵn x2 + ≡ (mod 8) hay x2 ≡ (mod 8) vô lý Do y số lẻ Phương trình x2 + = y tương đương với x2 − = y − = (y − 2)(y + 2y + 4) y số lẻ nên y + 2y + lẻ, gọi p ước nguyên tố y + 2y + suy p lẻ p≡3 (mod 4) (3.5) −3 = p Mặt khác x2 − = (y − 2) y + 2y + ⇒ x2 − ≡ ( (mod p)) ⇒ = Nên ta có p Từ y +2y+4 ≡ ( (mod p)) ⇒ (y + 1)2 +3 ≡ ( (mod p)) ⇒ 1= −3 p = −1 p p = −1 p ⇒ p ≡ 1( (mod 4)) (3.6) Vậy (3.5) (3.6) mâu thuẫn với suy điều giả sử sai hay phương trình x2 + = y khơng có nghiệm ngun 3.2.2 Phương trình vơ định Xét phương trình vơ định chứa tham số Bài tốn 3.11 Giải phương trình vơ định 15x − 9y = 5m + Ở m số nguyên cho trước 63 Lời giải Ta có ƯCLN(15,9) = nên điều kiện phương trình cho có nghiệm ngun 5m + ≡ (mod 3) tương đương với m ≡ (mod 3) nghĩa m = 3k + 1, k ∈ Z Khi phương trình cho tương đương với phương trình: 5x−3y = 5k+2 Trước hết giải phương trình đồng dư: 5x ≡ 5k + (mod 3) ta x ≡ k + (mod 3) tức x = k + + 3t, t ∈ Z Bài tốn 3.12 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình xy = z (1) Lời giải Giả sử x0 , y0 , z0 thỏa mãn (1) có ƯSCLN d Giả sử x0 = dx1 , y0 = dy1 , z0 = dz1 (x1 , y1 , z1 ) thỏa mãn (1) Do ta giả sử (x, y, z) = x, y, z đơi ngun tố hai ba số x, y, z có ước chung d số cịn lại chia hết cho d Ta có x.y = z mà (x, y) = nên x = a2 , y = b2 với a, b ∈ N∗ Bởi (1) ⇔ z = x.y = (ab)2 ⇔ z = (ab) Như ta biểu thức nghiệm x = ta2 ; y = tb2 ; z = ab(t ∈ N∗ ) Ngược lại, dễ thấy số x, y, z có dạng thỏa mãn (1) Vậy công thức cho ta tất nghiệm nguyên dương (1) 3.3 Bài tập tương tự Bài tập 3.1 Chứng minh số sau không số phương: a) A = 12345678 b) B = 996699 + 20112012 c) C = 72012 + 52013 d) D = 3.512010 + 242 Bài tập 3.2 Chứng minh số sau khơng số phương với số nguyên dương n, m bất kì: a) E = 19n5 + 15n3 − 19n − b) F = n6 − n4 + 2n3 + 2n2 (n > 1) c) G = 3nm − d) H = 3n + Bài tập 3.3 Chứng minh số sau không số lũy thừa: 64 a) K = 1012 + 32 b) Tổng số phương năm số nguyên liên tiếp Bài tập 3.4 Chứng minh số sau khơng số phương: a) n3 + với số tự nhiên lẻ n b) 2.13n + 5.7n + 26 với số tự nhiên n Bài tập 3.5 Tìm cặp số (m, n), số nhỏ 60, mà tổng m + n tích mn số phương Bài tập 3.6 Chứng minh với x ≥ y ≥ số x2 + y khơng số phương Bài tập 3.7 Chứng minh với n ≥ số 2n − khơng số lũy thừa Bài tập 3.8 Chứng minh với n ≥ số 2n + khơng số lũy thừa Bài tập 3.9 Chứng minh số sau số phương với n số tự nhiên: a) Tích bốn số nguyên liên tiếp cộng với b) 4S + với S = 1.2.3 + 2.3.4 + · · · + n(n + 1)(n + 2) c) Tổng M = 13 + 23 + · · · + n3 Bài tập 3.10 Tìm số nguyên n cho 15n + 34 số phương Bài tập 3.11 Tìm n tự nhiên cho 3n + số phương Bài tập 3.12 Tìm a nguyên cho A = a2 + 10a + 1964 số phương Bài tập 3.13 Tìm sốnguyên n cho n2 + 5n + 11 số phương Bài tập 3.14 a) Hãy hai số nguyên dương x, y khác cho xy + x xy + y số phương b) Có hay khơng số x, y phân biệt thuộc khoảng (998, 1994) cho xy + x xy + y số phương 65 Bài tập 3.15 Số tự nhiên A gồm 1999 chữ số 1, chữ số chữ số Hỏi A số phương hay khơng? Bài tập 3.16 Chứng minh rằng: n! + 2003 số phương, với n số tự nhiên Bài tập 3.17 Chứng minh A = 1! + 2! + · · · + n! số phương với n > Bài tập 3.18 Chứng minh rằng, tổng bình phương 1984 số ngun liên tiếp khơng số phương Bài tập 3.19 Cho n lẻ Chứng minh A = n2004 + khơng số phương Bài tập 3.20 Chứng minh rằng: ∀n ∈ N∗ , số A = + 92n + 452n + 19452n số phương Bài tập 3.21 Chứng minh rằng: A = + 1919 + 93199 + 19931994 số phương Bài tập 3.22 a) Chứng minh tích tám số ngun liên tiếp ln chia hết cho 128 b) Chứng minh số m = n(n + 1)(n + 2) (n + 7) + 7! biểu diễn dạng tổng hai số phương, với n ∈ N Bài tập 3.23 Chứng minh 2n tổng hai số phương (lớn 1) phân biệt n2 + 2n viết thành tổng bốn số phương lớn phân biệt Bài tập 3.24 a) Tìm số nguyên n2 nhỏ cho với số ngun m ≥ n2 có số lũy thừa a2 thỏa mãn m < a2 < 2m b) Tìm số nguyên n3 nhỏ cho với số ngun m ≥ n3 có số lũy thừa a3 thỏa mãn m < a3 < 2m Bài tập 3.25 Giải phương trình nghiệm nguyên dương m2 + n2 = (n + 1)2 66 Bài tập 3.26 Cho phương trình nghiệm nguyên dương x2 +y = z a) Chứng minh x y phải chia hết cho b) Chứng minh x y phải chia hết cho c) Chứng minh x y z phải chia hết cho d) Giải phương trình x2 + y = z với x, y, z cặp nguyên tố Bài tập 3.27 a) Giải phương trình nghiệm nguyên x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2 b) Chứng minh phương trình xn + (x + 1)n = (x + 2)n khơng có nghiệm số tự nhiên với n > c) Giải phương trình nghiệm nguyên x3 +(x+1)3 +(x+2)3 = (x+2)3 d) Chứng minh phương trình x3 +(x+1)3 +(x+2)3 +(x+3)3 = (x + 4)3 khơng có nghiệm ngun Bài tập 3.28 Hãy tìm dấu hiệu chia hết cho m biết 10k ≡ (mod m) Áp dụng: Tìm xem số 6238357 có chia hết cho 37 khơng? Bài tập 3.29 Áp dụng tính chất số đồng dư tìm lại phép thử với số phép nhân phép chia hai số tự nhiên Bài tập 3.30 a) Bằng cách viết số nguyên theo hệ thống đếm số 100 suy tiêu chuẩn chia hết cho 101 b) Bằng cách viết số nguyên theo hệ thống đếm số 100 suy tiêu chuẩn chia hết cho 37, 7, 11, 13 Bài tập 3.31 Cho a ∈ Z Chứng minh a) Nếu a ≡ (mod 2) a2 ≡ (mod 8) b) Nếu a ≡ (mod 3) a2 ≡ (mod 9) Bài tập 3.32 Sử dụng đẳng thức đồng dư, chứng minh a) 1110 − 100 b) 19641962 + 19631964 + 19651966 + c) 241917 + 141917 19 d) 22n+2 + 24n + 14 18, ∀n ∈ N 67 Bài tập 3.33 Giải phương trình vơ định sau: a)31x − 43y = b)50x + 17y = c)11x + 25y = 30 d)79x + 13y = 27 Bài tập 3.34 Giải biện luận theo số nguyên m phương trình vơ định sau đây: a) 12x + 8y = 3m + b) 15x − 20y = 2m − Bài tập 3.35 Giải phương trình vô định sau đây: a) 5x2 − = 11y b) 3x2 + 2x = 17y Bài tập 3.36 Giải phương trình vơ định sau đây: a) x3 + = 11y b) x3 + 2x + 7y + = Bài tập 3.37 Giải phương trình nghiệm nguyên x2 − y = Bài tập 3.38 Tìm tất số nguyên dương n để phương trình x2 − y = n có nghiệm ngun dương Bài tập 3.39 Biểu diễn số 65 thành dạng a2 + b2 , a ≥ b Biểu diễn số 63, 71, 95 thành dạng a2 + b2 + c2 + d2 , a ≥ b ≥ c ≥ d Bài tập 3.40 Cho n ∈ N∗ , xét phương trình n (x + i)2 = y i=1 a) Chứng tỏ n = 12m − 1, m ngun dương phương trình có nghiệm ngun b) Chứng minh n = p2k+1 q − p số nguyên tố p ≡ (mod 4),p > (p, q) = phương trình khơng có nghiệm ngun Bài tập 3.41 Tìm tất số nguyên tố p để phương trình p = x + 16y có nghiệm nguyên dương Bài tập 3.42 Chứng minh phương trình x2 + y + z + t2 = n2 có nghiệm nguyên dương n = 1, 68 Bài tập 3.43 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x2 −4x+1 = 2n Chứng minh x2n +x2 biểu diễn thành tổng số phương ba số liên tiếp với số nguyên dương n 69 KẾT LUẬN Luận văn “Biểu diễn số tự nhiên thành tổng thừa số dạng toán liên quan" nhằm: Trình bày chi tiết số dạng tốn đồng dư đồng dư bậc hai, số phương số lũy thừa, Trình bày cách biểu diễn số nguyên dương dạng tổng số phương, lũy thừa bậc ba bậc cao Trình bày số ứng dụng liên quan chữ số tận cùng, dạng toán chia hết, phương trình nghiệm nguyên, phương trình Diophant Cuối cùng, luận văn trình bày số đề toán chọn lọc từ đề thi học sinh giỏi nước, Olympic khu vực quốc tế liên quan Với tìm hiểu được, tơi hy vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân công tác giảng dạy sau nguồn tư liệu tốt cho học sinh phổ thông quan tâm đến lớp toán biểu diễn số tự nhiên thành tổng lũy thừa Mặc dầu có nhiều cố giắng thời gian khả có hạn nên chắn luận văn có nhiều chỗ thiếu sót.Vì tơi mong thầy, đồng nghiệp dẫn góp ý để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tiếng Việt [1] Lê Hải Châu (2007), Các thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam, NXB Giáo dục [2] Trần Nam Dũng, Nguyễn Văn Mậu, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ruận (2008),Một số vấn đề số học chọn lọc, NXB Giáo dục [3] Hà Huy Khoái (2008), Số học, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Lưu Sơn, Nguyễn Ngọc Thắng, Phạm Văn Hùng (2005), Các giảng số học, www.VNMath.com [5] Nguyễn Văn Thảo, (Chuyên đề số học), Các toán đồng dư, www.VIETMATH.com [6] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến (2010), Một số chuyên đề đại số bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, NXB Giáo dục [7] Tổng tập Toán tuổi thơ (2011, 2012, 2013, 2014), NXB Giáo dục [B] Tiếng Anh [1] Sierpinski W (1964), Elementary theory of numbers, Warszawa ... 2.2 BIỂU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CÁC LUỸ THỪA CÓ SỐ MŨ BẰNG BA HOẶC LỚN HƠN BA 2.2.1 Một số kết biểu diễn số tự nhiên thành tổng lũy thừa bậc cao 2.2.2 Bài toán. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐỖ THỊ KIM THU BIỂU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CÁC LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13... cách biểu diễn số nguyên thành tổng lũy thừa đồng thời nắm số phương pháp, số kỹ thuật tính toán liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu: 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Một số dạng toán biểu diễn số