Biểu diễn số tự nhiên thành tổng các lũy thừa và một số dạng toán liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  ĐỖ THỊ KIM THU BIỂU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CÁC LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Phản biện 1: TS Trương Công Quỳnh Phản biện 2: GS TS Lê Văn Thuyết Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu Luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Chuyên đề số học liên quan đến biểu diễn số tự nhiên thành tổng lũy thừa có vị trí đặc biệt toán chia hết (đồng dư đồng dư bậc hai), biểu diễn số tự nhiên đa thức với hệ số nguyên Trong kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia, Olympic tốn quốc tế tốn liên quan đến số học, dạng toán đồng dư, phương trình Diophant hay đề cập xem dạng toán thuộc loại khó bậc trung học sở (THCS) trung học phổ thơng (THPT) Các tốn thuộc dạng thường đề cập chương trình tốn đại trà mà thường xuất dạng toán chuyên đề áp dụng Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi (HSG) chuyên đề số học, luận văn "Biểu diễn số tự nhiên thành tổng lũy thừa số dạng toán liên quan" nhằm cung cấp số phương pháp có tính hệ thống để tiếp cận dạng toán chuyên đề số học vấn đề liên quan Mục đích nghiên cứu: Hệ thống hóa lý thuyết, ứng dụng định lý Gauss, Lagrange, Euler Fermat, giải phương trình nghiệm ngun, phương trình vơ định cách biểu diễn số nguyên thành tổng lũy thừa đồng thời nắm số phương pháp, số kỹ thuật tính tốn liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu: 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Một số dạng toán biểu diễn số tự nhiên thành tổng lũy thừa; ứng dụng định lý Gauss, Langrangue, Euler Fermat để giải phương trình nghiệm ngun, phương trình vơ định 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Các định lý Gauss, Lagrange, Euler Fermat biểu diễn số tự nhiên thành tổng lũy thừa, giải phương trình nghiệm nguyên, phương trình vơ định số kỹ thuật tính tốn liên quan Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, phân tích, giải thích, tổng hợp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: Kết nghiên cứu luận văn hướng tới việc bồi dưỡng học sinh giỏi bậc THCS, THPT tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh THCS, THPT; đóng góp thiết thực cho việc học dạy chuyên đề toán trường THCS, THPT Cấu trúc luận văn: Ngoài phần Mở đầu Kết luận, luận văn chia thành ba chương đề cập đến vấn đề sau đây: Chương Cơ sở lý thuyết Chương Biểu diễn số tự nhiên thành tổng lũy thừa Chương Một số dạng toán liên quan CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 SỐ LŨY THỪA VÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 (Số lũy thừa) Định nghĩa 1.2 (Số phương) Định nghĩa 1.3 (Số phi phương) Ví dụ 1.1 Các số phương, số phi phương,các số khơng số phương khơng số phi phương Chú ý 1.1 Số 0, số số phương số lũy thừa bậc tuỳ ý 1.1.2 Một số tính chất lũy thừa Định lý 1.1 a) Số phi phương số nguyên tố, tích số ngun tố phân biệt có số mũ b) Mọi số nguyên dương a biểu diễn dạng tích số phương số phi phương, tức có dạng a = b2 c, c số phi phương Định lý 1.2 a) Nếu số lũy thừa bậc n chia hết cho số ngun tố p số chia hết cho pn b) Nếu số phương chia hết cho số ngun tố p số chia hết cho p2 Định lý 1.3 a) Nếu số lũy thừa bậc n tích hai số nguyên tố nhau, tức cn = a.b với (a, b) = 1, thừa số a, b số lũy thừa bậc n b) Nếu số phương tích hai số nguyên tố nhau, tức c2 = a.b với (a, b) = 1, thừa số a, b số phương Định lý 1.4 Căn bậc n số nguyên dương số nguyên dương, số vô tỉ Nói cách khác, an = d với d số nguyên dương mà a số hữu tỉ a số nguyên Định lý 1.5 Giả sử a, b, m, n số nguyên dương a) Nếu an ước bn a ước b b) Nếu am = bn (m, n) = tồn số nguyên dương c cho a = cn b = cm Định lý 1.6 Cho số ngun s ≥ ln tồn số nguyên ns cho ứng với số nguyên m ≥ ns tồn số lũy thừa as thỏa mãn m < as < 2m Định lý 1.7 Giả sử a, b, n số nguyên dương a) Nếu số b thỏa mãn an < b < (a + 1)n số b khơng số lũy thừa bậc n b) Nếu số b thỏa mãn a2 < b < (a + 1)2 số b khơng số phương Định lý 1.8 (Định lí Liouville) Với số nguyên dương a n ≥ đẳng thức (a − 1)! + = an xảy a = Tính chất 1.1 (Số phương) a) Các số phương có chữ số tận chữ số 0, 1, 4, 5, 6, khơng có chữ số tận 2, 3, 7, b) Nếu số phương có chữ số tận hai chữ số cuối 25 c) Nếu số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số lẻ d) Nếu số phương có chữ số tận là chữ số lẻ 1, 5, chữ số hàng chục chữ số chẵn Tính chất 1.2 (Số phương) a) Số phương chia cho có dạng 3n 3n + khơng có dạng 3n + b) Số phương chia cho có dạng 4n 4n + khơng có dạng 4n + 2, 4n + c) Số phương chia cho có dạng 5n, 5n + 1, 5n + khơng có dạng 5n + 2, 5n + d) Số phương chia cho có dạng 6n, 6n + 1, 6n + 6n + khơng có dạng 6n + 2, 6n + e) Số phương chia cho có dạng 8n 8n + 8n + khơng có dạng 8n + r với r 2, 3, 5, 6, g) Số phương chia cho có dạng 9n 9n + 9n + 9n + khơng có dạng 9n + r với r 2, 3, 5, 6, Tính chất 1.3 (Số phương) a) Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương b) Nếu hai số ngun dương ngun tố có tích số phương số số phương Tính chất 1.4 (Số phương) Nếu hai số ngun liên tiếp có tích số phương hai số Tính chất 1.5 (Số lũy thừa bậc ba) a) Số lũy thừa bậc ba chia cho khơng có dạng 4n + b) Số lũy thừa bậc ba chia cho khơng có dạng 8n + r với r 2, 4, c) Số lũy thừa bậc ba chia cho khơng có dạng 9n + r với r 2, 3, 4, 5, 6, Tính chất 1.6 (Số lũy thừa bậc cao) a) Số lũy thừa bậc s ≥ chia cho khơng có dạng 4n + b) Số lũy thừa bậc s ≥ chia cho dạng 8n + r với r 2, 4, c) Số lũy thừa bậc s ≥ chia cho khơng có dạng 9n + r với r 3, 1.2 ĐỒNG DƯ THỨC 1.2.1.Định nghĩa đồng dư thức Định nghĩa 1.4 Cho m số tự nhiên khác khơng Ta nói hai số nguyên a, b đồng dư với theo modulo m phép chia a b cho m ta số dư Ký hiệu a ≡ b (mod m) a = b (mod m) Hệ thức (1.1) gọi đồng dư thức (1.1) 1.2.2.Các tính chất đồng dư thức Tính chất 1.7 a) Với số nguyên ta có a ≡ a (mod m) b) Nếu a ≡ b (mod m) b ≡ a (mod m) c) Nếu a ≡ b (mod m) b ≡ c (mod m) a ≡ c (mod m) Tính chất 1.8 Nếu a ≡ b (mod m) c số nguyên tùy ý a ± c ≡ b ± c (mod m) Tính chất 1.9 a) Nếu a1 ≡ a2 (mod m); b1 ≡ b2 (mod m) (a1 ± b1 ) ≡ (a2 ± b2 ) (mod m) b) Nếu a1 ≡ a2 (mod m); b1 ≡ b2 (mod m) (a1 × b1 ) ≡ (a2 × b2 (mod m) Tính chất 1.10 a) Nếu a + c ≡ b (mod m) a ≡ b − c (mod m) b) Nếu a ≡ b (mod m) a + km ≡ b (mod m) c) Nếu a ≡ b (mod m) ak ≡ bk (mod m) d) Giả sử f (x) = an xn−1 + · · · + a1 x + a0 đa thức với hệ số nguyên Nhận xét 1.1 Nếu ta có α ≡ β (mod m) ta có f (α) ≡ f (β) (mod m) Đặc biệt, ta có f (α) ≡ (mod m) ta có f (α+km) ≡ (mod m) (k ∈ Z) Tính chất 1.11 Nếu ac ≡ bc (mod m) (c, m) = a ≡ b (mod m) Tính chất 1.12 Nếu a ≡ b (mod m) ac ≡ bc (mod m) Tính chất 1.13 Nếu a ≡ b (mod m) d | (a, b, m) (d > 0) ta có a b ≡ d d (mod m ) d Tính chất 1.14 Nếu a ≡ b (mod mi ), i = 1, 2, 3, k a ≡ b (mod m); m = m1 m2 mk 1.3 CÁC LỚP THẶNG DƯ 1.3.1 Hệ thặng dư đầy đủ 1.3.2 Tính chất a) Mỗi hệ thặng dư đầy đủ modulo m gồm m thặng dư b) Mọi hệ gồm m số nguyên đôi không đồng dư với theo modulo m hợp thành hệ thặng dư đầy đủ modulo m c) Cho a số nguyên, nguyên tố với m b số nguyên tùy ý Khi x chạy qua hệ thặng dư đầy đủ modulo m ax + b chạy qua hệ thặng dư đầy đủ modulo m 1.3.3 Hệ thặng dư thu gọn 1.3.4 Thặng dư toàn phương Định nghĩa 1.5 (Thặng dư toàn phương) Định lý 1.9 a thặng dư toàn phương modulo p a p−1 a p−1 ≡ (mod p) a bất thặng dư toàn phương modulo p ≡ −1 (mod p) 10 Định lý 1.12 (Định lý tương hỗ Gauss) Cho p, q hai nguyên tố lẻ Khi p q a) = p q có số dạng 4k + q p p q b) =− p q có dạng 4k + q p Bài tốn 1.1 Tìm tất số nguyên tố p để p−1 ≡ p−1 ≡ (mod p) Bài tốn 1.2 Tìm tất số nguyên tố p để (mod p) Bài tốn 1.3 Tìm số ngun tố p để p−1 ≡ (mod p) Bài toán 1.4 Chứng minh tồn vô hạn số nguyên dương a thoả mãn tính chất sau: a) Tồn cặp số nguyên (x, y), (x, y) = cho a2 = x3 +y b) Tồn tai số nguyên b cho a2 (a2 + 3)|b2 + 1.4 ĐỊNH LÍ EULER VÀ ĐỊNH LÍ FERMAT 1.4.1 Định lí Euler Định nghĩa 1.6 (Hàm Euler) Cho số tự nhiên n ≥ Ta ký hiệu ϕ(n) số số tự nhiên bé n nguyên tố với n Quy ước ϕ(1) = Định lý 1.13 (Định lí Euler) Cho a, m số nguyên, (a, m) = Khi đó, aϕ(m) ≡ (mod m) Định lý 1.14 Hàm ϕ(n) có tính chất nhân tính theo nghĩa: 11 Nếu a, b hai số nguyên tố ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) Định lý 1.15 (Euler) Giả sử n = pα1 pαk k phân tích tắc n > Khi ϕ(n) = n − p1 1− 1 − p2 pk Định lý 1.16 (Định lý Euler mở rộng) Cho a m hai số tự nhiên Khi ta có: am ≡ am−ϕ(m) (mod m) 1.4.2 Định lý nhỏ Fermat Định lý 1.17 (Định lý nhỏ Fermat) Cho p số nguyên tố a số nguyên không chia hết cho p ta có: ap−1 ≡ (mod p) Định lý 1.18 (Định lý Fermat dạng khác) Cho p số nguyên tố a số nguyên tùy ý ta có ap ≡ a (mod p) 12 CHƯƠNG BIỂU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CÁC LŨY THỪA 2.1 BIỂU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG 2.1.1 Tổng hai bình phương Định lý 2.19 (Fermat) Giả sử n biểu diễn dạng phân tích chuẩn n = 2r t psi i qjj , pi ≡ (mod 4), qj ≡ (mod 4) Điều kiện cần đủ để n biểu diễn thành tổng hai bình phương số tj chẵn với j Bổ đề 2.2 Giả sử số nguyên tố q | a2 +b2 Nếu q ≡ (mod 4) q | a, q | b Bổ đề 2.3 Tích hai số mà số tổng hai bình phương hai số nguyên không âm tổng bình phương hai số khơng âm Bổ đề 2.4 Mọi số nguyên tố p dạng 4k + biểu diễn thành tổng bình phương hai số ngun dương Ví dụ 2.2 Phương trình x2 + y = 50 có nghiệm 502 = 52 + 52 = 72 + 12 Định lý 2.20 Số tự nhiên n tổng hai bình phương số tự nhiên ước số nguyên tố có dạng 4k + có luỹ thừa chẵn phân tích thành thừa số nguyên tố n thừa số có mũ lẻ phân tích n có ước số ngun tố có dạng 4k + 13 Định lý 2.21 Phương trình p = x2 + y với p số nguyên tố, p = 4k + k ∈ Z có nghiệm N(khơng kể tính đảo vị nó) Định lý 2.22 Giả sử x, y, z, t số nguyên dương thoả xy = z +t2 ,(z, t) = Khi tồn số nguyên dương a, b, c, d cho x = a2 + b2 , y = c2 + d2 z = ac + bd,t = ad − bc z = ac − bd, t = ad + bc Định lý 2.23 Giả sử n số nguyên dương cho trước n = m2 l, m2 ước phương lớn n Khi n biểu diễn thành tổng hai bình phương hai số nguyên dương m có ước nguyên tố dạng 4k + với l = l khơng có ước nguyên tố dạng 4k + l > Bổ đề 2.5 Tích hai số lẻ, số tổng bình phương hai số nguyên dương tổng bình phương hai số nguyên dương Định lý 2.24 Nếu p số nguyên dương biểu diễn thành tổng hai bình phương ; p = (q12a1 q22a2 qn2an ).(2m p1 p2 pn ) với q1 , q2 , , qn số nguyên tố có dạng 4d + 3, p1 , p2 , , pn số nguyên tố có dạng 4d + 1; p1 , p2 , , pk khác 2; δ(p) số cách để biểu diễn p thành tổng hai bình phương δ(p) = 2n Bài toán 2.1 (Biểu diễn số tự nhiên thành tổng hai bình phương) Các số tự nhiên có đặc điểm viết duới dạng tổng hai số phương? 14 Ví dụ 2.3 Viết số sau dạng tổng hai số phương (nếu có thể) : 8,48,53, 86,170,1105,2016, 2378, 4012 Bài toán 2.2 Chứng minh số tự nhiên n tổng hai bình phương số tự nhiên nguyên tố n không chia hết cho khơng chia hết cho số tự nhiên có dạng 4k + Bài toán 2.3 Chứng minh tổng số phương hai số lẻ khơng phải số phương Bài tốn 2.4 Chứng minh cặp số nguyên dương (m, n) mà tổng tích chúng số phương chúng có dạng m = ka2 , n = kb2 , a2 + b2 = kc2 với k số phi phương Bài tốn 2.5 (Tam thức bậc hai chứa số phương) a) Tìm số nguyên n cho n2 +4n+25 số phương Từ cách tìm số phương n2 + 2kn + c b) Tìm số nguyên n cho n2 +3n+11 số phương Từ cách tìm số phương n2 + (2k + 1)n + c Hệ 2.2 Các số sau khơng số phương: a) Tổng số phương hai số lẻ b) Tổng lũy thừa bậc chẵn hai số lẻ Bài tốn 2.6 Chứng minh tổng số phương k số nguyên dương liên tiếp không số phương với số k 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Nhận xét 2.2 Với k = phương trình n2 +(n+1)2 = m2 ⇔ (2n+1)2 − 2m2 = −1 ⇔ t2 − 2m2 = −1 (Phương trình Pell) với t = 2n + 1, 15 có vơ hạn nghiệm ngun dương, chẳng hạn 32 + 42 = 52 202 + 212 = 292 Với k = 11 mệnh đề không Chẳng hạn: 182 +192 +202 +212 +222 +232 +242 +252 +262 +272 +282 = 772 Bài tốn 2.7 Chứng minh khơng có số phương A có hai dạng sau (n ∈ Z) a) A = 4n + b) A = 4n + Nhận xét 2.3 Khi a số lẻ a2 = 4b(b + 1) + 1, b b + hai số ngun liên tiếp nên hai số ln có số chẵn Do a2 khơng chia dư mà chia dư Ví dụ 2.4 Chứng minh rằng: khơng có số phương có dạng sau a) A = 9n + b) B = 9n + c) C = 9n + Nhận xét 2.4 - Nếu số phương mà chia hết cho số nguyên tố p chia hết cho p2 - Nếu số phương A = a2 chia hết cho p a chia hết cho p Bài tốn 2.8 Chứng minh số có dạng n(n + 1) n(n+2) khơng thể số phương với n nguyên dương 2.1.2 Tổng ba bình phương Định lý 2.25 Các số có dạng 4n (8k + 7) khơng thể biểu diễn thành tổng ba bình phương 16 Hệ 2.3 Số nguyên dương n biểu diễn thành tổng ba bình phương n = 4m (8k + 7) với m, k ∈ N Định lý 2.26 (Định lý Hurwitz) Tất số tự nhiên n mà n2 tổng bình phương ba số tự nhiên số n = 2h n = 2h với h = 0, 1, 2, Cách phân tích số tự nhiên thành tổng ba bình phương (nếu có thể) Bài tốn 2.9 Giải phương trình sau: x2 + y + z = 515 Bài tốn 2.10 Giải phương trình sau: x2 + y + z = 701 Bài toán 2.11 Giải phương trình sau: x2 + y + z = 2007 2.1.3 Tổng ba bình phương với hai bình phương Bổ đề 2.6 Nếu p ước nguyên tố dạng 8k + 8k + p | x2 + 2y p ước x y Ký hiệu A = {n ∈ Z+ : |x2 + y = n có nghiệm nguyên} Bổ đề 2.7 Nếu n ∈ A, m ∈ A nm ∈ A Bổ đề 2.8 Giả sử n = p số nguyên tố Khi p ∈ A p = p = 8k + p = 8k + Định lý 2.27 Giả sử n có phân tích tắc n = 2r psi i pi = 8k + 8k + 3,qj = 8k + 8k + Ta có n ∈ A tj số chẵn với j Ví dụ 2.5 Phương trình x2 + 2y = 21 vơ nghiệm 21 = 3.7, = 8k + có số mũ lẻ t qj j , 17 Định lý 2.28 Điều kiện cần đủ để n biểu diễn dạng n = x2 + 2y với x, y nguyên dương a) Nếu n số phương n phải có ước nguyên tố dạng 8k + 8k + b) Nếu n số không phương phân tích tắc n ước nguyên tố p = p = 8k +5 p = 8k +7 phải có số mũ chẵn Bài tốn 2.12 Chứng minh khơng tồn số nguyên dương a, b, c cho: a2 + b2 + c2 chia hết cho 3(ab + bc + ca) 2.1.4 Tổng bốn bình phương Định lý 2.29 (Định lý Lagrange) Một số nguyên dương biểu diễn thành tổng bốn bình phương số nguyên không âm Trước hết ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 2.9 Tích hai số nguyên dương mà số tổng bốn bình phương số ngun khơng âm tổng bốn bình phương số ngun khơng âm Bổ đề 2.10 Nếu p số nguyên tố lẻ tồn k, < k < p cho kp tổng bốn bình phương số nguyên không âm Bổ đề 2.11 Nếu p số nguyên tố p biểu diễn thành tổng bốn bình phương số ngun khơng âm Định lý 2.30 Số nguyên dương dạng 2n với n > biểu diễn thành tổng bốn bình phương số nguyên dương n chẵn 18 Ví dụ 2.6 Tìm a, b, c, d ngun dương cho a2 + b2 + c2 + d2 = 22000 Ví dụ 2.7 Các số 15 540 biểu diễn thành tổng bốn bình phương Ví dụ 2.8 Biểu diễn 14, 55 thành tổng bốn bình phương 2.1.5.Tổng năm bình phương Định lý 2.31 Mỗi số nguyên dương n > 169 biểu diễn thành tổng năm bình phương số nguyên dương 2.1.6 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng năm lớn năm bình phương dương Định lý 2.32 (Định lý Pall) Nếu m số tự nhiên ≥ tất số ngun dương khơng phải bình phương m số tự nhiên số 1, 2, 3, , m − 1, m + 1, m + 2, m + 4, m + 5, m + 7, m + 10, m + 13 Tiếp theo, ta xét số toán: Bài toán tổng quát 2.1 Số nguyên dương n biểu diễn đồng thời thành tổng hai bốn năm bình phương số nguyên dương Bài toán 2.13 Chứng minh số tự nhiên chia hết cho tổng bình phương lẻ Bài toán 2.14 Chứng minh rằng: a) Tổng lũy thừa bậc chẵn ba số nguyên liên tiếp không số lũy thừa bậc chẵn b) Tổng lũy thừa bậc chẵn số nguyên liên tiếp khơng số lũy thừa 19 Bài tốn 2.15 Tìm số tự nhiên n nhỏ với n > cho tổng số phương n số tự nhiên liên tiếp từ đến n số phương Nhận xét 2.5 Ta chứng minh số n = 24 số thỏa mãn đề Cũng chứng minh tổng 13 + 23 + · · · + n3 không số lũy thừa bậc ba 2.2 BIỂU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CÁC LUỸ THỪA CÓ SỐ MŨ BẰNG BA HOẶC LỚN HƠN BA 2.2.1 Một số kết biểu diễn số tự nhiên thành tổng lũy thừa bậc cao Định lý 2.33 Với số tự nhiên m tồn số tự nhiên n biểu diễn thành tổng hai lập phương theo m cách phân biệt Bổ đề 2.12 Với số tự nhiên n > tồn số tự nhiên mà lập phương tổng n lập phương dương phân biệt Định lý 2.34 Với số tự nhiên n > tồn lũy thừa bậc tổng n lũy thừa bậc dương 2.2.2 Bài toán Waring x3 + y = z (2.2) Định lý 2.35 Phương trình (2.2) khơng có nghiệm ngun x, y, z = 20 Bổ đề 2.13 Tất nghiệm nguyên a, b, s phương trình s3 = a2 + 3b2 mà (a, b) = 1, sl, cho công thức sau: s = α2 + 3β , a = α3 − 9αβ , b = 3α2 β − 3β Định lý 2.36 Phương trình x4 + y = z khơng có nghiệm ngun dương x, y, z 21 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN 3.1 ỨNG DỤNG VÀO GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐỒNG DƯ SỐ LŨY THỪA VÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 3.1.1 Tìm dấu hiệu chia hết a) Nguyên tắc chung b) Một số ví dụ Loại 1: Chuyển xét nhóm chữ số cuối Ví dụ 3.9 Tìm dấu hiệu chia hết cho 4; 25 Ví dụ 3.10 Tìm dấu hiệu chia hết cho 125 Loại 2: Chuyển xét tổng chữ số số Ví dụ 3.11 Tìm tiêu chuẩn chia hết cho 11 Bài tốn 3.16 Chứng minh với n số tự nhiên, 4n+1 ta có: 23 + 11 Loại 3: Các trường hợp khác: Tìm tiêu chuẩn chia hết cho m Ví dụ 3.12 Tìm dấu hiệu chia hết cho 17 Bài toán 3.17 Chứng minh với số ngun a ta có a2 + khơng chia hết cho 19 3.1.2 Chứng minh chia hết Ví dụ 3.13 Chứng minh tổng lập phương ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 22 Ví dụ 3.14 Chứng minh số 111 111 (mod 81) Ví dụ 3.15 Chứng minh A = 7.52n + 12.6n 19, ∀n ∈ N 2n Ví dụ 3.16 Chứng minh A = 22 + 7, ∀n ≥ 2004n Ví dụ 3.17 Chứng minh 19242003 +1920124 124, (∀n ∈ N∗ ) Bài tốn 3.18 Tìm số tự nhiên n nhỏ có ba chữ số cho n3 + chia hết cho 11 3.1.3 Xác định chữ số tận Ví dụ 3.18 a) Tìm hai chữ số tận số A = 22004 b) Tìm ba chữ số tận A Bài tốn 3.19 Tìm số dư phép chia 109345 cho 14 btTìm hai chữ số tận bên phải viết số 21954 hệ thập phân 3.2 ỨNG DỤNG VÀO GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH 3.2.1 Phương trình nghiệm ngun Bài tốn 3.20 Tìm tất cặp số nguyên dương (x, y) x2 + y cho số nguyên dương ước 1995 x−y Bài toán 3.21 (Mathlinks Contest) Giả sử a1 , a2 , , a2014 số nguyên không âm thỏa mãn an1 + an2 + · · · + an2014 số phương với số ngun dương n Tìm số nhỏ số số a1 , a2 , , a2014 23 Bài tốn 3.22 (Taiwan TST 1999) Tìm tất số nguyên dương m, n cho (m, n) = ϕ(5m − 1) = 5n − Bài tốn 3.23 (Serbia Mathematical Olympiad 2007) Tìm tất cặp số nguyên dương (x, n) cho x3 + 2x + = 2n Bài toán 3.24 Chứng minh phương trình x2 + = y khơng có nghiệm ngun p≡3 (mod 4) (3.3) 3.2.2 Phương trình vơ định Bài tốn 3.25 Giải phương trình vơ định 15x−9y = 5m+1 Ở m số ngun cho trước Bài tốn 3.26 Tìm nghiệm ngun dương phương trình xy = z (1) 24 KẾT LUẬN Luận văn “Biểu diễn số tự nhiên thành tổng lũy thừa số dạng toán liên quan" nhằm: Trình bày chi tiết số dạng toán đồng dư đồng dư bậc hai, số phương số lũy thừa Trình bày cách biểu diễn số nguyên dương dạng tổng số phương, lũy thừa bậc ba bậc cao Trình bày số ứng dụng liên quan chữ số tận cùng, dạng toán chia hết, phương trình Diophant Cuối cùng, luận văn xét trình bày số đề tốn chọn lọc từ đề thi học sinh giỏi nước, Olympic khu vực quốc tế liên quan Với tìm hiểu được, tơi hy vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân công tác giảng dạy sau nguồn tư liệu tốt cho học sinh phổ thông quan tâm đến lớp toán biểu diễn số tự nhiên thành tổng lũy thừa Mặc dù cố gắng, thời gian khả có hạn nên chắn luận văn có thiếu sót Vì thế, tơi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp q thầy cơ, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! ... TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CÁC LUỸ THỪA CÓ SỐ MŨ BẰNG BA HOẶC LỚN HƠN BA 2.2.1 Một số kết biểu diễn số tự nhiên thành tổng lũy thừa bậc cao Định lý 2.33 Với số tự nhiên m tồn số tự nhiên n biểu diễn thành. .. Fermat dạng khác) Cho p số nguyên tố a số nguyên tùy ý ta có ap ≡ a (mod p) 12 CHƯƠNG BIỂU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CÁC LŨY THỪA 2.1 BIỂU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG 2.1.1 Tổng. .. a) Tổng lũy thừa bậc chẵn ba số nguyên liên tiếp không số lũy thừa bậc chẵn b) Tổng lũy thừa bậc chẵn số nguyên liên tiếp không số lũy thừa 19 Bài tốn 2.15 Tìm số tự nhiên n nhỏ với n > cho tổng